,CALCULO

DIFERENCIALE INTEGRAL

VOLUME 11

Armando RighettoAntonio Srgio FerraadoProfessores do Instituto Politcnicode Ribeiro Preto daInstituio Moura Lacerda

IBEC - Instituto Brasileiro de Edies Cientficas Ltda.1982

Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcanarcertos objetivos.

Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores emquase todas as reas: Social, Humana e principalmente as Tecnolgicas.

Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lgica trata de assuntos indis-pensveis para um bom curso de Engenharia, de Fsica, de Estatstica, de Medicinae de Computao.

Os dois volumes so ricos em exerccids resolvidos e propostos. Estes, comrespostas e, quando necessrio, com sugestes para sua resoluo.

O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano,com 4 ou 6 'horas aula semanais. '

Clculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: nmeros reais, funes, limi-tes, derivadas e diferenciais. Clculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesmadurao: integrais indefinidas e as tcnicas de integrao, integrais defrnidas, clculode reas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.

O segundo volume poder ter alterada a ordem dos assuntos.Sugerimos, para Clculo III, funes de vrias variveis, derivadas parciais,

diferenciais e equaes diferenciais, com modelos matemticos aplicados Bio-logia. Para o Clculo IV: estudo de mximos e mlimos, derivadas direcionais,integrais de linha, integrais duplas e triplas e sries.

Outros assuntos, como cnicas, qudricas, vetores, nmeros complexos efunes hiperblicas, so tratados nos livros de Geometria Analtica e Vetores eNmeros complexos e funes hiperblicas de autoria do Armando Righetto.

Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemtico e a mani-pular modelos por mtodos matemticos.

Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for-maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestes.

OS AUTORESRibeiro Preto, maio de 1981

NDICE

Captulo 1

Funes de Vrias Variveis '. . . 3Conceitos Bsicos. Limites. Continuidade. Problemas Resolvidos .. ProblemasPropostos.

Captulo 2

Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . .. 19Acrscimos. Derivadas Parciais. Interpretao Geomtrica das DerivadasParciais.Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivao.Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos.

Captulo 3

Diferenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51Diferencial Total. Aplicaes. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Captulo 4

Funes Compostas 79Funes Compostas de uma VarivelIndependente. Funes Compostas de duasou mais VariveisIndependentes. Diferenciao de Funes Compostas. FunesImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Captulo 5

Mximos e Mnimos 109Mximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funes ImpUcitas.Ajustamento de Retas. Mximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvi-dos. Problemas Propostos.

Capitulo 6

Derivadas Direcionais 145Conceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas deNevel. Funes de trs Variveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos.Problemas Propostos.

Capitulo 7

Integrais Mltiplas 175Integrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicaes. Transformaes das IntegraisMltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Captulo 8

Integrais Curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223Definies. Notao Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das IntegraisCurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espao. Teore-ma de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~masPropostos.

Captulo 9

Sries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241Sries. Convergncia Absoluta e Condicional. Critrios de Convergncia e Diver-gncia. Srie~de Potncias. Desenvolvimento em Sries de Potncias. ProblemasResolvidos. Problemas Propostos.

Captulo 10

Equaes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269Defini6es. Soluo de uma Equao Diferencial. Equao Diferencial de Pri-meira Ordem e Primeiro Grau. Aplicaes das Equaes Diferenciais Lineares.Aplica6es das Equaes Diferenciais Biologia. Problemas Resolvidos. Proble-masPropostos.

1FUNES DE vRIAS VARIVEIS

Reaquea a confzana nos irmos que esmo-recem ao contato dos problemos do mundo e osajude a refletir na Bondade Divina que nos'acolhe a todos. ,-

As funes reais de vriasvariveisreais aparecem naturalmente em problemasprticos.

Quando procuramos a rea S de um paralelogramo de base x e altura y,multiplicamos a base pela altura. Ento, o valor de S :::::xy depende dos valoresda base e da altura.

Dizemos que a rea S funo das duas variveisx e y.Da mesma forma conclumos que o volume de um paraleleppedo, de

dimenses x, y e z uma funo de 3 variveis, pois V = xyz e a cada temode valores atribudos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume.

Inmeras funes podem ser definidas por frmulas.

Assim, z = x + .JY - 4 funo das variveis x e y. De fato, a cadax

par (x, y) de nmeros reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bemdeterminado de z.

A Fsica, atravs de suas frDulas, tambm oferece inmeros exemplos defunes de vrias variveis.

Sejam X, Y e Z, conjuntos de nmeros reais, tais que, a cada x E X e acada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um s z E Z.

1.1.1 - FUNO

Diremos que o conjunto Z funo dosY conjuntos X e Y.

Se a cada x E X e a cada y E Y corres-ponder mais de um z E Z, diremos queZ uma relao de X e de Y.

Conclumos do exposto que

F = {(x, y, z) Ix E X, Y E Y, z E Z Iz = f(x, y)}onde X e Y so denominados domnio e Z contradomnio. Usa-se representar afuno apenas pela lei de correspondncia:

Faamos uma representao grfica mais conveniente. Tomemos 3 eixosortogonais 2 a 2.

A cada par (x, y) corresponde um z.O terno ordenado (x, y, z) tem porimagem grfica um ponto do espao.

A funo de 2 variveis reais defi-nida em certos pontos (x, y) do planoreal; portanto, o conjunto D destespontos, domnio da funo, uma super-fcie de R2

Fig. 1.2.

Quando a funo f de 3 variveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corres-ponder, atravs da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todosos ternos ordenados (x, y, z) de nmeros reais o espao R3 = R X R X R.Logo, toda a funo real de 3 variveis reais definida em um subconjunto Ddo espao tridimensional real.

, ///................................................. 1.. .

Deternnemos o domnio de algumas funes, construindo um esboo domesmo.

Exemplos:/'

E1 Seja z = xyx-y

A caracterstica da funo z um quociente e ele s defInido parax - y =1= O, isto , para x =1= y.O domnio de z o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pon-tos do plano xOy que no pertencem bissetriz dos quadrantes mparesx = y.

./../

././/

Se f - VX - 2Ja a unao z = -_-_-_-_-_.yy - 4

Alm do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A funo z definida para

x-2~O====>x~2y-4>O===>y>4D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y > 4}

E3 \ Seja a funo z = x2 - 3xy + y2 - 1.\~ Esta funo de.fmidapara \Ix e \ty E IR, ento:

D.....:R2

o domnio D todq o plano real R2

E4 Seja a funo w = 4xy - 6xz + 8yz.O valor de w defmido em todo ponto (x, y, z) E R3 Podemos admitircomo domnio da funo o espao real R3

D=R3

Es' Seja a funo

w = J 1 - x2 - J 4 - y2 - 2 J 9 - Z2.

Para w ser um nmero real bem definido

1 - x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ OResolvendo as desigualdades,.resulta

-1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3

o domnio da funo D = {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3}

D ,-Geometricamente, o domnio D um// paraleleppedo de faces paralelas aos pla-

,/ nos coordenados.,,/

No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma funo real de umavarivel. Estendamos tal conceito s funes de duas ou mais variveis.

Consideremos a funo z = f (x, y) de domnio D C IR" e um ponto(xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante prximos doponto (xo, yo). Denominamos vizinhana circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) aoconjunto dos pontos (x, y), tais que:

O < .J (x - XO)2 + (y - Yo)z < 6

o < (x - XO)2 + (y - Yo)" < 6"que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)'

Diremos que a constante Q E ]R o limite da funo f, quando o pontovarivel (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um nmero E: > O,to pequeno quanto desejarmos, for possvel determinarmos em correspondnciacom ele um outro nmero > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaa ademgwildade .

O < (x - xoi + (y - Yoi < 2tenhamos

If(x, y) - Q I< E:

1im f(x, y) = Q(x,y) ~(xo,Yo)

1im f(x, y) = Qx-+xoY-Yo

No clculo de limites de funes de vrias variveis aplicamos as mesmaspropriedades estudadas no volume I.

Exemplos:

Calcule lim (1 + y2) sen 2 x .x-o Xy-+l

Soluo: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminao do tipo ~ .

Levantamos a indeterminao

1irn (l + y2) sen 2x = lim sen 2xx -+0 xy x-o Xy-+l y-+l

lim 1 + y2x-o yy-+l

FUNOES DE VRIAS VARIVEIS

lim (l + y2) sen 2x = 2 [ lim sen 2X] 1 + 1x~o xy x~o 2x 1Y~l Y~l

, v .J-1

lim (l + y2) sn 2x = 2 1 2 = 4x~o xyY~l

Calcule lim 2';.x~o X Yy~o

Soluo: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminao do tipo ~ .

Procuremos levantar a indeterminao. _O ponto (x, y) est prximo da origem. So ,inmeros os caminhos deaproximao do ponto (x, y) origem e sempre atravs de uma reta.

S . 2xy 2y drni' d vizinho d'eJa z = + - e a tin o que, nas anas a ongem,x y 1 +L

xo ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) atravs da reta

y = mx ====>.L= mx

19 Caminho:

Segundo a reta y = x, portanto, m = 1. Da,

lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 O = OX ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1 + 1y~o y~o X y~o

29 Caminho:

Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>- m = O. Assim,

lim 2xy = 1im 2y _ lim 2y =--= O(x,y)~(o,o) x + y . (x,y)~(o,o) 1 +1: (x,y)-(O,o) 1 + m 1

- x

39 Caminho:11'

Segundo a reta x = O (eixo dos y) ====> m = tg 2" = 00. Neste caso,

lirn 2xy = lim 2y O O(x,y)-+(o,o)X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m - 1 + 00 =

49 Caminho:

Segundo a reta y. = - x ==:> m = - 1. Nestas condies,

lim _2_x~y_= lim _2 y__ O(x,y)-+(o,o) X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m O

Uma funo z = [(x, y) dizse contnua no ponto (xo, Yo) quandolim [(x, y) = f(xo, Yo)

X-+Xo

y-+Yo

Se esta condio no for satisfeita, a funo ser descontnua no ponto(xo, Yo)'

Exemplos:

E1 Verifique a continuidade da funo z = 2xy - 4 no ponto (2, 1).Calculemos:

lim (2xy - 4) = OX-+2y-+l

~ Verifique se a funo [(x, y) = 2 - Y senx contnua no ponto (O, O).x

Calculemos:

[(O, O) = 2 ~ O sen O == g (Deixa de existir o valor da funo).

tim 2 - Y lim (2 ) ti sen x 2 1 2e --senx= -y m--= =x-o X x-o x-o Xy-o y-o y-o

Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da funo, masexiste o valor do limite, podemos modificar a definio da funo de modo atom-Ia contnua.~sim:

z =f(x. y) {_2_-_y_ senx para x =1=O

x

.;:) Determine o domnio da funo z = Qn (4 - x - 2y) e faa um esboo gr-J fico.Soluo: Examinemos a funo

z = Qn (4 - x - 2y)Existir z real para

4 - x - 2y > O ou x + 2 Y - 4 < OD = {(x, y) E lR?lx + 2y - 4 < O}

Vejamos o esboo grfico.A desigualdade x + 2 y - 4 = Oe no situados sobre a reta.Representemos a reta

x + 2y :- 4 = O.paray = O--> x = 4para x = 0--> y = 2

Experimentemos o ponto (O, O) nadesigualdade x + 2y - 4 O + O - 4 < O. Oponto (O, O) satisfaz a inequao,logo o semi-plano o hachurado.

\

~ Determine o domnio da funo z = .j - x' + 5x - 4 - v' 3Y - y' e repre-sente-o geometricamente.

Soluo: Examinando a funo, notamos que z real acontece quando

- x2 + 5 x - 4 ~ O e 3 y - y2 ~ OResolvendo as inequaes:.

- x2 + 5 x - 4 ~ O =-~--->- 1 ~ x ~ 43y_y2~O_~>O~y~3

Ento,

D = {(x, y)E R211 ~ x ~ 4 O ~y ~ 3}

Representemos graficamente

PR3 Calcule o lim _x_ (1 + yl )Y(x,Y)-+-(O,+oo) sen x \

lim x (1 +1..)y . lim 2:.- lim (1 + yl)Y =(x,y)-+-(o,+oo) sen x Y x-+-o sen X x-+-o

y-+-+oo y-+-oo

J (- 2)2XCalcule lim x (l + x) .-y-2--x-o Y ! - 4Y-2

Soluo:

lim x~1 + x) (y - 2)2X = lim (1 + X)l/X (y - 2)2 =x-o V y2_ 4 x-o y2 - 4Y-+-2 Y-2

PRs Calcule lirn (x2 + 2x - 3)(y2 - 1)

"""J/ (x,y)-+( -3,1) xy - x + 3y - 3Soluo:

lirn (x2 + 2x - 3xy2 - 1) =(x,Y)-+(-3,l) xy - x + 3Y - 3

_ 1im (x + 3)(x - 1)(y + 1)(y - 1) =(x,:Y)-+(-3,1) x(y - 1) + 3(y - 1)

_ lim ..(x-l-3J(x - 1Xv + 1XJz--11 =(x,y)-+(-3,1) ~

PR6 Calcule 1im 1 - cos x Qn (1 + y)x-+o xy senxy-+o

Soluo:

lirn 1 - cosx Qn (1 + y) = lim [1 - cosx] [.1. fln (1 + y)] _X-+O xy sen x X-+O X sen x yY-+O y-+o

= 1im [1 - cosx] [Qn (1 + y)l/Y] =x-+o X sen x X-+O .y-+o y-+o

= lirn (l - cos xXI + cos x) Qn [ lirn (1 + Y)l/Y] _x-+o (senx(1 + cosx) x-+o,Y-+O y-+o

sen2 x----------..= 1im 1 - cos

2x Qn [ 1im (1 + Y)l/Y] _

x-+o X senx(1 + cosx) x-+oY-+O Y-+O

= 1im senx 1im 1 Qn [ 1im (1 + y)1/Y] _x-+o X X-+O 1 + cos x x-+oy-+o Y-+O Y-+O

=1 1 n 11 + 1 Jt.ne =2"

PR7

Calcule lim x2y - 2x2 - 5xy + lOx + 4y - 8

x -+ 1 x2y - 2 x2 - y + 2Y-+2

Soluo: ~e passarmos ao linte chegaremos a ~. Levantemos a indeter-

nTIao

lim x2 Y - 2 x2 - 5 xy + 10 x + 4Y - 8 =X-+1 x2(y - 2) - (y - 2)Y-+2

= lim x2 (y - 2) - 5x (y - 2) + 4 (y - 2) =x -+ 1 x2 (y - 2) - (y - 2)y-+2

= lim (x2 - 5 x + 4)(;)z.----21= lim (x - 4)(x--t) _X-+1 (x2 - l~ X-+1 (x + l)(.x----t)-y-+2 y-+2

1 - 4 3- 1 + 1 = -2'"

Estude a continuidade da funo z ::: Qn (x2 + y2).Solu: Como g (x, y) = x2 + y2 e f(w) = Qnw, podemos considerar afuno z = Qn (x2 + y2) como composta de g com f:

(fog)(x, y) = f[g(x, y)] = f(x2 + y2) = Qn (x2 + y2)Esta funo descontnua apenas no ponto (O, O). Portanto, contnua naregio R2 - {(O, O)},

aw = sen-(3

A funo w descontnua apenas para [3= O. Portanto, contnua nossemi-planos abertos

D1 = {(a, (3) E R21[3 > O} e D2 = {(a, (3) E R21[3 < O},conforme o grfico.

PR 10 Estude a continuidade da funo

w = 4xyz.J 9 - x2 - y2 - Z2

Soluo: Existe w = f(x, y, z) se, e somente se, 9 - x2 - y2 - Z2 > Oou x2 + y2 + Z2 < 9. Portanto, a funo w contnua na bola aberta deraio 3.

PRll\Verifique se a funo f(x, Y) = 11- yX . y

2- ; contnua no ponto

- x y-(1, 2).Soluo: Calculemos:

l-If(l, 2) = I _ I

4-4 O=-2 - 2 O

1 - . rx y2 - 4lim __ v_~. --- -l-x y-2-X-J

Y-2

= lim (1 - vx)(I + vx) lim (y + 2)(y - 2) =X-I (1 - xXl + vx) X-I y - 2y-2 Y-2

1

= ;~1.L-.(l'---'lI:~)(1 :- vx) X~l (y + 2) = I ~ I (2 + 2) = 2Y-2 y-2

A funo descontnua no ponto (1, 2). Para torn-Ia contnua teremos queredefinila, assim:

{

I - vx- . _y_2_-_4_ para x =1= I e y =1= 2f (x, y) = 1 - x y - 2

2 para x = 1 ey=2

Determine, em cada caso, o maior subconjunto de R3 no qual so defmidasas funes:

PP2

W = x + y - z + 2xyz

pp4 Z = x - 2y + -J 12 + x - x2~4y _y2

PP5 z = -J Iy I - Ix I~2x -y - 1z= .Jx+3y-4

Calcule lim 2y(x,y)-(o,o) x + y

Resp.: ~

Calcule 1im y [cotg xl ~n (1 + tg x)(X,y)-(O,o) e2Y - 11

Resp.: 2"

PP10 Calcule lim 22xy 2x-o x + Yy-o

Resp.: ~

PPu Calcule ~2 (V"X - ~ ;);1 + 2y)y-o

V2Resp.: -2-

. esen2X - 1 y 3PP12 Calcule 1im ----. -x -o sen x cos x y2 - 7y + 12y-3

Resp.: -2

f (x, y) = x2 - 4x + 3 y2 + 4x2 - 6x + 9 Y - 2

Resp.: Contnua nos pontos {(x, y) E R21x =1=3 e y =1=2}

PP13 Descreva o subconjunto de ]R'2 em que a funo z = cos ; contnu.a.

Resp.: contnua nos semi-planos abertos

D" = {(x, y) E R"ly < O}

Descreva o subconjunto de ]R" em que a funo [(x, y) = x + Y .x-yResp.~Semi-planos abertos {(x, y) E ]R" Ix #: y}.

PP1S Descreva o subconjunto de ]R" em que a funo [(x, y) = 2n (y - x).Resp.: Semi-planos abertos {(x, y) E]R21y > x}.

PP16 A funo w = Ix + y - z + 21 contnua em ]R2. Justifique.

PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a funo [(x, y, z) -= ~ x2 + y2 + Z2 - 9 no definida.

PP18 Determine o ponto para o qual no definida a funo w = X2y2 fn Izl.Resp.: z = O

PP19 D o domnio de [(x, y) = arc sen 2x +- y.x Y

12X -y!Resp. : x + y =:;;; 1

PP,o Sendo f(x, y) = x3 - 2xy +3 y2, Calcule f(;, ~).

1 4 ]2Resp.:---+-x3 xy y2

2DERIVADAS PARCIAIS

No te queixes, trabalha.No te desculpes, aceita.No te lastimes, age.No provoques, silencia.No acuses, ampara.No te irrites, desculpa.No grites, pondera e explica.No reclames, coopera.No condenes, socorre.No te perturbes, espera.Nada exijas dos outros,Conta sempre com Deus.

Seja a funo z = f(x, y) definida na regio D C lR? Tomemos o ponto(x, y) E D e atribuamos a x o acrscimo 6.x e a y o acrscimo fj.y, tais que oponto (x + b,.x,y + fj.y) ED.

O acrscimo da funo quando passamos do ponto (x, y) ao ponto(x + b,.x, Y + 6.y)

fj.z = f(x + fj.x, y + fj.y) - f(x, y)e se chama acrscimo total da funo.

A variao das variveis independentes x e y pode ser aferida atravs dadistncia fj.Qentre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y).

A - 6.z f(x + fj.x y + fj.y) - f1x y) - . alrazao - = ' " , uma razao mcrement efj.Q 6.Qseu limite, para fj.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto,

caso o limite existisse.Entretanto, este limite quase sempre no existe, pois o ponto, (x, y)

poder aproximar-se do ponto (x + 'x, y + .y) de inmeras maneiras e o limitevai depender da maneira de aproximao, isto , da direo de aproximao.Estas consideraes levar-nos':o ao conceito de derivada direcional, que estuda-remps mais adiante.

I - Acrscimo parcial em x

Seja a funo z = f(x, y) e o ponto (x, y) ED. Conservemosy constantee atribuamos a x o acrscimo 'x, tal que o ponto (x + 'x, y) ED. O acrscimoda funo quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + 'x, y)

t1xz = f(x + 'x, y) - f(x, y)

I~~"~"T......... iz

.II - Acrscimo parcial em y

Se na funo z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~s-cimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), tambmpertencente a D, teremos o acrscimo parcial em y,

6yz = {(x, y + 6y) - {(x, y) .

... -_......1"y Z

z I 1.

Valor inicial da funo:

f(x, y) = xZy2 - 3xy + 4Valor acrescido da funo:

f(x + x, y) = (x + X)2y2 - 3 (x + 6.x)y + 4

Valor acrescido Valor inicialr_--- , r__---A--- "xZ == (x + X)2y2 - 3 (x + x)y + 4 - (X2y2 - 3xy + 4)

6.xz _ [x2+ 2x x + (X)2]y2- 3 (x +x)y + 4 _X2y2 + 3xy - 4x - x6.xz- =X2y2 + 2xy2x +y2(X)2 ,- 3xy - 3y6.x + 4 _X2y2 + 3xy - 46x 6.x6.xz 2xy26.x - 3y 6.x +y2 (6.X)2 E&t d di---x-= ------------'--x- ........--.....-- le uan O a Vlsao-->

6.xz=>--= 2xy2 - 3y +y2xX

xzlim - = lim (2xy2 - 3y + y26.X)tox-o 6.x tox-o'-----v-----'

z "-=2xy"- 3yx

Observao: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicandoas regras de derivao estudadas no Cap..N do volume I e considerandoy constante quando derivamos parcialmente em relao a x e, x constante,quando derivamos parcialmente em relao a y.Assim:

az 2

C-=2XY -3yaxz = X2y2 - 3 xy + 4 az Z-= 2x Y - 3xayEz DeterIlne as derivadas parciais de z = sen (x + 3y) - cos (2 x - y).

Soluo: Apliquemos a regra prtica:

der. sen der. arco der. cos der. arco__ A

az' --.., r. ---,ZC aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x - y)

azay = 3 cos (x + 3y) - sen (2x - y)

Uz~ ...2 ~ ~Determine as derivadas parciais de z = Qn x2 - yz com ".2 ~ Y~:> (),'x + Y x -,-y:l. ISoluo: Preparemos a funo:

az xax = x2 _ yZ

_ 2xy2- x4 _"y4

x = x3 + xy2 _ x3 + xy2 =XZ + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)

az -yay = xZ _ y2

2x2y- - x4 _ y4

y = _x2y _ y3 _ x2y + y3 _x2 + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)

2.3 - INTERPRETAO GEOMTRICA DAS DERIVADASPARCIAIS

Seja z = f(x, y)urna funo defInida naregio D C R 2 tendopor imagem grfica asuperfcie S do R3 quese projeta sobre D noplano xOy.

Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A funo z = f(xo, y) ser unicamenteda varivel y e representar a curva Cb interseco do plano x = xo, paraleloao plano yOz, com a superfcie S de equao z = f(x, y).

Se fIZermos y = Yo, a funo z = f (x, Yo) ser unicamente da varivelx e representar a curva C2, interseco do plano y =Yo, paralelo ao plano xOz,com a superfCie S.

Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfcie Se interseco dascurvas C1 e C2

A derivada parcial aaz nos d o declive da tangente t2 curva C2 noXo

ponto Po (xo, Yo, zo), em relao reta (7), paralela ao eixo dos x.

~z-= tgaaxo

A derivada p~cial aaz nos d o declive da tangente ti curva C1no pontoYo

Po, em relao reta (s) paralela ao eixo dos y

I az ~p Iayo

As duas tangentes tI e tz, tangentes superfcie S no ponto Po, determinamum plano tangente superfcie S, cuja equao geral

Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equao satisfeita pelas coorde-nadas do ponto, assim:

Axo + Byo + CZo + D = O (2)

Subtraindo a (2) da (1) > A (x - xo) + B (y - Yo) + C(z - zo) = O.Isolandb o termo em z ->

A B. > z - Zo = -C(x - xo) -C(y - Yo) (3)

Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equao da reta tz, tangente-'

S no ponto (xo, Yo, ~o).Portanto,

A az--=tga=-C axo

Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equao da reta th tangente

S no ponto Po.Portanto,

B az--=tg{3=-C ayo

-Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta

az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo

equao do plano (17) tangente superfcie S de equao z =I(x, y), no pontoPo (xo, Y, zo). Deduzamos agora as equaes cannicas (simtricas) da normal superfcie S no ponto Po (XO, Yo, zo).

A normal (n) superfcie S no ponto Po (xo, Yo, zo) perpendicular aoplano (n) tangente superfcie no mesmo ponto e conseqentemente perpendiculars tangentes tI e tz.

O vetor diretor da reta (n), normal superfcie S , portanto paralelo ao~

vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C).~

A normal n = [Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)], ter por equaes

x - Xo Y - Yo z - Zo- -A B C

x - Xo Y - Yo Z - Zo-C--= -C--= -C--A B Cx - Xo

A-C

Y - Yo Z - Zo- -B C-C -C

A z B z CComo --= - -- =- e --= -1 resultaC Xo' C Yo C '

x - XozXo

Y - Yo z - Zo- -z -1

Yo

Exemplos:

E1 Determine as equaes do plano tangente e da normal superfcie z == x2 - 4 y2 no ponto P~(5, - 2).

Soluo: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinando

Zo = (5)2 - 4 (- 2)2~ ~Xo Yo

Zo = 25 - 16Zo = 9

Ento, Po (5, - 2, 9).As funes derivadas parciais so

C~=2Xxz = x2 ~ 4y2 z-= -8yy derivadas--> ====>no ponto~. z

C- = 25 = 103xo---> z- = -8(-2) = 16Yo

a) Equao do plano tangente:

az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayoz - 9 = 10 (x - S) + 16 (y + 2)z - 9 = 10x - SO + 16y + 32

110X + 16y - z - 9 = O Ib)IEquao da normal:

x - Xoazaxo

x-S_y+2_z-910 - 16 - -1

Dada a funo z = f (x, y), diferencivel, as suas derivadas, parciais sofunes das -mesmas variveis.

Assim, ~: = Ix (x, y) e ~; = I; (x, y).Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possvel, obte-

remos as derivadas parciais de segunda ordem da funo inicial. As derivadasparciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituiro as: derivadasparciais de terceira ordem; e assim sucessivamente.

Partindo de z= 1(x, y)

a (az) a2z 4:"az C ax ax = ax2 = Jx,x (x, y).ax = Ix (x, y) () 2a az a z ,ay ax = axay = Ix,y (X, y)

. a (az) a2z r' ( )

C ax ay = ayax =Jy,~ x, Yaz , ( )ay =Iy x, Y 2a (az) a z r'- - =-=Jyy(x,y)ay ay ay2 '

Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem soIx e /y. Se essas fune~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter4 funes derivadas parciais de segunda ordem:

h,x; Ix:y; J,x e J,ySe as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo.

Se for possvel continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, e assimsucessivamente. A funo derivada parcial de 2' ordem a~2:yindica a derivadaobtida aps derivar duas vezes, a primeira vez em relao a x e a segunda vezem relao a y.

J a funo derivada parcial a3z indica a derivada obtida aps 3 deri'axay2

vveis sucessivas, a primeira vez em relao a x, a segunda vez em relao a ye a terceira vez em relao a y.

Consideremos agora a funo w = f (x, y, z) e consideremos possvel asua derivao sucessiva.

DElUV ADAS PARCIAIS 29

E4~Xh,x, h,~,yIx"X,x,Z

E4Y,XIx ' . "t'x,y t'x,y,yIx"x,y,z

/ E4~Xh,z h,~,y{;."x,z,zE!Y.~.x

t;,x 1J,~,y

h"Y,X,z~"E y,y,x

w = {(x, y, z) y tY.y, !Y.Y,y. "'''" 'y,y,zE!Y.~xt;,zt;,~,y

Ii,~z

Et.:~,xz:x Iz:~,y

. t'z"Z,X,z

Et.:~.xt;, h,y Iz:'y,y

z"z,y,z

Et.:~xIz:z . Iz:~,y

Iz"Z,Z,z

Exemplo:

Dada a funo z = x4 - 3x3y + 6X2y2 - 4xy3 - 6y4 + 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem

( te)\ - --- .\ '() "I /

N d . das 3Z

3Z - difiotamos que as enva extremas -3 e -3 sao erentes, enquanto as

x ymistas so iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivao:

2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAAO

Conforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivao irrele-vante, se as derivadas parciais forem contnuas.

Teorema de Schwarz: Se a funo f (x, y) admitir todas as derivadas parciaisde 2, ordem na regio D C R2, e se estas derivadas forem funes contnuas emD, ento:

2f 2f- =- emtodoponto~EDx y' y xEste teorema se estende s derivadas mistas de ordem superior 2, ordem. Assim:

Sz Sz Szxxxxy - xxxyx - xxyxx -

asz Sz- xyxxx - yxxxx

podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por :z , indi-x y

cando que a funo z deve ser derivada 4 vezes em relao a x ~ em relaoay.

O nmero de derivadas parciais distintas de ordem n nos dado pelascombinaes com repetio de m elementos (nmero de variveis independentes)tomados n a n.

(CR) - C - (m + n - IXm + n - 2) ... em + 2Xm + 1)mm,n - m+n-l,n - n!Uma funo de vrias variveis y = F (x h X2, X3, , xm) dir-se- de

classe Cn em uma regio D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis-

tirem e forem contnuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2,3, 4, ... , n. Escrevemos

F E Cn (classe de diferenciabilidade).

PR1 Deternne, em cada caso, as derivadas parciais da funo:

z = (x2 - xy +y2tSoluo: Notemos a existncia das componentes potncia e base.

PR2 Z = xy yX, com x > O e y > O.Soluo: Nos dois fatores figuram x e y, teremos ento a funo produto

z , ,

C x = JlxV + JlVxz z , ,y = Jlyv + JlVya) Deternnao de ~:. Em relao a x

Il = xy (potncia natural) ====>: Jl~ = yxY-1

V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y

b) Detenninao de ~;. Em relao a y

JJ. = xY (exponencial) --> JJ.~ = xY inxv = yX (potncia natural) ====:> Vy = xyX-l

PR3 Z = cos2(v'X - y).Soluo: Notemos a existncia das 3 componentes: potncia, co-seno e arco.

~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX - y)]" _Ir::-x ,_______ ,;2 v xv

- seno do arco duplo

sen2(y'X - y)- -

2 v'X

az = [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X - y)](-I) = sen2(v'X - y)ay

PR4 Z = X3y2 + x22ny - cos(xy).Soluo: Na ltima parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-senoe arco

zC ::= 3X2y2 + 2x 2ny + y sen(xy)az x2- = 2x3y +- +x sen(xy)ay y

PRs z = xex-y +yex+ySoluo: Em relao a x, a primeira parcela funo produto, pois tem x nosdois fatores e, em relao a y, a segunda parcela funo produto.

C .az = (1eX-Y + xex-y 1) +yex+y 1ax

z az = xeX-r(-I) + (1 eX+Y + y~+Y 1)ay

C~:= (l + x)eX-Y + yeX+Y

z Z = (l + y)eX+Y _ xeX-Yy

eX, PR6 w =- - ~nxyz + sen(x - 2z)eY

Soluo:Preparemos a funo: w = eX-Y - ~nx - ~ny - ~nz + sen(x - 2z)

w = eX-Y 1 - 1-+ [cos (x - 2z)] 1x x

w = eX-Y (-1) _1-y y

W 1 .z = - Z + [cos(x - 2z)](- 2)

W eX 1- =- --+ cos(x - 2z)X eY x .

W eX 1-=----y eY y

w 1z =-z-2cos(x-2z)

PR7 Z = x2 ~nxy.

Soluo: Notemos que em relao a x a funo do tipo JlV (produto),pois tem x nos dois fatores.

Funo preparada: z = x2 (~n x + ~ny)

, , + ' Et-z = uv -~> Zx = UxV UVX. n ao, comou = x2 ====:::> u~ = 2x

v = ~nx + ~ny ====> v~ =-;, 2 1> zx = 2 x (~n x + ~n y) + x - >

x-> z~ = 2xQnxy + x

az 2 1 x2-= X -=-ay y y

C z~ = 2x Qnxy + xz = x2(Qnx + Qny)- , x2z =-y yPRs z = f(senxy).

Soluo: Notemos que a derivada da funo f a mesma, quer em relaoa x, quer em relao a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenasas derivadas do arco so diferentes

d . d f derivo d' denv. e d env. o arcoecosaz ---------- ,...-A--... ...----A----

C ax = rr (sen xy )][cos xy J yz = f(sen xy) .-az rray = (senxy)][cosxy]xa -- C a: = y rr (senxy)] cosxy

z = f(senxy)~; = x [f' (sen xy)] cos xy

Soluo: Preparemos a funo:

f(x, y) = senx-1 y + Qny - Qnx

af [ -1]( -2) 1

C-= cosx Y -x y--ax xf(x, y) af = [cosx-1Y]X-1 +1.-ay yaf y y 1

f(x, y) C ax = - x2 cos"X-X"af 1 y 1-=-cos-+-ay x x y

PR10 Dada a funo z = f(;), verifique se x :~ + y :; = o.

Soluo:1. Deternnemos as derivadas parciais de z

x af +yEt=~t(x) _x t(x) =0ax ay y y y YSim.

_ all all 31l 2PRu Dada a funao Il = are sen (xyz), verfique se 3x 3y az = see Il tg Il

Soluo:1. Determinao das derivadas parciais

_a Il_ = --;:==1==yz3x v' 1 - (XYZ)2

all = 1 xz3y .J 1 - (XYZ)2all 1-= ---""""'X.Yaz v' 1 - (xYZ)2

2. Verificao da igualdade ~~ ~; ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto

das 3 derivadas'"

a Il a Il a Il _ yz xz xyax . 3y ai - [.J 1 - (XYZ)2]3

31l all all = (xYzi3x 3y ax [v' 1 - (xyz)2]3

De Il = are sen (xyz) > xyz = sen Jl.

SubstitUindo em (1) =>

ap. ap. ap. sen"p.-->_.-.-= ------ ax ay az [y' 1 - sen"p.]3

sen"p. 1 sen" p.=--= __ 0_-cos3 P. COS J.l cos" J.l

v

COS J.L

PR 12 Ache a equao do plano tangente e as equaes da reta normal superfciez" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5).Soluo: Vimos que a equao do plano tangente (1T) superfcie z no pontoPo (xo, Yo, zo)

az azz - Zo = axo (x - xo) + ayo (y - Yo)

Determinemos pois as derivadas parciais no ponto.De Z2 = x2 + y" > Z = .J x2 + y2 (z = 5 > O)

az 1 -\, azax = ~y'X2+y2 ""x => axo =

_ 1 3=1v9 + 16 S

az 1 -b azay =.~ y'x2 + y2 ",y => ayo =

_ 1 4 =...V9 + 16 S

Substit]lipdo na equao do plano (1T)

z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)5 55z - 2S = 3x - 9 + 4Y - 16

13X + 4y - 5z = O I

As equaes simtricas da normal (n) so:

x - Xo Y - Yo z - Zo- -az az -1

axo ayo

Ento, (n)

x-3_y-4_z-5__ x-3_y-4_z-53 - 4 - -1 --.> (n) 3 - 4 - -5- -5 5

PR 13 Ache as equaes do plano tangente e da reta normal superfcie x2 ++ y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) etem z > O.Soluo:1. Determinao do ponto Po (xo, Yo, zo).

Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na funo, vem 4 + 9 + Z2 =

= 38 => 1 z 51, pois, z > O

2. Determinao das derivadas parciais em PoPreparemos a funo x2 + y2 + Z2 = 38:z = ..j 38 - x2 _ y2

3. Determinao da equao do plano tangente.Como (1T)

-........

az az 2z - Zo = -ax-o (x - xo) + -ay-o (y - Yo) =-.::=----.> Z - 5 = - "5 (x -.2) -

3-S' - 3)

5z-25=-2x+4-3y+9

\2x + 3 y + 5 z - 38 = O I

4. Determinao das equaes cannicas da normal (n).Como (n)

x - Xo Y - Yo z - Zo-z z -1- -Xo Yo

Substituindo em (n)

x-2_y-3_ z-52 - 3 - -1-- --5 5

x-2_y-3_z-52 - 3 - 5

PR14 Determine o ponto da superfcie z = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 em que oplano tangente paralelo ao plano cartesiano xOy.

Soluo: Se o 'plano tangente superfcie z for paralelo ao plano xOy, asderivadas parciais de z sero nulas.

C __z= 2x - 4==:> 2x -4 = 0==> x = 2Xz z- = 2y - 6===>" 2y - 6= 0--> Y = 3yz=4+9-8-l8+9z =-4

O ponto procurado Po (2, 3, - 4).

PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funoy2 x2

z=----X Y

Soluo: Preparemos a funo:

F.P. (funo preparada)z = X-1y2 _ x2y-1

a2z 2 2x2- - 2x-1 2x2y-3-2 - - -----ay x y3

PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da funo z = e2Y sen x no pontoPo(rr/6, O).

z[

a2z = vf3axoayo

a2z-=2ayJ. X

PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da funo z = ey + Qn (xy).e

Soluo: Preparemos a funo

F.P. => z = eX-Y + Qnx + QnyAplicaremos a invertibilidade da ordem de derivao, calculando as derivadasparciais extremas e delas as mistas, assim:

[~: = eX-Y + ~ rz az _ x-y +1.-

ay - -e y l

PR V 'f' f - 2 xy , h ~.18 en lque se a unao z = arc tg 2 2 e armomcaox -y

Soluo: "Uma funo z =f (x, y) diz-se harmnica quando satisfaz equaoa2z a2zde Laplace - + - = O",ax2 ay2

a2z a2zCalculemos ento --2 e -2 oax ay

derivo do arctg~

14X2y2

1+---(x2 _ y2)21

- (x2 _ y2)2 + 4X2y2(x2 _ y2)2

azax -

az-=ay14X2y2

1+---(x2 _ y2)2

derivo do quoj.enteF .A ,

2y (x2 - y2) - 2xy 2x _, (x2 _ y2)2

2x2y - 2y3 - 4x2y(x2 _ y2)'1.

2x(x2 - y2) - 2xy(-2y) =(x2 _ y2)2

1 2x3 - 2xy2 + 4xy2- ,--------(x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2

(x2 _ y2)2

, . ,Ob - 2xy d t' U 1 _ Ux

V - UVxservaao: 2 2 e o lpO-, portanto, em re aao a x ==--=--=....> 2X -y V V

U~V UV~, r A__ -.., ~

> Ux = 2y 2y(x2 _ y2) - 2xy 2x=--=----> 2 2 2

V = X2 - y2 ====.> V~ = 2x (X - Y ), I

2xy U UyV - UVy2 2 do tipo -, portanto, em relao a y --> --v-

2--

X -y V, UV'UyV Y

r A \ ~

2x(x2 - y2) - 2xy (-2y)-->----------2 2 ' 2 (x2 _ y2)2V = X - Y => Vy = - y

--> U~ = 2x

az -2x2y - 2y3 = -2y(x2 + y2) =ax = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4

= -2y(x2 + y2) = _ 2y(x2 + y2i x2 +y2

az 2x3 + 2xy2 2x(x2 + y2)ay = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 - x4 + 2X2y2 + y4 -

= 2x(x2 + y2) = 2x(x2 + y2)2 x2 + y2

L a2z- = -2x(x2 + y2)-22y =ay24xy= -

(x2 + y2l

a2z a2z 4xy-+-=----ax2 ay2 (x2 + y2)2

A funo harmnica.

PR19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da funo z = sen (x - y) - cos (2 x + y).Soluo: At s derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m.

32zr -2= -sen(x- y) + 4cos(2x + y)axazC

-= cos(x - y) + 2scn(2x + y)axz = sen(x - y) -- cos(2x + y)

az-= -cos(x - y) + sen(2x + y)Lay

a2z-2 = ~sen(x - y) + cos(2x + y)ay

Resp.:

a4z-4::: sen(x - y) - 16cos(2x + y)aX34z a4z a4z a4Z '--::: --::: --- ---::: -sen(x - y) - 8cos(2x + y)

ax3ay ayax3 ax3y3x2 3x23yax

34z-- :::sen(x - y) - 4cos(2x + y)3x23y2

a4z a4Z a4Z a4Z--::: -- = --- ----::: -sen(x - y) - 2cos(2x + y)3y3ax ax3y3 y3xay2 3y23x3y

34z- ::: sen (x - y) - cos (2 x + y)ay4

a4z

C4= sen(x - y) - 16cos(2x + y)

a3 ax-4= -cos(x - y) - 8sen(2x + y)a.\" a4z

-- = -sen(x - y) - 8cos(2x + y)ax3ay

a3z-3 = cos(x - y) - sen(2x + y)ay

a4z

C-3- = -sen(x - y) - 2cos(2x + y)ay ax

a4z4 = sen(x - y) - cos(2x + y)ay

PRzo Verifique se a funo w = e3X + 4Y cos 5 z harmnica.

Soluo: Ser harmnica a funo w = f(x, y, z) se, e somente se,a2w a2w a2w-+-+-=0ax2 ay2 az2

aw = 3 e3X + 4Y cos S zax

aw = 4 e3X + 4Y cos Szay. a2w

j -= -25e3x+4Y cos 5zaz2

aw = _ 5 e3X + 4Y sen 5 zaz

Faamos a verificao:

a2w a2w a2w-- + - + - = ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z -ax2 ay2 az2

- 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O

PRZ1 Dadaafunof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciaisde 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T).Soluo: Derivemos f (x, y)

af = eX ~ny + seny Cax xf(x,y)

ay y .

No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores:

- 1

~e 1T/2 cos x e 1T/2 - 2=-+--=---

rr rr 1T2

oa2[ e 1T/2 ,,---A---,. rr e 1T/2- = - - - (sen1T)Qn-= ---~J ~ 2 ~

Soluo: Determinemos as derivadas parciais de 3a ordem que figuram naexpresso cujo valor procuramos.

a2z 1 a3z 1- = -sen(x +y) -- - -- = -cos(x +y) +-ayax x axax2 x2

az- = cos (x + y) - Q nxay a2z

C-2- = -cos(x + y)

a2z. ay ax-2= -scn(x + y)ay a3z

-= -cos(x + y)ay3

a~ a~ a~ 1--2 - 2 2 + -3 = - cos (x + y) + - + 2 cos (x + y) -ayax ay ax ay x2

1- cos(x + y) =""""2

x

az 2 2 X2-= xye _.--aX2= 4xeX

'--v--'I

funoproduto em relao a x

PR24 Derive z = f(senxy).

Soluo: Consideremos as componentes f, seno e arco xy

~: = [f' (sen xy)][cos xy]y = y 11' (sen xy)] cos xy

~; = [f' (sen xy)][cos xy] x = x [f' (sen xy)] cos xy

Dada a funo Jl = Qn (x + Jx2 + y2), verifique se x ~~ + Y ~y= 1.Resp.: Sim.

Calcule a Jl a Jl a Jl com Jl = arctg (xyz).ax ay az'

Resp.: sen2 Jl cos4 Jl.

PP3 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da funo z = f (tg;).

Resp.: az = 1. t' [(tg~)] sec2~ax y y yaz = _ ~ t' [(tg X).]ay y2 \: y

PP4 Determine as derivadas parciais de 1a ordem da funo z = 4 sen (; ) -

- Qn (~).

z 4 x 1Resp.: _. = - cos - + -x y y x

z 4x x 1-=--cos---y y2 Y y

PP 5 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY .

z yResp.: x = yeX (1 + xy)

Z = xexy (l + xy)y

PP 6 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = arc tg (sen xy ).Resp.: Z = Y cos xy

x 1+ sen2 xyZ xcosxy-=----y 1 + sen2 xy

PP, Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~ f(~).Resp.: O

, xYPPs Deterrine as derivadas parciais de 1a ordem de z =x.y

Z xY-1 xYResp.: - =-- -- ~nyx yX-l yX

Z xY xY+1-=-~nx---y yX yX+l

PP9 Determine a equao do plano tangente superfcie 3x2 + y2 + Z2 + xy ++yz + z - 4 = Ono ponto P~(1, -1) de cota negativa.Resp.: 5 x - 2Y - 2 z - 5 = O

PPut Determine a equao do plano tangente e o vetor normal da superfcie z == .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3).Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O

~n = (5, -3, -4)

PP11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da funo z = arc sen Y2' comx

a2z yay2 ..j (X4 _ y2)3a2Z a2Z 2x3--=--=-axay ayax ..j (X4 _ y2)3

a2z yCalcule -a a da funo z = (x2 + y2) arc tg-.x Y x. a2z x2 _ y2Resp.: -a a = 2 2,

X Y X + Y

PP13 Verifique a funo z = eX seny + eY cos x harmnica.Resp.: Sim

2 a4fDada a funo f (x, y) = yeX , determine 2 2ax ayResp.: O

Resp.: a3z 3-= -y cosxyax3

a3z-- = - 2y sen xy - xy2 cos xyax2aya3z

-- = -2x senxy - x2y cosxyay2axa3z-= -x3cosxyay3 , '''\ . ,:: ~

C' -- "',.."'-',

PP16 Determine as derivadas parciais de 2J.ordem da funo z = Qn.J x2 + y2.a2z x2 _ y2

Resp.: - = - ----ax2 (x2 + y2)2a2z a2z 2xy

axay = ayax = - (x2 + y2)2a2z x2 _ y2--= --~-ay2 (x2 + y2i

Determine as derivadas parciais de H ordem da funo z = are tgL... xaz -y az xResp'-=--- e -=---

.' ax x2 + v'2 ay x'2 + y2

_ y az azDada a funao z = e are sen (x - y), calcule ax + ay'

Resp.: eY arc sen (x - y)

PP S xy 'fo a3z

19 e z = e , ven lque que 2ax ay

x2 + y2 az az 3PP20 Verifique se z = -=====tem-se x ax + y - =-2 z ...j x + y ay

x - y _ z azPP21 Prove que se z = are sen + ' entao, x -a + y -a . = o.x y x y

_ / '2 2PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funo z = Qn x - v x - y .. x + ..j x2 - y'2

a2z 2xResp.: -2 = '2 2 3/2x (x - y )

a2z a2z 2yxay = ayax = - (x2 _ y2)312

2z = _ 2x (x2 - 2y2)ay2 y2 (x2 _ y2)3/2

PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da funo z = x2seny + y2 senx.a3zResp.: -3 = - y2cosxaxa3z 3z a3z

- - axayax = 2 cosy - 2y senxx2ay ayx2a3z 3z a3z

-- - -- - ayaxay = -2xseny + 2cosxay2ax axay2

a3z- = -x2eosyay3

2 2' aZ aZPP2S Se z = Qn (x + xy + Y ) verIfique que x ax + y ay = 2.

. az azDado z = f(tg xy), deterrmne x ax - y ay'Resp.: O

PP27 Determine o ngulo no ponto (3, 4, 5) do parabolide hiperblico 5xy -- 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50.Resp.: f) :::: 720 11'

az az , IPP28 Mostre que x ax + y ay =.xy + z para z = xy + X6Y'x.

ax axar a

DIFERENCIAO

Somos uma famlia s - a Humanidade. E oscompanheiros da famlia mais necessitados dens so aqueles irmos sofredores e menospreparados para as lu tas da vida.

Seja a funo z = f(x, y) definida e contnua na regi;oD C 1R2Atribuamos a x e a y os acrscimos b:.x e b:.y, respectivamente.O acrscimo total, como Vimos no Capo lI, ser

b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y).Por outro lado, no Capo V do Volume I, para a funo de uma varivel,

y =f (x), vimos que o acrscimo da funob:.y = t' (x) b:.x + 11b:.x

'---v-----' '--y--/parte parte

principal secundriady

Ento, tiramos para b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y) o valor

b:.z = [f~(x, y)] b:.x + 111b:.X+ l(;J (x, y)] b:.y + 112t:.y

b:.z = [f~(x, y)] b:.x + [f;(x, y)] b:.y + 111b:.X+ 112b:.y\~-----v /, v--_./

parte principal parte secundriadz

Logo a diferencial total da funo z = f (x, y) nos dada por dz -= lf'x (x, y)] ~x + li;(x, y)] ~y ou

em que dx e dy so as diferenciais das variveis livres x e y, respectivamente.Para o caso de funo de 3 ou mais variveis, procedemos da mesma forma.Assim, se

aw aw aww = f(x y z) => dw = - dx + . - dy + - rlz, , ax y az

Exemplos:

E1 Determine a diferencial total da funo

z = 4x2y - tg(2x - y).

Soluo: Vimos que dz = ~: dx + ~; dy. Determinemos, pois, as derivadasparciais de 1~ ordem de z.

az 2ax = 8xy - 2sec (2x - y)

dz = [8xy - 2sec2(2x - y)]dx + [4x2 + sec2(2x - y)]dy

Ez Determine a diferencial total da funo

w = eXY - 4 xz + yz

_ aw ax awSoluao: dw = -dx + - dy + - dzax ax az

aw xy 4-=ye - zax

aw-=-4x+yaz

Ento,

dw = (yexy - 4z)dx + (xexy + z)dy - (4x - y)dz

3.2 - APLICAES

Seja a barra prismtica de dimenses x, y e z fixada num suporte S.Apliquemos extrendade livre uma fora F. A barra sofre uma deformao

medida pela variao de volume.O volume inicial xyz.O volume acrescido

(x + .x)(y + b-y)(z + .z)O acrscimo de volume nos dado por

.V = (x' + b-x)(y + .y)(z + .z) - xyz

. V ...;~+ xz!::,.y+ yzb-x + z!::"x!::"y+ xy!::"z ++ x.y.z + y!::,.x!::,.z+ !::,.x!::,.y.z- ~

.V = (yz!::"x+ xz!::"z+ xy.z) ++ (z.x!::,.y+ xb-y.z + y!::,.x.z + !::"x!::,.y!::"z)

. V :::yz.x + xz.y + xy.z I CD

av-=yzax .

~; = xz e I dV = yz!J.x + xz!J.y + xy!J.z I @av-=xyaz

Comparando CD e (3)

Na prtica fazemos a deformao igual diferencial.-~-------------

Como vimos no Capo V do Volume I, !J.x = X2 - Xl = dx, erro absolutona varivel x,

dx. 1 .. sa- e o erro re atlvo = -x xe 100 dx o erro percentual = IDOs,x ..

E1 Deseja-se medir a distncia dos pontos A e B separados por um obstculo.Mediram-se, ento, as distncias x e y com erro de 3% em cada uma. Deter-mine o erro percentual cometido em AB"

AB = ~= f(x, y)z =.J x2 + y2

A

Obstculo ~'

Calculemos as derivadas parciais de 1~ ordem

_a_z = 1 2x = xax 2 ~ x2 + y2 ~ x2 + y2_az_ = 1 2y = Yay 2 ~ x2 + y2 .J x2 + y2

Ea = dz = _..=-x..=-dx-=--===+ --;=y=d=O'==-v'x2 + y2 .J x2 + y2

29) Clculo do erro relativo

O erro relativo

dz .QA...!E =- \..'r Z

Dividamos, ento, o erro absoluto dz por z

xdx + ydydz _ v' x2 + y2 .J x2 + y2Z - vx2 + y2

_d_z= xdx + ydyz x2 + y2 x2 + y2

39) Clculo do erro percentual

O erro percentual o erro relativo multiplicado por 100

dzEp = 100-z

Portanto,

E = 100( xdx + ydy \p x2 + y2 x2 + y2)

Como vimos no problema, o erro percentual em x e em y foi de 3%.Logo:

100 dx = 3 => dx = 3xx 100

Substituindo frmula de Ep

E - 100( x ~ + y ifo \p - x2 + y2 x2 + yi)

Ep = 100 [ 3x2

+ 3y2 ]l00(x2 + y2) l00(x2 + y2)

Ep = 3C.:y' + x/; yi)x2 + y2

Ep = 3---x2 + y2Ep = 3%

Ez Num tringulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm

e 0,0002 cm, respectivamente, e o ngulo a por eles formado mediu ; rd,

com erro de ~ rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do

lado oposto ao ngulo a.De acordo com o enunciado do problema,

x = 2dm= 20 em e dx = 0,0005 em By = 10 em e dy = 0,0002 em

1T v'3a =3rd e da = 100 rd

A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medidaa do ngulo A.Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos

, Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa ==--=--> z = .v x2 + y2 - 2xy cosaO erro absoluto cometido em z nos ser dado por

dz = ~ dx + ~ d + az daax ay Y aa

DIFERENCIAO 57

oz 1 (2x - 2y cos a)- -ox 2 y'x2 + y2 - 2xycosa

oz 1 (2y - 2 x cos a)z - -oy 2 y'x2 + y2 - 2xy cosaoz 1 (- 2xyX- sen a)--oa 2 y'x2 + y2 - 2 xy cos a

Tiramos

dz = x - y cos a dx + y - x cos a dy +y'x2 + y2 - 2xy cosa y' x2 + y2 - 2xy cosa

+ xy sen a .--davi x" + y2 - 2xy cos a

x - y cos o: d Y - x cos o: d xy sen o: d-------- X -I- ------- Y + ------- o:

dz _.J x2 + y2 - 2xy coso: .J x2 + y" - 2xy coso: J x2 + y" - 2 xy coso:z - J x2 + y2 - 2xy coso:dz _ (x - y COS0:) dx + (y - x COS0:) dy + (xy sen 0:) do:Z - x" + y2 - 2xycoso:

1/2 112 ../3/2~ ~ ,,-A-..

dz (20 - 10COS-f) 0,0005 + (10 -, 2ocosi) 0,0002 + (20' 10sen~)~-=z 20" + 102 - 2 20 10 cos ;

_dz _ 15 0,0005 + O + 3z 400 + 100 - 200dz 3,0075 1,0025-= =z 300 100

dz= 0010025z '

Vimos no item 3.1 que o acrscimo total da funo z = f(x, y) !:lz = f(x + !:lx, y + .6.y) - f(x, y)

Ento, transpondo

f(x, y) --> f(x + .6.x, y + .6.y) = f(x, y) + .6.z CD

az az . CDComo z = ax dx + ay dy + 17tX + 112Y a Igualdade 1 fica:az azf(x + x, y + x) = f(x., y) + ax dx + ay dy + 1hX + 1l2l:iy, " \ ./

v infinitsimodz de ordem

superior

. az azf(x + x, y + y) -::::.f(x,y) + ax dx + ay dy

I f(x + x, y + y) == f(x, y) + dz I

Exemples:

E1 Calcule o valor aproximado de J (3,96)3 V (8,002)2.Soluo:1. Frmula:

f(x + x, y + y) -::::.f(x, y) + dz2. Substituio de f:

J(x+ X)3 tt (y + y)2 -::::.# VY2 + dz3. Determinao de dz:

x + D.x = 3,96x =4

Subtraindo ==--=----"> D.x = - 0,04--> valor mais aproximado de

x + D.x, que admite raizquadrada exata

y + D.y = 8,002Y = 8 =='> valor mais aproximado de y + D.y,

===> D.y = 0,002 que admite ~~C1JJ?!~..~xata

Substituindo em CDv' (3,96)'!j (8,002)2:::.,j43W +;.J4W (-0)04) + ; 4#(0,002)

.J (3,96)3 V (8,002)2:::: 23 22 + ~ 2 22 (- 0,04) + ~ 4 ; 2 0,002

.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,~16

.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053

.J (3,96)3 V (8,002)2 ,.., 31,5253

E2 Calcule o valor aproxfinado de J 36,24 ..tg 44 40'. ~Soluo:1. Frmula: f(x + D.x, y + D.y) ::::f(x, y) + dz2. Substituio de f: .J (x + D.x) tg (y + D.y) ::::y'; tg Y + dz3. Determinao de dz: z = f(x, y) = yX tgy

x + b.x = 36,24x = 36

--> b.x = 0,24

e y + b.y = 44 40'y = 45 (pois tg 45 = 1)

==> b.y = - 20' ===> b.y = - ~~.0,017 = -0,0056 (vejaCapoV do Volume I)

Substituindo em Q)

.j 36,24 tg 44 40' ::: ../36 tg 45 + C~ tg 45) 0,24 ++ (../36 sec2 45)(-0,0056)

.j 36,24 tg 44 10' ::: 6 . 1 + 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2 0,0056

~ 36,24 tg 44 10' ~ 6 + 0,02 - 0,0672~ 36,24 tg 44 10' ,.....,5,9528

A diferencial de uma funo z =f (x, y), normalmente ainda uma funo de. , d . d . . z .f' ( ) z f' ( ) figx e y, Ja que as enva as parcIaIs. x = x x, y e y = y x, y que I uram

nela so funes de x e y.Se as funes derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contnuas, pode-

remos calcular as diferenciais totais de ordem superior.Desta forma, a diferencial de 2~ ordem a diferencial de dz:

d (dz) = d2zA diferencial de 3~ ordem a diferencial da de 2~ ordem

d (d2z) = d3z

Tomemos z = f (x, y) com

Z Zdz=-dx+-dyx y

d (dz) = d (~~ dx + ~; dY)

d2z = d (~~ dx) + d (~; dY) (diferencial de soma)

d2z = [ d (;~) ] dx + ;~ [d (dx)] + [ d (;;) ] dy +

+ ~; [d (dy)] CD (diferencial de produto)

zx = t

z-=JJ.y

d (z) = dt = E.!.dx + El.. d f2\ox x y y \.V

( z ) JJ. JJ. /i)'-d - = dJJ. = - dx + - dy ( 3y X y'

. f1\ z (;\ ZSubstItuamos em 0 t por X e em 0 JJ. por y

Q) => d (~~) = [~ (~~)]=>d(~;) =[~ (~~)]0=> dG~)'3' =-=> d (yz) =- dx + 2z d\.V xy y2 y

(~:) ] dy

(~;) ] dy

a2zaxay dx dy

rA

,

d2z = a2Z (dx)2 + a2Z d dx + az d2xaX2 ayax Y aX

Para x e y variveis independentes, suas diferenciais de H ordem soconstantes e as de 2~ ordem, conseqentemente, so nulas.

dx = constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = Ody = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O

Com esta simplificao a igualdade 0 se reduz a

Para facilitar a memorizao da frmula de d2z, podemos usar o quadradoda soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o ndice 2 seja expoentenas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivao nas derivadas parciais.

d2z = (az dx + az dY) 2ax ay

d2z = a2z (dx)'- + 2 a2z dx d + a2z (d )2ax2 axay Y ay2 Y'------v----" ---v / '------v----"quadrado dobro do 19 quadradodo 19 pelo 29 do 29

Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com aconsiderao que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O.Ento:

d3z = (_o_z dx + _o_zdY) 3 ====> d3z = _03_Z(dx)3 +ox oy ox3'--y-----/cubo do 19

+ 3 03Z (dx)2dy + 3 03Z dx (dy)2 + 03Z (dy)302xoy . oxoy2 oy3

---v .J ~--v I '---v-------"3 x quadrado 3 X 19 pelo quadrado cubo do 29do 19 pelo 29 do 29

(o expoente na derivada indica ordem de derivao e na difrencial in~~c3:potncia).

Exemplos:

E1 Determine a diferencial de 2~ ordem da funo z = sen (2x - y).Soluo: A frmula de d2z na forma sinttica :

d2z = (oz dx + oz dY\"3x oy)

Desenvolvendo, vem:

02. 32 02d2z = -2 (dx)2 + 2 _z_ dx d + --.:. (d )23x2 3x oy y oy~ lY

. 02Z-2 = -4sen(2x - y)

oz . ox-o = 2cos(2x - y) , .x 02Z 02Z

oz oxoy oyox-= -cos(2x - y)oy . 02Z

- = -sen(2x - y)oy2

Substituindo na frmula de d2z, resulta

d2z = [-4sen(2x - Y)](dx)2 + [4sen(2x - y)ldxdy -- [sen(2x - y)](dYi

~ Determine a diferencial de 3a ordem da funo z = eX cos y.Soluo: A frmula de d3z

d3z = (3 z dx + 3Z dY) 33x 3y

3z

C -= eXcosy3xz = eX cosy 3z xay = -e senYLSubstituindo na frmula de d3z, resulta:

d3z = (eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy - 3 [eX cosy]dx(dy)2 ++ [eX seny](dy)3

Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sinttica e para us-Iausamos o desenvolvimento pelo "Binmio de Newton".

3.3.4 - FUNES DE 3 OU MAIS VARIVEIS

aw aw aww = f(x,y, z)--> dw = -a-dx + -a-dy + -a-dzx y z

d2w = (~; dx + ~w dy + ~: dZ) 2 (quadrado da soma indicada dey 3 parcelas)

[ aw aw aw]nw = f(x,y, z) --> dnw = -a- + -a-dy + - dzy y azPara mais de 3 variveis, procedemos da mesma forma:Assim, se

t = f (xl> X2,X3,... , xm)n [at at at at]12d t= -dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxmaXl aX2 aX3 Xm

Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso.

PR1

z = e2narc1gxy

_ az azSoluao: dz = - dx + - dyax ay

F.P. Qnz = Qnarctgxy

z = arc tgxy

3z 1

[

3x = 1 + (xy)2Y ydx + xdyz => dz = --_~-

3z = 1 x 1 + X2y23y 1 + (xy)2

.J x2 - y2PR2 Z = Qn ----. 2xy

_ 3z 3zSoluao: dz = - dx + - dy

3x 3y

1F.P. z =2Qn(x2 - y2) - Qn 2 - Qnx - Qny

y2dx x2dydz = ---- -----X (x2 _ y2) Y (x2 _ y2)

y3dx _ x3dydz=----

xy (x2 _ y2)

PR3 w =~ +L+-=-y z x_ 3w 3w 3wSoluao: dw = - dx + -dy + - dz

3x 3y 3z

F.P. w = xy-I + yz-I + zx-I

3w -I -2 1 Z x2_yz-=y -zx =---=3x Y x2 x2y

lw _ . -2 + -I _ X + 1 _ -xz + y2- - -~y Z - - - --ly y2 Z y2z

l w _ -2 + -I _ - y + 1 _ - xy + Z2- - -yz x -- --3z Z2 X xz2

2 2 2dz = x - yz dx + y - xz dy + z - xy dz

x2y y2z XZ2

PR4 W = e2n(Qnxyz)

_ aW aW aWSoluao: dw = - dx + - dy + - dzaX ay aZ

F.P. Qnw = Qn(Qnxyz)w = Qnxyzw = Qnx + Qny + Qnz

aw 1-=-ax xaw 1-=-ay yaw -az

Logo:

-dw = dx +!!l.- + dz. x. y z

PR 5 .Na medida da acelerao da gravidade g usou-se a frmula h = ; gt 2 Calcule o

erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%.

dh100-= 1%h

dt100- = 1%t

2hg=f

Procuremos o erro percentual em g, que Ep = 100dg.g

dg = ~ dh + ~dt CDah at

2hDe g ==-t2

Substituamos em CD. 2 4h

dg == - dh - - dtt2 t3

dg = dh _ 2 dtg h t

O erro percentual t.p = 100 dg, isto , o erro relativo multiplicado por 100.g

E:p = 100 g = 100 dh - 2 100 dth t

Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto,negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro mximo possvel, no nossocaso, tomamos o erro

dt100 - = -1t

100 dh == 1h

!00 dg = 1% - 2 (- 1%) == 1 + 2 == 3%g

PR No clculo do comprimento Q de um pndulo, usou-se a frmula T == 211'A,O perodo da oscilao mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acele-rao da gravidade mediu 10 m/2, com erro de 0,01 cm/2. Calcule oerro relativo em Q.

Soluo: Do problema tiramos

T = 2 s e dT = 0,001 s

g = 10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2 e

Procuremos dQQ, ento, de T = 21Th vem:

Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q

dQ = 0,01 cm/s-2 + 0,001 sQ 1.000 cm/s-2 2 s

~Q = 0,00001 + 0,0005

dQ = 000051Q ,

As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respec-tivamente. Calcule o erro percentual cometido na sua rea.

Soluo: Do problema tiramos:--~T x =D = 8 m = 800 cm ey = d = 6 m = 600 cm dx=2cm -< Jdy=3cmA =f(x,y)->A =1'I

I__.-1._.

Ii

[

~~=~ .

De A = X; Ento, da Q) => dA = ~ dx + ~ dyaA x-=-ay 2

Ldx ~dy_dA_ = 2 +_2_A xy xy

2 2

dA = dx + dyA x y

Substituindo pelos valores dados no pro~lema,

dA 2 3A = 800 + 600dA 1 1 3A = 400 + 200 = 400

dAEp = 100 A' logo:

Sp = 0,75%

PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30 10')(cos 59 50').

Soluo:

1. Frmula:

f(x + !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz2. Substituio de f:

sen (x + !::J.x)cos (y + !::J.x)::::sen x cosy + dz3. Determinao de dz:

z = f(x, y) = senx cosyz

Ca = cosx cosyz x=> dz = (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>z- = -senx senyy=> sen(x + !::J.x)cos(y + !::J.y)::::senx cosy + (cosx cosy)!::J.x -

- (senx seny)!::J.y ,

x + !::J.x= 30 10'x = 30

, 10'=> !::J.x= 10 ==--==---->!::J.x= 60' 0,017 = 0,003

e y + !::J.y= 59 50'y = 60

===> !::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003

Substituindo na CD =>==:==>" sen 30 10' cos 59 50' ~ sen 30 cos 60 + (cos 30 cos 60)0,003

- (sen 30 sen 60)(- 0,003)

300' o, 1 1 V3 1 1 y'3"sen 10 cos 59 50 :::::.2" 2" + 22"0,003 + 2"-2- 0,003

sen 30 10' cos 59 50' =.1 + 2 0,003 VI- 4 4

sen 30 10' cos 59 50' :::::0,25 + 0,0026

sen 30 10' cos 59 50' :::::0,2526

PR9 Calcule o valor aproximado de J (3,86)3 X 36,74 sen 150 10'.Soluo: Temos uma funo de 3 variveis independentes

w = f(x, y, z)

1. Frmula:

f(x + 6.x, y + 6.x, z + 6.z) :::::f(x, y, z) + dw2. Substituio de f:

..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::J x3y senz + dw3. Determinao de dW:

ow ow owdv..: = - b.x + - b.y + - 6.zox oy oz

w = f(x, y, z) =..j x3y senz

ow 1 2- = ---3x ysenzox 2 ..J x3y

d 3x2y senz A +=> w = 2..j x3y uX

ow r7C:-- = V x3y coszOZ

x3senz rr::+ ;-::;:::6.y + V X'Y cosz 6.z -->2vx~ .=> ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::..J x3y senz +

3 2 3+ x y sen z A + x sen Z A + ~ A CD~ uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ2 vx3y 2 vx3y

x + 6.x = 3,86x =4

--> 6.x = - 0,14

y + b:.y = 36,74y = 36

=> 6.y = 0,74

z + 6z = 15010'z = 1500

10' .=> 6z = 10' ==> 6z = 60' 0,017 = 0,003

Substituindo na CD >=> ..j (3,86)336,74 sen 1500 10' '" ..j 43 . 36 sen 1500 +

~sen 30

3 42 36sen1S0 (-O 14) + 43sen150 074 ++ 2 ..j 43 . 36 ' 2 ..j 43 . 36 '+ (v'43 '36 cos 150) 0,003

13 . 16 . 36 .-)(3,86)336,74 sen 150 10' ::::::23 6 . ; + .2

. 2 23 6

64 1.. (-0,14) + 2_ . 0,74 + 23 6 . _V3_3. 0,003

2 . 23 . 6 2

)(3,86)336,74 sen 150010' ::::::24 - 1.26 + 0,246 + 0,125) (3,86)336,74 sen 150010' ::::::23,111

PI'it Ul Calcule o valor aproximado do nmero (0,998)4.003.

Soluo: A funo do tipo z = xY

1. Frmula:

f(x + 6.x, y + 6.)) ::::::f(x, y) + dz2. Substituio de f:

(x + 6.xY'+6y ::::::xY + dz3. Determinao de dz:

az azdz = -::- 6x + - 6yox ay

[

~=YXY_1axDe z = xY =-==--=--> dz = yxY -1 6.x +

az Y- = x Qnxay

+ (xY Qnx)b.y ==> (x + b.x)Y+6Y :::: xY +- yxY-1b.x ++ (xY Qnx)b.y CD

4. Adaptao ao exerccio:

x + b.x = 0,998x = 1

====>: b.x = - 0,002

y + b.y = 4,003Y =4

--> 6.y = 0,003

Substituindo na CD(0,998t,003:::: 14 + 4 13(-0,002) + (l4Qn 1)0,003

'--.r-"O

(0,998)4,003 :::: 1 - 0,008

(0,998)4,003 '" 0,992

PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da funo z == x3 + 2 x2y -- 4xy2 - 2y3.

Soluo:

d2z == (az dx + az d ) 2 = a2z (dx)2 + 2 ~ dx d +ax ay Y ax2 axay Y

+ a2z (d .)2ay2 Y

d2z = (6x + 4y)(dx)2 + 2(4x .- 8y)dxdy - (8x + 12y)(dyi

xPR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da funo z =!.-.ye

Soluo: A frmula de d3z :

d3z = [az dx + az d ] 3 = a3z (dx 3 + 3. a3z . (dx)2d . +ax ay Y ax3) ax2ay y

+ 3. a3z dx (dy)2 + a3z (dy)3axa2y ay3

. xDeterminemos as derivadas de 3~ ordem da funo z = ey = eX - y

e

.. az _ x-y r- - e 1ax

ay

Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso:

PP1 z = e2n J 2xseny-y2

Resp.: dz = (seny)dx + (x cosy - y)dy.J 2x seny _ y2x+yz~sen-.--1 + xy

Resp.: dz = [ 1 - y2 cos(1 + xy)2

.x + Y ] dx + [ 1 - x2 x '+ y ] d1 + xy (1 + xy)2 cos 1 + xy . Y

x-yz=x + Y

R . d - 2 y dx - 2 x dyesp.. z - (x + y)2

pp4 W = xyeZ - xzeY + yzeXResp.: dw = (yeZ - zeY + yzeX)dx + (xeY - xzeY + zeX)dy +

+ (xyeZ - xeY + yeX) dz

PPs )Na medida da acelerao da gravidade usou-se a frmula T = 217' fi,. Vg'tendo o comprimento Q do pndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e operodo da oscilao 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentualcometido em g.

Resp.: 0,9% ," - ..... , ,........

, "

PP6 Na medida da distncia dos pontos A e B, em virtude do obstculo O, foinecessrio medir as distncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares,com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto emAB = z e o erro percentual em a.

daResp.: dz = 4,1 m e 100 - = 2,2%a

PP7 A rea de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suasdiagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonalmenor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na reado losango.

Resp.: 15 cm2

PPs Na determinao da medida do volume de um cone foi cometido um erro emvirtude dos erros de 2 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nasmedidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume.

Resp.: 0,5%

PP9 Na medida do pe;odo de oscilao de um pndulo (T = 2" A)cometeu-seum erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e daacelerao g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o errorelativo em T. .

PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paraleleppedoretngulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimenses foram cometidos oserros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente.

Resp.: 0,10

sen 29 55''Pu Calcule o valor aproximado de tg 45 30'

Resp.: 0,4903

PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59 50'. Sugesto: O nmeroquadrado perfeito bastante prximo de 57 56,25. 'Resp.: 3,793

24,93681,082 .

Resp. 0,5545

PP14 Calcule o valor aproximado de .J (4,99)3 - (2,02)2.Sugesto: x + 6.x = 4,99

Y + 6.x = 2,02

Resp.: 10,96

x=5y=2

PP1S Calcule o valor aproximado de sen 290 cos 610

Resp.: 0,235278

j 1 +x(I + y)(1 + z)

Sugesto: Faa corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dar D.x = 1.Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1+ z.

Resp.: Ai [1 + ; C - ~ - ~)]PP17 Calcule o valor aproximado de V sen 30 5' + cos 59 58'.

Resp. : 1,00055

PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da funo z = x2seny + y2senx.Resp.: d2z = (2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2 +

+ 2(2x cosy + 2y cosx) dxdy

PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da funo w = eXYz.Resp.: d2w = wy2z2(dx)2 + X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 +

+ 2 w(l + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz)

PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da funo z = Qn~.y

2 2Resp.: d3z =3' (dxY -"3 (dy)3

X Y

PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da funo w = eX Qn xy.

(2ex eX ) 2exResp.: d2z = eX Qnx + -- - 2 + eX Qny (dx)2 + - dxdy -x x Y

eX__ (dy)2y2

4,j

I'-o .I!

I

FUNES COMPOSTAS

A esperana e a alegria so remdios preciososna farmcia da alma.

4.1 - FUNES COMPOSTAS DE UMA VARIVELINDEPENDENTE

Neste caso, z depende da nica varivel t e, para calcular sua derivada :'

podemos eliminar as variveis intermedirias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] == F(t) e derivar diretamente z em relao t.

Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regrade cadeia.

Para tanto, no ponto t, atribuamos varivel t um acrscimo D.t. Corres-pondero os acrscimos ~x e D.y s variveis x e y, e funo z, o acrscimo D.z.

Assim:

D.x = /1 (t + D.t) - /1 (t)D.y = /2 (t + D.t) - /2 (t)

Como z = / (x, y) diferencivel ==>

az az-> D.z = ax D.x + ay ,y + 771.6.X + 772D.y

~o~o-> o~o

I" f::.z dZ}" 6.x + dZ l' 6.y + I' 6.x + 1 f::.y'1m - = - 1m - - 1m - 1m T'/l - im T'/2 A t!H-O f::.t dX 6t-O 6.t dY 6t-"'0 6.t 6t-o 6.[ 6t-o u'--v---" '----y------" '-----v---" ~-v / '-v-------'

dz dx dy O Odt dt dt

Esta frmula se estende para o caso de

Z = l(xI, X2, X3, .. , xn)

onde cada Xi funo diferencivel da varivel t:

dz dZ dXl dZ dX2 dZ dxn-=--+--+ +--dt dXl dt dXz dt . . . dXn dt

dz In dZ d:xidt =" dX' d;-

I = 1 1

Exemplos:

E1 Determine a derivada de Z = x3 - 4x2y + xy2 - y3 + 1, com x = sent e

y = cost.

Soluo: Notamos que

Z = I (x, y) e x = 11 (t) e=> z = 1[11 (t), 12(t)] = F (t)

Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais dex e y em relao t

az 2

C ax = 3x2

- 8xy + Yz

az 2 2- = - 4x + 2 xy - 3yay

dxdt = cos t

dy = -sentdt

E2 No exerccio anterior, calcule a derivada no ponto t = ~.Soluo: Como

~~ = (3x2 - 8xy + y2) cos t + (4x2 - 2xy + 3y2) sen t

calculemos:

1T 1x = sen"6=2"

1T -vf3y=cos-=--

6 2

Sb' 'd dzu StItUlD o em dt' vem:

dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3+1)cos 1T +dt \ 4 2 2 4 6

+4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!.\ 4 2 2 4 6

dz = (~_ 2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 + 9) . .l-dt \4 4 2 \ 2 4 2. .dz =~. y'3 -2y'3 . ..j3 +.!i .1._ V3 . .l-dt 4 2 2 4 2 2 2

dz = 3 v'3 _ 3 + 13 _ v'3 )dt 4 8 4dz 2..j3 11-=----dt 4 8

_dz = _4 .....Y3_3_-_I_I__ o dz = _(11 - 4 Y3)dt 8 --.> dt \, 8

F 3 Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y = 1 - t 2 e z = 1 + t.Soluo: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z == f3(t). Ento,

w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w = 'P (t)Logo:

dw = aw dx + aw dy + aw dz CDdt ax dt ay dt az dt

aw' dx- = yzexyz -=2ax dtaw !!z = -2tw - = xzexyz eay dtaw xy dz-=xye Z -= 1az dt

Substituindo em CD =>dw==> - = 2yzexyz - 2 txzexyz + xyeXYzdt

dw = eXYz (2yz - 2 txz + xy)dt

4.2 - FUNES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIVEISINDEPENDENTES

Seja a funo z = f (x, y) uma funo diferencivel e suponhamos x == f1 (s, t) e y = f2 (s, t), tambm diferenciveis.

Neste caso, z depende das variveis s e t e,. para calcular suas derivadas". az az d 1" ., . . d"' . f dparcIaIs a:; e ai' po emos e lmmar as vanavelS mterme lanas x e y, azen o

z = fft1 (s, t), f2 (s, t)] ==>- z = F(s, t)e derivar z, parcialmente, em relao varivel s e em relao t.

Procederemos p~la regra de cadeia:

az = az ax + az ayas ax as ay asaz = az ax + az ayat ax at ay at

Exemplo:

z = senxy + eX-Y,onde x = p sen O e y = p cos O.Soluo:

z = f(x, y),onde x = fi (p, O) e y = f2 (p, O) --> z = F (p, O).

Logo:

az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relao s variveis p e O.

C~~= y cosxy + eX-Y

z = senxy + eX-Yaz X-Y- =xcosxy - ey

C lx= sene C ly= coselp lpx = pscne y = pcoseX ye=pcose ae= -pseneSubstituindo nas frmulas CD -->

;~ = (ycosxy + eX~Y)senO + (xcosxy - eX-Y)cosO

~; = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy - eX-Y)psenO

Admitamos a funo w = f(x y, z) com x = fi (p, O), Y = f2(P, O) e z = f3(P, O),todas diferenciveis.

w = f Ifl (p, 0),12, (p, O), f3 (p, O)] --> w = F (p, O)

As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCIaiS e w sao a p e ao ' aSSImc C a as:

J a funo z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y = f2 (p, O, a), todas diferen-ClavelS==>.z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> z = F (p, O, a) e suas deri-vadas parciais:

az = az ax + az ayao ax ao ay ao

az = az ax + az ayaa dX aa ay aa

Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer frmulas de deri-vao, qualquer que seja o nmero de variveis independentes.

Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de z = 2x2y - 4xy'2 - y3, ondex = p2 Osen a e y = pO cos 2 a.

Soluo: Em ltima anlise, z = F (p, O, a). Ento, suas derivadas parciaisaz az az . ,ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas

az = az ax + az ayap ax ap ayapaz = az ax + az ayao ax ao ay ao

Calculemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relao s variveis p, O e a.

az 2-. = 4xy - 4yaxa .-.!... = 2 x2 - 8 xy - 3y2ayaxap = 2pOsena ay = O cos2aap

ay- = pcos2aao

ax 2- = p senaaoax 2-= P Ocosaaa ay = -2pO sen 2aaa

Exemplo:

z = senxy + eX-Y,onde x = p sen O e y = p cos O.Soluo:

z = I(x, y),

onde x = 11(p, O) e y = 12(p, O) --> z = F(p, O).Logo:

az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relao s variveis p e O.

C~~= y cosxy + eX-Y

z = senxy + eX-yZ x-y- =xcosxy - ey

(

X=sen8 ( y =cos8p px = pscn8 y = pcose

X y- = p cose - = - p sen ee e

Substituindo nas frmulas Q) ==>

~~= (y cosxy + eX~Y)sen O+ (x cosxy - eX-Y) cos O

~~ = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy:"'- eX-Y)psenO

Admitamos a funo w =I (x y, z) com x = 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O),todas diferenciveis.

w = / [(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w = F (p, O)

As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCl3.1Se w sao a p e ao ' assun c c a as:

Ooz= (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap

4.3 - DIFERENCIAO DE FUNES COMP9STAS

Vimos, no captulo anterior, que dada a funo z = f(x, y) com x e yvariveis livres, sua diferencial

oz ozdz=-dx+-dy

ox oy

Admitamos que x e y sejam funes diferenciveis das variveis independentesp e O.

Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->

==> z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O)

Ento a diferencial

dz = oz d + z dOop p 00 CD

dx = ox d + ox dOop P 'e

dy = oY dp + oy dOop 00 Multipliquemos a0 por ~~ e a0 por ~;:

OZ dx = OZ OX d + oz ox dOOX OX op p ox 00

OZ d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao

Somanrfo membr-o a membro

az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay lY ax ap a~ ap p ax ae ay ae'---v'---/' v ,/ \ V' j

az az 6l1"\dz = ap dp + ae de ~

Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen ~ ey = p2e.

az- =y - 8xaxax- = seneap

az-=xay

ax- = pcos()ae

az dz dx dZ ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen () + x 2 p()dp ax ap ayapaz az ax az ay 2- = - - + - - = (y - 8 x) p cos () + xpae ax ae ay dedz = [0' - 8x)sene + 2pexld~ + [0' - 8x)pcos() + p2X] de

4.4 - FUNES IMPLCITAS

Tomemos a funo y =f (x) definida implicitamente pela equao F (x, y) == O. Podemos escrever tal equao C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membroda equao dada uma funo de x que constante (igual a zero). No estudodestas funes no Volume I, demos um tratamento prtico. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.

Derivamos a funo considerando y = f (x), ento a parcela 2 xy3 derivamoscomo produto, y3 como funo de funo.

Assim:

2y3 + 2x 3y2 dy + 2y dy + dy - 8x - 1 = Odx dx dx

aaz = (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap

4.3 - DIFERENCIAO DE FUNES COMP9STAS

Vimos, no captulo anterior, que dada a funo z = f(x, y) com x e yvariveis livres, sua diferencial

az azdz=-dx+-dyax ay

Admitamos que x e y sejam funes diferenciveis das variveis independentesp e O.

Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->

==> z = f VI (p, O), f2 (p, O)] ==> Z = F (p, O)Ento a diferencial

dz = az d + ~dOap p ao CD

dx = ax d + ax dOap P nO

dy = ay dp + ay dOap ao Multipliquemos a (3) por ~~ e a por ~;:

az dx = az ax d + az ax dOax ax ap p ax aoaz d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao

Somanrio membr-o a membro

az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay Y ax ap a;: ap p ax ae ay aeV

/ ,V

J /V

dz az az- -ap ae

az azdz = - dp + - deap a8

Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen (j ey = p28.

az- =y - 8xaxax- = sen8ap

az-=xayax- = pcoseae

az az ax az ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen e + x 2 peap ax ap ayapaz az ax az ay _ 2ae = ax ae + ay a8 - (y - 8x)pcose + xpdz = [(y - 8x)sene + 2p8xllp + [0' - 8x)pcos8 + p2x]d8

4.4 - FUNES IMPLCITAS

Tomemos a funo y =f (x) definida implicitamente pela equao F (x, y) == O. Podemos escrever tal equao corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membroda equao dada uma funo de x que constante (igual a zero). No estudodestas funes no Volume I, demos um tratamento prtico. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.

Derivamos a funo considerando y = f(x), ento a parcela 2xy3 derivamoscomo produto, y3 como funo de funo.

Assim:

2y3 + 2 x 3 y2 dy + 2y dy + dy - 8 x-I = Odx dx dx

Coloquemos : em evidncia:

(6xy2 + 2y + 1) : + (2y3-_ 8x - 1) = O

2 ) dy (3 8 )(6 xy + 2y + 1 - = - 2y - x-Idx .

dy = _ 2y3 - 8x-Idx 6xy2 + 2y + 1

aFdy _ axdx - - aF

ayCom o estudo das funes compostas estamos habilitados a dedzi. esta frmula apartir do exemplo genrico F [x, y] = O.

Assim:,

d aF dx aF dydx F [x, y] = axdx + ay dx= O (lembremo-nos que y = f(x))

'-v-"1

aF + aF !lJ!... = Oax ay dxaF dy aFay dx = - ax

aFdy = _ axdx aF

ay

Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferencivel.Como z funo de duas variveis independentes, ela admitir 2 derivadas

.. az az D .parcIaIs ax e ay' etermmemo-Ias:

y constante emrelao ax~

~ F (x y z) = aF dx + aF ay + aF az = Oax " ax dx ay ax az ax

~ '---y--/

1 Ox constante em

relao ay~

~ F (x z) = aFax + aF dy + aF az = Oay ,y, ax ay ay dy az ay

~ '-v-'O 1

aFaF + aF az = O __ > _az= __ax_ax az ax ax aF

azaF

aF + aF az = O > az = _ ayay az ay ay aF

az

Exemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3 - 4 yz + 1 = O.

S I - D . aF aF aF E d d - d 2o uao: etermmemos ax' ay e az' m ca a envaao estas, as outrasvariveis so consideradas constantes.

aF = 2x2z _ 8xyz2 - 4zay

~~= 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4yv

aFaz ax- -- - ----ax aF

az

4xyz - 4y2z2 + 6z32x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y

oFoz _ Y _ 2x2z - 8xyz2 - 4zoy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 - 4y

z

SISTEMAS DE EQUAES

Seja o sistema formado por duas eauaes de trs variveis:

{f1 (x, y, z) = O12 (x, y, z) = O

onde 11 e /2 so funes diferenciveis.Cada equao representa, como vimos, uma superfcie do R3 e o sistema

representa o lugar geomtrico dos pontos de R3 comuns s duas superfcies, acurva interseco das duas superfcies.

Procuremos as derivadas de x e de y em relao a z.Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas

prime~ variveis como funo da terceira:

x = g (z) e y = h (z),

dx = g' (z)dz

dY=h'(z)dz

Se-no pudermos ou no quisermos explcitar as funes x e y, da varivel z,

aplicamos as derivadas parciais de funes compostas na determinao de : e : .

Assim:

r 0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = Oox dz oy dz oz dz--10/2 ri 0/2 dy /2 dz--+--+--=0ox dz oy dz oz E!

1

af1 dx a/1 dy a/1--+---=--ox dz oy dz azal2 dx + al2 EJ: = _ 012ox dz oy dz az

Sistema de duas equaes cujas incgnitas so : e : .

Calcule as derivadas : e : no ponto P (3, 1, 8).

Facilmente explicitamos x e y em funo de z.Somando as duas equaes, membro a membro, => 2x2 + Z2 = Z + 74

j_z2+ z + 74 .x = 2 . (no ponto consIderado x > O)Subtraindo ==> - 2 y2 - Z2 = Z - 74

Y_- j~z2 - z + 74. - 2 (no ponto considerado y > O)

10) dx = 1. -2z + 1 = -16 + 1 = _ IS. dz ~2v'-Z2+Z+74 4.J-64+8+74 4.J18

20) E!l. = 1- - 2z - 1 = 1. -16 - 1 _ _ 17. dz 2 2 v' -Z2 - Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\f

I ~=_17j2E D . dx dz t d -2 etermmemos dz e dy no SISema e equaoes

{

X2 + 4 y2 + Z2 - 12 = Ox2 + y2 - 2 z - 1 = O

no ponto A (2, 1, 2).

Apliquemos as derivadas parciais de funes compostas.

/1 dx /1 dy /1--+--=--x dz y dz zlz dx + lz ~ = _ lzx dz y dz z

2X: + 8y: =-2zdx dy .

2x dz + 2y dz = 2

No ponto A (2, 1, 2)

4 dx + 8 dy = -4dz dz

4dx+2El.=2dz dz

Subtraindo - > 6 t = - 6 > I t 1 I >1 ~~ 11Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2 '2 ==> I dx 1 Idz dz

PR1 Derive z = xZy - 4, onde x = senO e y = cosO.Soluo: Como z = I(x, y), onde x = /1(0) e y :- Iz(O) ==>" z == 1[(1(0),/2(8)] > z = F(O).Ento

dz z dx z dydO = x dO + y dO

C z = 2xyxz z 2- =xydx- = cosOdO

!!l... = - sen OdO

dzdO = 2xy cos O - x2 sen O

~PR2 Determine a velocidde angular do vetar posio OP, sendo O (O,O) e P(x, y),

com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s.Soluo:

{X=1-2=-1

No instante t = 1 S ====> --> P(-l, 5)y=4+1=S

A velocidade angular do vetar oP w = ~~'derivada do ngulo O em relao a t, por sero ngulo descrito na unidade de tempo.

Da figura, tiramos tg O = L ==> O =X

= are tgL.x

Como y = g (t) e x = h (t) e O =f (x, y) >==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t).

dO ao dx ao dyw::;;-=--+--dt ax dt ay dt

J:= -4t1dy = 2t

dt

W ====>: W = dO = 4 ty + 2 txdt x2 + y2 x2 + y2

_4ty+2tx diw- 2 2 r s

x + Y

{

X = -1No instante t = 1, >

y = 5

4 . 1 S + 2 . 1 (- 1)>w=---------1 + 2S18

w = 26

9w = - rd/s

13

De um funil cnico escoa gua razo de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que age~atriz faz com o eixo do cone um ngulo a = 30, ache a velocidade comque baixa o nvel da gua no funil, no instante em que o raio da base dovolume lquido for igual a 4 cm.

Soluo: Consideremos um corte ABC do funil.B 7TR2hO volume do funil V = -3-' Logo, V =

= f(R, h), porm R = fI (t) e h = f2 (t),pois onvel baixa com o. tempo, variando a altura e oraio conforme t.

dV = av dR + av dh CD (velocidade de variao do volume)dt aR dt ah dt

av 27TRh-=aR 3

av 7TR2-=-ah 3

Do tringulo retngulo ABD tiramos tg a = ~ ou

o R ..j3 R 3Rtg30 =- >-=- >h=- >h=R..j3h 3 h ..j3

avaRNo instante em que R = r = 4 cm ==> h = 4 -J3 cm,

27T 4 4 ..j3 327T..j3 av 7T. 16 161T- 3 = 3 e ah = 3 = -3-

Como, ~~ = 36rrcm3/s, substituindo na CD, vem:36rr = 32rr .v3 dR + 16rr dh

3 dt 3 dt

h = R . ;-:::;-3 ===> dh = ;-:::;-3 dR === dR 1 dhV.:J dt V.:J dt > -dt =-y'3-3 -dt

36rr = 32 rr>p? 1 dh + 16rr dh3 ~dt 3 dt

108rr = 48rr dhdt

dh 108 1T dh 9 . .dt = 48 rr ---> dt = 4" cm/ s, velocIdade com que baixa a altura dolquido no funil, no instante em que r = 4 cm.

PR4 Determine a velocidade de variao do volume de um paraleleppedo retn-gulo, sabendo-se que as arestas da base crescem razo de 2 cm/s cada umae a aresta vertical decresce razo de 1 cm/s, no instante t, em que asarestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm.

Soluo: V = xyz, logo:

V = f(x, y, z) e x = g (t), Y = h (t) e z = i (t)

~----------- --/'~~

Por outro lado, a velocidade de variao do volume dV , d ddt ' que nos e a a por

dV = a V dx + a V ~ + a V dzdt ax dt ay dt az dt CD

dx dy- = - = 2cm/sdt dt

dze dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente)

av-=yzax av = 20 X 60 = 1.200 em2aXtav-=xzay

av-=xyaz

av- = 30 X 60 = 1.800 em2aYt

av- = 30 X 20 = 600 em2aZtSubstituindo na CD

c;:; = 1.200 2 + 1.800 2 + 600(-1)c;:; = 2.400 + 3.600 - 600dVdt = 5.400 cm3/s

PRs Os lados de um tringulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm.Sabendo-se que os dois primeiros crescem razo de 1 em/ s-1 e 2 cm/ 1,respectivamente, e o 3Q decresce razo de 2 cm/ 1, determine a veloci-dade de variao do ngulo formado pelos 2 primeiros lados, no instanteconsiderado.

C Soluo:

dx = I cm/s-1dtd)!e - = 2 em/s-1dt

dz 2 /-1dt = - em s

Fig.4.4.

Do tringulo ABC, atravs da lei dos eo-senos, tiramos:

Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa CDDo problema, conclumos que a =f (x, y, z), sendo x, y e z variveis funesde t, logo a = F(t)Da CD tiramos

x2 + y2 _ Z2 x2 + y2 _ Z2cosa = 2 ==> a = arccos 2xy xy

dcx = acx dx + acx dy + acx dzdt ax dt ay dt az dt

acx 1 4x2y - 2y(x2 + y2 - Z2)-ax- - - } _ (X'+2~~ - zy , 4_X:y2

u~v - uv~v2

..No instante considerado t

acx 1 4 3.600 40 - 2 40 300-ax = -) _ ( 300)2 4 . 3.600 1.600 -

1 4.800

1 576 - 24- --;;::===

j~56 - 1 360 6425623- -

60V25S

a cx 16 4, 60 1.600 - 2 60' 300 29-= - --ay ..J255 4 . 3.600 . 1.600 120..J255

acx 16 70 7- -az ..J255 60 40 15 V25S

dcx 23. 1 _ 29 2 + 7 (_ 2)dt = - 60 Vill 120 Vill 15 Villdcx -46 - 58 - 112-

dt .120 Vill

da 216-=-----dt 120..j255

da = _ 9 rd S-1dt 5..j255

o ngulo a, no instante considerado, decresce razo de Jm rd 1.5 255

PR, D~ive z = t'tgy, onde x = p2 - 4 e y = 3p.Soluo: Conclumos que z = f(x, y), onde x = f1 (p) e y = f2 (p) do queresulta

dz = oz dx + oz dydp ox dp oy dp

Achemos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em p.Preparemos a funo: F. P. > Z = (tgy)1/x.

~z = (tgy)1/X (-~)Qn(tgy) (derivada de funox \ x , exponencial de base

a)z = (tgy)l/X

OZ =.1 (tgy)(l/X)-l sec2y (derivada de potncia daoy x tgy)

dxdp = 2p

Aplicando a frmula CDdz = [_ Vtgy Qn(tgy)] 2p + [.1(tgy)1/x-isec2y] 3dp x2 X

dy = 3dp

(tgy)

dz _ 2p X~t o (t ) + 3sec2y- - - - V 19y X.n gy ---dp x2 X ~ (tgy)(X-l)

eKx (v - z)PR7 Derive J.1. = 2 ' onde y = K senx e z = cosx e K constante.

K + 1Soluo: Derivemos como funo composta.Numa 1~ anlise J.1. = [(x, y, z), mas x = x (x), y = y (x) e z = z (x), ento:

J.1. = F(x)

dJ.1. = a J.1.dx + a J.1. dy + a J.1. dzdx ax dx ay dx az dx

a J.1. _ KeKx (v - z)ax - K2 + 1aJ.1. = eKx

ay K2 + 1

dx-= 1dx

dy = Kcosxdx

dzdx = -senx

Aplicando a frmula de : ====->

dJ.1. _ eKxdx --- (Ky - Kz + K cosx + senx)K2 + 1

Substituindo y e z pelos seus respectivos valores -->

dJ.1. eKx==.> - = --- (K2senx - K cosx + K cosx + senx)

dx K2 + 1

$ e~ efidx = 2 (K2senx + senx) = 2 senx (K2 + 1)K + 1 K + 1dJ.1. = eKx senxdx

PR~ Determine a diferencial de z = senx + cosy com x = 2p e y = 1 _ p2.Soluo:

z = f (x, y) > z = F (p)dz = (az dx + az dY) dax dp ay dp p

[az = cosxax

De z = senx + cosyaz- = -senyay

dx = 2dp

gz = -2pdp

PR9 Determine a diferencial de w = xeYz com x = pe, y, = p - e e z = 2 p + e.Soluo: w = f(x, y, z) > w = F (p, e).

- aw aw CDEntao, dw = ap dp + ae de 1aw = aw ax + aw ay. + aw azap ax ap ay ap az ap

aw = aw ax + aw ay + aw azae ax ae ay aB az ae

x [~~ = eaxao = p

aw Y- = xze Zay Cay = 1ap

yay = -1ae

c~;= 2z az = 1aeEnto dw = (e +xz + 2xy)eYz dp + (p -xz +xy)eYz de.

aw- = xyeYzaz

. az azPRlO Se z = f(x - y, y - x) venfique que ax + ay = o.

Faamos x - y = t => Y - x = s.Ento,

z=f(t,s) e t=fl(X,y) e S=f2(X,y)

Ento:

az '(

[

a-=fr t,s)De z = f(t, s) . t

az ,as = fs (t, s)

at 1

[ax=

e de t = x - y

~= -1ay

Aplicando CD ====>az , ) 1"' )ax = fr (t, s - J S (t, s

az , ,ay = - fr (t, s) + fs (t, s)

aFdy _ axd:x - - aF

ay

aF

C-=yXQnyax

FaF _ X-I 1--xy -ay

dy =_dx

yXQny

yXx--ly

dy = _ yyX Qny = _ yX + IQnydx xyX _ Y xyX _ Y

dy =_dx

dy = yX+IQnydx y _ xyX

PRI2 Determine : sendo 1 + xy - Qn (exy + e-xy) = O.

Soluo: Como vimos:

aFdy _ axd:x - - aF

ay

CaF = y - yexy_ ye-xy = yexy + ye-xy - yexy + ye-xy = 2ye-xyax eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy

F aF = x _ xexy - xe-xy = xexy + xe-xy - xexy + xe-xy = 2xe-xyay eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy

Aplicando a frmula:

2ye-xy

dy = _ eXY + e-xy = _Ldx 2xe-xy x

eXY + e-xy

I dy - Y Id:x x

PR13 Dada a equao x2 + y2 - Z2 - 4xy - 2x - y = O, determine ~: e ~;.

Soluo: Vimos que dada F (x. Y. z) = O temosaF

az axax - - aF

az

aFaz _ ayay - - aF

az

D. . aF aF aFeternunemos poIS ax' ay e az

aF-= 2x - 4y - 2axaFay = 2y - 4x - 1

aF = -2zaz

az 2x - 4y - 2 = x - 2y ~ 1ax - - -2z zaz 2y - 4x - 1 _ 2y - 4x - 1ay - - -2z - 2z

PR'4 Dada a equao x2 + y2 = 16, determine .:; e ~;~.

Soluo: De x2 + y2 = 16 ====> x2 + y2 - 16 = OProcuramos

aFdx _ aydy - - aF

ax

. aF aFDetcrnunemos ay e ax

aFF C ay = 2y

aF-=2xax

dx = _ 2y ==> dx = _Ldy 2x dy x

PR1S Determine as equaes das retas tangente e normal curva x2 + y2 = 25 noponto T(3, -4).

Soluo: Sabemos da geometria analtica que a equao

de (t) y - Yl ='a(x - Xl)1-

de (n)Y - Yl = --(x - Xl)a

onde a = :.Ento (t) Y + 4 = a (x - 3)

e (n) Y + 4 :.- - ..!..(x - 3)aaF

dy axCalculemos a = - = ---dx aFay

aF"-.c ax = 2X__ 2x xPartindo de F ==---:. aF --:> a = - -2y-= - y =-=2y

. . ~ 3 3= - -4 ="4Substituindo em (t) e (n) a por :.

3tangente (t) y + 4 ="4(x - 3) :> 4y + 16 =

= 3x - 9 ==:> 3x - 4y - 25 = O

.. " 4normal (n) y + 4 = - 3" (x - 3) :> 3y +_12 =

= -4x + 12 ==> 4x +3y = O

d2y d 3 2 2PR16 Determme dx2 sen O x - 4Y = 12.

aF'

Soluo: Calculemos : = - ~~

ay

Partindo de F===="> C~~= 6x > dy = _ ~aF dx -8yay=-8y dy 3x

>-=-dx 4y

S h dy d I t- t ' d . d2y , 1/e c amarmos dx e y , en ao nos res ara etermmar dx2 que e y .

I 3xComo y = 4y , resulta

y" =~(~~)

Lembrando-nos que y funo de x, devemos derivar ~; como quociente.

/IY =I I

UV - uvV2

3 4y - 3x 4 dy/I dx dy I 3xy = - ----1-6-y-2---' mas dx = Y = 4Y

12y - 12x/Iy =-

3x.-4y _ 9x2

12y --y

16y216y2

/I _ 12y2 - 9x2Y - - 16y3

12~

/I -3(3x2 - 4y2) .Y = - pOIS16y3

a equao dada 3x2 - 4y2 = 12. Ento,

FUNES COMPOSTAS

" _ 3 12 --> I" 9 Iy - 16y3 -- Y - 4y3

2PP1 Derive z = x tg Y onde x = pef) e y = p2e2f).

Derive z = xy , onde x = J12+ V2 e y = J12 - V2.x2 + y2

PP3 Derive z = x + y2, onde x = p2 + senO e y = Qn(p + O).

az _ 2y

[ap - 2p + p + O

Resp.:az 2yae = cos O + P + O

PP. Derive z = J: : ;, onde x = -COSfJ e y = cosv.Res . az = sen J1 e az = J 1 .+ x sen v

p. . a J1 2 J (1 + x)(1 + y) av 2 (1 + y) J 1 + Y

PP5 Em certo instante as diagonais de um losango mediram 20 cm e 10 cm.Determine a velocidade de variao da rea do losango, no instante conside-rado, sabendo-se que a diagonal maior decresce razo de 0,5 cm/s e amenor cresce razo de 1 em/ s.

dAResp.: dt = 7,50 em2/s

pp 6 Um ponto se desloca sobre a esfera x2 + y2 + Z2= 49, ao longo da circun-ferncia do crculo mximo da esfera para a qual x = 2 sen t e y = 7 cos t -- 3, onde t representa o tempo.Detemilne a velocidade de asceno do ponto no instante em que suascoordenadas so (2, - 3, 6).

dz 7Resp.: dt = - 2"

PP7 Num instante t, as coordenadas de um ponto mvel P so x = 1 - 4 t2ey = 6 + 4t2 -+Ache a velocidade angular do vetor OP, no instante t = 0,5 s.

dO 4Resp.: w = dt =7rd/s

PPs A altura de um cilindro circular reto mede 50 cm e o raio da base 20 em. Aaltura decresce razo de 4 em/s, enquanto o raio da base cresce razo de1 cm/s. Calcule a velocidade de variao do volume do cilindro no instanteem que foram medidos o raio e a altura.

dVResp.: dt = 400ll'cm3/s

PP9 O ngulo A de um tringulo decresce razo de 2/ s enquanto os lados AB eAC esto crescendo razo de 2 cm/s e de 3 em/s, respectivamente.Calcule a velocidade de variao da rea do tringulo no instante em queAB = 8 cm, AC = 5 cm e = 60.Resp.: 14,36 cm2/s

PP 10 No problema anterior, calcule a velocidade de variao do lado BC noinstante considerado.

Resp.: 4,26 cm/seg

PPu Se Z = ~n~, onde x = 11.2+ V2 e y = Jl2 - V2, determine dz.y

R dz 2Jl(y-x)d +2v(Y+x)desp.: = Jl - vxy xy

PP12 Dada a funo z = x3 - x2y + xy2 - y3, onde x = cos a + sen {3 e y =

= sen a + cos {3, determine dz no ponto a = ;e {3 = - ~.

3V3+9 3Y3-9Resp.: dz = - . 2 da + 2 d{3

_ xy yz x az azPP13 Dada a equaao e - e + ze - 1 = O, calcule ax e ay'z yexy + zex z xeXY - zeYzResp.: - = ---- e - = -----x yeYz _ eX y yeYz _ eX

Dado arc tgL - 2n (x2 + y2) = O, calcule dxdY . x. dy _ 2x + y

Resp.. dx - - -x + 2y > ~\.--_._., .. _~._--

pp 15 No exerccio anterior deterrnine a equao da normal curva representadapela equao no ponto T (1, O).

Resp.: x + 2y - 1 = O

PP 16 Determine as derivadas parciais de z, dada a funo z = f (x, y), defmidaimplicitamente por x2 + 2xz + y2 - 3z2 + 4xy = O.

. z _ x + z + 2y

C x - - x - 3zResp.: z z _ y + 2xy - - x - 3z

PP17 Dada a superfcie x2 + y2 - Z2 - xy = O, deternrlne a equao do planotangente a ela no ponto T (- 1, O, 1).

Resp.: 2x - y + 2z = O .

PP18 Determine a equao da tangente curva 2xy - 2ex seny + 1 = O noponto T (o, ~j.

1T-3 1TResp.: y = 3..J3x +"'6

PP19 Determine no sistema

{

X2 + y2 + Z2 - 14 = O2x2 + 3y2 + Z2 - 20 = O

dx dydz e dz no ponto P (2, 1, 3).

Resp.: : = -3 e!frz = 3

PP20 Dada a equao x2 + y2 - 36 = O, determine d2; .

dx

d2y 36Resp.: --2 = --3

dx Y

(~

, ',,--._,,\J.

5MXIMOS E MNIMOS

Trabalharpelo mundo melhor nosso dever