UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

Aplicación de las Distribuciones

Maricruz Buendía Solís

2-“A”

Procesos Industriales

Aplicaciones de las distribuciones

Distribución Bernoulli

Ejemplo 1:

•Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos conductores sí tenían cinturón de seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas. Describa el experimento usando conceptos de v.a.• Solución.• La noc. Frecuentista de prob. Nos permite aproximar la probabilidad de quedar con secuelas por 10/2000=0,005=0,5%• X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli•X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005•X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995

Ejemplo 2:

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

•solución

•

•

•

Ejemplo 3:

Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema de La place(casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro   = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

Ejemplo 4:

Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

Ejemplo 5: "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

Distribución Binomial

Ejemplo 1:

Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo 2:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

Ejemplo 3:

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces.

Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

Ejemplo 5:

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

Distribución Poisson

Ejemplo 1: El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contadordurante 1 ms en un experimento de laboratorio es 4, ¿cuál es la probabilidad de que entren6 partículas al contador en un milisegundo determinado?.En este caso x = 6, λ = 4 luego debemos calcular p(6; 4),

p=poisspdf(6,4) p =0.1042

Si nos piden hallar la probabilidad de que entren 5 ´o 6 partículas,

Ejemplo 2: Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión? ¿Cuáles la tasa en partículas por minuto?

Ejemplo 3:

Supongamos que en exploraciones del cielo se encuentran con una cierta técnica un promedio de 3.2 galaxias por grado cuadrado. Se pide encontrar el área que debemosexplorar para tener la seguridad en un 95% de encontrar más de 100 galaxias.Con el diagrama cdf, colocamos en la casilla correspondiente al número de casos el valor 100.Vamos probando valores en lambda y leyendo la probabilidad hasta que valga 0.05. ResultaQue λ = 118 proporciona probabilidad 0.05074 de encontrar x ≤ 100, o lo que es lo mismo laprobabilidad de encontrar x > 100 es 0.95. Traducido a nuestro problema: esperamos 118 galaxias en 118/3.2 = 37 grados cuadrados. Si exploramos este ´área hay una probabilidad de 0.95 de encontrar más de 100 galaxias.

Ejemplo 4:

En un proceso de fabricación de componentes electrónicos, a veces se producenDefectos que los hacen inservibles. Supongamos que 2 de cada 1000 piezas salen defectuosasen promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 6000 piezas menosde 9 sean inservibles?.Este ejemplo es de distribución Binomial y se resuelve muy fácilmente como,

P(X < 9) =X8x=0b(x; 6000, 0.002) = 0.1548

o con disttool, seleccionando Binomial y cdf con ensayos (trials n = 6000, de probabilidad p=0.002 y número de

casos 8, obtenemos el mismo resultado. Como la probabilidad es muy pequeña (p ≃ 0) y n es bastante grande, podemos hacer la aproximación con la distribución de Poisson utilizando λ = 6000 × 0.002 = 12. Volvemos a seleccionar la distribución de Poisson con λ = 12 y número de casos 8, y obtenemos una probabilidad de 0.155.

Ejemplo 5: En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallineropone un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cadavisita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevospara x = 0,1,2,3? ¿y la probabilidad de que x ≥ 4 ?

Promedio: μ =1×18 / 24 = 0.75 huevos / hora

Distribución Normal

Ejemplo 1: Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centro miden menos de 150 cm. . Si la estatura media de dichosalumnos es de 164 cm., ¿ cuál es su varianza ?.Siendo 24 / 200 = 0'12 , sabemos que el 12% de los alumnos tienen estaturas inferiores a 150.Consultando las tablas de la distribución normal tipificada, obtenemos el valor z que deja a su izquierda un área 0'12.Dicho valor es : z = -1'175(para z = -1'17 encontramos 0'12100 y para z = -1'18 encontramos 0'11900).

Ejemplo 2: El percentil 70 de una distribución normal es igual a 88, siendo 0'27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. ¿ A qué distribución normal nos estamos refiriendo ¿

Se nos pide determinar la media y desviación típica de una distribución normal que verifica las condiciones delenunciado.a) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'70 :z = 0'52 (valor más próximo 0'69847)b) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'27z = -0'61 (valor más próximo 0'27093)

Ejemplo 3:

Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168y desviación típica 8 cm. .Cuántos soldados miden entre 166 y 170 cm?. Sea X la distribución de los soldados, X es una N (168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).

Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en la desigualdad: p (166 ≤ X ≤ 170) = p (166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170 − 168) = p (−2 ≤ X − 168 ≤ 2)

Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos de tipificar:

P (166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = p

Ejemplo 4:

.- El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.

t1 = -y  t2 = (7 -5)/1 = 2

En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.

Ejemplo 5:

La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que

se distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antes de 60 meses?

a)t = (75 -68)/5 = 1,4

P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses

b)t = (60 -68)/5 = -1,6

P (X ≤ 60) = (t ≤  -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤  1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar 60 meses

 

Distribución Gamma

Ejemplo 1: .

 Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Solución:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P(   =2) E(Y) = 2Y': Número de ciclos / hora ---------Y'~P(   =0.02) E(Y') = 0.02 =   X ~ G(2, 0.02)

Ejemplo 2: .

A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la

probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8 llamadas?

Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en un plazo de tiempo de menos de 1 minuto.

α=2,94 =13,94

Ejemplo 3:

Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempo medio que transcurre hasta que fallan

dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes?

Ejemplo 4:

Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas expuestas a un determinado tóxico es una variable aleatoria que sigue una distribución Gamma (5, 10), ¿cuál es la probabilidad de que una rata no supere las 60 semanas de vida?

Ejemplo 5:

En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con

parámetros α= 3 y =2. Si la planta de energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la demanda?

Donde

De forma que

La probabilidad de que exista 1 exceso

Resolviendo la integral con ayuda del Derive, la probabilidad obtenida es

Distribución T de Student

Ejemplo 1:

Cual es la probabilidad acumulada de una Distribución t de Student de 9 grados de libertad, de que x < 0,25.

esto es:

buscando en la tabla en la columna del 9, y la fila de 0,25 tenemos que:

Ejemplo 2:

Cual es la probabilidad de que una variable t de Student de 6 grados de libertad deja a la izquierda de -1,45

los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:

con lo que obtenemos:

Ejemplo 3:

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

Ejemplo 4:

Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla) El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

Ejemplo 5:

La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%