Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos

Trene s de Engra ne s Pla ne ta rios (o Epicc lic os)

Para obtener una reduccin de engranes deseada, con frecuencia conviene disear un tren de engranajes de manera que uno de los engranes tenga movimiento planetario. Con este movimiento se logra que un engranaje se mueva de tal forma que no solamente gire alrededor de su propio centro sino que al mismo tiempo gire alrededor de otro centro. Las figuras 3.19 a y b muestran dos trenes de engranajes planetarios, en los que el engrane 1 con frecuencia recibe el nombre de central o solar y el engrane 2 recibe el nombre de engrane planeta o satlite.

Figura 3.19 En la figura 3.19.a, el brazo 3 mueve al engranaje 2 alrededor del engranaje 1 que es un engranaje externo fijo. Como se puede ver, el engranaje 2 gira alrededor de su centro B en tanto que este centro gira alrededor del punto A. Conforme el engrane 2 rueda alrededor del e ngranaje exterior 1, un punto de su superficie genera una epicicloide. La figura 3.19.b muestra el caso en que engranaje 1 es un engranaje interno. En este caso se genera una hipocicloide con un punto en la superficie del engranaje 2. Debido a las curvasgeneradas, con frecuencia se llama tren de engranajes epicclico o cclico. Mtodo de la Frmula: En la figura 3.19: Datos: [ 31 : Velocidad angular del brazo 3 con relacin al engrane 1. Hallar: [ 21 : Velocidad angular del engranaje 2 con relacin ala engranaje 1. Debido a que el engrane 1 est fijo, esto es igual que la velocidad angular del engrane 2 y del brazo 3 con relacin a tierra. Considere el tren de engranajes de la figura 3.19.a que se cambia de manera que el brazo 3 est estacionario, en lugar del engranaje 1. Entonces el brazo 3 se convierte en la tierra y se tiene en consecuencia un tren ordinario de engranajes. Por tanto, se puede evaluar la relacin[23/ [13 como N 1/N 2. Si ahora se devuelve el mecanismo a su arreglo original, o sea que el brazo 3 est en movimiento y el engranaje 1 est fijo, todava se mantiene la relacin N 1/N 2 para [ 23/ [ 13. La razn de ello es que cuando se invierte un mecanismo, no cambia el movimiento relativo entre los eslabones . Ahora se puede obtener una solucin para [ 21 en funcin de las cantidades conocidas [ 31 y [ 23 / [ 13 escribiendo una ecuacin para [ 21 y dividiendo entre [ 31 como se muestra a continuacin:

[ 21 = [ 31 + [ 23

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

49

Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos1

!1

!1

1

1

1

Para la Figura .19.a:

!

1

[

![

Para la Figura 3.19.b:

[ 3 N ! 1 [ 13 N [

![

Al comparar las ecuaciones 3.6.a y 3.6.b, se ve por qu es importante sustituir el signo algebraico correcto de [ 23 / [ 13 en la ecuacin 3.6. Considere a continuacin el caso en el que todos los engranes giran as como el brazo. Esto se ilustra en la Figura 3.20, en donde se conocen [ 31 y [ 41 , y se requiere encontrar [ 21 .Al resolver este problema, la relacin clave es [ 24 / [ 34 debido a que es la relacin de las velocidades de los dos engranes con relacin al brazo y se puede evaluar fcilmente.

Figura 3.20 Se pueden escribir ecuaciones para [ 24 y [ 34 y combinarse de manera que aparezca la relacin [ 24 / [ 34. Esto se ilustra de la siguiente forma:

[ 24 = [ 21 - [ 41 [ 34 = [ 31 - [ 41Dividiendo la primera ecuacin entre la segunda,

[ [ 21 ! 24 [ 34pero,

[ [ 31 [ 41 1 24 [ 34

[ 24 N ! 3 [ 34 N2

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

N N

N1 N

N N

Por lo tanto,

[

! [ 1 (1

...( .6)

...(3.6.a)

...(3.6.b)

[ ) [1

[ [

[ [

[ [1

50

Al obt r la ecuaciones 3.6 y 3.7, se vio que en ca a caso pri ero se obtena la relaci n de las velocidades angulares de los engranes con relaci n al brazo y luego se escriban las ecuaciones de velocidad relativa y se combinaban para contener esta relaci n. Aunque este mtodo es bsico, signi i ca que se debe desarrollar una nueva ecuaci n para cada sistema planetario que se encuentre. Para evitar esta repetici n, es posible obtener una ecuaci n general que pueda aplicarse a cualquier tren de engranes planetarios. Considere nuevamente la Figura 3.20 y las ecuaciones[ 24 = [ 21 - [ 41 [ 34 = [ 31 - [ 41) ' ( ( ( ( % # # $ (

y

[ 24 [ 34

!

[ 21 [ 41 [ 31 [ 41

Si en la Figura 3.20 se considera que el engrane 3 es el primer engrane y que el engrane 2 es el ltimo engrane, la ecuaci n anterior puede escribirse como(

[ LA [ FAen donde:

!

[L [A [F [A

...(3.8)

[ FA

= relaci n de las velocidades del ltimo engrane con respecto al primero, ambas con relaci n al brazo.0

[ L = Velocidad angular del ltimo engrane en el tren con relaci n al eslabn fijo. [ A = Velocidad angular del brazo con relacin al eslabn fijo. [ F = Velocidad angular del primer engrane en el tren con relacin al eslabn fijo.

Cuando se usa la ecuacin 3.8 se debe enfatizar que el primer engrane y el ltimo engrane deben ser engranes que se acoplen con el engrane o engranes que tienen movimientoplanetario. Asimismo, el primer engrane y el ltimo engrane deben estar en flechas paralelas debido a que las velocidades angulares no se pueden tratar algebraicamente a menos que los vectores que representan estas velocidades sean paralelos. Utilizando la ecuacin 3.8 para escribir la ecuacin para el tren de engranes de la Figura 3.19.a: Considere que el engrane 1 es el primer engrane y que el engrane 2 es el ltimo engrane:

[ LA [ 23 N ! ! 1 [ FA [ 13 N2[ L = [ 21 [ A = [ 31 [F = [1 = 0

Sustituyendo estos valores se obtiene

N [ 21 ! [ 31 1 1 N2 Ing. LEN LESCAN Ing. PALACIOS GUARNIZ

1

[ LA [ L ! [ FA [ F

[A [A

0

1

0

[ LA

(

&

"

Por lo ta to,

!

Anli i

l

nt

quinas y Mecanismos

[ 21 !

N3 N2

N [ 31 [ 41 1 3 N2

..(3.7)

51

Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos que concuerda con la ecuacin 3.6.a. Resumiendo podemos decir que en un tren de engranes planetarios se cumple la ecuacin:

[ LA [ FAdonde RV = relacin de transmisinRV !

!

[L [ A [F [ A

= RV

Pr oducto de los dientes de los engranes motrices Pr oducto de los dientes de los engranes movidos

RV !

Pr oducto de los dimetros de los engranes motrices Pr oducto de los dimetros de los engranes movidos

Ejemplo 3.4:En el tren de engranes de la Figura 3.21, las entradas son: el engrane sol 5 y el engrane anular 2. Para velocidades angulares dadas de [ 5 = 200 rpm y [ 2 = 500 rpm (ambas antihorarias vistas desde la derecha), calcule la velocidad de rotacin del brazo 6.

Fi Sol cin:7

[L [A [F [ A

identificando trminos, se tiene:[L = [2 [A = [6 [F = [5

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

3 3 65 4 2

= RV

[2 [6 =RV [5 [6

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos

Como se ha visto, lo primero que debemos hacer es identificar los ejes cuyos centros se mueven (llevados por brazos alrededor de ejes fijos). Entonces, los engranes llevados por la flecha mvil constituyen esa unidad planetaria del tren de engrane. Aplicaciones de los Trenes de Engranajes Planetarios:

E

l

5 E bragu

En el embrague planetario mostrado en la Figura 3.22, el tope 6 puede estar trabado o destrabado. Cuando est trabado, se tiene un tren de engranes planetario, y cuando est destrabado, el resultado es un tren de engranes ordinario, ya que el brazo 5 permanecer estacionario. Si el engrane 2 gira en la direccin mostrada a 300 rpm, determine: a). La velocidad del engrane anular 4 cuando el tope est destrabado como se muestra. b). La velocidad del brazo 5 cuando el tope 6 est trabado con el engrane anular 4. Solu iFED C

[ 2 = 300 rpma). Cuando el tope est destrabado, entonces el sistema trabaja como un tren ordinario. Los engranes RV =

!

b). Cuando el tope est trabado, entonces el sistema trabaja como un tren epicclico: RV =a

4 2

5 5

!

N2 N4c

,

[ = 9 rpm , la trans isin d un

(misma direccin de [ )

E aut

l 6 vil

Dif r ncial d

Los nmeros de dientes del diferencial de un automvil que se muestra en la Fig.3.23 son N2= 17, N3= 54, N4= 11, N5 = N6= 16. El rbol impulsor gira a 1200 rpm. a) Cules son las velocidades de las ruedas si el automvil se desplaza en lnea recta sobre un camino de superficie uniforme? b) Supngase que la rueda derecha est levantada con unIng. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

e

WV

[ ! [b b

S

d

YX

Q

P

UT

UT

QR

!

N N

,

H

G

GI

HI

[S = [E

N N

BA@

[6 =

rpm antihoraria vista desde la derecha.

[ 4 = 300 (-24/56)

9

500 [ 6 = 300 [ 68 8

5 8 = RV 7

Fig. 3.22

= -12 , 6 rpm

(contraria a [ 2 )

U

U

aa`

PR

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos gato y que la izquierda reposa sobre un camino. Cul es la velocidad de la rueda derecha?

Fig. 3.23 c) Considere, en el caso de un vehculo con traccin en las ruedas traseras, que el automvil est estacionado con la rueda derecha en reposo sobre una superficie cubierta de hielo, mojada. Le da la respuesta a la parte (b) algn indicio de lo que suceder si arrancara el automvil e intentara conducirlo?. Solu iihg f

El dif r ncial El giro del motor que puede interrumpirse a voluntad en el embrague, pasa por la caja de cambios y llega al eje trasero, en el que tiene que comunicarse a las ruedas colocadas en un eje transversal.

Fig. 3.23.a

Fig. 3.23.b Fu

ionamiento en re ta

Fig. 3.23.

Funcionamiento en curva

[ 2 = 1200 rpma). El mecanismo se comporta como un tren de engrane simple y el clculo de la velocidad angular del brazo o portador tiene la misma velocidad angular que el engrane anular 3. Se sabe que:Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

r

rq

p

pr

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismost w y s

b). En el funcionamiento del diferencial se tiene que el engrane 4 tiene dos movimientos rotatorios: Alrededor del engrane 5 debido al brazo o portador unido al engrane anular 3. Alrededor de su propio eje debido al choque de 4 con 5 (accin-reaccin). Si consideramos a [ 5 como engrane de entrada del tren: [ 5 = 0 (rueda izquierda) 3 : brazo [ motor:

[ [3 ! [ 5 [3 [ 6 [ motor ! 0 [ motor [ 6 = 2 [ motor

c). Se producira un patinaje de la rueda derecha y la potencia del motor escapara por esta rueda (el agua busca su cauce).

E

l

7 R duct r d V l cidad

El reductor de velocidad que se muestra en la Fig.3.24 tiene fijo el pin 2. Los planetas son los engranes 3 y 4, ambos montados con cua sobre el eje planetario. El engrane solar 5 est unido al eje de salida. El eje de entrada a impulsa el brazo. Determine la reaccin de velocidad general de este reductor y el sentido de rotacin del eje de salida. Soluci n: Se sabe que: RV = x

[ L [ A [F [ A y

El signo positivo indica que el engrane de salida 5 gira en el mismo sentido que el brazo o portador 6.

E

l

8 P l a dif r ncial tri l

La Fig.3.25 muestra una Polea diferencial triple en una seccin vertical y una vista lateral. S es la flecha (eje) a la cual est anclada la catalina 2 (rueda dentada) para la cadena de mano. Tambin a S est anclado el engrane 3 que trabaja en conjunto con los dos engranes 4. Los engranes 4 giran sobre esprragos M, que son transportados por el brazo A, estando anclado este ltimo al mameln de la catalina de la cadena de carga 5. Los engranes 6 forman parte de los engranes 4 y engranan con el anilloIng. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

[ [ ! [

* *

y

[ [

[ N N ! N N [ ,

Fig. 3.24

[ 5 = 0,3055 [ 6

v

v

!

N N

su tu y

,

3

= 1200 (17/54)

= 377,78 rpm =

A

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos dentado 7, el cual es una parte de la caja estacionaria. El mecanismo es un tren epicclico. Para:

Fi

N3 = 12, N4 = 25, N6 = 12, N7 = 50, P= 4 dte/pulg. a) Suponiendo que el operador tira de la cadena de mano haciendo girar 10 vueltas a la catalina 2. Hallar las vueltas que da el brazo A (o la rueda 5). b) Si la velocidad angular de la catalina 2 es 2 vueltas/seg y esta tiene 15 de dimetro, calcular: . La velocidad angular de la rueda 5. . Si 5 tiene un dimetro de 6, calcular las velocidades lineales de la cadena de mano y de la cadena de carga. c) Si el operador tira de la cadena de mano con una fuerza de 500 N, Cul es el peso de la carga . Calcule la ventaja mecnica.

Sol cin: a) [ 3 = [2 = [ 5 [7 [ A N3 N 6 ! [3 [ A N 4 N 7

0 [A 12 *12 ! 10 [ A 25 * 50

b)

b.1) [7 [ A N3 N 6 ! [3 [ A N 4 N 7 0 [A 12 * 12 ! 2 [A 25 * 50

[ 2 = 2 vueltas/seg 12,57 rad/seg = 120 rpm.

b.2)

VL mano = [ 2 * r = 12,57 (15/2) = 94,275 pulg/seg = 2,39 m/s VL carga = [ 5 * r = 1,3 (3) = 3,9 pulg/seg = 9,91 cm/s

c)

Potencia = cte. (F*V)mano = (F*V)carga 500(2,39) = F(9,91*10-2 ) F = 12 063,39 N La Ventaja Mecnica obtenida es: VM = (Fuerza de Salida)/(Fuerza de entrada) = (12063,39N)/(500N) = 24.13

PROBLEMAS PROPUESTOS1. En el mecanismo mostrado, la velocidad de giro en el eje de entrada es N1 y el anillo dentado gira con N2 en sentido opuesto. Hallar la velocidad de giro del eje de salida N3. Rpta. N3= (1/4) (3N2-N1).

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

5

,

[ A = 1,033 vueltas/seg

,

[ A = 0,207 vueltas/seg = 1,3 rad/seg

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos

Fig.P.12. El engrane Sol B de la figura gira a 100 rpm en sentido horario visto desde la derecha. Determinar la velocidad angular y la direccin de [ G vista desde abajo.

Fig.P.23. En este mecanismo de elevacin, 2 es un engrane anular fijo, que tiene 100 dientes. Lo dos piones s intermedios 3 son portados por el brazo del tren epicclico, el cual porta tambin al tambor, como se muestra. El engrane 4, que esta fijo a la manivela tiene 70 dientes. El dimetro del tambor es 127 mm. La longitud de la manivela es 533 mm. Y la fuerza aplicada a la manivela es 34 kg. Hallar los dientes de los piones 3 y el peso levantado, despreciando la friccin. R ta. N3= 15 dtes. W= 692,7 kg.

Fig.P.34. En el tren de engranes planetarios mostrado, el radio de los engranes A, B, C y D es de 75 mm y el radio de la corona E es 225 mm. SabiendoIng. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos que esta tiene una velocidad angular horaria de 120 rpm y que el engranaje central tiene una velocidad angular horaria de 150 rpm, hallar: a) La velocidad angular de cada satlite b) La velocidad de la araa que enlaza a los satlites. R ta. [B= --105 rpm , [A= -127,5 rpm.

Fig.P.4

. a) Determine el nmero de dientes del engrane E en el malacate del tren de engranes de la Fig.P.5, que produce una reduccin de velocidad entre B y A de B/ A=25, dados NB=20, NC=80 y ND=30. b) Determine el valor numrico de la ventaja mecnica de ste mecanismo W/Fent , suponiendo que no hay perdidas.

6. Un sistema de engranes planetarios se utiliza para transferir sobres de la tolva vertical a la faja transportadora horizontal. El engrane anular exterior esta fijo, y la montura de los engranes planetarios (brazo cruzado) es impulsado por un motor y gira en sentido horario. Cada uno de los cuatro engranes planetarios tiene 48 dientes y su paso diametral es de 18. Un brazo con ventosa esta sujeto rgidamente a cada engrane planetario, de modo que gira con el engrane planetario en sentido antihorario. a) Si queremos garantizar que los sobres se colocarn en posicin horizontal cuando la montura de engranes gire un cuarto de crculo, Cuntos dientes debe tener en engrane anular exterior? Calcule el dimetro de paso. b) Suponiendo que la banda transportadora tiene una velocidad lineal de 120 pies/min y que la distancia entre los centros de dos sobres adyacentes es de 12 pulg, calcule la velocidad angular del motor impulsor. Calcule la velocidad angular del engrane planetario. c) Compare la eficiencia de este sistema con el eslabonamiento tpico de 4 barras de recoger y colocar con la misma velocidad de entrada del motor.

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

d

Fig.P.

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Anlisis de Elementos de Mquinas y Mecanismos

Fig.P.6

Ing. LEN LESCANO Ing. PALACIOS GUARNIZ

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