6 guia 05 semestre 1 logaritmos

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemática

Puerto Montt Curso: III° y IV Medio

1

Guía de ejercicios N°5, Primer Semestre

Tema: Logaritmos.

Debes saber que:

Los logaritmos fueron inventados alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Joost Bürgi

(1552-1632), que trabajaron de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tenía mayor

influencia, era un lord escocés, un hombre reservado cuyos vecinos se inclinaban a pensar que

tenía pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente del nuestro: se basaba

en la relación entre las sucesiones aritméticas y las sucesiones geométricas, y no en la relación

de función inversa de los logaritmos con las exponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en

1614, enumeran lo que se llamarían logaritmos naturales de senos y eran bastante difíciles de

usar. Un profesor en Londres, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus

conversaciones desarrollaron la idea de los logaritmos comunes, que se publicó en 1617. Su

importancia para el cálculo fue reconocida de inmediato y para 1650 se imprimían en lugares

tan remotos como China. Fueron una herramienta de cálculo importante hasta el advenimiento

de las calculadoras de mano de bajo costo, más o menos en 1972, que hicieron que disminuyera

la necesidad de calcularlos, pero no su importancia teórica.

Un efecto secundario de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del

sistema decimal para los números reales.

C. Logaritmos

Cuando en la expresión na c se desconoce el valor de n , entonces la expresión se puede escribir

como xa c y en este caso se tiene logax c y x se llama el logaritmo en base a de c. Se distingue

en un logaritmo.

loga c

De acuerdo a esta expresión, y teniendo en cuenta el concepto de potencia, se debe tener en cuenta

los siguientes condiciones para los valores c y n para una definición consistente.

Definición:

Dados ,a c y 1a , se define el logaritmo en base a de c como un número real n tal que la

n-ésima potencia de a es c , es decir

log n

an c a c

Argumento

del

Logaritmo

Base del

Logaritmo



2

Observación:

De la definición de logaritmo se deduce la propiedad fundamental de los logaritmos.

Si log an c entonces se tiene na c . Reemplazando, obtenemos que

loga ca c

Observación:

De las condiciones para la base y el argumento de un algoritmo, se deduce lo siguiente:

1. Si c d , entonces log loga ac d , es decir, cuando las bases son iguales, entonces la relación

de orden entre los logaritmos es la misma que la relación de orden de los argumentos.

2. Si a b , entonces log loga bc c , es decir, cuando los argumentos son iguales, entonces la

relación de orden entre los logaritmos es que a menor base, el logaritmo es mayor.

Observación:

1. Cuando la base es 10 se tiene

10log log c c

2. Cuando la base es el número irracional e se llama logaritmo natural y se tiene

log ln e c c

Propiedades de los logaritmos

1. log 1 0a

2. log 1a a

3. log n

a a n

4. log log loga a apq p q

5. log log loga a a

pp q

q

6. log logn

a ac n c

7. log logn m

a a

mc c

n

8. log

loglog

ba

b

cc

a (esta propiedad se llama cambio de base)



3

Ecuaciones exponenciales

En la guía de potencias ya definimos una ecuación exponencial, indicamos que es aquella en que la

incógnita se presenta en el exponente. Le dimos solución a esas ecuaciones exponenciales igualando

bases. En el caso que no se pueden igualar las bases, para darle solución aplicamos logaritmos a ambos

lados.

Ejemplo

Determina el valor de x en la ecuación 3 5x

Solución

3 5 x log

log 3 log 5

log 3 log 5

log 5

log 3

x

x

x

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en que la incógnita se presenta en el argumento del logaritmo.

Para darle solución se debe aplicar la definición de logaritmo.

Ejemplo

1. Determina el valor de x en la ecuación log 2 1 log log 3x x x

Solución

2

2

log 2 1 log log 3

2 1log log 3

2 13

3 2 1

3 2 1 0

3 1 1 0

x x x

xx

x

xx

x

x x

x x

x x

Luego 1

3x o 1x . Por lo tanto, la solución de la ecuación es 1x , ya que el argumento

debe ser positivo.



4

Ejercicios

1. 100

log log303

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

2. Si 15 7x , entonces x es igual a

A. log7 log5

B. log 7

1log 5

C. 5

1log 7

D. log 7

1log 5

E. 7

log 5

3. Si 1

log2

x , entonces log16

A. 5x B. 4x C. 2

x D. 4x E. 5x

4. Si 1c , 8

8log logc c

A. 0 B. 1 C. 8 D. c E. 8c

5. 3log 243 5 expresado en forma exponencial corresponde a:

A. 35 243 B. 1

55 243 C. 1

5243 3 D. 5 1243

3

E. 53 243

6. Exprese en forma logarítmica la siguiente igualdad 34 64

A. 4log 64 3

B. 64log 4 3

C. 64log 3 4

D. 3log 64 4

E. 1

3

log 64 4



5

7. log log logp x yx y p

A. 0 B. 1 C. x D. p E. y

8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La base de un logaritmo no puede ser negativa.

II. Si ,a b , y a b entonces log log a b

III. Si 2 2x y , entonces 2 2log log x y

A. Sólo I B. Sólo III C. I y II D. I y III E. I, II y III

9. ¿Cuál es el valor de 10 2 5log 100 log 128 log 625 ¿

A. 4 B. 7 C. 9 D. 11 E. 13

10. Si log 2 = 0,3010 y log 3 = 0,4771, entonces log 12 =

A. 0,1761

B. 0,2872

C. 0,7781

D. 1,0791

E. Otro valor

11. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdaderas?

I. log 1 log 40 log 40

II. 1

log log 50 04

III. log 6 log 10 log 6

A. Sólo I B. Solo II C. I y III D. II y III E. I, II y III

12. Si 1

log 31 y

, entonces y es igual a:

A. 1001

1000

B.

999

1000

C.

999

1000 D.

1001

1000 E. N. A.



6

13.

3 2

2

2log

1

a a a

a

A. 1 B. 2a C. a D. 1a E. 2a a

14. Si 3 3log log 2a b , entonces

a

b es igual a

A. 6 B. 8 C. 9 D. 27 E. 81

15. La expresión log 5 – log 2 + log 6 escrita como el logaritmo de un número es

A. log 9 B. log 15 C. 5

log8

D. 5

log4

E. 5

log12

16. El valor de 2 – log 25 es

A. log 2 B. log 3 C. log 4 D. log 5 E) 2 + 5 log 2

17. 3

2log 25

A. 23log 25 B.

23log 5 C. 2

2log 5

3 D.

2

3log 5

2 E.

2

1log 5

3.

18. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log 8?

I. log 4 + log 2

II. 3 log 2

III. 2 log 4 – log 2

A. Sólo I B. Sólo II C. I y III D. II y III E. I, II y III

19. log a b a b

A. 3log

2

a b

B. 3

log 2log2

a b

C. 3 3

log log2 2

a b

D. 2

3log a b

E. 21

log2

a b



7

20. Si 2log log 1P Q n , con 0P y 0Q , entonces 10n

A. 210P

Q B.

21

P

Q C.

2101

P

Q D.

21010

P

Q E. 2log 10

P

Q

21. Se ha establecido en criaderos de avestruces, que el peso de un ejemplar varía con su edad de

acuerdo a la función:

35 65 log P E ; siendo P = peso en Kg. y E = edad en meses, con E > 0.

De acuerdo a este modelo, un avestruz pesa 100 Kg. a la edad de:

A. 1 mes

B. 10 meses

C. 35 meses

D. 65 meses

E. 100 meses

22. Sean a y b dos números naturales distintos de uno, tales que a > b. Por lo tanto, si 1 m n

¿cuál de las siguientes opciones es siempre correcta?

A. log log loga b bmn m n

B. log log log loga a a bn m n m

C. log loga bmn m n

D. log loga bn m

E. log loga bn m

6 guia 05 semestre 1 logaritmos

Education

Transcript of 6 guia 05 semestre 1 logaritmos