Colegio Técnico Profesional Profesores: Pamela Rogel – Erwin Coronado Santa Teresa de los Andes Sector: Matemática Osorno Curso: 1° Medio

Guía de Ejercicios

Tema: El conjunto de los números racionales. Debes saber que: Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales. Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia. En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa. Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.

Fuente: Francisco Luis Flores Gil – Historia y Didáctica de los Números Racionales e Irracionales.

Definición: El conjunto de los racionales, que se simboliza por , se define como:

/ , , 0p p q qq

= ∈ ≠

Lo que indica que este conjunto está compuesto por todas las expresiones que tienen la forma pq

, es decir

una fracción, pero que los valores p y q deben ser enteros, pero el valor q no puede ser cero.

Una definición general de fracción es

Expresión Decimal

Expresión Fraccionaria

p p qq

= ÷

Es decir, una racional es también un número decimal, generado por una fracción racional.

De lo anterior se puede concluir que si se tiene un entero a , y como 11aa a= ÷ = entonces todo entero es

también un número racional.

Primero se tratarán los racionales, según su representación fraccionaria y luego según su expresión decimal.

A. Expresión fraccionaria: Primera Parte

1. Indique con el símbolo ∈ o ∉, según corresponda

a. 3 5

e. 0

15 i. 25 −

b. 6

13−

f. 5 0

j. 19 0−

c. 25 106−

g. 6 −π

k. 6.254

896.254.125

d. 6

64−−

h. 125

1.254.689−

l. 0

2. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, mixtas o compuestas.

a. 34

e. 32542

i. 5

542

b. 85

f. 7.82525.631

j. 1013

c. 2435

g. 510

19 k.

56423

d. 253

h.

11513 72

8

+

−−

l.

134

118

+

3. Transforme las siguientes fracciones mixtas en fracciones impropias

a. 253

b. 279

c. 12113

d. 1823

e. 111313

4. Transforme las siguientes fracciones impropias en mixtas

a. 136

b. 458

c. 632

d. 14513

e. 7913

5. Utiliza los símbolos = o ≠ , para indicar si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no.

a. 1 7 6 42

d. 21 7 14 2

g. 7 4 6 3

b. 2 5 8 12

e. 11 2 12 3

h. 20 40 25 50

c. 9 3

15 5 f.

16 4 24 6

i. 153 35 21 4

6. Amplifica las siguientes fracciones según el valor indicado y comprueba que la fracción resultante es equivalente a la fracción inicial.

a. 92

por 3 c. 98

por 10 e. 92

por 8

b. 5

12 por 2 d.

1124

por 4 f. 1525

por 18

7. Simplifica las siguientes fracciones según el valor indicado y comprueba que la fracción resultante es equivalente a la fracción inicial.

a. 2115

por 3 c. 9070

por 10 e. 12585

por 5

b. 1824

por 2 d. 4816

por 4 f. 12155

por 11

8. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreductible.

a. 1214

c. 3930

e. 5075

b. 4896

d. 1001000

f. 4560

9. Indica con los símbolos > , < o = , la relación entre los siguientes pares de fracciones.

a. 6 2 8 3

d. 11 33 8 24

g. 1 4 8 33

b. 5 20 8 32

e. 10 2 15 3

h. 20 3 30 2

c. 5 4 8 3

f. 12 3 15 4

i. 16 64 32 128

10. Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones.

a. 73

d. 12

g. 8

10

b. 48

e. 5

9−

h. 68

c. 25

f. 34

i. 1

6−

En una misma recta ubica las fracciones de los ejercicios b. y d. y en otra los ejercicios f. y h. ¿Qué puedes concluir?

11. Ordena de menor a mayor los siguientes grupo de fracciones.

a. 25

, 26

, 56

, 35

b. 34

, 12

, 53

, 3

5−

, 05

12.Ordena de mayor a menor los siguientes grupo de fracciones.

a. 5

8−

, 107−

, 05

, 15

b. 74

, 32

, 47

, 95

, 2928

Taller de evaluación

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número racional?

I. 34−

II. 0 III. 80

a. Solo I b. Solo II c. Solo I y III d. Solo I y II

2. De la fracción 2526

se puede indicar que:

a. Es una fracción propia y mixta

b. Es una fracción impropia y mixta

c. Es una fracción propia e irreductible

d. Es una fracción impropia e irreductible

3. ¿Cuál de los siguientes números es equivalente con 125

?

a. 215

b. 75

c. 115

d. 85

4. Si 45

a = , 79

b = y 67

c = . Entonces ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I.- a b< II. b c< III. c a>

a. Solo II b. Solo II y III c. Solo I y II d. Solo I y III

5. Con respecto 23

ab= es siempre verdadero que:

a. 2a = y 3b = b. 3a = y 2b = c. 3 2a b= d. 2 3a b=

6. ¿Cuál de las siguientes fracciones es propia y además irreductible?

a. 58

b. 721

c. 125

7 d.

464

7. Si el numerador y el denominador de una fracción propia aumentan en la misma cantidad, entonces es verdadero que la fracción resultante

a. tiene el mismo valor que la fracción original.

b. es siempre mayor que la fracción original.

c. es siempre menor que la fracción original.

d. Es menor o igual que la fracción original