6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA - … · Reparte 60000 de forma directamente proporcional a los...

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

P A R A E M P E Z A R

Calcula el término desconocido en las siguientes proporciones.

a) �37

� � �1x2� b) �

98

� � �1x5� c) �

1x3� � �

52

�

a) �37

� � �1x2� ⇒ 3x � 7 � 12 ⇒ x � �

834� � 28

b) �98

� � �1x5� ⇒ 9 � 15 � 8x ⇒ x � �

138

5� � 16,875

c) �1x3� � �

52

� ⇒ 13 � 2 � 5x ⇒ x � �52,62�

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

Escribimos todas con el mismo denominador para poder comparar los numeradores.

�23

� � �23

��

22

00

� � �46

00� �

12

� � �12

��

3300

� � �3600� �

170� � �

170��66

� � �4620�

�34

� � �34

��

11

55

� � �46

50� �

35

� � �35

��

1122

� � �3660�

Como: �36

00� � �

36

60� � �

46

00� � �

46

20� � �

46

50�

Entonces tenemos que: �12

� � �35

� � �23

� � �170� � �

34

�

Expresa en tantos por ciento las razones siguientes.

a) De cada 5 estudiantes, 4 aprueban inglés.

b) De los 25 alumnos de una clase, 15 han ido al teatro.

c) En una ciudad, 7 de cada 10 individuos tienen más de 20 años.

a) �45

� � �45

��

22

00

� � �18000

� � 80%

b) �12

55� � �

12

54

��

44

� � �16000

� � 60%

c) �170� � �

170��1100

� � �17000

� � 70%

3

�35

��34

��170��

12

��23

�

2

1

128

En 1998 una región tenía 666 000 hectáreas de bosque nativo. En los diez años siguientes el 3% de susuperficie se ha convertido en terrenos para el cultivo y la ganadería. Calcula cuántos metros cuadradosde bosque nativo han sido deforestados.

Calculamos el número de hectáreas que han sido deforestadas.

3% de 666 000 � �3 � 6

16060

000� � �

1 991

800

000� � 19 980 hectáreas

Como 1 hectárea � 1 hm2 � 10 000 m2

Han sido deforestados 19 980 � 10 000 m2 � 199 800 000 metros cuadrados de bosque nativo.

Magnitudes directamente proporcionales

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Comprueba si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.

Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: �15

� � �35

� � �255� � �

1500� � 0,2.

Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: �12

� � �23

�.

Decide si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.

Las magnitudes A y B son proporcionales, ya que: �25

� � �73,5� � �

177,5� � �

1205� � 0,4.

Las magnitudes M y N no son proporcionales, ya que: �13

� � �24

�.

Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.

a) El número de lados de un polígono regular de 15 centímetros de lado y su perímetro.

b) El número de prendas de ropa compradas en una tienda y el precio total de la compra.

c) La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene.

d) El radio de una circunferencia y su longitud.

e) La edad de una persona y su peso.

f) El número de horas trabajadas durante un mes y el sueldo al final del mismo.

Son directamente proporcionales las magnitudes de los apartados a y d, siendo �115� y �

21�� las constantes de proporcionalidad res-

pectivas.

Completa la siguiente tabla para que las magnitudes A y B sean directamente proporcionales.

Hallamos la razón de proporcionalidad y completamos los términos restantes: �180� � 1,25.

6.4

6.3

6.2

6.1

4

129

A 1 3 5 10

B 5 15 25 50

M 1 2 3 4

N 2 3 4 5

A 2 3 7 10

B 5 7,5 17,5 25

A 3 10 23,4375 42

B 2,4 8 18,75 33,6

M 1 2 3 4

N 3 4 5 6

Reparte 60 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.

a) 10, 12 y 8 c) 2, 6 y 7

b) 3, 5 y 12 d) 3, 4 y 5

a) �1x0� � �

1y2� � �

8z

� � �60

30000� ⇒ x � 20 000; y � 24 000; z � 16 000

b) �3x

� � �5y

� � �1z2� � �

6020000� ⇒ x � 9000; y � 15 000; z � 36 000

c) �2x

� � �6y

� � �7z

� � �60

10500� ⇒ x � 8000; y � 24 000; z � 28 000

d) �3x

� � �4y

� � �5z

� � �60

10200� ⇒ x � 15 000; y � 20 000; z � 25 000

P A R A A P L I C A R

Problema resuelto

En el mismo instante en que Jaime, de 1,80 metros de estatura, proyecta en el suelo una sombra de3,60 metros de longitud, su casa de campo proyecta una sombra de 34 metros. ¿Qué altura tiene lacasa?

Las sombras que proyectan Jaime y su casa son directamente proporcionales a sus alturas respectivas; es decir, los cocientes en-tre magnitudes vendrían dados por:

�saolmtu

brraa

JJaaimim

ee

� � �saolmtu

brraa

ccaassaa

�

Así: �13

,,86� � �

3x4� ⇒ x � 17 m

La casa mide 17 metros de altura.

Cinco amigas han comprado entradas para un concierto por 75 euros. ¿Cuánto tendrían que haber pa-gado si hubieran comprado 16 entradas?

El “coste de las entradas” es proporcional al “número x de entradas compradas”. Es decir, son directamente proporcionales.

�755� � �

1x6� ⇒ x � 240

Coste de las 16 entradas: x � 240 euros

Para colaborar en el viaje de fin de curso, un centro escolar reparte 1800 euros entre las tres clases de4.º de ESO de manera proporcional al número de alumnos que se han apuntado de cada una: 24, 30 y36, respectivamente. ¿Qué cantidad recibirá cada clase?

Repartimos 1800 euros de manera directamente proporcional a 24, 30 y 36. Sean x, y, z las cantidades que corresponden a cadauna de las tres clases de 4.º de ESO.

�2x4� � �

3y0� � �

3z6� � �

189

00

0� � 20 ⇒ x � 480 euros; y � 600 euros; z � 720 euros

En una tienda de música, Carlota ha comprado 2 CD; Marcos, 3, y Samuel, 5.

¿Cuánto pagará cada uno si todos los discos valen lo mismo y el total abonado ha sido de 110 euros?

Precio de un disco: 110 : 10 � 11 euros

Carlota paga: 2 � 11 � 22 euros.

Marcos paga: 3 � 11 � 33 euros.

Samuel paga: 5 � 11 � 55 euros.

6.9

6.8

6.7

6.6

6.5

130

En la biblioteca de un barrio hay 1200 libros de ciencia ficción, de género policíaco y de viajes. ¿Cuán-tos habrá de cada clase si su número es proporcional a 1, 2 y 3, respectivamente?

Se tiene la proporcionalidad: �1x

� � �2y

� � �3z

� � �12

600� � 200, siendo x, y, z los libros que corresponden a cada grupo.

Libros de ciencia ficción: 200 � 1 � 200

Libros policíacos: 200 � 2 � 400

Libros de viajes: 200 � 3 � 600

Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes diferentes. Todos los ejercicios teníanla misma puntuación y Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen. ¿Cuán-tos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas?

Sea x el número de aciertos que obtuvo Jorge.

Planteamos la proporción: �23

40� � �

2x0� ⇒ x � �

243�020

� � 16.

Jorge obtuvo 16 aciertos.

Aumentos y disminuciones porcentuales


Calcula los siguientes porcentajes.

a) 18% de 30 c) 35% de 90

b) 7% de 12 d) 86% de 210

a) 0,18 � 30 � 5,4 c) 0,35 � 90 � 29,5

b) 0,07 � 12 � 0,84 d) 0,86 � 210 � 180,6

Calcula los siguientes aumentos porcentuales:

a) 1735 en un 20%.

b) 15 725 en un 41%.

c) 450 en un 35%.

a) 1735 � 1,20 � 2082

b) 15 725 � 1,41 � 22 172,25

c) 450 � 1,35 � 607,5

Realiza las siguientes disminuciones porcentuales:

a) 4200 en un 26%.

b) 600 en un 3,8%.

a) 4200 � (1 � 0,26) � 4200 � 0,74 � 3108

b) 600 � (1 � 0,038) � 600 � 0,962 � 577,2

Ejercicio resuelto

¿Qué porcentaje es 119 de 350?

Como los porcentajes son magnitudes proporcionales, se verifica que:

�13

15

90

� � �10

x0

� ⇒ x � �119

35�0100� � 34%

6.15

6.14

6.13

6.12

6.11

6.10

131

Halla, en cada caso, el valor de la variable x.

a) El 24% de x es 348.

b) El x% de 250 es 40.

c) El 95% de 3200 es x.

d) El x% de 5045 es 257.

a) �12040

� � x � 348 ⇒ x � 1450

b) �10

x0

� � 250 � 40 ⇒ x � 16%

c) x � 0,95 � 3200 � 3040

d) �10

x0

� � 5045 � 257 ⇒ x � 5,1%

Ejercicio resuelto

¿Qué variación porcentual se produce si un artículo que costaba 60 euros pasa a costar 72 euros?

Como los porcentajes proporcionan magnitudes proporcionales, tenemos que:

�76

20� � �

10x0

� ⇒ x � �72

6�0100� � 120

Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 20%.

Calcula, en cada caso, la variación porcentual que se ha producido si el precio de un artículo sufre lassiguientes modificaciones.

a) Pasa de 15 a 21 euros.

b) Pasa de 30 euros a 42 euros.

c) Pasa de 50 euros a 30 euros.

d) Pasa de 60 euros a 48 euros.


a) �21

15� � �

10x0

� ⇒ x � �21

1�5100� � 140. Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 40%.

b) �43

20� � �

10x0

� ⇒ x � �42

3�0100� � 140. Por tanto, el precio del artículo ha aumentado un 40%.

c) �35

00� � �

10x0

� ⇒ x � �30

5�0100� � 60. Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 40%.

d) �46

80� � �

10x0

� ⇒ x � �48

6�0100� � 80. Por tanto, el precio del artículo ha disminuido un 20%.


En una clase de 4.º de ESO han aprobado Matemáticas 18 de los 25 alumnos. ¿Qué porcentaje de alum-nos ha aprobado?


�12

85� � �

44

��

12

85

� � �17020

� � 72%

Ha aprobado el 72% de la clase.

6.19

6.18

6.17

6.16

132

Un jugador de baloncesto ha lanzado en un partido 24 tiros, de los que ha encestado 17. ¿Qué porcen-taje de acierto ha obtenido?


�12

74� � �

10x0

� ⇒ x � �17

2�4100� � 70,83%. Ha obtenido un acierto del 70,83%.

En una ONG trabajan 32 mujeres, que representan el 80% de la plantilla. ¿Cuántos hombres trabajanpara esa ONG? ¿Cuántas personas componen el total de la plantilla?

Como se trata de magnitudes directamente proporcionales, planteamos la siguiente proporción, en la que x es el número de hom-bres que trabajan en la ONG. Teniendo en cuenta que los hombres representan el 20% de la plantilla.

�38

20� � �

2x0� ⇒ x � 8

Por tanto, en la ONG trabajan 8 hombres y un total de 32 8 empleados.

Un estadio de fútbol tiene capacidad para 25 000 espectadores. Como el estadio siempre se llena, su pre-sidente decide hacer una remodelación mediante la cual su capacidad se verá aumentada en un 15%.¿Qué capacidad tendrá el estadio tras la remodelación?

Se trata de aumentar porcentualmente 25 000 en un 15%.

25 000 � (1 0,15) � 25 000 � 1,15 � 28 750

Tras la remodelación, el estadio tendrá capacidad para 28 750 espectadores.

Teo lleva a clase una bolsa de caramelos para celebrar su cumpleaños. A la hora del recreo reparte el80%. Si aún le quedan 16 caramelos en la bolsa, ¿cuántos ha llevado al colegio esa mañana?

x � �18000

� � x � 16 ⇒ x � 80

Teo ha llevado a clase 80 caramelos.

Laura ha comprado un equipo de música y le han hecho un descuento de un 15%, lo que supone queha pagado 16,5 € menos que lo que marcaba. ¿Cuánto le ha costado el equipo de música?

Sea x el importe inicial del equipo de música. Como le rebajan un 15%, tenemos que:

15% de x � 16,5 ⇒ 0,15 � x � 16,5 ⇒ x � 110 €

Laura ha pagado 110 � 16,5 � 93,50 euros por el equipo de música.

Halla el aumento porcentual de los latidos del corazón de una persona que pasa de 68 a 115 pulsacio-nes por minuto.

115 � 68 � 47 latidos por minuto es lo que ha aumentado la frecuencia cardíaca.

�10

x0

� � 68 � 47 ⇒ x � 69,12% es el porcentaje que han aumentado los latidos.

Una botella de limonada de 2 litros indica que tiene un porcentaje de zumo de un 15%. ¿Cuánta aguahabría que echarle para que el porcentaje de zumo se rebajara a un 12%?

Hallamos la cantidad de zumo que hay en la limonada: 15% de 2 L � 0,15 � 2 � 0,3 L de zumo.

Si añadimos agua a la limonada, la cantidad de zumo que contiene es la misma, 0,3 L, pero queremos que represente el 12%del total, así que tenemos la siguiente relación, donde x representa la cantidad total de limonada tras añadir el agua.

12% de x � 0,3 ⇒ x � �00,,132

� � 2,5 L

Por tanto, debemos añadir medio litro de agua para que la concentración de zumo sea del 12%.

6.26

6.25

6.24

6.23

6.22

6.21

6.20

133

Porcentajes sucesivos

Problema resuelto

Un artículo vale 120 euros. Ante la excesiva demanda por la proximidad de las fiestas navideñas, subeun 20%. Luego, cuando estas han terminado, se rebaja un 20% el precio marcado en ese momento. ¿Elproducto sigue valiendo lo mismo que antes de la subida?

El importe del artículo, al incrementarse el precio, es de: 120 120 � 0,20 � 144 euros.

Al aplicar el �20% sobre este importe, el nuevo precio es de: 144 � 144 � 0,20 � 115,20 euros.

Ahora, su precio es inferior al que tenía inicialmente.


Expresa en forma de porcentaje las siguientes fracciones.

a) �34

� b) �2235� c) �

1624�

a) �34

� � �17050

� � 75% b) �2235� � �

19020

� � 92% c) �1624� � 18,75%

Expresa en tantos por ciento:

a) Dos de cada cinco personas dejaron de fumar en los 6 primeros meses de 2008.

b) Ocho de cada nueve encuestados duermen menos de 8 horas diarias.

c) Uno de cada doce residentes españoles colabora con una ONG.

a) �25

� � �14000

� ⇒ El 40%

b) �89

� � �8180,809

� ⇒ El 88,89%

c) �112� � �

81,0303

� ⇒ El 8,33%

Calcula los porcentajes siguientes y explica si el proceso modifica el resultado: el 10% del 50% de 350y el 50% del 10% de 350.

350 � (1 � 0,50) � (1 � 0,10) � 350 � 0,50 � 0,90 � 157,50

350 � (1 � 0,10) � (1 � 0,50) � 350 � 0,90 � 0,50 � 157,50

El resultado es el mismo intercambiando el proceso. No sería así si se calculase la suma de los porcentajes, es decir, el 60% de 350.

El x% de x vale 9. Calcula el valor de x.

x% de x � �10

x0

� � x � 9 ⇒ x2 � 900 ⇒ x � 30

Ejercicio resuelto

¿Es lo mismo aumentar el precio de un artículo un 10% y luego rebajarlo un 15% que rebajarlo direc-tamente un 5%?

No, ya que si el precio inicial del artículo es C, al aumentar su precio un 10% y luego rebajarlo un 15%, el precio final del artículoes: C � 1,10 � 0,85 � 0,935 C.

Es decir, la rebaja final del artículo es de 100% � 93,5% � 6,5%, superior al 5%.

¿En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si aumenta su precio un 10% y luego se rebajaun 10%?

Si una cantidad C aumenta de precio un 10% y luego se rebaja un 10%, su precio final será C � 1,10 � 0,90 � C � 0,99, es de-cir, que su precio se habrá rebajado un 1%.

6.33

6.32

6.31

6.30

6.29

6.28

6.27

134

¿En qué porcentaje se modifica el precio de un artículo si su precio se rebaja un 15%, luego se rebajaotro 5% y finalmente su precio aumenta un 17%?

Si C es el precio inicial, el precio final será C(0,85) � (0,95) � (1,17) � C � 0,9448; con lo que se habrá rebajado un 5,52%.


Con la llegada del calor, la venta de aparatos de aire acondicionado se ha disparado.

El precio de lanzamiento de uno de estos productos es de 280 euros, y se ha incrementado la primeravez en un 10%, y una segunda, en un 20%.

a) ¿Esta doble subida es equivalente a un aumento del 30%?

b) Calcula, en cada caso, el importe del aparato.

a) Sea C el precio inicial de un artículo.

Con la doble subida se obtiene: C � 1,10 � 1,20 � C � 1,32, es decir, un aumento equivalente del 32%, superior al 30% quemenciona el enunciado.

b) Para un artículo de 280 euros, con la doble subida, el precio final del aparato sería de:

280 � 1,32 � 369,60 euros.

Con el aumento del 30% supondría que el precio final es de: 280 280 � 0,30 � 364 euros.

Efectivamente, se comprueba que la subida ha sido mayor que si se hubiera aplicado directamente un 30%.

Calcula el descuento que se ha aplicado a un artículo de liquidación que costaba 2850 euros si en la pri-mera oferta se rebajó un 30%, y en la segunda, un 20% sobre el precio ya rebajado. Explica si el des-cuento total fue del 50%.

El descuento fue de: 0,20 � 0,30 � 2850 � 171 €.

Si la rebaja hubiera sido del 50%, se habría descontado la mitad. Por tanto, no ha sido ese el descuento total.

Una nevera cuesta 450 euros más el 16% de IVA, pero con la rebaja aplicada en la tienda se queda en417,60 euros. ¿Cuál es el descuento aplicado?

El precio de la nevera con el IVA aplicado es de 450 450 � �11060

� � 522 €.

522 � 522 � �10

x0

� � 417,60 ⇒ x � 20. El descuento aplicado es del 20%.

En la bolsa, unas acciones estaban cotizando un lunes a 30,25 €. El martes subieron un 3%, el miérco-les bajaron un 4% y el jueves subieron un 1%. ¿Cuál fue la cotización al final del jueves?

Tras estas variaciones, las acciones cotizarán a: 30,25 � 1,03 � 0,96 � 1,01 � 30,21 euros.

Un tendero antes de las rebajas aumenta los precios de sus artículos un 5%. Cuando llegan las rebajasdisminuye su precio un 15%. ¿Cuál es la rebaja real de los precios?

Si un artículo cuesta C, tras esas variaciones costará C(1,05) � (0,85) � 0,8925, con lo que la rebaja real será de un 10,75%.

6.39

6.38

6.37

6.36

6.35

6.34

135

Observa la factura del teléfono que ha recibido Ana.

¿Qué cantidad final paga por el teléfono?

Finalmente, Ana pagará: 30 � 0,88 � 0,95 � 1,16 � 29,09 €.

A Pablo le han regalado una caja de bombones. El primer día se ha comido el 20% de los bombones.Al día siguiente se comió el 20% de los bombones que le quedaban. Si en la caja quedaron 16 bombo-nes, ¿cuántos había originalmente?

Como cada día se come el 20% de los bombones que había, cada día quedará en la caja el 80% de los bombones que había.

Si x son los bombones que traía la caja:

x � 0,8 � 0,8 � 16 ⇒ 0,64x � 16 ⇒ x � �01,664

� � 25 bombones

Interés simple

Problema resuelto

Daniel ha depositado en un banco 1580 euros a un interés simple del 3%.

a) ¿Qué intereses obtendrá al finalizar el año?

b) ¿Y al cabo de 5 años?

c) ¿Y si retira el dinero a los 300 días?

a) En un año generarían unos intereses de: 1580 � 1 � �1300� � 47,40 €.

b) Intereses en 5 años: 1580 � 5 � �1

300� � 237 €.

c) En 300 días se generaría la parte proporcional de intereses:

�4376,04

� � �30

x0

� ⇒ x � �47,4

36�0300

� � 39,50 €


Se depositan 250 € a un interés simple del 4,5% durante 2 años. Calcula los intereses que se generancada año y el capital final.

Los intereses de cada año son �250

10�04,5

� � 11,25 €.

En consecuencia, el capital final al cabo de dos años será: 250 2 � 11,25 � 272,50 €.

6.43

6.42

6.41

6.40

136

• Tarifa básica: 30 €• Descuento de un 12% por ser empleado de

la empresa.• Rebaja de un 5% por una promoción.• Aumento de un 16% de impuestos.

En un banco se depositan 5000 euros al 8% de interés simple anual.

a) ¿Cuánto pagará el banco al cabo de 6 años?

b) ¿Y de 108 días?

a) Interés anual: 5000 � 0,08 � 400 euros

Interés en 6 años: 400 � 6 � 2400 euros

b) Interés en 108 días: 400 � �13

06

80

� � 120 euros

Se depositan 5000 € a un interés simple anual del 4%.

a) ¿Cuáles son los intereses anuales?

b) Completa la siguiente tabla:

c) ¿Cuál es el capital final al cabo de dos años?

a) Los intereses anuales serán de 5000 � �1400� � 200 €.

c) El capital final será de 5000 2 � 200 � 5400 €.

Ejercicio resuelto

Tras tres años de depósito, un capital de 1000 € se ha convertido en un capital de 1105 €. ¿Qué inte-rés se ha aplicado?

Se han obtenido 105 € de intereses, es decir, cada año, el capital inicial ha proporcionado unos intereses de �1035

� � 35 euros.

Se trata de averiguar qué porcentaje de 1000 representa 35.

�1

30

500� � �

10x0

� ⇒ x � �35

10�01000

� � 3,5

Se ha aplicado un interés del 3,5%.

Calcula el interés simple al que se han depositado 1800 euros en un banco durante un año si el capitalal cabo de ese tiempo ha sido de 1872 euros.

1872 � 1800 � �1 1 � �10

r0

�� ⇒ r � 100 � ��11887020

� � 1� � 4%

Un capital de 600 euros ha producido unos intereses de 240 euros al 5% anual. ¿Cuánto tiempo ha es-tado el capital depositado en el banco si el interés es simple?

600 � �1

500� � t � 240 ⇒ t � 8 años

6.48

6.47

6.46

6.45

6.44

137

Año Interesesacumulados

1 200 €

2 400 €

3 600 €

4 800 €

5 1000 €


Calcula el capital acumulado por un depósito de 1200 euros a un interés simple del 3,2% después de 1, 5y 10 años.

¿La cantidad acumulada entre los 5 y 10 años es el doble que la correspondiente a los 5 primeros?

Capital acumulado después de un año: C � 1200 � (1 1 � 0,032) � 1238,40 €.

Capital acumulado después de 5 años: C � 1200 � (1 5 � 0,032) � 1392 €.

Capital acumulado después de 10 años: C � 1200 � (1 10 � 0,032) � 1584 €.

Cantidad acumulada entre los 5 y 10 años: 1584 � 1392 � 192 €.

Cantidad acumulada en los 5 primeros años: 1392 � 1238,40 � 154,60 €.

Por tanto, la cantidad acumulada entre los años 5 y 10 no es el doble de la acumulada en los 5 primeros años.

Raquel ha depositado 3000 euros a un interés simple de un 4%.

Ayúdala a representar gráficamente el capital que va a ir acumulando a lo largo de 5 años.

¿Cuál es la ecuación de dicha función?

Los intereses anuales serán de �30

10000� 4

� � 120 €.

El capital final será de 3000 5 � 120 � 3600 €.

Representamos gráficamente la situación:

y � capital

x � años

y � 3000 120x

a) ¿Qué tipo de curva se obtiene al representar el capital generado por un capital inicial depositado acierto interés simple en función del tiempo transcurrido?

b) ¿Qué significado tendría el hecho de que la curva fuera una recta horizontal?

a) Una función afín. Si C0 es el capital inicial y está depositado a un interés simple del i%, la función que representa el capitalgenerado, C, con el paso del tiempo, t, viene dada por:

C � C0 �C1

0

0�0i

� t

b) Si la curva fuera una recta horizontal, entonces significaría que el capital inicial se mantiene siempre constante y no se iríanacumulando intereses. Es decir, los intereses serían nulos.

6.51

3000

1 2 3 40Años

Cap

ital

acu

mul

ado

(eur

os) 3500

5

y = 3000 + 120x

6.50

6.49

138

Año Interesesacumulados

1 120 €

2 240 €

3 360 €

4 480 €

5 600 €

Bernardo observa dos anuncios en diferentes bancos. En uno ofrecen por cada depósito de 6000 € a tresaños un interés simple anual de un 5%. En el otro ofrecen por cada depósito de 6000 euros a tres añosun interés anual del 4,25% más un ordenador valorado en 450 euros. En el supuesto de que Bernardonecesitara un ordenador, ¿en qué banco es más recomendable depositar el dinero?

En el primer banco obtiene unos intereses de 3 � �60

10000� 5

� � 900 €.

En el segundo banco obtiene unos intereses de 3 � �6000

10�04,25� � 765 euros y además le dan el ordenador valorado en 450 euros.

En el supuesto de que Bernardo necesitara un ordenador, parece más recomendable depositar el dinero en el segundobanco.

Pablo depositó 3500 euros en un banco a un interés simple anual del 6%. Al cabo de un cierto tiempocanceló el depósito y el banco le dio 230,14 euros de intereses. ¿Cuántos días tuvo Pablo abierto el de-pósito?

En un año le darían unos intereses de �3 5

10000� 6

� � 210 €.

Recordamos que el año comercial se considera de 360 días.

Con lo cual,

�326100d€

ías� � �

23x0,

d1í4as

€� ⇒ x � �

230,12410

� 360� � 394,53 días

Es decir, Pablo tuvo abierto el depósito durante 394 días.

Sandra obtuvo en bolsa unas ganancias de 4525 euros que depositó en un banco a un interés simplede un 3,5%. ¿Durante cuánto tiempo debe mantener el depósito para que el capital final alcance los5000 euros?

Cada año, los intereses serán de �452

150�0

3,5� � 158,375 euros.

Sandra quiere obtener 5000 � 4525 � 475 euros de intereses.

Deberá tener su dinero en el depósito durante: �15

487,3575

� � 3 años.

Interés compuesto

Problema resuelto

El precio de un automóvil se devalúa un 20% cada año. Si Lola se ha comprado uno que le ha costado15 000 euros, ¿cuál será su valor transcurridos 16 meses?

El capital final se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto, teniendo en cuenta que hablamos de una disminución por-centual y de un período de capitalización dado en meses.

C � 15 000 � �1 � �12

2�0100��

16

� 15 000 � 0,9816 � 10 856,97 euros

Transcurridos 16 meses, el importe del coche de Lola será de 10 856,97 euros.

6.55

6.54

6.53

6.52

139


Ejercicio resuelto

Se depositan 1000 euros en una entidad bancaria al 8% de interés compuesto anual durante 10 años.

a) ¿Cuál será el capital acumulado?

b) ¿Cuál será el interés producido?

a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.

C � 1000 � �1 �1

800��

10

� 1000 � 1,0810 � 2158,92 euros

b) El interés producido será: C � C0 � 2158,92 � 1000 � 1158,92 euros.

Calcula el capital final que se genera y los intereses producidos en los siguientes casos:

a) Se depositan 10 500 euros a un interés compuesto del 3,5% anual durante 6 años.

b) Al depositar 2500 euros a un interés compuesto del 4% anual durante cuatro años.

a) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.

C � 10 500 � �1 �130,50

��6

� 12 907,18 euros

El interés producido será: C � C0 � 12 907,18 � 10 500 � 2407,18 euros.

b) El capital acumulado o capital final que se generará se calcula a partir de la fórmula del interés compuesto.

C � 2500 � �1 �1

400��

4

� 2924,64 euros

El interés producido será: C � C0 � 2924,64 � 2500 � 424,64 euros.

Calcula el capital final que generarán 4500 euros a un interés compuesto del 4% durante 3 años si losintereses se pagan:

a) Anualmente.

b) Semestralmente.

c) Trimestralmente.

d) Mensualmente.

e) Diariamente.

a) Si el pago es anual: C � 4500 � �1 �1400��

3

� 5061,89 euros.

b) Si el pago es semestral: C � 4500 � �1 �2 �

4100��

6

� 5067,73 euros.

c) Si el pago es trimestral: C � 4500 � �1 �4 �

4100��

12

� 5070,71 euros.

d) Si el pago es mensual: C � 4500 � �1 �12 �

4100��

36

� 5072,72 euros.

e) Si el pago es diario: C � 4500 � �1 �360

4� 100��

1080

� 5073,70 euros.

6.58

6.57

6.56

140

Estudia, entre las siguientes, cuál es la opción más rentable al ingresar 600 euros en una cuenta duran-te 2 años a un interés compuesto.

a) Mensual del 0,6%

b) Semestral del 1,7%

c) Anual del 2,5%

a) C � 600 � �1 �12

0�,6100��

24

� 607,24 euros

b) C � 600 � �1 �2 �

1,1700

��4

� 620,66 euros

c) C � 600 � �1 �120,50

��2

� 630,375 euros

La opción más rentable es la del interés compuesto anual del 2,5%.

¿Es lo mismo un interés compuesto mensual del 1% que uno trimestral del 4%? Razónalo sobre un ca-pital inicial de 6000 euros.

Interés compuesto mensual del 1%: C � 6000 � �1 �12 �

1100��

12

� 6060,28 euros

Interés compuesto trimestral del 4%: C � 6000 � �1 �4 �

1100��

3

� 6045,11 euros

El capital acumulado es mayor si los intereses se abonan de forma mensual.

Supón que una determinada cantidad de dinero se deposita en un banco al mismo interés compuestodurante un año.

¿Qué resultará más beneficioso, un interés diario, mensual, trimestral, semestral o anual?

Mensual: C � C0 � �1 �12

r00��

12

Trimestral: C � C0 � �1 �40

r0

��4

Semestral: C � C0 � �1 �20

r0

��2

Comparando las bases mensuales y trimestrales: �12

r00� � �

40r0

� ⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:

�12

100� � �

4100� ⇒ �1 �

12100��

12

�1 �4100��

4

⇒ 1,010045 1,010037. Por tanto, es mejor mensual.

Comparando las bases mensuales y semestrales: �40

r0

� � �20

r0

� ⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:

�4

100� � �

2100� ⇒ �1 �

4100��

4

�1 �2100��

2

⇒ 1,010037 1,010025

Por tanto, la opción más beneficiosa es la mensual.


Problema resuelto

Clara pidió un préstamo de 3000 euros en una entidad bancaria al 3% de interés compuesto anual du-rante 6 años.

a) ¿Cuánto tendrá que devolver al banco transcurrido ese tiempo?

b) ¿Y si salda su deuda en tres años y medio?

a) Transcurridos los seis años, Clara debe haber pagado los intereses completos, es decir:

C � 3000 � �1 �1

300��

6

� 3000 � 1,036 � 3582,15 €

b) Si salda su deuda a los tres años y medio, el período de capitalización debemos tomarlo en semestres.

C � 3000 � �1 �2 �

3100��

7

� 3000 � 1,0157 � 3329,53 €

6.62

6.61

6.60

6.59

141

Cuando nació Elena, sus abuelos depositaron 1000 euros en una cuenta a un interés compuesto del 8%.¿Por cuánto se habrá multiplicado la cantidad cuando Elena cumpla 18 años?

Capital acumulado: C � 1000 � �1 �1

800��

18

� 1000 � 1,0818 � 3996,02 euros � 4000 euros

Como vemos, el dinero se ha multiplicado aproximadamente por 4, es decir, se ha cuadruplicado.

Una ciudad tiene en la actualidad una población de 5 423 384 habitantes. Si crece cada año un 1,5%,¿cuántos habitantes tendrá dentro de 10 años?

El crecimiento de habitantes seguirá la situación del interés compuesto.

Número de habitantes � 5 423 384 � (1 0,015)10 � 6 294 058,54

Un empresario pide un préstamo al 12% de interés compuesto durante 6 años. Si el capital final a de-volver asciende a 850 000 euros, ¿cuál habrá sido el capital prestado?

El capital inicial se calcula aplicando la fórmula del interés compuesto:

850 000 � C0 � �1 �11020

��6

⇒ C0 � 758 928,57 euros

Una empresa deposita 300 000 euros en una entidad bancaria al 10% de interés compuesto anual. Alcabo de cierto tiempo, retira el capital y los intereses acumulados, que son 63 000 euros. Calcula el tiem-po que ha estado el dinero en el banco.

Aplicamos la fórmula del interés compuesto:

363 000 � 300 000 � �1 �11000

��t

� 300 000 1,1t ⇒ 1,1t � �336030

000000

� � 1,21

Para resolver la ecuación resultante vamos dando valores a la variable t y así obtenemos que el dinero ha estado en el banco2 años. En efecto: 1,12 � 1,21.

Magnitudes inversamente proporcionales


Ejercicio resuelto

Comprueba que las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales. ¿Cuál es la constante deproporcionalidad?

Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales, ya que: 1 � 7,5 � 2 � 3,75 � 2,5 � 3 � 10 � 0,75 � 15 � 0,5 � 7,5.

La constante de proporcionalidad es k � 7,5.

Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes inversamente proporcionales y calcula suconstante de proporcionalidad.

a) b)

k � 330 k � 84

6.68

6.67

6.66

6.65

6.64

6.63

142

A 1 2 2,5 10 15

B 7,5 3,75 3 0,75 0,5

A 1 2 3 5

B 330 165 110 66

C 1 2 6 7

D 84 42 14 12

La constante de proporcionalidad de dos magnitudes inversamente proporcionales, A y B, es 8.

Calcula:

a) El valor de A cuando B es 2.

b) El valor de B cuando A es 16.

a) A � 2 � 8 ⇒ A � 4

b) 16 � B � 8 ⇒ B � 0,5

Estudia si las magnitudes de las siguientes tablas son inversamente proporcionales.

a) b)

a) 1 � 450 � 2 � 225 � 3 � 150 � 4 � 100 b) 120 � 2 � 60 � 4 � 30 � 8 � 15 � 16

No son inversamente proporcionales. Son inversamente proporcionales.

Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son inversamente proporcionales.

a) Número de amigos que alquilan un piso y la cantidad que debe pagar cada uno.

b) La edad de una persona en años y su peso en kilogramos.

c) La base de un triángulo de área 50 centímetros cuadrados y su altura.

d) El número de kilogramos de naranjas que se pueden comprar con 20 euros, y el precio del kilogramo.

Son inversamente proporcionales las magnitudes de los apartados a, c y d.

Reparte 762 de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 6.

Repartir de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 6 es equivalente a repartir de forma directamente proporcional a �12

�, �13

�

y �16

�.

Como además: �12

� � �36

�, �13

� � �26

� y �16

� � �16

�.

Por tanto, hay que repartir 762 de forma directamente proporcional a 3, 2 y 1.

Como 3 2 1 � 6, el reparto será:

�76

62

� � 3 � 381; �76

62

� � 2 � 254; �7662

� � 1 � 127

Reparte 5920 en partes inversamente proporcionales a �12

�, �13

� y �15

�.

Repartir 5920 en partes inversamente proporcionales a �12

�, �13

� y �15

� es equivalente a repartir 5920 en partes directamente propor-cionales a 2, 3 y 5.

Como 2 3 5 � 10, el reparto será:

�5

19020� � 2 � 1184; �

519020� � 3 � 1776; �

519020� � 5 � 2960

6.73

6.72

6.71

6.70

6.69

143

A 1 2 3 4

B 450 225 150 100

C 120 60 30 15

D 2 4 8 16


Un motorista que circula a 80 km/h de velocidad media emplea 3 horas en viajar de Madrid a Burgos.

¿Cuánto tardará un automóvil si su velocidad media es de 120 km/h?

¿Cómo son las magnitudes tiempo y velocidad?

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Las magnitudes tiempo y velocidad son inversamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad es: 80 � 3 � 240, que coincide con la distancia en km de Madrid a Burgos.

El motorista tardará: 240 : 120 � 2 horas.

Un rectángulo tiene 200 centímetros cuadrados de superficie. Calcula su altura en los casos en los quesu base mida 80, 40 ó 20 centímetros. ¿Cómo son estas magnitudes?

Para hallar la altura, h, de un rectángulo, conocidas su área y su base, se utiliza la fórmula S � b � h, donde S es la superficiede la figura, y b, su base.

para b � 80 cm, h � 2,5 cm

A � b � h ⇒ h � �Ab

� ⇒ � para b � 40 cm, h � 5 cm

para b � 20 cm, h � 10 cm

Las magnitudes son inversamente proporcionales.

En una carrera ciclista se reparte un premio de 12 600 euros entre los tres primeros corredores que lle-gan a la meta de forma inversamente proporcional al tiempo empleado en concluir la carrera: 3, 5 y 6horas, respectivamente. ¿Cómo queda establecido el reparto del premio?

Se calcula la constante de proporcionalidad.

�13

� � k �15

� � k �16

� � k � 12 600 ⇒ k � 18 000

Por tanto, cada ciclista recibirá:

Primero: �13

� � 18 000 � 6000 euros

Segundo: �15

� � 18 000 � 3600 euros

Tercero: �16

� � 18 000 � 3000 euros

En un concurso de preguntas y respuestas, se reparte un premio de 2310 euros de manera inversamen-te proporcional al tiempo que han tardado en responder correctamente los tres primeros clasificados: 5,10 y 15 minutos, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno?


�15

� � k �110� � k �

115� � k � 2310 ⇒ �

1310� � k � 2310 ⇒ k � 6300

Por tanto, cada concursante recibirá:

Primero: �15

� � 6300 � 1260 euros

Segundo: �110� � 6300 � 630 euros

Tercero: �115� � 6300 � 420 euros

6.77

6.76

6.75

6.74

144

A José le ha tocado un premio de 63 000 euros en la Lotería de Navidad y quiere repartirlo entre sushijos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 20, 25, 30 y 34 años. ¿Qué cantidad re-cibirá cada uno?


�210� � k �

215� � k �

310� � k �

314� � k ⇒ 63 000 ⇒ k � 412 451,86

Por tanto, cada hijo recibirá:

Hijo de 20 años: �210� � 424 719,10 � 21 235,96 euros




Matemáticas aplicadas


Calcula el porcentaje que hay que indicar en una fotocopiadora para conseguir los siguientes tamañosrespecto del original.

a) Dos veces y media más grande.

b) Reducido a una cuarta parte.

Expresamos la razón de semejanza en forma de porcentaje.

a) 2,5 � �21

50

00

� � 250%

b) �14

� � �12050

� � 25%

Roberto ha fotocopiado un recorte de prensa de 5 centímetros de ancho por 12 de alto. Calcula el ta-maño de la fotocopia si ha introducido los siguientes porcentajes.

a) 35% b) 140% c) 225% d) 75%

Sean x e y el ancho y el alto de la fotocopia, respectivamente. A partir de los porcentajes obtenemos las razones de semejanzay establecemos la relación de proporcionalidad entre los lados del original y los de la copia.

a) Porcentaje � 35% ⇒ r � �13050

� � 0,35

�5x

� � 0,35 ⇒ x � 1,75 cm �1y2� � 0,35 ⇒ y � 4,2 cm

b) Porcentaje � 140% ⇒ r � �11

40

00

� � 1,4

�5x

� � 1,4 ⇒ x � 7 cm �1y2� � 1,4 ⇒ y � 16,8 cm

c) Porcentaje � 225% ⇒ r � �21

20

50

� � 2,25

�5x

� � 2,25 ⇒ x � 11,25 cm �1y2� � 2,25 ⇒ y � 27 cm

d) Porcentaje � 75% ⇒ r � �17050

� � 0,75

�5x

� � 0,75 ⇒ x � 3,75 cm �1y2� � 0,75 ⇒ y � 9 cm

6.80

6.79

6.78

145

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes directamente proporcionales y calcula surazón de proporcionalidad.

a) b)

r � �116� r � 27

En todas las excursiones que realiza un determinado centro escolar, por cada alumno se pagan 1,75 eu-ros de seguro de accidentes. Si en la última excursión el importe total fue de 99,75 euros, ¿cuántos alum-nos fueron?

Como son magnitudes directamente proporcionales, tenemos que fueron: x � �919,,7755

� � 57 alumnos.

Tres amigos han compuesto las 12 canciones de un CD. Uno de ellos es el autor de 2 canciones; otro, de4, y el tercero, de las restantes. Por cada CD vendido obtendrán un beneficio de 6 euros.

¿Qué cantidad se llevará cada uno si reparten las ganancias de forma directamente proporcional al nú-mero de canciones que han compuesto?

�2x

� � �4y

� � �6z

� � �162� ⇒ x � 1 €; y � 2 €; z � 3 €

Los abuelos paternos de Ada quieren repartir 180 euros entre ella y su hermano de forma proporcionala sus edades, 8 y 12 años.

Por otra parte, sus abuelos maternos distribuirán 216 euros entre sus tres nietos, también de forma pro-porcional a sus edades, 4, 8 y 12 años.

Si Ada es la nieta de 12 años, ¿con qué reparto obtendrá más dinero? ¿Y su hermano, que es el nietode 8 años?

�8x

� � �1y2� � �

12800

� ⇒ x � 72 € al de 8 años; y � 108 € al de 12 años

�4x

� � �8y

� � �1z2� � �

22146

� ⇒ x � 36 € al de 4 años; y � 72 € al de 8 años; z � 108 € al de 12 años

En los dos casos, Ada y su hermano reciben la misma cantidad.

Se hallan, consecutivamente, el 28% y el 43% de una determinada cantidad. ¿Qué único porcentaje sepodría aplicar a dicha cantidad para obtener el mismo resultado?

0,28 � 0,43 � 0,1204

Para obtener el mismo resultado habría que aplicar un 12,04%.

Una empresa ha pedido presupuesto de una mercancía a un proveedor habitual. El precio real de la mis-ma es de 2350 euros, pero el proveedor le aplicará un 20% de margen y un 3% por su transporte.

¿A cuánto ascenderá el presupuesto?

Si finalmente la empresa acepta la oferta y lo paga al contado, el proveedor le hará un descuento del 5%.¿Cuánto pagaría finalmente la empresa por la mercancía?

¿Cuál sería el porcentaje final aplicado al precio inicial?

El presupuesto ascenderá a: 0,2 � 0,03 � 2350 � 14,1 ⇒ 2350 14,1 � 2364,10 €

Si lo pagase al contado, se quedaría en: 0,95 � 2364,1 � 2245,90 €

2350 � 2245,90 � 104,10 ⇒ �104,21305�0

100� � 4,43% de descuento fue el porcentaje final aplicado.

6.86

6.85

6.84

6.83

6.82

6.81

146

A 1 2 3 6

B 16 48 64 96

C 27 54 81 216

D 1 2 3 8

En un banco se depositan 4000 euros al 5% de interés simple anual.

a) ¿Cuánto pagará el banco al cabo de 6 años?

b) ¿Y de 9 meses?

c) ¿Y de 108 días?

a) Interés anual: 4000 � 0,05 � 200 euros


b) Interés en 9 meses: 200 � �192� � 150 euros

c) Interés en 108 días: 200 · �13

06

80

� � 60 euros

Halla en qué cantidad se incrementarían 3000 euros depositados en una cuenta corriente durante 4 añosa un interés simple anual y a un interés compuesto anual del 6%. Compara el resultado y coméntalo.

A un interés simple anual:

Interés anual: 3000 � 0,06 � 180 euros


Capital final: 3000 720 � 3720 euros

A un interés compuesto anual:

C = 3000 � �1 �1600��

4

� 3000 � 1,064 � 3787,43 euros

Es mayor el capital final si se deposita a un interés compuesto. Es lógico, ya que con esta modalidad los intereses de cada añose añaden al capital inicial para generar nuevos intereses.

Halla el tiempo que han estado ingresados 2500 euros en una cuenta si han producido unos interesesde 250 euros al 3,5% anual, en los casos de que sea un interés simple o compuesto.

Interés simple: 250 � 2500 � t � 0,035 ⇒ t � 2,86. Han estado aproximadamente 3 años.

Interés compuesto: 2750 � 2500 � (1 0,035)t ⇒ 1,035t � 1,1 ⇒ t � 2,77 años. Por tanto, aproximadamente el mismotiempo.

Reparte 12 000 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.

a) 2 y 6 b) 2, 3 y 4 c) 2, 4 y 8

a) �12

� � k �16

� � k � 12 000 ⇒ �46

� k � 12 000 ⇒ k � 18 000

�12

� � 18 000 � 9000; �16

� � 18 000 � 3000

b) �12

� � k �13

� � k �14

� � k � 12 000 ⇒ �1132� k � 12 000 ⇒ k � 11 076,92

�12

� � 11 076,92 � 5538,46 �13

� � 11 076,92 � 3692,31 �14

� � 11 076,92 � 2769,23

c) �12

� � k �14

� � k �18

� � k � 12 000 ⇒ �78

� k � 12 000 ⇒ k � 13 714,29

�12

� � 13 714,29 � 6857,15 �14

� � 13 714,29 � 3428,58 �18

� � 13 714,29 � 1714,29

6.90

6.89

6.88

6.87

147

En un concurso de pintura rápida se va a repartir la cantidad de 6000 euros entre los tres primeros cla-sificados de manera inversamente proporcional a su lugar en la clasificación.

Calcula la cantidad que se llevará cada uno de ellos.

k �12

� � k �13

� � k � 6000 ⇒ �161� k � 6000 ⇒ k � 3272,73

El primer clasificado se lleva 3272,73 €. El segundo: �12

� � 3272,73 � 1636,37 €

Un arquitecto dibuja el plano de una casa a escala 1:45.

¿En qué porcentaje se han reducido las medidas reales de la casa para trazar el plano?

�415� � �

21,0202

� ⇒ En el 2,22%

P A R A R E F O R Z A R

Completa las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales y calcula la razón de pro-porcionalidad.

a)

r � �1120,05

�

b)

r � �115�

Reparte 22 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.

a) 4 y 6 b) 12 y 18 c) 5, 10 y 20

a) �4x

� � �6y

� � �22

10000� ⇒ x � 8800; y � 13 200

b) �1x2� � �

1y8� � �

2230000� ⇒ x � 8800; y � 13 200

c) �5x

� � �1y0� � �

2z0� � �

2230500� ⇒ x � 3142,86; y � 6285,71; z � 12 571,43

En un videoclub se han alquilado 65 películas durante el primer fin de semana de julio, de las cuales 27fueron comedias.

En el primer fin de semana de agosto se alquilaron 18 comedias de un total de 52 películas.

¿En cuál de los dos fines de semana fue mayor el porcentaje de comedias alquiladas?

�2675� � 41,54% �

1582� � 34,62%

En el primer fin de semana de julio, el porcentaje de comedias alquiladas fue mayor.

El presupuesto de una cocina es de 7200 euros a los que hay que añadir el 16% de IVA. Los clientes de-ben pagar un 40% del importe total en el momento de hacer el encargo. ¿Qué cantidad han de pagaral final?

7200 � 1,16 � 8352 € será el precio de la factura.

Como hay que pagar el 40% antes de empezar el trabajo, al terminar se pagará el 60%.

0,6 � 8352 � 5011,2 € habrá que pagar entonces.

6.96

6.95

6.94

6.93

6.92

6.91

148

Peso de las almendras (g) 100 300 400 800

Precio (€) 12,5 37,5 50 100

Gasolina consumida (L) 40 20 12 1

Distancia recorrida (km) 600 300 180 15

Al solicitar un préstamo de 12 000 euros para comprar un coche, Lucía ha estudiado estas tres opciones.

a) El banco le ofrece un interés simple anual del 3,2%.

b) El concesionario le presenta un interés compuesto semestral del 1,5%.

c) Una empresa de dinero fácil le garantiza un interés compuesto del 2,6% anual.

Si en los tres casos saldara su deuda en 4 años, ¿qué opción sería más conveniente para Lucía?

a) C � 12 000 � (1 4 � 0,032) � 13 536

b) C � 12 000 � �1 �210,50

��8

� 12 739,19

c) C � 12 000 � �1 �120,60

��4

� 13 297,52

La más conveniente es la que le ofrece el banco.

Estudia si son inversamente proporcionales las magnitudes A y B dadas en las siguientes tablas.

a)

b)

a) 1 � 84 � 2 � 42 � 4 � 21 � 8 � 10,5. Son inversamente proporcionales.

b) 1 � 180 � 3 � 60 � 6 � 30 � 9 � 20. Son inversamente proporcionales.

Reparte 8500 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.

a) 1 y 2 c) 1, 4 y 8

b) 3 y 6 d) 2, 4 y 6

a) k �12

� � k � 8500 ⇒ �32

� k � 8500 c) k �14

� � k �18

� � k � 8500 ⇒ �181� k � 8500

k � 5666,67 k � 6181,82

�12

� � 5666,67 � 2833,33 �14

� � 6181,82 � 1545,46

�18

� � 6181,82 � 772,73

b) �13

� k �16

� � k � 8500 ⇒ �36

� k � 8500 d) �12

� � k �14

� � k �16

� � k � 8500 ⇒ �1112� k � 8500

k � 17 000 k � 9272,73

�13

� � 17 000 � 5666,67 �12

� � 9272,73 � 4636,37

�16

� � 17 000 � 2833,33 �14

� � 9272,73 � 2318,18

�16

� � 9272,73 � 1545,46

6.99

6.98

6.97

149

A 1 2 4 8

B 84 42 21 10,5

A 1 3 6 9

B 180 60 30 20

P A R A A M P L I A R

Completa las tablas conociendo la razón de proporcionalidad de las magnitudes relacionadas.

a) r � 0,375

b) r � 2,5

¿Qué porcentaje hay que aplicar al 65% de 3140 para obtener 551,07?

0,65 � 3140 � 2041

�10

x0

� � 2041 � 551,07 ⇒ x � 27%

Después de 450 días a un interés compuesto del 6,2% anual, la cantidad que figura en una cartilla deahorros es de 2698,57 euros.

a) ¿Cuál ha sido el capital inicial?

b) ¿Qué interés hubiera sido necesario, durante el mismo tiempo, para que al final hubiera 3000 euros?

c) Si se quisiera duplicar los 2698,57 euros en la mitad de tiempo a partir de ahora, ¿qué interés de-bería ofrecer el banco?

a) 2698,57 � C0 � �1 �36

60,200��

450

⇒ C0 � �2619,088,517

� � 2496,36 €

b) 3000 � 2496,36 � �1 �36 0

i00��

450

⇒ �1 �36 0

i00��

450

� 1,201749 ⇒ 1 �36 0

i00� � 1,00040848 ⇒

⇒ �36 0

i00� � 0,00040848 ⇒ i � 14,71%

c) 5397,14 � 2698,57 � �1 �36 0

i00��

225

⇒ �1 �36 0

i00�� 225 � 2 ⇒ 1 �

36 0i00� � 1,003085404 ⇒

⇒ �36 0

i00� � 0,003085404 ⇒ i � 111,07%

El 40% del 70% de x es 600,6. Halla x.

0,4 � 0,7 � x � 600,6 ⇒ x � 2145

Calcula el tiempo por el que se ha contratado una oferta bancaria si por depositar 5000 euros se hanobtenido unos intereses de 624,32 euros al 4% de interés compuesto.

5000 � �1 �1

400��

t

� 5000 � 624,32 ⇒ �1 �1400��

t

� �624,3

52000

5000� ⇒ �1 �

1400��

t

� 1,125 ⇒

⇒ 1,04t � 1,125 ⇒ t � 3 años

6.104

6.103

6.102

6.101

6.100

150

x 3 �1x8� � 0,375 ⇒ x � 6,75

y �3y

� � 0,375 ⇒ y � 8 18

x �6x

� � 2,5 ⇒ x � 15 25

y 6 �2y5� � 2,5 ⇒ y � 10

Con el fin de obtener dinero para el viaje de fin de curso, 5 amigos deben montar unas cajas de re-galos. Han tardado 4 horas en hacer 50 cajas.

Como deben montar 300 cajas y solo disponen de dos horas más, ¿cuántos compañeros más deben par-ticipar para conseguir el objetivo?

5 amigos —————— 4 h —————— 50 cajas

x amigos —————— 6 h —————— 300 cajas

�5x

� � �46

� � �35000

� ⇒ x � 20 amigos deben participar en total. Por tanto, 15 compañeros más.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Reparto de escaños

Para repartir los escaños entre los partidos políticos que se presentan a unas elecciones, algunos paí-ses utilizan el sistema proporcional puro. Este método consiste en realizar un reparto proporcional alnúmero de votos obtenidos y, en un principio, adjudicar a cada partido tantos escaños como indiquela parte entera del número obtenido en el reparto.

Si después de este reparto quedaran escaños por asignar, estos se irán adjudicando, hasta agotarse, aaquellos partidos con mayor parte decimal en el reparto inicial.

Observa los resultados de las últimas elecciones y reparte 32 escaños entre los cuatro partidos.

� �987

2390� � 30 856

410 802 399 951 135 541 41 098��

32

6.106

6.105

151

Partido político Votos

A 410 802

B 399 951

C 135 541

D 41 098

Partido NúmeroNúmero de escaños

político de votos Reparto proporcional 1.ª Repartoaproximación definitivo

A 410 802 �43100885062

� � 13,31 13 13

B 399 951 �33909895561

� � 12,96 12 12 1 � 13

C 135 541 �13305855461

� � 4,39 4 4 1 � 5

D 41 098 �4310

089586

� � 1,33 1 1

30 32

El premio a una carrera

En una carrera se ofrece un premio de 680 euros para repartir entre los tres primeros clasificados.

El comité organizativo ha aprobado los siguientes criterios.

• El primer clasificado debe recibir más dinero que el segundo, y éste, más que el tercero.

• Cuantas más horas semanales de entrenamiento certificadas por el inspector de la carrera, mayor pre-mio se debe recibir.

Observa el resultado de la prueba.

Finalmente, se decide que la cantidad a recibir sea directamente proporcional al cociente entre las ho-ras de entrenamiento y el puesto conseguido. Calcula cuánto dinero obtendrá cada corredor y com-prueba si se han cumplido los criterios iniciales aprobados por el comité.

La tabla siguiente muestra el resultado de la prueba:

Se trata de un reparto proporcional a �42

� � 2 �21

� � 2 y �53

�

Los corredores A y B reciben cada uno � 2 � 240 euros.

El C recibe � �53

� � 200 euros.

Por tanto, el reparto ha quedado del siguiente modo:

Observamos que no se cumple ninguno de los criterios iniciales aprobados por el comité, ya que:

• El primer clasificado no recibe más dinero que el segundo.

• El corredor que ha recibido menor premio es el que tenía más horas de entrenamiento certificadas.

680��2 2 �

53

�

680��2 2 �

53

�

6.107

152

Corredor Puesto Entrenamiento

A 2.º 4 horas

B 1.º 2 horas

C 3.º 5 horas

Corredor Puesto Entrenamiento Premio

A 2.º 4 horas 240 €

B 1.º 2 horas 240 €

C 3.º 5 horas 200 €

“Yo tengo 2horas semanales

certificadas.”

“Pues yotengo 5.”

“Yo tengo4 horas.”

A U T O E V A L U A C I Ó N

Calcula la constante de proporcionalidad y completa la tabla correspondiente a dos magnitudes direc-tamente proporcionales.

k � �650� � �

112�

Indica si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales, y calcula la constante deproporcionalidad.

a) b)

a) Son directamente proporcionales porque: �6138� � �

4122� � �

261� ⇒ k � 3,5.

b) Son inversamente proporcionales porque: 160 � 16 � 40 � 64 � 20 � 128 ⇒ k � 2560.

Calcula x en los siguientes casos.

a) x es el 8% del 17% de 3300.

b) El 64% de x es 140,80.

c) El x% de 1600 es 576.

a) x � 0,08 � 0,17 � 3300 � 44,88

b) x � �140,8

604� 100� � 220

c) x � �57

166�01000

� � 36%

Halla el importe del alquiler mensual de una vivienda por la que se pagaban 640 euros sabiendo quedesde principios del año actual ha subido un 12%.

Actualmente se paga: 640 � 1,12 � 716,80 €.

¿Cuánto costará una lavadora de 425 euros que, por ser la de exposición, se encuentra rebajada un 18%?

Después del descuento cuesta: 425 � 0,82 � 348,50 €.

Un empresario decide repartir unos beneficios de 4800 euros entre sus tres empleados de forma direc-tamente proporcional al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 2, 6 y 12 años.

¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?

�2x

� � �6y

� � �1z2� � �

482

00

0� ⇒ x � 480 € para el que lleva 2 años en la empresa.

y � 1440 € para el que lleva 6 años.

z � 2880 € para el más antiguo.

En un concurso de poesía se van a repartir 3300 euros entre los tres participantes con mejor puntua-ción. El reparto será de manera inversamente proporcional al lugar que ocupen en la clasificación.

Calcula la cantidad que recibirá cada uno de ellos.

k �12

� � k �13

� � k � 3300 ⇒ �161� k � 3300 ⇒ k � 1800 euros

El primer clasificado se lleva 1800 €.

El segundo: �12

� � 1800 � 900 €

El tercero: �13

� � 1800 � 600 €

6.A7

6.A6

6.A5

6.A4

6.A3

6.A2

6.A1

153

A 1 2 5 6

B 12 24 60 72

A 63 42

B 18 12

C 160 40

D 16 64

Leo ha prestado 15 000 euros a un amigo, el cual se los devolverá en 16 meses con un interés simpledel 0,3% anual. Halla la cantidad total que recibirá Leo.

C � 15 000 � �1 16 � �112� � �

100,30

�� 15 060 € recibirá Leo.

Calcula el interés que producen 2800 euros a un interés compuesto del 1,6% durante 5 años.

C � 2800 � �1 �110,60

��5

� 3031,28 €

i � 3031,28 � 2800 � 231,28 € de interés

Entretenido

E L J U E G O D E L O S Q U I N C E

En su libro Aventuras matemáticas, Guzmán saca mucho partido a este juego, que causó furor a finales delsiglo XIX.

Tú mismo puedes fabricar uno:

1. Pinta una cuadrícula de 4 x 4.

2. Recorta 15 fichas de cartón un poco más pequeñas que las cuadrículas y escribe en ellas los números del1 al 15.

3. Colócalas en la cuadrícula igual que en la figura A.

El juego consiste en deslizar las piezas sin levantarlas, aprovechando el hueco, para conseguir colocar losnúmeros como en la figura B.

El creador del juego ofreció una enorme suma de dinero al primero que le presentase una solución. ¿Lo con-sigues tú?

Miguel de Guzmán, en su libro Aventuras matemáticas, saca mucho partido a este juego, al que dedica un capítulo completo.

Si los alumnos se han fabricado un juego de los 15, después de un rato largo jugando puede que empiecen a sospechar que el inventordel juego tenía asegurado su dinero: no se puede conseguir el objetivo propuesto.

Una forma más sencilla de abordar este problema es reduciendo la dificultad del tablero.

Si en lugar de trabajar con una cuadrícula de 4 � 4 lo hacemos con una de 2 � 2 (de la que surgirá el juego de los 3), comprobaremos quees imposible llevar a cabo la tarea propuesta.

231

231

6.A9

6.A8

154

Haciendo todos los movimientos posibles hasta llegar a terminar con el cuadro vacío en la parte inferior derecha, vemos que de la posi-ción de partida se puede llegar a:

O bien a:

Pero nunca a ninguna de estas otras tres opciones:

231

23 1 2 3

1

231

23

1

155

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA - … · Reparte 60000 de forma directamente proporcional a los...

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