51165207 Ejercicios Mas

Una rueda de 30 cm de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0.5 rev. s-1 con su eje en posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan verticalmente sobre la tierra, la sombra de la manigueta está animada de movimiento armónico simple. Encontrar:

a. El período de oscilación de la sombra.b. Su frecuencia.c. Su amplitud.d. Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en función del tiempo.

Suponer la fase inicial cero.

MARCO CONCEPTUALLa rueda se encuentra realizando un Movimiento oscilatorio periódico, porque la oscilación completa resulta de dar una vuelta completa y se repite en intervalos iguales de tiempo. La amplitud es el mismo radio, se decir, 30 cm. DESARROLLO MATEMATICO

R = 30 cm ► A= 30 cm

F = 0.5 HZ

T= 1/F ► T = 1/0.5 HZ ► T= 2 sg

πsentx 30)( =∴

R=30 cm

sombra

Una partícula se mueve con Movimiento Armónico Simple de amplitud 0.10 m; y periodo 2 sg. Hacer una tabla indicando los valores de la elongación, la velocidad y la aceleración para los tiempos siguientes: t=0, P/8, 3P/8, P/2, 5P/8, 3P/4, 7P/8, y P. Representar las curvas de elongación, velocidad y aceleración, en función del tiempo.

MARCO CONCEPTUALComo lo dice el ejercicio el movimiento es Armónico simple el cual se esta proyectando sobre el diámetro de la partícula, Cada uno de los t, representa una posición distinta de la partícula del movimiento circular, en donde encontramos también un ángulo de fase representado por (wt + )

α

DESARROLLO MATEMATICO

A= 0.10 m

T= 2 sg

Donde P = T Donde

Para P/8

Velocidad

Elongación

Aceleración

tT

wtπ2=

48

2

8

2 πππ ==⋅= T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

( ) sgmWAmsgradWAwtWACosx /3.0)10.0(/)(0 =→=→+= πα

( ) 4//3.00 πsgCosmx =

)04/(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx

( ) )04/()10.0()/()0()( 220 +−=→+−= ππα SenmsgradxwtASenWx

A=0.10m

Para 3P/8

Elongación

Velocidad

Aceleración

Para P/2

Elongación

Velocidad

Aceleración

Para 5P/8

Elongación

Velocidad

Aceleración

4

3

8

32 ππ =⋅= T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

)04/3(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx


( ) )04/3(/3.00 += πsgCosmx

( ) )04/3()10.0()/()0()( 220 +−=→+−= ππα SenmsgradxwtASenWx

ππ =⋅=2

2 T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

)0(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx


( ) )0(/3.00 += πsgCosmx

( ) )0()10.0()/()0()( 220 +−=→+−= ππα SenmsgradxwtASenWx

4

5

8

52 ππ =⋅= T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

)04/5(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx


( ) )04/5(/3.00 += πsgCosmx


Para 3P/4

Elongación

Velocidad

Aceleración

Para 7P/8

Elongación

Velocidad

Aceleración

Para P

Elongación

Velocidad

Aceleración

2

3

4

32 ππ =⋅= T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

)02/3(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx


( ) )02/3(/3.00 += πsgCosmx


4

7

8

72 ππ =⋅= T

Twt sgradwsgw

Tw /2/2

2 πππ =→=→=

)04/7(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx

( ) )04/7(/3.00 += πsgCosmx


ππ2

2 =⋅= TT

wt sgradwsgwT

w /2/22 πππ =→=→=

)02(10.0)0()()0( +=→+= πα mSenxwtASenx

( ) )02(/3.00 += πsgCosmx

( ) )02()10.0()/()0()( 220 +−=→+−= ππα SenmsgradxwtASenWx

0 T/8 T/4 3T/8 T/2 5T/8 3T/4 7T/8 T

TABLA CON VALORES

Un oscilador armónico simple es descrito por la ecuación:X = 4 Sen (0.1 t + 0.5)Donde todas las unidades se expresan en unidades MKS. Encontrar:

a. La amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial del movimientob. La velocidad y la aceleraciónc. Las condiciones inicialesd. La posición, velocidad y aceleración para t= 5 sg,

Hacer un grafico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

MARCO CONCEPTUALSe trata de un movimiento definido por la función Seno, en donde el valor 4, representa la amplitud, se tiene definido la posición del movimiento circular, es decir se tiene la fase inicial

α


A= 4 m

W= 0.1 rad/sg

a. Amplitud= 4 mt

Periodo:

Frecuencia :

Fase Inicial del movimiento:

segT

segRadRad

Tw

TT

wseg

Radw ππππ

201,0

222,1,0 =→=→=→=→=

A=4m

b. Velocidad:

Aceleración:

c. Condiciones Iníciales:

para t=0

Elongación

Velocidad

Aceleración

d. Para t=5

Elongación

Velocidad

Aceleración

( )5,01,0cos4,0 += tx

( ) ( ) ( ) mxxradsenx 91,1)479,0(4)5.0(4 000 =→=→=

( ) ( ) ( ) segmxxx 035,0)877,0(4,0)5,0cos(4 000 =→=→=

( ) ( ) 202

0 19.05.0)/1,0(4seg

mxSensgradmx −=→−=

( ) ( ) ( ) mxxsenx 36,3)84,0(4)5,0)5(1,0(4 555 =→=→+=

( ) ( ) ( ) segmxxx 16,2)54,0(4)1cos(4 555 =→=→=

( ) ( ) 255 )1(4seg

mxsenx =→−=

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrónSegundo nivel

● Tercer nivel● Cuarto nivel

● Quinto nivel

Una partícula está situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posición de equilibrio con una velocidad de 2 m s-1. La amplitud es de 10-3 m. ¿Cuál es la frecuencia y el período del vibrador? Escribir la ecuación que exprese su desplazamiento en función del tiempo.

MARCO CONCEPTUALAl encontrarse la partícula en los extremos, se dice que tiene su máxima aceleración, sin embargo, al pasar por la posición de equilibrio, la aceleración será cero. La partícula se encuentra realizando un movimiento circular uniforme, el cual se esta proyectando sobre su diámetro. La velocidad dada es la máxima ya que es la que tiene la partícula en el punto de equilibrio, es decir, 2m/sg=Vmax

mA 310−=DESARROLLO MATEMATICO

Si Entonces

Ó

Hzfrad

sgradf

wffw 3,318

)1416.3(2

/2000

22 =→=→=→=

ππ

segTHz

Tf

T 31014,33.318

11 −×=→=→= sgxTsgrad

radT

wT

Tw 1014.3

/2000

)1416.3(222 =→=→=→= ππ

)( α+= wtAsenx )2000(10 3 α+= − tsenx

Posición de equilibrioV=2m/sg (máxima)

Punto de vibración

A= 10-3 m

Una partícula cuya masa es de 1 g vibra con movimiento armónico simple de 2 mm de amplitud. Su aceleración en el extremo de su recorrido es de 8,0 x 103 m s-2. Calcular la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de 1,2 mm. Escribir la ecuación que expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función de la posición y del tiempo.

MARCO CONCEPTUALLa aceleración en el extremo es la máxima que alcanza la partícula, pero en el punto de equilibrio será igual a cero

A=0.002 m

23 /100.8 smxa −=


Masa= 1 g

A= 2mm entonces A=0.002 m

Velocidad en punto de equilibrio ►

Frecuencia en punto de equilibrio ►

23max /100.8 smxa −=

Awa 2max =

m

smw

002.0

/8000 2

=

segRadw 2000=

ππππ

2

1000

2

2000

22

segRad

fseg

Radf

wffw =→=→=→=

Hzf 15.159=

wAVt =

22max xAwV −=

( )msegRadV 3

max 1022000 −×

=seg

mV 4max =→

Velocidad cuando A=0.002 m

Velocidad para elongación de 1.2 x 10-3 m

( ) ( ) →×−×

=→ −− 2323 102,11022000 mmsegRadV

( ) ( )

( ) NwxF

xsRKgFAxmwFwtAsenmwFxmF

x

xx

x

:4000

)2000)(10()( 2322

−=

→−=→−=→+−=→= −

=

α

( ) )2000(8)(2 αα +−=→+−= tsenFwtAsenmwF t

Una partícula oscila con una frecuencia de 100 HZ y una amplitud de 3 mm. Calcular su velocidad y aceleración en el centro y los extremos de su recorrido. Escribir la ecuación que expresa la elongación como una función del tiempo. Suponer que la fase inicial es cero

MARCO CONCEPTUALAl oscilar, la partícula se encuentra realizando un Movimiento Armónico Simple, el desplazamiento de la partícula, se proyecta en el eje x, por tanto se toma como marco de referencia el eje y negativo, haciendo uso de la ecuación x = A sen(ωt + φ), donde A es igual a 3mm


mmmA

segRadwHzwfw

Hzf

31033

200)100(22

100

−×==

=→=→=

=

πππ

Velocidad y aceleración en el centro

→×=→=→= − )103)(100(2)2( 3max mHzVAfVwAV ππ

002 =→−= centroxxwx La aceleración en el punto de equilibrio es igual a cero

Velocidad y aceleración en los extremos

00022 =→==→=∴−= VwVAxxAwV Velocidad en extremos del eje x es igual a cero

Aceleración en eje x positivo

Aceleración en eje x negativo

Aceleración en el punto de equilibrio

es igual a cero.Velocidad es

máxima

Aceleración en el extremo es

máxima. En eje positivo la

aceleración es positiva, porque va

en la misma dirección de la

velocidad

Aceleración en el extremo es

máxima. En eje negativo la aceleración

disminuye ya que va en contra de la

velocidad

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple con amplitud de 1.5 m y frecuencia de 100 ciclos por segundo. ¿Cuál es su frecuencia angular?Calcular

a. Su velocidadb. Su aceleraciónc. Su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 mt

MARCO CONCEPTUALSe trata de un movimiento periódico, porque se repite en intervalos iguales de tiempo, y la partícula para alcanzar un periodo debe realizar una oscilación completa.


?

5.1

100

===

w

mA

Hzf

→=→= )100(22 Hzwfw ππ

Velocidad para A=0.75 m

Aceleración

Fase

°=+→=+ 305,0)( αα wtwtsen

A=1.5 m

El movimiento de una aguja de una máquina de coser es prácticamente armónico. Si su amplitud es de 0,3 cm. y su frecuencia es de 600 vib. min.-1, ¿cuál será la elongación, la velocidad y la aceleración un treintavo de segundo después que pase por el centro de la trayectoria:

a. En un sentido positivo o hacia arriba.b. En un sentido negativo o hacia abajo.

MARCO CONCEPTUALEl movimiento de la aguja es un Movimiento armónico simple, descrito por la ecuación x=sen(ωt + φ), ó x = A cos(ωt + φ1) de acuerdo al marco de referencia


segRadwfw

wtAsenx

Hzseg

vibf

mcmA

ππ

α

202

)(

1060

min1

min600

1033,0 3

=→=

+=

=×=

×== −

segt30

1=

4

Tt =

En sentido positivo

Elongación

Vemos que

El tiempo que emplea la aguja desde x=0 hasta x=A

Como

La aguja llega hasta x=A y luego se devuelve:

Desplazamiento hacia la izquierda

En sentido negativo

0

0

=

=

x

t

Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 8 cm. y un período de 4 s. Calcular la velocidad y la aceleración 0,5 s después de que la partícula pase por el extremo de su trayectoria.

MARCO CONCEPTUAL El desplazamiento de l a partícula desde la posición de equilibrio en función del tiempo esta dada por una ecuación x = A sen(ωt + φ), ó x = A cos(ωt + φ1). Esto dependiendo si se toma el eje de referencia Y negativo o X positivo.


Velocidad después de que la partícula pasa por el extremo

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

707,0

22

2

25,05,01085,02=

− +×

−=→+−= ππππ senmsegadxwtAsenwx

ax =Teniendo que en t= 0, x= A

Aceleración

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