I.E.S. Juan Gris Departamento de Fsica y Qumica Fsica 2 Bachillerato

Prof. Jos Moreno Snchez Movimiento armnico simple.- 1

Tema 5: Movimiento Armnico Simple.

5.1 Oscilaciones y vibraciones Movimientos peridicos de vaivn alrededor de la posicin de equilibrio.

Oscilaciones (amplitud apreciable) y vibraciones (amplitud inapreciable)

Proyeccin sobre uno de los dimetros de un movimiento circular uniforme.

5.2 Movimiento vibratorio armnico o Movimiento Armnico Simple: M.A.S.

Magnitudes caractersticas de un m.a.s.:

Amplitud, periodo, frecuencia, pulsacin, estado de vibracin, fase y fase inicial.

5.2.1 Estudio cinemtico:

Ecuacin caracterstica de un m.a.s.:

Posicin, velocidad y aceleracin. Relaciones entre ellas.

Ecuacin del movimiento y condiciones inciales. Casos particulares

5.2.2 Estudio dinmico:

Fuerza necesaria para un m.a.s.: Ley de Hooke.

Constante recuperadora, masa y pulsacin.

5.2.3 Estudio energtico:

Energa cintica, energa potencial y energa mecnica o total.

Conservacin de la energa. Diagrama energtico

5.3 Oscilaciones amortiguadas, oscilaciones forzadas y resonancia

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M.A.S. : CUESTIONES Y PROBLEMAS

1. Si se duplica la energa mecnica de un oscilador armnico, explique qu efecto tiene:

a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones

b) en la velocidad y el perodo de oscilacin. (Madrid junio 1998)

2. Un punto material est animado de un movimiento armnico simple a lo largo del eje X, alrededor de su

posicin de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0, el punto material est situado en x = 0 y se desplaza

en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm s-1

. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz.

a) Determine la posicin en funcin del tiempo.

b) Calcule la posicin y la velocidad en el instante t = 5 s. (Madrid junio 1998)

3. Una partcula realiza un movimiento armnico simple con una amplitud de 8 cm y un perodo de 4 s.

Sabiendo que en el instante inicial la partcula se encuentra en la posicin de elongacin mxima:

a) Determine la posicin de la partcula en funcin del tiempo.

b) Cules son los valores de la velocidad y de la aceleracin 5 s despus de que la partcula pase por

un extremo de la trayectoria? (Madrid septiembre 1998)

4. Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5

cm. Cuando se aade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilacin es de 0,5 Hz. Determine:

a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del muelle. b) el valor de la amplitud de oscilacin en el segundo caso si la energa mecnica del sistema es la

misma en ambos casos. (Madrid septiembre 1999)

5. Un oscilador armnico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de

valor 40 g, tiene un perodo de oscilacin de 2 s.

a) Cul debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idntico al primero, para

que la frecuencia de oscilacin se duplique?

b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, cunto vale en cada caso, la

mxima energa potencial del oscilador y la mxima velocidad alcanzada por su masa? (Madrid septiembre 2000)

6. Un muelle cuya constante de elasticidad es k est unido a una masa puntual de valor m. Separando la

masa de la posicin de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine:

a) El valor del perodo de las oscilaciones T y su frecuencia angular . b) Las expresiones de las energas cintica, potencial y total en funcin de la amplitud y de la

elongacin del movimiento del sistema oscilante. (Madrid junio 2001)

7. Una partcula efecta un movimiento armnico simple cuyo perodo es igual a 1 s. Sabiendo que en el

instante t = 0 su elongacin es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule:

a) La amplitud y la fase inicial.

b) La mxima aceleracin de la partcula. (Madrid septiembre 2001)

8. Una masa de 2 kg est unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El

muelle se comprime 5 cm desde la posicin de equilibrio (x=0) y se deja en libertad. Determine:

a) La expresin de la posicin de la masa en funcin del tiempo, x = x(t).

b) Los mdulos de la velocidad y de la aceleracin de la masa en un punto situado a 2 cm de la posicin

de equilibrio.

c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria.

d) La energa mecnica del sistema oscilante.

Nota: Considere que los desplazamientos respecto a la posicin de equilibrio son positivos cuando el

muelle est estirado. (Madrid junio 2002)

9. Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elstica 35 N/m, oscila en una superficie

horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su

posicin de equilibrio, calcule: a) La fuerza ejercida sobre el bloque. b) La aceleracin del bloque. c) La

energa potencial elstica del bloque. d) La velocidad del bloque. (Madrid junio 2003)

10. a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posicin vertical, ste se desplaza 5 cm; de qu

magnitudes del sistema depende la relacin entre dicho desplazamiento y la aceleracin de la gravedad?;

b) Calcule el periodo de oscilacin del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posicin

horizontal (sin rozamiento). Dato: g = 9,81 m s-2

. Madrid junio 2004

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11. Se tienen dos muelles de constantes elsticas kl y k2 en cuyos extremos se

disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, y tal que ml < m2. Al oscilar,

las fuerzas que actan sobre cada una de estas masas en funcin de la

elongacin aparecen representadas en la figura. a) Cul es el muelle de

mayor constante elstica? b) Cul de estas masas tendr mayor perodo de

oscilacin? Madrid septiembre 2005

12. Una masa puntual de 150 g unida a un muelle horizontal de constante elstica k = 65 N/m constituye un

oscilador armnico. Si la amplitud de la oscilacin es de 5 cm, determine:

a) La expresin de la velocidad de oscilacin de la masa en funcin de la elongacin. b) la energa potencial elstica del sistema cuando la velocidad de oscilacin es nula. c) La energa cintica del sistema cuando la velocidad de oscilacin es mxima. d) d) La energa cintica y la energa potencial elstica del sistema cuando el mdulo de la aceleracin

de la masa es igual a 13 m/s2. Madrid junio_2006

13. Una partcula que describe un movimiento armnico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo

de su movimiento y su aceleracin mxima es de 48 m/s2. Calcule: a) la frecuencia y el periodo del

movimiento; b) la velocidad mxima de la partcula. Madrid sep 2006

14. Un objeto de 2,5 kg est unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armnico simple sobre

una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.

Determine: a) El periodo del movimiento y la constante elstica del muelle; b) La velocidad mxima y la

aceleracin mxima del objeto. Madrid junio 2007

15. Un cuerpo de masa m est suspendido de un muelle de constante elstica k. Se tira verticalmente del

cuerpo desplazando ste una distancia X respecto de su posicin de equilibrio, y se le deja oscilar

libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca

la relacin que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades mximas del cuerpo; b) las energas

mecnicas del sistema oscilante. Madrid junio_ 2008

16. Una partcula que realiza un movimiento armnico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar ua

oscilacin completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y su elongacin positiva, determine:

a) La expresin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin de oscilacin en el instante t = 0,25 s. Madrid sep _2008

17. Una partcula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armnico simple. La

partcula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = 10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine:

a) La fuerza que acta sobre la partcula en el instante inicial. b) La energa mecnica de la partcula c) La velocidad mxima de la partcula d) La expresin matemtica de la posicin de la partcula en funcin del tiempo. Madrid junio 2009

18. Una partcula realiza un movimiento armnico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una

oscilacin completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongacin positiva, determine:

a) La expresin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin de oscilacin en el instante t = 0,25 s. Madrid septiembre 2009

19. Una partcula que realiza un movimiento armnico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar

una oscilacin completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongacin positiva,

determine:

a) La expresin matemtica que representa la elongacin en funcin del tiempo. b) La velocidad y la aceleracin de oscilacin en el instante t = 0,25 s. Madrid septiembre G 2010

20. Una partcula realiza un movimiento armnico simple. Si la frecuencia de oscilacin se reduce a la

mitad manteniendo constante la amplitud de oscilacin, explique qu ocurre con: a) el periodo; b) la

velocidad mxima; c) la aceleracin mxima y d) la energa mecnica de la partcula. Madrid junio 2010

F

x

1

1

2

2

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AUTOEVALUACIN

1. Un cuerpo que oscila armnicamente tarda 2 segundos en ir de un extremo al otro de su trayectoria, que

estn distanciados 0,4 m. Determinar el perodo, la frecuencia y la amplitud de este movimiento. Sol.: T = 4 s, f = 0,25 Hz, A = 0,2 m.

2. Un cuerpo realiza un m.a.s. de amplitud 5 cm y frecuencia 0,2 Hz. Justifica razonadamente la certeza de

las siguientes afirmaciones:

a) El cuerpo tarda 5 segundos en ir de un extremo al otro de su trayectoria.

b) Cuando el cuerpo se encuentra a 5 cm de la posicin de equilibrio su velocidad es nula.

c) La fuerza que acta el cuerpo cuando est a 5 cm de la posicin de equilibrio es nula.

d) El cuerpo realiza 12 oscilaciones en 1 minuto.

Sol.: a) falso; b) cierto; c) falso; d) cierto

3. Un cuerpo que oscila armnicamente realiza 2 oscilaciones cada segundo. En el instante inicial, t = 0, pasa por la posicin de equilibrio, que coincide con el origen de coordenadas, con velocidad v0 = +2,5

m/s. Calcula: a) la amplitud y el periodo de las oscilaciones; b) la ecuacin del movimiento; c) posicin,

velocidad y aceleracin del cuerpo para t = 0,25 s. Sol.: a) A = 0,2 m, T = 0,5 s; b) x = 0,2sen(4t) m; c) x = 0, v = 2,5 m/s; a = 0

4. Un cuerpo de 100 g realiza un movimiento armnico simple a lo

largo del eje X de acuerdo con la grfica de la figura. Calcular:

a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones

b) la ecuacin del movimiento

c) la aceleracin mxima del cuerpo

Sol.: a) A = 8 cm, f = 0,125 Hz; b) x = 0,08cos(t/4) m ; c) 0,05 m/s2

5. Un cuerpo de 0,2 kg suspendido del techo mediante una cuerda inextensible de 2,23 m de longitud se separa 5 cm de la vertical y oscila como un pndulo simple con un perodo de 3 segundos. Determinar:

a) el valor de la gravedad en ese lugar; b) la mxima velocidad que adquiere ese cuerpo; c) el nuevo

valor del perodo si reducimos a la mitad la amplitud de las oscilaciones; d) el valor del perodo si

alargamos 1 m la longitud de la cuerda? Sol.: a) g = 9,78 m/s2; b) 0,1 m/s; c) no vara; d) T = 3,6 s.

6. Un oscilador armnico de masa 0,5 kg y constante elstica 450 N/m tiene una energa mecnica de 36 J. Determinar: a) el perodo y la amplitud de las oscilaciones que realiza el cuerpo; b) la velocidad mxima

del oscilador; c) la velocidad del cuerpo para x = 20 cm; d) en qu puntos la energa potencial vale lo

mismo que la energa cintica. Sol.: a) A = 0,4 m, T = 0,21 s; b) 12 m/s; c) 10,4 m/s; d) x = 28 cm.

7. La velocidad mxima de un oscilador armnico de masa 0,2 kg y constante elstica 80 N/m es de 10 m/s. Determinar: a) la amplitud y el perodo de las oscilaciones; b) la energa mecnica del oscilador

para t = 2 s; c) las energas cintica y potencial del oscilador en el punto x = 0,25 cm; d) la velocidad y la aceleracin del cuerpo en ese punto.

Sol.: a) A = 0,5 m T = 0,3 s; b) 10 J; c) Ec = 7,5 J, Ep = 2,5 J, v =8,7 m/s.

8. Un cuerpo de masa 100 g unido a un muelle elstico, realiza un m.a.s. y tarda 0,25 segundos en ir de un

extremo al otro de su trayectoria que estn separados 20 cm. Determinar: a) la amplitud y la frecuencia

de las oscilaciones que realiza el cuerpo; b) la constante elstica del muelle; c) la energa mecnica de

este oscilador; d) las posiciones donde la energa mecnica es igual a la energa potencial; e) la

velocidad del cuerpo cuando est a 5 cm de un extremo; f) la relacin entre las energas cintica,

potencial y mecnica cuando el cuerpo est a 5 cm de la posicin de equilibrio.

Sol.: a) A = 0,10 m, f = 2 Hz; b) k = 15,8 N/m; c) E = 79 mJ; d) x = 7 cm; e) v = 1,1 m/s; f) Ep = Em; Ec = Em

8

x(cm)

t (s)

8

4 10

+8

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FSICA I.E.S. Juan Gris Grupo: Calificacin

Alumno/a:

H5: MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE Fecha de entrega:

Ejercicios para entregar

1. Un sistema masa-muelle est formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora K. Si el bloque se

separa 20 cm de la posicin de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, ste empieza a oscilar de tal

modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. determine: a) La constante recuperadora K del muelle; b)

La expresin matemtica que representa el movimiento del bloque en funcin del tiempo; c) La

velocidad y la posicin del bloque a los 30 s de empezar a oscilar; d) los valores mximos de la energa

potencial y de la energa cintica alcanzados en este sistema oscilante. Madrid junio 2010.

2. La grfica muestra el desplazamiento horizontal x = x(t) respecto del equilibrio de una masa de 0,5 kg unida a un muelle.

a) Obtenga la constante elstica del muelle.

b) Determine las energas cintica y potencial del sistema en el instante t = 0,25 s.

Madrid C_ junio_2010

3. Un sistema elstico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armnico simple con un periodo de 0,25 s. Si la energa total del sistema es 8 J. a) Cul es la constante

elstica del muelle?; b) Cul es la amplitud del movimiento? Madrid modelo 2010

4. Se tiene una masa m = 1 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un muelle, de masa

despreciable, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una longitud x = 3

cm, respecto de su posicin de equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6 N. Si se deja el sistema masa-

muelle en libertad:

a) Cul es el periodo de oscilacin de la masa?

b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posicin inicial, x = 3 cm, hasta su posicin de

equilibrio, x = 0.

c) Cul ser el mdulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1 cm de su posicin de

equilibrio?

d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5 cm, cul sera su frecuencia de oscilacin? Madrid junio 2011

0,4

x(cm)

t (s)

4,5

0,2

+4,5