6 Camp elèctric...Existeixen moltes magnituds físiques de les quals podem mesurar el valor en els...
36
6 | Camp elèctric El nostre món està ple de fenòmens entre càrregues elèctriques. Així, una pinta pot carregar els cabells en pentinar-los, de manera que els cabells, un cop carre- gats, es repel·leixen i s’ericen. A vegades, sobretot en dies de vent, hem pogut notar una petita descàrrega elèctrica en apropar les puntes dels dits a un objecte metàl·lic de forma més o menys punxeguda. D’altra banda, els llamps d’una tempesta són la descàr- rega elèctrica entre dues parts de l’atmosfera, o de l’at- mosfera i el terra, les quals, per l’acumulació de càrrega elèctrica de signe diferent, han assolit diferències de potencial elèctric molt elevades. La càrrega elèctrica forma part de la matèria i els seus efectes s’escampen arreu, per tot l’Univers. En definitiva, és la responsable de la interacció electromagnètica, una de les quatre forces fonamentals de la naturalesa. Aquesta és la base de la major part de les forces de con- tacte entre els cossos i de moltes forces a distància. 001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 1 21/4/09 11:37:07
Transcript of 6 Camp elèctric...Existeixen moltes magnituds físiques de les quals podem mesurar el valor en els...
6 | Camp elèctric
El nostre món està ple de fenòmens entre càrregues elèctriques. Així, una pinta pot carregar els cabells en pentinar-los, de manera que els cabells, un cop carre-gats, es repel·leixen i s’ericen. A vegades, sobretot en dies de vent, hem pogut notar una petita descàrrega elèctrica en apropar les puntes dels dits a un objecte metàl·lic de forma més o menys punxeguda.
D’altra banda, els llamps d’una tempesta són la descàr-rega elèctrica entre dues parts de l’atmosfera, o de l’at-mosfera i el terra, les quals, per l’acumulació de càrrega elèctrica de signe diferent, han assolit diferències de potencial elèctric molt elevades.
La càrrega elèctrica forma part de la matèria i els seus efectes s’escampen arreu, per tot l’Univers. En definitiva, és la responsable de la interacció electromagnètica, una de les quatre forces fonamentals de la naturalesa. Aquesta és la base de la major part de les forces de con-tacte entre els cossos i de moltes forces a distància.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 1 21/4/09 11:37:07
2
6 | Camp elèctric
1 | Noció de camp
Existeixen moltes magnituds físiques de les quals podem mesurar el valor en els diferents punts d’una zona de l’espai.
Per exemple:
• En cada punt d’una cambra frigorífica hi ha una temperatura.
• En cada punt de l’atmosfera l’aire es troba a una pressió determinada.
• En cada punt de la superfície terrestre els cossos cauen amb una acce-leració determinada.
2. El mapa topogràfic d’un territori es pot considerar la representació d’un camp escalar on a cada punt del terreny li correspon una altitud. Les isolínies, formades per punts d’igual altitud, s’anomenen corbes de nivell. En aquest mapa la diferència de nivell entre dues línies consecutives és de 20 m. Entre les corbes de nivell més gruixudes la diferència d’altitud és de 100 m.
1. Mapa del temps. La pressió corresponent a cada línia està expressada en mil·libars, unitat que solen utilitzar els meteoròlegs. En el SI aquesta unitat s’anomena hectopascal (hPa).
Secció d’un camp escalar i interpolació gràfica
La representació d'un camp escalar per mitjà d’isolínies és una projecció sobre un pla d'una realitat que es distribueix en l'espai de tres dimensions.
Per donar una nova representació d'aquesta realitat tridi-mensional, es pot construir una secció del camp escalar en una determinada trajectòria a través seu. Aquesta nova representació és també una projecció en dues dimensions del camp. En l'eix d'ordenades es representen els valors del camp escalar i en el d'abscisses, les distàncies des del punt de partida.
Un exemple pràctic, de fàcil construcció, és el per fil d'un trajecte, en línia recta, a través d'un mapa topogràfic entre dos punts del terreny representat.
L'exemple escollit en aquest camp seria una hipotètica ascensió al pic de l'Aneto, des del refugi d'alta muntanya de la Renclusa, al Pirineu d'Osca.
Es traça una línia recta que uneix els punts elegits.
Es marquen les interseccions de la recta amb les corbes de nivell.
A partir d'aquí s'elabora una taula que contingui a les abs-cisses, els valors de les distàncies, des de l'origen fins a cada intersecció, i a les ordenades, les altituds correspo-nents. Una vegada obtinguts aquests punts, es representen en el pla a l'escala adient. Finalment, s'uneixen els punts amb segments rectes, que donen lloc a una línia trencada, interpolació gràfica.
Aquesta representació reflecteix la variació del camp esca-lar, en el nostre exemple l'altitud, al llarg d'una línia deter-minada.
ex
pe
riè
NC
ia
1028
A
1024
102010161012
1008B
1004
Quan una magnitud física pren un valor determinat en cada un dels punts d’una zona de l’espai diem que en aquella zona existeix un camp.
Els camps escalars es representen per mitjà de línies formades per punts en els quals la magnitud escalar pren el mateix valor. Aquestes línies s’anomenen isolínies.
Tornant als exemples anteriors diríem que:
• En la cambra frigorífica hi ha un camp de temperatures.
• En l’atmosfera existeix un camp de pressions.
• En la superfície terrestre tenim un camp d’acceleracions.
2 | Camps escalars: isolínies
Quan la magnitud física que es mesura en cada punt d’un camp és una magnitud escalar, diem que es tracta d’un camp escalar.
Són exemples de camps escalars els camps de temperatures, pressions, altituds, densitats, energies potencials, etc.
El mapa del temps que tantes vegades hem vist a les informacions meteo-rològiques de la premsa i la televisió és un magnífic exemple de com es representa un camp escalar.
En la figura 1 pots veure un mapa del temps on es representa la pressió atmosfèrica en diferents punts d’una zona de la superfície terrestre. Cada una de les línies dibuixades està formada per punts en els quals hi ha la mateixa pressió. La línia que envolta la lletra A (anticicló) està formada per punts en els quals la pressió és de 1 028 mil·libars. Es pot observar, en desplaçar-se de A cap a B (borrasca), que la diferència de pressió entre cada dues línies consecutives és de 4 mil·libars. Per tant, en la línia que envolta la B la pressió serà de 1 000 mil·libars.
En alguns camps escalars les isolínies reben noms especials. Per exemple, en els camps de pressions (com el mapa del temps) s’anomenen isòbares i, en els camps de temperatures, isotermes.
A partir de les isòbares representades al mapa del temps de la figura 1, es podria deduir de manera aproximada el valor que tenia en aquell moment la pressió atmosfèrica a Barcelona, Madrid, Londres i Roma.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 2 21/4/09 11:37:23
3
Camp elèctric | 6
Secció d’un camp escalar i interpolació gràfica
La representació d'un camp escalar per mitjà d’isolínies és una projecció sobre un pla d'una realitat que es distribueix en l'espai de tres dimensions.
Per donar una nova representació d'aquesta realitat tridi-mensional, es pot construir una secció del camp escalar en una determinada trajectòria a través seu. Aquesta nova representació és també una projecció en dues dimensions del camp. En l'eix d'ordenades es representen els valors del camp escalar i en el d'abscisses, les distàncies des del punt de partida.
Un exemple pràctic, de fàcil construcció, és el per fil d'un trajecte, en línia recta, a través d'un mapa topogràfic entre dos punts del terreny representat.
L'exemple escollit en aquest camp seria una hipotètica ascensió al pic de l'Aneto, des del refugi d'alta muntanya de la Renclusa, al Pirineu d'Osca.
Es traça una línia recta que uneix els punts elegits.
Es marquen les interseccions de la recta amb les corbes de nivell.
A partir d'aquí s'elabora una taula que contingui a les abs-cisses, els valors de les distàncies, des de l'origen fins a cada intersecció, i a les ordenades, les altituds correspo-nents. Una vegada obtinguts aquests punts, es representen en el pla a l'escala adient. Finalment, s'uneixen els punts amb segments rectes, que donen lloc a una línia trencada, interpolació gràfica.
Aquesta representació reflecteix la variació del camp esca-lar, en el nostre exemple l'altitud, al llarg d'una línia deter-minada.
ex
pe
riè
NC
ia
0
R
A3 400
3 200
3 000
2 800
2 600
2 400
2 200
1 000 2 000 3 000 4 000distància horitzontal
m
altitudm
Ascensió al pic de l’Aneto des del refugi de la Renclusa (Pirineu d’Osca).
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 3 21/4/09 11:37:26
4
6 | Camp elèctric
3 | Camps vectorials: línies de camp
Quan en cada punt d’un zona de l’espai està definida una magnitud vecto-rial diem que en aquesta zona existeix un camp vectorial.
Són exemples de camps vectorials els camps gravitatoris i elèctrics, i també els camps de velocitats, d’acceleració, de forces, etc.
Els camps vectorials es representen per mitjà de línies de camp.
3. En un disc que gira tenim un exemple clar d’un camp vectorial, ja que a cada un dels seus punts li correspon un vector velocitat. En la figura se n’han representat alguns. Les velocitats de tots els punts situats a una mateixa distància del centre tenen el mateix mòdul, però diferent direcció o sentit. Així doncs, en la superfície del disc, no hi ha dos punts que tinguin el mateix vector velocitat.
4. La línia de camp indica les direccions dels vectors en cada un dels punts, però no proporciona informació referent als mòduls, que poden variar al llarg de la línia (com és el cas de la figura).
5. Camp de velocitats en un disc que gira. Les línies de camp són circulars i concèntriques. Observa els vectors velocitat tangents a aquestes línies.
6. Camp vectorial uniforme. Quan tots els punts d’un mòbil es mouen amb la mateixa velocitat (moviment de translació) el seu camp de velocitats és un camp uniforme. Les línies de camp són rectes paral·leles, com les traçades de blau en la figura.
En un camp vectorial s’anomenen línies de camp les línies tangents en cada punt al vector corresponent a aquest punt.
En la figura 4 s’ha dibuixat una línia de camp d’un camp vectorial imaginari i els vectors corresponents a diversos punts d’aquest camp.
En la figura 5 podem veure les línies de camp corresponents a l’exemple de la figura 3 (camp de velocitats en un disc que està girant).
Quan a tots els punts d’un camp vectorial els correspon un vector idèntic (en mòdul, direcció i sentit), diem que es tracta d’un camp uniforme.
Les línies de camp en un camp vectorial uniforme són un conjunt de rectes paral·leles; en la figura 6 en pots veure un exemple.
Observa que les línies de camp són una cosa molt diferent de les isolínies dels camps escalars. En les isolínies, la magnitud que defineix el camp té el mateix valor en tots els punts. Les línies de camp, en canvi, només tenen relació amb la direcció del vector a cada punt.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 4 21/4/09 11:37:38
5
Camp elèctric | 6
4 | Llei de Coulomb
Charles Coulomb va establir la llei d’interacció entre càrregues puntuals:
La intensitat de la força d’atracció o repulsió entre dues càrregues pun-tuals és directament proporcional al valor de cada una d’elles i inversa-ment proporcional al quadrat de la distància que les separa. Aquest enunciat es coneix amb el nom de llei de Coulomb. Matemàticament s’expressa així:
r r rF k
Q Q’u ur r= =
14r
Q Qr2 2π ε
’
on Q i Q’ són els valors de les càrregues, r la distància entre elles, F la força amb què s’atrauen o repel·leixen, k un coeficient el valor del qual depèn del sistema d’unitats en què s’expressa i del medi on es troben les càrregues, i u
→r és el vector unitari que indica la direcció de la força
aplicada.
7. Esquema de forces entre dues càrregues positives.
Si r→ és el vector que uneix la càrrega Q amb la càrrega Q’, el vector u
→r es
calcula:
rr
urrr = ; on r és el mòdul de r
→.
En el coeficient k =1
4,
π εε s’anomena permitivitat del medi.
El valor de k per al buit (o per a l’aire) és:
k00
914
9 10= =π ε
NmC
2
2
Es defineix la permitivitat relativa d’un medi com el quocient entre la permitivitat del medi i la del buit:
ε εεr =
0
De la igualtat anterior es dedueix que ε = ε0 εr, fet pel qual el valor de k en el SI és:
kr r
= = =1
41
49 10
0
9
π ε π ε ε ε N m
C
2
2
A partir de la fórmula de la llei de Coulomb es pot veure que càrregues del mateix signe es repel·leixen, mentre que si són de signe contrari s’atrauen.
Cal remarcar la gran similitud entre la llei de Coulomb i la llei de Newton d’atracció entre masses puntuals. En tots dos casos, les forces són inver-sament proporcionals al quadrat de la distància entre les partícules, i directament proporcionals al producte de les càrregues elèctriques o de les masses. Entre aquestes dues lleis es constaten les diferències següents: la constant de proporcionalitat gravitatòria és universal, mentre que la constant de la llei de Coulomb depèn del medi on es troben les càrregues, i les forces gravitatòries són sempre atractives, mentre que les elèctriques són atractives entre càrregues de signes contraris i de repulsió entre càrre-gues del mateix signe.
Q
Q’
F
–F
ur
r
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 5 21/4/09 11:37:42
6
6 | Camp elèctric
5 | energia potencial elèctrica
Les forces d’interacció entre les càrregues puntuals són forces conserva-tives, i per tant entre elles hi haurà una energia potencial elèctrica. Si con-venim considerar la referència d’energia potencial nul·la quan les càrregues es troben a una distància infinita, l’energia potencial quan es trobin a una distància r serà:
U r F drk Q Q’
ruE
r
2
r
r ( ) = – · = –r r r
∞ ∞∫ ∫ · = – =drr k Q Q’
rdr
k Q Q’r2
r
∞∫
∞
r
En substituir els límits d’integració resulta:
Q
Ue
r
rQ’
+ –
8. Variació de l’energia potencial amb distància entre dues càrregues de signes contraris.
Q
Ue
r
rQ’
+ +
9. Variació de l’energia potencial amb distància entre dues càrregues del mateix signe.
P
Q
O ur
r
10. Representació de l’entorn d’una càrrega puntual Q amb el vector de posició d’un punt P, r
→, i el vector unitari en
aquesta de direcció u→
r.
rr
rr
EFQ
Qr
uQr
rrr= = =
’1
41
42 2π ε π ε
La intensitat d’un camp elèctric en un punt és la força que actua sobre la unitat de càrrega positiva situada en aquest punt per unitat de càrrega.
U rk Q Q’
rE ( ) = =1
4 π εQ Q
r’
En aquest cas, veiem que l’energia potencial depèn dels signes de les càr-regues. Quan les càrregues són de signes contraris l’energia potencial és negativa. El valor màxim d’aquesta energia potencial es dóna quan les càrregues es troben a una distància infinita, atès que la força entre les càrregues és d’atracció. Podem veure’n un exemple a la figura 8.
Si les càrregues són del mateix signe, la força serà de repulsió. Per tant, la posició amb energia potencial menor serà amb les dues càrregues situades a una distància infinita. Com que hem convingut que és nul·la, totes les altres situacions hauran de tenir energia potencial positiva, tal com es mostra en la gràfica de la figura 9.
6 | Camp elèctric
La intensitat de camp elèctric s’expressa en el SI en N/C.
Per expressar vectorialment la intensitat del camp elèctric creat per una càrrega puntual Q en un punt qualsevol, P, tal com es representa en la figu-ra 10, acceptarem els convenis següents:
• A cada semirecta amb origen en el punt O, on es troba la càrrega Q, s’adopta com a sentit positiu el que s’allunya de O.
• Es designa mitjançant r→ el vector posició del punt P.
• Se simbolitza amb r la distància del punt O al punt P (r = r→ ) .
• Es representa mitjançant u→
r el vector unitari en la direcció i el sentit del
vector: r r
r
r urrr: = .
La intensitat del camp elèctric creat per una càrrega puntual Q en un punt situat a una distancia r de Q és:
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 6 21/4/09 11:37:47
7
Camp elèctric | 6
7 | Camps elèctrics creats per una o més càrregues puntuals
Quan dues o més càrregues puntuals estan situades en una mateixa zona de l’espai, el camp elèctric que crea cadascuna no està influït per la pre-sència de les càrregues restants. Per això, la intensitat del camp elèctric en un punt qualsevol es calcula aplicant l’anomenat principi de superposi-ció de camps, que es pot enunciar de la manera següent:
La intensitat del camp elèctric creat en un punt de l’espai per un conjunt de càrregues puntuals és igual a la suma vectorial de les intensitats dels camps que crearia per separat cadascuna d’aquestes càrregues.
1. Tres càrregues elèctriques puntuals Qa = 0,2 μC, QB = – 0,3 μC i QC = 0,1 μC estan situades respecti-vament en els punts, les coordenades en metres dels quals són a(–2, 3), B(9, –9) i C(7, 7). Calcula la intensitat del camp elèctric creat per aquestes càrregues en el punt p(4, 3), si la permitivitat relativa del medi en què es troben és εr = 1,5.
Les intensitats dels camps elèctrics que cadascuna d’aquestes càrregues crea en el punt P tindran direccions diferents. Per això, haurem d’expressar-les vectorialment. Per calcular-les aplicarem:
r rE
Qr
ur=1
4 2π ε
Per trobar els vectors unitaris corresponents als camps creats per cadascuna de les tres càrregues, primerament calcularem els vectors AP
u ru, BP
u ru i CP
u ru i els seus mòduls (observa la figura):
r→
A = APu ru
= (4, 3) – (–2, 3) = (6, 0) = 6 i→
r→
A = 6 m
r→
B = BPu ru
= (4, 3) – (9, –9) = (–5, 12) = –5 i→ + 12 j
→
rrB = + 12 = 13 m2(– )5 2
r→
C = CPu ru
=(4, 3) – (7, 7) = (–3, –4) = –3 i→ – 4 j
→
rrC = + (–4) = 5 m2(– )3 2
Els vectors unitaris corresponents són:
rr
rr
ur
riA
A
A
= = (com es dedueix de la figura)
rr
r
r r
ur
ri j
BB
B
= =+–5 1213
rr
r
r r
ur
ri j
CC
C
= =––3 45
Si la permitivitat relativa del medi és d’1,5, llavors:
14
14
9 101 5
60
9
= = =π ε π ε εr
,N m C2 –2 109 N m
C
2
2
e x e m p L e
P
Y
XO
A
C
B–
C+
+uA
uB
uC
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 7 21/4/09 11:37:53
8
6 | Camp elèctric
El nombre de línies de camp és infinit. Si se’n tracessin moltes, tota la super-fície del dibuix estaria ocupada per les línies i no seria possible distingir les unes de les altres, fet pel qual només se’n traça un nombre limitat.
En la figura 11 s’han representat les línies del camp elèctric creat per dues càrregues puntuals positives i iguals, i en la figura 12, les del camp creat per dues càrregues puntuals iguals però de signe contrari. En tots dos casos totes les línies de camp són corbes, excepte les situades sobre la recta que passa per les dues càrregues.
Ara podem calcular les intensitats dels camps creats per cadascuna de les tres càrregues:
r rE
Q
ruA
A
AA= =
14
6 100 2 10
29
2
π ε
N mC2
, ––
( ),
6
2633 3
m=C
NC
r ri i
r rE
Q
ruB
B
BB= =
14
6 100 3 1
29
2
π ε
N mC2
– , 0013
5 12 4 1 9 86
2
–
( )(– ) , – ,
Cm
=r r r ri j i j+ NN
C
r rE
Q
ruC
C
CC= =
14
6 100 1 10
29
2
π ε
N mC2
, ––
( )(– ) , ,
6
253 4 14 4 19 2
Cm
– = – –r r ri j i
rj
NC
La intensitat del camp elèctric en el punt P és la suma vectorial de les tres intensitats de camp que hem calculat:
r r r r r rE E E E i jA B C= + + = –
NC
23 29
Els camps vectorials es representen per mitjà de línies de camp. En un camp vectorial s’anomenen línies de camp les línies tangents en cada punt al vector corresponent a aquest punt. S’assigna a aquestes línies el sentit del vector intensitat de camp.
r e C o r d a q u e
Línia de camp
E
E
E
+ + + –
11. Camp creat per dues càrregues positives iguals.
12. Camp creat per dues càrregues iguals i de signe contrari.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 8 21/4/09 11:37:59
9
Camp elèctric | 6
En les zones en què les línies estan molt properes entre si, la intensitat del camp és més gran que en les zones on estan molt separades. Així doncs, el diagrama de línies de camp no informa només de la direcció i del sentit del vector intensitat de camp, sinó també del seu mòdul.
És interessant observar que les línies de camp no són les trajectòries que segueixen les partícules electritzades en moure’s lliurement sota l’acció de les forces del camp. Per contra, quan només actuen aquestes forces i les línies de camp són corbes, és impossible que una partícula electritzada s’hi desplaci.
Com sabem, en tot moviment curvilini la força que actua sobre el mòbil ha de tenir un component normal a la trajectòria; aquest component és preci-sament el que fa variar la direcció del moviment. Si la trajectòria fos una línia de camp, no existiria aquest component normal de la força, ja que és tangent a la línia.
8 | potencial elèctric
La unitat de potencial elèctric en el SI és el joule per coulomb, que s’ano-mena volt (V).
El potencial del camp elèctric d’una càrrega puntual Q en un punt situat a una distància r de la càrrega és:
S’anomena potencial d’un camp elèctric en un punt l’energia potencial de la unitat de càrrega positiva situada en aquest punt per unitat de càrrega.
VU r
QQr
E= =( )’
14 π ε
WC = –∆UE = –(Q VB – Q VA) = Q (VA – VB)
9 | potencials dels camps creats per una o diverses càrregues puntuals
Per calcular el potencial en un camp creat per diverses càrregues puntuals, es pot aplicar el principi de superposició; és a dir, el potencial en un punt és la suma algebraica dels potencials que crearia en aquest punt cadascu-na de les càrregues.
Però, en general, més que el valor del potencial en un punt, interessa la diferència de potencial entre els punts del camp. Mitjançant aquesta dife-rència es pot calcular fàcilment el treball que realitza la força electrostàtica quan es desplaça una càrrega Q entre dos punts.
Suposa que es trasllada la càrrega Q d’un punt A, el potencial del qual és VA, a un altre punt B, de potencial VB. L’energia potencial de la càrrega Q en aquests punts serà Q VA i Q VB, respectivament. Per tant, el treball realitzat pel camp és:
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 9 21/4/09 11:38:00
10
6 | Camp elèctric
2. dues càrregues puntuals, Qa = +10–10 C i QC = –2 10–10 C, es troben respectivament en els vèrtexs a i C d’un quadrat aBCd de 10 cm de costat (observa la figura). Calcula el potencial en el centre o del quadrat i en el vèrtex d, si el medi en què es troben les càrregues és l’aire.
quin treball realitza el camp quan es trasllada una càrrega Q = 5 10–9 C des de d fins a o?
La distància de cadascuna de les càrregues en el centre O del quadrat és:
r =
+ (0,1 m)=
2( , ),
0 12
0 07072m
m
El potencial a O s’obté sumant els potencials dels camps que crearien QA i QC per separat:
VQr
Q
rQrO
A C A= + = +1
41
41
4π ε π ε π εCQ
r
Si substituïm 1
4 π ε QA, QC i r pels seus valors, resulta:
VO = +9 1010
0 07072 109
10 10
N m
CCm
C2
2
– –
,–00 0707
12 7,
– ,=m
V
El potencial en el vèrtex D es calcula de la mateixa manera; l’única diferència és que la distància de cada càrrega al punt D és r = 0,1 m. Així, doncs, el potencial a D és:
VD = +9 10100 1
2 100 1
910 10
N m
CC
mC2
2
– –
,–
, mmV
= – 9
El fet que els potencials resultin negatius significa que una unitat de càrrega positiva tindria menys energia potencial situada en els punts O o D, que si estigués infinitament allunyada de les càrregues QA i QC.
El treball realitzat pel camp quan traslladem la càrrega Q de D a O és:
WC = Q (VD – VO) = 5 10–9 C (–9 + 12,7) V = 18,5 10–9 J
e x e m p L e
–
+
C
A10 cm
10
cm
D
O
B
Els camps escalars es representen en un pla per mitjà de línies formades per punts en els quals la magnitud escalar pren el mateix valor. Aquestes línies s’anomenen isolínies.
En l’espai de tres dimensions els punts en els quals una magnitud escalar pren el mateix valor no formen línies, sinó superfícies.
r e C o r d a q u e
En el camp creat per una càrrega puntual, tots els punts situats a una dis-tància r de la càrrega tenen el mateix potencial. Aquests punts formen una superfície esfèrica de radi r amb centre en la càrrega puntual.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 10 21/4/09 11:38:03
11
Camp elèctric | 6
A B
+Q
Així doncs, les superfícies equipotencials són un conjunt de superfícies esfèriques concèntriques (figura 13).
Si no considerem tots els punts de l’espai sinó només un pla que passi pel centre del camp, els punts d’igual potencial determinaran un conjunt de circumferències concèntriques, que, com ja sabem, reben el nom d’isolí-nies (figura 14).
13. Les superfícies equipotencials en el camp creat per una càrrega puntual són superfícies esfèriques concèntriques.
14. Les isolínies del camp creat per una massa puntual són circumferències concèntriques.
+ +
16. Línies equipotencials en el camp creat per dues càrregues positives iguals.
+ –
17. Línies equipotencials en el camp creat per dues càrregues iguals i de signe contrari.
15. La intensitat de camp és perpendicular a la superfície equipotencial.
Naturalment existeixen infinites isolínies; en passa una per cada punt de l’espai. Però a l’hora de representar un camp, només se’n tracen algunes, de manera que la diferència de potencial entre dues isolínies consecutives sigui sempre la mateixa. Apareixen molt a prop l’una de l’altra en la zona propera al centre del camp. En allunyar-se del centre, la separació entre isolínies consecutives va augmentant (figura 14).
Quan una càrrega elèctrica es mou sobre una superfície equipotencial, el treball realitzat pel camp és constantment nul, ja que no hi ha diferència de potencial entre els diferents punts del recorregut.
Com que actua una força sobre la càrrega i aquesta es desplaça, el treball només pot ser nul si la força és perpendicular al desplaçament. Per aques-ta raó, les línies de camp, que tenen la direcció de la força, són sempre perpendiculars a les superfícies equipotencials (Fig. 15).
En les figures 15 i 16 s’han representat les isolínies i les línies de camp en el cas del camp creat per dues càrregues puntuals iguals del mateix signe i de signes contraris. En aquest cas, les isolínies representen les intersec-cions de les superfícies equipotencials amb el pla del dibuix. Es pot veure clarament com cada isolínia forma un angle recte amb totes les línies de camp que talla.
Les superfícies formades per punts que posseeixen el mateix potencial s’anomenen superfícies equipotencials.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 11 21/4/09 11:38:18
12
6 | Camp elèctric
Hi ha diverses aplicacions que representen els camps elèctrics al voltant d’una o més càrregues elèctri-ques. L’objectiu de l’experiència que proposem és arribar a tenir unes nocions més completes del com-portament dels camps elèctrics, dels seus efectes i les seves representacions a l’espai.
Un exemple d’aplicació és fislab.net de la xtec. En aquest entorn podem escollir la simulació d’elec-trostàtica.
En aquesta aplicació podem establir diferents situa-cions:
– Escollir el valor de la càrrega elèctrica, entre –5 mC i 5 mC, en valors enters. Fent clic amb el ratolí da munt d’on és la càrrega aquesta va canviant el seu valor d’un en un mC.
– Situar-la en un lloc determinat del pla fixant-ne les coordenades cartesianes, es pot arrossegar la càrrega amb el ratolí, o establir-ne les coordena-des en les caselles corresponents.
– Afegir més càrregues.
– Representar els vectors camp elèctric, fent clic amb el ratolí, en un punt del pla diferent d’on hi ha la càr-rega. A la part inferior de l’àrea de treball es donen els valors del mòdul del vector intensitat de camp, dels seus components, de l’angle que forma amb l’eix horitzontal, i del potencial elèctric en aquest punt assenyalat, a més de les coordenades d’aquest.
– Representar les línies de camp.
– Representar isolínies, equipotencials.
– Representar les superfícies equipotencials, en 3D.
Camp creat per una càrrega puntual
Començarem escollint la representació del camp d’una sola càrrega.
1. Observarem i anotarem com varia la representa-ció del camp en anar incrementant el valor de la càrrega, entre 1 mC i 5 mC. Podem situar aquesta càrrega en el centre de coordenades.
2. Repetirem l’observació amb càrregues negatives, entre –1 mC i –5 mC.
Després podrem respondre les preguntes següents:
a) Com varia la representació de les línies de camp en anar augmentant el valor absolut de la càrrega?
b) Quina diferència hi ha entre la representació de les línies de camp per una càrrega positiva o per una càrrega negativa.
3. Observació conjunta de línies de camp i d’isolí-nies, per cadascuna de les càrregues: –4 mC, –2 mC, 1 mC, 3 mC i 5 mC. Després d’aquesta ob ser vació respon la qüestió:
Com són les línies de camp respecte les isolínies?
4. Aprofitant la representació dels eixos de coorde-nades, amb divisions de longitud de 10 m en 10 m, completa una taula com la següent, a partir d’una càrrega determinada:
Valor de la càrrega, Q = 4 mC
Distància a la càrrega
r (m)
Valor del camp elèctric
E (N/C)
Valor del potencial elèctric
V (V)
E ×r2 V ×r
50
100
150
200
250
Un cop completada la taula, esbrina les qüestions següents:
a) Quina relació hi ha entre el valor del camp elèc-tric, E, la càrrega, Q, i la distància, r, entre la càr- rega i el punt?
b) Determina la relació entre el valor del potencial elèctric, V, la càrrega, Q, i la distància, r, de la cà -rrega al punt considerat.
Camp creat per dues càrregues puntuals
5. Escollirem primer dues càrregues del mateix valor i de signes oposats, situarem les càrregues en posicions simètriques respecte l’origen de coorde-nades. Observarem com són les línies de camp.
a) Com s’han modificat les línies de camp respecte de la seva representació per una sola càrrega?
A partir d’una de les línies de camp, representa el vector intensitat de camp elèctric al llarg de la línia, en uns quants punts que vagin de la càrrega positiva a la negativa, i anota els valors del camp elèctric i del potencial en cada punt.
ex
pe
riè
NC
ia Simulació de línies de camp i isolínies de camps elèctrics
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 12 21/4/09 11:38:19
13
Camp elèctric | 6
L’explicació és la següent: tot conductor ho és perquè conté una quantitat enorme de partícules que posseeixen càrrega elèctrica i poden moure’s lliurement pel seu interior. Però, si un conductor està carregat estàticament, no hi circula corrent elèctric; és a dir, les partícules carregades que conté no es desplacen en una direcció determinada. Això demostra que no hi ha camp elèctric a l’interior del conductor, ja que, si n’hi hagués, exerciria una força sobre les partícules carregades que les obligaria a desplaçar-se.
Per altra banda, com que la intensitat del camp és nul·la, el treball W realit-zat sobre qualsevol partícula amb càrrega Q que es desplacés d’un punt A a un altre B a l’interior del conductor també seria nul. Per tant, la diferència de potencial entre A i B valdrà:
VA – VB = W/Q = 0/Q = 0
D’aquí es dedueix que VA = VB, és a dir, que tots els punts a l’interior del conductor tenen el mateix potencial elèctric.
En la figura 18 es pot veure com es distribueixen les partícules carregades en una esfera metàl·lica electritzada negativament. Els punts vermells repre-senten les partícules positives (ions del metall) i els negres, les negatives
b) Com són els vectors intensitat de camp elèctric respecte de les línies de camp?
c) Com canvia el potencial elèctric?
6. Escollirem ara dues càrregues del mateix valor i d’igual signe, i les situarem en posicions simètri-ques respecte de l’origen de coordenades. Obser-varem com són les línies de camp.
a) Com s’han modificat les línies de camp respecte de la seva representació per una sola càrrega?
A partir d’una de les línies de camp, representa el vector intensitat de camp elèctric al llarg de la línia, en uns quants punts que vagin des d’una de les càrregues cap a punts cada vegada més allu-nyats de la càrrega, i anota els valors del camp elèctric i del potencial en cada punt.
b) Com són els vectors intensitat de camp elèctric respecte les línies de camp?
c) Com canvia el potencial elèctric?
7. Per a cadascuna de les situacions dels apartats 5 i 6, observa la representació conjunta de les línies de camp i de les isolínies. Tot seguit respon les preguntes següents:
a) Com són, en cada situació, les línies de camp respecte les isolínies?
b) És possible establir algunes simetries en la repre-sentació de les línies de camp?
c) I en la representació de les isolínies, podem veu-re-hi alguna simetria?
ex
pe
riè
NC
ia
10 | Camp elèctric creat per una distribució esfèrica de càrrega
En el cas de distribucions uniformes de càrrega en una esfera, els camps creats a l’exterior d’aquesta, seran iguals als que crearia una massa o una càrrega d’igual magnitud, situada al centre de l’esfera.
Quan es tracti d’una esfera conductora carregada, caldrà tenir present les consideracions següents:
18. Esfera metàl·lica carregada negativament. Els punts vermells són partícules positives i els negres, negatives.
Hi ha diverses aplicacions que representen els camps elèctrics al voltant d’una o més càrregues elèctri-ques. L’objectiu de l’experiència que proposem és arribar a tenir unes nocions més completes del com-portament dels camps elèctrics, dels seus efectes i les seves representacions a l’espai.
Un exemple d’aplicació és fislab.net de la xtec. En aquest entorn podem escollir la simulació d’elec-trostàtica.
En aquesta aplicació podem establir diferents situa-cions:
– Escollir el valor de la càrrega elèctrica, entre –5 mC i 5 mC, en valors enters. Fent clic amb el ratolí da munt d’on és la càrrega aquesta va canviant el seu valor d’un en un mC.
– Situar-la en un lloc determinat del pla fixant-ne les coordenades cartesianes, es pot arrossegar la càrrega amb el ratolí, o establir-ne les coordena-des en les caselles corresponents.
– Afegir més càrregues.
– Representar els vectors camp elèctric, fent clic amb el ratolí, en un punt del pla diferent d’on hi ha la càr-rega. A la part inferior de l’àrea de treball es donen els valors del mòdul del vector intensitat de camp, dels seus components, de l’angle que forma amb l’eix horitzontal, i del potencial elèctric en aquest punt assenyalat, a més de les coordenades d’aquest.
– Representar les línies de camp.
– Representar isolínies, equipotencials.
– Representar les superfícies equipotencials, en 3D.
Camp creat per una càrrega puntual
Començarem escollint la representació del camp d’una sola càrrega.
1. Observarem i anotarem com varia la representa-ció del camp en anar incrementant el valor de la càrrega, entre 1 mC i 5 mC. Podem situar aquesta càrrega en el centre de coordenades.
2. Repetirem l’observació amb càrregues negatives, entre –1 mC i –5 mC.
Després podrem respondre les preguntes següents:
a) Com varia la representació de les línies de camp en anar augmentant el valor absolut de la càrrega?
b) Quina diferència hi ha entre la representació de les línies de camp per una càrrega positiva o per una càrrega negativa.
3. Observació conjunta de línies de camp i d’isolí-nies, per cadascuna de les càrregues: –4 mC, –2 mC, 1 mC, 3 mC i 5 mC. Després d’aquesta ob ser vació respon la qüestió:
Com són les línies de camp respecte les isolínies?
4. Aprofitant la representació dels eixos de coorde-nades, amb divisions de longitud de 10 m en 10 m, completa una taula com la següent, a partir d’una càrrega determinada:
Valor de la càrrega, Q = 4 mC
Distància a la càrrega
r (m)
Valor del camp elèctric
E (N/C)
Valor del potencial elèctric
V (V)
E ×r2 V ×r
50
100
150
200
250
Un cop completada la taula, esbrina les qüestions següents:
a) Quina relació hi ha entre el valor del camp elèc-tric, E, la càrrega, Q, i la distància, r, entre la càr- rega i el punt?
b) Determina la relació entre el valor del potencial elèctric, V, la càrrega, Q, i la distància, r, de la cà -rrega al punt considerat.
Camp creat per dues càrregues puntuals
5. Escollirem primer dues càrregues del mateix valor i de signes oposats, situarem les càrregues en posicions simètriques respecte l’origen de coorde-nades. Observarem com són les línies de camp.
a) Com s’han modificat les línies de camp respecte de la seva representació per una sola càrrega?
A partir d’una de les línies de camp, representa el vector intensitat de camp elèctric al llarg de la línia, en uns quants punts que vagin de la càrrega positiva a la negativa, i anota els valors del camp elèctric i del potencial en cada punt.
ex
pe
riè
NC
ia
En tots els conductors carregats estàticament, la càrrega elèctrica es distribueix automàticament de manera que la intensitat del camp és nul-la a l’interior del conductor i el potencial igual en tots els seus punts.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 13 21/4/09 11:38:22
14
6 | Camp elèctric
(electrons). L’interior de l’esfera conté la mateixa quantitat de partícules de cada signe, fet pel qual és elèctricament neutre. Només a la superfície les partícules negatives superen en nombre les positives, fet pel qual aquesta zona està carregada negativament.
En els conductors carregats estàticament, la càrrega elèctrica se situa sem-pre en la superfície, mentre que l’interior roman elèctricament neutre.
La càrrega estàtica se situa a la superfície dels conductors perquè les càr-regues amb el mateix signe tendeixen a allunyar-se les unes de les altres al màxim a causa de la força de repulsió entre aquestes. Per aquesta mateixa raó, les càrregues elèctriques tendeixen a concentrar-se més a les zones sortints o punxegudes.
Tant si el conductor és buit com si és massís, la càrrega elèctrica es distri-bueix de la mateixa manera (Fig. 19), ja que es troba tota únicament a la superfície.
En els conductors esfèrics la càrrega es distribueix uniformement en tota la superfície, ja que no té cap zona que sobresurti. Les línies de camp són radials com les del camp creat per una càrrega puntual, però no existeixen a l’interior de l’esfera, ja que, com sabem, la intensitat de camp és nul·la en aquesta zona (Fig. 20).
En l’espai que envolta l’esfera, la intensitat del camp és la mateixa que crearia una càrrega puntual igual a la càrrega total de l’esfera, situada en el seu centre. En un punt P, el vector posició del qual respecte del centre de l’esfera és r
→ (Fig. 20), la intensitat del camp serà, per tant:
r rr
EQr
uQr
rrr= =
14
142 2π ε π ε
El potencial elèctric a la superfície i a l’exterior d’un conductor esfèric és:
VQr
=1
4 π ε
En les dues expressions anteriors, ε representa la permitivitat del medi que envolta el conductor esfèric.
A l’interior d’un conductor esfèric, el potencial és el mateix que a la seva superfície, ja que tots els punts d’un conductor carregat estàticament tenen el mateix potencial elèctric.
++++
+
+
++
+++
+
+
+++
++++
+
+
++
+++
+
+
+++
19. Representació de la càrrega en un conductor massís i en un conductor buit. La càrrega es distribueix en tots dos de la mateixa manera: a la superfície del conductor i més concentrada a les zones sortints.
P
O
+++ ++ +
+ ++ ++ +
+ +++
E
r
20. Camp creat per un conductor esfèric carregat elèctricament.
3. una esfera conductora de radi R = 10 cm es troba en un medi, la permitivitat relativa del qual és εr = 3. es carrega l’esfera d’electricitat fins que el potencial a la seva superfície és de V = 180 V. Calcula:
a) La càrrega de l’esfera.
b) el mòdul de la intensitat del camp i el potencial elèctric a 15 cm de la superfície.
c) La intensitat del camp i el potencial elèctric a 5 cm del centre.
a) El potencial a la super fície de l’esfera és:
V
Qr
=1
4 π ε
e x e m p L e
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 14 21/4/09 11:38:28
15
Camp elèctric | 6
11 | Camp uniforme
En el cas del camp elèctric, s’obtenen camps uniformes a l’espai que queda entre les làmines d’uns dispositius anomenats condensadors plans, constituïts per dues làmines planes metàl·liques iguals, paral·leles, situa-des una davant de l’altra a una distància molt petita en comparació amb les seves dimensions i separades per un dielèctric. El camp elèctric creat per un condensador pla és uniforme i perpendicular a les armadures i es limita pràcticament a la zona compresa entre aquestes. La intensitat del camp és igual en tots els punts i les línies de camp són rectes perpendiculars a totes dues armadures (Fig. 21). El camp només presenta una lleugera dis-torsió a la zona pròxima a les vores de les plaques.
Les superfícies equipotencials són planes i paral·leles a les làmines del condensador.
En els camps uniformes existeix una relació senzilla entre la variació del potencial i el vector intensitat de camp.
Recordem que la força, F→
E, sobre una càrrega elèctrica, Q, en un punt on el vector intensitat de camp elèctric, E
→, és conegut val:
F→
E = Q E→
Si el camp elèctric és uniforme, la força serà constant.
La variació d’energia potencial d’una càrrega Q, en anar d’una posició inici-al, A, a una final, B, es pot determinar així:
∆UE= Q (VA – VB) = Q ∆V
D’altra banda, aquesta variació d’energia potencial també es pot calcular com el treball, canviat de signe, de la força del camp elèctric en traslladar
Aïllem Q, i obtenim:
QV R
= =V m
N m C
14
180 0 1
9 103
9 2 2
π ε
,–
= C6 10 9 –
b) Un punt situat a 15 cm de la super fície de l’esfera de 10 cm de radi es troba a 25 cm del centre. El mòdul de la intensitat de camp en aquest punt és:
E
Qr
= =N m C C1
49 10
36 1002
9 2 2 9
π ε – –
( ,225288
2m=
NC)
El potencial elèctric en aquest punt és:
V
Qr
= =N m C C1
49 10
36 10
0
9 2 2 9
π ε – –
( ,22572
m= V
)
c) Un punt a 5 cm del centre està situat a l’interior de l’esfera, fet pel qual la intensitat del camp elèctric serà nul·la.
El potencial elèctric és el mateix a l’interior que a la superfície del conductor, és a dir, serà de 180 V.
21. Línies de camp (en vermell) i superfícies equipotencials (en blau) en un condensador pla.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 15 21/4/09 11:38:31
16
6 | Camp elèctric
la càrrega, Q, de A a B. En el cas d’un camp uniforme, en ser la força cons-tant, aquest treball serà:
∆UE = –WA→B (F→
E) = – F→
E · (r→
B – r→
A) = –Q E→ · (r
→B – r
→A) = –Q E
→ · ∆r
→
Per tant, Q ∆V = –Q E→ · ∆r
→
I simplificant la càrrega, Q, ∆V = –E→ · ∆r
→
Aquesta darrera expressió relaciona el vector intensitat de camp elèctric amb la variació de potencial en un camp uniforme. Tal com es pot veure, si el des-plaçament es produeix en el mateix sentit que el del vector intensitat de camp el potencial disminueix, mentre que si es fa en sentit contrari el potencial aug-menta. Les línies de camp indiquen el sentit de la disminució del potencial.
Si d és la distància entre les superfícies planes de potencials VA i VB, la component del vector intensitat de camp elèctric en la direcció perpendicu-lar a les superfícies val:
EVd
= –∆
El vector intensitat de camp tindrà el sentit oposat a l’augment del potencial.
4. una partícula amb càrrega elèctrica de 2 nC i una massa de 4 mg es troba en equilibri a l’espai central que hi ha entre les dues làmines paral·leles i horitzontals d’un condensador.
Tot aquest sistema es troba en un laboratori a prop de la superfície de la Terra.
a) dibuixa un esquema de les forces que produeixen aquest equilibri.
b) Calcula el camp elèctric en el lloc on està situada la partícula.
c) quina és la diferència de potencial entre les làmines del condensador, separades una distància de 2 cm? quina, de les dues làmines, té un potencial més elevat?
d) explica què passarà si situem aquest sistema en un avió que vola a una altura de 10 000 m sobre la superfície de la Terra?
a) Tal com mostra la figura, les forces que equilibren la par-tícula són la força d’atracció gravitatòria, a prop de la super fície de la Terra, i la força electrostàtica sobre la partícula, que fa el camp elèctric entre les làmines del condensador. Segons això:
F→
E + m g→ = 0
b) De l’expressió anterior i del valor de la força electrostàti-ca respecte de la càrrega elèctrica, en po dem obtenir el valor del camp elèctric E
→ : F
→E = Q E
→.
r r r
Em gQ
j= – = –
kg N/kg4 10 9 82 10
6× – (– , )
––919 600
C=
NC
rj
e x e m p L e
+
FE
FG
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 16 21/4/09 11:38:34
17
Camp elèctric | 6
AB
D
F
PC
+
–
12 | el tub de raigs catòdics
El científic britànic, William Crookes (1832-1919), va ser el descobridor del tub de raigs catòdics, (tub de Crookes). Consistia en un tub o recipient de vidre en el qual s’havia fet parcialment el buit, que contenia dos elèctrodes entre els quals s’aplicava una diferència de potencial molt elevada, i es produïa un raig de partícules que sortien del càtode i es desplaçaven en línia recta, els quals produïen fosforescència en xocar contra determinades substàncies.
J.J. Thomson, l’any 1897, va realitzar un experiment en el qual va demostrar que els raigs catòdics poden ser desviats per camps elèctrics i magnètics. Per tant, estan formats per partícules carregades, amb càrrega negativa.
c) En un camp uniforme sabem que la relació entre el vector intensitat de camp i la diferència de potencial entre dos punts situats a una distància d, en la mateixa direcció i sentit del vector inten-sitat s’expressa:
E
Vd
= –∆
d’on,
∆V = – d E
i substituint valors,
∆V = – 0,02 m 19 600 V/m = – 392 V
El signe – indica que el potencial disminueix en el sentit del vector intensitat del camp elèctric; per tant, la làmina amb el potencial elèctric més alt és la inferior.
d) Si situem aquest sistema 10 000 m més amunt, la força d’atracció del camp gravitatori serà més petita, en disminuir el vector g
→. De forma que, si es manté la diferència de potencial entre les làmi-
nes del condensador, la força electrostàtica sobre la partícula serà més gran que la gravitatòria, i la resultant no serà nul·la, sinó que hi haurà una acceleració en sentit ascendent.
Encara que aquesta acceleració serà petita.
Fig. 22 Esquema del tub de raigs catòdics que va fer servir Thomsom per mesurar la relació q/m de les partícules que formen els raigs catòdics.
En l’esquema (Fig. 22) podem veure que els electrons generats en el càto-de, C, són accelerats fins l’ànode, A, amb una diferència determinada de potencial entre aquests dos elèctrodes. Finalment es redueix el feix fent passar els electrons per una petita escletxa de l’ànode B, després de la
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 17 21/4/09 11:38:40
18
6 | Camp elèctric
qual són desviats per les plaques metàl·liques carregades D i F (positiva la D i negativa la F) entre les quals hi ha un camp elèctric uniforme. Aquest camp produeix en els electrons una desviació igual a la del tir horitzontal d’una massa a l’interior del camp gravitatori constant prop de la superfície de la Terra.
En lloc de les plaques metàl·liques planes carregades, que generen un camp elèctric uniforme, es poden utilitzar electroimants amb el camp mag-nètic perpendicular a l’elèctric de les plaques. Aquest camp magnètic tindrà un efecte similar al del camp elèctric, encara que l’acceleració produïda serà centrípeta, i no vertical i constant. No obstant això, si l’amplada del camp magnètic constant no és gaire gran, el seu efecte serà molt semblant al del camp elèctric uniforme.
J.J. Thomson va utilitzar aquest camp magnètic uniforme conjuntament amb el camp elèctric, també uniforme i perpendicular al magnètic per calcular la velocitat de les partícules en entrar a la zona situada entre les plaques.
Si sabem l’energia comunicada als electrons per la diferència de potencial entre el càtode i l’ànode, podem calcular la desviació que tindran en creuar l’amplada de les plaques carregades, i finalment veure la desviació poste-rior fins que impactin sobre la pantalla fosforescent.
La velocitat que assoleixen els electrons accelerats entre el càtode i l’ànode es pot calcular tot aplicant la conservació de la seva energia mecànica:
∆Ek = –∆UE
Llavors:
12
2 =m v Q Ve ∆
I, per tant,
y1
d L
y2
vy
vxvx
Plaquesdeflectores
Pantalla
23. Esquema de les desviacions d’un electró en creuar el camp elèctric uniforme i arribar fins la pantalla fosforescent en l’experiment de J.J. Thomson.
On m és la massa de l’electró, Qe la seva càrrega elèctrica, v la velocitat en arribar a l’ànode, i ∆V la diferència de potencial entre l’ànode i el càtode.
Aquesta és la velocitat amb què els electrons entren a l’espai que hi ha entre les plaques D i F, en el qual es genera un camp elèctric vertical i uni-forme. En creuar aquest espai els electrons són desviats verticalment. Es pot calcular la velocitat de sortida aplicant la dinàmica d’un moviment uni-formement variat, amb la força perpendicular a la velocitat inicial. Es tracta d’un moviment de tir horitzontal:
vQ V
me2 2
=∆
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 18 21/4/09 11:38:42
19
Camp elèctric | 6
Considerem E el camp elèctric entre les plaques, vx la velocitat horitzontal d’entrada a les plaques, la qual serà igual a la velocitat assolida en l’ànode pels electrons. Per tant l’acceleració vertical dels electrons serà:
aQ E
me= ;
L’electró tarda a creuar les plaques:
∆td
=v x
.
La velocitat de sortida de la partícula de les plaques tindrà un component vertical de valor:
v a tQ E
mdvy
e
x
= =∆
A més, en aquest mateix interval de temps la partícula haurà experimentat un desplaçament vertical y1:
y a tQ E
mdv
e
x1
2
212 2
= =( )∆
Un cop ha sortit de les plaques continua amb una velocitat v→ = vx i
→ + vy j
→, i
quan arriba a la pantalla, el seu desplaçament vertical s’incrementa en una quantitat y2:
y vLv
Q E
mdv
Lvy
x
e
x x2 = =
El desplaçament vertical total es pot escriure:
y yQ E
m vd
d Le
x1 2 2
2
2+ = +
J.J. Thomson va fer servir aquesta expressió per determinar la relació entre la càrrega i la massa de les partícules que formaven els raigs catòdics. Va determinar la velocitat de les partícules en entrar a la zona del camp elèc-tric uniforme situant en aquesta mateixa zona un camp magnètic uniforme, perpendicular al camp elèctric i a la direcció de la velocitat de les partícu-les. Quan les partícules no es desviaven era a causa del fet que la força del camp elèctric s’equilibrava amb la del camp magnètic sobre les càrregues en moviment (Fig. 24).
Qe
Qe
E
vxQe B
–
E
B
vx
+ + + + + +
– – – – – –
24. Equilibri entre les forces d’un camp elèctric i un camp magnètic perpendiculars sobre unes partícules carregades en moviment.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 19 21/4/09 11:38:46
20
6 | Camp elèctric
plaques de desviacióhorizontal
plaquesde desviacióverticals
pantallafluorescent
ànodeaccelerador
càtode
escalfador
reixa de control
ànode d’enfocament
Q E Q v B vEBe e x x= ; d'on =
A partir d’aquest valor de la velocitat d’entrada a l’espai entre les plaques que creen el camp elèctric, J.J. Thomson va poder calcular la relació entre la càrrega elèctrica i la massa de les partícules que formen els raigs catò-dics. Aquestes partícules les va anomenar electrons.
La descoberta de J.J.Thomson va impulsar la utilització del tub de raigs catòdics en la formació d’imatges sobre pantalles, per a aplicacions diver-ses com poden ser l’oscil·loscopi, els monitors de radars i ordinadors, els monitors utilitzats en l’exploració biomèdica (com ara les ecografies) i també com a receptors de les imatges de televisió.
En l’oscil·loscopi hi ha dos parells de plaques de desviació (Fig. 25): un parell produeix desviació horitzontal del feix d’electrons, i l’altre parell desvia el feix de raigs catòdics en la direcció ver tical. El primer parell fa escombrar la pantalla en la direcció horitzontal, i segueix una funció del temps, mentre que el parell que produeix la desviació ver tical és funció d’una variable física que dóna lloc a una variació d’un potencial elèctric al llarg del temps. D’aquesta manera, l’oscil·loscopi s’utilitza per analit-zar la resposta en el temps de la magnitud física que volem estudiar i descriure.
26. Senyal produït pel so d’un diapasó a través d’un micròfon connectat a l’oscil·loscopi.
Fig. 25 Esquema del tub de raigs catòdics d’un oscil·loscopi.
Podem veure un exemple de l’aplicació d’un oscil·loscopi en la figura 26, on s’observa la imatge que ha enregistrat el so produït per les oscil·lacions d’un diapasó, transformat a variació de potencial elèctric per un micròfon connectat a l’oscil·loscopi.
En el tub de raigs catòdics d’un televisor en lloc de parells de plaques cre-adores dels camps elèctrics que desvien els raigs catòdics, s’utilitzen dos parells de bobines deflectores. Les bobines generen uns camps magnètics variables, perpendiculars a la velocitat dels electrons que els desvien con-venientment per tal que escombrin una pantalla horitzontalment i vertical-ment, amb una freqüència força elevada. Així, els punts de la pantalla s’il·luminen, durant un petit interval de temps, en rebre l’impacte del feix d’electrons, tot formant una imatge que podem veure a l’altre costat del vidre que mostra la pantalla a l’exterior.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 20 21/4/09 11:38:51
21
Camp elèctric | 6
En un televisor en color es creen tres feixos de raigs catòdics, un per a cada color: verd, blau i vermell. Un cop desviats per les bobines deflecto-res els feixos incideixen sobre la pantalla, després de passar per una reixeta, i cadascun il·lumina una petita porció de la pantalla del color corresponent. A tota la super fície interior de la pantalla hi ha una distri-bució més o menys uniforme de petites porcions dels materials fosfores-cents corresponents als tres colors que formen les imatges, com podem veure a la figura 28. Quan veiem la imatge a distància, en cada zona de la pantalla la combinació de les intensitats dels tres colors bàsics, verd, vermell i blau, ens oferirà el color corresponent a la imatge que s’està representant.
1 2
3
7 8654
Fig. 27 Esquema transversal d’un tub de raigs catòdics de televisor. 1. Reixeta de control 2. Ànode 3. Bobines deflectores 4. Filament escalfador 5. Càtode 6. Feix d’electrons 7. Bobina d’enfocament 8. Pantalla fluorescentHi ha dues bobines deflectores més, perpendiculars al pla de la figura, situades aproximadament a la mateixa zona de les bobines 3.
28. Esquema de la distribució de les cel·les dels colors verd, vermell i blau a la pantalla d’un televisor en color.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 21 21/4/09 11:38:56
22
6 | Camp elèctric
5. en un tub de raigs catòdics, els electrons són accelerats per una diferència de potencial entre el càto-de i l’ànode de 2 000 V. Tot seguit els electrons entren en una zona situada entre dues plaques metàl·liques horitzontals i paral·leles a la direcció de la velocitat de les partícules, separades una distància de 2 cm, carregades amb una diferència de potencial de 100 V, que creen un camp elèctric perpendicular a aquestes i a la velocitat dels electrons. L’amplada de la zona de plaques és de 5 cm. Finalment, els electrons desviats continuen el seu camí, amb la velocitat assolida a la sortida fins arribar a una pantalla fosforescent situada a 25 cm del final de les plaques.
a) determina la velocitat dels electrons accelerats entre el càtode i l’ànode del tub.
b) Calcula el temps que tarden els electrons a creuar la zona del camp elèctric vertical i uniforme, la desviació que experimenten en passar per aquest lloc i la seva velocitat de sortida.
c) raona quina càrrega té cada làmina si el raig d’electrons es desvia en direcció vertical i ascendent.
d) Calcula la desviació vertical que experimenta un electró des de la sortida de les plaques fins xocar amb la pantalla fosforescent que hi ha a l’extrem del tub.
dades: massa de l’electró, me = 9,1 × 10–31 kg, càrrega de l’electró, Qe = 1,6 × 10–19 C.
A B
h
d L
Pantalla
Plaquesdeflectores
C
+
–
a) Aplicarem les característiques d’aquesta situació, on podem considerar que l’energia mecànica es conserva.
Així, l’energia cinètica final dels electrons serà igual a la pèrdua d’energia potencial elèctrica.
12
2 =m v Q Ve x e– ∆
Per tant,
vQ V
mxe
e
=2 ∆
Substituïm els valors corresponents:
v x =
C V=
2 1 6 10 20009 1 10
2 6519
31
,,
,–
– kg1107 m
s
La velocitat dels electrons just a l’entrada de les plaques és de 2,65 ×107 ms
e x e m p L e
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 22 21/4/09 11:39:04
23
Camp elèctric | 6
b) El temps que tardaran els electrons a creuar les plaques és el necessari per recórrer una distància igual a l’amplada de les plaques, a la velocitat horitzontal d’entrada a aquesta zona.
t1 = = =dv x
0 051 89 10 9,, –m
2,65 10 ms
s7
La desviació vertical serà la conseqüència de l’acceleració que el camp elèctric uniforme, en la regió entre plaques, provoca sobre els electrons. La força del camp elèctric sobre els electrons a l’interior de les plaques val:
F Q E Q
Vhe e= = = =
∆1 6 10 19, – C
100 V0,02 m
88 10 16 – N
I l’acceleració vertical dels electrons serà:
a
Fme
= = =8 10
8 79 1016
14
–
,N
9,1 10 kg–31
mms2
El desplaçament vertical en creuar les plaques el trobarem:
∆y a t1 1
2 14 912
12
8 79 10 1 89 10= = , , – ms
s2 (( )2
31 57 10= , – m
I el component vertical de la velocitat en sortir d’aquest espai serà:
v a ty = = =1
14 98 79 10 1 89 10 1 66, , ,– ms
s2
1106 ms
c) Si els electrons es desvien verticalment i en sentit ascendent, la placa superior atraurà els elec-trons i, alhora, la placa inferior els repel·lirà. Per tant la placa inferior estarà carregada negativa-ment mentre que la superior ho estarà amb càrrega positiva.
d) Quan l’electró surt de les plaques desviadores, continua a una velocitat constant:
r r r r rv v i v j i jx y= + = +2 65 10 1 66 107 6, ,
mms
El temps que tardarà a arribar a la pantalla, després de sortir de les plaques, serà:
tLv x
290 25
9 43 10= = = ,,
, –m
2,65 10 ms
s7
I la desviació vertical en aquest desplaçament:
∆y v ty2 2
6 91 66 10 9 43 10 1 57= = =, , ,– ms
s 110 2– m
Finalment, el desplaçament vertical d’un electró des de l’entrada a l’espai entre plaques fins xocar contra la pantalla serà:
∆y = ∆y1 + ∆y2 = 1,57 10–3 m + 1,57 x 10–2 m = 1,73 x 10–2 m
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 23 21/4/09 11:39:08
24
6 | Camp elèctric
13 | Gradient d’un camp escalar
Una manera de descriure com varia un camp escalar a través de l’espai és utilitzar un operador matemàtic anomenat gradient. Podem definir el gra-dient com l’operació matemàtica inversa de la integral d’un vector al llarg d’un camí o d’una trajectòria. Així és com es relacionen les magnituds esca-lars amb les magnituds vectorials dels camps conservatius, com ara el camp elèctric i el camp gravitatori.
Hem definit l’energia potencial com el treball de la força conservativa, can-viat de signe:
U r F drE
r( ) ∞∫= – · ;r r
Si diferenciem aquesta expressió, obtindrem:
dUE(r) = – F→ · dr
→ ; d’on podem aïllar la força tot dividint per dr
→ ,
rr
r uF
dU r
dr
dU r
dru gradE E
r= – = – = –( ) ( ) rruuuu
UE( )
L’operador gradient genera un vector a partir d’una funció escalar.
Si tenim, per exemple, l’energia potencial elèctrica d’una partícula carrega-da, a l’interior d’un camp creat per una altra càrrega puntual, podem obtenir el valor de la força d’interacció entre les càrregues aplicant l’operador gradient:
U rk Q Q
rQ Q
rE ( ) = =’ ’1
4 π ε
grad UdU r
dru
Q QE
Er
u ruuuu r( ) ( )= = –
14 π ε
’’r
ur2
r
Per tant, la força serà:
r u ruuuu rF grad U
Q Qr
uE r= – = +( ) 14 2π ε
’
D’una manera similar es pot trobar la relació entre l’escalar potencial elèc-tric i el vector intensitat del camp elèctric. Aplicant les definicions de poten-cial i de camp elèctrics, respecte de l’energia potencial i de la força del camp elèctric, podem escriure:
VUQE
E= ; i = .r
r
EFQ
E
Per tant, si dividim la relació entre l’energia potencial i la força per Q:
VUQ
F dr
QFQ
drEE
rr
= =·
= – · =–
r r rr∞
∞
∫ ∫ –– ·r rE dr
r
∞∫
Diferenciem aquesta expressió i aïllem el vector intensitat de camp elèctric. Així obtindrem:
rr
r u ruuE
dV r
dr
dV r
dru gradE E
r= – = – = –( ) ( ) uuu
VE( )
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 24 21/4/09 11:39:12
25
Camp elèctric | 6
Si apliquem aquesta relació al potencial creat per una càrrega puntual al seu voltant tindrem:
V rk Q
rQrE ( ) = =
14 π ε
grad VdV r
dru
QrE
Er
u ruuuu r( ) ( )= = –
14 2π ε
rur
I, per tant, el vector intensitat de camp elèctric serà:
r u ruuuu rE grad V
Qr
uE r= – = +( ) 14 2π ε
+30
+20
+10
29. Exemple de vectors gradient respecte de les isolínies. En aquest cas les isolínies poden representar les diferents corbes de nivell d’un mapa topogràfic. Els diversos vectors gradient de l’altitud indicaran la direcció de màxima pendent del terreny.
– 300 V
– 400 V
– 600 V
– 1 200 V
E4
E11
E7
E2
E5
E9
E1
E10
E6
E12
E3
E8
30. Direcció del vector intensitat de camp elèctric respecte les isolínies de potencial, al voltant d’una càrrega puntual negativa.
6. un condensador de làmines paral·leles, situades horitzontalment, es troba carregat amb una diferència de potencial de 200 V, entre la placa superior i la inferior. La distància de separació entre aquestes plaques és de 5 mm. Les superfícies equipotencials entre les dues làmines són plans paral·lels a aquestes i el potencial varia linealment amb l’altura entre les dues làmines. Si suposem que hem assignat valor nul al potencial de la làmina inferior:
a) escriu la funció que determina el valor del potencial respecte de l’altura sobre la làmina inferior. quin serà al potencial d’un punt situat a 2 mm de la làmina inferior?
b) Calcula el vector intensitat de camp elèctric. quina és la característica d’aquest camp? pots trobar algun paral·lelisme amb un altre camp de forces prou conegut?
c) representa en un esquema les isolínies de potencial i les línies de camp a l’interior de les plaques del condensador.
a) Prendrem com eix de coordenades, Oy, un eix vertical amb l’origen a la posició de la placa inferior. Llavors, atès que el potencial elèctric varia de forma lineal amb l’altura, podrem escriure la fun-
ció de potencial com a:
V = k y;
on k serà el factor de proporcionalitat i y la variable de posició en la direcció vertical.
e x e m p L e
Físicament el gradient d’una magnitud escalar distribuïda a l’espai és un vector que indica la direcció de la màxima variació de la funció escalar res-pecte de la distància recorreguda. Si representem aquesta relació entre el gradient i una funció escalar, a la figura 29, podem veure que la direcció de màxima variació de la funció escalar en el recorregut més curt, és justa-ment la direcció perpendicular a les isolínies. En una representació de superfícies equipotencials la direcció del gradient seria la d’un vector per-pendicular a aquestes superfícies.
Atès que el gradient té el sentit de l’augment de la funció escalar correspo-nent, tant la força associada a l’energia potencial com el vector intensitat de camp elèctric respecte del potencial tindran una direcció perpendicular a les línies o superfícies de la mateixa energia potencial o del mateix poten-cial. Però el seu sentit serà el de disminució d’aquestes funcions escalars (Fig. 30).
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 25 21/4/09 11:39:16
26
6 | Camp elèctric
14 | Les relacions entre el camp elèctric i el magnètic. equacions de maxwel. La síntesi electromagnètica
James Clerk Maxwell va ser un físic i matemàtic escocès, nascut a Edimburg el 1831. Va estudiar a Edimburg i a Cambridge, i va ser professor de la uni- versitat d’Aberdeen, del King’s College de Londres i de Cambridge. Va rea-litzar estudis i aportacions molt importants en diversos camps de la física: va elaborar les teories de la mecànica estadística, conjuntament amb Ludwig Boltzmann; va desenvolupar experiments importants sobre la visió
La dada és que a una altura y = 5 mm = 0,005 m li correspon un potencial de 200 V. Si substituïm aquestes dades a la funció anterior trobem el valor del factor k.
k = =
2000 005
4 104Vm
Vm,
Per tant, la funció que determina el potencial d’una làmina a l’altra serà:
V = 4 104 y;
Per a y = 2 mm = 0,002 m, el valor del potencial serà:
V = =4 10 0 002 804
Vm
m V,
b) Calculem el vector intensitat de camp elèctric aplicant el gradient a la funció potencial:
r u ruuuu rE grad V
d y
dyj= – = – = –( ) ( )4 10
4 14
004rj
Vm
Com podem veure es tracta d’un vector constant, vertical i de sentit cap avall: Direm que un camp d’aquestes característiques és un camp uniforme.
Aquest camp de forces s’assembla molt al camp gravitatori uniforme que considerem quan tractem situacions de cossos situats a prop de la superfície de la Terra. En aquest cas el camp es designa per
r rg j0 9 8= – ,
Nkg
c) Un esquema que representi les isolínies de potencial i les línies de camp entre les làmines del condensador serà com el de la figura següent:
200 V
160 V
120 V
80 V
40 V
0
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 26 21/4/09 11:39:19
27
Camp elèctric | 6
dels colors i va obtenir la primera fotografia en color; va escriure el primer article important de la teoria del control, i va establir els fonaments d’una nova àrea científica, la dinàmica dels gasos enrarits, que es va desenvolu-par en els anys posteriors. La seva contribució més important és la deno-minada síntesi electromagnètica, on es resumeixen les interaccions dels camps elèctrics, dels camps magnètics, de les càrregues i els corrents que els produeixen, i d’uns i altres alhora en l’anomenada interacció elec-tromagnètica.
Aquest resum es concreta en quatre equacions que es coneixen amb el nom d’equacions de maxwell:
r rE dS
QS
· = interior∫ ε0
r rB dS
S· =∫ 0
r r r rE dr
ddt
B dSC S
· = – ·∫ ∫( )r r r rB dr
ddt
E dSC S
· = + ·∫ ∫( )μ μ ε0 0 0Ι
La primera és la llei de Gauss, la qual estableix que el flux net del camp elèctric a través d’una superfície tancada qualsevol és igual a la càrrega neta en el seu interior dividida per la permeabilitat del buit, ε0.
La segona és semblant a la llei de Gauss per al camp magnètic. Estableix que el flux del camp magnètic B
→ a través de qualsevol superfície tancada és
nul. Descriu l’observació experimental de la inexistència de monopols magnè-tics, les línies de camp no surten des d’un punt i van a parar a un altre.
La tercera és la llei de Faraday. La circulació del camp elèctric al llarg d’una corba tancada és la fem, que és al seu torn la derivada, respecte del temps i canviada de signe, del flux magnètic a través de qualsevol superfície limi-tada per la corba.
I, la quarta equació és la llei d’ampère, ampliada per Maxwell, per tal de poder-la aplicar a casos en els quals el corrent no sigui continu, amb la introducció del corrent de desplaçament en el segon terme de la dreta de la igualtat.
A partir de les seves teories, Maxwell, va assegurar que es podien propagar ones electromagnètiques transversals formades per les oscil·lacions har-mòniques d’un vector intensitat de camp elèctric i d’un vector intensitat de camp magnètic, perpendiculars l’un a l’altre, les variacions dels quals esta-ven lligades íntimament. Maxwell, a més va calcular la velocitat de propa-gació d’aquestes ones electromagnètiques, tot arribant a l’expressió següent d’aquesta velocitat:
c =1
0 0ε μ
El més sorprenent del cas és que si utilitzem els valors coneguts de la per-mitivitat elèctrica i la permeabilitat magnètica del buit:
ε0 = 8,8542 10–12 C2 / N m2; i μ0 = 4 π 10–7 N/A2
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 27 21/4/09 11:39:21
28
6 | Camp elèctric
El resultat que s’obté per a la velocitat de propagació de les ones electro-magnètiques és idèntica a la velocitat de la llum en el buit, determinada experimentalment:
c = 3 108 m/s
Aquest fet va induir a Maxwell a considerar que la llum era un tipus d’ona electromagnètica.
Uns pocs anys després de la mort de Maxwell, que es va produir l’any 1879 víctima d’un càncer, el físic alemany Heinrich Hertz va aconseguir produir i detectar experimentalment ones electromagnètiques, amb unes freqüènci-es situades en la banda de les ones de ràdio, les quals són de freqüències inferiors a les de la llum visible. En honor d’aquest físic aquestes ones reben el nom d’ones hertzianes, i també en el seu honor es dóna el nom de la unitat de freqüència dels fenòmens periòdics, l’hertz (Hz).
Les equacions de Maxwell unificaven d’una banda els fenòmens elèctrics i magnètics, i de l’altra els fenòmens òptics, en associar la llum a una ona electromagnètica. D’aquesta manera es van unificar sota unes mateixes lleis tres parts de la física considerades diferents a principis del segle xix: l’electricitat, magnetisme i òptica.
Les teories de Maxwell van obrir el camí de les telecomunicacions, amb la producció d’ones electromagnètiques per part de Hertz. Altres científics i tecnòlegs han investigat les propietats dels diferents tipus d’ones electro-magnètiques existents, en tot el seu ampli espectre: ones ràdio i TV, micro-ones, infraroig, llum visible, radiació ultraviolada, raigs X i raigs γ. En tots aquests camps s’han desenvolupat moltes tècniques i aplicacions en molts camps de la ciència i la tecnologia, adreçades a ampliar el coneixement de la natura i a millorar la qualitat de vida de la humanitat.
7. una esfera conductora de 2 cm de diàmetre té una càrrega total de 4 μC, en equilibri, distribuïda de manera uniforme en tota la seva superfície. Tot aplicant la llei de Gaus determina el vector intensi-tat de camp elèctric que crea al seu voltant i a l’interior de l’esfera, i també el potencial elèctric al voltant i a l’interior d’aquesta esfera.
Per tal de calcular el flux del vector intensitat de camp elèctric a través d’una super fície tancada, i, a la vista de la simetria esfèrica de la distribució de càrrega, escollirem una super fície esfèrica de radi r > 1 cm per al camp a l’exterior de l’esfera, una altra de radi r < 1 cm, per al camp a l’interior de l’esfera, i amb el centre al centre de l’esfera conductora.
Si r > 1 cm:
Donada la simetria esfèrica de la distribució de la càrrega, supo-sarem que el vector intensitat de camp tindrà la direcció radial, respecte del centre de l’esfera conductora. També podrem con-siderar que el mòdul d’aquest vector intensitat serà igual a tots els punts situats a una mateixa distància del centre de l’esfera.
Si apliquem ara la llei de Gauss:
r rE dS
QS
· = interior∫ ε0
e x e m p L e
+ + + + ++ ++ + + + + ++++ + ++ + + + + +
++ ++ ++ +++ ++ ++ ++ ++ +++ ++ ++ + + + + + + +
+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++++ + + + + + + + + + +++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +
+ + + + + + + + + ++++ + + + + + + + + ++
+ + + + + + + ++ + + + + +
+ + + ++
ur
r
E
1 cm
ds
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 28 21/4/09 11:39:27
29
Camp elèctric | 6
Com que el camp E→ és perpendicular a la super fície i, a més, el seu mòdul és constant en tota la
super fície d’integració, que és una super fície esfèrica de radi r:
r rE dS E dS E dS E r
QS sS
· = · = = =∫ ∫∫ 4 2π iinterior
ε0
D’aquí podem aïllar el camp elèctric:
E
Q
r= interior1
4 02π ε
Sabem que té direcció radial i, com que la càrrega interior és positiva, tindrà sentit sortint, tal com es representa a la figura. Podem escriure, doncs:
EQ
rur= =interior1
49 10
4
02
9
π εr
N m
C
2
2
110 3 6 106 4– ,C N mC2 2
2
r r=
r ru ur r
Podem veure que és igual que el camp que crearia al seu voltant una càrrega puntual de 4 μC, situada al centre de l’esfera conductora, com ja havíem vist anteriorment.
Per a r < 1 cm
Podem aplicar les mateixes hipòtesis que en el cas ante-rior, i el resultat d’aplicar la llei de Gauss donarà:
EQ
r= interior1
4 02π ε
; i en aquest cas, Qinterior = 0; per tant, E = 0.
A l’interior de l’esfera conductora el camp elèctric serà nul, la qual cosa és raonable ja que si no, la càrrega de l’esfera no estaria en equilibri.
Per calcular el potencial, establirem el valor nul de potenci-al a una distància infinita del centre de l’esfera, i tot seguit aplicarem el càlcul integral per determinar el potencial en un altre punt a una distància r , del centre de l’esfera.
Per a r > 1 cm:
V rU r
Q
F dr
QFQE
E
rr( ) ( ) ∞
∞
∫ ∫= =·
= ·–
–
r r r
ddr E drQr rr r r
= · = interior– –∞ ∞∫ ∫ 1
4 0π ε rrdr
Q
r
r
20
14
= interior
π ε
∞
V r
Q
rE ( ) = =interior14
9 104
02
9
π ε
N mC
2
2
10 3 6 10 3 6 106 4 4– , ,C N mC
V m2
2r r r= =
Per a r = 1 cm, obtindrem el potencial a la super fície de l’esfera conductora:
VE 0 01
3 6 104
,,( ) = =
0,01 mV m 3,6 10 V6
Per a qualsevol punt interior a l’esfera conductora carregada, el potencial serà constant, ja que el vector intensitat de camp és nul en aquesta zona. Per tant, no es produirà cap diferència de poten-cial en desplaçar-nos entre dos punts qualsevol d’aquesta esfera. Així doncs, el potencial en tota l’esfera conductora serà constant i igual al valor del potencial en la seva super fície, 3,6 ×106 V.
+
+++
++
+ +
+
+ + +++
+ur
r
1 cm
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 29 21/4/09 11:39:31
30
6 | Camp elèctric
15 | el comptador Geiger-müller. Camps de vectors amb simetria radial
Un dispositiu força aplicat en la detecció de par tícules radioactives és l’anomenat comptador de Geiger-Müller (Fig. 31). Consta d’un tub metàl-lic cilíndric, en l’eix del qual hi ha una vareta metàl·lica aïllada del tub. Aquest tub està tancat i s’omple d’un gas iner t, com ara un gas noble, amb una petita quantitat d’un gas halogen. Aquest gas enrarit no és con-ductor, però quan alguna par tícula radioactiva o un fotó de raigs γ pene-tren a l’espai interior del tub, ionitzen el gas i el camp elèctric creat entre la paret cilíndrica del tub (amb funcions de càtode) i la vareta situada en l’eix del cilindre (en funcions d’ànode) produeixen una descàrrega en cascada pel xoc successiu dels ions i els electrons accelerats pel camp elèctric creat entre el càtode i l’ànode. Aquesta descàrrega és detectada per un aparell, anomenat comptador, que indica l’activitat radioactiva per mitjà d’una agulla sobre una escala graduada en descàrregues per unitat de temps, a més d’un sorollet com el d’un petit espetec per cada descàrrega.
R
500 V
R
31. Esquema d’un comptador Geiger-Müller.
ÀNODE
ds
CÀTODE+
––
E
32. Esquema del camp elèctric creat a l’interior d’un tub de Geiger-Muller.
Entre el càtode (les parets exteriors del tub) i l’ànode (l’eix central) s’aplica una diferència de potencial força elevada, d’entre uns centenars i algun miler de volts. Aquesta diferència de potencial crea en la regió interna del tub un camp elèctric de simetria radial, respecte de l’eix del cilindre, que accelera els ions positius cap al càtode i els electrons cap a l’ànode.
Podem determinar el camp elèctric a l’interior del tub. Llevat dels extrems del tub, podrem considerar que el camp elèctric tindrà la direcció d’un radi traçat des de l’eix del cilindre, per tant, perpendicular a aquest i amb el sentit cap enfora (Fig. 32) atès que l’eix té càrrega positiva.
Si apliquem la llei de Gauss a una superfície cilíndrica coaxial amb el tub de Geiger-Müller, de radi més petit que el del tub metàl·lic, podem veure que el flux del camp elèctric a través de les superfícies de les bases superior i inferior del cilindre és nul, ja que el vector intensitat de camp elèctric és paral·lel a aquestes superfícies i per tant no les creua. Per a un radi
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 30 21/4/09 11:39:43
31
Camp elèctric | 6
determinat, i considerant la simetria cilíndrica de la distribució de càrrega, podem considerar que el vector intensitat de camp elèctric creat, és igual, en mòdul, en tots els punts de la superfície lateral d’aquest cilindre, i per-pendicular a aquesta en tots els seus punts.
r rE dS E dS E dS E r L
S S SL L
· = = = =∫ ∫ ∫ 2 πQQinterior
ε0
D’on s’obté:
EQ
r L= interior1
2 0π ε;
o bé,
r rE
Q
r Lur= interior1
2 0π ε
Si anomenem densitat lineal de càrrega, λinterior, de la vareta interna del tub
de Geiger a la relació λinteriorinterior=
Q
L, de la quantitat de càrrega per unitat
de longitud, podrem escriure:
r rE
rur= interior1
2 0π ελ
Si observem aquesta darrera expressió podrem veure que el vector intensitat de camp elèctric és més intens com més a prop estigui el punt de l’eix del tub, per fora, i a mesura que s’allunya el seu valor va disminuint de forma inversament proporcional al radi. Les super fícies equipotencials seran super fícies laterals cilíndriques, concèntriques amb el tub.
16 | diferències i semblances entre els camps conservatius gravitatori i elèctric
Si observem les funcions que descriuen els camps gravitatori i elèctric co -rresponents a masses o càrregues puntuals podem observar similituds i diferències entre elles.
Les expressions de la llei de Newton, d’atracció entre masses, i la llei de Coulomb de la força d’interacció entre partícules carregades tenen molta similitud:
r rF
m mr
uG r= –G , (llei de Newton)’
2
r rF
Q Qr
uE r= , (llei de Coulomb)k’
2
Totes dues són directament proporcionals al producte d’una característica de les partícules (la massa en el cas del camp gravitatori i la càrrega elèc-trica en el camp elèctric); són inversament proporcionals al quadrat de la distància de separació de les partícules, i la direcció de la força és la del vector que uneix les dues partícules.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 31 21/4/09 11:39:47
32
6 | Camp elèctric
En canvi, la força entre dues masses sempre és d’atracció, mentre que la força elèctrica entre partícules carregades depèn del signe: serà d’atracció si les càrregues són de signes oposats, i de repulsió si les càrregues són del mateix signe. Aquesta és una altra diferència: la magnitud creadora del camp gravitatori, la massa, és positiva, mentre que la magnitud que genera un camp elèctric, la càrrega elèctrica, pot ser positiva o negativa.
A més, la constant de proporcionalitat és universal per al camp gravitatori,
G = 6,67 10–11 N mkg
2
2, mentre que la del camp elèctric depèn del medi on
es troben les càrregues, k =1
4 π ε, on ε = εr ε0 és la permitivitat elèctrica
del medi relacionada amb la permitivitat del buit, επ0 9
14 9 10
=
CN m
2
2,
d’on podem obtenir el valor de la constant del camp elèctric en el buit,
k = 9 109N mC
2
2.
Si comparem aquests dos valors constatem la relació d’un factor 1020 d’or-dre de magnitud de la constant del camp elèctric respecte de la del camp gravitatori.
Pel que fa als vectors intensitat de camp podem observar les mateixes semblances i diferències.
r rg
mr
ur= –G ; del camp gravitatori, i2
=r rE k
Qr
ur2
I de manera molt similar podem fer les comparacions de les expressions de l’energia potencial i del potencial:
Um m
rUG E= –G , del camp gravitatori, i =
’, del camp elèctric.k
Q Qr
’
O bé:
Vmr
VG = –G , del potencial gravitatori, i, = , del potencial elèctric.kQr
En tots dos casos, el valor nul d’energia potencial i de potencial, s’ha situat a distància infinita de la partícula que crea el camp, la massa en el cas del gravitatori o la càrrega en el cas de l’elèctric.
També en els dos casos les línies de camp, que indiquen la direcció i sentit del vector intensitat de camp, són perpendiculars a les superfícies equipo-tencials i el seu sentit va de potencials més alts cap a potencials més petits.
Una partícula sotmesa a l’acció d’un camp gravitatori o elèctric, en general, no seguirà les línies del camp. La seva acceleració sí que tindrà la direcció de les línies de camp, però que la trajectòria sigui una o una altra dependrà de la seva velocitat.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 32 21/4/09 11:39:50
33
r e S u mCamp elèctric | 6
Contingut bàsic de la unitat en format hipermèdia, en el Cd.
Un camp és una zona de l’espai on existeix una distribució de valors d’una determinada magnitud física. Si la magnitud és escalar direm que tenim un camp escalar, mentre que si és un vector es tracta-rà d’un camp vectorial.
Els camps escalars es representen amb isolínies o superfícies en les quals tots els punts tenen el mateix valor de la magnitud escalar, mentre que els camps vectorials es representen mitjançant línies de camp, que són línies tangents al vector corres-ponent en cada punt de l’espai on està definit el camp vectorial.
Una càrrega elèctrica crea al seu voltant un camp elèctric. Si una altra càrrega se situa dins del camp es veu afectada per la força del camp, que entre dues partícules carregades s’expressa segons la
llei de Coulomb: r r rF k
Q Qr
uQ Qr
ur r= = ·’ ’
2 2
14 π ε
ε
és una carac terística del medi anomenada permiti-vitat elèc tri ca i el seu valor es dóna respecte el valor de la per mi tivitat elèctrica del buit, ε = εr ε0,
επ0 9
14 9 10
=
CN m
2
2. L’energia potencial elèctri-
ca d’una càrrega elèctrica en el camp creat per una
altra es calcula: U kQ Q
rE =’. Associades a la força
del camp i a l’energia potencial tenim les dues mag-nituds característiques del camp, el vector intensi-tat del camp elèctric i el potencial elèctric, que es defineixen de manera semblant respecte de les dues
anteriors: r
r
EFQ
=’, vector intensitat de camp elèctric,
i VUQ
E=’, potencial elèctric. Les unitats del vector
intensitat de camp elèctric en el SI són N/C, i del potencial elèctric els J/C = V (volts). Quan dues o més càrregues puntuals intervenen en la creació del camp, s’aplica el principi de superposició de camps. Aleshores el camp resultant és la suma dels camps individuals que crea cadascuna de les càrre-gues que contribueixen al camp total. Aquesta suma serà vectorial, per als vectors intensitat de camp elèctric, i escalar per als potencials elèctrics:
E→ = E
→1 + E
→2 + E
→3, i V = V1 + V2 + V3; per al cas del
camp creat per tres càrregues elèctriques.
Una distribució esfèrica de càrrega crea, al seu exterior, un camp elèctric com el d’una partícula
puntual amb la mateixa càrrega elèctrica situada al centre de l’esfera. Si l’esfera és conductora amb la càrrega en equilibri, aquesta es distribueix en tota la seva superfície de manera uniforme, a l’interior de l’esfera el vector intensitat de camp elèctric és nul i el potencial elèctric és constant i igual al potencial en la superfície d’aquesta esfera.
Un camp uniforme es caracteritza per un vector intensitat de camp constant en tots els punts de l’espai. Les línies de camp són paral·leles i unifor-mement distribuïdes. Les superfícies equipoten-cials són plans paral·lels i, al seu torn, perpendicu-lars a les línies de camp. Al llarg d’una línia de camp, si en un desplaçament ∆r, el potencial elèc-tric canvia en ∆V, el component del vector intensitat
de camp valdrà: EVr
=∆∆
.
En un tub de raigs catòdics es produeix un feix d’electrons, accelerats per un camp elèctric alineat amb el corrent d’electrons entre un càtode i un ànode, entre els quals s’aplica una diferència de potencial molt elevada, de milers de volts. Tot se -guit aquest feix es concentra i es desvia per camps elèctrics uniformes, o per camps magnètics també uniformes, perpendiculars a la velocitat dels elec-trons, i finalment xoca al final del tub amb una pan- talla impregnada d’un material fosforescent que, en rebre l’impacte dels electrons, s’il·lumina durant uns breus instants. Aquesta característica s’aprofi-ta per formar imatges en la pantalla, produïdes per un escombratge d’aquesta pel feix d’electrons amb una freqüència força elevada.
La relació entre les magnituds escalars i les vecto-rials s’obté per mitjà de l’operador gradient, que aplicat a una funció escalar n’obté un vector:
rr
r u ruuuF
dU r
dr
dU r
dru gradE E
r= – = – = –( ) ( ) uu
UE( );
rr
r u ruuuE
dV r
dr
dV r
dru gradE E
r= – = – = –( ) ( ) uu
VE( )
Maxwell va resumir tots els efectes dels camps elèctrics i els camps magnètics en les seves quatre equacions, que constitueixen l’anomenada síntesi electromagnètica. Amb això, Maxwell va unificar sota unes mateixes lleis l’electricitat, el magnetis-me i l’òptica.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 33 21/4/09 11:39:55
34
a C T i V i T a T S6 | Camp elèctric
Camps creats per dues o més càrregues elèctriques puntuals
1 Dues càrregues elèctriques puntuals de 6 × 10–8 C i –3 × 10–8 C es troben en les po -sicions representades a la figura.
12 cm
4 cm
+ Q – QO Q+
Q–
Calcula:
a) La intensitat del camp elèctric en el punt mitjà del segment que uneix les dues cà r-regues.
b) La intensitat del camp en el punt O.
2 Dues càrregues puntuals de 0,4 μC i –0,3 μC estan situades respectivament en els punts les coordenades en metres dels quals són (0, 0) i (0, 5). Si la permitivitat relativa del medi és d’1,5, quina és la intensitat del camp en el punt (0, 2)?
3 Tres càrregues elèctriques puntuals es tro-ben sobre l’eix Ox en el buit. Una d’aques-tes, d’1 nC, es troba a l’origen de coordena-des. Una altra càrrega, el valor de la qual es desconeix, està situada en el punt x = 5 m. Una tercera càrrega, de 0,5 nC, es troba en el punt x = 10 m. Calcula el valor de la càrre-ga desconeguda, sabent que la intensitat del camp en el punt x = 12 m de l’eix Ox és de 53 N/C en sentit positiu.
4 Dues càrregues puntuals de 0,1 μC i 0,3 μC es troben a l’aire separades 1 m. En quin punt de la recta que passa per a les dues càrregues és nul·la la intensitat del camp elèctric? Canviaria la resposta si les càrre-gues es trobessin en un medi de permitivitat relativa igual a 2?
5 En el punt (–4, 0) hi ha una càrrega elèctrica puntual –q i, en el punt (4, 0), una altra càr-rega +2q. Dibuixa-les i representa la intensi-tat del camp elèctric en el punt (0, 3).
6 Dues càrregues puntuals, Q1 = 25 × 10–9 C i Q2 = 2,4 × 10–9 C, es troben en dos vèrtexs oposats d’un rectangle amb costats de 10 cm i 8 cm, en un medi d’1,5 de permitivi-tat relativa.
Calcula la intensitat del camp elèctric al vèrtex del rectangle situat a 10 cm de Q1.
7 En tres dels vèrtexs d’un quadrat de 4 cm de costat estan situades respectivament tres càrregues elèctriques puntuals de 0,5 μC cadascuna. Determina la intensitat del camp al quart vèrtex, si la permitivitat relativa del medi que les separa és d’1,2.
8 Hi ha tres càrregues elèctriques puntuals situa des als vèrtexs d’un triangle equilàter de 20 cm de costat. Dues d’aquestes són de +20 μC i la tercera de –20 μC. Determina la intensitat del camp elèctric creat per aques-tes càrregues en els punts mitjans dels costats del triangle.
9 Dues càrregues puntuals de +200 μC i –200 μC es troben a les posicions que s’indi-quen a la figura, envoltades per aire. Calcula:
a) La intensitat del camp elèctric que creen aquestes càrregues al punt A.
b) La intensitat del camp al punt A.
10 cm
10 cm 10 cm
+ Q – QO
A
Q+
Q–
10 Als vèrtexs d’un rectangle ABCD estan situa-des quatre càrregues elèctriques puntuals: QA = +20 nC, QB = –30 nC, QC = +10 nC i QD = –20 nC. El costat AB del rectangle mesura 32 cm i el BC, 24 cm. Calcula la intensitat del camp elèctric al centre del rectangle, si les càrregues es troben en un medi, la per-mitivitat relativa del qual és de 2,25.
11 A l’origen de coordenades està situada una càrrega elèctrica puntual de + 4 μC. Al punt (–4, 0) hi ha una altra càrrega puntual Q desconeguda.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 34 21/4/09 11:40:00
35
Camp elèctric | 6
DIFICULTAT: SENZILLA MITJANA ALTA SENSE CLASSIFICAR
Al punt (0, 3) la intensitat del camp elèctric creat per les dues càrregues és
E→ = –3 600 i
→ + 1 300 j
→ (N/C).
Calcula el valor de Q, si les càrregues es troben en el buit (les coordenades estan expressa-des en metres).
12 Dues partícules, amb càrregues elèctriques –Q/2 i Q, es troben en el buit situades res-pectivament als punts (1/2, 0) i (2, 0) (coor-denades en metres). Determina el potencial als punts (1, 0) i (0, 1).
13 Dues càrregues elèctriques puntuals, de +0,6 μC i –0,45 μC, es troben separades 17,5 cm en el buit. Troba els punts de la recta que passa per totes dues on el poten-cial elèctric és nul.
14 Dues càrregues elèctriques puntuals de +0,3 μC i –0,5 μC es troben separades 40 cm en un medi, la permitivitat relativa del qual és d’1,2. Calcula el potencial en el punt de la recta que passa per les dues càrregues on és nul·la la intensitat del camp elèctric.
15 A cadascun dels vèrtexs d’un hexàgon regu-lar de 15 cm de costat hi ha una càrrega elèctrica puntual de –25 nC.
Calcula la intensitat del camp elèctric i el poten-cial al centre de l’hexàgon, si la permitivitat relativa del medi en què es troba és de 2.
Treball i energia en el camp elèctric
16 La diferència de potencial entre dos punts, A i B, d’un camp elèctric és VA – VB = 100 V. Calcula el treball que s’ha de realitzar mit-jançant una força exterior per traslladar una càrrega de –60 nC des de B fins a A sense modificar-ne l’energia cinètica.
17 Una càrrega puntual de +80 μC es troba a 20 cm d’una altra càrrega, també puntual, de –200 μC, a l’aire. Quin treball s’ha de rea- litzar per posar la primera càrrega a 30 cm de la segona?
18 Dues càrregues elèctriques puntuals de 3 nC i –2 nC estan separades 20 cm en el buit.
a) Quina és la intensitat del camp elèctric en el punt mitjà entre les dues càrregues?
b) Quin treball s’ha de realitzar per separar aquestes càrregues 20 cm més?
c) Com variarien les respostes anteriors, si la permitivitat relativa del medi en què es troben les càrregues fos d’1,5?
19 Situades als vèrtexs A, B i C d’un triangle equilàter de 20 cm de costat, en el buit, hi ha tres càrregues puntuals de –20 nC, +5 nC i +10 nC, respectivament. Quin treball s’ha de realitzar per traslladar la càrrega de –20 nC des de A fins al punt mitjà de BC?
20 Un protó es troba inicialment en repòs en un punt A d’un camp elèctric i és accelerat per la força que exerceix aquest camp sobre seu. Si el potencial electrostàtic de A és de 80 V, quina velocitat posseirà el protó en passar per un punt B, el potencial del qual és de –40 V?
Dades: càrrega del protó = 1,6 × 10–19 C; massa del protó = 1,67 × 10–27 kg.
21 Dues càrregues elèctriques puntuals de 50 μC cadascuna estan separades 30 cm a l’aire. En el punt mitjà del segment que les uneix hi ha una tercera càrrega de 10 μC. Calcula el treball que s’ha de realitzar per desplaçar-la al llarg d’aquest segment fins situar-la a 10 cm d’una de les càrregues i a 20 cm de l’altra.
22 Dues càrregues puntuals de 0,8 μC cadascu-na estan fixes en els punts, les coordenades en centímetres dels quals són (0, 20) i (0, –20). En el punt (–15, 0) hi ha una partí-cula de 0,1 g de massa que posseeix una càrrega elèctrica de –0,2 μC i que pot mou-re’s lliurement. Calcula la velocitat que pos-seirà aquesta partícula en passar per l’ori-gen de coordenades, si parteix del repòs.
23 En els punts que tenen les coordenades en metres A (0, –12), B (7, –12) i C (16, 0), estan situades respectivament les càrregues puntu-als QA = 4 μC, QB = –3 μC i QC = –2 μC. El medi en què es troben les càrregues és el buit.
Calcula:
a) La intensitat del camp electrostàtic en el punt P(7, 12).
b) El treball que cal per traslladar fins a P la càrrega QB.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 35 21/4/09 11:40:01
36
6 | Camp elèctric
b) Si l’electró estava en repòs en una de les armadures, quina serà la seva velocitat en arribar a l’altra?
c) Quin temps emprarà l’electró per despla-çar-se d’una armadura a l’altra?
29 Les armadures d’un condensador pla tenen 200 cm2 de superfície (cadascuna) i es tro-ben en posició horitzontal a 2 cm una de l’altra, en el buit. Entre aquestes hi ha una petita esfera de 0,12 mg de massa, carrega-da negativament. L’esfera es manté en equi-libri, equidistant de totes dues plaques, quan la diferència de potencial entre elles és de 800 V.
a) Quina de les armadures té un potencial més gran? Raona la resposta.
b) Calcula la càrrega elèctrica de l’esfera.
30 Un electró es desplaça horitzontalment en el buit a 1 000 km/s quan entra a l’espai com-près entre dues làmines conductores ho -ritzontals, entre les quals hi ha una distàn-cia d’1 cm i una diferència de potencial de 0,12 V. Suposant que el camp elèctric és uniforme i es limita a l’espai comprès entre les làmines:
a) Determina la força que actua sobre l’elec-tró i comprova que, enfront d’aquesta, el seu pes és negligible.
b) Calcula l’acceleració de l’electró i expres-sa el seu vector posició en funció del temps mentre es desplaça entre les plaques.
c) Quina distància s’haurà separat de la seva trajectòria inicial després de recórrer entre les plaques 6 cm, mesurats horitzon tal-ment?
Massa de l’electró: 9,1 × 10–31 kg; càrrega de l’electró: –1,6 × 10–19 C.
24 Una partícula carregada elèctricament es desplaça d’un punt A a un altre B, entre els quals existeix una diferència de potencial VA – VB = 0,4 V. Si la partícula parteix del repòs i té una velocitat de 6 km/s en passar per B, quant val la relació Q/m entre la seva càrrega elèctrica i la seva massa?
esfera conductora carregada
25 Quina càrrega elèctrica ha de posseir una esfera conductora de 5 cm de radi situada a l’aire, perquè a 20 cm del seu centre el poten-cial elèctric sigui de 200 V? Quins seran, en aquest cas, els valors de la intensitat de camp i el potencial a la superfície del conductor?
26 Dues esferes metàl·liques de 10 cm i 5 cm de radi carregades elèctricament es troben tan distanciades, que pràcticament no existeix influència entre les seves càrregues. Els potencials a les seves superfícies són de 400 V i 1 000 V, respectivament. En connec-tar-les mitjançant un fil conductor, la càrrega es reparteix entre aquestes, de manera que les dues esferes adquireixen el mateix poten-cial. Calcula el valor d’aquest potencial comú.
Camp uniforme
27 La Terra té un camp elèctric a la seva atmos-fera de 150 N/C, dirigit cap a dalt, que po dem considerar uniforme. Determina el mò dul, la direcció i el sentit de la força que aquest camp exerceix sobre una càrrega de –0,2 μC. Si considerem nul el potencial al terra, quin és el valor del potencial en un punt situat a 4 m d’altura?
28 Un electró es troba en el buit entre les arma-dures d’un condensador pla, que estan se -parades 3 cm.
a) Calcula la seva acceleració quan la dife-rència de potencial entre les dues arma-dures és de 200 V.
001-036_U6.FIS.2BTX.CAT.indd 36 21/4/09 11:40:02
