U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 45CONDICIONES INICIALES.

INTRODUCCIÓN A LAS CONDICIONES INICIALES : En los circuitos que tienen elementos almacenadores de energía donde las variables del circuito (voltajes o corrientes) dependen de una ecuación diferencial, la solución de ésta tiene constantes arbitrarias cuyo número es igual al orden de la ecuación diferencial. Las constantes arbitrarias se evalúan con las condiciones iniciales de la variable que se esté estudiando. Las condiciones iniciales o estado inicial de un circuito son los valores que tienen los voltajes, corrientes (o sus derivadas) en un instante de tiempo determinado cuando ocurre un evento en el circuito, el cual puede ser el cambio en el valor de una fuente, la acción de conmutación de un interruptor, que cambia o altera el comportamiento del sistema del circuito. Al determinar las condiciones iniciales es necesario presentar una notación para distinguir los estados de un circuito. El tiempo de referencia t = t0 se designa como el instante donde ocurre un evento de un circuito; y se establece la diferencia entre el instante de tiempo que está inmediatamente antes y después del evento en el circuito con los signos menos ( – ) y mas (+) respectivamente. Las condiciones antes del evento se designarán como i(t0

-), v(t0-), etc., y las condiciones posteriores se designarán i(t0

+), v(t0+).

Las condiciones iniciales dependen de los voltajes de los capacitores y corrientes en los inductores en t = t0- antes del evento las cuales se

mantendrán después del evento en t = t0+ ( a menos que exista una singularidad, que pueda cambiar las condiciones de borde de los

elementos almacenadotes de energía), así como también dependen de las condiciones que introduce el evento en el circuito. Lo que haya ocurrido se manifestará en los valores que tengan los voltajes de los capacitores y las corrientes que fluyen en los inductores. Después del evento, en t = t0

+ pueden aparecer nuevas corrientes y nuevos voltajes en la red como resultado de los voltajes iniciales en los capacitores, corrientes iniciales en inductores, elementos que se añaden o quitan con un interruptor y/o la naturaleza de las fuentes de corriente y voltaje que se introducen o cambian. La evaluación de todos los voltajes y todas las corrientes así como de sus derivadas para t = t0

+ constituyen la evaluación de las condiciones iniciales. Para evaluar las condiciones iniciales en t = t0

+ , se recurre a plantear un circuito equivalente en ese instante, reemplazando a los elementos pasivos por un circuito equivalente según el comportamiento que estos elementos presentan en ese instante de tiempo. Las fuentes del circuito se evalúan también en t = t0

+, así queda un circuito equivalente conformado por fuentes constantes (cuando se evalúan en t = t0

+), resistores y fuentes equivalentes (elementos almacenadores) y/o cortocircuitos (capacitores) o circuitos abiertos (inductores).

CONDICIÓN INICIAL EN EL RESISTOR, EN EL INDUCTOR Y EN EL CAPACITOR. Tabla. Circuito equivalente para condiciones iniciales en t=t0+ .

CONDICIONES FINALES EN ELEMENTOS PASIVOS : Pueden determinarse los circuitos equivalentes de los elementos para las condiciones finales del circuito siempre y cuando se cumpla:

Que las fuentes sean de salida constante o que se reduzcan a cero para valores grandes de t ( e-t, e-t.senωt, etc). Redes en las que el valor final de los voltajes y las corrientes sea una constante.

Este segundo requisito elimina las redes LC sin resistencia, porque la condición final de los voltajes y las corrientes pueden ser de oscilación permanente. Las redes equivalentes para condiciones finales se reducen a partir de las relaciones básicas:

dt

diLv L

L =dt

dvCi C

C =

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 46y dado que los voltajes y las corrientes en estado permanente con las condiciones anteriormente expuestas son valores constantes, el voltaje en un inductor y la corriente en un capacitor son de valor cero. Esto permite representar a un inductor como un cortocircuito (cero voltaje) donde la corriente depende del resto del circuito y el capacitor como un circuito abierto, donde su voltaje dependerá del resto del circuito. El hecho de poder evaluar las condiciones finales en un circuito, permite determinar, en muchos casos, las condiciones de borde que se necesitan conocer antes de la ocurrencia de un evento. De esa manera es posible determinar los voltajes de los capacitores y las corrientes de los inductores antes del evento pues estos valores son los que se mantendrán después de la ocurrencia del evento (si no existe singularidad).

Tabla Circuito Equivalente para condiciones finales con fuentes constantes y que tienden a cero. CIRCUITOS SINGULARES : Un circuito en el cual aparecen fuentes impulsivas (delta de dirac) o tiene lugar la acción de un(os) interruptor(es) que producen discontinuidades (variación brusca) en los voltajes de los capacitores y/o en las corrientes de los inductores, se denomina circuito singular. CIRCUITOS CON FUENTES IMPULSIVAS : En este caso en particular es cuando una o más de las fuentes presentes en el circuito tiene como componente una función Delta de Dirac (función impulsiva). Cuando esto ocurre los elementos almacenadores de energía cambian sus condiciones iniciales dependiendo de como estén ubicados estos dentro del circuito. Una corriente infinita que aparezca en un capacitor hace que cambie su voltaje bruscamente pero siempre en un valor limitado de voltaje, esto hace que cualquier elemento que esté en paralelo con un capacitor siempre tendrá un voltaje "limitado" (no infinito); igualmente el inductor solo puede cambiar bruscamente su corriente si aparece entre sus terminales un voltaje infinito, produciendo un cambio brusco de corriente con un valor limitado de corriente. Esta condición hace que cualquier elemento que esté en serie con un inductor tenga una corriente limitada. El estudio en estas condiciones se realiza en el instante en que aparece la función impulsiva, estudiando las ecuaciones de nodos si la función impulsiva es una corriente o estudiando las ecuaciones de malla si la función impulsiva es un voltaje. Dentro de estas ecuaciones existirán variables que por sus características tendrán valores limitados, que comparándolos con las variables de magnitud infinita, pueden despreciarse. Entre estas variables están los voltajes de fuentes de voltaje "limitados", las corrientes de fuentes de corriente "limitadas", las corrientes de inductores, los voltajes de capacitores. También pueden despreciarse voltajes y corrientes de resistores si estos están en paralelo con capacitores, y voltajes y corrientes de resistores si estos están en serie con inductores.

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 47CONDICIÓN INICIAL EN EL RESISTOR : En el resistor ideal, la corriente y el voltaje están relacionados de acuerdo con la ley de ohm, v = R.i. Si a una red resistiva se le aplica un voltaje escalón de entrada, la corriente tendrá la misma forma de onda modificada sólo por el factor de escala 1/R. La corriente que pasa por el resistor cambiará en forma instantánea si el voltaje cambia instantáneamente. Del mismo modo, el voltaje cambiará de un modo instantáneo si la corriente cambia instantáneamente. En la figura se observa un ejemplo de condiciones iniciales en resistores.

Condición inicial en Resistores. CONDICIÓN INICIAL EN EL INDUCTOR : La corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente. Por tanto, el cierre de un interruptor para conectar un inductor a un circuito que tiene una fuente de energía no hará que fluya una corriente en el instante inicial, y el inductor actuará como si fuera un circuito abierto, independientemente del voltaje en sus terminales. Si fluye una corriente con un valor I0 en el inductor en el instante en que se produce la conmutación, esa corriente seguirá fluyendo. Durante el instante inicial se puede considerar que el inductor es una fuente de corriente de I0 amperios. El voltaje del inductor en el instante inicial no necesariamente se conserva, sino que se adapta a las necesidades del circuito, al igual que lo haría una fuente de corriente (si tiene corriente inicial) o un circuito abierto (sino fluye corriente inicial). En la figura se observa un ejemplo de condiciones iniciales en un Inductor.

Condiciones iniciales en un Inductor. CONDICIÓN INICIAL EN EL CAPACITOR : El voltaje en un capacitor no puede cambiar instantáneamente. Si se conecta un capacitor descargado a un circuito con una fuente de energía, fluirá una corriente de manera instantánea y el capacitor se podrá considerar como equivalente a un cortocircuito (cero carga entre sus placas). Con una carga inicial en el sistema, el capacitor equivale a una fuente de voltaje con un valor V0 = q0/C en donde q0 es la carga inicial. La corriente del capacitor en el instante inicial no necesariamente se conserva, sino que se adapta a las necesidades del circuito, al igual que lo haría una fuente de voltaje (si tiene voltaje inicial) o un cortocircuito (sino tiene voltaje inicial). En la figura se observan las condiciones iniciales en un capacitor.

Condición inicial en un Capacitor.

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 48Ejemplo. Calcular las condiciones finales en t = 0- y las condiciones iniciales en t = 0+ de los elementos almacenadores. Red equivalente en

−= 0t : Se observa que vc(0-) = vR2(0

-), se aplica división de voltaje entre R1 y R2 para determinar vc(0-): Se observa que iR2(0

-) = iL(0-) al aplicar

relación volt-ampere en R2: Una vez que se determina las condiciones finales en t = 0-, se procede a representar la red equivalente en t = 0+. Red equivalente en += 0t : Se cumple que: Ejemplo. En el siguiente circuito dadas las condiciones iniciales, determinar los voltajes de los capacitores después de haber transcurrido mucho tiempo. Red equivalente en t = ∞: dado que iR(∞) = 0 y vR(∞) = 0 se cumple en la ecuación de malla: se determinan las condiciones finales de los capacitores con la relación volt-ampere en función de las condiciones iniciales y la carga depositada, que es igual para ambos capacitores por estar en serie y luego se sustituye en la relación con la fuente. Voltajes finales en los capacitores: al sustituir en la ecuación de malla: al despejar q:

)t(20)t(10)t(v µ+−µ=

)()( tVtv µ=

Ω= 1R

F11C =

F212C /=

1C1C V0v =− )(

2C2C V0v =− )(

)()( ∞+∞= 2C1C vvV

1C

q0vdtti

1C

10vv 1C01C1C +=+=∞ −∞−

∫ )()()()(2C

q0vdtti

2C

10vv 2C02C2C +=+=∞ −∞−

∫ )()()()(

2C

q0v

1C

q0vV 2C1C +++= −− )()(

[ ]2C1C

2C1C0v0vVq 1C2C

+−−

=−− .)()(

V632

3100vC =

+=− .

)(

A23

6

2R

0v0i 2R

L ===−

− )()(

)()( ∞+∞= 2C1C vvV

V60v0v CC == −+ )()(

A20i0i LL == −+ )()(

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 49al sustituir q en )(∞1CV y )(∞2CV : Si los voltajes iniciales son cero: Ejemplo. En el siguiente circuito dadas las condiciones iniciales determinar los voltajes de los inductores después de haber transcurrido mucho tiempo. Red equivalente en t = ∞: En la ecuación de nodo donde están los inductores se cumple: se determinan las condiciones finales de los inductores con la relación volt-ampere en función de las condiciones iniciales y los enlaces de flujos de magnetización, que es igual para ambos inductores por tener el mismo voltaje y luego se sustituye en la relación con la fuente. Corrientes finales en los inductores: Al sustituir en la ecuación de nodos: al despejar Ψ: al sustituir Ψ en iL1(∞) y iL2(∞): Cuando las corrientes iniciales son iguales a cero queda: CONDICIONES FINALES SI LA EXCITACIÓN NO ES CONSTANT E: El caso del cálculo de la respuesta en régimen permanente cuando la excitación no es constante (por ejemplo, senωt) se estudia posteriormente, puesto que estos representan la solución particular (respuesta en régimen permanente) de las ecuaciones diferenciales de redes de primer y segundo orden con excitaciones de este tipo. CIRCUITOS SINGULARES : Un circuito en el cual aparecen fuentes impulsivas (delta de dirac) o tiene lugar la acción de un(os) interruptor(es) que producen discontinuidades (variación brusca) en los voltajes de los capacitores y/o en las corrientes de los inductores, se denomina circuito singular.

CIRCUITOS CON FUENTES IMPULSIVAS : En este caso en particular es cuando una o más de las fuentes presentes en el circuito tiene como componente una función Delta de Dirac (función impulsiva). Cuando esto ocurre los elementos almacenadores de energía cambian sus condiciones iniciales dependiendo de como estén ubicados estos dentro del circuito. Una corriente infinita que aparezca en un capacitor hace que cambie su voltaje bruscamente pero siempre en un valor limitado de voltaje, esto hace que cualquier elemento que esté en paralelo con un capacitor siempre tendrá un voltaje "limitado" (no infinito); igualmente el inductor solo puede cambiar bruscamente su corriente si aparece entre sus terminales un voltaje infinito, produciendo un cambio brusco de corriente con un valor limitado de corriente. Esta condición hace que cualquier elemento que esté en serie con un inductor tenga una corriente limitada.

[ ])()()()( −−− −−+

+=∞ 0v0vV2C1C

2C0vv 1C2C2C2C

V2C1C

2Cv 1C +

=∞)( V2C1C

1Cv 2C +

=∞)(

)()( ∞+∞= 2L1L iiI

1L0idttv

1L

10ii 1L1L1L

ψ+=+=∞ −−∫ )()()()(

2L0idttv

2L

10ii 2L2L2L

ψ+−=+−=∞ −−∫ )()()()(

2L0i

1L0iI 2L1L

ψψ +−+= −− )()(

[ ]2L1L

2L1L0i0iI 1L2L +

−+= −− .)()(ψ

[ ])()()()( −−− −++

+=∞ 0i0iI2L1L

2L0ii 1L2L1L1L [ ])()()()( −−− −+

++−=∞ 0i0iI

2L1L

1L0ii 1L2L1L2L

I2L1L

2Li 1L +

=∞)( I2L1L

1Li 2L +

=∞)(

[ ])()()()( −−− −−+

+=∞ 0v0vV2C1C

1C0vv 1C2C1C1C

)()( ∞+∞= 2L1L iiI

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 50El estudio en estas condiciones se realiza en el instante en que aparece la función impulsiva, estudiando las ecuaciones de nodos si la función impulsiva es una corriente o estudiando las ecuaciones de malla si la función impulsiva es un voltaje. Dentro de estas ecuaciones existirán variables que por sus características tendrán valores limitados, que comparándolos con las variables de magnitud infinita, pueden despreciarse. Entre estas variables están los voltajes de fuentes de voltaje "limitados", las corrientes de fuentes de corriente "limitadas", las corrientes de inductores, los voltajes de capacitores. También pueden despreciarse voltajes y corrientes de resistores si estos están en paralelo con capacitores, y voltajes y corrientes de resistores si estos están en serie con inductores. Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+

del elemento almacenador de energía. En este circuito al existir un voltaje infinito, se plantea una ecuación de malla: Como el resistor está en serie con un inductor su corriente y su voltaje están limitados y en t = t0 se desprecian frente al voltaje infinito de la fuente. El voltaje del inductor se iguala al de la fuente, cambiando bruscamente su corriente. Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+ del elemento almacenador de energía. En este circuito al existir una corriente infinita, se plantea una ecuación de nodo: Como el resistor está en paralelo con un capacitor su voltaje y su corriente están limitados y en t = t0 se desprecian frente a la corriente infinita de la fuente. La corriente del capacitor se iguala a la de la fuente, cambiando bruscamente su voltaje. Otra condición para despreciar voltajes y corrientes en un resistor es que se encuentre conectado en un nodo donde las corrientes son limitadas o en una malla donde los voltajes son limitados. Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+ del elemento almacenador de energía. En este circuito al existir una corriente infinita, se plantea una ecuación de nodo donde se encuentra la fuente de corriente: En este caso el resistor no está en paralelo con un capacitor, pero su voltaje (y por relación volt-ampere su corriente) depende de los voltajes limitados de la malla donde están la fuente de voltaje y el capacitor, por lo que la corriente del resistor se desprecia. La corriente del capacitor se iguala a la corriente de la fuente variando bruscamente su voltaje.

)()()( tvtvtv LR +=

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 00Lt

t0L0L dtttkL

1tidttv

L

1titi )()()()()( δ

L

ktiti 0L0L += −+ )()(

)()()( tititi CR +=

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 00Ct

t0C0C dtttkC

1tvdtti

C

1tvtv )()()()()( δ

C

ktvtv 0C0C += −+ )()(

)()()( tititi CR +=

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 0t

t 0C0C0C dtttkC

1tvdtti

C

1tvtv )()()()()( δ

C

ktvtv 0C0C += −+ )()(

−= 0 V)tt(k)t(v δ

−= 0 A)tt(k)t(i δ

−= 0 A)tt(k)t(i δ

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 51Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+ del elemento almacenador de energía. En este circuito al existir un voltaje infinito, se plantea una ecuación de malla donde está la fuente de voltaje: En este caso el resistor no está en serie con un inductor pero su corriente depende de las corrientes limitadas del nodo donde están la fuente de corriente y el inductor, por lo que el voltaje del resistor se desprecia y el voltaje del inductor se iguala al voltaje de la fuente, variando bruscamente su corriente. Cuando hay una fuente de voltaje impulsiva en una malla donde está conectado un resistor cuyo voltaje no está limitado, el voltaje infinito recae sobre éste, generándose una corriente infinita por la relación volt-ampere en el resistor. Por esta razón es necesario plantear una ecuación de nodo para verificar como afecta ésta corriente a los demás elementos del circuito. Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+ del elemento almacenador de energía. En este circuito existe un voltaje infinito por lo que se plantea una ecuación de malla: En este caso el voltaje del capacitor se desprecia por ser limitado y como el voltaje del resistor no tiene limitación, se iguala al voltaje infinito de la fuente. Esto genera una corriente infinita en el resistor por su relación volt-ampere: Al existir una corriente infinita, se plantea una ecuación de nodo donde están el resistor y el capacitor: Se iguala la corriente del capacitor con la corriente infinita del resistor, variando bruscamente el voltaje del capacitor: Cuando hay una fuente de corriente impulsiva conectado a un nodo donde también está conectado un resistor cuya corriente no es limitada, la corriente infinita fluirá por éste, generándose un voltaje infinito por la relación volt-ampere en el resistor. Por esta razón es necesario plantear una ecuación de nodo para verificar como afecta éste voltaje a los demás elementos del circuito. Ejemplo. En el siguiente circuito calcular la condición inicial en t = 0+ del elemento almacenador de energía. En este circuito existe una corriente infinita, por lo que se plantea una ecuación de nodo: En este caso la corriente del inductor se desprecia por ser limitada y como la corriente del resistor no tiene limitación, se iguala a la corriente de la fuente. Esto genera un voltaje infinito en el resistor por relación volt-ampere: Al existir un voltaje infinito, se plantea una ecuación de malla donde están el inductor y el resistor: Se iguala el voltaje del inductor con el voltaje infinito del resistor, variando bruscamente la corriente del inductor:

)()()( tvtvtv RL +=

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 00Lt

t0L0L dtttkL

1tidttv

L

1titi )()()()()( δ

L

ktiti 0L0L += −+ )()(

)()()( tvtvtv CR +=

)()(

)( 0R ttR

k

R

tvti −== δ

)()( titi CR =

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 00Ct

t R0C0C dtttR

k

C

1tvdtti

C

1tvtv )()()()()( δ

CR

ktvtv 0C0C += −+ )()(

)()()( tititi LR +=

)()()( 0R ttRktRitv −== δ

)()( tvtv RL =

∫∫+

−

+

− −+=+= −−+ 0

0

0

0

t

t 00Lt

t R0L0L dtttRkL

1tidttv

L

1titi )()()()()( δ

L

kRtiti 0L0L

.)()( += −+

−= 0 V)tt(k)t(v δ

−= 0 V)tt(k)t(v δ

−= 0 A)tt(k)t(i δ

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 52VARIACIÓN BRUSCA DE VOLTAJE EN CAPACITORES POR ACCI ÓN DE UN(OS) INTERRUPTOR(ES): Existen casos donde por la acción de un(os) interruptor(es) los capacitores quedan conectados de tal forma, que si se asume el comportamiento del capacitor de mantener su voltaje de un instante de tiempo a otro, se violaría la ley de voltaje de Kirchhoff en las mallas donde se encuentran ubicados. En estos casos se asumirá que aparecen "pulsos infinitos de corriente" capaces de depositar cargas finitas en forma instantánea, de forma tal que los voltajes en los capacitores varían bruscamente y un instante después de la acción del interruptor, los voltajes de los capacitores satisfacen la LVK en las mallas donde se encuentran. La relación volt-ampere en un capacitor es: Queda: Si iC(t) es finita entre t0

- y t0+, vC no cambia: donde:

Si iC(t) es infinita entre t0

- y t0+ : entonces:

Por lo tanto vC(t0

+) = vC(t0-)+k y el voltaje varía bruscamente.

Cuando quedan colocados fuentes de voltajes reales y capacitores representados como fuentes de voltaje equivalentes o cortocircuito equivalentes dentro de una malla y cuya suma algebraica de voltajes no cumplen con la LVK en esa malla existe una singularidad; pero si dentro de esa malla existe otro elemento (fuente de corriente, resistor o inductor) cualquier diferencia de voltaje la absorberá este elemento, cumpliéndose la LVK y evitándose la singularidad. Ejemplo. Para la red mostrada en la figura el interruptor S se cierra en 0t = determine )( +0v 1C y )( +0v 2C . en −= 0t se determinan los voltajes de condición final en los capacitores: en += 0t se representa el circuito equivalente considerando que se cumple la ley de voltaje en capacitores: Como V1≠V2 no se cumple la LVK en la malla donde están los capacitores. Existe una singularidad. Los voltajes en los capacitores deben cambiar bruscamente para que en t = t0

+ se cumpla la LVK, la única manera es que circule una corriente infinita en t = 0 en los capacitores. Circuito en t = 0:

∫∫∫ −

−

+== ∞−∞−t

t Ct

Ct

CC0

0 dttiC

1dtti

C

1dtti

C

1tv )()()()(

∫ −+= − t

t C0CC0

dttiC

1tvtv )()()(

0dtti0

0

t

t C =∫+

− )( )()( −+ = 0C0C tvtv

kdtttk0

0

t

t 0 =−∫+

− )(δ)()( 0C ttkti −= δ

1V0v 1C =− )( 2V0v 2C =− )(

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 53Como existen corrientes infinitas se plantea la ecuación de nodo: Las corrientes de los resistores dependen del voltaje de los capacitores por lo que pueden despreciarse frente a las corrientes infinitas de los capacitores, los cuales se igualan en ese instante de tiempo: en += 0t se debe cumplir la LVK en la malla de los capacitores: Los voltajes de los capacitores se expresan con la relación volt-ampere en función de la corriente en el intervalo infinitesimal, para determinar la carga depositada por éstas corrientes: al igualar las expresiones en la ecuación de malla: al despejar q: al sustituir en )( +0v 1C y )( +0v 2C : se tiene, después de la singularidad, un sistema que cumple la LVK. Ejemplo. En el siguiente circuito el interruptor S se cierra en t = 0 determinar el voltaje de los capacitores en t = 0+. Considere los elementos almacenadores descargado. Antes de 0t = , no existe energía en el circuito, por lo que: en += 0t : no se cumple la LVK, porque está una fuente de voltaje cortocircuitada, existe una singularidad. Los voltajes en los capacitores deben cambiar bruscamente para que en t = 0+ se cumpla la LVK, la única manera es que circule una corriente infinita en t = 0 en los capacitores. en t = 0+ debe cumplirse la LVK en las ecuaciones de mallas del circuito: Ecuación de malla 1: -V+vC1(0

+)+vC2(0+) = 0

Ecuación de malla 2: -vC2(0+)+vC3(0

+)+vC4(0+) = 0

)()( ++ = 0v0v 2C1C

1C

q1Vdtti

1C

10vdtti

1C

10v0v

0

0 2C1C0

0 1C1C1C −=−+=+= ∫∫+

−

+

−−−+ )()()()()( 2C

q2Vdtti

2C

10v0v

0

0 2C2C2C +=+= ∫+

−++ )()()(

2C

q2V

1C

q1V +=−

2V1V2C

1

1C

1q −=

+ )(.

2V1V2C1C

2C1Cq −

+=

2C1C

2C2V1C1V2V1V

2C1C

2C1V0v 1C +

+=−+

−=+ ..)()(

2C1C

1C1V2C2V2V1V

2C1C

1C2V0v 2C +

+=−+

+=+ ..)()(

0iiii 2R2C1C1R =+++

0ii 2C1C =+ 2C1C ii −=

V00V 1C =− )( V00V 2C =− )(

V00V 3C =− )( V00V 4C =− )(

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 54Los voltajes de los capacitores se expresan con la relación volt-ampere en función de las corrientes en el intervalo infinitesimal para determinar las cargas depositadas por estas corrientes. al igualar las expresiones en las ecuaciones de malla: ecuación de malla 1: (1) ecuación de malla 2: (2) Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas q1 y q2. De la ecuación (1) se despeja la variable q1 y se sustituye en la ecuación (2). al sustituir en (1): al despejar q2: al sustituir en q1: al final se sustituye en la relación volt-ampere: VARIACIÓN BRUSCA DE CORRIENTE EN INDUCTORES POR LA ACCIÓN DE UN(OS) INTERRUPTOR(ES): Al igual que en los capacitores existen redes donde debido a perturbaciones del circuito (acciones de interruptores) las corrientes en los inductores se ven obligadas a variar bruscamente para poder satisfacer la Ley de Corriente de Kirchhoff, violando así la "condición de continuidad de corrientes". En estos casos se supondrá que aparece un pulso infinito de voltaje que varía instantáneamente el número de enlaces de flujoψ a fin de que se cumpla la LCK. La relación volt-ampere en un inductor es:

queda:

si vL(t) es finito entre t0- y t0

+, iL no cambia: donde:

Si vL(t) es infinito entre t0

- y t0+: entonces:

Por lo tanto iL(t0

+) = iL(t0-)+k/L y la corriente varía bruscamente.

Estos circuitos aparecen cuando por acción de un(os) interruptor(es) quedan conectados en un nodo fuentes de corrientes reales e inductores expresados como fuentes de corrientes equivalentes y circuitos abiertos equivalentes, cuya suma algebraica de corrientes no cumplen la LCK en ese nodo. Pero si en ese mismo nodo existe otro elemento (fuente de voltaje, resistor o capacitor) conectado con otro nodo, por él circulará cualquier diferencia de corriente, evitando la singularidad.

∫∫∫ −

−

∞−∞− +== t

t Lt

Lt

LL0

0 dttvL

1dttv

L

1dttv

L

1ti )()()()(

∫ −+= − t

t L0LL0

dttvL

1titi )()()(

0dttv0

0

t

t L =∫+

− )( )()( −+ = 0L0L titi

)()( 0L ttktv −= δ kdtttk0

0

t

t 0 =−∫+

− )(δ

∫+

− =+= −+ 0

01

11C1C 1C

qdtti

1C

10v0v )()()( ∫

+

−−

=−+= −+ 0

021

212C2C 2C

qqdttiti

2C

10v0v )()()()(

∫+

− =+= −+ 0

02

23C3C 3C

qdtti

3C

10v0v )()()( ∫

+

− =+= −+ 0

02

24C4C 4C

qdtti

4C

10v0v )()()(

02C

qq

1C

qV 211 =

−++− V

2C

1q

2C

1

1C

1q 21 =−

+

04C

q

3C

q

2C

qq 2221 =++

−− 0

4C

1

3C

1

2C

1q

2C

1q 21 =

+++−

++=

++=4C3C

4C2C2C3C4C3Cq

4C

1

3C

1

2C

12Cqq 221 .

....

V2C

1q

2C1C

2C1C

4C3C

4C3C4C2C3C2Cq 22 =−

+

++.

..

...

++++++=

4C3C4C2C4C1C3C2C3C1C

4C3C1C4C2C1C3C2C1CVq1 .....

......

1C

q0v 1

1C =+ )(2C

qq0v 21

2C−

=+ )(3C

q0v 2

3C =+ )(4C

q0v 2

4C =+ )(

++++=

4C3C4C2C4C1C3C2C3C1C

4C3C1CVq2 .....

..

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 55Ejemplo. Para la red mostrada en la figura el interruptor S se cierra en 0t = determine, )0(i 1L

+ e )0(i 2L+ .

en −= 0t se determinan las corrientes de condición final en los inductores:

en += 0t se representa el circuito equivalente: en el circuito se observa que no se cumple la LCK por lo que existe una singularidad en t = 0. Las corrientes en los inductores deben cambiar

bruscamente para que en t = 0+ se cumpla la LCK, la única manera es que aparezcan voltajes infinitos en los inductores. en t = 0:

Como existen voltajes infinitos se plantea la ecuación de la malla: Se observa que los resistores están en serie con los inductores, por lo que sus corrientes están limitadas, los voltajes de los resistores se desprecian frente a los voltajes de los inductores en t = 0. Esto trae como consecuencia que los voltajes infinitos de los inductores se igualen en ese instante de tiempo. En t = 0+ se debe cumplir la LCK en el nodo de los inductores: Las corrientes de los inductores se expresan con la relación volt-ampere en función del voltaje en el intervalo infinitesimal, para determinar los enlaces de flujos que producen estos voltajes. al sustituir en la ecuación de nodo: se despejaψ : al sustituir en )( +0i 1L e )( +0i 2L :

2LIdttv

2L

10idttv

2L

10i0i 2

0

0 1L2L0

0 2L2L2Lψ+=+=+= ∫∫

+

−

+

−−−+ )()()()()(

21 II2L

1

1L

1 −−=

+ψ

( )2L1L

2L1LII 21 +

+−= .ψ

00i0i 2L1L =+ ++ )()(

02L

I1L

I 21 =+++ ψψ

( )2L1L

2LI1LI

2L1L

2LIII0i 21

2111L +−

=+

+−=+ ..)( ( )

2L1L

1LI2LI

2L1L

1LIII0i 12

2122L +−=

++−=+ ..

)(

0vvvv 2L2R1R1L =++−−

11L I)0(i =−22L I)0(i =−

1LIdttv

1L

10i0i 1

0

0 1L1L1Lψ+=+= ∫

+

−−+ )()()(

2L1L vv =

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 56PROCEDIMIENTO GENERAL PARA CÁLCULOS DE LAS CONDICIO NES INICIALES . Los valores iniciales de corriente o voltaje pueden encontrarse en forma directa a partir de un estudio del diagrama esquemático equivalente de la red. Para cada elemento de la red se debe determinar justamente lo que sucederá cuando se produzca un evento. De acuerdo con este análisis se elabora un nuevo diagrama esquemático de una red equivalente para t = t0

+ de conformidad con las siguientes reglas:

1. Determinar los voltajes de los capacitores y las corrientes en los inductores en t = t0+, estas condiciones pueden darse como

dato en el circuito o pueden plantearse como un problema de cálculo de condiciones finales en t = t0- antes del evento. Estos

valores deben conservarse para t = t0+ por la ley de continuidad de voltajes en capacitores y la ley de continuidad de

corriente en inductores. 2. Elaborar el esquema de una red equivalente en t = t0

+ considerando los siguientes puntos: a. Se sustituyen todos los inductores por circuitos abiertos equivalentes si no tienen corriente inicial o por fuentes de

corriente equivalente que tengan el valor de la corriente que fluye en t = t0+.

b. Se sustituyen todos los capacitores por cortocircuitos equivalentes si no tienen voltaje inicial o por fuentes de voltaje equivalentes con el valor del voltaje que tiene el capacitor en t = t0

+. c. Las resistencias se dejan en la red sin cambio alguno. d. Se evalúan las fuentes para t = t0

+ en caso de que no sean fuentes de valor "constante". Ejemplo: v( t ) = 5cost v( t0 ) = 5 cos t0

3. Se verifica la LVK en las mallas donde aparezcan solamente fuentes de voltaje reales y capacitores representadas como

fuentes de voltajes equivalentes o cortocircuitos equivalentes. También se verifican la LCK en los nodos que tengan conectados solamente fuentes de corriente reales e inductores representados como fuentes de corriente equivalentes o circuito abierto equivalentes. Estas situaciones se estudian porque generalmente pueden producir singularidades debido a un evento. En caso de no cumplirse la LVK o la LCK existe una singularidad. Se procede al cálculo de las nuevas condiciones iniciales de las variables que no cumplen con la LVK o la LCK. Esto se realiza de la forma siguiente:

a. En las mallas donde no se cumplió la LVK se estudia la variación brusca de los voltajes en los capacitores por corrientes infinitas en t = t0. En este punto solo se obtienen la relación entre las corrientes infinitas en los capacitores.

b. En los nodos donde no se cumplió la LCK se estudia la variación brusca de las corrientes en los inductores por voltajes infinitos en t = t0. Aquí se obtienen la relación entre los voltajes infinitos en los inductores.

c. En t = t0+ se determina las condiciones iniciales en los elementos almacenadores en función de la carga depositada por

las corrientes infinitas en los capacitores o los enlaces de flujo que aparecen por los voltajes infinitos en los inductores.

d. Se sustituyen estas nuevas condiciones iniciales en las ecuaciones de mallas o de nodos en t = t0+ donde deben

cumplirse la LVK o la LCK. Aquí se determinan los valores de carga o enlaces de flujo. e. Se evalúan las condiciones iniciales con los valores de carga o enlaces obtenidos. f. Se plantea una nueva red equivalente en t = t0

+ con las nuevas condiciones iniciales. 4. Determinar corrientes y voltajes de los elementos del circuito (voltajes en inductores, corrientes en capacitores, voltajes y

corrientes en resistores) a través de la LVK en las mallas, la LCK en los nodos y las relaciones volt-ampere en los resistores (el circuito en t = t0

+ se representa como un circuito resistivo equivalente). 5. En caso de necesitarse las primeras derivadas, se procede de la siguiente forma:

a. Determinar la primera derivada de las corrientes de los inductores por su relación volt-ampere.

b. Determinar las primeras derivadas de los voltajes de los capacitores por su relación volt-ampere.

c. Se determinan las primeras derivadas de las fuentes, cuyas expresiones en el tiempo ya se conocen. d. Las ecuaciones de mallas, nodos y relaciones volt-ampere válidas para todo tiempo que fueron utilizadas para hallar los

voltajes y corrientes del circuito en t = t0+ se derivan.

e. Las ecuaciones derivadas se evalúan en t = t0+ para determinar las condiciones iniciales de primeras derivadas de

voltajes y corrientes del circuito. f. Si se necesitan condiciones iniciales de segundas derivadas, se hace el mismo procedimiento, derivando todas las

ecuaciones de relación volt-ampere en inductores y capacitores y las demás ecuaciones usadas una vez más, evaluando luego en t = t0

+.

C

qtvdtti

C

1tvtv 0

t

t CC0C0C0

0

+=+= −−+∫

+

− )()()()(L

tidttvL

1titi 0L

t

t L0L0L0

0

Ψ+=+= −−+∫

+

− )()()()(

dt

diLv L

L =L

tv

dt

di 0Lt

L

0

)( +

=+

dt

dvCi C

C =C

ti

dt

dv 0Ct

C

0

)( +

=+

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 57Ejemplo. Para la red mostrada en la figura el interruptor S se cierra en t = 0 determinar iC(0+) y dvL(0

+)/dt. Se determina el esquema del circuito equivalente para condiciones finales con fuentes contantes en t = 0-. Red en t = 0-: en el capacitor, ya que no está conectado, no ha circulado corriente y por tanto no se ha depositado carga en sus placas, su voltaje es cero: en el inductor, para determinar su corriente se aplica un divisor de corriente resistivo, porque las resistencias están en paralelo en el circuito equivalente. Para determinar lo que sucede en t = 0, se procede a realizar el esquema del circuito equivalente en t = 0+. Red equivalente en t = 0+: en el circuito equivalente puede notarse que se cumple la LVK y la LCK, por lo que no existen singularidades y se mantienen las condiciones de borde o condiciones iniciales. queda un circuito resistivo equivalente donde pueden determinarse las corrientes y voltajes de los elementos. Al aplicar LVK en la malla de C, R1 y V: al evaluar en t = 0+: Por la relación volt-ampere en R1se determina su corriente: al plantear la LCK en el nodo de "a": al evaluar en t = 0+: al plantear la LCK en el nodo "b": al evaluar en t = 0+: Por relación volt-ampere en R2 se determina su voltaje: al aplicar la LVK en la malla de R2, L y R1: al evaluar en t = 0+: ya se tienen las condiciones iniciales de los voltajes y las corrientes de todos los elementos.

V00vC =− )(

A1022

220

2R1R

2RI0iL =

+=

+=− ..

)(

V00v0v CC == −+ )()( A100i0i LL == −+ )()(

)()( tvVtv C1R +=

V100100ve100v C02

1R =+=+= +−+ +)(.)( .

A52

10

1R

0v0i 1R

1R ===+

+ )()(

)()()()()()( titititititi 1RLC1RCL −=⇒+=

A55100i0i0i 1RLC =−=−= +++ )()()(

)()()()( tiItititiI L2R2RL −=⇒+=

A1010200i200i L2R =−=−= ++ )()(

V201020i2R0v 2R2R === ++ .)(.)(

)()()()()()( tvtvtvtvtvtv 1R2RL1RL2R −=⇒+=

V1010200v0v0v 1R2RL =−=−= +++ )()()(

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 58Para buscar las condiciones iniciales de primeras derivadas en los elementos almacenadores, se usan sus relaciones volt-ampere: ahora, se utilizan las mismas ecuaciones y relaciones volt-ampere derivadas, en el mismo orden en que se usaron, se buscan las demás condiciones iniciales de primeras derivadas. se deriva la ecuación de malla de C, R1 y V: donde: se evalúa en t = 0 +: se deriva la relación volt-ampere en R1: al evaluar en t = 0+: se deriva la ecuación de LCK del nodo "a": se evalúa en t = 0+: se deriva la ecuación de LCK del nodo "b": se evalúa en t = 0+: se deriva la relación volt-ampere en R2: se evalúa en t = 0+: se deriva la ecuación de malla de R2, L y R1: se evalúa en t = 0+: De esta manera se obtienen las condiciones iniciales de primeras derivadas del circuito. En cualquier circuito, si se necesitan las condiciones iniciales de segundas derivadas, ya obtenidas las condiciones iniciales de primeras derivadas, se procede de idéntica forma, comenzando por las relaciones volt-ampere de los elementos almacenadores, esta vez derivándolas y con las demás ecuaciones derivadas dos veces. INTERPRETACIÓN DE LAS DERIVADAS : El valor de las derivadas de las corrientes y los voltajes, además de ser importantes para evaluar las respuestas particulares, nos permiten conocer el comportamiento de la respuesta de un circuito sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales al aplicarse un análisis matemático a las derivadas. La derivada (o primera derivada de una función) representa la pendiente de la función en todo instante de tiempo, y al evaluarse en la condición inicial, su valor indica si la función crece (pendiente positiva) o decrece (pendiente negativa). La segunda derivada indica la forma de la curva como crece o decrece la función. Si su valor es positivo, la función es de forma cóncava en ese instante, y si su valor es negativo, la función es de forma convexa en ese instante. Observaciones: En los circuitos en donde aparecen voltajes o corrientes impulsivas, se irradia energía a la atmósfera en forma de ondas de radiofrecuencia que generan

interferencias o ruidos en equipos cercanos de radiocomunicaciones. Ejemplo de esto es que cuando cae un rayo o se interrumpe la corriente de un motor se escucha

interferencia o ruido en los radios receptores AM que estén cercanos. Los motores eléctricos como los que tienen las licuadoras, los taladros, etc, tienen en su rotor un

colector deslizante y entre las escobillas que alimentan a este rotor y su colector se producen sobretensiones (picos elevados de voltajes de manera instantánea)

ocasionándose chispas en el colector deslizante. Esto se produce por la interrupción brusca de corriente en las bobinas del rotor. En los interruptores residenciales

también se producen chispas cuando se desconecta un equipo electrodoméstico, lámpara o equipo electrónico debido a que tienen asociados bobinas que al interrumpirse su

flujo de corriente de manera brusca, produce una sobretensión que se refleja en la chispa del interruptor.

s

A10

1

10

L

0v

dt

di L0

L ===+

+)(

s

V10

21

5

C

0i

dt

dv C0

C ===+

+/

)(

dt

tdvV

dt

tdvtvVtv C1R

C1R)(

')(

)()( +=⇒+=

t2e20V ..' −−=

s

V101020

dt

dve20

dt

dv0

C020

1R −=+−=+−= +

+

+− ..

dt

tdv

1R

1

dt

tdi

1R

tvti 1R1R1R

1R)()()(

)( =⇒=

s

V5

2

10

dt

di

dt

dv

1R

1

dt

di0

1R0

1R0

1R −=−=⇒= +++

dt

tdi

dt

tdi

dt

tditititi 1RLC

1RLC)()()(

)()()( −=⇒−=

s

A15510

dt

di

dt

di

dt

di0

1R0

L0

C =−−=−= +++ )(

dt

tdiI

dt

tditiIti L2R

L2R)(

')(

)()( −=⇒−=

s

A10100

dt

di20

dt

di0

L0

2R −=−=−= ++ )'(

dt

tdi2R

dt

tdvti2Rtv 2R2R

2R2R)()(

)(.)( =⇒=

s

V20102

dt

di2R

dt

dv0

2R0

2R −=−== ++ ).(

dt

tdv

dt

tdv

dt

tdvtvtvtv 1R2RL

1R2RL)()()(

)()()( −=⇒−=

s

V101020

dt

dv

dt

dv

dt

dv0

1R0

2R0

L −=−−−=−= +++ )(

dt

0dv

L

1

dt

id L02

L2 )( +

=+dt

0di

C

1

dt

vd C02

C2 )( +

=+

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 59Ejemplo. En el siguiente circuito se requiere conocer el comportamiento que tendrá la corriente i(t) en t = 0+ a partir del instante en que se cierra el interruptor S. En este circuito es obvio que en el instante inicial no puede existir corriente circulante a través de la inductancia L. El interruptor se cierra en el instante t=0, y la ecuación del circuito es: Al despejar la derivada de la corriente: esta ecuación representa la derivada de la curva de corriente en cualquier instante de tiempo. Valores iniciales: En el instante t = 0+, el circuito equivalente es: al evaluar en t = 0+: como i(0+) = 0A Como V es positiva, la curva de la corriente empieza en cero para t = 0 y crece con pendiente positiva. Para saber la curvatura se deriva la ecuación de primera derivada: al evaluar en t=0+ se tiene: Lo que nos indica que la curva es cóncava hacia abajo (convexa). Ejemplo. Calcular d2vC(0+)/dt2 y d2iL(0

+)/dt2. Cálculo de las condiciones finales con el circuito equivalente en t = 0-: se calculan las condiciones finales en los elementos almacenadores de energía:

Vdt

diLRi =+

[ ])()(

tRiVL

1

dt

tdi −=

[ ])()( +

+−= 0RiV

L

1

dt

0di

)()(

RiVL

1

dt

tdi −=dt

di

L

R

dt

id2

2

−=

20t2

2

L

RV

dt

id −=+=0

L

RV2

<−

V551

6.5

2R1R

)0(v.2R)0(vC =

+=

+=

−− A1

51

6

2R1R

)0(v)0(iL =

+=

+=

−−

L

V

dt

di0

=+

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 60Circuito equivalente para t = 0+: se mantienen las condiciones iniciales porque se cumplen las leyes de Kirchhoff y no existe singularidad: con las relaciones volt-ampere en los resistores: la ecuación de malla de v( t), R1, L y C, se determina vL( 0

+): en la ecuación de nodo se determina iC( 0+): Una vez determinadas las condiciones iniciales de los voltajes y corrientes en todos los elementos, se comienzan a determinar las primeras derivadas con las relaciones volt-ampere de los elementos almacenadores. Las siguientes condiciones iniciales de primera derivada se determinan usando las relaciones volt-ampere y ecuaciones de mallas y nodos usadas anteriormente siguiendo el mismo orden, derivando las ecuaciones una vez. Relaciones volt-ampere en los resistores: ecuación de malla: ecuación de nodo: En cualquier circuito, si se necesitan las condiciones iniciales de segundas derivadas, ya obtenidas las condiciones iniciales de primeras derivadas, se procede de idéntica forma, comenzando por las relaciones volt-ampere de los elementos almacenadores, esta vez derivándolas y con las demás ecuaciones derivadas dos veces.

A1)0(i)0(i LL == −+ V5)0(v)0(v CC == −+

)t(i.1R)t(v L1R = V11.1)0(i.1R)0(v L1R === ++2R

)t(v)t(i C

2R = A15

5

2R

)0(v)0(i C

2R ===+

+

0)t(v)t(v)t(v)t(v CL1R =+++−

)t(v)t(v)t(v)t(v C1RL −−= )0(v)0(v)0(v)0(v C1RL++++ −−= V65112)0(vL =−−=+

)t(i)t(i)t(i 2RCL += )t(i)t(i)t(i 2RLC −= )0(i)0(i)0(i 2RLC+++ −= A011)0(iC =−=+

C

)t(i

dt

)t(dv CC =s

V0

3

0

C

)0(i

dt

dv C0

C ===+

+ L

)t(v

dt

)t(di LL =s

A3

2

6

L

)0(v

dt

di L0

L ===+

+

dt

)t(di1R

dt

)t(dv)t(i.1R)t(v L1R

L1R =⇒=s

V33.1

dt

di1R

dt

dv0

L0

1R === ++

dt

)t(dv

2R

1

dt

)t(di

2R

)t(v)t(i C2RC

2R =⇒=s

A0

5

0

dt

dv

2R

1

dt

di0

C0

2R === ++

)t(v)t(v)t(v)t(v C1RL −−=dt

)t(dv

dt

)t(dv

dt

)t(dv

dt

)t(dv C1RL −−=

+++ −−=+

0C

01R

0L

dt

dv

dt

dv

dt

)0(dv

dt

dvs

V3030

dt

dv0

L −=−−=+

dt

)t(di

dt

)t(di

dt

)t(di)t(i)t(i)t(i 2RLC

2RLC −=⇒−=s

A303

dt

di

dt

di

dt

di0

2R0

L0

C =−=−= +++

20C

02C

2C

2C

2

s

V1

dt

di

C

1

dt

vd

dt

)t(di

C

1

dt

)t(vd ==⇒= ++

20L

02L

2L

2L

2

s

A

2

3

dt

dv

L

1

dt

id

dt

)t(dv

L

1

dt

)t(id −==⇒= ++