Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.

49 Ecuaciones Diferenciales

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Usar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como:

Ecuaciones de variables separables

ygxfdxdy

o también como:

ygxf

dxdy

si g(y) 0.

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales

Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:

Resolución de ecuaciones separables

dxxfdyyg

1

o también como:

dxxfdyyg

según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.

si g(y) 0.

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales

Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es unacurva que interseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que las rectas tangentes son mutuamenteperpendiculares en cada punto de intersección.

Trayectorias ortogonales

d xycyx

22

Familias de trayectorias ortogonales

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales

Si las pendientes de las rectas tangentes de una familia estánrepresentadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentesde la otra familia están representadas por y2’, luego:

121 ''yyProcedimiento

Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente

en términos de x e y. Reemplácela en la ecuación anterior y luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la ecuación diferencial que se obtiene.

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales

Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad fija V, lleno con una solución completamente mezclada de una sustancia con una cantidad y0.

Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.

Mezclas

c

v

v

V

y0

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferenciales Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el

instante t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia menos la razón a la cual se extrae:

)()( salida de razónentrada de razón dtdy

Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x (volumen por unidad de tiempo) = cv.

Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x (volumen por unidad de tiempo) = .v

Vy(t)

Ecuación diferencial que modela:

00 y) v , y(Vy(t)c

dtdy

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ley de crecimiento naturalCrecimiento poblacional

Ecuación diferencial que modela:

Ay ,k ,kydtdy

(0)0

Función de crecimiento poblacional:

ktAety )(

Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial.

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ecuaciones diferencialesDesintegración radiactiva

Ecuación diferencial que modela:

000 m), m(km, kdtdm

Función de desintegración radiactiva:

ktemtm 0)(

Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía“Cálculo de una variable”Sexta ediciónJames Stewart

Ejercicios 9.3 y 9.4