Unitat 6

Dinmica dels electrons de Bloch

Fsica de lEstat Slid

Grau de Fsica

Universitat de Barcelona

Facultat de Fsica

1

6. DINMICA DELS ELECTRONS DE BLOCH

6.1. INTRODUCCI

6.2. EL MODEL SEMICLSSIC

A. Consideracions quntiques

B. Equaci de moviment dun electr en lespai de vectors dona

C. Hiptesis del model

6.3. CONSEQNCIES DEL MODEL SEMICLSSIC

A. Contribuci duna banda plena a la densitat de corrent

B. Moviment sota lacci dun camp elctric esttic

C. Moviment sota lacci dun camp magntic esttic

6.4. FORATS

A. Vector dona

B. Energia

C. Banda de forats

D. Velocitat

E. Crrega elctrica

F. Corrent elctric

G. Comportament dels electrons a la banda de conducci i dels forats a la

banda de valncia

2

6.5. MASSA EFECTIVA

A. Definici

B. Consideracions generals

C. Interpretaci del signe de la massa efectiva

D. Interpretaci fsica duna massa efectiva negativa

E. Massa efectiva dun forat

F. Conclusi

3

6.1. INTRODUCCI

Hi ha determinats fenmens que es donen en els slids que noms es poden

explicar tenint en compte el moviment dels electrons de conducci, ja que

corresponen a propietats fora de lequilibri.

Aquest s el cas de la conductivitat elctrica i la conductivitat trmica en els metalls

i, en general, de moltes de les propietats de transport en els slids.

En tots aquests processos, hi ha un flux delectrons al llarg del slid, originat per

una modificaci de la funci de distribuci destats, que deixa de ser la funci

corresponent a lequilibri termodinmic.

El problema principal per explicar aquestes propietats s precisament la

determinaci de la nova funci de distribuci fora de lequilibri.

A primera vista es podria pensar que lnic cam per atacar el problema amb xit s

la resoluci duna complicada equaci de Schrdinger dependent del temps.

Es pot arribar, per, a una primera comprensi daquests fenmens limitant-se a

lestudi de situacions estacionries, en les quals les forces externes (com ara camps

elctrics o magntics, o gradients de temperatura) sn independents del temps.

En aquest context, utilitzarem resultats que ja vam obtenir en el tema anterior a

lestudiar lhamiltoni del slid amb un potencial peridic, i analitzarem el model

semiclssic, que ens servir per introduir conceptes tils (forat, massa efectiva,

etc.) per descriure la dinmica dels electrons de Bloch, encara que no arribarem a

deduir cap expressi per a la conductivitat.

[A continuaci caldria considerar els mecanisme de dispersi dels electrons en el

slid per deduir lequaci de transport de Boltzmann, amb la qual s que es pot

donar una descripci ms ajustada dels processos de transport en el slid.]

4

6.2. EL MODEL SEMICLSSIC

A. CONSIDERACIONS QUNTIQUES

La Mecnica Quntica ens diu que un electr en moviment dins del slid es pot

descriure mitjanant una funci dona que, en realitat, no s ms que el que

sanomena paquet dones, s a dir, una superposici destats estacionaris cadascun

dels quals s soluci de lequaci de Schrdinger monoparticular independent del

temps,

),()()()(2

22

rkrr kk nnn EVm =

+ h

i que es pot escriure de la forma

,)()(),( /)(= k

kk rkr

htiEnn

negt on n s lndex de la banda en qu es troba lelectr i g(k) s el coeficient de cada

estat estacionari, nk(r).

Farem dues hiptesis:

i) El paquet dones s estret; s a dir, si k0 s el centre del paquet i k s un interval petit de vectors dona, aleshores, g(k) = 0 per a |k k0| > k.

ii) k s petit comparat amb les dimensions de la primera zona de Brillouin; per tant, la funci En(k), que dna lenergia de la banda, varia poc al llarg de les

components del paquet dones.

Aix permet introduir una velocitat de grup, vn(k), que s la velocitat a qu tot el

paquet es desplaa sense deformar-se (el paquet mant la forma a mida que es

mou) i que assignem com la velocitat de lelectr (ve a ser la velocitat del centre).

5

Aquesta velocitat sobt a partir de la generalitzaci a tres dimensions de

lexpressi per al cas unidimensional, vg = d/dk, tenint en compte la relaci dEinstein, En(k) = hn(k), i sescriu com

[N.B. Lapndix B del text de Gmez Antn dna una deducci acurada daquesta

expressi per al cas unidimensional.]

Aquesta velocitat depn exclusivament de lestructura de bandes del slid, En(k),

que cont els efectes que el potencial peridic, creat pels nuclis inics, ocasiona

sobre el moviment dels electrons.

Si, dacord amb la hiptesi (ii), el vector dona est ben definit a escala de la

primera zona de Brillouin, el paquet dones shaur destendre en lespai real al

llarg de moltes celles primitives. Aleshores,

i) si, a ms, sexigeix que les forces externes varin molt lentament al llarg de

les dimensions del paquet,

ii) encara que la interacci de lelectr amb el potencial peridic shagi de

tractar qunticament, ja que aquest varia molt rpidament respecte a les

dimensions del paquet,

iii) les forces externes es podran tractar clssicament, i aix permetr utilitzar un

model semiclssic per descriure levoluci temporal del vector dona i de la

posici de lelectr representat pel paquet dones.

0kkkkkv == )(

1)( nn Eh

6

El model semiclssic prediu levoluci, entre dues collisions consecutives, de la

posici i del vector dona dun electr, sobre el qual actuen forces externes, a partir

nicament del coneixement de lestructura de bandes del slid.

Per tant, el model NO tracta els processos de collisi ni com sobtenen les bandes

denergia, ja que lnic que es pretn s relacionar lestructura de bandes amb les

propietats de transport.

B. EQUACI DE MOVIMENT DUN ELECTR

EN LESPAI DE VECTORS DONA

En una dimensi, la velocitat del paquet dones s

.1dkdEvg h=

Si durant un interval de temps t, actua una fora externa F sobre lelectr, el treball realitzat ser

E = F vg t Aquest treball fa variar el vector dona en una quantitat k, que es pot calcular a partir de la relaci

kvkdkdEE g h==

Comparant totes dues expressions per a E, es pot escriure

tFk h=

Generalitzant al cas tridimensional i prenent diferencials exactes, sobt

dtdkF h=

7

C. HIPTESIS DEL MODEL

Com hem dit, el model semiclssic prediu com evolucionen els vectors dona, k, i

de posici, r, dun electr, sotms a forces externes, en absncia de collisions.

El model es pot resumir en les segents hiptesis:

i) NO es permeten transicions dels electrons entre bandes diferents (separades

per una certa banda prohibida o gap) per lacci de forces externes.

Es diu que lndex de banda, n, s una constant del moviment.

ii) Levoluci temporal del vector de posici, r, i del vector dona, k, dun

electr sotms a un camp elctric, , i a un camp magntic, B, ve donada per les equacions

[ ]Bkvk += )(nedtd

h

)(1)( kkvr k nn Edtd == h

Observacions:

i) En general, En(k) no t forma parablica, i lnica propietat general que t s

la periodicitat amb la xarxa recproca.

ii) La variaci temporal de la quantitat de moviment de lelectr est

determinada per la fora total que actua sobre aquest, incloent-hi la fora

realitzada per la xarxa cristallina (potencial peridic).

En canvi, la variaci temporal del moment cristall, hk, s causada noms per les forces externes, que sn les que apareixen en la primera de les equacions

anteriors.

8

6.3. CONSEQNCIES DEL MODEL SEMICLSSIC

A. CONTRIBUCI DUNA BANDA PLENA

A LA DENSITAT DE CORRENT ELCTRIC

La densitat de corrent elctric en una banda, Jn, s proporcional a la integral

,)()(ZB1 kkvk df n

on f(k) s la funci de distribuci i ens dna la probabilitat docupaci dun nivell

k, vn(k) s la velocitat dels electrons a la banda, i la integral sestn sobre la

primera zona de Brillouin.

Per a una banda totalment plena, tots els nivells estan ocupats, de manera que la

probabilitat docupaci de qualsevol nivell s f(k) = 1.

Daltra banda, la velocitat verifica vn(k) = vn(k), ja que lenergia En(k) s una funci parella respecte a lorigen (k = 0).

Per totes dues raons, la densitat de corrent neta a qu dna lloc una banda totalment

plena s nulla.

Per tant, per calcular les propietats de transport dun slid, noms cal tenir en

compte els electrons que es troben en bandes parcialment ocupades.

9

B. MOVIMENT SOTA LACCI DUN CAMP ELCTRIC ESTTIC

Si lnica fora externa que actua sobre un electr s originada per un camp elctric

uniforme i esttic, , lequaci devoluci temporal del vector dona k es pot escriure com

edtd =kh .

La resoluci daquesta equaci s molt senzilla,

,)0()( tett h== kk

i ens diu que, en un cert interval de temps, t, els vectors dona de tots els electrons

duna banda determinada varien en la mateixa quantitat, te h=k .

Aix, si la banda est totalment plena, s a dir, si NO hi ha cap estat k lliure

(accessible) per a cap electr, NO hi podr haver variaci temporal dels estats

ocupats en lespai k i, per tant, NO hi haur transport de corrent (els electrons no es

mouran)

Recuperem, per tant, la conseqncia que ja hem trobat en lepgraf anterior:

perqu en una banda hi hagi transport net de corrent, cal que hi hagi estats buits.

10

C. MOVIMENT SOTA LACCI DUN CAMP MAGNTIC ESTTIC

Si lnica fora externa que actua sobre un electr s originada noms per un camp

magntic uniforme i esttic, B, levoluci temporal del vector dona k ve descrita

per la fora de Lorentz,

Bkvk = )(nedtdh

Si hi substitum lequaci devoluci temporal del vector de posici r, s a dir, la

relaci entre la velocitat dels electrons i lexpressi que descriu la banda denergia,

)(1)( kkv k nn E= h ,

trobem

Bkk k = )(nEedtd

hh

Aquesta expressi ens diu que, en presncia dun camp magntic B, lelectr es

mou en lespai k seguint una trajectria continguda en una superfcie que s alhora

perpendicular al camp magntic, B, i al gradient denergia, kEn(k).

Aix equival a dir que lelectr es mou en lespai k sobre una superfcie denergia

constant, dins dun pla perpendicular a B.

Lrbita de lelectr no t per qu ser tancada: en determinades situacions, i segons

lorientaci del camp magntic, es pot obtenir una rbita oberta.

11

6.4. FORATS

Un dels xits ms grans del model semiclssic consisteix en lexplicaci de

fenmens que, en el marc del model delectrons lliures, requerien lexistncia de

portadors de crrega positiva (efecte Hall anmal).

En el model semiclssic, els nivells electrnics desocupats duna banda quasi plena

es consideren partcules fictcies de crrega positiva que reben el nom de forats.

Un forat actua, en presncia dun camp elctric o magntic, com una partcula de

crrega positiva +e.

El concepte de forat s molt til ja que, en particular, un nic forat en una banda

quasiplena permet explicar les propietats del collectiu delectrons que cont la

banda.

A. VECTOR DONA

En una banda totalment plena, la suma dels vectors dona de tots els electrons s

igual a zero, a causa de la simetria de la xarxa i de la primera zona de Brillouin:

0plenabanda

= k

Forat Orbital vacant en una banda plena (tret de la vacant)

12

Si lorbital corresponent al vector dona ke est vacant, el vector dona total de la

banda ser

ekk =quasiplena

banda

Per tant, es pot atribuir al forat un vector dona kf definit com

s a dir, el vector dona del forat s igual en magnitud i t signe oposat al vector

dona de lelectr que falta.

B. ENERGIA

Suposem que el zero denergia es troba, per a k = 0, en el mxim de lltima banda

amb estats ocupats a T = 0, el que es coneix com a banda de valncia (la segent

banda totalment buida o parcialment plena sanomena banda de conducci).

kf = ke

Banda conducci

Banda valncia

kelectr extret forat

13

Qu costa crear un forat? Lenergia necessria per arrencar lelectr del seu estat

denergia Ee (que s negativa, amb lelecci dorigen denergia que hem fet) i

portar-lo fins al mxim de la banda de valncia (on E = 0).

Com a conseqncia, lenergia del forat format a la banda de valncia t signe

oposat a lenergia que tenia lelectr promocionat:

C. BANDA DE FORATS

Lenergia necessria per promocionar un electr de la banda de valncia a la banda

de conducci s ms gran com ms baix es trobi lelectr a la banda de valncia, s

a dir, com ms petita sigui la seva energia.

Aix vol dir que, a lesquema segent, una banda amb un electr menys a la

posici B tindr un estat dexcitaci ms gran que una banda amb un electr menys

a la posici A.

Ef = Ee

14

Com que un electr menys en una banda s un forat, com ms petita sigui lenergia

de lestat des del que sexcita lelectr, ms gran ser lenergia del forat.

Tenint en compte a ms la propietat A (kf = ke), es pot considerar que els forats ocupen una banda fictcia, que es mostra en lesquema segent, que s el resultat

dinvertir la banda de valncia respecte a lorigen.

D. VELOCITAT

Com que les derivades de la banda de valncia i de la banda de forats, per a k = ke i

per a k = kf, respectivament, sn iguals (noms cal veure la curvatura de les bandes

en lesquema anterior), es complir que

kEf(kf) = kEe(ke),

i, per tant, les velocitats de lelectr (a la banda de valncia) i del forat (a la banda

fictcia de forats), corresponent a labsncia del primer a la banda de valncia, sn

iguals:

vf(kf) = ve(ke)

15

E. CRREGA ELCTRICA

Si suposem que un forat compleix les mateixes equacions de moviment que

compleix lelectr, intercanviant noms ke per kf, i ve per vf, podrem escriure la segent equaci de moviment per a un forat sotms a un camp elctric i un camp

magntic uniformes i esttics externs:

[ ]Bkvk += )( fff edtd h

s a dir, el forat es comporta com si tingus crrega positiva +e.

F. CORRENT ELCTRIC

El corrent elctric que transporta un electr, je, en lestat ke, s igual a

je = (e) ve(ke)

En una banda totalment plena, j = 0.

Una banda plena tret de lestat corresponent a ke, transporta un corrent igual a

jbanda = 0 je = 0 (e) ve(ke) = e ve(ke)

Aquest corrent total de la banda es pot assignar al corrent que transporta el forat

corresponent, jf, i considerant la propietat D relativa a la velocitat, podem escriure

jf = e vf(kf)

16

G. COMPORTAMENT DELS ELECTRONS A LA BANDA DE

CONDUCCI I DELS FORATS A LA BANDA DE VALNCIA

Dacord amb lesquema de les bandes de valncia i de conducci que hem vist amb

anterioritat, la velocitat de lelectr promocionat a la banda de conducci s de

signe oposat i, en general, de mdul diferent, a la velocitat del forat corresponent a

la banda de valncia.

Aix s aix perqu la velocitat s el gradient respecte a k de lenergia, hvn(k) = kEn(k), i les curvatures daquestes dues bandes, per a un cert valor del vector dona k, sn de signes oposats i, en general, diferents.

[Observaci: Aix no sha de confondre amb la propietat 4 dels forats, en qu es

diu que la velocitat dun forat s igual a la velocitat de lelectr corresponent, ja

que aquesta ltima s la velocitat que tindria lelectr a la banda de valncia.]

Per aquesta ra, els electrons a la banda de conducci i els forats a la banda de

valncia responen a laplicaci dun camp elctric extern generant sengles corrents

elctrics, je i jf, que, dacord amb les expressions que hem vist a la pgina anterior,

van en el mateix sentit i, per tant, se sumen.

E

e fvfve je

jf

banda de conducci banda de valncia

17

6.5. MASSA EFECTIVA

A. DEFINICI

Combinant les dues equacions de moviment del model semiclssic es pot calcular

lacceleraci de lelectr, simplement derivant respecte al temps les components

del vector velocitat, vi:

jj jij ij

j

i

ii Fkk

EkE

ktk

kE

ttva

=

=

=

===3

1

2

2

3

1

111hhh

Si comparem aquesta expressi amb la segona llei de Newton (ai = Fi/m), podem

introduir el tensor de massa efectiva inversa, que s un tensor de rang dos, s a

dir, una matriu, definit com

B. CONSIDERACIONS GENERALS

i) Aquest tensor fa el paper de linvers de la massa de lelectr a lequaci

equivalent a la segona llei de Newton que descriu el moviment dun electr a

linterior dun slid.

ii) El tensor de massa efectiva inversa, i el seu tensor invers sn sempre tensors

simtrics.

iii) Sempre que la forma de les bandes, a lespai k, sigui anistropa, com passa

amb molts materials (com ara el silici o el germani), la massa efectiva ser

funci de la direcci del vector dona k.

jiij kkE

m =

2

2*11h

18

iv) Si el tensor de massa efectiva inversa referit a un determinat conjunt de tres

eixos de referncia s diagonal, aleshores aquests eixos sanomenen eixos

principals del cristall, i sn aquells que reflecteixen la mxima simetria de

lestructura cristallina (xarxa de Bravais + base atmica).

v) En el cas particular en qu els tres elements del tensor de massa efectiva

inversa al llarg dels tres eixos principals del cristall siguin iguals i de valor m*,

la massa efectiva ser un escalar igual a

1

2

22*

=

ikEm h

vi) La massa efectiva, que equival a una massa dinmica de lelectr, i que pot

ser positiva o negativa, representa la massa amb qu respon lelectr, en un

potencial peridic, a lacci duna fora externa.

C. INTERPRETACI DEL SIGNE DE LA MASSA EFECTIVA

Considerarem un exemple unidimensional senzill, en qu la massa efectiva s

simplement un escalar donat per

1

2

22*

=

dkEdm h

Aquesta expressi ens diu que la massa efectiva est relacionada directament amb

linvers de la curvatura de la banda corresponent, de manera que en aquelles

regions en qu la curvatura de la banda augmenta, la massa efectiva disminueix, i

viceversa.

19

potencial dbil potencial ms intens

En lesquema anterior, el cas (a) correspon a una situaci delectrons dbilment

lligats, en la qual la massa efectiva s prcticament igual, a la major part de la zona

de Brillouin, al valor m0 corresponent a la massa dun electr lliure.

El cas (b), en canvi, correspon a una situaci en qu el potencial que actua sobre els

electrons s ms intens, cosa que fa que lamplada de la banda sigui ms petita i,

per tant, que la curvatura tamb sigui ms petita.

En aquest segon cas, la massa efectiva amb qu un electr respondr a lacci

duna fora externa ser ms gran que en el primer cas, com correspon al fet que la

interacci entre lelectr i els ions del cristall sigui ms gran.

20

En general, la massa efectiva dun electr en una banda presenta les segents

caracterstiques:

i) La massa efectiva pot ser negativa a les proximitats de les fronteres de zona

o en els mxims denergia.

ii) La massa efectiva NO est definida (i, per tant, no t sentit usar-la) als punts

dinflexi de les bandes (punts intermedis dins les zones de Brillouin).

iii) Si el potencial s dbil, per als valors del vector dona k per als quals

lelectr es comporta com si fos quasi lliure, s a dir, en el fons de la banda, la

massa efectiva s prcticament igual a la massa de lelectr lliure i s un escalar

(ja que prop del fons, totes les bandes sn parabliques i tenen la mateixa

curvatura).

iv) A la majoria de metalls, les bandes estan semiplenes, de manera que no hi ha

estats prop de la frontera de zona i, per tant, NO hi ha electrons amb masses

efectives negatives.

No obstant aix, en materials amb bandes plenes, com ara els semiconductors,

lefecte dels electrons amb masses efectives negatives sobre les propietats

daquests materials s molt important.

D. INTERPRETACI FSICA DUNA MASSA EFECTIVA NEGATIVA

Per entendre com es pot donar una massa efectiva negativa, considerarem una

situaci idealitzada que passem a descriure a continuaci.

Suposem que un feix electrnic de vector dona k incideix sobre la superfcie dun

cristall orientat duna manera determinada, travessant una reixeta que es troba a un

potencial V respecte a aquesta superfcie.

21

Dacord amb lequaci de moviment, el camp elctric que hi ha entre la reixeta i la

superfcie fa que el vector dona de lelectr vari en una quantitat k, de manera que el vector dona amb qu incideix sobre la superfcie del cristall s k = k + k.

En el primer cas, k no compleix cap condici de difracci amb cap vector de la

xarxa recproca (|G k|2 k2, G) i, per tant, el feix electrnic travessa el cristall seguint la direcci i el sentit marcats per la fora externa que ha accelerat els

electrons; s a dir, la fora externa continua sent efectiva sobre el vector k i en un

t li provocar un canvi k.

Aix vol dir que no hi ha cap element negatiu del tensor de massa efectiva inversa

que sigui significativament ms gran que cap element positiu.

En el segon cas, el canvi k provocat pel camp elctric (associat al potencial V) sobre el vector dona s suficient perqu k verifiqui alguna condici de difracci

amb algun vector de la xarxa recproca (G; |G k|2 = k2) i, per tant, el feix modifica drsticament la direcci i el sentit que portava; s a dir, la fora externa

deixa de ser efectiva sobre k.

cristall reixeta

feix electrnic incident

k

k = k + k

V

G; |G k|2 k2

cristall reixeta

feix electrnic incident

k

k = k + k

V

G; |G k|2 = k2

22

Aix vol dir que hi ha algun element del tensor de massa efectiva inversa que s

significativament ms gran que la resta delements positius per fer que els signe

dalguna de les components de lacceleraci sinverteixi respecte al signe de les

components de la fora.

En aquest ltim cas, es diu que la transferncia de moment de lelectr a la xarxa s

molt ms gran que la transferncia de moment de la fora externa a lelectr.

E. MASSA EFECTIVA DUN FORAT

Com que la banda de forats (fictcia) est invertida repecte a la banda delectrons

corresponent, les curvatures daquestes dues bandes tenen signes oposats i, per tant,

la massa efectiva del forat s igual i de signe oposat a la massa efectiva de lelectr:

F. CONCLUSI

Com a conclusi general podem dir que la descripci de la dinmica dels electrons

o dels forats en termes del concepte de massa efectiva noms s possible quan

aquests es troben al fons o a lextrem de les bandes denergia.

mf* = me*

23