5 €

10 €15 €

Precio de las pizzas

Variable independiente: tamaño de la pizza Variable dependiente: precio de la pizza

Una función es una ley que relaciona dos variables de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un valor y sólo uno de la variable dependiente.

5 €

10 €15 €

Pequeña Mediana Grande

Ejemplo: El precio de la pizza es función del tamaño. Cada tamaño de pizza tiene un único precio.

En Matemáticas esto se representa con la expresión: y = f(x) donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente.

Precio pizza = f(tamaño pizza)

(¡Atención: podría haber más de una variable independiente!).

5 €

10 €15 €

Pequeña Mediana Grande

• Una frase que exprese la relación entre ambas variables.

El precio de la pizza aumenta al aumentar el tamaño de ésta.

• Una expresión matemática del tipo: y = f(x).

Precio pizza = 0’25 . tamaño pizza

•Una gráfica.

Tamaño pizza (cm) 20 40 60

Precio (€) 5 10 15

• Una tabla de valores.

Se llama dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.

Se llama recorrido al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Tamaño pizza (cm) 20 40 60

Precio (€) 5 10 15

En esta tabla de valores:

Dominio = {20, 40, 60}Recorrido = { 5, 10, 15}

En esta función: y = 2x + 3

Dominio = [0 , 24]Recorrido = [-5 , 7]

En esta gráfica:

Dominio = RRecorrido = R

Una función se dice que es continua cuando su gráfica puede efectuarse en una sola vez, sin necesidad de levantar el lápiz del papel donde se está dibujando. En caso contrario se dice que es discontinua.

Función continua en [0,4]

Función discontinua en x = 1

Función continua en R - {1}

Una función se dice que es creciente cuando al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y. Y es decreciente cuando al aumentar el valor de x disminuye el valor de y.

Una función presenta un máximo relativo en un punto, si crece a la izquierda de ese punto y decrece a la derecha y presenta un mínimo relativo si la función decrece a la izquierda y crece a la derecha.

A partir de la expresión matemática: y = - x + 4

Son los puntos en que la función corta los ejes de coordenadas.

A partir de la gráfica, basta con ver en qué puntos corta la gráfica a los ejes X e Y.

Para x = 0 → y = -0 + 4 = 4

Corte con el eje X:

Para y = 0 → 0 = - x + 4 → x = 4

Intersección con los ejes: corta al eje Y en el punto (0, 4) y al eje X en el punto (4, 0).

Corte con el eje Y :

Ejemplo: la función representada en la gráfica tiene las siguientes características:

Función continua en [0,4]

Creciente en [0,1] y [3,4] Decreciente en [1,3]

Máximo en x = 1 Mínimo en x = 3

Intersección con los ejes: (0,0)

Funciones algebraicas

Funciones trascendentes

Polinómicas

Racionales

Irracionales

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Son las que pueden expresarse mediante un número finito de operaciones (+, -, x, : , ) y que contienen potencias (xn)

Son todas las demás.

Su expresión analítica es: y = K

siendo K un número real cualquiera. 

La gráfica de este tipo de funciones es una línea recta horizontal.

Sea cual sea el valor de x, la función siempre toma el valor K, por tanto, y no depende del valor que tome x.

Un ejemplo de función constante sería una tarifa telefónica plana, en la que el precio mensual es siempre el mismo independientemente del número de llamadas que se haga.

Ejercicio 1:Representa gráficamente la función y = 3.

x y

1

2

3

3

3

3

Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se dibuja una línea recta horizontal, que corte al eje Y en el punto (0,3).

Análisis de la función y = 3.

Dominio: R.

Recorrido: {3}.

Función continua en R.

Constante.

No tiene máximos ni mínimos.

Intersección con lo ejes: (0,3)

Su expresión analítica es: y = m x + b

La gráfica de este tipo de función es una línea recta, por eso se dice que y depende linealmente de x. (Dependencia lineal)

Un ejemplo de función afín es una tarifa telefónica normal. La mensualidad es suma de una cantidad fija (mantenimiento de línea) y de otra cantidad que depende del número de llamadas.

1

2Y

X

+

+

b, la ordenada en el origen, es el valor que toma la función cuando x es igual a cero. En la gráfica es el punto donde la línea corta al eje y.

m, la pendiente, es una medida de la inclinación de la recta. Se calcula:

12

12

x- x

y- y m

y = m x + b

b

my2

y1

x2

x1

Ordenada en el origen = 1

1

1

1

2

2

2

Pendiente = 212

Y

X

Ejemplo:

Avanza una unidad hacia la derechay sube dos unidades

Ordenada en el origen = 3

1

1

1

-2

-2

-2

Pendiente = 212-

Y

X

Ejemplo:

Baja dos unidades y avanza una unidad hacia la derecha.

22

4

2 - 4

5 - 9 m

Ejercicio 2: ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica?

Como la gráfica es una línea recta su ecuación general es: y = m x + b

b = 1

Y = 2 x + 1

b

m1

2

+

+

¿Cuánto vale b?

¿Cuánto vale m?

Análisis de la función afín: y = 2x + 1:

Dominio: R.

Recorrido: R.

Función continua en R.

Creciente en R.

No tiene máximos ni mínimos.

110

10

5 - 15

0 - 10 m

Ejercicio 3: ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica?

Como la gráfica es una línea recta su ecuación general es: y = m x + b.

b = -5

Y = 1 x - 5

¿Cuánto vale b?

¿Cuánto vale m?

Análisis de la función afín: y = x - 5:

Dominio: R.

Recorrido: R.

Función continua en R.

Creciente en R.

Sin máximos ni mínimos.

Para averiguar la función a partir de una tabla de valores se utiliza la ecuación: .

Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (con dos puntos es suficiente para dibujar una recta).

x - x

y- y

x -x

y-y

12

12

1

1

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) P (2,3) y Q (1,5), b) P (-5,-3) y Q (3,1).

x- x

y- y

x-x

y-y

12

12

1

1

21-

3-5

2-x

3-y

2- 1-

2

2-x

3-y

y – 3 = -2 (x – 2) = -2x + 4

y = - 2x + 4 + 3

y = -2x + 7

Sustituyendo:

Análisis de la función afín: y = -2 x + 7

Dominio: R.

Recorrido: R. Función continua en R.

Decreciente en R, porque la pendiente es negativa Sin máximos ni mínimos.

Intersección con el eje Y: Para x = 0 y = 7

Intersección con el eje X: Para y = 0 -2x +7 = 0 x =

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: b) P (-5,-3) y Q (3,1).

x- x

y- y

x-x

y-y

12

12

1

1

y + 3 = 0'5 (x +5) = 0'5x +2'5

y = 0'5x +2'5 –3

y = 0'5x– 0'5

Sustituyendo:

53

31

5x

3y

0'5 8

4

5x

3y

Análisis de la función afín: y = 0'5x– 0'5

Dominio: R.

Recorrido: R.

Función continua en R.

Creciente en R, porque la pendiente es positiva.

Sin máximos ni mínimos.

Intersección con el eje Y: Para x = 0 y = -0'5

Intersección con el eje X: Para y = 0 0'5x– 0'5 = 0 x =

Su expresión analítica es: y = m . x

La gráfica de este tipo de función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En este caso, la dependencia es directamente proporcional.

12

12

x- x

y- y m b = 0

Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (una de las coordenadas es el punto (0,0) por lo que solo hace falta otro punto para dibujar la recta).

Es un caso particular de la función afín, para b = 0:

5 €

10 €15 €

Precio de las pizzas

Precio pizza = f(tamaño pizza)

Se trata de una función lineal, porque para tamaño 0 el precio es 0 €.

La expresión analítica: y = ax2 + bx + c

La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada parábola.

Cuando una función es de este tipo se dice que la y depende cuadráticamente de la x.

Para hacer la representación gráfica a partir de la función, no es necesario hacer una tabla de valores, basta con calcular los puntos de intersección con los ejes y las coordenadas del vértice.

Un ejemplo de función cuadrática es el espacio que recorre, un cuerpo en caída libre, con el tiempo: e = 4'9 · t2

Para calcular el vértice de una parábola se utiliza la fórmula:

a2

bx

A continuación se sustituye el valor de x en la función para obtener el valor de la coordenada y.

Ejercicio 4:Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5.

Coordenadas del vértice: 112

2

a2

bx

y = 1·(-1)2 + 2·(-1) – 5 = -6

Cálculo de la intersección con el eje Y:

Para x = 0 → y = 1·02 + 2·0 - 5 = -5

Cálculo de la intersección con el eje X:

Para y = 0 → 1x2 + 2x – 5 = 0

3'45

1'452

4'92

2

242

2

2042

12

5)(142)(2X

2

Ejercicio 4:Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5.

x y

-3 -2

-2 -5

-1 -6

1 -2

2 3

3 10

4 19

Análisis de la función: y = 1x2 + 2x - 5

Dominio: R.

Recorrido: [-6, +∞ ].

Función continua en R.

Decreciente desde [-∞, -1] y

Creciente desde [-1, +∞].

Mínimo en x = -1.

Ejercicio 5:Representa gráficamente la siguiente función cuadrática: Y = 2x2 + 2x - 4

Coordenadas del vértice: 0'522

2

a2

bx

y = 2 · (-0'5)2 + 2 · (-0'5) - 4 = -4'5

Intersección con el eje Y: Para x = 0 → y = -4

Intersección con el eje X: Para y = 0 → 2x2 + 2x – 4 = 0

4

62

4

362

4

3242

22

4)(242)(2x

2

x = -2 y x = 1

Análisis de la función: y = 2x2 + 2x - 4

Dominio: R.

Recorrido: [-4’5 , +∞ ].

Función continua en R.

Decreciente desde [-∞, -0’5] y Creciente desde [-0’5, +∞].

Mínimo en x = -0’5.

Intersección con el eje y: (-2,), (1,0)

Intersección con el eje x: (0,-4)

Ejercicio 5:Representa gráficamente las siguientes funciones cuadrática:Y = -x2 – 2x – 3

11)(2

2)(

a2

bx

2

82

2

1242

12

3)(1)(42)(2x

2

Coordenadas del vértice:

Intersección con el eje Y: Para x = 0 → y = -3

Intersección con el eje X: Para y = 0 → 0 = -x2 – 2x – 3.

No tiene solución real

y = -(-1)2 – 2·(-1) - 3 = -2

Análisis de la función: y = -x2 – 2x – 3

Dominio: R.

Recorrido: [-2, -∞ ].

Función continua en R.

Decreciente desde [-1,+∞]. y Creciente desde [-∞, -1]

Máximo en x = -1.

Intersección con el eje y: (0,-3)

Intersección con el eje x: No tiene

Un caso particular de las funciones racionales son las funciones inversas. Este tipo de funciones relacionan las variables x e y a través de expresiones del tipo:

donde k es un número cualquiera distinto de cero. 

x

k y

Las funciones racionales son aquella en las que el numerador y el denominador son un polinomio, por ejemplo:

2x43x

y

Cuando una función relaciona las variables x e y a través de expresiones del tipo:

se dice que y es inversamente proporcional a x. 

La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera.

x

k y

Son funciones discontinuas ya que cuando x = 0, y = ∞

La función será creciente si k < 0 y decrecientes si k>0

No tiene ni máximo, ni mínimo.

Representa gráficamente la siguiente función: Ejercicio 6:

x

20 y

x y

1

2

4

5

10

20

20

10

5

4

2

1

Análisis de la función:x

20 y

Dominio: R- {0}.

Recorrido: R- {0}.

Función discontinua en x = 0.

Decreciente en todo el dominio.

No tiene máximo ni mínimo.

Corta a los ejes de coordenadas en el ∞.

Tiempo de recogida = f (nº trabajadores)

Se trata de una función inversa.

x2 si x<1f(x) = 2x + 1 si x ≥1

Para x < 1 hay que representar la función y = x2

Para x ≥1 hay que representar la función y = 2x +1:

Una función definida a trozos tiene distintas expresiones analíticas dependiendo del intervalo de su dominio.

Por ejemplo, la siguiente función tiene dos trozos:

Análisis de la función a trozos:

Dominio: R

Recorrido: [0, +∞ ].

Función discontinua en x = 1

Decreciente desde [-∞, 0) y Creciente desde (0 ,+∞].

Tiene un mínimo en x = 0.

Intersección con los ejes: (0,0)