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Departamento de Ingenieras Elctrica y ElectrnicaUniversidad del Norte

Las caractersticas de desempeo de un sistema de control se especificanLas caractersticas de desempeo de un sistema de control se especificanen trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln unitario,puesto que esta es fcil de generar y es suficientemente drstica.

Si se conoce la respuesta al escaln es matemticamente posible calcularla respuesta para cualquier entrada.p p q

La respuesta transitoria de un sistema de control prctico muestra conp pfrecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estadoestacionario.

Al especificar las caractersticas de respuesta transitoria de un sistemaAl especificar las caractersticas de respuesta transitoria de un sistemade control para una entrada escaln unitario es comn especificar:

1. Tiempoderetardo td

2. Tiempodesubida tr

3. Tiempopico tp

4. SobreelongacinMp

5 Tiempo de asentamiento t5. Tiempodeasentamientots

Tiempo de retardo (td ): Tiempo requerido para que la respuesta alcancela primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de subida (tr): Tiempo requerido para que la respuesta pase del 10al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final.

Sistemassubamortiguados tr de0a100%.

Sistemas sobreamortiguados tr de 0 a 90%Sistemassobreamortiguados tr de0a90%.

Tiempo pico (tp): Tiempo requerido para que la respuesta alcance elTiempo pico (tp): Tiempo requerido para que la respuesta alcance elprimer pico de sobreelongacin.

Sobreelongacin mxima (Mp%): Mximo valor del pico de la curvarespuesta, medido a partir de la consigna.

( ) ( )% 100%

( )p

p

c t cM

c =

Tiempo de asentamiento (ts): Tiempo requerido para que la curvaalcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por elporcentaje absoluto del valor final (2 a 5%).

0.02 o 0.05

ParaunsistemaSubamortiguado

Tiempodesubida(tr)

Suponiendo ( ) 1c t =j

djSuponiendo ( ) 1rc t =

2( ) 1 1 cos sin

1n rt

r d r d rc t e t t

= = + 0n rte

21n

como 0n re

2cos sin 0

1d r d rt t

+ =

n

2 21 1tan n dd rn

t = = =

11 tan drd d

t = =

Tiempopico(tp)

( )d 2 2

( ) cos sin sin cos1 1

n nt t dn d d d d d

dc t e t t e t tdt

= + +

2( )dc t

( )2

2

2 2

( ) sin 11

1

n p

p

t nd p n

t t

n nt t

dc t e tdt

=

= + + ( )

2 2sin sin

1 1n p n pn nt t n

d p d pe t e t = =

( ) i 0t ndc t i 0 0 2 3t t2

( ) sin 01

n p

p

t nd p

t t

dc t e tdt

= = = sin 0 0, ,2 ,3 ,...d p d pt t = =

Comoeltiempopicocorrespondeali i b l i i d p

t = t =primerpicosobreelongacinmximo d p pd

t

Sobreelongacin Mxima (Mp)SobreelongacinMxima(Mp)

( ) 1=

p pM c t

( ) ( )2( )

2

1

cos sin1

= + = =

n d

n d

e

e e

= =e e

( )21pM e

= ( )/(%) 100%dpM e =

TiempodeAsentamiento(ts)s2

1

2

1( ) 1 sin tan ; 01

nt

dec t t t

= +

Lascurvas2

11

nte

Sonlasenvolventesdelarespuestatransitoria

paraunescalnunitario.

Laconstantedetiempodeestascurvasenvolventeses1

n

T =Cuandosecomparanlasrespuestasdelossistemasporlogeneralsedefinets como:

4 44t T= = =(Criteriodel2%)

3 33t T= = =(Criteriodel5%)

4sn

t T 3s nt T = = =

Ejemplo: Cuando el sistema est sujeto a una entrada escaln unitario, la salida delsistema responde como se aprecia. Determinar los valores de K y T a partir de la curvad tde respuesta.

( 1)K

s Ts +( )R s ( )C s

(%) 25.4% 0.4pM = =

2 23 3

1 1 0.4

1 14

p pd n n

t t

= = = = = ( 1)K

s Ts +( )R s ( )C s

21.14

3 1 0.4n = =

Deldiagramadebloques 2( )( )C s kR s Ts s k

= + +( )R s Ts s k+ +Endonde: n

kT

= 12 n T =

2 2

1 1 1.092 2(0.4)(1.14)

(1 14) (1 09) 1 42n

T

k T

= = =

= = =(1.14) (1.09) 1.42nk T

Ejemplo: Determinar los valores de K y k del sistema en lazo cerrado de laFigura para que la sobreelongacin mxima de la respuesta escalnunitario sea del 25% y el tiempo pico sea de 2 segundos. Suponer J = 1.

KJs

1s

( )R s ( )C s

k

K( )R s ( )C s

1JsKkJs

+

( )R s ( )C s

Js

2

( )K s Js Kk KK J Kk K+ =( )R s

( )C s2

1( )K Js Kks K

s Js Kk+ ++ +

2

( )( )C s KR s Js Kks K

= + +( )R s ( )C s

( ) 2C s K K Kk2( ) 2( ) n nC s K KkR s s Kks K

= = =+ +Como

2/ 1 0.25 1.386 0.404M e = = = =Como2

0.25 1.386 0.4041

pM e Como 2 1.57p d

d

t = = =

2 2

1.57 1.721 1 0.404

dn

= = =

( )22 1.72 2.952 2 0.404 1.72 0.471

2 95

n

n

K N m

k segK

= = = = = =

2.95K

DescripcinenMATLABdeunsistemaestndardesegundoorden:2

2 2( ) 2n

n n

G ss s

= + +

Programaparagenerarunsistemaestndardesegundoorden: 5 0.4n rad seg = =

ObtencindelarespuestaalEscaln:

Resp esta a n escaln nitario de G(s) 25/(s2 + 4s + 25)

1

1.2

1.4Respuesta a un escaln unitario de G(s) = 25/(s2 + 4s + 25)

0.6

0.8

1

A

m

p

l

i

t

u

d

e

0.2

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

Time (sec)

( )

Programaparadibujarlascurvasderespuestaescalnunitarioc(t)cuando

Sea 1n normalizada a2( ) 1( ) 2 1C sR s s s= + +

0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 = Tambindibujarunagrficaentresdimensiones.

Respuesta tridimensional a un escaln unitario

1.5

2

0.5

1

R

e

s

p

u

e

s

t

a

1010

0.5

02

46

810

0

0.5

t( ) t(seg)

RespuestaalImpulsoUnitario: Sea 2( ) 1( )( ) 0.2 1C s G sR s s s

= = + +

2

0.6

0.8

1Respuesta a un impulso unitario de G(s)=1/(s2 + 0.2s +1

0

0.2

0.4

A

m

p

l

i

t

u

d

e

-0.6

-0.4

-0.2

0 10 20 30 40 50 60-0.8

Time (sec)

EnfoqueAlternativoparaobtenerlaRespuestaImpulsoCuandolascondicionesinicialessoncero,larespuestaimpulsounitariodeG(s)esigualalarespuestaescalnunitariodesG(s).

2 2

( ) 1 1( ) ( )( ) 0.2 1 0.2 1C s sC s G sR s s s s s s

= = = = + + + +

0.4

0.6

0.8

1Respuesta a un impulso unitario de sG(s)

-0 6

-0.4

-0.2

0

0.2

A

m

p

l

i

t

u

d

e

0 10 20 30 40 50 60-0.8

0.6

Time (sec)

Para obtener la respuesta rampa del sistema con funcin de transferencia G(s),divdase G(s) entre s y utilcese el comando de respuesta escaln.

RespuestaalaRampaUnitaria:

( ) y p

Sea2

( ) 1( ) 1C sR s s s

= + + Para2( ) 1R s s= ( )2 2 21 1 1 1( ) 1 1C s s s s ss s s = = + + + +

67Respuesta a una rampa unitaria del sistema G(s)=1/(s2 + s +1)

5

6d

a

3

4

E

n

t

r

a

d

a

y

s

a

l

i

d

1

2

0 1 2 3 4 5 6 70

t seg

No se analizarn los errores producidos por las imperfecciones de loscomponentes del sistema.

l d l f f l d

Se analizar un tipo de error en estado estacionario provocado por laincapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas.

Cualquier sistema de control fsico sufre, por naturaleza, un error en estadoestable en respuesta a ciertos tipos de entrada.

Un sistema puede no tener un error en estado estacionario para unaUn sistema puede no tener un error en estado estacionario para unaentrada escaln, pero el mismo sistema puede exhibir un error en estadoestacionario diferente de cero ante una entrada rampa.

El que un sistema determinado exhiba un error en estado estacionario paraun tipo especfico de entrada depende del tipo de funcin de transferenciaen lazo abierto del sistema.

Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguirentradas escaln, rampa, parbola, etc.

Considrese el sistema de control con realimentacin unitaria con lasiguiente funcin de transferencia en lazo abierto G(s):

( 1)( 1)...( 1)( )( 1)( 1) ( 1)a b m

NK T s T s T sG ss T s T s T s

+ + += + + +1 2( 1)( 1)...( 1)ps T s T s T s+ + +Representa un polo de multiplicidadN en el origenN en el origen.

Unsistemasedenominadetipo0,detipo1,detipo2,SiN=0,N=1,N=2,respectivamente.

C t l P i l( ) ( )( ) 1 ( )C s G sR s G s

= +( )R s ( )E s ( )C sControlProporcional

Elerrorenestadoestacionarioes:

0 0

1 1lim ( ) lim ( ) lim1 1ss t s s

Tse e t sE sTs k k

+= = = =+ + +Este sistema sin un integrador en el camino directo SIEMPRE tiene un erroren estado estacionario como respuesta a un escaln.

Control IntegralControlIntegral

( )E s ( )C s( )R s

( )( ) ( 1)C s KR s s Ts K

= + +( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( 1)E s R s C s s TsR s R s s Ts K

+= = + +

Elerrorenestadoestacionariocomorespuestaaunescalnunitariosepuedeobteneraplicandoelteoremadelvalorfinal:

( )0

2

lim ( )

1 1lim 0

ss se sE s

s Ts=

+= =20lim 0s Ts s K s + +

Control DerivativoControlDerivativo

Aporta un modo de obtener un controlador de alta sensibilidad.

Responde a la velocidad del cambio del error y produce una correccinsignificativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiadogrande.g

NoNo afectaafecta enen formaforma directadirecta elel errorerror enen estadoestado estacionarioestacionario

AadeAade amortiguamientoamortiguamiento alal sistemasistema

PorPor tantotanto permitepermite elel usouso dede unun valorvalor msms grandegrande dd lala gananciaganancia KK

ProvocaProvoca unauna mejoramejora enen lala precisinprecisin enenestadoestado estacionarioestacionario..

pp gg gg

( ) ( ) 1 11 ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )E s C s E s R sR s R s G s G s

= = =+ +

0 0

( )lim ( ) lim ( ) lim1 ( )ss t s ssR se e t sE sG s

= = = +

Las constantes de error esttico definidas a continuacin son figuras

ConstantesdeErrorEsttico

Las constantes de error esttico definidas a continuacin son figurasde mrito de los sistemas de control.

Cuanto ms altas sean las constantes, ms pequeo es el error enCuanto ms altas sean las constantes, ms pequeo es el error enestado estacionario.

Se denominar posicin a la salida y velocidad a lap yrazn de cambio de la salida.

ConstantedeErrordePosicinEsttica:Kp

1 1s

Sedefine

0lim ( ) (0)p sK G s G= =

Para un escaln unitario:0

1 1lim1 ( ) 1 (0)ss sseG s s G

= =+ +0

11

p s

ssp

eK

= +Para un sistema de tipo 0:Para un sistema de tipo 0:

( )( )( )( )0 1 2

1 1 ...lim

1 1 ...a b

p s

K T s T sK K

T s T s+ += =+ +

11ss

eK

= +

Paraunsistemadetipo1omayor:

( )( )( )( )0 1 2

1 1 ...lim 1

1 1 ...+ += = + +

a bp s

K T s T sK para N

s T s T s0sse =

ConstantedeErrordeVelocidadEsttica:Kv

1s 1

Sedefine

0lim ( )v sK sG s=

20 0

1lim lim1 ( ) ( )ss s sseG s s sG s

1= =+Para una rampa unitaria: 1ss

v

eK

=

Paraunsistemadetipo0:( )( )

( )( )0 1 21 1 ...

lim 01 1 ...

a bv s

sK T s T sK

T s T s+ += =+ +

1

1 1

ssv

eK

= =

( )( )( )( )0 1 2

1 1 ...lim

1 1 ...+ += =+ +

a bv s

sK T s T sK K

s T s T sParaunsistemadetipo1:

1 1

1 0

ssv

ss

eK K

eK

= =

= =

Paraunsistemadetipo2omayor:( )( )( )( )0 1 2

1 1 ...lim 2

1 1 ...a b

v Ns

sK T s T sK para N

s T s T s+ += = + +

vK

Sistemas de tipo 0 incapaz de seguir una entrada rampa.

Sistemas de tipo 1 sigue la entrada rampa con un error finito.

Sistemas de tipo 2 o mayor sigue una entrada rampa con un errorde cero en estado estacionario.

Respuesta de un sistema conli t i it i d tirealimentacin unitaria de tipo

1 para una rampa de entrada.

ConstantedeErrordeAceleracinEsttica:Ka

1 1sPara una parbola unitaria2( ) 2 0

0 0r t t para t

para t= = /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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