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Un momento de reflexión sobre variables aleatorias que se

encuentran en el mundo real debe convencernos de que no todas las

variables aleatorias de interés son discretas. El número de días que

llueve en un periodo de n días es una variable aleatoria discreta

porque el número de días debe tomar uno de los valores

o . Ahora considere la lluvia diaria en un punto

geográfico específico. En teoría, con equipo de medición de precisión

perfecta, la cantidad de lluvia podría tomar cualquier valor entre y

centímetros. En consecuencia, cada uno del número incontable e

infinito de puntos del intervalo representa un valor posible

distinto de la cantidad de lluvia en un día. Una variable aleatoria que

puede tomar cualquier valor en un intervalo se denomina continua y

el propósito de este apartado es estudiar distribuciones de

probabilidad para variables aleatorias continuas. La producción de un

antibiótico en un proceso de fermentación es una variable aleatoria

continua, al igual que la duración de vida útil, en años, de una

máquina de inyección de plástico.

La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta

siempre puede darse al asignar una probabilidad no negativa a cada

uno de los posibles valores que la variable pueda tomar. En todo caso,

por supuesto, la suma de todas las probabilidades que asignamos

debe ser igual a 1. Por desgracia, la distribución de probabilidad para

una variable aleatoria continua no puede ser especificada en la misma

forma. Es matemáticamente imposible asignar probabilidades

6.1 INTRODUCCIÓN

n + 10, 1, 2, . . . , n

0 15

(0, 15)

TECNM: TecNM_PE2016 Probabilidad y estadística

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diferentes de cero a todos los puntos de un intervalo de recta al

tiempo que se satisface el requisito de que las probabilidades de los

distintos valores posibles ascienden a .

En consecuencia, debemos desarrollar un método diferente para

describir la distribución de probabilidad para una variable aleatoria

continua.

Supongamos que se tiene un conjunto de mediciones en una variable

aleatoria continua y que crea un histograma de frecuencia relativa

para describir la distribución de las mismas. Para un pequeño número

de mediciones, se puede usar un pequeño número de clases;

entonces, a medida que se recolecten más y más mediciones, se

pueden usar más clases y reducir el ancho de clase. El perfil del

histograma cambiará ligeramente, casi todo el tiempo haciéndose

cada vez más irregular, como se muestra en la figura 6.1. Cuando el

número de mediciones se hace muy grande y los anchos de clase se

hacen muy angostos, el histograma de frecuencia relativa aparece

cada vez más como la curva suave que aparece en la figura 6.1d). Esta

curva suave describe la distribución de probabilidad de la variable

aleatoria continua.

1

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Una variable aleatoria continua puede tomar cualquiera de un número

infinito de valores de la recta real. La distribución de probabilidad es

creada al distribuir una unidad de probabilidad a lo largo de la recta.

La profundidad o densidad de la probabilidad, que varía con , puede

ser descrita por una fórmula matemática , llamada distribución

de probabilidad o función de densidad de probabilidad para la

variable aleatoria .

Varias propiedades importantes de distribuciones continuas de

probabilidad son comparables a sus similares discretas. Así como la

suma de probabilidades discretas (o la suma de las frecuencias

relativas) es igual a 1 y la probabilidad de que x caiga en cierto

intervalo puede hallarse al sumar las probabilidades en ese intervalo,

las distribuciones de probabilidad tienen las características que se

detallan a continuación.

También hay una diferencia importante entre variables aleatorias

discretas y continuas.

Considere la probabilidad de que x sea igual a algún valor en

particular, por ejemplo a. Como no hay área arriba de un solo punto,

por ejemplo , en la distribución de probabilidad para una

variable aleatoria continua, nuestra definición implica que la

probabilidad es .

Esta sección se dedica a describir y mostrar aplicaciones de la

distribución normal. La distribución normal es muy importante por

tener muchas aplicaciones y un amplio uso en la inferencia estadística.

Figura 6.1.1

x

f(x)

x

1. El área bajo una distribución continua de probabilidad esigual a 1.

2. La probabilidad de que x caiga en un intervalo particular, porejemplo de a , es igual al área bajo la curva entre los dospuntos y .

a ba b

x = a

0

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