Guía de PSU IV medios

COLEGIO COMPAÑÍA DE MARIA – SEMINARIO DPTO. MATEMATICA / CUARTOS MEDIOS

Definición Dados tres puntos no colineales (que no pertenecen a una misma recta), se llama triángulo a la figura formada por los tres segmentos que los unen. Cada par de puntos determina una recta que sustenta a dichos trazos. Clasificación de triángulos Clasificación de triángulos según sus lados

Equilátero

Triángulo que posee todos sus lados de igual medida.

Isósceles

Triángulo que posee dos lados de igual medida. El lado es igual se denomina base. Los ángulos contiguos a la base se denominan ángulos basales o ángulos de la base; el ángulo opuesto a la base se denomina ángulo del vértice.

Escaleno

Triángulo que posee todos sus lados de distinta medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos Acutángulo

Triángulo que posee sus tres ángulos interiores agudos.

Rectángulo

Triángulo que posee un ángulo interior recto. El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa. Los lados perpendiculares se llaman catetos.

Obtusángulo

Triángulo que posee un ángulo interior obtuso.

Propiedades de los Triángulos: -La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. -La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º. -En un triángulo a mayor (menor) lado se opone mayor (menor) ángulo. -Asimismo, a mayor (menor) ángulo se opone mayor (menor) lado. -En un triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. -Asimismo, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes. -En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Elementos secundarios de un triángulo a)Altura de un Triángulo Se llama altura al segmento que une perpendicularmente un vértice con el lado opuesto, o su prolongación.

La altura se denota como

Propiedades :Ortocentro El único punto donde concurren las alturas de un triángulo ó sus prolongaciones se denomina ortocentro y se denota por O.

En un triángulo acutángulo, las alturas se intersectan en el interior del triángulo.

En un triángulo rectángulo, las alturas se intersectan en el vértice del ángulo recto. Se cumple que dos de las alturas corresponden a los catetos.

En un triángulo obtusángulo, las prolongaciones de las alturas se intersectan en el exterior del triángulo.

b)Bisectriz de un Triángulo Se llama bisectriz al segmento que une un vértice con su lado opuesto, dividiendo el ángulo interior en dos ángulos congruentes.

Las bisectrices se denotan por:

Propiedad: Incentro El único punto donde concurren las bisectrices de un triángulo se denomina Incentro y se denota por I. -Las bisectrices siempre se intersectan en el interior del triángulo. -El Incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo.

c)Simetral de un Triángulo Se llama simetral al segmento que une perpendicularmente el punto medio de un lado con algún punto de uno de los otros dos lados.

Las simetrales se denotan por:

Propiedad : Circuncentro El único punto donde concurren las Simetrales de un triángulo ó Sus prolongaciones se denomina Circuncentro y se denota por C. El Circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo -En un triángulo acutángulo, el Circuncentro se encuentra en el interior del triángulo. -En un triángulo rectángulo, el Circuncentro se encuentra en el punto medio de la hipotenusa. -En un triángulo obtusángulo, Circuncentro se encuentra en el exterior del triángulo (es decir se forma por la prolongación de las simetrales).

d) Transversal de gravedad de un Triángulo Se llama transversal de gravedad al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las transversales de gravedad se denotan por:

La transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa.

Propiedad: Centro de Gravedad o Baricentro El único punto donde concurren las transversales de gravedad se denomina Centro de Gravedad o Baricentro y se denota por G. -El baricentro se encuentra siempre dentro del triángulo. -El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos cuyas medidas están a razón 2:1

e)Mediana de un Triángulo Se llama mediana al segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo

Las medianas se denotan por:

-Cada mediana mide la mitad del lado que no contiene sus extremos. -Cada mediana es paralela al lado que no contiene sus extremos. -En un triángulo equilátero, la altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad de cada lado están contenidas en un mismo segmento, es decir son congruentes. -En un triángulo Isósceles la altura, bisectriz, simetral y transversal de gravedad del lado desigual están contenidas en un mismo segmento, es decir son congruentes. Ejercicios de alternativas

fig2

fig3

fig11

fig13

fig18

fig19

fig.23

fig.24

fig.25

fig.26

fig.27

fig.32

fig.33

fig.35

fig.36

fig.38

fig.39