5-ARITMETICA 2do (1 - 16)

CORPORACIN EDUCATIVA

Form

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una a

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tica e

duca

cin i

nteg

ral Primero de SecundariaSchools

Aritmtica

Segundo

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los

mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr

alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da

tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

Captulo 1. Razones y Proporciones .................................................... 9

Captulo 2. Promedios ............................................................................ 16

Captulo 3. Reparto Proporcional ......................................................... 23

Captulo 4. Regla de Tres Simple ......................................................... 30

Captulo 5. Regla del Tanto por Ciento ............................................... 37

Captulo 6. Regla de Mezcla .................................................................. 45

Captulo 7. Teora de Conjuntos I ........................................................ 52

Captulo 8. Teora de Conjuntos II ...................................................... 61

Captulo 9. Numeracin ......................................................................... 69

Captulo 10. Cuatro Operaciones I: Adicin y Sustraccin ................ 77

Captulo 11. Cuatro Operaciones II: Multiplicacin y Divisin ........ 86

Captulo 12. Divisibilidad: Principios y Criterios ................................ 95

Captulo 13. Nmeros Primos ................................................................ 105

Captulo 14. MCD y MCM ..................................................................... 112

Captulo 15. Fracciones ........................................................................... 120

Captulo 16. Nmeros Decimales ........................................................... 126

9Aritmtica - 2do Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Razones y Proporciones

Razn

Es la comparacin de 2 cantidades mediante una operacin aritmtica (sustraccin - divisin).

1. Razn aritmtica:

Calcula la razn aritmtica entre hombres y mujeres, si los hombres son 20 y las mujeres 15.

En una habitacin existen 20 personas, adems 12 vasos. Calcula la razn aritmtica entre el nmero de personas y el nmero de vasos.

Clases de Razones

Ejemplo:

razn aritmticaconsecuenteantecedente

20 - 15 = 5

20 - 12 = 8

2. Razn geomtrica o relacin:

Es la comparacin de dos cantidades mediante la divisin.

En un grupo de personas existen 20 hombres y 10 mujeres. Calcula la razn geomtrica entre hombres y mujeres.

En un estante de una tienda hay 12 libros y 10 platos. Establecer la relacin de libros y platos existentes.

Se dice:Es el doble o estn en relacin de 2 a 1.

2010

21

2= =

consecuente

antecedente razn geomtrica

Se dice: o bien de 6 a 565

1210

65

=

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Es la comparacin de dos cantidades mediante la sustraccin.

10 Formando lderes con una autntica educacin integral

Aritmtica - 2do Sec.

Proporcin aritmtica continuaEs aquella proporcin aritmtica en la cual los trminos medios son iguales.

315

15=

420

15=

315

420=

AB

CD=

Ejemplo :

35 - 6 79 - 50}35 - 6 = 79 - 50

Donde: "a" y "d" son los trminos extremos. "b" y "c" son los trminos medios.

a - b = c - d

Donde:"d" es la cuarta diferencial de "a", "b" y "c".

a - b = b - c

Donde:"b" es la media diferencial de "a" y "c". "c" es la tercera diferencial de "a" y "b".

Se cumple: b = a + c

2

Ejemplo :

Donde:

"A" y "D" son los trminos extremos."B" y "C" son los trminos medios.

En general:pRopoRCin

Es la igualdad de dos razones aritmticas o dos razones geomtricas que tienen el mismo valor.

Clases de pRopoRCiones

pRopoRCin aRitmtiCa

Cuando se igualan dos razones aritmticas de igual valor.

En general:

Clases de proporciones aritmticas

Proporcin aritmtica discreta.Es aquella proporcin aritmtica en la cual los trminos medios son diferentes.

a - b = c - db c

pRopoRCin geomtRiCa

Cuando se igualan dos razones geomtricas de igual valor.

AB

BC=

AB

CD=

B C

Clases de pRopoRCines geomtRiCas

Donde:"B" es la media proporcional de "A" y "C". "C" es la tercera proporcional de "A" y "B".

Proporcin geomtrica discreta:Es aquella en la cual los trminos medios son diferentes.

Donde:"D" es la cuarta proporcional de "A", "B" y "C".

Proporcin geomtrica continua:Es aquella en la cual los trminos medios son iguales.

Dos nmeros son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.

El menor par de nmeros amigos es el formado por el 220 y 284:

Suma de los divisores de 220:1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 44 + 55 + 110

= 284

Suma de los divisores de 284:1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Euler public en 1750 una lista de sesenta pares y cu-riosamente olvid el segundo par en orden creciente: 1184 y 1210 que fue descubierto por Paganini en 1866 a los 16 aos de edad.

Otros nmeros amigos son: (6 232 y 6 368), (2 620 y 2 924), (18 416 y 17 296), (943 7056 y 936 3284), etc.

Nmeros Amigos

11



Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1) La razn aritmtica de las cantidades de dinero que Jorge y Carmen tienen es S/.240. Si la razn geomtrica es 8/13, cunto dinero tiene Carmen?

1) La razn aritmtica de las edades de Tulio y Ri-chard es 20 y su razn geomtrica es 4/9. Halla la edad de Tulio.

2) Si: , donde 2m + 3n = 111,

calcula m + n

mn

59=

2) Se sabe que ,

Adems 2A + 5B = 258, halla A

AB

47=

3) Si:

y a . b + c . d = 192,

calcula a + b + c + d.

a3

b4= =

c12=

d3

a25

b15= =

c20 =

d35 3) Si y

(a + b) (c + d) = 352, calcula a.b + c.d

4) Enunafiestaporcada5hombreshay2mujeres.Sientotal asistieron 91 personas, cuntos son hombres?

4) En cierta reunin por cada 2 hombres hay 3 muje-res. Si en total son 60 personas, cuntas son mu-jeres?

5) Dos nmeros son entre s como 7 es a 4. Si su razn aritmtica es 21, calcula su razn geomtrica si el 1. aumenta 1 y el 2. disminuye 8.

5) La razn geomtrica de 2 nmeros es 9 a 13 y su razn aritmtica es 20. Calcula la razn geomtrica de ambos si el primero aumenta 15 y el segundo disminuye 5.

6) Aunafiestaasisten320personasentrehombresymujeres. Siendo el nmero de hombres como 3 y el nmero de mujeres como 13. Calcula la relacin de hombres y mujeres si se retiran 20 hombres y 60 mujeres.

6) En una reunin participan 84 personas entre hom-bres y mujeres. Si por cada 5 hombres hay 7 mujeres, calcula la nueva relacin si se retiran 13 parejas.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Si , calcula

a) 2:3 b) 3:2 c) 3:4 d) 4:3 e) 1:3

Si calcula

a) 5:7 b) 12:13 c) 7:13 d) 17:7 e) 13:5

3 nmeros estn en la razn de los nmeros 20; 30 y 60. Si suman 132, calcula el mayor.

a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 72

71

x+yx-y =

yx

a+ba-c

= 125

ac

3 nmeros estn en la razn de 12; 15 y 24. Si suman 85, calcula el intermedio.

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

13



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

En una proporcin geomtrica continua, los trmi-nos extremos estn en la relacin de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional.

a) 30 b) 60 c) 45 d) 10 e) 50

En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional.

a) 30 b) 36 c) 32 d) 38 e) 34

En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Halla la media proporcional.

a) 20 b) 27 c) 25 d) 36 e) 21

En una proporcin geomtrica continua, los tr-minos extremos estn en la misma relacin que 4 y 25, adems su suma es 116. Cul es la media proporcional?

a) 40 b) 60 c) 45 d) 80 e) 50

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Halla la cuarta proporcional de a2, y b2.

a) b) b2 c)

d) a2b e) a2

ab

ab

ba

Halla la cuarta proporcional de: a, a.b y b. a) b b) a2 c) 2b d) a.b e) b2

En una proporcin geomtrica, los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Halla el producto de los medios.

a) 1300 b) 1420 c) 1200 d) 1500 e) 1350

En una proporcin geomtrica la suma de medios es 54 y su diferencia es 12. Calcula el producto de extremos.

a) 693 b) 720 c) 672 d) 796 e) 684

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

La media geomtrica de dos nmeros es 15. Si la proporcin continua que se forma tiene por razn 3/5. La diferencia de sus extremos es:

a) 13 b) 25 c) 15 d) 9 e) 16

El producto de los cuatro trminos de una propor-cin geomtrica continua es 20736. Halla la media proporcional.

a) 12 b) 18 c) 16 d) 8 e) 20

El producto de los cuatro trminos de una proporcin es 3600. Si el primero de stos es 4, halla el cuarto trmino.

a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 20

En una proporcin geomtrica, continua cuya razn es 2/3, la media proporcional es 24. Calcula la suma de los consecuentes.

a) 60 b) 20 c) 65 d) 80 e) 75

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Captulo

2Promedios

1. pRomedio aRitmtiCo

Juan, alumno de 2. de secundaria, ensea su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron:

Aritmtica 18lgebra 10Geometra 08 Promedio : 13Fsica 13Raz. Matemtico 16

Nota

En ese momento, llega el pap de Juan y le pregunta: Bien, hijo... y? Con cunto pasas a 3.? y Juan responde: Con 18 papi. Pedro le queda mirando y le dice: Oye, no!, dile el promedio. Ah... s, lo olvid. Con 13, papi.

Bien, as es, de un grupo de notas existe uno llamado promedio que les representa. Pero esta semana aprenders que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmtico, geomtrico y armnico. Lo obtenido en las notas es un promedio aritmtico.

LLamado tambin Media Aritmtica (MA) o simplemente promedio.

Dados cuatro nmeros: 4; 13; 12; 17, la media aritmtica es:

4 + 13 + 12 + 174MA = = 11,5

a1 + a2 + a3 + ... +ann

Para : a1, a2, a3, ..., an

MA =

Llamado tambin Media Geomtrica (MG).Dados tres nmeros: 12 ; 3/8 ; 6

38

3MG = 12 x x 6 = 27 = 3

3

Para : a1, a2, a3, ..., an

MG = a1. a2 . a3 . ... . ann

Llamado tambin Media Armnica (MH).Dados cuatro nmeros: 2 ; 5 ; 2/3 ; 1

MH =

MH = 1,25

Si todos los nmeros son iguales, entonces: MA=MG=MH = mismo nmero. Si todos los nmeros son distintos, entonces: a)Nmero

17



1. Halla la media geomtrica de 8; 9 y 24.

La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variable:

Fecha N. de Temperatura das media

1 al 5 5 16C6 al 20 15 17C21 al 30 10 22C

20 x17+30x12+50x1020 + 30 + 50 = 12

El nota promedio de las tres aulas es:

17 + 12 + 103

No!

NotaAula N. Alumnos Promedio

A 20 17

B 30 12

C 50 10

La temperatura media en todo el mes fue:

5x16+15x17+10x225 + 15 + 10

= 18,5C

8.9.243

3 43. 33

12

2. Halla la media aritmtica de 5,10 y 15.

5+10+153

303 = 10=

3. La M.A. de 2 nmeros es 21 y su razn aritmtica es 14. Halla el nmero mayor.

a+b=42a-b=142a=56a=28b=14

a+b2

21=

a = 28

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

4. El promedio de las edades de 5 personas es 48. Si ninguna de ellas es mayor de 50 aos, cual es la mnima edad de una de ellas?

50+50+50+50+x5

= 48

x = 40

Resolucin:

5. Calcula el promedio geomtrico de 3 y 27.

Resolucin:

3.27 81 = 9= MG=

MG = 9

4. pRomedio de gRupos

5. paRa dos nmeRos a y b

(a) MA= MG = ab MH =

(b) MG2 = MA . MH

a + b2

2 a ba + b

Se calcula as:

Cmo se calcula el cuadrado de un nmero utilizando promedios?

Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotmicos. As se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del ro ufrates. De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvan la multiplicacin sin recurrir al baco, tan usado en esa poca. Para solucionarla empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio:

"El producto de dos nmeros es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia".Vamos a comprobarlo con 5 y 3. El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16. La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1. Entonces: 5 x 3 = 16 - 1





2) Calcula los 3 promedios de 1; 1/2; 1/3; 1/4; ..., 1/10 e indica el menor.

1) Calcula el promedio aritmtico, geomtrico y armnico de 12 y 3.

2) Calcula los 3 promedios de 1; 1/2; 1/3; 1/4; ...; 1/20 e indica el menor.

3) El promedio de notas de 27 alumnos es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta un punto en su examen, cul ser el nuevo promedio?

5) Las notas de cuatro prcticas de un mismo alumno son 12; 14; 16; 17 cul debe ser su nota en la quinta prctica para que su promedio sea 15?

6) El promedio de las notas de un alumno en sus tres primeras prcticas es exactamente 12. Si en la cuarta prctica obtiene 08, cul ser el nuevo promedio?

5) Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prcticas de aritmtica: 11; 13; 10 y 12. Cul debe ser su nota en la quinta prctica, para que su promedio sea 13?

6) Marco calcula el promedio de sus 5 primeras prcticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prcticas obtuvo 14 y 16, cul es su promedio ahora?

4) El promedio aritmtico de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmtico de 12 y 20, halla (a+c).

1) Calcula la media aritmtica, geomtrica y armnica de 20 y 5.

3) El promedio aritmtico de 30 nmeros es 14. Si a todos los nmeros se les aumenta 2 unidades; cul ser el nuevo promedio?

4) El promedio aritmtico de a; b y c es 15. Si "b" es el promedio de 18 y 16; hallar "a + c"

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

19



PROBLEMAS PARA CLASE N 2

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


El promedio de las edades de 6 personas es 26. Si se retiran 2 de ellas, el promedio de los que que-dan es 23 aos. Cul es la suma de las edades de las personas que se retiraron?

a) 72 aos b) 84 aos c) 76 aos d) 92 aos e) 64 aos

Si el promedio aritmtico de 20 nmeros es 11 y dos de ellos suman 40, cul es el promedio de los otros 18 nmeros?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 9

El promedio de las edades de 5 personas es 11,4. Si una de ellas tiene 13 aos, cul es el prome-dio de las restantes?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 19

El promedio aritmtico de 13 nmeros es 18. Si 3 de ellos suman 34, cul es el promedio de los dems?

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Halla x si el promedio geomtrico de 2x; 22x y 8x es 1024.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

El promedio geomtrico de 3; 9; 27; ... 3n es 243. Halla n.

a) 9 b) 10 c) 8

d) 11 e) 12

En una clase de 40 alumnos, la estatura prome-dio de los hombres, que son 25, es 1,68 cm y el promedio de las mujeres es 1,62m. Cul es el promedio de la clase?

a) 1,63m b) 1,66m c) 1,64m d) 1,67m e) 1,65m

El promedio de 30 alumnos de la clase A es 16; de la clase B, que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase C, que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases.

a) 13,2 b) 13,4 c) 13,6 d) 14,2 e) 14,6

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

21



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

En una partida de pker se encuentran 5 personas cuyo promedio de edades es 32 aos. Si ninguno tiene menos de 24 aos, cul es la mxima edad que puede tener uno de ellos?

a) 38 aos b) 64 aos c) 48 aos d) 66 aos e) 56 aos

Un ciclista va de Lima a Chorrillos con una velocidad de 60 km/h y regresa a razn de 40 km/h. Halla la velocidad promedio del recorrido.

a) 45 km/h b) 52 km/h c) 48 km/h d) 50 km/h e) N.A.

El promedio de las notas de un grupo de 6 alum-nos es 78. Si ninguno de ellos obtuvo menos de 74, cul es la mxima nota que pudo obtener uno de ellos?

a) 90 b) 92 c) 94

d) 98 e) 88

En la ltima competencia de Caminos del Inca, la velocidad promedio de Lima a Cusco fue de 120 km/h y de Cusco a Lima de 130 km/h. Cul fue la velocidad promedio para todo el recorrido?

a) 124,2 km/h b) 126 km/h c) 124,8 km/h d) 125 km/h e) N.A.

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

La media geomtrica de 3 nmeros enteros positi-vos distintos es 7. Calcula su media aritm tica.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

La media geomtrica de 4 nmeros diferentes es 3 3. Halla el promedio aritmtico de los cuatro nmeros.

a) 11 b) 12 c)10

d) 8 e) 14

Si la media aritmtica de 2 nmeros es 10 y la media geomtrica es 5, calcula su media armnica.

a) 1 b) 0,5 c) 2,5

d) 1,5 e) 2

La media geomtrica y la media armnica de 2 nmeros son 2 y 4. Calcula su media aritmtica.

a) 1 b) 4,5 c) 3,5

d) 4 e) 8

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

23



Captulo

3Reparto Proporcional

Ejemplo :

Ejemplo:

750ABC

753

Partes DPA = 7KB = 5KC = 3K

15K = 750K = 750

15

K = 50

Luego las partes son:A = 7(50) = 350B = 5(50) = 250C = 3(50) = 150

Consiste en repartir una cantidad en varias partes que sean proporcionales a otros varios nmeros dados (ndices del reparto).

Clases de Reparto proporcional

1. RepaRto pRopoRCional simple diReCto

2. RepaRto pRopoRCional inVeRso

Resolucin:

Reparte 260 en partes que sean I.P. a los nmeros 2, 3 y 4.

260

A

B

C

2

3

4

Partes IP DP.12 = 6

.12 = 4

121314

.12 = 3

A = 6KB = 4KC = 3K

13K = 260K = 260

13K = 20

Luego las partes son: A = 6(20) = 120 B = 4(20) = 80 C = 3(20) = 60

Reparto Compuesto

Resolucin:

Consiste en repartir un nmero en forma directamente proporcional (D.P.) a ciertos nmeros.

Reparte 750 en forma D.P. a los nmeros 7, 5 y 3

Consiste en repartir un nmero en forma inversamente proporcional (I.P.) a ciertos nmeros. Este reparto I.P. es equivalente a realizarlo en forma D.P. pero a las inversas de los nmeros dados.

En este caso, se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos nmeros y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:

1. Se convierte la relacin I.P. a D.P. (invirtiendo los ndices).2. Se multiplica los ndices de las dos relaciones D.P.3. Se efecta un reparto simple directo con los nuevos

ndices.



2225

A

B

C

3

5

8

Partes DP IP4

6

9

DP1/4

1/6

1/9

Resolucin:

A: 3.DP MCM (4-6-9) = 3614

= 34

36 = 27K +

B: 5. 16

= 56

36 = 30K

C: 8. 19

= 89

36 = 32K89K = 2225

K = 2225 89 = 25

Luego las partes son:A = 27(25) = 675B = 30(25) = 750C = 32(25) = 800

Euler naci en Basilea, Suiza. Su padre, un pastor, quera que su hijo siguiera sus pasos y lo envi a la Universidad de Basilea para prepararle como ministro. Por intercesin de Bernoulli, Euler obtuvo el consentimiento de su padre en cambiarse de ministro a matemtico. Despus de fallar en obtener una posicin en Fsica en Basel en 1726, se uni a la Academia de Ciencias de St. Petersburg en 1727. Cuando se detuvo sus fondos de la academia, sirvi como un lugarteniente mdico en la armada rusa de 1727 a 1730. Su reputacin creci despus de la publicacin de muchos artculos y su libro Mecnica (1736-1737). En 1766, Euler volvi a Rusia, en donde lleg a estar casi ciego despus de una operacin de cataratas, pero an as pudo continuar con su investigacin y escritura. Tena una memoria prodigiosa y poda dictar tratados en ptica, lgebra y movimiento lunar. A su muerte en 1783, dej trazados una vasta cantidad de artculos. La Academia de St. Petersburg continu publicndolos por casi 50 aos ms.

Leonhard Euler Reparte 2225 en 3 partes que sean D.P. a los nmeros 3, 5 y 8 e I.P. a los nmeros 4, 6 y 9

Ejemplo 1:

3

9

4

6

x 3 = 4 4 x 108 = 432

x 3 = 2 2 x 108 = 216

13

19

43

23

648

multiplicamos

D.P. I.P. D.P. D.P.

6486

k= =108

Ejemplo 2:

Reparte 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

25





2) Reparte 962 I.P. a 3, 5 y 12. Indica la suma de cifras de la parte menor.

1) Reparte S/.1105 en forma D.P. a los nmeros 7, 4 y 6. Indica la parte menor.

2) Divide 867 en partes I.P. a 3, 4 y 8. Indica la parte menor.

3) Al repartir una herencia entre cuatro hermanos, se hizo en forma proporcional a la edad que tenan, que son 12; 14; 18 y 24. Si el mayor recibi S/.2484, cunto recibi el menor?

5) Reparte S/.8200 D.P. a los nmeros 6 , 1/2 y 1/3. Indica la mayor parte repartida.

6) Al repartir cierta cantida de dinero en forma D.P. a los nmeros 6, 10 y 20, la parte menor resulta ser S/.270. cul fue la cantidad repartida?

5) Reparte S/.630 D.P. a los nmeros 2/3, 3/4 y 2/6 e indica la parte menor.

6) Al repartir un herencia en forma I.P. a las edades de 3 hermanos que son 4; 5 y 8 aos, se observ que el mayor recibi S/.725. Cul fue la herencia repartida?

4) Reparte S/.2400 I.P. a los nmeros 1/5; 1/2 y 1. Da como respuesta la suma de cifras de la parte menor.

1) Reparte S/.240 en forma D.P. a los nmeros 11, 3 y 10. Indica la suma de cifras de la parte menor.

3) Un padre y su hijo se reparten un premio de S/.770 en forma D.P. a sus edades que son 60 y 24 aos. Cunto le corresponde al padre?

4) Reparte S/.390 en forma I.P. a los nmeros 1/2, 1/4 y 2. Indica la menor parte.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Descompn 740 en 3 partes tal que los 2 primeros sean como 2 a 3 y los 2 ltimos como 5 a 4. El mayor de las partes es:

a) 300 b) 240 c) 360 d) 200 e) 480

Reparte 7000 D.P. a 12 y 24, y a la vez D.P. a 1/3 y 1/8. Indica la parte menor.

a) 4000 b) 3000 c) 7000 d) 8500 e) 6500

Divide 730 en 3 partes a, b y c, tal que a : b es como 5 : 4 y a : c es como 7 : 2. Calcular b.

a) 350 b) 280 c) 100 d) 320 e) 140

Reparte el nmero 560 D.P. a 2; 3 y 4 y simult-neamente a 5, 6 y 7. Cunto le corresponde a la parte menor?

a) 100 b) 180 c) 280 d) 170 e) 160

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

27



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Reparte S/.390 en forma D.P. a 8 y 16, y a la vez I.P. a 2 y 1/3. Indica la parte mayor.

a) 290 b) 30 c) 390 d) 130 e) 360

Reparte el nmero 4320 en partes directamente proporcionales a 3 y 7 e inversamente proporcio-nales a 1/5 y 1/3. Indica la parte mayor.

a) 2520 b) 1800 c) 2420 d) 2650 e) 2320

Los ngulos de un tringulo son proporcionales a los nmeros 3, 5 y 10. Determina la medida del ngulo menor.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 28 e) 45

Los ngulos de un tringulo son proporcionales a los nmeros 2, 4 y 6. Determina la medida del ngulo mayor.

a) 90 b) 70 c) 120 d) 80 e) 100

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Se reparte cierta cantidad "M" en partes D.P. a 383; 572 y 762. Si al menor le ha tocado 729, hallar "M".

a) 14 336 b) 13477 c) 14337 d) 10327 e) 14037

Al repartir "N" en forma D.P. a 30, 2 y 7, se obtie-ne que la menor de las partes es 64. Halla "N".

a) 1328 b) 1218 c) 1248 d) 1324 e) 1482

El permetro de un tringulo es igual a 120. Si los lados son D.P. a los nmeros 3, 4 y 5, determina la suma de los lados menores.

a) 70 b) 80 c) 90 d) 120 e) 130

El permetro de un tringulo es igual a 72. Si los lados son D.P. a los nmeros 4, 6 y 8, determina la suma de los lados mayores.

a) 56 b) 86 c) 36 d) 66 e) 46

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

29



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Reparte 200 D.P. a 8 , 18 y 50. Hallar la mayor parte.

a) 20 b) 60 c) 100 d) 40 e) 80

Reparte 5600 en forma D.P. a los nmeros 448; 567 y 847. Indica la mayor parte.

a) 2200 b) 2100 c) 2300 d) 1900 e) 2400

Reparte S/.78 entre Carlos, Mario y Timotea en partes inversamente proporcionales al nmero de vocales que hay en la escritura de sus nombres Cunto recibi Mario?

a) 20 b) 30 c) 24 d) 36 e) 18

Se reparten 69 caramelos entre cuatro nios en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 2, 4, 8 y 12 aos. Cuntos caramelos le corresponde al mayor de ellos?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Captulo

4Regla de Tres Simple

Se sabe que 20 obreros abren una zanja de 108m3. Si slo se tienen 15 obreros, cuntos m3 de zanja abrirn en las mismas condiciones?

Ejemplo :

(+) obreros hacen (+) obras.

observacin

Ejemplo :

(+) obreros demoran (-) das.

observacin

Ejemplo :

Resolucin:

(+) (+)obreros m3

20 108 15 x

Aspa: x= =8115.10820

abrirn 81 m3

Ejemplo :

Al hacer una obra, 15 obreros demoran 18 das. Si los obreros son 10, cuntos das demorarn en efectuar la misma obra?

Resolucin: (+) (-)obreros das 15 18 10 x

Paralelo: x= =2715.1810

demoran 27 das

Ejemplo 1 :

Un grupo de n obreros ejecutan 120 obras; mientras n +5 obreros ejecutan 160 obras. Calcula n.

(+) (+)obreros obras n 120 n+5 160

n + 5 = n = 15n.160120

diReCtamente pRopoRCionales (dp)

Dos magnitudes se dicen directas si una se multiplica por k, entonces la otra tambin por k (k Q+).

obreros - obras son DPpues, si los obreros se triplican (x3), entonces las obras deben triplicarse (x3), mantenindose las mismas condiciones.

magnitudes diReCtas e inVeRsas

Dos magnitudes se dicen inversas si una se multiplica por k, entonces la otra se divide por k (k Q+).

obreros - das son IPpues, si los obreros se multiplican por dos, entonces terminarn la obra en la mitad (2) de das.Segn esto, existen ejercicios denominados de Regla de Tres. Se comparan 2 magnitudes que pueden ser DP o IP, as tenemos Regla de tres directa o bien Regla de tres inversa.

inVeRsamente pRopoRCionales (ip)

Regla de tRes diReCta

Regla de tRes inVeRsa

31



Ejemplo 2:

Pintar un cuadrado cuesta S/.60. Cunto costar pintar otro cuadrado de lado doble?

1

1

2

2

(+) (+)rea dinero (soles)1x1 60

2x2 x

x= 2x2x60

1x1

x=S/.240

Ejemplo 3:

Un barco con 69 tripulantes tiene vveres para 22 das. Si el viaje se realiza con 33 tripulantes, cuntos das ms o menos durarn los vveres?

(+) (-)tripulantes das 69 22 33 x

x= 69.22

33 = 46 das, no es la respuesta

46 - 22 = 24 das ms

1. Si 21 obreros tardan 10 das para hacer una obra, cuntos obreros se necesitan para hacer la misma obra en 15 das?

obreros das 21 10 x 15 - +

x = 14

3) Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero son los 5/13 de la casa y est valorizada en 1530000 soles. Halla el valor de la parte de otro hermano.

S/.1530000

x

513

813

x=S/.244800

4) Si 10 metros de tela cuestan S/.150, cunto se pagar por 15 metros de la misma tela?

metros soles 10 150 15 x + +

x=S/.225

5) Si 250 quintales de remolacha producen cierta cantidad de azcar y 300 quintales producen 4kg ms de azcar, cuntos kilos de azucar producen los 250 quintales?

quintales kilos 250 x 300 x+4

x=20kg

2. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 das, cuntos obreros hay que aadir para que la obra se termine en 8 das?

obreros das 20 14 (20+x) 8 + -

x = 15

Nicols Oresme en el De proportionibus proportionum que fue escrito hacia el 1360, generaliza la teora de proporciones para incluir cualquier potencia racional y dar al mismo tiempo reglas para combinar proporciones, que vienen a ser equivalentes a nuestras leyes para operar con exponentes. Para cada una de las reglas se dan ejemplos concretos, y en la ltima parte de otra de sus obras, el Algorismus Proportionum, se aplican en dichas reglas a problemas geomtricos y fsicos. Oresme sugiri tambin el uso de un tipo de notacin especial para las potencias de exponentes fraccionario, y as en el Algorismus proportionum aparecen expresiones como la siguiente.

P 1

1 2





6) Si para pintar 75m2 desuperficiesonnecesarios30 galones de pintura, cuntos galones sern necesarios para pintar 15m2?

4) Si un tornillo penetra 8mm en una madera cuando da 40 vueltas, cuntas vueltas ms debe dar para que penetre 50mm?

5) Un cubo de madera cuesta 12 soles. Cunto costar otro cubo de la misma madera pero de doble arista?

5) Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pag S/.3 600, cunto se paga por un cubo de 15 cm de arista?

6) Patricia puede hornear 3 pasteles deliciosos en 15 minutos, en la nueva cocina que se compr. Cunto demorar en hornear 5 pasteles?

2) Se sabe que 800 obreros pueden realizar una obra en 420 das. Si se quiere que se termine en 300 das cuntos obreros debe aumentarse?

1) Si 8 polos tienen un precio de 145 soles, cul ser el precio en soles de 6 docenas de polos?

4) Si 20 obreros construyen 28m de pared en cada da, cul ser el avance diario si se retiran 5 obreros?

3) Si 30 obreros construyen una casa en 28 das, cuntos das antes hubieran terminado si hubieran sido 5 obreros ms?

1) Si una persona compra 2 litros de pintura por S/.48, cunto pagar por 9 litros del mismo tipo de pintura?

3) Si 27 hombres terminan una obra en 16 das, cuntos hombres menos necesitarn para terminar la obra en 24 das?

2) Se sabe que 48 hombres podran hacer una obra en 15 das. Si se quiere que se haga en 12 das, cuntos hombres ms se necesita?

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

33




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


En un corral que tiene forma de un cuadrado de 6m de lado, un caballo puede comer 80 kg de pasto, Cuntos kilos de pasto comer en un corral de la misma forma, pero de 3m de lado?

a) 40 b) 50 c) 20

d) 10 e) 30

Un barco tiene vveres para 72 tripulantes durante 33 das, pero slo viajan 66 personas. Qu tiempo durarn los vveres?

a) 26 das b) 18 das c) 32 das d) 36 das e) 24 das

Un buey atado a una cuerda de 2,5m de longitud puede comer la hierba que est a su alcance en 3 das. Cuntos das empleara si la longitud de la cuerda fuera 5m?

a) 6 b) 12 c) 8 d) 15 e) 10

Se sabe que 300 hombres tienen alimentos para 51 das. Si estos alimentos deben alcanzar para 153 das, cuntos hombres deben disminuirse?

a) 100 b) 205 c) 210

d) 180 e) 200

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Si con 120kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 das, cuntos kilos de pasto se necesi-tarn para alimentar a 9 caballos en 3 das?

a) 174 b) 158 c) 126

d) 162 e) 192

Por ocho das de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640. Cunto ganarn por 16 das, 15 obreros con los mismos jornales?

a) S/.1 400 b) S/.1 060 c) S/.1 600 d) S/.1 200 e) S/.1 800

Un reloj da 6 campanadas en 10s. Cuntos segun-dos demora en dar 12 campanadas?

a) 18s b) 19s c) 20s

d) 21s e) 22s

Un reloj da 8 campanadas en 16s. Cuntas cam-panadas dar en 80s?

a) 36 b) 37 c) 38

d) 39 e) 40

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

35



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminarn una obra en 38 das. Cun-tos das tardaran para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas diarias ms que los anteriores?

a) 24 b) 18 c) 20

d) 22 e) 28

Diez obreros pueden hacer una obra en ocho das. Si fueran 2 obreros menos, en cuntos das podran hacer una obra de doble dificultad que la primera?

a) 10 b) 12 c) 16

d) 20 e) 14

Un excursionista recorre en 7 das 140 km andan-do 7 horas diarias. Qu distancia recorrer en 21 das, a 3 horas diarias?

a) 180 km b) 170 km c) 160 km d) 190 km e) 150 km

Si 40 obreros trabajando 10 horas diarias en 15 das construyeron 300m de obra, cuntos obreros se necesitarn para continuar 180m de obra traba-jando una hora diaria menos durante 20 das?

a) 18 b) 22 c) 24

d) 20 e) 26

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400m de largo por 6m de ancho demoran 32 das, cun-tos das tardaran si se aumenta 12 obreros ms para pavimentar otra pista de 300m de largo por 8m de ancho?


Dos bombas trabajando 5 horas diarias durante 4 das consiguen bajar el nivel del agua en 65 cm. Qu tiempo invertirn 3 bombas anlogas para bajar el nivel en 78 cm, funcionando 8 horas diarias?


Se necesitan 12 tarros de pintura, para pintar una superficie de 160m2. Cuntos tarros se necesitan para pintar una superficie rectangular de 16m de ancho por 30m de largo?

a) 18 b) 21 c) 24

d) 27 e) 36

Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 das, cuntos das tardaran 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales?

a) 5 b) 4 c) 6

d) 8 e) 7

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

37



Captulo

5Regla del Tanto por Ciento

Es una o varias de las 100 partes iguales en que se ha divi-dido un nmero.

N = 80 de 801100

Una parte se escribe: 1%, y se lee: 1 por ciento.

20 partes se escribe: 20%, y se lee: 20 por ciento.

Es decir:

110020

100

El 20% de 50 . 50 = 10

El 10% de 60 . 60 = 6

El 25% de 4 . 4 = 1

El 100% de 25 . 25 = 25

201001010025100100100

El 100% de N es N

Observacin

Ejemplos: Calcula:

a. El % de 600 . 600 = 4

b. El 10% de 5 . 5 = 0,5

c. El % de 5000 . 5000 = 10

d. El 0,6% de 200 . 200 = 1,2

e. El 0,25% de 10 000 . 10 000 = 25

f. Felipe debe 2 400 soles y paga el 30%. Cunto debe an?

Paga : . 2400 = 720 soles

Falta: 2 400 720 = 1680 soles.

230010

1001

5000,6100

23

15

0,25100

30100

Calcula el 20% del 3% de 20 000. . 20 000 = 12020

1003

100.

Calcula el 10% del 25% del 4% de un milln de soles.

20100

10100

25100

4100

. . .1000 000=1000 soles

Jaime tiene el 20% del 10% de 500 y Pedro tiene el 1/5% del 600% de 5000. Quin tiene ms?

Jaime : . . 500 = 10

Pedro : . . 5000 = 60

10100

1500

600100

Pedro tiene 60 10 = 50 ms.

poRCentaje de un nmeRo

poRCentajes suCesiVos de un nmeRo



Calcula el 10% ms del 20% ms de 10 000.

. . 10 000 = 13 200110100

120100

Calcula el 20% menos del 10% menos del 25% ms de un milln de soles.

80100

. . .1000 000=900 000 soles

125100

90100

Observacin

En este caso, las palabras de, del, de los, de la, etc., se sustituyen por el signo (.)

2 . 100%5

2 . 100%12

32 400 . 100108

83 700 . 10093

12

25100

250 . 10010

Usaremos la regla de 3 simple:

Qu tanto por ciento es 2 de 5?

5 es 100 % x = = 40% 2 es x

Qu tanto por ciento de 1/2 es 2?

1/2 es 100 % x = = 400% 2 es x

De qu nmero es 32 400 el 8% ms?

32 400 es 108 % x = = 30 000 x es 100%

De qu nmero es 83 700 el 7% menos?

83 700 es 93 % x = = 90 000 x es 100%

Qu porcentaje es la mitad de 500 del 25% de 40?

mitad de 500 : . 500 = 250

25% de 40 : . 40 = 10 La pregunta ser: Qu porcentaje es 250 de 10?

10 es 100 % x = = 2 500 % 250 es x

El 97% del agua est en los ma-res, el 3% es dulce. De ese 3% el 97% est en los polos congelada, el 2% est en corrientes subterr-neas y el 1% es a la cual tenemos acceso. De ese 1%, el 57% est en lagos, el 38% pertenece a la humedad del medio, el 2,98% es vapor, el 1% est en organismos vivos y el 1% est en los ros. Esto nos deja con un 0,02% de agua para toda la humanidad.

Qu tanto poR Ciento es un nmeRo de otRo?

EuclidEs

Euclides de Alejandra es el matemtico ms promi-nente de la antigedad, conocido ms por su tratado en matemticas titulado Elementos. La naturaleza duradera de esta obra debe hacer a Euclides el profesor principal de las matemticas. Al menos poco se sabe de la vida de Euclides excepto que enseo en Alejan-dra, en Egipto.

Pero sin duda, su obra ms importante (y tal vez de las matemticas) fue Elementos. Se han hecho ms de mil ediciones de este libro, y hasta hace poco, fue el libro de texto en Gran Bretaa. Destaca en este libro, la claridad con la que se plantean los problemas y el rigor con el que se resuelven.

Observacin

En este caso el nmero precedido de la palabra de es el 100%.

39



Si 2a = 3b, qu porcentaje es (a) de (a+b)? Qu porcentaje es (a+b) de (ab)?

2a = 3b =

La primera pregunta ser: qu porcentaje es 3 de (3+2)?

5 es 100 % x = = 60 % 3 es x

La segunda pregunta ser: qu porcentaje es (3+2) de (32)?

1 es 100 % x = = 500 % 5 es x

ab

32

3 .100%5

5 .100%1

El 20% de 100 soles es 20 soles.El 10% de 100 soles es 10 soles.El 5% de 100 personas es 5 personas.El 27% de 100 caramelos es 27 caramelos.

1. Qu tanto por ciento es 5 de 2?

Resolucin:

52

Resolucin:

x 100 = 20%

2. Qu porcentaje de 2/3 es 1/6?

1623

Resolucin:

x 100% = x 100% = 25%

Resolucin:

312

3. Que tanto por ciento de 60 es 12?

1260

4. Halla el 20% del 25% del 49% del 15 por 60 de 24000.

.100% = 250%

=

25100

49100

1560

. . . . 2400

147

20100

Resolucin:

5. En un saln de clase el 40% son hombres y las mujeres son 21.Cuntos alumnos hay en el salon?

60100

60% C = 21

. C = 21

H + M = C

C = 35

H = 40% C

H = .C40

100

H = .3540

100

H = 14

C: Clase

131



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

De los nmeros: * 0,256 * 0,256256... * 13,4 * 0,2525 ... * 1,24 * 10,43333... cuntos son decimales exactos?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

De los nmeros: * 1,2 * 0,242424... * 6,666... * 0,220 * 6,2424... * 1,2333... cuntos son decimales peridicos puros?

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

De los nmeros: * 0,12222... * 0,45555... * 0,010101... * 0,2323... * 1,2 * 2,32 cuntos son peridicos puros?

a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3

De los nmeros: * 60,2 * 17,2222... * 1,33... * 0,2424... * 0,15222... * 0,7 cuntos son peridicos puros?

a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

De los nmeros:

* 0,23 * 1,472 * 0,25777... * 0,311111 * 0,24 * 0,50222... cuntos son decimales peridicos mixtos?

a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3

De los nmeros, cuntos son decimales peridicos mixtos?

* 1,110110... * 0,257 * 0,4333... * 0,21111... * 12,5777... * 12,2

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Indica si es (V) verdadero o (F) si es falso.

* es fraccin decimal exacta.

* es fraccin decimal peridica mixta.

* es fraccin decimal peridica pura.

a) VVV b) VFF c) FVV d) FVF e) FFF

352356

Indica si es (V) verdadero o (F) si es falso.

* es fraccin peridica pura

* es fraccin peridica mixta.

* es fraccin peridica mixta.

a) VVV b) VFF c) FVV d) FVF e) FFF

4245

15428

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

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