5. ESTÁTICA

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  • 7/29/2019 5. ESTTICA

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    5. ESTTICA

    5.1 INTRODUCCIN

    La esttica es la parte de la mecnica que estudia el equilibrio de los

    cuerpos. En ella se establecen las Condiciones que deben cumplir las fuerzas y

    los momentos de fuerzas (causas del movimiento) para garantizar el equilibrio.

    5.2 MOMENTO DE FUERZA O TORQUE

    En general el movimiento de un cuerpo puede ser de traslacin y/o rotacin. La

    traslacin se debe a que la fuerza resultante es diferente de cero, excepto el casoen que la fuerza resultante es cero y el cuerpo se mueve con velocidad

    constante pero, Cules son las causas de las rotaciones? La respuesta es, los

    momentos de fuerzas.

    El momento de fuerza, M, es una magnitud vectorial que describe la

    tendencia de un cuerpo a rotar.

    Consideremos la varilla de peso despreciable que se muestra en la figura 5.1 yque puede rotar alrededor del pivote ubicado en el punto fijo O. Al aplicar la

    fuerza F en el punto P, La varilla rotar en el sentido anti horario.

    O

    b

    r P

    F

    Lnea deaccin de F

    Fig.5.2

    F Sen F Cos

    F

    PrO

    Fig.5.1

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    El vector momento de fuerza se define mediante el producto vectorial siguiente:

    M = r x F (5.1)

    Aqu, r es el vector de posicin, respecto al punto O, del punto de aplicacin (P)

    de la fuerza F.

    El mdulo del vector momento de fuerza, por definicin del producto vectorial

    es:

    M= F r Sen (5.2)

    Dnde:

    F, es el mdulo de fuerza aplicada,

    r, el mdulo del vector de posicin , r, del punto de aplicacin de F y

    , el ngulo que forman las direcciones de los vectores r y F

    EL MDULO DEL MOMENTO DE FUERZA tambin lo podemos

    expresar as:

    M = F b (5.3)

    Donde b se denomina brazo de palanca de la fuerza F.

    Note qu: b = r Sen

    Luego, el brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el punto de

    rotacin, O, hasta la lnea de accin de la fuerza, ver Fig.5.2.

    LA DIRECCIN Y SENTIDO DEL VECTOR MOMENTO.Segn el

    lgebra vectorial:

    - La direccin es perpendicular al plano de rotacin (que definen los vectores

    r y F). As, si los Vectores r y F estn en el plano XY, entonces M estar

    sobre el eje Z.

    - Si la rotacin es anti horaria y el plano de rotacin es XY, el sentido de M

    es +Z. y si es horaria, el sentido es -Z.

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    En la Fig. 5.3 se muestra la orientacin del vector momento de fuerza, de

    acuerdo a la convencin establecida.

    En el S.I. el momento de fuerza se expresa en unidades de fuerza por longitud:

    N.m.

    5.3 MOMENTO RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS

    COPLANARES

    Un caso simple de un cuerpo que tiende a rotar bajo la accin de dos o ms

    fuerzas se presenta cuando las fuerzas son coplanares y el plano de rotacin

    coincide con el plano que definen las fuerzas. En este caso, los momentos

    individuales tienen la misma direccin pero sus sentidos pueden o no ser iguales.

    El momento resultante lo determinamos as:

    MR = M i (5.4)En la ec. (5.4), la sumatoria es algebraica y el signo de cada momento es segn

    la convencin ya expuesta.

    Consideremos, por ejemplo, la varilla que se muestra en la Fig. 5.4.

    Fig. 5.3. Direccin y sentido del vectorM para la rotacin de la varilla en el plano XY

    O

    M

    Z

    Y

    r

    X

    F

    a) Rotacin anti horaria opositiva

    O

    M

    Z

    Y

    r

    X

    F

    b) Rotacin horaria o negativa

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    El momento resultante, haciendo uso de la ecuacin (5.4) es:

    MR = + M 1 M2 + M3

    Note qu, es necesario conocer los mdulos de los momentos individuales

    para saber si la rotacin resultante es horaria o anti horaria.

    5.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO

    Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio se deben cumplir las siguientes

    condiciones:

    1 La resultante de todas las fuerzas que sobre l actan debe ser cero, esto

    es:

    Fi = 0 (5.5)En general, si la fuerza resultante es cero, el cuerpo no se trasladar (estar en

    reposo), a menos que lo haga con velocidad constante, es decir, con M.R.U.

    2 El momento resultante del sistema de fuerzas que sobre el cuerpo acta

    debe ser cero, as:

    Mi = 0 (5.6)

    En general, si el momento resultante es cero el cuerpo no rotar, excepto el casoparticular en que el momento resultante es cero y el cuerpo rota con velocidad

    angular constante, es decir, con un M.C.U., como el caso de la Luna en su

    movimiento alrededor de la Tierra.

    r3

    3

    F3

    1

    F2

    F1

    O

    r1

    2

    Fig. 5.4

    r2

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    En el caso particular que sobre un cuerpo actan tres fuerzas, entonces con ellas

    se puede construir un tringulo de fuerzas, en concordancia con la ec. (5.5),

    como se ilustra en la Fig.5.5

    Luego, si se conocen los ngulos interiores en el tringulo de fuerza aplicando la

    ley de senos, obtenemos:

    sen

    F

    sen

    F

    sen

    F 321 == . (5.7)

    5.5 COMPOSICIN DE FUERZAS PARALELAS

    Consideremos un sistema de fuerzas paralelas a un vector unitario u. Luego, Fi =

    Fi u, donde Fi es positivo o negativo, dependiendo de si el sentido de Fi es el

    mismo que el de u u opuesto al de u. La suma vectorial es

    R= Fi = Fiu = (Fi) u (5.8)

    Y por tanto tambin paralelo a u. La magnitud de la resultante es entonces

    R = Fi

    El torque resultante o suma vectorial de los torques es

    M = ri x Fi= ri x Fiu = (riFi) x u (5.9)

    La cual es perpendicular a u y por tanto tambin perpendicular a R. Por ste

    motivo, colocando Ren la posicin apropiada rc, es posible igualar su torque al

    torque resultante M, esto es, rcx R= . Introduciendo las expresiones de Ry M,

    podemos escribir

    Fig. 5.5

    F1

    F2

    F3

    F2

    F3

    F1

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    rC x (Fi) u = (riFi) x u

    (Fi) rC x u = (riFi) x u

    De donde,

    El punto definido por rc se denomina el centro de las fuerzas paralelas. Llegamos

    a la conclusin de que un sistema de fuerzas paralelas puede reducirse a una sola

    fuerza, paralela a todas las fuerzas, dada por la ec. (5.8), y actuando en el punto

    dado por la ec. (5.10).

    La ecuacin vectorial (5.10) puede separarse en sus componentes.

    Donde, xc, yc, zc, son las coordenadas del punto definido porrc.

    5.6 CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA

    Cada partcula sobre la cul acta el campo gravitacional est sometida a la

    accin de una fuerza P = mg llamada peso. La direccin de sta fuerza, si se

    prolonga, pasa por el centro de la Tierra.

    Aunque los pesos se intersecan en el centro de la Tierra, pueden considerase

    paralelos cuando corresponden a partculas que constituyen un cuerpo de

    dimensiones relativamente pequeas. Por tanto el peso resultante de un cuerpo

    (5.10)

    ........FF

    .....FF

    F

    Fi

    21

    21

    i ++

    ++==

    21ic

    rrr

    r

    ........FF

    .....FxFx

    F

    Fixx

    21

    211

    i

    ic

    ++

    ++==

    2

    ........FF

    .....FyFy

    F

    Fiyy

    21

    211

    i

    ic

    ++

    ++==

    2

    ........FF.....FzFz

    F

    Fizz

    21

    211

    i

    ic++++==

    2

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    est dado por P = mi g, extendindose la suma a todas las partculas que

    constituyen el cuerpo, y est aplicado en un punto dado por

    El punto definido por la ec. (5.11) se denomina centro de gravedad.

    Si en la expresin anterior se simplifica la aceleracin de la gravedad, obtenemos

    El punto definido por la ec. (5.12) se denomina centro de masa. Las coordenadas

    del centro de masa son

    Note qu, de acuerdo a la definicin, el centro de gravedad puede o no estar

    ubicado dentro del cuerpo (compare los centros de gravedad de un disco y de un

    anillo).

    Si consideramos que las fuerzas debido a la atraccin gravitacional no son

    paralelas y las dimensiones del cuerpo son grandes, el centro de gravedad y el

    centro de masa difieren ligeramente.

    Consideremos un cuerpo compuesto de un gran nmero de partculas, muy

    compacto, podemos suponer que tiene una estructura continua. Si es su

    densidad en cada punto, podemos dividir el volumen en elementos de volumen

    dV , y la masa en cada uno de stos ser dm = dV. Luego, cuando

    reemplazamos las sumas por integrales en las ecs. (5.13), las coordenadas del

    centro de masa son

    (5.11)gm

    gm

    i

    i

    =i

    c

    r

    r

    (5.12)m

    m

    i

    i

    =i

    CM

    r

    r

    (5.13)m

    mzz;

    m

    myy;

    m

    mixx

    i

    iiCM

    i

    iiCM

    i

    iCM

    ===

    (5.14)dV

    dVzz;

    dV

    dVyy;

    dV

    dVxx CMCMCM

    =

    =

    =

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    Si el cuerpo es homogneo, es constante y puede simplificarse en las ecs, (5.14)

    En ste caso el centro de masa est determinado exclusivamente por la geometra

    del cuerpo. Cuando el cuerpo homogneo tiene alguna simetra, el centro de masa

    coincide con el centro de simetra.

    Ejemplo 5.1 En la figura, el boque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se

    aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar los

    valores de las tensiones de los cables y el peso P.

    Solucin:

    Del D.C.L. del punto B:

    Aplicando ley de Senos: