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5. ESTTICA

5.1 INTRODUCCIN

La esttica es la parte de la mecnica que estudia el equilibrio de los

cuerpos. En ella se establecen las Condiciones que deben cumplir las fuerzas y

los momentos de fuerzas (causas del movimiento) para garantizar el equilibrio.

5.2 MOMENTO DE FUERZA O TORQUE

En general el movimiento de un cuerpo puede ser de traslacin y/o rotacin. La

traslacin se debe a que la fuerza resultante es diferente de cero, excepto el casoen que la fuerza resultante es cero y el cuerpo se mueve con velocidad

constante pero, Cules son las causas de las rotaciones? La respuesta es, los

momentos de fuerzas.

El momento de fuerza, M, es una magnitud vectorial que describe la

tendencia de un cuerpo a rotar.

Consideremos la varilla de peso despreciable que se muestra en la figura 5.1 yque puede rotar alrededor del pivote ubicado en el punto fijo O. Al aplicar la

fuerza F en el punto P, La varilla rotar en el sentido anti horario.

O

b

r P

F

Lnea deaccin de F

Fig.5.2

F Sen F Cos

F

PrO

Fig.5.1

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El vector momento de fuerza se define mediante el producto vectorial siguiente:

M = r x F (5.1)

Aqu, r es el vector de posicin, respecto al punto O, del punto de aplicacin (P)

de la fuerza F.

El mdulo del vector momento de fuerza, por definicin del producto vectorial

es:

M= F r Sen (5.2)

Dnde:

F, es el mdulo de fuerza aplicada,

r, el mdulo del vector de posicin , r, del punto de aplicacin de F y

, el ngulo que forman las direcciones de los vectores r y F

EL MDULO DEL MOMENTO DE FUERZA tambin lo podemos

expresar as:

M = F b (5.3)

Donde b se denomina brazo de palanca de la fuerza F.

Note qu: b = r Sen

Luego, el brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el punto de

rotacin, O, hasta la lnea de accin de la fuerza, ver Fig.5.2.

LA DIRECCIN Y SENTIDO DEL VECTOR MOMENTO.Segn el

lgebra vectorial:

- La direccin es perpendicular al plano de rotacin (que definen los vectores

r y F). As, si los Vectores r y F estn en el plano XY, entonces M estar

sobre el eje Z.

- Si la rotacin es anti horaria y el plano de rotacin es XY, el sentido de M

es +Z. y si es horaria, el sentido es -Z.

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En la Fig. 5.3 se muestra la orientacin del vector momento de fuerza, de

acuerdo a la convencin establecida.

En el S.I. el momento de fuerza se expresa en unidades de fuerza por longitud:

N.m.

5.3 MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS

COPLANARES

Un caso simple de un cuerpo que tiende a rotar bajo la accin de dos o ms

fuerzas se presenta cuando las fuerzas son coplanares y el plano de rotacin

coincide con el plano que definen las fuerzas. En este caso, los momentos

individuales tienen la misma direccin pero sus sentidos pueden o no ser iguales.

El momento resultante lo determinamos as:

MR = M i (5.4)En la ec. (5.4), la sumatoria es algebraica y el signo de cada momento es segn

la convencin ya expuesta.

Consideremos, por ejemplo, la varilla que se muestra en la Fig. 5.4.

Fig. 5.3. Direccin y sentido del vectorM para la rotacin de la varilla en el plano XY

O

M

Z

Y

r

X

F

a) Rotacin anti horaria opositiva

O

M

Z

Y

r

X

F

b) Rotacin horaria o negativa

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El momento resultante, haciendo uso de la ecuacin (5.4) es:

MR = + M 1 M2 + M3

Note qu, es necesario conocer los mdulos de los momentos individuales

para saber si la rotacin resultante es horaria o anti horaria.

5.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio se deben cumplir las siguientes

condiciones:

1 La resultante de todas las fuerzas que sobre l actan debe ser cero, esto

es:

Fi = 0 (5.5)En general, si la fuerza resultante es cero, el cuerpo no se trasladar (estar en

reposo), a menos que lo haga con velocidad constante, es decir, con M.R.U.

2 El momento resultante del sistema de fuerzas que sobre el cuerpo acta

debe ser cero, as:

Mi = 0 (5.6)

En general, si el momento resultante es cero el cuerpo no rotar, excepto el casoparticular en que el momento resultante es cero y el cuerpo rota con velocidad

angular constante, es decir, con un M.C.U., como el caso de la Luna en su

movimiento alrededor de la Tierra.

r3

3

F3

1

F2

F1

O

r1

2

Fig. 5.4

r2

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En el caso particular que sobre un cuerpo actan tres fuerzas, entonces con ellas

se puede construir un tringulo de fuerzas, en concordancia con la ec. (5.5),

como se ilustra en la Fig.5.5

Luego, si se conocen los ngulos interiores en el tringulo de fuerza aplicando la

ley de senos, obtenemos:

sen

F

sen

F

sen

F 321 == . (5.7)

5.5 COMPOSICIN DE FUERZAS PARALELAS

Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u. Luego, Fi =

Fi u, donde Fi es positivo o negativo, dependiendo de si el sentido de Fi es el

mismo que el de u u opuesto al de u. La suma vectorial es

R= Fi = Fiu = (Fi) u (5.8)

Y por tanto tambin paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces

R = Fi

El torque resultante o suma vectorial de los torques es

M = ri x Fi= ri x Fiu = (riFi) x u (5.9)

La cual es perpendicular a u y por tanto tambin perpendicular a R. Por ste

motivo, colocando Ren la posicin apropiada rc, es posible igualar su torque al

torque resultante M, esto es, rcx R= . Introduciendo las expresiones de Ry M,

podemos escribir

Fig. 5.5

F1

F2

F3

F2

F3

F1

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rC x (Fi) u = (riFi) x u

(Fi) rC x u = (riFi) x u

De donde,

El punto definido por rc se denomina el centro de las fuerzas paralelas. Llegamos

a la conclusin de que un sistema de fuerzas paralelas puede reducirse a una sola

fuerza, paralela a todas las fuerzas, dada por la ec. (5.8), y actuando en el punto

dado por la ec. (5.10).

La ecuacin vectorial (5.10) puede separarse en sus componentes.

Donde, xc, yc, zc, son las coordenadas del punto definido porrc.

5.6 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA

Cada partcula sobre la cul acta el campo gravitacional est sometida a la

accin de una fuerza P = mg llamada peso. La direccin de sta fuerza, si se

prolonga, pasa por el centro de la Tierra.

Aunque los pesos se intersecan en el centro de la Tierra, pueden considerase

paralelos cuando corresponden a partculas que constituyen un cuerpo de

dimensiones relativamente pequeas. Por tanto el peso resultante de un cuerpo

(5.10)

........FF

.....FF

F

Fi

21

21

i ++

++==

21ic

rrr

r

........FF

.....FxFx

F

Fixx

21

211

i

ic

++

++==

2

........FF

.....FyFy

F

Fiyy

21

211

i

ic

++

++==

2

........FF.....FzFz

F

Fizz

21

211

i

ic++++==

2

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est dado por P = mi g, extendindose la suma a todas las partculas que

constituyen el cuerpo, y est aplicado en un punto dado por

El punto definido por la ec. (5.11) se denomina centro de gravedad.

Si en la expresin anterior se simplifica la aceleracin de la gravedad, obtenemos

El punto definido por la ec. (5.12) se denomina centro de masa. Las coordenadas

del centro de masa son

Note qu, de acuerdo a la definicin, el centro de gravedad puede o no estar

ubicado dentro del cuerpo (compare los centros de gravedad de un disco y de un

anillo).

Si consideramos que las fuerzas debido a la atraccin gravitacional no son

paralelas y las dimensiones del cuerpo son grandes, el centro de gravedad y el

centro de masa difieren ligeramente.

Consideremos un cuerpo compuesto de un gran nmero de partculas, muy

compacto, podemos suponer que tiene una estructura continua. Si es su

densidad en cada punto, podemos dividir el volumen en elementos de volumen

dV , y la masa en cada uno de stos ser dm = dV. Luego, cuando

reemplazamos las sumas por integrales en las ecs. (5.13), las coordenadas del

centro de masa son

(5.11)gm

gm

i

i

=i

c

r

r

(5.12)m

m

i

i

=i

CM

r

r

(5.13)m

mzz;

m

myy;

m

mixx

i

iiCM

i

iiCM

i

iCM

===

(5.14)dV

dVzz;

dV

dVyy;

dV

dVxx CMCMCM

=

=

=

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Si el cuerpo es homogneo, es constante y puede simplificarse en las ecs, (5.14)

En ste caso el centro de masa est determinado exclusivamente por la geometra

del cuerpo. Cuando el cuerpo homogneo tiene alguna simetra, el centro de masa

coincide con el centro de simetra.

Ejemplo 5.1 En la figura, el boque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se

aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar los

valores de las tensiones de los cables y el peso P.

Solucin:

Del D.C.L. del punto B:

Aplicando ley de Senos: