Sistema de partculas (S de P): Primera Ecuacin Cardinal

Fuerzas internas y externas

Fuerzas externas (Fe): Las que actan sobre las partculas del sistema y son debidas a otras partculas o cuerpos no pertenecientes al sistema

Fuerzas internas (f): Las que actan sobre las partculas del sistema y son debidas a otras partculas o cuerpos pertenecientes al sistema

S

MA Iext

m1 m2

m3

Iint

Iint Iint

mi

fji

x

y

z

mj

Fie

ri

fij

rj

Fje

S = m1, m2 y resorte (mR=0)

FR1

FR2

m1

m2

P1

P2

m1

m1

k

Ejemplo: lanzo dos pelotas unidas por un resorte, el DCL en un instante cualquiera en el aire:

S= compuesto por n partculas

mi

S= compuesto por n partculas

fji

x

y

z

mj

Fie

ri

fij

rj

Fje

Aplicando la 2 Ley de Newton a cada una de las partculas:

F1 = F1e + f21 + f31 + .. + fn1 = m1 a1

F2 = F2e + f12 + f32 + .. + fn2 = m2 a2

F3 = F3e + f13 + f23 + .. + fn3 = m3 a3

Fn = Fne + f1n + f2n + .. + f(n-1)n = mn an

Fie : resultante de las fuerzas exteriores que actan sobre la partcula i

fij : fuerza que la partcula i ejerce sobre la partcula j

F1e + f21 + f31 + .. + fn1 = m1 a1

F2e + f12 + f32 + .. + fn2 = m2 a2

F3e + f13 + f23 + .. + fn3 = m3 a3

Fne + f1n + f2n + .. + f(n-1)n = mn an

Sumando miembro a miembro:

= m1 dv1/dt =m1 d2r1/dt

2 = m2 dv2/dt =m2 d2r2/dt2 = m3 dv3/dt =m3 d

2r3/dt2

= mn dvn/dt =m1 d2rn/dt

2

+

Fe + 0 = mi ai

Fe = M/M d2 ( miri)/dt2 = M d2 ( miri/ mi)/dt

2

En el primer miembro se verifica que: fij + fji = 0 ya que son pares de accin y reaccin

Multiplicando y dividiendo por la masa total del sistema: M= mi

mi ai = mi d2ri/dt

2= d2(miri)/dt2= d2 ( miri)/dt

2

Operando en el segundo miembro:

Fe = M d2 rCM/ dt2

rCM= ( miri/ mi)

d2 rCM/ dt2 = aCM F

e = M aCM PRIMERA ECUACION CARDINAL

=rCM Vector posicin del CM

Fe = M aCM Fx

e = M aCMx Fy

e = M aCMy Fz

e = M aCMz

La Primera Ecuacin Cardinal permite describir el movimiento del centro de masa de cualquier sistema de partculas, sin importar lo amplio que el sistema pueda ser y lo complicado de su movimiento conjunto

CM

F aCM= F/M

CM

F

aCM= F/M

CM F aCM= F/M

Cuando la fuerza resultante pasa por el CM, el cuerpo adquiere un movimiento de traslacin pura con aceleracin = F/M

Cuando la fuerza resultante no pasa por el CM, el cuerpo adquiere un movimiento de

traslacin con aceleracin = F/M junto a una rotacin alrededor del CM.

FR1

FR2

m1

m2

P1

P2

m1

m2 k

P1 + FR1 = m1 a1

P2 + FR2 = m2 a2 + P1 + P2 + FR1+ FR2 = (m1 + m2 ) aCM

F R2

F R1

FR1 = FR1 Por A y R

FR1 = FR2 Por mresorte=0

FR2 = FR2 Por A y R

FR1 = FR2

Igualdad de mdulos sentidos opuestos

x

aCM = (m1 g+ m2 g) (-k) / (m1 + m2) aCM = (m1 + m2 )g (-k) / (m1 + m2)

aCM = g (-k)

La aceleracin del centro de masa es igual a la aceleracin de la gravedad si se lanza con una velocidad v0 que forma un ngulo con la horizontal, la trayectoria del CM ser parablica

y

z

Cantidad de movimiento o momento lineal

Fe = mi ai

Operando en el segundo miembro:

Fe = mi ai = mi dvi/dt= d(mi vi)/dt

Donde (mi vi) = pi

Vector cantidad de movimiento de la partcula i

reemplazando en el segundo miembro:

Fe = d P/dt

Donde pi = P

Vector cantidad de movimiento total del S de P

Fe = M aCM PRIMERA ECUACION CARDINAL

Fe = dpi/dt= d (pi) /dt= d P/dt

Solo las fuerzas externas que actan sobre el S de P pueden hacer variar la cantidad de movimiento total P de un sistema de partculas

Fe = d P/dt Fex= d Px/dt

Fey= d Py/dt

Fez= d Pz/dt

P = pi

rCM= ( miri/ mi) Segn hemos definido:

vCM = drCM/dt= d( miri/ mi)/dt = (mi dri/dt ) / mi = ( mi vi) /M = P/M

P = M vCM

La cantidad de movimiento total de un sistema de partculas puede expresarse como: la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partculas

del sistema de partculas el producto de la masa total del sistema por la velocidad del CM del

sistema

=vi

Fe = d P/dt = d(M vCM) /dt = M d( vCM) /dt = M aCM

Fe = d P/dt

Fe = M aCM

Conservacin de la cantidad de movimiento total

Si Fe = 0 d P/dt = 0 P= cte.

Cuando la resultante de las fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento total se mantiene constante.

Las nicas fuerzas que pueden hacer variar la cantidad de movimiento total de un sistema de partculas son las fuerzas externas

Localizacin del centro de masa (CM)

m1

x

y

z

mi rCM ri

m2 m3

m4

mn

CM

zCM xCM

yCM

xCM = ( mixi/ mi)

rCM= ( miri/ mi)

yCM = ( miyi/ mi)

zCM = ( mizi/ mi)

Supongamos el sistema de N partculas y masa total M subdividido en dos subsistemas, tal como indica la figura:

(N)

x

y

z

CM rCM rCM

mn

CM

M

CM

rCM

(N)

M

N = N + N

M = M + M

rCM= ( miri)/M

rCM= ( miri)/M

rCM= ( miri)/M = ( miri + miri)/M = (M ri + M ri)/M

generalizando:

rCM= ( miri)/M = ( Mi rCMi)/M

vh

Un hombre esta en reposo sobre un tabln que flota sobre un lago y comienza a caminar con velocidad vh respecto a Tierra

qu pasa con el tabln ? con qu velocidad se mover el tabln ?

S= {hombre + tabln}

P

N

fr

fr

N

fr es una fuerza interna no cambia el Pxtotal = pxh + pxT

Pxantes = Pxdespues

Pxantes = Pxdespues

phxantes + pTxantes = Pxdespues

mh vxhantes + MT vxTantes= mh vxhdespues + MT vxTdespues

= 0 = 0

0 = mh vxhdespues + MT vxTdespues MT vxTdespues = - mh vxhdespues

vxTdespues = - (mh /MT) vxhdespues

CMh

x x

CMT

x

CM

pxhantes + pxTantes = Pxdespues

0= (mh + MT ) vxCM vxCM = 0 xCM = cte.

CM

x

CMh

CMT

CMh

CM

x

CMh

CMT

x

xCM

xCM

xCM

Cuando el hombre llega al otro extremo del tabln, Cunto se movi el tabln ?

x

xCMdespues

= (mh xCMh + MT xCMT) / (mh + MT)

xCMdespues

=[mh d+ MT (L/2 + d)] / (mh + MT)

x x

xCM

xCMantes = [mh L+ MT (L/2) ]/ (mh + MT)

x x

CMh

x

xCM

xCMantes

= xCMdespues

mh L+ MT (L/2) ]/ (mh + MT) =[mh d+ MT (L/2 + d)] / (mh + MT) mh L+ MT (L/2) =mh d+ MT (L/2 + d)

mh L=mh d+ MT d

mh L =d (mh + MT )

d = mh L /(mh + MT )

d

CMT

CM

CM

CMh

CMT