TUTORIAL DE CÁLCULO PARA DETERMINAR LA CURVA DEL SISTEMA

VELOCIDAD DE SALIDA DEL AGUA EN LA TUBERÍA

Para determinar la velocidad de salida del agua en la tubería se debe tener claro el

concepto de caudal:

Q=v × A

Donde:

Q: Caudal (m3/ s).

v: Velocidad de salida del agua en la tubería (m /s ).

A: Área de la tubería (m2 )

Para determinar la velocidad, debemos despejar la velocidad en la ecuación anterior,

quedando de la siguiente manera:

v=QA

Para calcular la velocidad necesitamos el caudal (Qenm3/h ) que pasa por la tubería y el

diámetro de ésta. Con el diámetro de la tubería podemos calcular el área de la tubería. El

diámetro puede estar expresado en otras unidades (cm ,mm,etc . ) por lo que se debe

pasar a metros (m ). Una vez realizados estos cambios podemos calcular el área.

El área de una tubería es:

A=π ∙D 2

4

Donde:

D: Diámetro interno de la tubería (m )

Ahora sólo debemos reemplazar los datos de Caudal y Área en la ecuación de velocidad.

DETERMINAR LAS PERDIDAS DINÁMICAS EN LA TUBERÍA

Para determinar las pérdidas dinámicas en una tubería debemos considerar las pérdidas

por accesorios y las pérdidas por fricción en tuberías.

Pérdidas por accesorios: son las pérdidas que se dan por cambios de dirección y velocidad

del fluido en los codos, válvulas, y en toda clase de accesorios en las tuberías.

Pérdidas por fricción en tuberías: son las pérdidas de superficie en el contacto del fluido

con la tubería, estas pérdidas corresponden al roce.

Las pérdidas totales obedecen a la relación entre la suma de las pérdidas por accesorios y

fricción en tuberías. La siguiente fórmula será la utilizada para calcular dichas pérdidas.

H L=( fD ) ∙( v2

2 g ) ∙ (L+∑ Le )

Donde:

f : Coeficiente de fricción de una tubería, se obtiene del diagrama de MOODY;

adimensional (es decir, no posee unidades).

D: Diámetro interno de la tubería (m ).

v: Velocidad de salida del agua de la tubería (m /s ).

g: Aceleración de gravedad (9,81m /s2 ).

L: Longitud total de la tubería (m ) .

∑ Le: Sumatoria de largos equivalentes de los accesorios a lo largo de la tubería (m ).

El coeficiente de fricción ( f ) se obtiene a partir del Diagrama de Moody, el cual está en

función del Número de Reynolds (ℜ )y la Rugosidad Relativa ( εr ). Al lado derecho del

diagrama de Moody se visualiza el valor de la rugosidad relativa y en la parte inferior del

diagrama se visualiza el número de Reynolds.

GRÁFICO DE MOODY

Cálculo de Rugosidad Relativa:

ε r=εD

Donde:

ε r: Rugosidad Relativa

ε : Rugosidad absoluta, depende del material de la tubería (m ) .

D: Diámetro de la tubería (m ).

En la siguiente tabla se muestran algunos valores de rugosidad absoluta (ε ) para distintos

materiales:

Material ε (mm ) Material ε (mm )

Plástico (PE, PVC) 0,0015 Fundición asfaltada 0,06 - 0,18

Poliéster reforzado con fibra de vidrio O,01 Fundición 0,12 – 0,60

Tubos estirados de acero 0,0024 Acero comercial y soldado 0,03 – 0,09

Tubos de latón o cobre 0,0015 Hierro forzado 0,03 – 0,09

Fundición revestida de cemento 0,0024 Hierro galvanizado 0,06 – 0,24

Fundición con revestimiento bituminoso 0,0024 Madera 0,18 – 0,90

Fundición centrifugada 0,003 Hormigón 0,3 – 3,0

Otra forma de calcular la rugosidad relativa puede ser a través del Diagrama de Rugosidad

en Tuberías, donde en la parte inferior se visualiza el diámetro de la tubería en pulgadas,

al lado izquierdo se visualiza la rugosidad relativa y al medio se visualizan rectas paralelas

representando el tipo de material de la tubería. Para obtener la rugosidad relativa se debe

intersectar el diámetro de la tubería con el tipo de material de éste, para luego en el

punto de intersección proyectar una línea que se intersecte con el eje de rugosidad

relativa.

DIAGRAMA DE RUGOSIDAD EN TUBERÍAS

Al calcular la rugosidad relativa se debe ser cuidadoso con las unidades y preocuparse que

la rugosidad absoluta y el diámetro posean las mismas unidades.

Cálculo del Número de Reynolds:

ℜ=D ∙v ∙ ρμ

=D ∙vγ

Donde:

D: Diámetro interior de la tubería (m ).

v: Velocidad de salida del agua de la tubería (m /s ).

ρ: Densidad del líquido (kg /m3 ).

μ: Viscosidad dinámica del líquido (N ∙s /m2).

γ : Viscosidad cinemática del líquido (m2/s ), el cual equivale a γ=μ / ρ.

Si el líquido se trata de agua, se pueden utilizar las siguientes tablas para determinar la

densidad ( ρ ) y la viscosidad (μ ) del agua según su temperatura.

PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUA

Temperatura (ºC)Peso específico

Cp(kN/m3)

Densidad

ρ(kg/m3)

Viscosidad dinámica μ

(N·s/m2)

Viscosidad cinemática γ

(m2/s)0 9,805 999,8 1,781 · 10-3 1,785 · 10-6

5 9,807 1000 1,518 · 10-3 1,519 · 10-6

10 9,804 999,7 1,307 · 10-3 1,306 · 10-6

15 9,798 999,1 1,139 · 10-3 1,139 · 10-6

20 9,789 998,2 1,102 · 10-3 1,003 · 10-6

25 9,777 997 0,890 · 10-3 0,893 · 10-6

30 9,764 995,7 0,708 · 10-3 0,800 · 10-6

40 9,73 992,2 0,653 · 10-3 0,658 · 10-6

50 9,689 988 0,547 · 10-3 0,553 · 10-6

60 9,642 983,2 0,466 · 10-3 0,474 · 10-6

70 9,589 977,8 0,404 · 10-3 0,413 · 10-6

80 9,53 971,8 0,354 · 10-3 0,364 · 10-6

90 9,466 965,3 0,315 · 10-3 0,326 · 10-6

100 9,399 958,4 0,282 · 10-3 0,294 · 10-6

Por último, para determinar la sumatoria del largo equivalente (∑ Le) de las pérdidas de

carga producida por los accesorios podemos recurrir al Monograma de Pérdida de Carga

por Accesorios, donde al lado izquierdo se visualizan los accesorios, al medio el largo

equivalente (m ) y al lado derecho se visualizan el diámetro interno (mm ). Para calcular el

largo equivalente se debe trazar una recta entre el accesorio a estudiar y el diámetro

interno de éste, para luego estimar el valor del largo equivalente donde la recta tachada

intersecta con los valores del largo equivalente.

MONOGRAMA DE PÉRDIDA DE CARGA POR ACCESORIOS

SELCCIÓN DE LA BOMBA Y PUNTO ÓPTIMO DE OPERACIÓN

Con los cálculos anteriores estamos en condiciones de seleccionar la bomba adecuada y el punto

de operación óptimo.

Se debe considerar que para analizar dos puntos de estudios aplicaremos la Ecuación de Bernoulli

Modificada:

h1+12∙ g

v21+P1ρ ∙g

+H B−H L=h2+12 ∙ g

v22+P2ρ∙ g

Generalmente se estudia la siguiente situación:

Donde:

P1=P2, las presiones son iguales, por lo que se anulan en la ecuación.

v1=v2, la velocidad es la misma para los dos puntos de evaluación, por lo que se

anulan estos términos en la ecuación.

h1=0, la altura inicial.

La ecuación anterior queda de la siguiente forma:

HB−H L=h2

Despejando el HB tenemos:

HB=h2+H L

Con la altura de la bomba y el caudal requerido, busco en las curvas entregadas por el proveedor

(curvas características de bombas) la más cercana que se ajuste al requerimiento de caudal.

Las curvas entregadas por el proveedor de bombas tienen la siguiente forma:

Luego, nos damos valores de velocidad para formar la Curva del Sistema, mantenido todo lo

anterior constante:

HB=h2+[ fD ∙(L+∑ Le)2g

∙ v2]

Con la Curva del Sistema podemos estimar el punto de operación óptimo, al intersectarla con la

Curva de la Bomba:

EJERCICIO PRÁCTICO

Datos del Diagrama a Estudiar:

- T=35°C equivalente a 0,056 bar de pérdidas.

- Viscosidad cinemática, γ=0,0110×10−4 [m2/s ].- Se necesitan elevar agua a 14 metros de altura.

- Tubería de acero laminado, con una rugosidad absoluta de ε=0,05 [mm ].

- Uso de 6 codos redondeados (90°).

- Longitud total de cañería de 30 metros.

- Diámetro interno de cañería 0,035 metros (= 3,5 cm)

- Caudal Q=10 [m3/h ].

¿Cómo escoger una bomba según la situación planteada?

I. PASO

Determinar la velocidad de salida del agua en la tubería, realice las transformaciones de

unidades necesarias para dejarlo en m /s.

Q=v × A

Para ello debemos despejar la velocidad:

v=QA

Para calcular la velocidad de salida del agua en la tubería necesitamos el caudal (

Q=10m3/h), y el área de la tubería que la debemos calcular como:

A=π ∙D 2

4

A=π ∙0,0352

4=0,0010m2

Además debemos transformar las unidades de caudal que se encuentran en m3/h a m3/s:

1h=3.600 s

Q=10 (m3h )×( h3.600 s )=0,0028 m

3

s

Ahora que poseemos el caudal en las unidades correspondientes y el área, procedemos a

calcular la velocidad de salida del agua en la tubería:

v=QA

=0,00280,0010

∙m3

s ∙m2=2,8 m

s≈3

ms

II. PASO

Debemos calcular las pérdidas en la tubería debidas al roce en la tubería y al uso de

accesorios como válvulas y codos en el trayecto, para ello debemos aplicar la siguiente

fórmula.

H L=( fD ) ∙( v2

2 g ) ∙ (L+∑ Le )

Datos que poseemos:

D: Diámetro interno de la tubería ¿0,035m.

v: Velocidad de salida del agua de la tubería ¿3m /s.

g: Aceleración de gravedad ¿9,81m /s2.

L: Longitud total de la tubería ¿30m.

Datos que falta por determinar para poder calcular las pérdidas de carga:

f : Coeficiente de fricción de una tubería, se obtiene del diagrama de MOODY;

adimensional (es decir, no posee unidades).

∑ Le: Sumatoria de largos equivalentes de los accesorios a lo largo de la tubería (m ).

Para calcular el coeficiente de fricción (f ), debemos utilizar el diagrama de Moody y para poder utilizar este diagrama necesitamos calcular el Número Reynolds (ℜ) y la Rugosidad Relativa (ε r).

ℜ=D ∙vγ

= 0,035 ∙3

0,0110×10−4∙m∙m∙ s

s ∙m2=95.455=9,5×104

ε r=εD

=0,05mm0,035m

∙m

1.000mm=0,0014

Ahora podemos estimar el coeficiente de fricción por el diagrama de Moody de la

siguiente manera:

Por lo tanto, el coeficiente de fricción es aproximadamente f=0,024.

Nos falta por calcular las pérdidas generada por los accesorios, para ello debemos utilizar

el diagrama de pérdida de carga por accesorios, para lo cual necesitamos el diámetro en

milímetros:

D=0,035m∙ 1.000mm1m

=35mm

Ahora podemos utilizar el diagrama considerando codos redondeados:

El largo equivalente de un codo es aproximadamente ¿=1,3m, pero en el caso de estudio

podemos observar que poseemos 6 codos redondeados por lo que la suma de todos los

largos equivalentes es igual a ∑ ¿=6 ∙1,3m=7,8m.

Ahora podemos reemplazar los valores en la ecuación de pérdidas de carga:

H L=( fD ) ∙( v2

2 g ) ∙ (L+∑ Le )

H L=( 0,0240,035m )∙( (3 ms )2

2 ∙9,81ms2

)∙ (30m+7,8m )=12,24m

III. PASO

Con toda la información anterior estamos en condiciones de seleccionar la bomba

adecuada.

Ahora debemos aplicar la Ecuación de Bernoulli modificada:

h1+12∙ g

v21+P1ρ ∙g

+H B−H L=h2+12 ∙ g

v22+P2ρ∙ g

P1=P2, las presiones son iguales por lo que se anulan en la ecuación.

v1=v2, la velocidad es la misma para los dos puntos de evaluación.

h1=0, la altura inicial.

h2=14m, altura en el punto C.

Por lo tanto, la ecuación anterior queda:

HB=h2+H L

HB=14m+12m

HB=26m

El valor calculado indica hasta que altura puedo elevar el líquido con la bomba, ahora

se calcula la curva del sistema de manera de intersectar gráficamente con la curva de

la bomba (que nos entrega el proveedor). Para poder realizar el gráfico se debe aplicar

la siguiente fórmula en función de la velocidad.

HB=h2+[ fD ∙(L+∑ Le)2g

∙ v2]

Para determinar la curva del sistema nos damos valores de velocidad aleatorios

mantenidos todo lo demás constante y reemplazamos en la fórmula anterior, para

determinar el HB, y con ello también podemos determinar el Q en L/min.

Velocidad (m/s)

HB (m) Q (L/min) Q (m3/h)

0 14,00 0,00 01 15,32 60,00 3,6

1,5 16,98 90,00 5,42 19,29 120,00 7,2

2,5 22,27 150,00 93 25,90 180,00 10,8

3,5 30,20 210,00 12,64 35,16 240,00 14,4

Recuerde que:

Q=v × A

Luego dibujamos la curva del sistema en el gráfico entregado por el proveedor de la

bomba y así poder seleccionar la bomba y el punto de operación óptimo de ésta.

La bomba seleccionada será la curva que intersecte con la curva del sistema, luego de

cumplir con el requerimiento de caudal máximo de 10 (m3/h).

En el gráfico podemos obtener la potencia de la bomba y la eficiencia de esta.

P=1,5 kW

ɳ=60%