5_Fluidos _Viscosos

Mecánica de los Fluidos Ing. Industrial

52

v

p Vs

0

Fig.

FLUJOS VISCOSOS

RESISTENCIA DE LOS FLUIDOS EN GENERAL Cuando un cuerpo sólido se mueve en un fluido se originan unas fuerzas que pueden ser normales al desplazamiento que es el empuje ascensional en el caso de un avión, y la resultante de estas fuerzas en la dirección del movimiento es el arrastre o resistencia. El origen de esta fuerza es la viscosidad auque también puede haber una resistencia debido a las presiones normales. En estos casos trabajaremos con fluidos reales donde 0. El fenómeno de la resistencia de un sólido al moverse en un fluido es el mismo que experimenta un fluido al moverse dentro de un sólido, como una tubería. PARADOJA DE D`ALEMBERT Si un cilindro circular en reposo es bañado por un fluido que se mueve con velocidad constante v de izquierda a derecha, el fluido es ideal (energía constantes en todos los puntos de una misma línea de corriente), e irrotacional (energía constantes en todos los puntos a pesar de que no estén en la misma línea de corriente). La configuración de corrientes es simétrica con respecto al cilindro. La velocidad en cada punto de la superficie del cilindro vs es:

sen v2v s

Si suponemos que la gravedad no juega ningún papel, aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto imperturbado O y un punto cualquiera s del cilindro tendremos:

2v

2v 22

sspp

De donde:

22

22 412v

vv2

senppp ss

222 41

2v

2v

senppps


53

y

x

0

2v2

p

0

2v 2

p

Fig.

Fig.

A

A

Fig.

Las fuerzas debido a la presión son normales a la superficie, los valores de

2v 2

p se

han representado en la siguiente figura: La simetría de la figura nos dice que:

La resultante de todas las fuerzas que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección normal al movimiento (empuje ascensional) es nula. La resultante de todas las fuerzas que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección del movimiento (arrastre) es nula.

Un cilindro se movería en un fluido sin experimentar resistencia alguna. Cuando en la realidad podemos ver que esto no es así. La explicación de la paradoja de D´alembert en los dos puntos siguientes:

a) Aun en el caso de que macroscópicamente la configuración de la corriente fuera la observada en la figura, microscópicamente en las inmediaciones de un punto cualquiera del cilindro, A, reina la distribución de velocidades que se representa junto a la figura.


54

Fig.

A

A

b c d a

v

Fig.

La capa de fluido contigua al cilindro se adhiere al mismo por su viscosidad. Por lo que la velocidad del fluido se reduce a cero. Esta velocidad aumenta rápidamente pasada cierta película de fluido (capa limite). En la ecuación de Newton:

dyvd

es muy pequeño pero dv/dy es grande, por lo tanto el esfuerzo cortante y la resistencia (esfuerzo cortante x superficie) es muy grande. Esta resistencia se llama resistencia de superficie.

b) El cilindro tiene una forma muy poco aerodinámica y las líneas de corriente se

separan como lo indica la figura siguiente (desprendimiento de la capa limite), creando remolinos que provocan una depresión por lo que experimentara una resistencia de forma.

CAPA LÍMITE: RESISTENCIA DE SUPERFICIE La figura siguiente representa un cuerpo sólido sumergido en una corriente de fluido. Estudiemos la distribución de velocidades a lo largo de la normal a la superficie en un punto A. Ya sabemos que la velocidad del fluido en el punto A es cero.


55

xv

xv

t

Fig.

Una observación microscópica nos revele una distribución de velocidades de acuerdo al caso en una película muy fina (capa limite).

Si el fluido fuera ideal la teoría hidrodinámica nos daría una distribución tipo a. Si los efectos de la viscosidad son apreciables, Reynolds bajos, tenemos una

distribución tipo b, parabólica. Si los efectos de la viscosidad son despreciables, Reynolds altos, la distribución de

velocidades es tipo d, logarítmico. El tipo c es un caso intermedio.

La capa limite tiene un espesor muy pequeño, del orden de micras o milímetros. Fuera de la capa limite un liquido poco viscoso se comporta como un fluido ideal. RÉGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO Esta clasificación se refiere a la corriente fluida estudiada a nivel microscópico y es fundamental en el estudio de los fluidos reales. El movimiento en régimen laminar es ordenado, estratificado, el fluido se mueve como clasificado en capas que no se mezclan entre si. Dentro de una tubería el fluido se desplazaría en tubos concéntricos en forma “telescópica”, el tubo exterior queda adherido a la pared del tubo, su velocidad es cero. La velocidad del tubo central es máxima. El movimiento en régimen turbulento es caótico. Las trayectorias de las partículas se entrecruzan formando pequeños remolino. La velocidad fluctúa en cada punto y como tiene tres componentes; vx, vy y vz; podemos representar en la figura siguiente la vx en función del tiempo donde xv es la velocidad cuadrática media. La disipación de energía es mucho mas intensa en el movimiento turbulento que en el laminar. Existirá en esfuerzo cortante que no estará regido por la ley de Newton propia del régimen laminar. Definiendo un esfuerzo cortante medio se enuncia la siguiente ley análoga y propia del régimen turbulento:

dyvd

r

Donde: = esfuerzo cortante medio, r= viscosidad de “remolino”,


56

V

Vmax

0.5 1.0

2v

v max

Fig.

0

V

Fig.

v

v = valor medio temporal de la viscosidad en un punto cualquiera. La distribución de velocidades en régimen laminar es parabólico como podemos ver en la figura siguiente: La distribución de velocidades en régimen turbulento en una tubería de sección circular es logarítmica. Como se ve la velocidad en toda la sección es mucho mas uniforme. Se pueden observar, en la figura siguiente, las velocidades medias temporales (uniformes) y las velocidades en cada instante (irregular). CAPA LIMITE LAMINAR Y TURBULENTA La figura siguiente representa una placa fija de borde de ataque afilado sumergida en una corriente uniforme en el infinito cuya velocidad en el infinito v es constante y paralela a la placa. A medida que el fluido circula por la placa mas capas del mismo van frenándose al igual que la primera capa que esta en contacto con la superficie. El espesor de la capa limite suele definirse como la distancia desde la pared al punto donde la velocidad difiere de la velocidad correspondiente en el infinito en un 1 por ciento. También se observa la zona de transición donde el flujo laminar comienza, a ser inestable y se desarrolla turbulencia dentro de la capa limite.


57

1

2

v v

x1 x2

Laminar Transición Turbulento

Fig.

EL NÚMERO DE REYNOLDS: PARAMETRO ADIMENSIONAL DE RESISTENCIA Como vimos anteriormente el número de Reynolds es el parámetro adimensional de la semejanza en los problemas con predominio de la viscosidad. Jugando en los fenómenos de resistencia un papel decisivo el que la corriente sea laminar o turbulenta, también jugara un papel decisivo en ellos el número de Reynolds. Con números de Reynolds pequeños el flujo es laminar, con números de Reynolds grandes el régimen es turbulento. Mediante el ejemplo de la placa definiremos el número de Reynolds de la siguiente manera:

vx

vRe

Donde: x = distancia desde el borde de ataque de la placa, v= velocidad de la corriente imperturbada. También será función del numero de Reynolds el espesor de la capa limite es decir en forma adimensional / x se tendrá.

(Re)fx

NÚMERO CRÍTICO DE REYNOLDS Reynolds observo:

Cuando el numero de Reynolds, Re > 12000 la corriente era necesariamente turbulenta; pero tomando precauciones a la hora de experimentar es posible alcanzar flujos laminares a números de Reynolds = 40000. No es posible probar la imposibilidad de conseguir corriente laminar con números de Reynolds mas elevados.


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Cuando el número de Reynolds 2000 la corriente era necesariamente laminar. Si se producía alguna perturbación la turbulencia inicial quedaba amortiguada por la viscosidad. Por lo que Re = 2000 es el numero crítico inferior de Reynolds.

RESISTENCIA DE SUPERFICIE: PERDIDAS EN CONDUCTOS CERRADOS O TUBERIAS Perdidas primarias y secundarias en las tuberías Perdidas primarias: son las perdidas de superficie en el contacto del fluido con la superficie del conducto (capa limite), rozamiento entre capas de fluido (régimen laminar) o de las partículas entre si (régimen turbulento). Perdidas secundarias: son las perdidas de forma que tienen lugar en las transiciones, codos, válvulas, accesorios, etc. Perdidas primarias Supongamos un tubo horizontal de diámetro constante por el que circula un fluido cuya velocidad media en la tubería es v. La energía en el punto 2 es igual a la energía en el punto 1 menos la energía perdida (perdida de carga) se cumple la ecuación de Bernoulli

gvz

gpH

gvz

gp

r 22

22

22

21

21

11

z1 = z2 y v1 = v2 por lo que:

212121

rpr HHgpp

Donde Hrp1-2 perdidas entre 1 y 2. ECUACIÓN DE DARCY - WEISBACH La perdida de carga es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad media en la tubería y a la longitud de la tubería e inversamente proporcional al diámetro de las mismas:

gDLH rp 2

v2

Donde: Hrp= perdida de carga primaria, = coeficiente de perdida de carga, L= longitud de la tubería,

v D 1 2

Fig.


59

k

Fig.

D= diámetro de la tubería, v= velocidad media del fluido.

El coeficiente se obtiene de tablas o ábacos confeccionados para tal fin. Actualmente se utiliza el diagrama de Moody:

Resuelve todos los problemas de perdidas de carga primarias en tuberías con cualquier diámetro, cualquier material de tubería y cualquier caudal.

Puede emplearse en tuberías de sección no circular donde se reemplaza el diámetro por el radio hidráulico.

Se usa para determinar el coeficiente el cual luego se lleva a la ecuación de Darcy – Weisbach.

El factor Este factor es obviamente adimensional ya que:

DL

y g2

v2

Son adimensionales, depende la velocidad, del diámetro, de la densidad, de la viscosidad, y de la rugosidad k: Una tubería rugosa macroscópicamente presenta este aspecto, en la figura se ve que la rugosidad absoluta k tiene una dimensión lineal. De lo dicho se deduce:

)k,,D,v,( f El análisis dimensional demuestra que:

Dkf ,

vD

Donde:

vD

= numero de Reynolds

Dk

= rugosidad relativa.

Si Re es muy pequeño (régimen laminar), es solo función de Re. Si Re es muy grande (régimen turbulento), es función de Re y de la rugosidad relativa.


60

1 2 A B

C D L

T

R O

r

a

c

b

d

Fig.

Calculo de en régimen laminar (tuberías lisas y rugosas): Formula de Poiseuille. En la figura se representa una tubería de radio constante R, y en ella dos secciones transversales 1 y 2 que distan entre si una longitud L y que limitan el trozo de tubería ABCD. La tubería es horizontal, consideremos el cilindro coaxial abcd de base y radio r. Sobre este cilindro actúa la fuerza T debida al esfuerzo cortante que ejerce el resto del fluido en virtud de la viscosidad. Por la primera ley de Newton tendremos:

021 Tpp Donde:

p1 y p2 = presiones en el centro de gravedad del área transversal del tubo en las secciones 1 y 2.

Se tiene:

0drv22

22

1 dLrrprp

Simplificando:

drv2

drv22

dLpr

dLrpr

Despejando dv:

drrdL2p-v

Integrando nos da:

Cr

2

L4p-v

La constante C se determina por las condiciones en los límites que son v = 0 para r = R y por lo tanto:

2

4R

LpC


61

Reemplazando este valor obtenemos la ecuación que nos da la distribución de velocidades en la tubería:

)(L4pv 22 rR

Ecuación de una parábola, la velocidad máxima tiene lugar en el eje del paraboloide, que es el eje de la tubería:

2max L4

pv R

En la práctica es mucho más fácil medir la velocidad media v :

2RQv

El caudal elemental entre dos tuberías concéntricas de radios r, r + dr será:

)(4

2v2 22 rRLpdrdrdQ

Integrando esta ecuación entre los límites O y R se tendrá el caudal total:

LRpQ

rRL

pdrrrRL

p

rRLpdrdQQ

R

RR

8

422)(

2

)(4

2

4

44

0

22

0

22

0

Sustituyendo el caudal Q en la velocidad media tenemos:

LRp

RLRp

88RQv

2

2

4

2

Comparando con 2

max L4pv R

Nos queda:


62

2v

v max

La velocidad media de la tubería es igual a la mitad de la velocidad máxima. Despejando p de:

LDp

LRp

328v

22

Se obtiene la ecuación de Poiseuille:

2Dv32 Lp

Multiplicando y dividiendo el segundo miembro por gv2 tendremos:

ggD

LD

Lp

2v

v64

gv2gv2

Dv32 2

2

Pero como:

rpHgp

Es la perdida de carga primaria:

gDLH rp 2

vRe64 2

La ecuación de Poiseuille es valida para Re < 2000, para valores superiores es valida solo si el flujo sigue siendo laminar. Comparando con la ecuación de Darcy – Weisbach se deduce el valor de :

Re64

Calculo de en régimen turbulento y tuberías rugosas Si el número de Re es bajo:

(Re)f

Si el número de Re es elevado:

Dkf

Si el valor es intermedio.


63

Dkf Re,

DIAGRAMA DE MOODY Es un diagrama doblemente logarítmico. Es la representación grafica de dos ecuaciones, la ecuación de Poiseuille y la ecuación de Colebrook – White. Es un diagrama adimensional. Incorpora la zona de transición a turbulencia completa. Resumen del procedimiento para el calculo de las perdidas de carga primarias, Hrp

1. Conocidos: Q, L, D, v, k

2. Según el material de la tubería se toma k de la TABLA 9-2 3. Se calcula la rugosidad relativa k / D.

4. Se calcula vDvRe

5. Se lee en el diagrama de Moody 6. Este valor de se lleva a la ecuación de Darcy – Weisbach y se calcula Hrp.

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