6 introducción a la estadística

Taller de estadística Básica

Que el participante adquiera los conocimientos básicos del uso de algunas herramientas estadísticas.Que el participante adquiera la habilidad para recolección de datos para usos estadísticos.Que el participante adquiera la habilidad de interpretar algunos gráficos resultado del uso de las herramientas estadísticas.

Introducción

1.0 Definición de estadística

1.1 Variable

1.2 Tipos de variables.

2.0 Población

2.1 Muestra

3.0 Toma de datos

3.1 Frecuencia (concepto)

3.2 Histograma de frecuencias

FRANCISCO MENDEZ

OPERADORES 1 Y 2 8 hrs.

Curso:

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Contenido temático:

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Dirigido a: Duración:

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 A.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 A.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el año 594 A.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.

HISTORIAINTRODUCCION

Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres).

Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

HISTORIA

Estadística descriptivaEstadística descriptiva

Recoger, clasificar, representar y resumir datos

Definición:Definición: La Estadística es el conjunto de métodos

necesarios para recoger, clasificar, representar y resumir datos, así como para

hacer inferencias (extraer consecuencias) científicas a partir de ellos.

(recoger, clasificar, representar y resumir datos)

QUE ES ESTADÍSTICA

La EstadísticaLa Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de establecer leyes generales a partir de los datos correspondientes a muestras mediante la aplicación del calculo de probabilidades

Estadística descriptiva. Población y muestra

VARIABLE

Es un símbolo X, Y, x, y que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto de valores, denominado dominio. Una variable puede ser:

-continua: puede tomar cualquier valor real entre dos valores reales dados ;

-discreta: solo puede tomar determinados valores.

El resultado de todo proceso aleatorio es una variable aleatoria.

TIPOS DE VARIABLE

Ejemplos:Longitud, distancia entre dos puntos, resistencia, peso de una pieza, cantidad de determinada sustancia.

Cuantitativas

Cualitativas o por Atributos

VARIABLES

Variable Cuantitativa: Cuantifica un elemento de una población.

Tiene sentido, sumar, obtener promedios, operar datos que provienen de este tipo de variable. En la producción las variables continuas son de este tipo.

Ejemplos:Ejemplos:

Defectuoso o no. Es un si o no.

Tipo de defecto. Puede ser: Manchado, rasgado, cinta adherible infuncional, mal cortado,etc.

Tipo de defecto en determinado orden: crítico, mayor, menor.

Variable Cualitativa o por atributos:Variable Cualitativa o por atributos:

Clasifica o describe a los elementos de una población. No tiene sentido operar datos que provienen de este tipo de variable. Es un error asignarles números y tratarlas como variables cuantitativas, esto es, darles valores para obtener promedios, desviaciones estándares, etc.

Se clasifican en tres:

Binarias

Nominales

Ordinales

POBLACION

En un conjunto de datos referentes a determinadas características de un grupo de individuos u objetos, tales como la edad y sexo de los estudiantes de una universidad, o el numero de pañales defectuosos y no defectuosos producidos por una fabrica en un día determinado, a veces resulta imposible o nada practico observar el total de los individuos, especialmente si son muy numerosos. Este inconveniente se soluciona tomando una muestra representativa de la población.

Población es el conjunto de todos los individuos u objetos en estudio. En este caso la población esta formada por el total de los estudiantes y el total de los pañales respectivamente

MUESTRAEs una pequeña parte de la población en estudio

FRECUENCIAEs el numero de veces que ocurrió un valor. Agrupación de datos por su frecuencia:

1) Se ordenan los datos en orden creciente.

2) Se lee la demanda semana por semana.

Observemos la sig. Tabla, veremos que el menor de los valores obtenidos es 59 y el mayor es 97. De esta observación surge el concepto de rango.

Rango: es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores obtenidos. Para nuestro ejemplo el rango es:

97 – 59 = 38

DEMANDAFREC.

ABSOLUTA DEMANDAFREC.

ABSOLUTA59 / 1 78 /// 360 // 2 79 / 161 / 1 80 062 /// 3 81 / 163 / 1 82 // 264 0 83 065 / 1 84 066 0 85 / 167 / 1 86 068 / 1 87 / 169 / 1 88 /// 370 0 89 / 171 / 1 90 / 172 / 1 91 073 /// 3 92 074 // 2 93 / 175 ///// 4 94 / 176 /// 3 95 // 277 / 1 96 0

97 // 2

48Frecuencia total = Zfa =

AGRUPACION DE DATOS POR SU FRECUENCIA

Los valores obtenidos pueden llevarse en un grafico que se denomina histograma de frecuencias

Histograma de frecuencias

absolutas

5

4

3

2

1

Valores de demanda

70 80 9060

Lo mas seguro es que usted responda que “no” a estas dos preguntas, tal vez el tirador acertó por mera casualidad y ese solo tiro no indicaría que acertaría al blanco a un grupo de tiros realizados en una hora. Lo mismo sucede con el peso del pañal, el solo hecho que el pañal tomado una sola vez del stacker pesara 36.7 grms, no indica que todos los pañales pesarán 36.7 grms durante un minuto o una hora ni mucho menos durante todo un turno.

Histogramas de frecuenciaAntes de que hablemos de los histogramas de frecuencia vamos a tocar el tema de la variación.

Suponga que usted y un amigo van a tirar al blanco. Su amigo carga el rifle, apunta, dispara y da al blanco. ¿Llegaría usted a la conclusión, con base en ese solo tiro, de que su amigo es un excelente tirador, tal vez como participar en la Olimpiada? ¿o pediría usted ver algunos tiros más?

Suponga que un operador tomará del stacker un pañal y lo pesara, y que este pesara 36.7 grms usted podría afirmar que con solo esa toma de peso todos los pañales en un solo turno tendrán ese peso?.

1º

El primer ejemplo del tirador es un ejemplo sacado de la vida cotidiana, pero el segundo ya es un ejemplo de la producción diaria en una empresa pañalera, en los dos nos dan una pauta para pensar que se necesitan varias acciones de tiro (ejemplo del tirador), o varias tomas de peso para el caso de los pañales para saber que tan consistente es el ´´tirador´´ o que tan consistente es el proceso en el caso de los pañales.

Histogramas de frecuencia

La variación es natural. Se encuentra en muchos, si no en todos, los procesos. A veces al mejor tirador se le escapa un tiro, hasta la más sofisticada máquina podría tener variaciones importantes a la hora de fabricar varias piezas.

Distancia entre los agujeros de remache de las balatas (mm)

55,5 55,6 55,7 55,8

10

15

56,3 56,4

0

5

55,9 56 56,1 56,2

Frec

uenc

ia

Histograma de frecuencia para agujeros de remache en balata

El histograma de frecuencia es una herramienta que ayuda a seguir con atención las variaciones. El histograma de frecuencias es una “instantánea” de un proceso que muestra la dispersión de las lecturas y qué cada cantidad hay de cada lectura.

En la figura 1 que es un histograma de frecuencia, el margen inferior de la grafica, llamado escala horizontal, registra las distancias entre los centros de dos agujeros de remache en treinta minutos de producción de balatas. Nótese que las medidas están ordenadas de izquierda a derecha. En este ejemplo, cada medición en realidad representa un grupo o tipo de medidas: 55.6 representa todas las medidas o lecturas desde 55.55 hasta 55.64 milímetros; 55.7 representa medidas desde 55.65 hasta 55.74 milímetros y así sucesivamente.

La escala vertical en el margen izquierdo registra la frecuencia con que se presenta cada medición. Como se puede ver no hay medidas en la categoría de 55.5 mm. (55.45 a 55.54): hay 3 de 55.6-mm (55.55 a 55.64): ocho de 55.7-mm (55.65 a 55.74); y asi sucesivamente.


Aún así, los histogramas de frecuencia no dicen todo sobre la variación. Por ejemplo, el histograma en la Figura 1, no dice si las variaciones fueron causadas por una sola máquina o por varias. Tampoco indica relaciones de tiempo. Es decir, no es posible indicar, en base a la Figura 1, si la primera balata medida fue en la categoría de 56.2-mm, la siguiente en la categoría de 56.1 -mm, y así sucesivamente hasta la categoría de 55.6-mm, lo cual indicaría que la máquina estaba reduciendo los espacios. ¿Sería posible que la máquina aumentara, en lugar de reducir los espacios? ¿Estaba mal programada? El histograma de frecuencia no proporciona información en función del tiempo.

17

Histogramas de frecuenciaLa figura 1 dice mucho a cerca de la variación. Las medidas varían desde aproximadamente 55.6 mm para la distancia mas corta entre los agujeros de remache hasta cerca de 56.2 mm para la mas larga. La distancia mas frecuente es de 55.9 mm la medida del centro, o promedio es más o menos de 55.9 mm. Este histograma de frecuencia dice todo esto de manera rápida y fácil, sin fórmulas o tablas.

Antes de comentar lo que pueden o no hacer los histogramas de frecuencia, a continuación se verá cómo desarrollar uno.

Paso 1. Reunir las lecturas.Con un poco de suerte, las lecturas estarán en los reportes de inspección.

De no ser así, tal vez sea necesario compilarlas de varios lugares. Dividir las lecturas en dos grupos más pequeños para poder manejarlos con facilidad.

Una compañía fabrica motores eléctricos pequeños. Del centro de¡ motor sale la flecha de¡ rotor, que es la parte que conduce la potencia. La flecha debe tener un cierto juego longitudinal; es decir, debe poder moverse libremente hacia atrás y hacia adelante. Si no hubiera juego, el motor se quemará y un motor con demasiado juego no funcionará.

Un operario ha tomado 50 lecturas para ver si los motores cumplen con la especificación (Ver tabla 1).

Como se mencionó, puede medirse la variación en un producto o proceso. La Tabla 1 contiene una lista de mediciones que muestran las variaciones en el juego. Considerar que cada una de las cinco columnas de la tabla corresponden a un grupo de datos. En cada grupo hay solamente diez lecturas, así que será fácil trabajar con ellos.

COMO FORMAR UN HISTOGRAMA DE FRECUENCIA. En esta sección se seguirá paso a paso la formación de un histograma de frecuencia. Cada paso se describirá con detalle y se ilustrará con un ejemplo.


TABLA 1

32 44 44 42 57

26 51 23 33 27

42 46 43 45 44

53 37 25 38 44

36 40 36 48 55

47 40 58 45 38

32 39 43 31 45

41 37 31 39 33

20 50 33 50 51

28 51 40 52 43

Juego axial de la flecha (.001 pulgadas)

TABLA 2

Juego axial de la flecha.Las lecturas mayores y menores estaán marcadas en cada columna

32 44 44 42 57

26 51 23 33 27

42 46 43 45 44

53 37 25 38 44

36 40 36 48 55

47 40 58 45 38

32 39 43 31 45

41 37 31 39 33

20 50 33 50 51

28 51 40 52 43

En la tabla 2 se ha dibujado un círculo alrededor de la lectura mayor de cada columna y un cuadrado en la más pequeña. Después se revisó cada columna.

Paso 2. Encontrar y marcar la lectura más alta y la más pequeña de cada grupo. Encerrar en un círculo las lecturas más altas y en un cuadrado las más pequeñas.

Revisar el trabajo.


TABLA 3

Juego axial de la flecha.se marcaron las lecturas más alta y mas baja de toda la serie.

32 44 44 42 57

26 51 23 33 27

42 46 43 45 44

53 37 25 38 44

36 40 36 48 55

47 40 58 45 38

32 39 43 31 45

41 37 31 39 33

20 50 33 50 51

28 51 40 52 43

Paso 3. Encontrar la lectura mayor y la menor de toda la serie. Encerrar en un doble circulo la lectura mayor, y en un doble cuadrado la menor. Revisar el rango

En el paso 2 se trabajo con grupos pequeños de lecturas, y fue fácil encontrar las mayores y las menores de cada grupo. Ahora en el paso 3, observar únicamente los números encerrados en círculos o cuadrados de la tabla 3, el numero 58 es la lectura más alta de todos los encerrados en el circulo. Dibuje otro circulo. El numero 20 es la lectura más pequeña de las puestas dentro de cuadrados. Dibujar otro cuadro. Revisar el trabajo y asegurarse de haberlo hecho correctamente.

Tal vez se piense que este procedimiento toma demasiados detalles, pero es necesario tener dos cosas en mente, en primer lugar, este libro se escribió pensando que usted esta aprendiendo esta técnica por vez primera. Una vez que la haya aprendido y practicado, usted podrá avanzar rápidamente. En segundo lugar, estamos proporcionándole detalles que le facilitaran el uso de la técnica y le evitaran cometer errores. El dividir esta serie de lecturas en grupos mas pequeños simplifica encontrar las cifras mayores y menor de cada grupo. Entonces es mas fácil localizar el numero mas alto y el mas pequeño de todos, debido a que usted dividió las medidas en grupos mas pequeños, podrá revisar con mayor facilidad el trabajo y reducir la probabilidad de errores.


TABLA 4

Guia para determinar el numero de intervalos

Numero de lecturas Numero de intervalos

menos de 50 5 to 7

50 to 100 6 to 10

101 to 150 7 to 12

mas de 150 10 to 12

Paso 4 calcular el rango de las medidas. Restar el numero mas pequeño del mas alto. El numero más alto es 58 y el mas pequeño es 20, por lo tanto el rango es de 38.

El mas grande menos el mas pequeño equivale al rango.58 – 20 = 38

Paso 5 determinar los intervalos (también conocidas como intervalos de clase) del histograma de frecuencia.

De los pasos anteriores ya se conoce que las medidas cubren un intervalo desde 20 hasta 58. Ahora se divide este intervalo en una serie de intervalos mas pequeños de la misma amplitud. Una regla practica es usar alrededor de diez intervalos, pero esta cantidad no siempre funciona. Véase la tabla 4

Es importante saber elegir la cantidad correcta de intervalos para el numero de lecturas. Si los intervalos son pocos, tal vez ocultaran información valiosa. Si los intervalos son demasiados, probablemente conformen un histograma tan plano que se pueda omitir algo importante. Es necesaria esa habilidad para elegir el numero correcto de intervalos para mostrar la información necesaria en el histograma. Esta habilidad se adquiere la practica.

Trataremos con ocho intervalos de clase para nuestros datos, ya que la tabla 4 recomienda de 6 a 10 intervalos para 50 lecturas.


Los limites resuelven este problema. Se deben establecer limites entre los intervalos y estos deben determinarse de tal manera que ninguna lectura quede exactamente sobre ellos. La manera fácil de hacerlo es sumar o restar una decimal de cada limite externo, ya que los datos de la tabla 3 no tienen decimales. Restar 0.5 a cada intervalo. Esto cambiara el limite de 20 a 19.5, de 25 es 24.5 y así sucesivamente. En este caso se resto, pero igualmente se podría haber sumado 0.5 al punto extremo de los intervalos.


Puesto que la lectura mas pequeña es 20, es lógico que el primer intervalo vaya desde 20 hasta 25, el segundo del 25 al 30 y así sucesivamente debido a la decisión de hacer los intervalos de 5.0 unidades de ancho. Pero si hubiera una lectura exactamente de 25. Habría que decir si dicha lectura se anota en el primer intervalo (20 a 25), o en el segundo (25 a 30).

Paso 6 determinar intervalos, limites y puntos medios.Primero, dividir el rango de los datos entre el numero de intervalos

deseado. Redondear este resultado, si es conveniente. Esto indicara la amplitud de cada intervalo.

El rango de la serie de 50 observaciones es de 38 al dividirlo entre 8 (el numero de intervalos), el resultado será 4.75.

388 – 4.75

Si se redondea 4.75 a 5.0 mas fácil para trabajar, se podrán agrupar los datos en ocho intervalos, de 5.0 unidades de ancho cada uno.

Después, se establecen los limites para cada intervalo. Cada lectura debe quedar entre dos limites para cada intervalo. Cada lectura debe quedar entre dos limites, por las razones que a continuación comentaremos

TABLA 5

PUNTOS MEDIOS INTERVALOS LIMITES

22 20-24 19.5-24.5

27 25-29 24.5-29.5

32 30-34 29.5-34.5

37 35-39 34.5-39.5

42 40-44 39.5-44.5

47 45-49 44.5-49.5

52 50-54 49.5-54.5

57 55-59 54.5-59.5

Puntos medios, intervalos y limites para las tolerancias del juego axial de la flecha

Ahora, ninguna lectura puede quedar sobre un limite, resolviendo así el problema. El primer intervalo va desde 19.5 hasta 24.5 el segundo de 24.5 a 29.5 y así sucesivamente. La tabla 5 tiene ocho intervalos de 5.0 unidades de amplitud cada uno.

Por ultimo, se debe establecer un punto medio en el centro de cada intervalo. (Es perfectamente aceptable redondear la cifra.) El primer intervalo va de 19.5 a 24.5 con una amplitud de 5.0 unidades. La mitad de dicha amplitud es 2.5, sumar 2.5 al limite inferior. El resultado es 22 que es el punto medio del primer intervalo. Establecer todos los puntos sucesivamente, como se muestra en la tabla 5


TABLA 6

PUNTO MEDIO INTERVALO LIMITES MARCA VERIFICACION FRECUENCIA

DE MARCAS

22 20-24 19,5-24,5 // // 2

27 25-29 24.5-29.5 //// //// 4

32 30-34 29.5-34.5 //// // //// // 7

37 35-39 34.5-39.5 //// /// //// /// 8

42 40-44 39.5-44.5 //// //// /// //// //// /// 13

47 45-49 44.5-49.5 //// / //// / 6

52 50-54 49.5-54.5 //// // //// // 757 55-59 54.5-59.5 /// /// 3

50

Marcas y frecuencia de lecturas en cada intervalo

Paso 7 determinar las frecuencias.Anotar una marca en cada intervalo de clase. Después de revisar las marcas, sumarlas y listar los

totales bajo el titulo de “frecuencias”. Como una revisión final, hay que sumar todas las cifras de la columna titulada “ frecuencia”. Este gran total deberá coincidir con el numero total de lecturas.

Usando la estructura de la tabla 5 registrar un numero de la tabla 3 y poner una marca a un lado del intervalo en donde corresponda dicho numero. El primer numero de tabla 3 es el 32 así que que se debe poner a marca a un lado del intervalo “29.5 a 34.5”. (ver la tabla 6).

Al observar la tabla 6 completa se notara que hay dos marcas en el intervalo de 19.5 a 24.5. En el tercer intervalo de 29.5 a 34.5, se hicieron cuatro marcas así //// y las atravesamos con una línea horizontal, de esta manera ////. Después añadimos dos marcas, y reduce el margen de error.

Una vez hechas todas estas marca, hay que revisarlas repitiendo la operación. Después se totalizan las marcas para cada intervalo en la columna de frecuencia.

Existen dos maneras de revisar las marcas. Primero contándolas, así como las marcas de la revisión para asegurarse de que los resultados coinciden. Después se anotan las entradas en la columna de “frecuencias”. La suma es de 50 que representa el total de las lecturas de la tabla 3

Figura 2

Tolerancia (.001pulgada).

14

2

4

6

8

10

22 27 32

12

57 62

0

37 42 47 5217

Fre

cuencia

Histograma de frecuencia para tolerancia de flecha

Paso 8. Preparación del histograma de frecuencia.

Deben observarse 2 objetivos principales al preparar un histograma de frecuencia:

•Decir lo que dicen los datos, ni mas ni menos.•Ser claros y fácil de leer.

Para trazar el histograma de frecuencia se debe:

•Marcar la escala vertical y darle un titulo.•Marcar la escalo horizontal y darle un titulo to.•Dar un titulo al histograma.

•La figura 2 muestra las marcas en la forma de un Histograma de frecuencia.

•La escala vertical tiene el titulo de “frecuencia”, y la escala horizontal el de “Tolerancia de la flecha”. Los intervalos se identifican por sus puntos medios.(el intervalo de 19.5 – 24.5 tiene el numero 22, y así sucesivamente.) La barra para el punto medio22 tiene una altura de dos unidades, para el punto medio 27 tiene 4 unidades, y así sucesivamente. Cada barra tiene una anchura de 5 unidades: la primera vez desde 19.5 a 24.5 la segunda de 24.5 a 29.5 y asi sucesivamente. Por ultimo, el titulo en la esquina superior izquierda “Histograma de frecuencia para tolerancia de la flecha” Es el que indica al histograma.

¿el histograma dice lo mismo que la información? Veamos primero, tenemos ocho barras en el histograma. La tabla 4 recomienda de 6 a 10 intervalos para una serie de 50 lecturas, por lo tanto, 8 intervalos son convenientes. De acuerdo con lo que sabemos, no hay nada insólito en la información que no se muestren en el histograma, por lo tanto consideramos que este histograma refleja la historia de la información.

Histograma de frecuencia para juego axial de la flecha

1º


Figura 4

Salarios ($ 1000).

10 20 35 65 95

0

20

10

Fre

cuencia

Figura 3

Distancia de embarque (millas).

120

0

40 8010 20

8

10

2

4

6

Fre

cuencia

¿El histograma es claro y fácil de leer? Se puede hacer mas atractivo a la vista de varias formas, como las que hicimos aquí: pegando papel para graficas sobre un fondo blanco y escribiendo en el fondo; las frecuencias y los puntos medios son fáciles de leer; que el histograma no sea demasiado alto, ni demasiado angosto. Especialmente, que sea lo mas sencillo posible. No se debe de incluir información adicional ni súper imponer otro histograma sobre este.

ALGUNAS PRECAUCINES. Al preparar un histograma de frecuencia se deben cuidar varios puntos, de tal manera que el histograma sea una imagen de la información que representa. La siguiente guía ayudara a lograrlo: 1. Usar intervalos del mismo ancho. Los intervalos de anchuras distintas tienden a ser confusos. La figura 3 es deficiente por que el lector puede pasar por alto que el hecho de que las distancias de embarque no aumentan de 10 en 10 unidades entre intervalos. La figura 4 es tan deficiente como la anterior,¿qué intervalo tiene mas lecturas, el del punto medio 35- o el del punto medio 65- ? ¿ cual es mas grande, el del punto medio 10- o el 95-?. El lector no obtendrá la información que esperaba

Intervalos de achura desigual

Intervalos de achura desigual

Figura 6

Recibos ($)

5040

200

210

10

20

30

10 90 100

0

3020

Fre

cuencia

Figura 5

Salarios ($ 1000).

0

20

10

10 20 30 40 +

Fre

cuencia

2. No usar intervalos abiertos. Es decir, que cada intervalo tenga limites definidos. La figura 5 es un ejemplo de un histograma con intervalo abiertos.¿cuál es el punto medio adecuado del intervalo 40+? ¿Qué tan grande es el numero mas grande en el intervalo 40+? Podría ser de varios millones según el histograma

Intervalos abiertos

Cortes en la escala horizontal y vertical

3. No cortar en la escala vertical u horizontal. Al hacerlo, quizás sean pasadas por alto. ¿Nota usted que en la figura 6 el primer intervalo es 7 veces mas alto que el segundo? ¿Y nota usted que de los dos intervalos en el extremo derecho, el 90 y el 100, 3estan mas separados de los demás

Figura 8

8

Tolerancia de la flecha (.001 pulgadas).

3020 22 24 28

2

4

6

0

4632 34 36 38 56 5826 5248 50 5440 42 44

Fre

cuen

cia

Figura 7

Millas por galón

20

10

12 22

Fre

cuencia

4. No poner demasiados intervalos ni muy pocos. La figura 7 indica millas por galos de gasolina, pero solo cuenta con 2 intervalos. Con tan pocos intervalos, el histograma oculta el hecho de que existe una lectura anormalmente alta de 25.21 millas por galón, muy distinta de todas las demás. El primer intervalo va de 7.00 a 16.99 pero no hay forma de decir, partiendo de este histograma, que la mayoría de las lecturas quedaron en uno de los extremos de dicho intervalo.

En la Figura 8 se muestra el otro extremo. Hay tantos intervalos en este histograma que el eje horizontal es muy largo, y es tan plano que es muy difícil de ver el patrón de frecuencias. La figura 2 basada en la misma información, es mucho mas clara. Posteriormente hablaremos mas a cerca de esto

Pocos intervalos.

Demasiados intervalos.

Figura 9

Consumo de Gasolina (MPG) para Oldsmobile 1967 manejadoprincipalmente en Ohio del 11/8/78 al 10/17/79, y para Dodge Colt, manejadoprincipalmente en Ohio del 10/25/78 al 10/10/71.

3026 34 38 42 4614 22

6

10 18

2

4

0

8

10

12

Fre

cu

en

cia

Consumo de Gasolina para Oldsmobile y Colt

Olds.La más pequeña

ColtLa más pequeña

Olds.La más grande

ColtLa más grande

Olds.

Colt

Posiblemente un error.

Figura 10

Consumo de colt

8

10

6

20

2

4

0

30 40

5. No podemos poner demasiada información en un histograma. Esto puede ser confuso. La figura 9 combina 2 histogramas en una sola grafica. Uno indica las millas por galón de un Olds. Y el otro de un colt. La figura es un desorden. Seria interesante estudiarla cuidadosamente para ver que hay allí, poro la mayoría de la gente la observa de paso en un parpadeo, y seguirá adelante, esperando encontrar algo mas comprensible. Puesto que ambos histogramas se sobreponen y se han utilizado dos métodos de sombreado, uno para cada histograma, es difícil ver donde termina uno y comienza otro. Si se hubiera mostrado los dos histogramas con dos colores diferentes, y no en blanco y negro como aquí aparece. 6. Proporcionar lo que sea necesario para identificar la información de forma completa y hacer comprensible la grafica. La figura 10 carece de la información necesaria . ¿Qué representa la escala vertical? ¿Dólares? ¿Algo mas? ¿La escala horizontal muestra galones, fardos de paja, u otra cosa ? ¿qué es un “Colt”? ¿Es un automóvil? ¿Un potro? Aun cuado no se desea demasiada información en un histograma, esta figura se va al otro extremo.

Muy poca información

Demasiada información

Figura 12

Lecturas (.001 pulgadas).

57 6247 5232 37 42

0

2 7 12 17 22 27

4

2

Frec

uenc

ia

Figura 11


3732 5722

2

4

0

1272 17 27 47 625242

Frec

uenc

ia

LO QUE LOS HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA LE DICEN ACERCA DE LAS DISTRIBUCIONES PRINCIPALES DE

FRECUENCIA.

Al principio de este modulo, se aprendió que existen variaciones entre unidades individuales, como por ejemplo el tiro al blanco, las temperaturas de un lugar de recreo y la resistencia a la ruptura de una manguera de frenos. Asimismo se dijo que una buena forma de describir dichas variaciones es por medio de un histograma de frecuencia. Los histogramas de frecuencia que usted desarrolla en su trabajo por lo general se basan en muestras. Auque provengan de un solo proceso, su histograma se verán diferentes porque las muestras son diferentes. Supongamos que se llena una cubeta con 1000 pequeños discos de metal recubiertos de plástico, resolviéndolos cuidadosamente. Se toma una muestra de 10 discos, midiendo el espesor del recubrimiento de cada uno. La muestra se coloca de nuevo en la cubeta, y se resuelve otra vez y se toman otras 10 piezas. Los histogramas de frecuencia para estas 2 muestras se muestran en las figuras 11 y 12.

M-1 Espesor del recubrimiento

M-2 Espesor del recubrimiento

Figura 13


22 27

100

47 5232 37 42

200

57 62

0

2 7 12 17

Fre

cu

en

cia

El histograma en la figuras 13 muestra lo que sucede cuando medimos los mil discos. Al patrón que se genera al tomar las mil piezas como nuestra muestra se le llama distribución principal de frecuencia. La distribución principal de frecuencia generara siempre el mismo patrón.Por el contrario, las muestras de diez discos son tan pequeñas que no proporcionan una idea clara de la distribución principal de frecuencia. Además las muestras son tan pequeñas que los histogramas son diferentes uno del otro.(Compare las figuras 11 y 12.) Los histogramas basados en muestras pequeñas como estos, por lo general serán diferentes debido a que no es probable que se tomen 2 veces las mismas 10 veces.

Mientras mas grande sea la muestra, el histograma Será mas parecido al de la distribución principal y mostrara lo que en realidad hay “en la cubeta” Por esta razón, le recomendamos tomar muestras de cincuenta piezas por lo menos. Una muestra de 100 es aun mejor.Los histogramas de frecuencia basados en muestras dicen algo sobre los promedios, aunque no muestren las distribuciones principales de frecuencia. Al compara los histogramas en las figuras 11 y 12 con el de la distribución principal de la figura 13 se podrá ver que los promedios de los histogramas con muestras pequeñas son aproximadamente 30: lo mismo sucede con el promedio de la distribución principal.

Distribución principal del frecuencia, espesor del recubrimiento para el total de la cubeta de disco

Figura 14

Longitud (cms).

13012090

20

70 80 100 110

30

60

10

0

Fre

cuencia

Tole

rancia

in

ferior

Tole

rancia

superior

HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA EN SITUACIONES DE PRODUCCIONUn histograma de frecuencia puede mostrar situaciones diferente diferentes de producción, algunas buenas y otras no tanto. La figura 14 muestra una situación buena. La variación es tan pequeña que todas las piezas en el histograma se produjeron cumpliendo especificaciones. Además, el proceso esta centrado en el punto medio entre los limites de tolerancia.¡Nada podría ser mejor!. La figura 14 muestra una buena situación sin embargo, debemos advertir que aun cuando el total de piezas incluidas en este histograma están dentro de las especificaciones, existe la posibilidad de que un porcentaje muy pequeño de la producción quede fuera. No se puede estar seguro a menos que se utilice otra técnica, que se aprenderá en el modulo 5. Hay que recordar también que un histograma es una “instantánea” de su proceso. No dice nada con respecto al tiempo. Para conocer que hace el proceso en función del tiempo respecto al tiempo, se requiere una ”foto movible”. En el modulo 3 se explicara como desarrollar graficas de control que proporcionan esta clase de información

Una situación buena: la extensión del proceso es estrecha y esta centrado entre los limites de tolerancia.

Figura 15

Resistencia a la tensión (libras)

30

140

10

0

210200170

20

150 160 180 190

Fre

cuencia

Tole

rancia

in

ferior

Tole

rancia

superior

La figura 15 muestra un proceso en problemas. La resistencia a la tensión de algunas unidades es muy baja. No sirve de nada el mover el centro del proceso. De hecho, es muy probable que una cantidad mayor de piezas quede fuera de especificaciones . Simplemente existe demasiada variación para las especificaciones establecidas.Tal vez un operario no pueda resolver este problema. Corresponde a la gerencia el decidir que hacer. Posiblemente se reacondicione el proceso para reducir la variación y hacerlo similar al proceso mostrado en la figura 14. Podrían ampliarse las especificaciones también. Podría incluso decidirse que todos se acostumbren a esta situaciónA veces el histograma de frecuencia muestra un proceso descentrado, como se muestra en la figura 16. El operario puede corregir este problema a menudo.no es necesario más que un simple ajuste para centrar el proceso en el punto medio entre los limites de tolerancia

Figura 16

Espesor (.01 pulgadas).

60 70

20

30

50

10

0

40 80 90 100 110

Fre

cuencia

Tole

rancia

in

ferior

Tole

rancia

superior

La variación inherente es demasiado grande para las especificaciones

Proceso fuera del punto medio.

Figura 17

Longitud (pulgadas)

110 120100

20

80 90

30

70

10

0

130 150140

Fre

cuen

cia

Tol

eran

cia

infe

rior

Tol

eran

cia

sup

erio

r

Tal vez se tengan que ajustar la temperatura para la carga química, el tiempo para el modelo de plástico, o la presión para el troquelado. Por su puesto se debe de contar con la autorización de la gerencia para realizar dichos ajustes y se debe saber como hacerlos. El histograma le dirá si es necesario el ajuste y que tanto hay que ajustar.Aun centrando el proceso perfectamente, una pequeña porción de unidades quedara todavía fuera de especificaciones, pues incluso cuando este centrado, el proceso mostrado en la figura 16 no es tan bueno como el de la figura 14.La figura 17 en realidad contiene dos histogramas. La mayoría parte del producto, esta fuera de especificaciones tanto hacia arriba como hacia abajo. Este patrón sugiere que puede haber 2 distribuciones principales de frecuencia y no solo una. Existen muchas posibles razones para estas 2 distribuciones, como por ejemplo 2 maquinas alimentando un mismo lote de partes, dos cabezas en una maquina, dos cargas de material, o dos turnos trabajando en forma diferente .Para corregir la situación mostrada en la figura 17 es preciso comprender lo que pasa. Se requiere ajustar un proceso hacia arriba y el otro hacia abajo, con el objeto de centrar ambos histograma. Por ejemplo, quizás si se hacen ajustes menores a las dos cabezas de la maquina. Si dos maquinas alimentan partes a un mismo lote o si dos turnos producen las partes , es necesario identificar que histograma viene de cada maquina o turno, antes de llevar a cabo cualquier ajuste.

Existen muchos otros patrones en los histogramas de frecuencia y cada uno de ellos dice algo sobre los que sucede en las líneas de producción. Para mayor información, sugerimos leer algunos de los libros que se listan al final del curso.

Dos distribuciones presentes en una muestra

RESUMEN La variación es normal en nuestras vidas. No hay dos cosas exactamente iguales . La variación se encuentra en todas partes: en la puntuación del boliche, en las piezas fabricadas por una misma máquina en la temperatura de un lugar de vacaciones. El histograma de frecuencias es una herramienta que ayuda a manejar la variación. Es una fotografía del proceso que muestra el rango de lecturas en una muestra en un momento dado e indica cuantas piezas hay en cada medida. Los histogramas de frecuencia tienen diferentes patrones que revelan información importante sobre el proceso. Un patrón podrá revelar que la variación en el proceso es tan pequeña que todas las partes producidas cumplen con las especificaciones. Otro patrón podrá mostrar que el proceso tiene problemas y que es inevitable producir partes defectuosas.

Lo que sigue es mejor

6 introducción a la estadística

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