4ª SECUNDARIA MODULO DE TRIGONOMETRÌA

IEP. Ntra. Sra. del Prado 4º secundaria TRIGONOMETRÌA

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

I. ANGULO TRIGONOMÈTRICO

De esta forma vamos a distinguir dos tipos de rotación:

Obviamente cuando no hay rotación, el ángulo es nulo.

O A

B

Sentido horario

O

C

A

Sentido antihorario

Observaciones:1. La medida de un ángulo trigonométrico, hecha

la mención a los tipos de rotación en que se pueden generar; es

Sentido horario: medida negativaSentido antihorario: medida positiva

2. La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues esta dependerá de la magnitud de la rotación.

3. Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:

- - 10º

Por ejemplo :

10º -

- - 10º

Por ejemplo:

10º -

1. De acuerdo al gráfico, señale "x" en función de y .

x

Resolución:

Homogenizando el tipo de rotación; tenemos:

-

x x = + ( - ) x = -

2. De acuerdo al gráfico, hallar "x" en función de los ángulos trigonométricos mostrados.

x

Resolución:Homogenizando el tipo de rotación tenemos:

- x

+ (-x) + = 180° - x + = 180° + - 180° = x

x = + - 180°

3. Del gráfico, señale lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.

Resolución:Homogenizando el tipo de rotación, tenemos:

( - ) + ( ) + ( - ) = 90°

- - = 90°

-

-

4. Si en el gráfico, OD es bisectriz del <AOC;

señale el valor de:

3

2sen

.

1 Lic. Oscar Alberto Acosta Veràstegui


D

C

B

A

OResolución:

-

D

C

B

A

9 0 º - 9 0 º -

ODel gráfico:<AOD = 90º - = <COD

Luego: 2(90º - ) + (-) = 90º 180º - 2 - = 90º 90º = 2 +

Piden:

2 90º 1sen sen sen30º

3 3 2

Rpta: 1/2

5. De acuerdo al gráfico, si I es el incentro del ABC , hallar "x".

B

C

A

I x

Resolución:Homogenizamos el tipo de rotación y además como AI y CI son bisectrices, decimos:

y = 90º + 2

B

C

A

I - x

y

180º - (-x) = 90º + 2

180° + x = 90° + 2

x = 2

- 90º

6. Calcular "x", si OM es bisectriz del <AOB.

O

A

B

M

(6 - 7x)º

(5x + 6)º

Resolución:Homogenizando el tipo de rotación, tenemos:

(7x - 6)º = (5x + 6)º7x - 6 = 5x + 62x = 12 x = 6

7. Señale la relación respecto a los ángulos trigonométricos mostrados, si se sabe además que: m<AOE = m<BOC y m<BOE = 120º.

A Bo

E

D

C

Resolución:

E

A Box xz y

-

D

C

Note del gráfico:x + y = y + z = -z + x =

(+)

2(x + y + z) = - +

Pero:

M BOE = 120º

x + y + z = 120ºLuego: - + = 2(120)

- + = 240º

EJERCICIOSNivel I



1. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido:

a. Horario:

O

P

b. Antihorario

O

P

2. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido:

a. Horario:

P O

b. Antihorario:

P O

3. En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo , dibuje un ángulo que mida: (use transportador).

a. 140º

O

P

b. -70º

O P

c. -120º

O

P

4. En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo , dibuje un ángulo que mida: (use transportador).

a. 100º

O

P

b. -50º

P O

c. -160º

O P

5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

x B

C

AO

a) + b) - c) - d) - - e) F. D.

6. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos.

x

B

C

A

O

D

a) + + b) - - c) - - d) - + e) - -

7. Del gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

A

B

C

x

O

a) 90º - b) - 90º c) 180º + d) 90º + e) -90º -

8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

O DA

x

C

B

a) - 90º b) 90º - c) 90º + d) -90º - e) -180° +

9. Del gráfico, calcular "x".



O BA

5xº

C

(12 - 11x)º

a) 2 b) 4 c) 8d) 12 e) 10

10. Del gráfico, calcular "x".

A

B

(9 - 9x)º

O

(5x + 1)º

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Nivel II

1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:

a) + = 180º b) - = 180ºc) = 180º d) + = -180ºe) + = 90º


-120º

a) + = 240º b) + = 120ºc) - = 240º d) - = 120ºe) - = 240º


a) + = 90º b) + = -90ºc) - = 90º d) - = 270ºe) + = 180º

4. Del gráfico, señale lo correcto:

y

x

a) x + y = 300º b) x - y = 300ºc) x + y = 270º d) x - y = 270ºe) x - y = 180º


x

y

a) x + y = 180º b) x + y = 360ºc) x - y = 360º d) x - y = 180ºe) x - y = 270º

6. Del gráfico, señale lo correcto:

x

y

a) x - y = 180º b) x + y = 180ºc) x - y = 300º d) x + y = 300ºe) x - y = 450º

7. Si en el gráfico OP es bisectriz del <AOB; calcular: “x/y”.



A

P

BO

x - y

3x + 2y

a) 4 b) - 4 c) 1/4d) - 1/4 e) - 1/2

8. Si en el gráfico, OP es bisectriz de <AOB, calcular "x/y".

A

P

BO

2x - 3y

3x - 2y

a) 1 b) - 1 c) 1/2d) - 1/2 e) - 2

9. Del gráfico señale lo correcto, si: OQ es bisectriz del <AOB.

A

B

C

Q

O

a) 2 - = 90º b) 2 - = 180ºc) 2 + = 90º d) 2 + = -90ºe) 2 + = 45º

10. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es bisectriz del <AOB.

C AO

P

B

a) 2 - = 360º b) 2 - = 360ºc) 2 + = 180º d) 2 + = 360ºe) 2 + = 360º

Nivel III

1. Hallar "x" en función de :

D AO

C

B

x

a) - 180º b) + 180º c) + 270ºd) - 270º e) 270º -

2. Halle "x" en función de "".

O

CA

B

x

a) 450º - b) - 450º c) 360º - d) - 360º e) - 270º

3. Halle "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

D

B

A

C

O

x

a) - - 90º b) + - 90ºc) - + 90º d) - + 90ºe) - - 90º

4. Halle "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.

D O A

B

C

x

a) 180º + - b) 180º - + c) 270º + - d) 270º - + e) 180º + +

5. Halle "x" en función de "", si es bisectriz del ángulo BOC.

D O A

B

C

x

M

a) 135º + b) 135º - c) - 135ºd) 225º - e) 225º +



II. SISTEMA SEXAGESIMAL, CENTESIMAL Y RADIAL

Sistemas de medición angular:Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando: al sistema sexagesimal o inglés, el sistema centesimal o francés y el sistema radial o circular o internacional. Los cuales verifican lo indicado en el cuadro adjunto:

Sistem a U nidad 1 vuelta Sub unidades

Sexagesimalo

inglés1º 360º

1° 1' 1°

===

60'60''3600''

Centesimalo

francés1g 400g

Radial ocircular o

internacional1rad 2rad

1 = 100

1 = 100

1 = 10000

g

m

g

m

s

s

Comentario:Sabemos que la reunión de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, determina una circunferencia y cualquier porción de ella se llama arco. Así tendremos:

O

r

P

C

C es la circunferencia de centro O y radio r

(PC : d(O,P) = r)

2r: longitud de la circunferencia

O

A

B

L

AB : arco

L : Longitud del arco AB

O

A

B

AOB : ángulo centralAtendiendo al último dibujo, se define 1 radián como la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.

O

A

B

r

rr

Si: L AB = r

= 1 radián

Equivalencias fundamentales.

1. Como:360°=400g = 2rad180°=200g= rad

2. Como: 180° = 200g 9° =10g3. También: 27' = 50m y 81'' = 250s

Conversión entre sistemas.Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro, es decir, cambiamos sus unidades. El procedimiento lo explicaremos con los siguientes ejemplos:

1. Convertir: = 60º a radianes.Multiplicamos: = 60º =

2. Convertir: = 60g a radianes.Multiplicamos: = 60g =

3. Convertir: = 81º a centesimales.Multiplicamos: = 81º =

4. Convertir: = 70g a sexagesimales.Multiplicamos: = 70g =

Complete usted ahora las siguientes conversiones.

=

5 rad a sexagesimales

= 72º a radianes

=

32 0

rad a centesimales



= 140g a sexagesimales

Consideración:Cuando se operan (suma o resta) medidas de ángulos que están expresados en grados, minutos o segundos en un mismo sistema; se operan independientemente; primero grados, luego minutos y después segundos, para finalmente simplificar por ejemplo, reducir:

1. = 2º 17' 43'' + 18º 32'14'' + 25º 43' 42''

Operando independientemente:

=

2º 18º25º

17'32'43'

43''14''42''

+

= 45º 92' 99'' = 45º + 92' + 99''

60'' + 39''1'

= 45º + 33' + 39''60'' + 33''

1º

= 45º + 33' + 39''

= 46º 33' 39''

2. = 120º - 17º 43' 54''En este caso, debemos desordenar 120º, de modo que contenga minutos y segundos; así:

120º = 119º + 1º = 119º + 60'

60' 59' + 1'

60''

120º = 119º + 59' + 60'' = 119º 59' 60''

Luego: = 119º 59' 60'' - 17º 43' 54''

119º17º102º

-59'43'16'

60''54''6''

= 1 0 2 º 1 6 ' 6 ' '

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Halle: = 70g -

4 rad; en el sistema

sexagesimal.

Resolución:

Convirtiendo cada ángulo al sistema sexagesimal:

70 .g 9º10 g = 63º

4

rad.180º

rad= 45º

= 63º - 45º

= 18º

2. Calcular: º15

10rad5K

g

Resolución:Convirtiendo a grados sexagesimales para poder operar:

gg

180ºrad. 36º

5 rad36º 9º 45º

K15º 15º

9º10 . 9º

10

K = 3

3. Calcular: C = '5

'5º2

'91

'2º3

Resolución: 180' 120'

3º 2' 2º 5' 3º 2' 2º 5'C

91' 5' 91' 5'180' 2' 120' 5' 182' 125'

C91' 5' 91' 5'

C 2 25

C = 27

4. Del gráfico, calcule "n".C

BA

80g

(7n + 4)º

Resolución:Del gráfico, tenemos:

gg

9ºC 80 . 72º

10

Luego: <A = 18º 7n + 4 = 18

7n = 14



n = 2C

BA

72º

(7n + 4)º

5. En un triángulo sus ángulos interiores miden

14n°; 9

n160 g

y rad

3

n

¿cuál es el valor de "n"?Resolución:

C

ABSean los ángulos: , y = 14nº

=ºn16

10

º9.

9

n160g

g

= ºn60

rad

º180.rad

3

n

Luego tenemos que: + + = 180º14nº + 16nº + 60nº = 180º 90nº = 180º

n = 2

6. Del gráfico, calcule "x".

(1 - 9x) g

2xº

Resolución:

(9x - 1) g

2xº

Del gráfico se cumple:2xº + (9x - 1)g = 90°

Expresando en grados sexagesimales:2xº + (9x - 1)g (9º/10g) = 90º2x + 81x – 9/ 10 = 9020x + 81x - 9 = 900 101x = 909

x = 9

7. Exprese: =rad

17

en el sistema sexagesimal.

Resolución:

Tenemos: = 17

º180

rad

º180.rad

17

Note el procedimiento:

180º170º

10º

1710º

x 60 600'90'

5'

1735'

x 60 300'’130

110

1717,6''

8Luego, tomando los cocientes:

''18

''6,17'35º10

= 10º 35' 18''

EJERCICIOS

Nivel I

1. Expresar 40º en el sistema circular:

2. Exprese 50° en el sistema circular.

3. Exprese 30g en el sistema radial.

4. Exprese 40g en el sistema internacional.

5. Exprese 6

rad en el sistema sexagesimal.

a) 18º b) 24º c) 30ºd) 36º e) 42º

6. Exprese 9

rad en el sistema sexagesimal.

a) 10º b) 12º c) 18ºd) 20º e) 40º



7. Exprese 4

rad en el sistema centesimal.

a) 40g b) 36g c) 45g

d) 50g e) 70g

8. Exprese 10

rad en el sistema centesimal.

a) 10g b) 20g c) 30g

d) 18g e) 36g

9. Exprese 54º en el sistema francés.

a) 54g b) 60g c) 63g

d) 70g e) 72g

10. Exprese 90g en el sistema inglés.

a) 100º b) 81º c) 72ºd) 86º e) 96º

Nivel II

1. Reducir: = 2º 40' 32 '' + 3º 31' 52''

a) 6º 12' 34'' b) 6º 12' 16'' c) 6º 12' 24''d) 5º 24' 12'' e) 5º 12' 24''

2. Reducir: = 4º 17' 51'' + 8º 24' 17'' + 5º 32' 20''

a) 18º 16' 32'' b) 18º 14' 26'' c)18º 16' 28''

d) 18º 14' 28'' e) 18º 16' 26''

3. Siendo: 23º 41' 17'' + 17º 32' 56'' = aº b' c''Calcular:

4-c

b-aK

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Siendo:18º 32' 41'' + 21º 14' 22'' + 3º 26' 12'' = aº b' c''Calcular:

c

b-aK

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular:

g100

º5rad12K

a) 1/3 b) 1/9 c) 2/9d) 2/5 e) 3/5

6. Calcular:

6º

20-rad3K

g

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

7. Calcular:

'3

'3º2

'2

'2º1K

a) 23 b) 61 c) 62d) 71 e) 72

8. Calcular:

m

mg

m

mg

20

302

10

101K

a) 21 b) 20,5 c) 22,5d) 21,5 e) 33,5

9. Exprese rad

7

en el sistema inglés.

a) 25º 40' 31'' b) 27º 24' 32'' c)25º 42' 51''

d) 26º 37' 51'' e) 31º 24' 52''

10. Exprese rad

13

en el sistema inglés.

a) 14º 25' 32'' b) 13º 50' 46'' c)13º 5' 17''

d) 15º 27' 32'' e) 12º 18' 43''

Nivel III

1. Si tuviéramos un triángulo donde sus ángulos interiores miden:

rad18

xy)ºx17(;)x20( g

Calcular el valor de:

1-5xE

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



2. En un triángulo sus ángulos interiores miden:

rad6

xy)ºx14(;

9

x160g

Calcular:

'x

'x)ºx(E

2

a) 161 b) 151 c) 181d) 211 e) 231

3. Del gráfico, calcule "x".A

B

C

(14x + 22)g

(8x - 2)º

O

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. Del gráfico calcular "x"; si AOB es una porción de círculo de centro "O", llamado sector circular.

O 3xº (10x)g

B

A

a) 16 b) 18 c) 20d) 21 e) 15

5. Del gráfico, calcular:

6

2x-y3K

O

C

B

AD

5yg 3xº

a) 20 b) 10 c) 30d) 15 e) 40

III. RELACIÒN ENTRE SISTEMAS: SEXAGESIMAL, CENTESIMAL Y RADIAL

Fórmula general de conversión:Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto tenemos el ángulo "" y su medida en cada uno de los sistemas conocidos.

SºCRrad

gen el sistema sexagesimalen el sistema centesimalen el sistema radial

S180

=C

200=

R . .. ( )

De donde: S9

=C

10=

R

20

= kSCR

===

9k10k

20 k

Demostración:Del gráfico, notamos que: = Sº = Cg = Rrad

Luego: .vta1

Rrad

.vta1

C

.vta1

ºS

.vta1

g

De donde:

rad2

Rrad

400

C

º360

ºSg

g

S180

=C

200=

R

A partir de "", podemos decir también que:

# de minutos sexagesimales = 60 S # de segundos sexagesimales = 3600 S # de minutos centesimales = 100 C # de segundos centesimales = 10000 C



PROBLEMAS RESUELTOS

1. Convertir 54º al sistema centesimal.

Resolución:Tenemos: S = 54 y piden: C = ??

Sabemos: 10

C

9

S

200

C

180

S

g60º5460C10

C

9

54

2. Convertir 40º al sistema radial.

Resolución:Tenemos: S = 40 y piden R = ??

Sabemos:

R

180

40R

180

S

rad9

2º40

9

2R

R

9

2

3. Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo; reducir:

S-C

2C-S3L

Resolución:Sabemos que: S = 9k y C = 10kLuego:

k

k7

9k-k10

20k-k27

k9-10k

2(10k)-)k9(3L

L = 7

4. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 5S - 3C = 75; siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.

Resolución:En la condición: 5S - 3C = 75 ; S = 9k y C = 10k

5(9k) - 3(10k) = 7545k - 30k = 7515k = 75 k = 5

Piden: k

20R

4R5

20R

rad4

mideel

5. Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un

ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida radial del ángulo?

Resolución:Tenemos para el ángulo

SCR

===

# de grados sexagesimales# de grados centesimales# de radianes

Luego, interpretando el enunciado: S + C = 76Pero: S = 9k y C = 10kLuego: 9k + 10k = 7619k = 76 k = 4

Piden: k

20R

54

20R

rad5

mideel

6. Señale la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que expresan su medida en los tres sistemas conocidos es igual a 383, 1416.

Resolución:Tenemos para el ángulo

SCR

===

# de grados sexagesimales# de grados centesimales# de radianes

Luego, interpretando el enunciado: S + C + R = 383, 1416

Pero: S = 9k, C = 10k y 20

kR

Luego: 9k + 10k + 20

k = 383,1416

19k + 20

k = 380 + 3,1416

38020

)380(k380

20

kk380

Piden: k

20R

2020

R



radmideel

7. Si los números de minutos sexagesimales y minutos centesimales que contiene un ángulo, sumar 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

Resolución:Sabemos: S # de grados sexagesimales

C # de grados centesimalesR # de radianes

Además: # de minutos sexagesimales = 60S# de minutos centesimales = 100C

Interpretando:60S + 100C = 15406S + 10C = 154; pero: S = 9k y C = 10k

Luego:6(9k) + 10(10k) = 15454k + 100k = 154154k = 154 k = 1

Piden:

20

kR

2020

)1(R

rad20

mideel

EJERCICIOS

Nivel I

1. Señale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal.

a) 18º b) 20º c) 24ºd) 36º e) 42º

2. Señale el equivalente de 72º en el sistema centesimal.

a) 80g b) 70g c) 60g

d) 90g e) 86g

3. Señale el equivalente de 48º en el sistema radial.

a)rad

15

b) 15

2

c) 5

d) 15

4

e) 15

7

4. Señale el equivalente de 70g en el sistema radial.

a)rad

10

7

b) 20

7

c) 9

7

d) 12

7

e) 15

7

5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

S-C

3C-S4E

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10


S-C

S2-C3E

a) 6 b) 12 c) 18d) 8 e) 16

7. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

R20-S

R20-CE

a) 7/8 b) 7/6 c) 9/7d) 9/5 e) 9/8

8. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

R20C

30R-S2E

a) 1 b) 2 c) 2/3d) 3/2 e) 4/3


CSC

S-CE

2

22

a) 10 b) 1/10 c) 20d) 1/20 e) 40


CS-C2

S10C4E

2

22

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11



Nivel II

1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo tales que: S = x + 2 y C = x + 3, ¿cuál es el valor de "x"?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = 3x + 1 y C = 2x + 3, ¿cuál es el valor de "x"?

a) 5/12 b) 14/13 c) 17/6d) 17/12 e) 17/15

3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n + 1 y C = n + 4; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a) 18º b) 9º c) 27ºd) 15º e) 36º

4. Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n - 1 y C = n + 1, siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a) 10º b) 9º c) 18ºd) 36º e) 54º

5. Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 2n + 1 y C = 3n - 16; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a) 10g b) 20g c) 30g

d) 40g e) 50g

6. Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 7n + 1 y C = 8n; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a) 10g b) 20g c) 30g

d) 40g e) 50g

7. Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 5, como 19 es a 3. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo?

a) 10g b) 15g c) 18g

d) 21g e) 24g

8. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo?

a) 10g b) 25g c) 35g

d) 45g e) 75g

9. Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la diferencia de los mismos números, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

a)rad

20

b) 18

c) 30

d) 60

e) 180

10. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la suma de los mismos números, como su número de grados centesimales es a 152. ¿Cuál es la medida radial del ángulo?

a)rad

50

b) 25

c) 10

d) 15

e) 28

Nivel III

1. Se definen las operaciones:a b = a/ba b = 2a - b

Según lo anterior, halle la medida circular que cumple:

S C =S C

80

Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

a)rad

20

3

b) 20

7

c) 20

9

d) 20

11

e) 15

2

2. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple:

(2S + C)2 + (S - 2C)2 = 181C


a) 10g b) 20g c) 30g

d) 40g e) 50g

3. Señale la medida en radianes de un ángulo que cumple:



(C + S) (C3 - S3) - (C - S) (C3 + S3) = 6(SC2 - S3)


a)rad

10

3

b) 20

3

c) 200

3

d) 5

2

e) 200

7

4. Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento suman 94. ¿Cuánto mide el ángulo?

a) 18º b) 60º c) 54ºd) 36º e) 30º

5. Si el número de grados centesimales de un ángulo, con el número de grados sexagesimales de su suplemento; se diferencian en 48. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo?

a) 100º b) 90º c) 96ºd) 108º e) 120º

LONGITUDES DE UN ARCO

I. LONGITUD Y AREA DE UN SECTOR CIRCULAR

Problemas Resueltos:

1) En un sector circular, el ángulo central mide

rad3

y el radio 24 cm. ¿Cuánto mide el arco?

Resolución:Graficando y usando la fórmula: L = R

O

B

A

L

24 cm

24 cm

rad3

L = .24

L = 8 cm

3

2) En un sector circular, el ángulo central mide 36º y el radio 25cm. ¿Cuánto mide el arco?

Resolución: Graficamos:

O

B

A

L

25

25

36º

i) = 36º Lo pasamos a radianes

rad

5º180

radº.36

ii) L= R

cm5L25.5

L

3) Halle la medida sexagesimal del ángulo central de un sector circular cuyo arco mide 2cm y el radio 15cm.

Resolución: Graficamos:

O

B

A

2 cm

15cm

15cm

i) Sabemos que: L = R

R

L

Luego:

º24rad

º180.

15

2

rad15

2

4) En un sector circular el arco mide 24cm. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

Resolución: Interpretando y graficando:



O

B

A

24

R

R

R = 24

O

D

C

L3

2

3

4R5

4R

R

4R5

4R

R

cm20L

)24(6

5L

R6

5

4

R5.

3

2L

5) Del gráfico, calcule: 2

13

L

LLK

O

BDF

AC

E

1L 2L 3L3

22

22

3

Resolución:Del gráfico:

O

BDF

AC

E

1L 2L 3L3

22

22

3

* EOF: L1 = .3 = 3* COD: L2 = .5 = 5* AOB: L3 = .7 = 7

Luego:

7 3 4L

5 5

54K

6) De acuerdo al gráfico, calcule "", si:L1 = L2

A

O

B

C

D

L 2

L1

3

1

Resolución:

A

O

B

C

D

L 2

L1

3

3

1

2

-

4

De acuerdo al gráfico* AOB: L1 = .4 = 4

* COD: L2 =

3

233

2

Luego: L1 = L2

3

234

rad14

32

37

7) Del gráfico, calcule "" en el sistema sexagesimal.

O

C

D

A

B

2

5

5

Resolución: Del gráfico:

O

C

D

A

B

2

5

5

R

R

i. Sector COD: R =



ii. Sector AOB: (R+5)=2R + 5 = 2 + 5=2 5=

5

180º

rad.5 rad36

Obs:

O

C

D

A

B

m n

s

s

De acuerdo al gráfico: s

mn

EJERCICIOS

Nivel I

1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de 24 cm de radio.

a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 18 cm de radio.

a) 2 cm b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio.

a) 50 cm b) 35 c) 70d) 140 e) 280

4. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40g en una circunferencia de 25 cm de radio.

a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio mide 45 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

a) 5(18+) b) 6(18+) c) 5(16+)d) 4 e) 4(25+)

6. En un sector circular, el ángulo central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

a) 2(+20) b) 2(+40) c) 4(+20)d) 4(+40) e) 2(+25)

7. De acuerdo al gráfico, calcular"L "AB

20º

36 cm

P O

B

A

a) cm b) 8 c) 16d) 4 e) 2

8. De acuerdo al gráfico, calcular "L "PQ

O

20 cm

20 g

Q

P

S

a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6

9. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio. Si se sabe que m= 102º y m= 20g, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo <C?

a) cm b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio. Si se sabe



que m= 80g y m= 28º, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo <C?

a) cm b) 2 c) 3d) 16 e) 32

Nivel II

1. En un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

a) 100 cm b) 50 c) 150d) 125 e) 25

2. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se triplica y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

a) 36 cm b) 24 c) 48d) 72 e) 30

3. En un sector circular el arco mide "L". Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

a) 1/6 L b) 2/3 L c) 4/3 Ld) 8/3 L e) 8/9 L

4. En un sector circular el arco mide "L". Si el ángulo cental se incrementa en su mitad y el radio se reduce en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

a) 3/2 L b) 3/4 L c) 2/3 Ld) 3/5 L e) 5/6 L

5. De acuerdo al gráfico, calcular:

3

21

L

LLK

AO

B

C

D

L2 L 1

L3

60º45º

E

a) 7 b) 26/3 c) 17/3d) 4 e) 25/3


2

31

L

LLK

L 2

L 1

30º

A

D

C

M

BO

N

15º L 3

a) 5/3 b) 7/3 c) 3/2d) 4/3 e) 7/4


3

21

L

LLK

si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en "O".

L 2 L3L1O

EC

FD

B

A

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 2/3


2

31

L

LLK

si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en "O".

L2 L 1L 3O

EC

FD

B

A

3

3

2

2

2

2

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,8 e) 1

9. Del gráfico, calcular "", si: L AD LBC=



A

3

D

B

1

C rad

a) 6

b) 14

3

c) 14

d) 7

e) 21

10. Del gráfico, calcular "", si: L AD 2LBC=

rad

B

C

D

O 32A

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Nivel III

1. En Aritmética es común llamar media geométrica de los números a1, a2, a3, ... an a la cantidad:

nn4321 a...a;a;a;amg

Si en un sector circular la media geométrica del radio, arco y ángulo central (su número de rad.) es igual a 4. ¿Cuál es la longitud del arco del sector?

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

2. Cuando se define el sector circular como una porción de círculo, su ángulo central no debe exceser a 360º; es decir, el ángulo central de un sector circular debe estar comprendido entre <0º;360º> ó en radianes entre <0;2rad>. Si en un sector circular el radio mide 8cm y el número de radianes del ángulo central es el máximo entero posible, ¿cuánto mide el arco?

a) 24 b) 48 c) 36d) 2880 e) 3600


232

232

241

241

)LL()LL(

)LL()LL(K

L2

L 4

L 1

L 3

ºgO

C

D

A

B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcule la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de:

º

'x7

'x3ºx

en una circunferencia donde un cuadrado inscrito tiene sus lados de longitud

cm.

a) cm

10

b) 5

c) 5

2

d) 10

3

e) 9

5. En el gráfico el triángulo comienza a girar en el sentido indicado alrededor de cada vértice hasta tener nuevamente a como base y manteniéndose en todo instante en el mismo plano vertical. Si el triángulo ABC es equilátero, determine la longitud de la trayectoria descrita por el punto "P".

A C A C

B B

P P

2

3

Recuerda para ello triángulo notable de 30º y 60º.



60°

30°

2

A

C

B

1

3

a) 195

3

2

b) 195

3

c) 193

3

2

d) 194

3

2

e) 191

3

2

II. TRAPECIO Y CORONA CIRCULAR

Fórmulas:La región limitada por un ángulo central y su arco correspondiente en una circunferencia, se denomina sector circular y su superficie se calculará con cualquiera de las siguientes fórmulas:

O

A

B

LS rad

R

RR

2

RS

2

2

LRS

2

LS

2

Donde: # de radianes del ángulo central.R radio del sector.L Longitud del arco correspondiente.

El uso de una u otra fórmula dependerá de los datos que presenten los ejercicios.* Superficie de un trapecio circular:

B

A

Sn m

C

D

O

t

t

La región limitada por los arcos concéntricos AB

y CD ; AC y BD por segmentos y se denomina trapecio circular y su superficie se calcula así:

t.2

nmS

* Problemas resueltos:

1. En un sector circular, el ángulo central mide

60º y el radio mide 32 cm. ¿Cuál es su superficie?

Resolución:

2 3

SO 60º

A

B

2 3

Graficando:

i. q = 60º a radianes

q =60º . º180

rad

= 3

radii.

S = 2

)32(3

2

= 6

3.4.

2cm2S



2. En un sector circular, el arco mide 2 cm y el radio 10 cm. ¿Cuál es en superficie?

Resolución:Graficando:

L=2SO 60º

A

B

R = 10

R = 10

i. 2

10.2S

2

LRS

2cm10S

3. En un sector circular el arco mide cm y su ángulo central 20º. ¿Cuál es su superficie?

Resolución:Graficando:

SO 20º

A

B

i. rad

9º180

radº.20

ii.

2

9

92

S22

2cm2

9S

4. Del gráfico mostrado, calcular la superficie de la región sombreada.

B

AC

D

O 30º

5

3

Resolución:

B

AC

D

O 30º

5

3

S

i. rad

6º180

radº.30

ii. S = S º º

A C

B D- S

2

3.6

2

5.6S

22

12

16

12

9

12

25S

2u3

4S

5. Del gráfico, calcule el área de la región

sombreada; si la longitud de CD , "n" y la

longitud de AB están dados por tres números en progresión aritmética de razón 2.

B

AC

D

O S

n

n

Resolución:

B

AC

D

O S

n

n

L 1 L 2

i. n

2

LLS 21

pero: L1 = n - 2

L2 = n + 2

Luego:

n.

2

n2n

2

2n2nS

2nS

6. Se tiene un sector circular de área 24 cm2. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte se genera un nuevo sector circular cuya área es:

Resolución:

Graficando:



i.

SO

A

B

1

R

R

i. 2

R24S

2

1

ii.

SO

C

D

2

R

R

-3 =

3

ii.

222

22

2

cm16S)24(3

2S

2

R.

3

2

2

R3

2S

7. Del gráfico, calcule: 2

1

S

SK

B

AC

D

4

4

S 1 S 2

1

1

O

Resolución:

Del gráfico:

B

AC

D

4

4

S 1 S 2

1

1

O

i. Sector COD: L

C D =.1 =

22

1.S

2

1

ii. Sector AOB: L A B =.5 = 5

iii. Trapecio ABOC:

12S4.2

)5(S 22

Luego:

2

1

S 12K K 24

S2

EJERCICIOS

Nivel I

1. En un sector circular cuyo ángulo central mide 45º y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie?

a) cm2 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

2. En un sector circular cuyo ángulo central mide

36º y su radio 102 cm, ¿cuál es su superficie?

a) cm2 b) 2 c) 4d) 5 e) 10

3. En un sector circular el arco mide 2 cm y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie?

a) 2 cm2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16

4. En un sector circular el arco mide /2 cm y el radio 6cm, ¿cuál es su superficie?

a) 3 cm2 b) 2

3

c) 4

3

d) 2

e) 6

5. En un sector circular el arco mide /4 cm y el ángulo central de 30º. ¿Cuál es su superficie?

a) 16

3

cm2 b) 8

3

c) 4

3

d) 2 e) 3

2

6. En un sector circular el arco mide /3 cm y el ángulo central mide 60º. ¿Cuál es su superficie?

a) 2

cm2 b) 3

c) 6

d) 12

e) 3

2

7. Del gráfico, calcular: 2

1

S

SK



S1

S260º 3

O

AB

D

C

1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8/9


1

S

SK

S1

S230º 3

O

AB

D

C

1

a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8d) 9/2 e) 9/32

9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada.

O

A

BD

C6 cm

23 cm

15º

a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 6


O

A

BD

C7 cm

3 cm

60º

a) cm2 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Nivel II

1. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

a) 9S b) 12 S c) 18 S d) 16S e) 15 S

2. Se tiene un sector circular de área "S". Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

a) 4 S b) 6 S c) 9 Sd) 12 S e) 18 S

3. Se tiene un sector circular de superficie 36cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

a) 36 cm2 b) 72 c) 144d) 18 e) 96

4. Se tiene un sector circular de superficie 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

a) 32 cm2 b) 24 c) 16d) 64 e) 18

5. Se tiene un sector circular cuya superficie es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

a) 48 cm2 b) 18 c) 24d) 36 e) 32

6. Se tiene un sector circular cuya superficie es 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:

a) 80 cm2 b) 576 c) 72d) 288 e) 144

7. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 36º. Si se reduce el ángulo central en 11º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"?

a) R/2 b) R/4 c) R/5 d) R/6 e) R/9

8. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo central de 49º. Si se reduce el ángulo central en 13º y el radio se incrementa en "x", de modo que el área del nuevo sector



generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de "x"?

a) R/2 b) R/3 c) R/4 d) R/5 e) R/6

9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si DAB es un sector circular con centro en "A".

45ºA

D

C

B

22

22

a) 4 - b) 3 - c) - 3

d)1

2

e) 22


B

DA

CE F

5

2

a) 10 - b) 5 - c) 2 - 5d) 10 - 2 e) 10 - 3

Nivel III

1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm, ¿Cuál es el mínimo valor entero que puede tomar la superficie de dicho sector circular?

a) 24 cm2 b) 25 c) 12d) 18 e) 28

2. Demostrar que el área de la región sombreada es:

S p

2

nm

= (ABCD: trapecio circular)

O

AC

Sn m

BD

p

p


31

SS

SSK

D

C

B

A

EF

S1

S2

S3

S4O

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) √2

4. Calcule la superficie máxima de un sector circular cuyo perímetro es de 4cm.

a) 1 cm2 b) 2 cm2 c) 3 cm2

d) 4 cm2 e) 8 cm2

5. Calcule la superficie máxima de un trapecio

circular cuyo perímetro es de 8cm.

a) 2 cm2 b) 4 cm2 c) 8 cm2

d) 16 cm2 e) 24 cm2


4ª SECUNDARIA MODULO DE TRIGONOMETRÌA

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