6-automatas

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Estructuras Discretas II

Lenguajes y

Autómatas

Dra. Norka Bedregal Alpaca

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2

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

LENGUAJES

2


� Lenguaje Natural:

oAquel que ha evolucionado con el tiempo para fines de lacomunicación humana

o Continúan su evolución sin tomar en cuenta reglasgramaticales formales

o Cualquier regla es posterior y trata de explicar laestructura del lenguaje

� Lenguaje Formal:

o Está definido por reglas preestablecidas y se ajustarigurosamente a ellas

o Por ejemplo: lenguajes de programación decomputadoras, lenguajes matemáticos (álgebra, lógicaproposicional..)

3

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

Introducción


�Se sabe que una cadena de un conjunto X es una secuencia finita de elementos de X.

� Las cadenas son objetos fundamentales usados en la definición de lenguajes.

� El conjunto de elementos de donde las cadenas son producidas se llama alfabeto del lenguaje.

� Un alfabeto consiste de un conjunto finito de objetos no divisibles.

Ejemplo:

Sea ={a,b,c}, las siguientes son cadenas de ese alfabeto:

abc cb cab aaaabbbccc

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

Cadenas

3

Definiciones.

Alfabeto

Palabra, cadena o frase

Palabra vacía

Longitud de una palabra

0 si x = λλλλ| x | =

| y | + 1 si x = ya (con a ∈∈∈∈ ΣΣΣΣ, y palabra sobre ∑ )

Ej. ∑ = {a, b}

λλλλ

Ej. x = abbab

∑ n : conjunto de todas las palabras de longitud n sobre ∑

U0

*

≥Σ=Σ

i

i

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

Cadenas o Palabras


Concatenación de cadenas: Sean x = a1a2...am e y = b1b2...bn se define

xy = a1a2...amb1b2...bnEjemplo: Sean u=ab v=ca w=bbEntonces

uv=abcavw=cabb(uv)w=abcabbu(vw)=abcabb

Propiedades. 1. Asociativa2. Elemento neutro (λλλλ)

Lenguaje: cualquier subconjunto de ∑* .

6

Concatenación de Cadenas

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

4


Longitud de una cadenaTambién llamada tamaño de una cadena w es el número de elementos que contiene la cadena.

Ejemplo: La cadena abcdef tiene una longitud de 6.

SubcadenaDada la cadena v, si existen las cadenas x y y de tal forma que

v = xuy. entonces se dice que u es una subcadena de vEsto quiere decir Que u “ocurre dentro de” v.

Un prefijo de v es una subcadenau en donde x es la cadena vacía en la descomposición de v. Eso quiere decir que v=uy. Similarmente, u es un sufijo de v si v=xu.

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Cadenas o PalabrasLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Ejemplo:ab es un prefijo de la cadena abcdef y ef es un sufijo de la misma cadena.

Representación finita del lenguaje

Un lenguaje consiste de un grupo de cadenas de un alfabeto.Usualmente ciertas restricciones se aplican a las cadenas del lenguaje.

Ejemplo:El lenguaje Español consiste de todas las cadenas de palabras con sentido, también llamadas oraciones.No todas las combinaciones de palabras forman oraciones.

De allí que un lenguaje consiste de un subconjunto de el conjunto de todas las posibles cadenas que se pueden formar de el alfabeto.

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Lenguajes

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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Ejemplo:Sea A = {Juan, Luis, come, fruta, camina, y, queso, rápidamente}Luego A* contiene

� Oraciones o cadenas con sentidoo Juan Luis come fruta y quesoo Luis camina y comeo Juan come rápidamente

� Oraciones o cadenas sin sentidoo fruta camina y quesoo y come caminao Juan queso

Ejemplo: Sea el lenguaje L de cadenas de el alfabeto {a,b} en donde cada cadena comienza con una a y tiene longitud par.Las cadenas aa, ab, aaaa, abbb, abab, abbbaaba forman partede ese lenguaje. 9

LenguajesLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


El lenguaje anterior se puede definir recursivamente como:

i) Base: aa, ab son miembros de L.

ii) Paso recursivo: Si u es miembro de L, entoncesuaa, uab, uba, ubb

son miembros de L.

iii) Cierre (Closure): Una cadena u es miembro de L solo si puede obtenerse de los elementos base por un número finito de aplicaciones del paso recursivo.

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Lenguajes

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

Ejemplo: El lenguaje L consiste de cadenas del alfabeto {a,b} en donde cada ocurrencia de b es inmediatamente precedida por una a.

Por ejemplo, λ, λ, λ, λ, a, abaab están en L y bb, bab, abb no están en L.

i) Base: λλλλ es miembro de L.

ii) Paso recursivo: Si u es miembro de L, Entoncesua, uabson miembros de L.

iii) Cierre (Closure): Una cadena u es miembro de L solo si puede obtenerse de los elementos base por un número finito de aplicaciones del paso recursivo.

Definiciones recursivas como la anterior son una herramienta para definir las cadenas de un lenguaje.

Lenguajes

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MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

Otra técnica para construir lenguajes es usar operaciones de conjuntos (sets) para construir, desde conjuntos mas simples hasta conjuntos complejos de cadenas.

Por ejemplo, la concatenación de los lenguajes X y Y, denotadaXY, es el lenguaje

XY = { uv | u es miembro de X y v es miembro de Y}

La concatenación de X consigo mismo n veces se denota como Xn.

X0 se define como {λλλλ}.

Lenguajes

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7


MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

Ejemplo: Sea X = {a,b,c} y Y = {abb, ba}. Entonces

XY = {aabb,babb,cabb,aba,bba,cba}X0 = {λλλλ}X1 = X = {a,b,c}X2 = XX = {aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc}X3 = X2X = {aaa,aab,aac,aba,abb,abc,aca,acb,acc,

baa,bab,bac,bba,bbb,bbc,bca,bcb,bcc,caa,cab,cac,cba,cbb,cbc,cca,ccb,ccc}

Lenguajes

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MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

Ejemplo: El lenguaje L = {a,b}*{bb}{a,b}* consiste de las cadenas del alfabeto {a,b} que contiene la subcadena bb.

La concatenación de el conjunto {bb} asegura la presencia debb en cualquier cadena en L.

Los conjuntos {a,b}* permiten cualquier número de a’s y b’s, en cualquier orden, y que preceden y siguen la ocurrencia de bb.

Las cadenas bb, abba, ababbbabab, bbaaaa, aaaabbson ejemplos de cadenas de el lenguaje L.

Lenguajes

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8

Operaciones con lenguajes


MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

-Booleanas.

UniónL1∪L2 ={x ∈ ∑ * : x ∈ L1 ∨ x ∈ L2}

IntersecciónL1∩L2 ={x ∈ ∑ * : x ∈ L1 ∧ x ∈ L2}

Complementación

Lc = {x ∈ ∑ * : x ∉ L}

DiferenciaL1 - L2 = L1 ∩ Lc

2

Diferencia simétricaL1 ∆ L2 = (L1 - L2 ) ∪ (L1 - L2 ) 15


MA

QU

INA

S D

E E

STA

DO

FIN

ITO

Concatenación de lenguajes. L1⋅L2 = {x ⋅ y ∈ ∑ * : x ∈ L1 ∧ y ∈ L2}

-No conmutativa L1⋅L2 ≠ L2⋅L1

-Asociativa L1⋅(L2 ⋅ L3) = (L1 ⋅ L2) ⋅L3

-Anulador L1⋅∅ = ∅

-Distributiva respecto de la unión L1⋅(L2 ∪ L3) = L1⋅L2 ∪ L1⋅L3

-No distributiva respecto de la intersección L1⋅(L2 ∩ L3) ⊆ L1⋅L2 ∩ L1⋅L3

Ej: L1= {a, ab}, L2= {a}, L3= {ba}

Propiedades.

Operaciones con lenguajes

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

AUTOMATAS


� Los autómatas de estado finito son un tipo especial deMáquinas de Estados Finitos.

� Los Autómatas se caracterizan por:

o tener un estado inicial

o recibir una cadena de símbolos

o cambiar de estado por cada elemento leído o poderpermanecer en el mismo estado

o tener un conjunto de Estados Finales o Aceptables queindican si una cadena o palabra pertenece al lenguaje alfinal de una lectura.

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

Introducción

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Definición:

Un autómata de estado finito,

A = (I, O, S, f, g, σ)

es una máquina de estado finito en la que el conjunto de símbolos de salida es

O = {0, 1}

y donde el estado actual determina la última salida.

Aquellos estados para los cuales la última salida es 1, reciben el nombre de estados de aceptación.

Los Autómatas se clasifican en 2 tipos:

�Autómata Finito Determinista.

�Autómata Finito no Determinista. 19

DefiniciónLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Ejemplo:Dibuje el diagrama de transición de la máquina de estado finitodefinida por la tabla

Sf g

a b a b

σ0 σ1 σ0 1 0

σ1 σ2 σ0 1 0

σ2 σ2 σ0 1 0

σ0 σ1σ2

b/0

b/0

b/0

a/1a/1

a/1

20

AU

TO

MA

TAS

Ejemplo

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Determine si la máquina graficada es o no un autómata de estadofinito

σ0 σ1σ2

b/0

b/0

b/0

a/1a/1

a/1

Se debe cumplir:

� el conjunto de símbolos de salida debe ser {0, 1}

� para cada estadoσ todos los arcos que llegan aσ tienen la mismaetiqueta de salida

� los estadosσ que tienen como única etiqueta de salida el 1, son losestados de aceptación

Luego, la máquina propuesta es un autómata de estado finito.21

EjemploLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Diagrama de Transición de un Autómata

• En un diagrama de transición existe un vértice por cada estadode S.• Los estados finales están encerrados en un círculo doble.• El estado inicial es apuntado por una flecha que no proviene deningún otro estado.• Para cada estadoσi y un símbolo de entrada ak , hay exactamenteuna y solo una flecha que inicia enσi y termina en σv, la flecha seetiqueta como ak.

En el ejemplo anterior:

σ0 σ1σ2

b

b

b

aa

a

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Autómatas de Estado Finito

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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Existe una definición alternativa para un autómata de estadofinito

Definición:

Una autómata de estado es una estructura descrita por la quíntupla

A = (I, S, f, A, σ)

donde:� I, alfabeto de entrada, es un conjunto finito de símbolos.

� S, conjunto de estados, es un conjunto finito

� f: S x I �� S Función de estado siguiente

�A: subconjunto de S, integrado por los estados de aceptación

� σ: estado inicial, pertenece a S 23

Otra DefiniciónLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Para describir por completo una función de transición o funciónde estado siguiente, se utiliza una Tabla de Transición.

Las columnas se etiquetan con los símbolos de entrada, la filas sonetiquetadas con los estados y en las intersecciones se colocan losnuevos estados.

Ejemplo:Dibujar el diagrama de transición del autómata definido por

A = (I, S, f, A, σ)Donde: I = {a,b} S = {σ0,σ1, σ2} A ={ σ2} σ = {σ0} y f está definidapor

Sf

a b

σ0 σ0 σ1

σ1 σ0 σ2

σ2 σ0 σ224

Tabla de Transición

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

13


El diagrama pedido es:

σ0 σ1σ2

a

a

a

bb

b

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Tabla de TransiciónLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Sea A = (I, S, f, A,σ) un autómata de estado finitoDada una cadena de entrada sobre I

kk Ixxxxx ∈= ,..,,, 321

r

Si existe una secuencia de estados:

nσσσσσ ,..,,, 321=r

tales que: � σ0 = σ � f(σi-1, xi) = σi� el estado final σn es un estado de aceptación

Entonces, se dice que la cadena es aceptada por Axr

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Cadenas Aceptadas por un Autómata

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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Se denota por Ac(A) al conjunto de cadenas aceptadas por elautómata A y se dice que A acepta Ac(A)

Ejemplo:Diseñar un autómata que acepte exactamente aquellas cadenassobre {a, b} que no tengan letras “a”

σ0 σ1

ba

ba

donde :σ0: no se encontró “a”σ1 : se encontró “a”

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Cadenas Aceptadas por un AutómataLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


donde :P: se encontró un número par de letras “a”I : se encontró un número impar de letras “a”

Ejemplo:Diseñar un autómata que acepte exactamente aquellas cadenas sobre{a, b} que contengan un número impar de letras “a”

P I

b

a

ab

Observación:Un autómata de estado finito es la representación de un algoritmoque sirve para decidir si una cadena es aceptada o no

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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Ejemplo: Construir un autómata de estado finito que no acepte cadenas que contengan la subcadena “aa” y donde I={a,b}.

q0 q1 q2

a,b

a

b

a

b

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Cadenas Aceptadas por un AutómataLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Ejemplo:

Diseñar un AFD que reconozca cadenas que contienen la subcadena001

Por ejemplo debe reconocer cadenas como 0010, 1001, 11111110011111, pero no como 11, 0000, 1100, 10101.

q q0 q00 q001

1

1

0 0

0 0

1

1

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LEN

GU

AJE

S Y

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MA

TAS

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Autómatas y Lenguajes


Lenguaje aceptado por autómata

Se define el lenguaje aceptado por un Autómata finito determinista como:

L(M) = {w ∈ Σ∗ | w es aceptada por M}

Por tanto,L(M) es el conjunto de las cadenas que hacen queM pase delestado inicial a un estado de aceptación.

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS


Ejemplo:

Sea el AFD, A = (I, S, f, A,σ) donde

S= {q0, q1, q2, q3}

I = { a, b}

σ = q0

A = {q0, q1, q2}

f definida por la tabla

a b

q0 q0 q1

q1 q0 q2

q2 q0 q3

q3 q3 q3

Dibuje su diagrama de transición y determine que lenguaje acepta

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S Y

AU

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MA

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acepta el lenguaje

L(M) = {w ∈ { a, b} * | w no contiene tres b consecutivas}

σ0 σ1 σ2 σ3

a

a

b b

a

b

ba

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LEN

GU

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S Y

AU

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MA

TAS



Se puede aplicar recursivamente una serie de caracteres de unacadena dada al AFD.

Por ejemplo, la aplicación de la cadenabbaben el caso anterior daráf( f( f( f( σ 0,b),b),a),b) = σ1.

Esto puede abreviarse como f(q0,bbab).

Se dice que dos AFDM1 y M2 son equivalentes siL(M1) = L(M2).

σ0 σ1 σ2 σ3

a

a

b b

a

b

ba

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LEN

GU

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Ejemplos:

El siguiente autómata acepta cadenas de la forma akb.

Mientras que el siguiente autómata acepta el lenguaje A = {(ab)i | i ≥ 1}.

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Autómatas y LenguajesLE

NG

UA

JES

Y A

UT

ÓM

ATA

S


Ejercicio:

Compruebe que el autómata de la figura acepta cadenas de la forma (ab)*.

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LEN

GU

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S Y

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TÓ

MA

TAS

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Ejercicio:

Construya un autómata que genere el lenguaje a*b ∪ ab*

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LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS



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FIN

LEN

GU

AJE

S Y

AU

TÓ

MA

TAS

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