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Grandes corrientes de la matematicaen el siglo XX.

III. La matematica de las estructuras 1940{19701

Fernando Zalamea2

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia

Bogota

Este tercer artculo completa la mitad de nuestra serie de seis textos liga-

dos a la Catedra Granes 2008, Grandes corrientes de la matematica en el

siglo XX. Los textos exploran tres frentes |(i) elucidacion de nucleos con-

ceptuales y problematicas centrales en la matematica de la epoca; (ii) des-

cripcion de entornos historicos correspondientes, entrelazando matema-

tica y cultura; (iii) determinacion de tematicas losocas que emergen

paralelamente a los avances tecnicos| ilustrando as instancias de desa-

rrollo del pensamiento matematico, inscritas dentro de la cultura como un

todo. En esta tercera entrega, ligada a la emergencia del estructuralismo,

enfatizaremos ejemplos alrededor de Bourbaki, MacLane y Lawvere.

Palabras claves: estructuralismo, Bourbaki, teora de categoras.

Continuing the series Great currents of mathematics in the XXth century,

we present the emergence of structuralist mathematics, both through

the group Bourbaki and the creation of category theory. Further, we

advance a philosophical and cultural discussion of the main conceptual

ideas involved.

Keywords: structuralism, Bourbaki, category theory.

MSC: 01A60

1 Las dos partes anteriores de esta entrega han sido publicadas en Boletn deMatematicas, 16(2), 95 (2009) y 17(1), 13 (2010).

2 www.matematicas.unal.edu.co/ fzalamea

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1 Eclosion del estructuralismo

La estructura y la forma se atraen, complementan y repelen desde laAntiguedad. Organizar el conocimiento, encontrar canones de creativi-dad y apuntar a apropiarse del mundo ancho que nos rodea son algunasacciones, entre muchas otras, que fuerzan una busqueda natural de es-tructuras. Si esa exploracion ha sido una constante del pensamientohumano |con momentos algidos, y distantes en el tiempo, como el Arsde Llull, la Combinatoria de Leibniz, el Borrador General de Novalis, elPragmaticismo de Peirce o los Cuadernos de Valery| la sistematizacioncomunitaria de la busqueda se da sin duda en las decadas 1920{1960del siglo XX. Las fuerzas orginales mayores parecen surgir del fantasticoexperimento sovietico de la primera mitad de la decada del veinte, antesde que la inmensa imaginacion rusa cayera bajo el horror estalinista.Los constructivistas impulsan la busqueda de estructuras formales mini-males en los mas diversos dominios: arte (Malevich), poesa (Klebnikov),arquitectura (Melnikov), cine (Vertov). Trubetzkoy lanza las primerasinvestigaciones a fondo de las estructuras lingusticas y fonologicas de lacomunicacion. Florenski sistematiza la nocion de perspectiva invertiday explora las apariciones de la invencion desde el reves de estructurasantinomicas. Una suerte de \milagro generacional" hace que el entornodel constructivismo aprenda a apreciar los lineamientos globales de unaestructura, allende nodos locales de informacion, los encajes de las piezas,allende descripciones de contenidos, los bordes de las conguraciones,allende nociones de \mensaje" o de \relleno". Por fuera del primer mi-lagro sovietico, la inuencia directa de Trubetzkoy recae sobre el Crculode Praga, con guras mayores en lingustica (Mukarovsky, Jakobson) queasentaran el desarrollo del estructuralismo. En arquitectura, la Escuelade Amsterdam realiza un centenar de obras maestras donde el ladrillo,la madera pintada de blanco y el vidrio develan la enorme elegancia deun ordenamiento estructural que supera con creces la diversion del orna-mento.

En matematicas, el pionero de esa sistematica busqueda \arquitecto-nica" de la estructura debe ser considerado David Hilbert (remitimosal primer artculo de esta serie, donde evocamos la importancia de laestructura en Hilbert). La gran vision del genio aleman, donde cadasubcampo de la matematica adquiere precisas axiomatizaciones, lneas desosten y problematicas de tension, se cimentara en un grupo inesperadode jovenes estudiantes franceses, que revolucionara los modos de hacer yentender la matematica. La Ecole Normale Superieure, en Pars, a mitadde la decada de los veinte, reune un insolito enjambre de talentos, entrelos cuales apareceran algunos de los mayores matematicos del siglo: Weil

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(\promocion" 1922, es decir, a~no de entrada a la Escuela), Cartan (1923),Dieudonne y Ehresmann (1924), Herbrand (1925), Chevalley (1926).Despues de terminar sus estudios, realizar sus examenes de agregacion yconcluir sus doctorados, los integrantes del grupo |apodado Bourbaki|se reuniran a mediados de los treinta para lanzar su famoso programade reescritura arquitectonica de la matematica. Nos adentraremos en esa\losofa bourbakista" en la segunda seccion de este artculo.

Veamos en el anterior artculo de nuestra serie como los pasos delo singular (una ecuacion, un objeto, una funcion) a lo multiple (clasesde ecuaciones, objetos y funciones) abran el paso a la modernidad enmatematicas. La sistematica organizacion estructural de esas multiplici-dades |iniciada en Hilbert, retomada y elevada a su maxima expresionen Bourbaki| se constituira en otro nuevo motor de desarrollo para elpensamiento matematico. La modernidad alcanzara entonces una suertede \cenit", aunque el reves de la medalla empezara tambien a vislum-brarse y emergeran al nal reacciones violentas contra el grupo frances.Por el momento, mencionaremos solo el proceso de \ascenso" del grupo,as como la emergencia paralela de la teora de categoras (Eilenberg,MacLane, Lawvere, Freyd). La tension sera maxima antes de la entradaen liza del que debe ser considerado como el mayor matematico de la se-gunda mitad del siglo XX, Alexander Grothendieck, con quien abriremosel cuarto artculo de la serie.

Las decadas 1940{1970 conforman un periodo de \normalizacion" dela escritura matematica. En efecto, si los procesos creativos han sidosiempre, y necesariamente siguen siendo, oscuros y antinomicos, las for-mas de presentacion de esa creatividad han cambiado. La claridad, elrigor y la exigencia de las pruebas ha adquirido |muy especcamentegracias a Bourbaki| un altsimo nivel que se ha convertido en \pancomun" del matematico hoy en da. Basta con hojear los libros de al-gunos grandes matematicos de nales del siglo XIX y comienzos del sigloXX |algunas lecciones de Cantor, Lie, Lindemann, Hadamard, Borel,Sierpinski, Luzin, Veblen, etc.| para darse cuenta del gigantesco cam-bio realizado. Una hermosa, aunque tambien inquietante, \plasticidad"recorra la escritura matematica de hace cien a~nos. Se enfatizaban ideas,se \suavizaban" los conceptos, se llegaba tal vez mas directamente alfondo de los problemas, pero el rigor detallado de las pruebas dejaba mu-cho que desear. En matematicas, la develacion de las estructuras caminoen cambio con la elucidacion de axiomatizaciones minimales y la limpiezade las escrituras asociadas. Un esfuerzo sostenido de \claricacion de lasideas" (segun propugnaba Peirce, a nes del siglo XIX) se consiguio alconcentrar la atencion en los modos de entrelazamiento del conocimiento

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matematico. Allende las regiones (logica, algebra, topologa, analisis,geometra, etc.) y allende las particularidades locales, las perspectivasuniversales permitieron desbrozar muchas malezas innecesarias.

Traigamos de nuevo a colacion la \tabla fenomenologica" que guaesta serie:

transito matematico-

que como por que cuando dondeobjetos modos razones momentos lugaresejemplos transformaciones obstrucciones diagramas diagramasproblemas regulaciones singularizaciones temporales culturalesontologa epistemologa metafsica historia geografa

-

cuestionamiento losoco y cultural

Tabla III.1. Perspectivas de la Catedra Granes 2008{I.

Los objetos centrales (\que") con los que trabaja la matematica dela epoca son, a nivel \atomico", las estructuras y, a nivel \molecular",sus conglomerados (espacios de estructuras, es decir, categoras). Esosconglomerados se distribuyen a lo largo de las regiones matematicas ydan lugar a categoras de conjuntos, grupos, anillos, ordenes, espaciostopologicos, espacios funcionales, etc. Se alcanza as un pleno controlestructural de propiedades centrales clasicas (algebraicidad, continuidad,etc.) a traves de un nuevo nivel de elevacion: la deteccion de compor-tamientos funtoriales entre las categoras. Mientras que las estructurasviven sobre los conjuntos, en un salto de nivel se empieza a operar sobrefuntores entre categoras, dando lugar a uno de los conceptos funda-mentales de mediados de siglo XX: las transformaciones naturales entrefuntores. Se trata de un sostenido proceso de ascenso hacia lo generico,que tendra espectaculares consecuencias en su descenso posterior, espe-cialmente bajo la ductil inventividad de Grothendieck.

Los problemas (\que") asociados son diversos: (i) escalonar las pro-piedades acumulables en estructuras dadas (por ejemplo, grupos topo-logicos ordenados), clasicar sus modos de comportamiento (por ejem-plo, vaiven global/local) e introducir herramientas sistematicas de con-trastacion (por ejemplo, (co)homologas); (ii) caracterizar la riqueza delas estructuras de acuerdo con las propiedades sinteticas en el \medio{ambiente" que las cobija (libertad, proyectividad, inyectividad, etc.); (iii)pensar la matematica desde una nueva perspectiva, atenta a tensiones

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generales (adjunciones, teoremas de representacion) y a transitos uni-versales entre los conceptos, mas alla de oclusiones locales o disfracesparticulares. La metodologa asociada (\como") es particularmente im-portante. Los \macros" de informacion que se elevan sobre los con-juntos de base (operaciones algebraicas, redes de topologas, simetrasgeometricas, atlas diferenciales) llevan a rigurosas axiomatizaciones, den-tro de un nivel muy alto de generalidad. Un nuevo paradigma |elentendimiento de los objetos \en plural" (va estructuras y sntesis)|origina una dialectica pendular con la tradicion (objetos \en s", vaelementos y analisis). Multiples recomposiciones contrastan con descom-posiciones previas, permitiendo una original elucidacion de bloques com-positivos generales, acoplamientos y pegamientos. Surge as un intento dearmar un control estructural autosuciente de transformaciones estruc-turales, de donde |a traves de las escuelas francesa y norteamericana(\cuando" y \donde")| brotan algunos de los mas profundos problemasde la matematica para el medio siglo subsiguiente.

2 Bourbaki. Estructura y rigor

Bajo la inuencia de la matematica alemana (Hilbert, Noether, Artin)y buscando una renovacion de la escuela francesa, algunos jovenes dela Ecole Normale fundan el Grupo Bourbaki (n. 1935). El primercongreso reune a Delsarte, Weil, Dieudonne, Cartan, Chevalley, Ehres-mann, de Possel, Mandelbrojt. Se trata de un conjunto variable dematematicos que, ademas de los fundadores, ira incluyendo guras ex-cepcionales a medida que el Grupo se transforme (edad lmite de perte-nencia, 50 a~nos): Serre, Schwartz, Armand Borel, Grothendieck, Gode-ment, Samuel, Connes, Yoccoz, ademas de una veintena de otros grandesmatematicos franceses e invitados extranjeros (Eilenberg, Tate, Lang,Bass). Eran proverbiales el humor negro del Grupo y las violentas peleasintelectuales en los congresos internos, donde se armaban y se criticabanad innitum las multiples versiones de los Elementos de Matematica,el tratado que produjo los muy exigentes canones de rigor que adop-tara luego la matematica de la segunda mitad del siglo XX (para in-formacion detallada sobre el Grupo, veanse [Mashaal 2002] o [Aczel2006]). La actividad continua del Seminario Bourbaki, excelente indi-cador de la enorme e inuyente actividad del Grupo, acumula cerca de1.000 exposiciones y mas de 10.000 paginas redactadas hasta el momento.Practicamente toda la matematica del siglo XX ha pasado por el Semi-nario, pues, ademas de incluir multitud de investigaciones propias de losmiembros del Grupo, muchas de las exposiciones consisten tambien en

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reportes de avances de la matematica contemporanea en accion.

En La arquitectura de las matematicas [Bourbaki 1946], el Grupo ex-presa los lineamientos generales de su vision de la(s) matematica(s). Laidea de quitar los parentesis alrededor del plural resulta central en sulosofa: gracias a una mirada transversal, la estructuracion transformalo Multiple en lo Uno. Bourbaki realiza una lista de diversos tipos de es-tructuras (algebraicas, ordenadas, topologicas) y propone la busqueda de\estructuras{madre" que permitan jerarquizar el universo matematico.Ello conlleva una \estandarizacion" de los instrumentarios en juego |labor ciclopea de los Elementos de Matematica|, que fuerza altos nivelesde rigor, as como explicitaciones extremas de axiomas, hipotesis, pasosde prueba. La estandarizacion y el extremismo formal de Bourbaki cons-tituiran tanto su exito, como su fracaso. Por el lado del exito, puedeanotarse por ejemplo, localmente en nuestro medio, la enorme inuenciadel Grupo en la eclosion de la matematica moderna en el pas (J. Charris,C. Ruiz, A. Campos |este ultimo estudiante directo de Ehresmann|abriendo el estudio serio de las matematicas en Colombia). Por el ladodel fracaso, el metodo bourbakista supuestamente cerceno la libertad yla intuicion, aunque, como sucede a menudo, esto puede haber sucedidomas por culpa de seguidores obtusos que debido a la vision del Maestro.En efecto, ya en el artculo se~nalado de 1946, Bourbaki subrayaba unimprescindible vaiven entre intuicion y axiomatizacion, descubrimiento yabstraccion, multiplicidad y unidad: \Menos que nunca, la matematicase reduce a un juego puramente mecanico de formulas aisladas; masque nunca, la intuicion reina en la genesis de los descubrimientos, perodispone ahora de potentes palancas provistas por la teora general delas estructuras y domina de un solo vistazo inmensos dominios unica-dos por la axiomatica, donde antes solo pareca observarse el caos masinforme".

Allende los elementos, los nuevos objetos de la matematica (\que")pasan a ser las estructuras, entendidas a traves del conglomerado jerar-quico de axiomas que se impone sobre ellas. Los problemas asociados(\que") tienen que ver con el entendimiento \medio{ambiental" de lasestructuras: clases de homomorsmos (objetos inyectivos y proyectivos),teoremas de factorizacion (universalidad y unicidad), teoremas de re-presentacion (objetos libres, canonicidad). El \que" se enlaza de ma-nera original con el \como" a traves del interes central acordado a lastransformaciones de los entes. De hecho, los comienzos del incipienteparadigma categorico (Eilenberg, MacLane), segun el cual las transfor-maciones de un objeto le denen completamente, pueden rastrearse ar-queologicamente en la propuesta bourbakista (ver [Kromer 2007]). Las

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regulaciones (\como") adquieren un lugar preponderante en la perspec-tiva de Bourbaki, donde se combinan un ascenso a la maxima generalidad|altura que libera la mirada, permite recorrer transversalmente ampliasclases de ejemplos y consigue proponer axiomas de muy amplio alcance|y una novedosa re{composicion estructural de las regiones usuales de lamatematica. La sistematica metodologa triple del ascenso, la transver-salidad y el descenso, ejecutada sobre el espectro entero de la matematica|tactica propia del \espritu" bourbakista y potenciada al extremo enGrothendieck| resulta enteramente novedosa y su inuencia cambiarael rumbo de las matematicas en el siglo XX.

El intento de entender el complejo paisaje matematico, va (i) es-tructuras naturales en las diversas regiones y (ii) axiomas genericos paraesas estructuras, dio progresivamente lugar a problemas profundos (\porque") que impulsaron el desarrollo de la disciplina. Varias invencionesde la epoca provienen del \espritu" bourbakista encarnado en sus expo-nentes singulares: el \buen" acoplamiento de la informacion local y globalsobre una estructura, que origino la teora de haces (Leray, Cartan); eltransito natural entre las estructuras de la geometra proyectiva y de lageometra analtica, que impulso el gaga de haces sobre variedades alge-braicas complejas (Serre); la jerarquizacion y la clasicacion de algebrasdiferenciales, que dio lugar a los teoremas de representacion de grupos yalgebras de Lie (Chevalley, Borel); la conjugacion de tecnicas de teorade numeros y de calculo armonico abstracto, que conuyo en los adeles eideles (Weil); la busqueda de entornos generales para el analisis funcional,que llevo a la paracompacidad (Dieudonne); la eliminacion de obstruc-ciones singulares a favor de convoluciones globales, que propulso la teorade distribuciones (Schwartz), etc. Por otro lado, no mencionamos aqu laverdadera multitud de aportes de Grothendieck, que evocaremos breve-mente en nuestro cuarto artculo. El Grupo Bourbaki alcanza as no solouna irradiacion excepcional a traves del ejemplo comunitario de su es-critura |los Elementos| y de su labor investigativa |el Seminario|,sino que lo consigue tambien a traves del ejemplo individual de sus miem-bros: experimento unico de integracion y diferenciacion inventiva en lamatematica del siglo XX.

3 MacLane. Estructura y forma

La escuela de Hilbert lanza tambien sus dardos a traves del Atlantico.MacLane (1909{2005) cruza el oceano y realiza su tesis en Gottingenbajo la direccion de Weyl y Bernays sobre \pruebas abreviadas en elcalculo logico" (1934). Al regresar a Estados Unidos, en una decada

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prodigiosa en Harvard, MacLane aanza la escuela algebraica ameri-cana (Survey of Modern Algebra, con Birkho, en 1941) y se convierteen experto mundial en homologa. Comienza su extensa colaboracioncon Eilenberg (conectado a su vez con Bourbaki), surgen los espacios deEilenberg{MacLane y, sobre todo, emerge la teora de categoras [Eilen-berg and MacLane 1942, 1945]. Instalado en Chicago desde 1947, a lolargo de las decadas posteriores MacLane generara una enorme escuela encategoras (mas de 40 doctorados) y escribira varias monografas que seconvertiran en paradigma de claridad expositiva (Homology, 1963; Cat-egories for the Working Mathematician, 1972; Mathematics. Form andFunction, 1986).

Las categoras abstractas (\que") son colecciones de morsmos conuna operacion de composicion que cumple un par de condiciones mnimas(asociatividad, identidades). A partir de all, las ideas y las construc-ciones universales que pueden realizarse en las categoras abstractas (ba-sicamente a partir del cuanticador \existe un unico") adquieren formaparticular en categoras concretas. Las identidades encarnan en estruc-turas de contenido matematico similar, cuyos morsmos preservan lasimilaridad: categora de conjuntos con funciones, categora de gruposcon homomorsmos de grupos, categora de anillos con homomorsmosde anillos, categoras de ordenes con funciones monotonas, categora deespacios topologicos con funciones continuas, categoras de espacios vec-toriales con transformaciones lineales, etc. De esta manera, las regionesnaturales de la matematica (que en Bourbaki correspondan a \matrices"o \estructuras{madre") no solo aunan tipos de estructuras, sino que esasunidades mismas se estructuran en un metanivel superior. En realidad,las categoras conforman un nivel inicial para poder hablar de funtoresentre categoras, y estos a su vez sirven de segundo nivel para poderintroducir el concepto basico de transformacion natural. De hecho, esetercer nivel de las transformaciones naturales (\como") fue el requeridohistoricamente por Eilenberg y MacLane para llevar a cabo complejoscalculos homologicos en topologa algebraica, y a partir de ese tercernivel fue desde donde se realizo una retrotraccion a los anteriores parafundamentar axiomaticamente la teora (ejemplo interesante, losoco ymetodologico, entre muchos de la matematica, del paso del \como" al\que": la epistemologa y la ontologa no pueden escindirse radicalmenteen el pensamiento matematico).

Con la teora de categoras, muchos problemas (\que") giran alrede-dor del control del transito matematico: (i) construccion de estrategiasy tecnicas para el ir y venir pendular entre lo abstracto y lo concreto;(ii) elaboracion de conceptos y teoremas universales (en el espectro de

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todas las categoras abstractas), que puedan luego encarnar en categorasconcretas; (iii) entendimiento de los transvases de informacion entre ca-tegoras, funtores y transformaciones naturales. De esta manera, la teorade categoras se enfrenta a grandes problematicas matematico{losocas(\por que"): (A) vaiven entre lo uno y lo multiple, oscilacion que dalugar a un extraordinario calculo conceptual integral y diferencial cuyoespectro cubre todas las estructuras matematicas; (B) alternacion hacialo sintetico (objetos entendidos \en plural", a traves de morsmos conel entorno externo, recompuestos por su accion{reaccion con el medioambiente), estrategia que se contrapone con la corriente analtica con-juntista de comienzos del siglo XX (objetos entendidos \en s", a travesde su informacion atomica interna, descompuestos a traves de sus ele-mentos); (C) dialectica dinamica de la matematica, movimiento cuyastensiones (adjunciones, representaciones) originan muchos de los concep-tos centrales de la disciplina.

La jerarqua de transitos entre los \transitadores" categoricos (mor-smos, funtores, transformaciones naturales, etcetera: n{morsmos paracualquier n) constituye una de las grandes fortalezas de la teora. Enparticular, el Lema de Yoneda, que identica un objeto con su funtorrepresentable (\corona" de informacion saliente del objeto), asegura quecualquier categora peque~na C (entendida como contexto discreto \real"de partida) puede sumergirse en una categora de prehaces sobre C queresulta ser continua (donde se incluyen todos los lmites de los prehaces\ideales" asociados a C). Se trata de un \completamiento" conceptual-mente similar al de los numeros reales con los imaginarios, o al de ciertasextensiones algebraicas con sus cuerpos de clases (veanse los notablescomentarios metodologicos en [Hilbert 1925] sobre la importancia de laascension a lo \ideal" en matematicas). Desde un punto de vista tecnico,el Lema de Yoneda resulta ser imprescindible para describir los clasi-cadores de subobjetos en topos de prehaces (vease la proxima seccion),clasicadores que determinan a su vez la logica del entorno categoricocorrespondiente. De manera precisa se entrelazan entonces estructurasgeometricas y formas logicas en un ambiente sintetico de largo alcance.

En su maniesto nal, Mathematics. Form and Function, MacLaneentiende el mundo matematico como una red compleja, cuyas estratica-ciones principales se consiguen mediante tensiones de la forma y razonesde la funcion. Muchas ideas de MacLane se acercan (sin que este lo men-cione) al pragmaticismo de Peirce y a la losofa de las formas simbolicasde Cassirer. Los objetos y los conceptos matematicos (\que") viven dela dialectica pendular entre forma y estructura (por ejemplo, dialecticaentre homologas y categoras), adquieren su fuerza al poner en cuestion

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su funcion (\como") dentro del panorama matematico (por ejemplo,proyectividad de los objetos libres, ubicuidad de las adjunciones), y con-siguen su objetivo al romper modos univalentes de vision (por ejemplo,la tradicion analtica) o al abrir nuevos campos de accion para la in-vencion matematica (\por que"). Desde sus inicios, hace ya cerca de 70a~nos, la teora de categoras ha crecido de forma espectacular y variosde los grandes geometras contemporaneos (Quillen, Connes, Gromov,Kontsevich, por solo mencionar algunos \monstruos") han aprovechadomultitud de ideas y tecnicas de la teora.

4 Lawvere. Estructura y dialectica

Lawvere (n. 1937) puede ser considerado como la mayor cabeza pensantede la teora de categoras. Al lado de MacLane |iniciador, normador yestabilizador de la teora| y de Grothendieck |inventor mayor y gigan-tesco tecnico|, Lawvere ha ejercido un papel fundamental de \oraculo"y de gua clarividente a lo largo de mas de cuarenta a~nos de activi-dad. Combinando una capacidad unica de analisis conceptuales y unaamplsima cultura matematica, Lawvere ha impulsado enormes progra-mas de desarrollo en la teora de categoras: teoras algebraicas, logicacategorica, teora de topos, geometra sintetica, fsica de los medios con-tinuos. Desde su tesis doctoral (teoras algebraicas va categoras, 1963)y desde su muy original axiomatizacion (1964) de la categora de con-juntos |que deja de lado la nocion de \elemento" ordinal, en el sentidorestringido de la torre Frege{Peano{von Neumann, para abrirse a elemen-tos extendidos, como secciones continuas o relaciones de incidencia enclasicadores no clasicos|, Lawvere empieza a pensar sistematicamente\al contrario". Una triple estrategia abre el reves de su reexion: (i) ob-tencion de axiomatizaciones categoricas elementales para regiones de lamatematica tradicionalmente reservadas a tratamientos analticos (con-juntos, topologas, prehaces); (ii) investigacion de dialecticas matema-ticas transversales, a traves de un rastreo sistematico de adjuncionesen todo el espectro de la disciplina; (iii) exploracion de la logica y lageometra de las variaciones y los transitos de los conceptos matematicos.

En su programa de entender los cuanticadores (\que") va adjuntos(\como"), Lawvere estudia el operador de proyeccion (por ejemplo, deuna gura bidimensional sobre un eje) y muestra que el cuanticadorexistencial es el adjunto izquierdo de la proyeccion, as como el universales el adjunto derecho. Ya que los adjuntos generalizan el comportamientode las conexiones de Galois (en ordenes) y la existencia de objetos libres(en algebra universal), emergen entonces, a traves de la \geometra uni-

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versal" de las categoras, profundas conexiones entre algebra y logica.La riqueza de las adjunciones |a la vez operadores de optimizacion(coherencia de las conexiones) y de irradiacion (proyeccion de los ob-jetos libres)| ayuda as a comprender diversos operadores logicos va\dialecticas generales" (\por que"). Yendo aun mas lejos, allende elcaso particular de la proyeccion cartesiana conjuntista, Lawvere planteala situacion en categoras abstractas y consigue denir existenciales euniversales va pullbacks, categoras \coma" y categoras cartesianas ce-rradas (\como"). Se realiza as un doble proceso de ascenso y axiomati-zacion que, desde la categora de conjuntos, se eleva a categoras abstrac-tas con algunas condiciones estructurales universales, para luego descen-der a cualquier otra categora que cumpla esas condiciones. Otro des-cubrimiento notable (\argumento diagonal de Lawvere", 1969) muestracomo, en el ambiente de las categoras cartesianas cerradas, la existenciade operadores sin puntos jos sobre un objeto J fuerza una \elevacion"en los exponenciales (JX \crece" sobre X). Como caso particular, paraJ = f0; 1g y para el operador negacion sobre J (sin puntos jos), se tieneel usual teorema de Cantor (2X mayor que X en tama~no). El interes delenunciado surge, sin embargo, al tomar su contrarrecproca en otras ca-tegoras (doble forma de \reves"), ya que se obtienen los teoremas depunto jo de Tarski (en retculos completos), de Godel (en la aritmeticade Peano) y de Brouwer (en topologa).

Basandose sobre los trabajos de la escuela de Grothendieck, Law-vere y Tierney proponen luego (1969{70) una axiomatizacion elementalde la teora de topos. Presentada bajo el lema \Topos = Geometra\ Logica" la teora alcanzara un enorme desarrollo, siguiendo el im-pulso de Lawvere, Freyd y toda la comunidad de categoristas en losa~nos 1970. Un desglose axiomatico de los topos de Grothendieck (esdecir, topos de haces sobre categoras con topologas abstractas, ver elproximo artculo de la serie) lleva a Lawvere a denir los topos (\como")va axiomas que aseguren sucientes lmites (para capturar parte de lageometra, segun Grothendieck) y subobjetos clasicadores (para cap-turar parte de la logica). La mayor sorpresa de la epoca se obtienecuando se observa que los topos constituyen una semantica adecuaday completa para la logica intuicionista. El fondo de la situacion (\porque") corrobora el descubrimiento, pues el intuicionismo se encuentramuy cercano a la topologa (Tarski, a~nos 1930), a los conjuntos variables(Lawvere) y a la transformacion de los objetos que propugna la teorade categoras. Si una cierta \ceguera" haba situado hasta el momentoa la logica clasica como paradigma inexpugnable (con enorme inuenciaen teora de conjuntos y teora de modelos), la emergencia de los topos

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(y de sus multiples subcategoras intermedias) impulsara la renovacionestructural de las logicas superintuicionistas (continuo de sistemas bajola logica clasica).

En un notable artculo sobre el futuro de la teora de categoras,Lawvere caracteriza a la teora como \la primera en capturar en formareproducible una incesante contradiccion de la practica matematica: -jar un objeto dado con precision, mas que en cualquier otra ciencia, paraconstruir, calcular y deducir; y, sin embargo, constantemente transfor-marlo en otros objetos" [Lawvere 1991, p. 1]. La capacidad de la teorade categoras de axiomatizar con gran nitidez el vaiven fundamental entreconsideraciones estaticas (estados, puntos, objetos) y dinamicas (proce-sos, vecindades, morsmos) es una de las razones profundas de su exito(\cristalinos descubrimientos losocos", ibidem). La teora presenta unpermanente back{and{forth (\como") entre las tres dimensiones basicasde la semiotica, enfatizando traslados y correlaciones pragmaticas (com-paraciones funtoriales, adjunciones) sobre aspectos semanticos (clasescanonicas de modelos) o sintacticos (ordenamientos de tipos). En pa-labras de Lawvere, \el uso explcito de la unidad y cohesividad de lasmatematicas enciende la chispa de muchos procesos particulares en losque la ignorancia se torna en conocimiento" (ibidem, p. 2). Los procesosdialecticos, la progresiva liberacion de los objetos, la contraposicion deesqueletos opuestos (\por que", desde el reves) permiten tomar distancia,decantar, estructurar con otros ojos.

5 Encuentros y desencuentros con la cultura

El \donde" y el \cuando" de la Tabla III.1 abren nuevos registros espacio{temporales para la matematica del siglo XX. Hilbert y su escuela lanzanlas ultimas echas de la matematica alemana, antes de su declinar enel futuro. Las incidencias de la vision hilbertiana en el Grupo Bourbakirelanzan en cambio la riqueza universal de la matematica francesa, aso-ciada a una verdadera catarata de talento y de invencion que no ha men-guado desde entonces (ver quinto artculo de nuestra serie: Panoramade las Medallas Fields). Por otro lado, la escuela norteamericana em-pieza a despegarse en los a~nos 1930 de su tradicional dependencia conEuropa. Harvard y Princeton se situan en primer rango mundial. Emer-gen Chicago (Stone, MacLane), Berkeley (Tarski, Kelley) y muchas otrasuniversidades del Nuevo Mundo apoyan el desarrollo de las matematicas.La gura siguiente resume algunas de las lneas de descendencia mayoresen la matematica de la epoca, tanto en el espectro bourbakista como enla escuela norteamericana:

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Estructuracion, categorizacion y dialectica invaden las principalesproblematicas losocas asociadas a los desarrollos matematicos: (i) on-tologa (que): el estructuralismo observa bloques y representacionesexternas, la categorizacion morsmos y composicionalidad, la dialecticapolaridades y contrastaciones; (ii) epistemologa (como): el estructura-lismo introduce homomorsmos y problemas de preservabilidad, la cate-gorizacion funtores y problemas de naturalidad, la dialectica proyeccionesy problemas de libertad; (iii) metafsica (por que): el estructuralismobusca jerarquas ordenadoras, la categorizacion arquetipos universales, ladialectica pendularidades (adjunciones) orientadoras. Algunas grandeslneas de desarrollo en la losofa francesa de la matematica se asociana la emergencia (Lautman), vigor (Desanti) y superacion (Deleuze) delestructuralismo. La matematica estructura de las estructuras se en-tiende como constructo cultural y, soportada en una compleja red demetaforas propias, encuentra su alter ego en los Paradigmas para unametaforologa (1960) de Blumenberg. Se trata, en cualquier caso, decircunstancias de apertura (por ejemplo, LeviStrauss inuenciado porWeil y Bourbaki), donde la matematica se sintoniza naturalmente conlas tendencias culturales del momento.

Diversas correlaciones pueden encontrarse por ejemplo entre los ac-tores matematicos, las literaturas estructuralistas y las pinturas delexpresionismo abstracto norteamericano: (i) al intento bourbakista dereconstruir la matematica, se le acercan el Yoknapatawpha de Faulkner,

156 Fernando Zalamea, Grandes corrientes de la matematica

como tratado de la totalidad de la historia con su reinvencion por blo-ques novelsticos, as como el universo{todo y las constelaciones de Pol-lock; (ii) al esfuerzo categorico de MacLane por medir obstrucciones ho-mologicas y correlacionar forma y funcion, se le acercan la Alejandra deDurrell, como tratado de la correlatividad del alma con sus obstruccionesinteriores, as como los trances{bordes y los mares de color de Rothko;(iii) a la atencion de Lawvere hacia el movimiento y la dialectica de losconceptos matematicos, se le acercan la Santa Mara de Onetti, comotratado de las oscilaciones humanas con sus modalidades contrastantes,as como los tensores{colgantes y las manchas negras de Motherwell.De manera natural, los enfasis formales acercan as las diversas mani-festaciones de la cultura, donde matematicas, losofa, arquitectura, lite-ratura, pintura, musica, etc., deben entenderse como un todo estructural-mente interconectado.

Bibliografa

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