ALGEBRA LINEAL

DEBER # 5

CAMBIO DE BASES, ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES

1. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas y los conjuntos: 12 ,e,xsenS x , xcos,exxseneT xx 2cos, 22 dos bases ordenadas de V .

a) Hallar la matriz de transicin de S a T .

b) Hallar la matriz de transicin de a T a S .

2. Sean 1B y 2B dos bases de 2P , donde: 131 21 xx,x,xB y xx,x,xB 22 123 a) Encuentre la matriz de transicin de 1B a 2B .

b) Si las coordenadas del vector xp en 2P en la base 1B son: 121 ,, escriba las coordenadas de xp en la base 2B .

3. Sea 43211 v,v,v,vB y 43212 u,u,u,uB dos bases cualesquiera del espacio vectorial V tales

que: 4321443212

432134211

233463

324253

vvvvuvvvvu

vvvvuvvvu

Si las coordenadas del vector x con respecto a la base 1B son (1, 0, 1, 1), encuentre las

coordenadas de x5 con respecto a la base 2B .

4. Sean 211 u,uB y x,xB 2212 bases de 1P y sea

23

12A la matriz de transicin de

1B a 2B , entonces:

a) Encuentre la matriz de transicin de 2B a 1B .

b) Encuentre la base de 1B .

5. Sea V un espacio vectorial de dimensin 4. Considere la dos bases de V dadas por:

43211 v,v,v,v y 43324212 2vv,vv,v,vv

a) Determine la matriz P de cambio de base de 1 en 2

b) Si 11111

,,,x y 12342 ,,,y encontrar 132 yx c) Determine el espacio rengln de la matriz P y su ncleo

6. Sean 3211 v,v,v y 3212 u,u,u dos bases del espacio sen ,cos ,V x x xL y dado que

322211 vvu,vvu y 133 vvu , determine:

a) La matriz de cambio de base de 1 en 2 .

b) Si 1010011112222

,,xcosxsen,,,xsenx,,,x determine los vectores de la

base 1 .

7. Sea 2PV y 1PW . Se tiene una base B de W y se conoce que 1123 ,x B y

115 ,x B . Determine: a) Los vectores de la base B . b) Una base B * de V que contenga a la base B . c) La matriz A de cambio de base desde B * a la cannica de 2P .

d) El rango de la matriz IA 2 .

8. Sean 3211 v,v,v y 3212 u,u,u dos bases del espacio funcional V y sean

0111

,,xsen ; 0101 ,,xsenx ; 3333 2 ,,xe x y

001

021

321

12 C

a) Determine los vectores de cada base

b) Halle las coordenadas de xexxsen)x(f 52 con respecto a la base 2

9. Dada la matriz

171555

6844

5333

3211

A . Determine:

a) Una base para el recorrido de A (imagen de A ) y el A . b) Una base para el ncleo de A y la A . c) Una base para el espacio rengln de A (espacio fila).

10. Encuentre el rango y la nulidad de la matriz dada:

a)

462

231 c)

600

000

003

d)

6

3

3

601

410

211

d)

9633

6422

6422

3211

11. Demuestre que para cualquier matriz tAA,A . 12. Suponga que cualesquiera K renglones de una matriz A son linealmente independientes mientras

que cualesquiera 1K renglones de A son linealmente dependientes. Demuestre que KA . 13. El sistema bAx tiene al menos una solucin s y slo s AECb (espacio generado por las

columnas de A . Con base en esta afirmacin determinar si el sistema dado tiene alguna solucin:

a)

2036

454

7

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

035

14

8223

22

431

432

431

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

14. Dada la matriz

815

413

211

A . Halle:

a) Una base para la imagen de A y A . b) ANuECA c) ANuELA 15. Sea nv,,v,v 211 y nw,w,w 212 base para un espacio vectorial V , entonces el rango

de la matriz de transicin12

Q es igual a n .

16. Si A es una matriz de nn , demuestre que nA s y slo s existe un vector nRx tal que 0x y 0Ax .

17. Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demustrela y en caso de ser falsa d un contraejemplo.

a) Sea 4221 v,v,v,v una base ordenada del espacio vectorial V. Sean x , w vectores de V tales que 3021 ,,,x y 1201 ,,,w entonces w,x es linealmente independiente.

b) Sea

121

121

211

A y

p

n

m

B

121

121

211

donde m, n , p son nmeros reales

cualesquiera entonces )B()A( y )B()A(