5. Integración de potencias trigonométricas
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Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas. Algunas identidades trigonométricas que se necesitan en esta sección son las siguientes Identidades pitagóricas
1cos22 =+ xxsen Despejando cada función xxsen 22 cos1−= xsenx 22 1cos −=
xx 22 sectan1 =+ Despejando cada función xx 22 tansec1 −= 1sectan 22 −= xx
xx 22 csccot1 =+ Despejando cada función xx 22 cotcsc1 −= 1csccot 22 −= xx Identidades del ángulo medio
2
2cos12 xxsen
−= 2
2cos1cos2 x
x+=
Paso de producto a suma
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ]( )xnmxnmnxmx
xnmsenxnmsennxsenmx
xnmxnmsennxsenmx
++−=
++−=
+−−=
coscos21
cos.cos
2
1cos.
coscos2
1.
Para ángulos opuestos
)()( xsenxsen −=− )cos()cos( xx =− )tan()tan( xx −=−
)(csc)csc( xtx −=− )sec()sec( xx =− )cot()cot( xx −=− Suma y diferencia de ángulos
)tan()tan(1
)tan()tan()tan(
)()()cos()cos()cos(
)()cos()cos()()(
yx
yxyx
ysenxsenyxyx
ysenxyxsenyxsen
m
m
±=±
=±±=±
Una vez realizadas las transformaciones trigonométricas, el integrando queda listo para aplicar integración por sustitución. En algunos casos se debe recurrir a la integración por partes.
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 2
Resolver los siguientes ejercicios
Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta
1. ∫ xdx3cos c
xsensenx +−
3
3
2. ∫ xdxsen5
cxx
x +−+−5
cos
3
cos2cos
53
3. ∫ xdxsen2 cxsenx +−
4
2
2 4. ∫ xdx2cos c
xsenx ++4
2
2
5. ∫ xdx4cos cxsenxsenx +++
32
4
4
2
8
3 6. ∫ θθdsen4 c
sensen ++−32
4
4
2
8
3 θθθ
7. ∫ xdxsen 22 cxsenx +−
8
4
2 8. ∫ θθdsen 24 c
sensen ++−64
8
8
4
8
3 θθθ
9. ∫ dxx
2cos2 c
senxx ++22
10. ∫ xdxxsen 43 cos c
xx ++−7
cos
5
cos 75
11. ∫ xdxxsen cos4 c
xsen +5
5
12. ∫ xdxxsen 32 cos
cxsenxsen +−
53
53
13. ∫ xdxxsen 25 cos c
xxx ++−7
cos
5
cos2
3
cos 753
14.∫ xdxxsen44cos3
cx +−
16
4cos4
15. ∫ xdxxsen 5cos54 c
xsen +25
55
16. ∫ xdxxsen 22 cos c
xsenx +−32
48
17. ∫ xdxxsen 3cos3 22
c
xsenx +−9612
8 18. ∫ dxxxsen cos3
c
xx ++−7
cos2
3
cos2 73
19. ∫ dxxsen
x3
3
3
3cos c
xsenxsen +−82
3 3 83 2
20∫ dtttsen 2cos23
ctt ++−
7
2cos
3
2cos 73
21∫ ααα dsen 2cos2 321
c
sensen +−7
2
3
2 73 αα
22. ∫− xdxxsen 43 cos
cxx +− sec
3
sec3
23. ∫− θθθ dsen 33cos 23 c
sen +−−33
33csc θθ
24. ∫ xdxxsen 4cos5 cxx +−−
189cos
2cos
25. ∫ ydyysen 5cos4 cyy +−
189cos
2cos
26. ∫ ydyy 4coscos cysenysen ++
105
63
27. ∫ tsentdtsen3 ctsentsen +−
84
42
28. ∫ ydyysen 5cos3 cyy +−
168cos
42cos
29. ∫ tdtt cos3cos ctsentsen ++
84
42
30. ∫ xdx2tan cxx +−tan
31. ∫ xdx2cot cxx +−− cot 32. ∫ xdx3tan cx
x ++ cosln2
tan2
33. ∫ xdx4cot cxx
x +++− cot3
cot3
34. ∫ xdx3cot4 cx
xx ++−−3
3cot
9
3cot3
35. ∫ xdx4tan cxx
x ++− tan3
tan3
36. ∫ tdt2cot3
ctsent +−−
4
2ln
42cot2
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 3
37. ∫ xdx3tan6 x
xxx −+−3
3tan
9
3tan
15
3tan 35
38. ∫ xdx2cot5
2
2ln
4
2cot
8
2cot 24 xsenxx ++−
39. ∫ xdx4sec cx
x ++ tan3
tan3
40. ∫ xdx6csc
cxxx ++−− cot
3
cot2
5
cot 35
41. ∫ xdx3sec 2
tansecln
2
tansec xxxx ++
42. ∫ xdx6sec cx
xx +++ tan3
tan2
5
tan 35
43. ∫ xdx3csc 2
cotcscln
2
cotcsc xxxx −+−
44. ∫ θθd3tan5
3
3cosln
6
3tan
12
3tan 24 θθθ −−
45. ∫ xdxx 46 sectan c
xx ++7
tan
9
tan 79
46. ∫ xdxx 75 sectan
cxxx ++−
7
sec
9
sec2
11
sec 7911
47. ∫ xdxx 45 sectan c
xx ++6
tan
8
tan 68
48∫ xdxx 55 sectan
cxxx ++−
5
sec
7
sec2
9
sec 579
49. ∫ xdxx 93 sectan c
xx +−9
sec11
sec 911
50∫ xdxx 2sec2tan 53
cxx +−
102sec
142sec 57
51. ∫ xdxx 3tan3sec 34 c
xx ++12
3tan
18
3tan 46
52. ∫
− xdxx 43 sectan c
xx +−
2
cottanln
2
53. ∫−
xdxx 21
sectan3 c
x
x ++sec
2
3
sec2 3
54. ∫ θθθ
d4
3
cos
tan c++
4
tan
6
tan 46 θθ
55. ∫ dxx
x2tan
sec
cx +− csc 56. ∫ xdxx 3csc3cot 42 c
xx +−−9
3cot
15
3cot 35
57. ∫ ααα d33 csccot c++−
3
csc
5
csc 35 αα
58. ∫ ααα d64 cotcsc c+−−
7
cot
9
cot 79 αα
59. ∫ xdxx 3cot3csc2 c
x +−9
3cot3 60. ∫ dx
x
x
csc
cot3
csenxx +−− csc
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4
Integrales de potencias de funciones trigonométricas
=∫ xdxsenn∫
−
− senxdxxn2
1
)cos1( 2
=∫ xdxncos ∫−
− xdxxsesn
cos)1( 21
2
n = impar
∫
−= dxx
n2
2
2cos1
∫
+= dxx
n2
2
2cos1
n = par
∫∫−
−= xsenxdxxxdxxsen mmnn
cos)cos1(cos 21
2
∫∫−
−= xdxxsenxsenxdxxsen nmnm
cos)1(cos 21
2
n = impar m = impar
dxxxxdx nn∫∫ −= − )1(sectantan 22
dxxxxdx nn∫∫ −= − )1(csccotcot 22
n = entero positivo n = entero positivo
dxxxxdxn
n∫∫
−
+= )(sec)1(tansec 22 22
dxxxxdxn
n∫∫
−
+= )(csc)1(cotcsc 22 22
n = entero positivo par
xdxdvxu n 22 secsec == −
xdxdvxu n 22 csccsc == −
n = entero positivo impar
∫ xdxx mn sectan ∫−
+= )(sec)1(tantan 22 22
xdxxxm
n
∫−−
−= )tan(secsec)1(sec 12 21
xdxxxx mn
∫ −= xdxx mn
sec)1(sec 22
m = par n = par o impar
imparnimparm ==
parnimparm ==
∫ xdxx mn csccot ∫−
+= )(csc)1(cotcot 22 22
xdxxxm
n
∫−−
−= )cot(csccsc)1(csc 12 21
xdxxxx mn
∫ −= xdxx mn
csc)1(csc 22
m = par n = par o impar
imparnimparm ==
parnimparm ==