4-Libro Módulo cuatro del Ámbito...

ÁMBITO

CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

MÓDULO CUATRO

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO MÓDULO CUATRO

BLOQUE 10 TEMA 1: FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. INTRODUCCIÓN 2. FUNCIONES

2.1. ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES 2.2. ESTUDIO GRÁFICO DE ALGUNAS FUNCIONES

3. APLICACIÓN DEL ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES EN FÍSICA 3.1. EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS 3.2. DEFORMACIÓN DE MATERIALES ELÁSTICOS: LEY DE HOOKE

BLOQUE 11

TEMA 3: TRIGONOMETRÍA 1. INTRODUCCIÓN 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2.1. ÁNGULOS AGUDOS 2.2. ÁNGULOS NO AGUDOS 2.3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 2.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 2.5. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON LA CALCULADORA

3. APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 3.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3.2. COMPONENTES CARTESIANAS DE VECTORES

BLOQUE 12 TEMA 5: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1. INTRODUCCIÓN 2. ESTADÍSTICA

2.1. CONCEPTOS 2.2. ORGANIZACIÓN DE DATOS: TABLAS Y FRECUENCIAS 2.3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 2.4. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.

2.4.1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 2.4.2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

3. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS 3.1. TEORÍA DE PROBABILIDADES 3.2. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD 3.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 3.4. REGLA DE LAPLACE 3.5. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

TEMA 1: FUNCIONES Y GRÁFICAS MÓDULO CUATRO

BLOQUE 10 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO <1>

1. INTRODUCCIÓN 1.1. TABLAS DE DATOS 1.2. EJES DE COORDENADAS 1.3. GRÁFICAS.

2. FUNCIONES 2.1. ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES

2.1.1. DOMINIO Y RECORRIDO 2.1.2. CONTINUIDAD 2.1.3. CRECIMIENTO 2.1.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 2.1.5. CORTES CON LOS EJES 2.1.6. CONCAVIDAD 2.1.7. ASÍNTOTAS 2.1.8. SIMETRÍA 2.1.9. PERIODICIDAD

2.2. ESTUDIO GRÁFICO DE ALGUNAS FUNCIONES 2.2.1. LA FUNCIÓN CONSTANTE 2.2.2. LA FUNCIÓN LINEAL 2.2.3. LA FUNCIÓN AFÍN 2.2.4. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

3. APLICACIÓN DEL ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES EN FÍSICA 3.1. EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS 3.2. DEFORMACIÓN DE MATERIALES ELÁSTICOS: LEY DE HOOKE

1. INTRODUCCIÓN Todos estamos acostumbrados a usar e interpretar diversos tipos de información en forma de datos numéricos. Por ejemplo, la evolución de las temperaturas a lo largo de cierto pe-riodo de tiempo, el precio pagado por determinada cantidad de un producto, la velocidad de un coche en distintos puntos de su recorrido, etc. A veces, por la cantidad de datos de que se dispone, conviene organizarlos en forma de tablas o de gráficas, de modo que así resulta más fácil y rápido obtener cierta información que puede ser esencial. En los siguientes apartados veremos los aspectos más destacables sobre estas formas de manejar datos numéricos. 1.1. TABLAS DE DATOS Una tabla es una representación de datos, mediante pares ordenados. Expresan la rela-ción existente entre dos o más magnitudes o situaciones. La siguiente tabla nos muestra la variación del precio de las patatas, según el número de kilogramos que compremos:

kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

Esta tabla nos indica el número de alumnos que consiguen una determinada nota en un examen:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

MÓDULO CUATRO TEMA 1: FUNCIONES Y GRÁFICAS

<2> BLOQUE 10 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

1.2. EJES DE COORDENADAS CARTESIANOS Los ejes de coordenadas cartesianos son dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de los ejes, y dividen al plano en cuatro partes iguales, a cada una de las cuales se las llama cuadrante. De igual modo que los números Reales pueden representarse en una recta, los pares de núme-ros Reales (como los de las tablas) se pueden representar simultáneamente en los dos ejes de coordenadas, determinando cada pareja un punto característico en el plano. El primer nú-mero (abscisa ) se representa en el eje horizon-tal (de abscisas o eje X) y el segundo (ordena-da) en el eje vertical (de ordenadas o eje Y). Una vez representada la abscisa en el eje X y la ordenada en el eje Y, para obtener el punto característico del plano que representa al par de números, se procede así:

1º) Se traza una recta paralela al eje Y, pasando por la abscisa. 2º) Se traza una recta paralela al eje X, pasando por la ordenada. 3º) El punto donde se cortan ambas es el que representa a par de números.

Lo normal al representar números sobre una recta es situar a la derecha del cero (o hacia arriba) los positivos, y a la izquierda del mismo (o hacia abajo) los negativos, por lo que la posición del punto característico, según el signo de la abscisa y la ordenada, será:

ABSCISA ORDENADA POSICIÓN DEL PUNTO CARACTERÍSTICO + + 1er cuadrante - + 2º cuadrante - - 3er cuadrante + - 4º cuadrante

Consecuencias del anterior criterio de representación: 1ª) El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0)

2ª) Los puntos que están en el eje de orde-nadas tienen su abscisa igual a 0



3ª) Los puntos situados en el eje de absci-sas tienen su ordenada igual a 0:

4ª) Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tie-nen la misma ordenada:

5ª) Los puntos situados en una misma lí-nea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa:



1.3. GRÁFICAS Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables. La variable que se repre-senta en el eje horizontal se llama variable independiente o variable X. La que se repre-senta en el eje vertical se llama variable dependiente o variable Y. Se dice que la varia-ble Y está en función de la variable X. Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones. Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, Y , al aumentar la variable independiente, X. Veámoslo con un ejemplo: supón que lo que se paga por distintas cantidades de patatas viene dado en la tabla siguiente:

kg de patatas 1 2 3 4 5 Precio en € 2 4 6 8 10

Al representar los datos anteriores, de modo que la variable independiente (abscisa) sean los kilogramos de patatas comprados y la variable dependiente (ordenada) lo que se ha pagado por ellos, la gráfica nos muestra que, a medida que compramos más kilos de patatas, el precio se va in-crementando (como, por otro lado, parece normal): Veamos lo que ocurre al representar las notas de los alumnos de una clase:

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.



1.3.1. TIPOS DE GRÁFICAS

Gráfica creciente : una gráfica es creciente si al aumentar la variable independien-te aumenta la otra variable.

Gráfica decreciente : una gráfica es decreciente si al aumentar la variable inde-pendiente disminuye la otra variable.

Gráfica constante : Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.

Hay gráficas que pueden tener a la vez partes crecientes y decrecientes:

2. FUNCIONES Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que, a cada valor de la primera, le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen . Ejemplo: El precio de un viaje en taxi viene dado por la expresión: Y = 3 + 0,5 X donde X es el tiempo (en minutos) que dura el viaje, e Y los Euros que se pa-gan por el viaje. X 10 20 30 Y= 3 + 0,5X 8 13 18 Como podemos observar, la función relaciona dos variables, X e Y, siendo X la variable independiente e Y, la va-riable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje). Las funciones se pueden representar sobre unos ejes de coordenadas cartesianos para estudiar mejor su comportamiento. Una función puede venir dada de diferentes maneras:

Mediante una gráfica . Por ejemplo: La estatura de Mario entre los 5 y los 18 años.



Mediante una tabla . Por ejemplo: La medida del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida.

Mediante una regla verbal. Por ejemplo: “ A cada número entero comprendido en-

tre -2 y 2, ambos inclusive, se le asocia su cuadrado” Mediante una ecuación. Al traducir al lenguaje algebraico la tabla o la regla

verbal, se obtiene la ecuación de dicha función. Por ejemplo: El área de un cuadrado es su lado al cuadrado, que puede escribirse como Y = X2 , donde la Y es el área y la X la longitud de su lado.

2.1. ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES Existen varios tipos de funciones. En esta unidad estudiaremos la función lineal y afín, la cuadrática y la exponencial, aunque antes veremos algunos aspectos generales de la in-terpretación de gráficas de funciones. 2.1.1. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente X, se le llama dominio de la función. El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente Y, se le llama recorrido o rango de la función.

Dominio [ ]18,0=D segundos Recorrido ( ]4,50=R litros



2.1.2. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. En caso contrario la función es discontinua. Los puntos donde se producen las interrupciones o los saltos se llaman puntos de discontinuidad.

Función continua Función discontinua en X = 1

2.1.3. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Una función Y= f(X) es creciente si al aumentar la variable independiente (X), también aumenta la variable dependiente (Y).

Una función Y= f(X) es decreciente si al aumentar la variable independiente (X), disminuye la variable dependiente (Y).

Una función Y= f(X) es constante si al variar la variable independiente (X) la variable dependiente (Y) no cambia.

Una función puede tener a la vez partes crecientes y decrecientes.

La última función representada arriba es Constante en el intervalo ( )2,0 Creciente en el intervalo ( )4,2 Decreciente en el intervalo ( )6,4



2.1.4 PUNTOS EXTREMOS (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

Una función se dice que tiene un máximo relativo en un punto (XM, YM) si pasa d e ser creciente a la izquierda del punto, a ser decreciente a la derecha del punto (siempre con valores próximos al punto). En caso de que la función no tome valo-res mayores que YM para ningún valor de las X, se dice que tiene un máximo ab-soluto en el punto (XM, YM).

Una función se dice que tiene un mínimo relativo en un punto (Xm, Ym) si pasa de

ser decreciente a la izquierda del punto, a ser creciente a la derecha del punto (siempre con valores próximos al punto). En caso de que la función no tome valo-res menores que Ym para ningún valor de las X, se dice que tiene un mínimo ab-soluto en el punto (Xm, Ym).

Ejemplo: La función representada a la derecha tiene máximo y mínimos relativos, pero no abso-lutos

Mínimo relativo en (0,0) Máximo relativo en (-2,4)

2.1.5. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Cortes con el eje X . Son aquellos puntos donde la Y = 0 Cortes con el eje Y. Son aquellos puntos donde la X = 0

Ejemplo: Puntos de corte con el eje X: (-1,0) y (2,0) Punto de corte con el eje Y : (0,-2)



2.1.6. CONCAVIDAD

Una función es cóncava en un determinado punto cuando al trazar una recta tan-gente a dicho punto, la gráfica queda por encima de la recta en las proximidades del punto.

Una función es convexa en un determinado punto cuando al trazar una recta tan-gente a dicho punto, la gráfica queda por debajo de la recta en las proximidades del punto.

Una función puede ser cóncava en algún intervalo de su campo de definición y convexa en otros; los puntos de cambio de concavidad se denominan puntos de inflexión .

2.1.7. SIMETRÍA Algunas gráficas de funciones se caracterizan por tener alguna partes cuya forma se repi-te, lo cual no signifique que adopte los mismos valores de las Y para diferentes valores de las X. Los tipos de simetría que puede presentar una gráfica son:

Simetría respecto del eje OY Los valores de la Y se repiten a ambos lados de este eje, es de-cir, se cumple la condición:

f(X) = f(-X) A este tipo de función se la de-nomina función par . Algunas funciones tienen simetría res-pecto de un eje vertical distin-to al OY , en cuyo caso los valo-res de las Y se repiten a ambos lados de la abscisa, Xo, por la que pasa el eje, cumpliéndose ahora la condición f(Xo+x) = f(X o-x).

Simetría respecto del origen de coordenadas

Los valores de la Y a am-bos lados del eje OY son los mismos, pero cambia-dos de signo (son opues-tos), por lo que se cumple la condición f(X) = -f(-X) A este tipo de función se la denomina función impar . Puede también haber fun-ciones cuyo punto de sime-tría impar no sea el origen de coordenadas, tal como se aprecia en el último de los ejemplos.



2.1.8. ASÍNTOTAS Son rectas a las que la gráfica de la función nunca llega a tocar, pese a que se aproxime mucho a ellas. Pueden ser asíntotas horizontales , verticales u oblicuas . Como con otras características, la gráfica de una función puede tener varias asíntotas de tipos dife-rentes.

2.1.9. PERIODICIDAD Esta propiedad de las gráficas se refiere a la repetición de los valores de las Y al aumen-tar el valor de las X una determinada cantidad, llamada período de la función , que suele representarse como T. Por tanto se cumple la condición f(X+T) =f(X) :



2.2. ESTUDIO GRÁFICO DE ALGUNAS FUNCIONES A continuación aplicaremos los aspectos planteados en los apartados anteriores a algu-nas funciones, como las polinómicas y la exponencial. Como norma general, cuando haya que representar una función a partir de la ecuación matemática que la determina, conven-drá elaborar una tabla de valores X e Y que contenga al menos los puntos clave de la grá-fica (cortes con los ejes, máximos o mínimos, etc), de modo que se pueda hacer con ellos una especie de “retrato robot” de la misma. Finalmente, pueden calcularse otros puntos de la gráfica dando a la X valores y calculando el valor de las Y. 2.2.1. LA FUNCIÓN CONSTANTE Un técnico nos cobra la cantidad fija de 90 € por la instalación del aire acondicionado, con independencia del tiempo empleado. La siguiente tabla relaciona las horas de trabajo y las cantidades recibidas por los últimos encargos. Como los ingresos no varían, la función que los relacio-na con las horas de trabajo es constante y tiene por ecuación Y = 90,00 Su gráfica es una recta paralela al eje X Una función es constante si lo es el valor de su variable dependiente. Su ecuación es de la forma Y = n, donde n es el valor constante de dicha variable. 2.2.2. LA FUNCIÓN LINEAL La función lineal es del tipo: Y = mX Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. El valor m se denomina pendiente de dicha recta y representa la inclinación de la misma respecto al eje de abscisas. Ejemplo: Y=2X

X 0 1 2 3 4 Y= 2X 0 2 4 6 8

La pendiente de esta recta es m=2

Horas de trabajo X 4,25 4,75 55,75 6,25 6,75 7,00 Ingresos (€), Y 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00



Según el valor m de la pendiente de la recta dada por la función Y = mX, pueden darse estos casos:

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positi-va del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positi-va del eje OX es obtuso.

Si m = 1 , entonces tenemos la función identidad, Y = X, cuya gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

2.2.3. LA FUNCIÓN AFÍN La función afín es del tipo: Y = mX + n , donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen (se llama así porque es lo que vale la Y cuando la X es cero).

La pendiente, m, tiene el mismo significado que en la función lineal (si m>0, la función será creciente y si m<0 será decreciente).

Las rectas paralelas tienen la mis-ma pendiente.

La ordenada en el origen, n, nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Para representar una función lineal afín, daremos

unos valores a X y calcularemos los correspon-dientes valores de Y; una vez que tengamos di-chos valores, los representaremos en los ejes de coordenadas y uniremos los puntos con una rec-ta. Ten en cuenta que, para representar gráfi-camente una recta bastan dos puntos , por lo que puedes calcular dos valores de Y con otros dos de X (uno muy fácil es X=0, porque Y = n; el otro valor de X lo elegiremos como nos conven-ga).



2.2.4. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola . Por tanto la ecuación general de estas funciones, Y=f(X), es de la si-guiente forma:

Y = aX² + bX +c Puede comprobarse que la parábola que representa la anterior ecuación será cónca-va si a>0 y convexa cuando a<0, tal como se muestra en la imagen: Para construir una parábola se pueden usar estos puntos: a) Vértice de la parábola (si a>0 es máximo; si a<0 es un mínimo)

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola, cuya ecuación es: b) Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas, la ordenada (Y) es cero, por lo que tendremos: aX² + bX +c = 0

Como la solución de esta ecuación viene dada por a

acbbx

2

42 −±−= , pueden darse tres

casos: Si b² - 4ac > 0, dos puntos de corte con el eje (X1, 0) y (X2, 0) Si b² - 4ac = 0, un punto de corte: (X1, 0) Si b² - 4ac < 0, ningún punto de corte con el eje X

c) Punto de corte con el eje OY Corresponde al punto cuya abscisa (X) es cero, siendo el valor de la ordenada, por tanto, Y= f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c Es decir el corte con el eje OY es el de coordenadas (0,c) En realidad, la ecuación de una determinada parábo-la, cuyo vértice se encuentra en el punto de coorde-nadas V ),( vv yx puede obtenerse por traslación de una parábola con vértice en el origen de coordena-das, siendo en este caso su ecuación 2axy = Efectivamente, si nos fijamos en la imagen de al lado, vemos cómo si para cualquier parábola tomamos por ejes de coordenadas unos centrados en V ),( vv yx , tendríamos que

vxxx −=' ; vyyy −=' , por lo que 2'' axy = se convierte en la llamada ecuación re-

ducida de la parábola : 2)( vv xxayy −=−

Desarrollando la ecuación anterior, nos queda vvv yaxxaxaxy ++−= 22 2



Comparando esta última ecuación con la ecuación general de segundo grado cbxaxy ++= 2 , podemos relacionar los coeficientes de ésta con las coordenadas del vér-

tice de la parábola: vaxb 2−= ; vv yaxc += 2 Así es como llegamos a la conclusión de que las coordenadas del vértice de la parábola son las indicadas con anterioridad:

a

bxv 2

−= ; 2vv axcy −=

De igual modo, si en la ecuación reducida queremos encontrar los puntos de corte con el eje X, habría que hacer 0=y , por lo que al resolver la ecuación resultante, quedaría:

2)( vv xxay −=− , es decir, que a

yxx v

v

−±=− , por lo que

a

caxxx v

v

−±=

2

Al sustituir el valor obtenido antes para vx , se obtiene:

a

ca

ba

a

bx

−±−=

2

2

42

, es decir, 2

2

2

4

4

24

4

2 a

acb

a

b

aa

acb

a

bx

−±−=

−

±−= que finalmente nos

lleva al conocido valor de la solución de la cuadrática: a

acbbx

2

42 −±−=

EJEMPLO: Representa la gráfica de la función 342 +−= xxy A la vista de la ecuación, se deduce que a = 1; b = -4; c = 3 , que debe corresponder a una parábola cóncava ( 0>a ).

1. Vértice: 212

)4( +=⋅

−−vx ; 138432422 −=+−=+⋅−=vy Las coordenadas del vértice

son: V(2, -1) 2. Puntos de corte con el eje OX.

Es preciso resolver la ecuación 0342 =+− xx , para lo que usamos a

acbbx

2

42 −±−= .

En este caso (a = 1; b = -4; c = 3):

12

2

2

24

32

6

2

24

2

24

2

44

2

12164

12

31444

2

12

==−=

==+=

⇒±=±=−±=

⋅⋅⋅−−±−−

=

x

x)()(

x

Es decir, los puntos de corte con el eje OX son (3, 0) y (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY. Al hacer 0=x , el valor de 33040)0( 2 =+×−== fy . Por tanto el punto de corte con el eje OY es (0, 3) Al representar los puntos anteriores podemos obtener la gráfica que se pedía (si queremos representar más puntos, basta con calcular los que queramos con la ecuación dada y representarlos).

Todos estos contenidos los podéis encontrar en http://www.vitutor.net/



3. APLICACIÓN DEL ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES EN F ÍSICA En Física es muy habitual utilizar la representación gráfica de funciones como una herra-mienta que facilita el análisis de las diferentes situaciones prácticas que pueden presen-tarse. Veremos aquí dos ejemplos: las ecuaciones del movimiento de los cuerpos y la Ley de Hooke que cumplen muchos materiales elásticos cuando sobre ellos actúan fuer-zas. 3.1. EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS Para estudiar los movimientos, en cinemática se utilizan dos tipos de informaciones:

a) Ecuaciones del movimiento : determinan la posición, la velocidad y la acelera-ción a lo largo del tiempo. b) Gráficas del movimiento : representaciones gráficas de las ecuaciones del mo-vimiento.

En el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) , caracterizado por tener una trayectoria que es una línea recta y porque su velocidad es constante, la aceleración es nula y, por tanto, sus ecuaciones del movimiento son:

==

⋅+=

0a

vv

tvSS

o

o

oS y ov son, respectivamente, la posición y

velocidad cuando se inicia el movimiento. La velocidad es la misma a lo largo de todo el movimiento (es constante).

Al representar las tres funciones anteriores, resulta que: a) La gráfica posición-tiempo será una línea recta, tanto más inclinada cuanto

mayor sea la velocidad (que hace de pendiente de la recta). b) La gráfica velocidad-tiempo será una recta horizontal, ya que la velocidad es

la misma en cualquier momento (función constante). c) La gráfica aceleración-tiempo será una recta horizontal que coincide con el

eje de abscisas (el del tiempo) porque siempre es nula.

GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPO

Ejemplo : representar las gráficas del movimiento que realiza un hombre que va a una velocidad constante de 2 m/s, suponiendo que sale de su casa (que es el origen del sis-tema de referencia, So = 0).



En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA ), caracterizado por tener una trayectoria que es una línea recta y porque su aceleración es constante, la velocidad varía de forma gradual con el tiempo y, por tanto, sus ecuaciones del movimiento son:

=⋅+=

⋅+⋅+=

o

o

oo

aa

tavv

tatvSS

2

2

oS , ov y oa son, respectivamente, la posi-ción, velocidad y aceleración cuando se inicia el movimiento. La aceleración es la misma a lo largo de todo el movimiento (es constante y distinta de cero).

Hay una ecuación, muy interesante en muchos cálculos para este tipo de movimiento, que se obtiene eliminando el tiempo con las dos primeras ecuaciones: Savv o ∆⋅⋅=− 222 Al representar las tres funciones del movimiento de un MRUA, resulta que:

a) La gráfica posición-tiempo será una parábola (cóncava cuando la aceleración sea positiva y convexa cuando sea negativa).

b) La gráfica velocidad-tiempo será una línea recta, tanto más inclinada, cuanto mayor sea la aceleración (que hace de pendiente de esta recta).

c) La gráfica aceleración-tiempo será una recta horizontal, ya que la aceleración es la misma en cualquier momento (función constante); si es positiva, estará por encima del eje del tiempo, y si es negativa, estará por debajo de este eje.

GRÁFICA POSICIÓN-TIEMPO GRÁFICA VELOCIDAD-TIEMPO GRÁFICA ACELERACIÓN-TIEMPO

Ejemplo : representar las gráficas del movimiento que realiza un coche que va a 25 m/s y frena a razón de 2 m/s2, suponiendo que cuando empieza a frenar su posición es So = 0.

Observa que en la gráfica posición-tiempo, como la velocidad se va haciendo cada vez menor, el avance también se va haciendo más lento (la gráfica se “dobla” hacia abajo), pero el coche seguirá avanzando hasta detenerse. En este caso, como la finalidad de la aceleración negativa es detener el móvil, podemos hablar de movimiento rectilíneo uni-formemente retardado (MRUR) En general, si un móvil tiene aceleración negativa, puede pasar de tener velocidad positi-va (“avance”) a velocidad negativa (“retroceso”), lo cual no quiere decir que el efecto de dicha aceleración sea detener el móvil. Lo mismo puede ocurrir con un móvil con veloci-dad negativa y aceleración positiva. Un caso en el que queda patente lo anterior es en el llamado movimiento de caida libre de los cuerpos , que es el correspondiente a cualquier objeto que se deja caer o que se



lanza verticalmente hacia arriba; en ambos casos, el objeto se ve afectado por una acele-ración constante llamada aceleración de la gravedad , que se representa con la letra g y equivale a 9,8 m/s 2 (aunque en las ecuaciones del movimiento se toma como negativa, ya que tiende a aumentar la velocidad de los cuerpos en el sentido descendente, que suele considerarse el negativo). Las ecuaciones del movimiento suelen escribirse de esta forma (totalmente equivalente a la ya vista para MRUA):

−=⋅−=

⋅−⋅+=

ga

tgvv

tgtvhh

o

oo 2

2

oh y ov son, respectivamente, la altura y velocidad cuando se inicia el movimiento.

Este movimiento tiene dos características interesantes: 1ª) La velocidad de lanzamiento (salida) es igual a la velocidad de llegada. 2ª) El tiempo que tarda en subir es igual al tiempo que tarda en bajar.

Cuando se utilicen las ecuaciones del movimiento, ya sean de un MRU o de un MRUA, hay implicadas cuatro magnitudes (posición, tiempo, velocidad y aceleración) que deberán expresarse en unidades coherentes para evitar errores en los cálculos. 3.2. DEFORMACIÓN DE MATERIALES ELÁSTICOS: LEY DE HO OKE Hay muchos materiales, como los mue-lles, que tienen un comportamiento elástico (recuperan su forma cuando cesa la fuerza que los deforma) y cum-plen la llamada Ley de Hooke , consis-tente en que la fuerza deformadora ( F ) y el alargamiento que ocasiona ( oLLL −=∆ ) son directamente propor-cionales:

LkF ∆⋅= La constante de proporcionalidad, k , se llama constante elástica o constante de Hooke; se obtiene experimentalmente y es ca-racterística de cada material. Los materiales que no recuperan su forma original cuando cesa la fuerza que los deforma se llaman materiales plásticos . Ejemplo : se han medido los alargamientos de un muelle cuando de él se suspenden dife-rentes pesos, obteniéndose los resultados de la tabla. Comprueba si se cumple la ley de Hooke y calcula la constante elástica.

F (N) 100 200 300 400 500

Alargamiento (cm) 5 10 15 20 25 Efectivamente, la relación entre fuerza y alarga-miento da un valor constante:

cmNL

Fk /20

25

500

20

400

15

300

10

200

5

100 ======∆

=

Además, al representar las fuerzas frente a los alargamientos se obtiene una línea recta .

MÓDULO CUATRO TEMA 3: TRIGONOMETRÍA


1. INTRODUCCIÓN 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2.1. ÁNGULOS AGUDOS 2.2. ÁNGULOS NO AGUDOS 2.3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 2.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 2.5. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON LA CALCULADORA

3. APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 3.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3.2. COMPONENTES CARTESIANAS DE VECTORES

1. INTRODUCCIÓN Aunque la palabra trigonometría significa literalmente la medida de los triángulos, en realidad es una parte de las matemáticas que surge del estudio de la semejanza geomé-trica entre figuras planas y, en la práctica, sirve para calcular distancias a partir de la me-dida de ángulos. De este modo se puede medir, por ejemplo, la distancia de las estrellas a nuestro planeta sin necesidad de tener que viajar hasta ellas. Intuitivamente solemos decir que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma

pero distinto tamaño; para ser más precisos, dos figuras serán semejantes si la razón entre sus lados correspondientes es la misma y los ángu-los correspondientes son iguales. Los dos triángulos representados deberían ser semejantes porque tienen igual forma y distinto tamaño, pero para que realmente lo sean tie-nen que cumplir las dos condiciones señaladas: Igualdad de los ángulos correspondientes:

';';' γγββαα === La misma razón entre lados correspondientes:

c

c

b

b

a

a ''' ==

La semejanza geométrica queda plenamente reflejada en el teorema de Thales , según el cual, “cuando varias rec-tas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante”. De este modo, el ejemplo de al lado, la propor-cionalidad del teorema puede quedar reflejada en la si-guiente relación entre los segmentos indicados:

OC

OC

OB

OB

OA

OA ''' == , aunque también BC

CB

AB

BA '''' =

TEMA 3: TRIGONOMETRÍA MÓDULO CUATRO


Estas razones de proporcionalidad parecen indicar algún valor asociado al ángulo deter-minado por los segmentos correspondientes que hay en cada una de las razones, luego, de algún modo, sirven para medir dichos ángulos. Una aplicación inmediata del teorema de Thales es poder dividir gráficamente un segmen-to en partes iguales, sin necesidad de calcular cuál es la longitud de cada una de ellas. Imagina que quieres dividir un segmento de 7 centímetros en 9 partes. Cada una de éstas de-bería medir cm...7777,09:7 = , lo cual sería algo complicado de hacer con una regla. Sin embar-go, usando el teorema de Thales, bastaría con trazar 9 cm de una recta secante auxiliar y hacer en ella 9 marcas (separadas 1 cm cada una); ya sólo quedaría trazar paralelas entre ambas rec-tas y tendríamos dividido en 9 partes iguales el segmento de 7 cm. Otra aplicación práctica del teorema es poder dibujar un polígono semejante a otro ya dibujado: como en los vértices de un polígono confluyen dos rectas secantes, si a partir de dos lados consecutivos del polígono original prolongamos cada lado la longitud necesaria para obtener el lado del nuevo polígono semejante, bastará trazar paralelas a los demás lados del polígono original desde cada uno de los nuevos vértices obtenidos, tal como se ve en el ejemplo, donde se ha dibujado un pentágono regular de 4 cm de lado a partir de otro que tenía 2 cm de lado. 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Partiendo de las ideas anteriores, si se construyen varios triángulos rectángulos que com-partan las rectas que soportan la hipotenusa y uno de los catetos, resultarán triángulos semejantes, en los que los catetos opuestos al vértice común están con-tenidos en rectas paralelas entre sí y al aplicar el teorema de Thales, la razón de proporcionalidad entre segmentos correspondientes sería así:

OC

OC

OB

OB

OA

OA ''' ==

Esta proporcionalidad está indicando que la razón entre el “cateto contiguo al ángulo α ” y la hipotenusa es la misma para toda la serie de triángulos rectángulos semejantes. La ventaja de asociar al ángulo el valor de la razón de proporcionalidad en triángulos rec-tángulos (y no de otro tipo) es que son más fáciles de dibujar (pues tienen un ángulo de 90º) y además cumplen el teorema de Pitágoras (el cuadrado de la hipotenusa coincide con la suma de los cuadrados de los catetos). De igual modo se podrían establecer otras razones de proporcionalidad en la serie de triángulos rectángulos, como la razón entre el “cateto opuesto al ángulo α ” y la hipotenu-sa, o entre el “cateto opuesto al ángulo α ” y el “cateto contiguo al ángulo α ”. Todas ellas dependerían sólo del ángulo y, al revés, si se conoce el valor de la razón, pueden dibujar-se triángulos rectángulos que sólo pueden tener este ángulo. A todo este tipo de razones de proporcionalidad se las conoce como razones trigonométricas de este ángulo.



2.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Utilizando triángulos rectángulos pueden definirse las siguientes razones trigonométricas para ángulos agudos (menores de 90º):

seno coseno tangente

hipotenusa

opuestocatetosen =)(α

hipotenusa

contiguocateto=)cos(α contiguocateto

opuestocatetotag =)(α

Los valores para algunos de los ángulos más característicos son los siguientes:

ángulo (α ) )(αsen )cos(α )(αtag 0º 0 1 0

30º 2

1

2

3

3

3

45º 2

2

2

2 1

60º 2

3

2

1 3

90º 1 0 ∞ Para ángulos diferentes a los anteriores nos basta saber de momento que pueden obte-nerse con la calculadora científica; lo importante es ser consciente de que es posible co-nocer el valor de las razones trigonométricas de cualquier ángulo. 2.2. ÁNGULOS NO AGUDOS Para ángulos mayores de 90º pueden calcularse también las razones trigonométricas asociadas a ellos utilizando la llamada circunferencia goniométrica , que se dibuja cen-

trada en unos ejes cartesianos, siendo su radio la unidad. Esta circunferencia permite dibujar cualquier ángulo comprendido entre 0º y 360º (una vuelta completa), de modo que el punto característico de la circunferencia que determina el ángulo proyecta sobre el eje de abscisas el “cateto contiguo al ángulo”, mientras que en el eje de or-denadas proyecta el “cateto opuesto”. La hipotenusa del correspondiente triángulo rectángulo es el radio y, como vale la unidad, la abscisa será el coseno del ángulo, mientras que la ordenada será el seno del ángulo . Puesto que, tanto las abscisas como las ordenadas pue-den ser positivas o negativas, las razones trigonométri-

cas pueden también ser positivas o negativas, pero sus valores absolutos pueden obte-nerse a partir de los de ángulos agudos. De la propia definición se deduce que el seno y el coseno de un ángulo sólo pueden tener valores comprendidos entre -1 y +1 , mien-tras que la tangente puede ser un número comprendido entre ∞− (270º) y ∞+ (90º). De Igual forma que los ejes cartesianos dividen los puntos del plano en cuatro cuadrantes, los ángulos asociados a los puntos de la circunferencia goniométrica también pertenecen Al correspondiente cuadrante, lo cual es muy útil para deducir cuál debe ser el signo de cada una de las razones trigonométricas, según el cuadrante al que pertenezca el ángulo:



Según vemos, los ángulos del primer cua-drante (0º-90º) tienen las tres razones trigo-nométricas positivas; los del segundo cua-drante (90º-180º) tienen el seno positivo, pero son negativos el coseno y la tangente. Los del tercer cuadrante (180º-270º) tienen negativos el seno y el coseno, pero positiva la tangente, mientras que los del cuarto cua-drante (270º-360º) tienen positivo el coseno, pero el seno y la tangente negativos. En la imagen vemos también las medidas de los ángulos en radianes (que es la unidad angular del SI): una circunferencia completa son radrad 28,62 ≅π , por lo que el ángulo

llano será la mitad ( radrad 14,3≅π ) y el ángu-

lo recto será radrad 57,12/ ≅π . Las razones trigonométricas de ángulos de los diferentes cuadrantes pueden relacionar-se con las de ángulos del primer cuadrante, tal como podemos ver a continuación:

Relación Ángulo ( β ) )(βsen )cos(β )(βtag

Complementarios ( º90=+ βα ) (ángulos del pri-mer cuadrante)

)cos(α )(αsen )(

1

αtag

Suplementarios ( º180=+ βα ) (ángulos del se-

gundo cuadrante)

)(αsen )cos(α− )(αtag−

Difieren 180º ( º180=−αβ )

(ángulos del tercer cuadrante)

)(αsen− )cos(α− )(αtag



Relación Ángulo ( β ) )(βsen )cos(β )(βtag

Suman 360º ( º360=+ βα )

(ángulos del cuar-to cuadrante)

)(αsen− )cos(α )(αtag−

2.3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Por su propia definición a partir de un triángulo rec-tángulo, las razones trigonométricas cumplen ciertas propiedades interesantes que permiten calcular cual-quiera de las demás, una vez conocida una. De la definición de las razones trigonométricas del ángulo α en el triángulo representado, se deduce:

)()( αα senaba

bsen ⋅=⇒= ; )cos()cos( αα ⋅=⇒= ac

a

c, por lo que

)cos(

)()(

ααα

⋅⋅==

a

sena

c

btag

Es decir, la tangente de α se puede calcular como el cociente entre el seno y el coseno:

)cos(

)()(

ααα sen

tag =

Según el teorema de Pitágoras: 222 cba += , por lo que )(cos)( 22222 αα ⋅+⋅= asenaa

Sacando factor común y simplificando finalmente queda así: 1)(cos)( 22 =+ ααsen 2.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Como señalamos, las razones trigonométricas en realidad son funciones matemáticas que asignan ciertos valores a cada ángulo, por lo que se pueden plantear las funciones trigo-nométricas inversas, es decir, las que permiten saber el ángulo a partir del valor de la ra-zón trigonométrica en cuestión. Son las siguientes: Función arco cuyo seno es x : )(xarcseny = . Ejemplo: el ángulo cuya razón seno vale 0,5 corresponde a 30º, luego podríamos escribir º30)5,0( == arcseny , claro, que también podría haber sido su suplementario (180º-30º=150º). Las condiciones de cada problema nos harán decidir cuál de los dos ángulos hay que elegir. Con las mismas consideraciones, pueden definirse las funciones arco cuyo coseno es x , y la función arco cuya tangente es x : (x)y arccos= , )(xarctagy = En cuanto al cálculo y uso de todas estas razones y funciones, no te preocupes, porque la calculadora científica da el resultado de su valor en cualquier situación, aunque conviene conocer la calculadora para poder sacarle partido a estas funciones.



2.5. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON LA CALCULADO RA Dependiendo del modelo de calculadora científica que uses, podrás acceder a todas las funciones trigonométricas que hemos mencionado y a algunas más. En la mayoría de los modelos por defecto trabajan con grados sexagesimales, pero se puede cambiar a ángu-

los en radianes (habrá que tener cuidado para saber qué unidad angular se está usando). En el modelo de la imagen vemos tres teclas que, evidentemente, devolverán el valor de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente (utiliza siglas del Inglés). Las funciones inversas se obtienen pulsando previamente a

las anteriores la tecla de salto, , que se encuentra arriba a la izquierda; las funciones correspondientes están escritas

en rosa sobre las funciones directas: , así, si quisiéramos saber qué ángulo tiene el valor 0,5 para el seno,

pulsaríamos la secuencia de teclas y luego

(En pantalla aparecerá 30º).

Finalmente, recuerda que lo mejor para poder sacar partido a la calculadora es practicar con ella y tener a mano el manual de uso, en el que se explican los pequeños trucos para facilitar todo tipo de cálculos, incluyendo los trigonométricos. 3. APLICACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Lo verdaderamente interesante de las razo-nes trigonométricas es que son muy prácti-cas para resolver problemas de geometría, que suelen estar relacionados con medidas de distancias o de ángulos. En topografía permite dimensionar terrenos y medir dis-tancias de puntos inaccesibles, como cimas de montañas, para lo cual se hace casi im-prescindible el uso del teodolito , instrumen-to que permite medir ángulos con mucha precisión. Algunos ejemplos de aplicación de los cálculos trigonométricos son la resolución de trián-gulos y la obtención de las componentes cartesianas de vectores. 3.1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo en geometría significa obtener sus componentes: los tres lados y los tres ángulos. Cuando faltan algunos elementos, pueden obtenerse los restantes haciendo uso de la trigonometría. Pueden distinguirse dos casos:



a) Triángulos rectángulos : siempre se conoce un ángulo (el recto), por lo que si se conoce otro, serán conocidos los tres. A partir de este hecho, puede haber tres si-tuaciones: Se conoce un ángulo y la hipotenusa. Los catetos se obtienen multiplicando la

hipotenusa por el seno y por el coseno del ángulo, respectivamente. Se conoce un cateto y la hipotenusa. Aplicando el teorema de Pitágoras se ob-

tiene el otro cateto; el ángulo se obtiene con la función )arccos(xy = o

)(xarcseny = . Se conocen los dos catetos. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la hi-

potenusa; el ángulo comprendido entre ésta y el cateto “contiguo” puede obte-nerse con la función )arccos(xy =

b) Triángulos no rectángulos : en general siempre cabe la posibilidad de descompo-

nerlos en dos triángulos rectángulos y proceder como en el caso anterior, pero a veces puede resultar complicado y puede utilizar una propiedad de los triángulos que recibe el nombre de teorema de los senos , que es consecuencia de que en todo triángulo cada dos vértices comparten una altura, lo cual permite establecer al menos dos ecuaciones para conocer los elementos del triángulo:

)()()( γβα sen

c

sen

b

sen

a ==

Hay otra propiedad de los triángulos llamada teorema del coseno , que es una ge-neralización del teorema de Pitágoras:

)cos(2222 α⋅⋅⋅−+= cbcba Es decir, el cuadrado de cada lado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos del doble de su producto multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre éstos (una fórmula parecida puede usarse para cada ángulo). Utilizando estos teoremas se pueden resolver triángulos en cuatro casos:

Conociendo dos ángulos y un lado: el tercer ángulo se saca sabiendo que la suma de todos es 180º; luego, con el ángulo opuesto al lado conocido se conoce la razón de los senos. Aplicándola a los otros dos ángulos pueden sacarse los otros lados.

Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: con el lado opues-to al ángulo se obtiene la razón de los senos; con ésta puede sacarse el seno del ángulo opuesto al otro lado, por lo que se puede calcular dicho án-gulo con la función )(xarcseny = . De este modo puede obtenerse el tercer ángulo y, con éste, de nuevo usando la razón de los senos, se obtiene el la-do que faltaba.



Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos: utilizando el teorema del co-seno puede obtenerse el lado que falta y, con éste, sacar otro ángulo por el teorema de los senos.

Los tres lados: mediante el teorema del coseno se puede sacar el coseno de uno de los ángulos y con él el ángulo en cuestión. Con un ángulo y los tres lados puede aplicarse el teorema de los senos y acabar de resolver.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. Resolver el siguiente triángulo:

Como se conoce el ángulo º30=β y su lado opuesto, cmb 5= la razón de los senos será:

105,0

5

)º30(

5

)(===

sensen

b

β Con este valor

puede obtenerse )(αsen :

4,010

4)(10

)(

4

)()(==⇒=⇒= α

αβαsen

sensen

b

sen

a, luego, º6,23)4,0( ≅= arcsenα

Ahora puede sacarse el tercer ángulo, º4,1266,2330180º180 =−−=−−= βαγ Finalmente, se puede calcular el tercer lado, c , sabiendo el ángulo opuesto y la razón de senos:

cmsencsen

c

sen

c

sen

b05,8)º4,126(10

)º4,126(10

)()(=⋅=⇒=⇒=

γβ

2. Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura de la farola. Según se aprecia en la imagen, está claro que Amelia y la farola forman parte de dos triángulos rectángulos semejan-tes, en los que los rayos de luz forman las hipotenusas y la sombra de Amelia está en el cateto común. Siendo y la altura de la farola, por semejanza de los triángulos tendre-mos:

myy

7,2150

250162

250

150162 =⋅=⇒=

La farola mide 2,7 m



3. ¿Cuánto mide la altura de la estatua del dibujo? Con las mismas consideraciones que en el caso anterior (esquematizando el problema se apreciará mejor) tenemos de nuevo dos triángulos rectángulos semejantes:

Siendo y la altura de la estatua, tendremos:

9,0

5,5

5,09,0

6,49,0

6,11,2=⇒

+=−

yy

myy 06,39,0

75,2;5,05,59,0 ≅=⋅=

La estatua tiene 3,06 metros de altura.

3.2. COMPONENTES CARTESIANAS DE VECTORES En realidad, al tratar la circunferencia goniométrica ya hemos abordado el problema, ya que cualquier punto del plano puede asociarse a un vector (una “flecha”) que une el ori-gen de los ejes de coordenadas con dicho punto recibe el nombre de vector de posición y sus coordenadas (la abscisa y la ordenada) se llaman componentes . Si a este vector lo denominamos r

, sus componentes serán ),( yx rr , de modo que, según se aprecia en la figura:

)(

)cos(

αα

senrr

rr

y

x

⋅=⋅=

En Física se usa mucho para las fuerzas y las velocidades, ambas magnitudes claramen-te vectoriales. Este curso sólo lo utilizaremos parcialmente para las fuerzas, resultando muy útil cuando haya que sumarlas o restarlas (bastará con sumar las componentes co-rrespondientes) o para calcular el trabajo que realiza una fuerza, ya que sólo resulta útil la componente de la fuerza en la dirección del movimiento. Al final, la obtención de las dos componentes no deja de ser una resolución de un triángu-lo rectángulo haciendo uso de las razones trigonométricas.


1. INTRODUCCIÓN 2. ESTADÍSTICA

2.1. CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA 2.2. ORGANIZACIÓN DE DATOS: TABLAS Y FRECUENCIAS 2.3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

2.3.1. DIAGRAMA DE BARRAS 2.3.2. HISTOGRAMAS 2.3.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS 2.3.4. DIAGRAMA DE SECTORES. 2.3.5. OTROS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

2.3.5.1 PICTOGRAMAS 2.3.5.2 CARTOGRAMAS 2.3.5.3 PIRÁMIDES DE POBLACIÓN

2.3.6. DETECCIÓN DE ERRORES ESTADÍSTICOS 2.4. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

2.4.1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN 2.4.1.1. MEDIA 2.4.1.2. LA MODA 2.4.1.3. LA MEDIANA

2.4.2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN 2.4.2.1. RECORRIDO 2.4.2.2 DESVIACIÓN MEDIA 2.4.2.3 VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA.

2.4.3. ESTUDIO CONJUNTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA. 2.4.3.1 COEFICIENTE DE VARIACIÓN

3. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS 3.1. TEORÍA DE PROBABILIDADES

3.1.1. TIPOS DE SUCESOS 3.1.2. UNIÓN DE SUCESOS 3.1.3. INTERSECCIÓN DE SUCESOS

3.2. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD 3.2.1. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD 3.2.2. REGLA DE LAPLACE

3.3. EXPERIMENTOS COMPUESTOS 3.3.1. DIAGRAMAS DE ÁRBOL 3.3.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 3.3.3. TABLAS DE CONTINGENCIA

1. INTRODUCCIÓN La estadística y la probabilidad son dos facetas de las matemáticas relacionadas con el manejo de datos sobre un determinado aspecto, siendo su objetivo, en general, la predic-ción de hechos futuros o el conocimiento del hecho real. Aunque tienen aspectos comu-nes, la estadística usa datos precisos, mientras que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios, es decir, situaciones en las que puede ocurrir cualquier cosa, dentro de las que posibles. No es menos cierto que en muchos estudios estadísticos será preciso utilizar técnicas de probabilidad y viceversa, como veremos más adelante. Así, si tiramos una moneda al aire en diez ocasiones y anotamos el resultado obtenido, está claro que el experimento en sí es aleatorio (puede abordarse mediante probabilidad, que nos dirá que puede esperarse que ocurra al lanzar de nuevo la moneda), pero si ano-tamos los resultados de lo que ha salido, estamos recogiendo datos estadísticos (y no sería raro que pudieran salir, por ejemplo, las diez veces cara al tirar la moneda). 2. ESTADÍSTICA Una de las más bellas leyendas de “Las mil y una noches” cuenta que el califa Harún al Rasid salía disfrazado de mercader de su palacio para conocer la opinión de los habitan-tes de Bagdad. También el escritor estadounidense Mark Twain, muchos años después, hace del príncipe Eduardo un mendigo, que de este modo llegará a conocer cómo vivían y pensaban sus súbditos.

MÓDULO CUATRO TEMA 5: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD


En la actualidad, los métodos han cambiado de manera radical, de modo que los métodos estadísticos son fundamentales para estimar, planificar, predecir y decidir en problemas relacionados con la política, la sociología, la investigación, la industria, la economía y una larga lista de actividades. El estudio estadístico más antiguo que se conoce se realizó en China cuando el empera-dor Yao encargó la confección de un censo del imperio. Esto sucedía a finales del tercer milenio antes de Cristo. También se tienen noticias de que en el antiguo Egipto se realiza-ron estadísticas y trabajos censales de tipo agrícola. Otro censo famoso, según relataba el historiador Tácito, fue el que recogía las propiedades y los ejércitos del imperio de Ro-ma en tiempos del emperador Octavio Augusto. No obstante, hemos de esperar algún tiempo hasta que aparezcan los trabajos de John Graunt, un comerciante de mercería inglés, considerado como el precursor de la actual estadística. Graunt, entre los años 1604 y 1661, realizó un estudio sobre los nacimientos y defunciones de Londres y, a partir de los datos obtenidos, extrajo consecuencias formu-lando leyes demográficas y comportamientos sociológicos. Treinta años más tarde, el as-trónomo Halley publica un estudio sobre las tasas de mortalidad, sentándose las bases de los estudios sobre esperanza de vida. Cada día tenemos noticias como estas:

(PD/Agencia EFE).- El calentamiento global ha resquebraja-do las plataformas de hielo en la Antár-tida y el aumento de icebergs ha altera-do los sistemas ecológicos en torno a esas moles de hielo, según un estudio publicado en la revista Science.

(PD/Agencias).- El Fondo Mundial para la Naturaleza (WWF, por sus siglas en in-glés) critica en un in-forme la "frenética construcción" de desa-linizadoras en España y su impacto negativo en el medioambiente y el cambio climático.

Son muy importantes los estudios estadísticos que conducen a este tipo de informacio-nes ya que, basándose en ellos, los gobiernos diseñan sus planes de gestión del medio ambiente. De hecho, existe una asignatura ofertada en distintas Universidades españolas denominada “Modelos estadísticos para el medio ambiente” y empresas dedicadas a ha-cer estudios estadísticos sobre temas medioambientales. Por ejemplo, si se quiere conocer la población de aves en Las Tablas de Daimiel, el nivel de contaminación de los acuíferos o cómo controlar los residuos urbanos, necesitamos:


• conocer los datos objetivos • ordenarlos • analizarlos • sacar conclusiones.

Pero, sobre todo, se necesita desarrollar un espíritu crítico ante las distintas noticias cien-tíficas basadas en estudios estadísticos, que se dan como “verdades absolutas”. Estamos acostumbrados a que datos objetivos sean interpretados según interese a quien los mues-tra. Los estudios estadísticos encuentran aplicaciones en campos tan variados como:

La Medicina, para la aplicación de un medicamento La Agricultura, para analizar el rendimiento de distinto tipos de semilla o abono en

la cosecha. La Sociología, para conocer rasgos, aficiones o intereses particulares de la pobla-

ción. La Política, para prever resultados electorales y preferencias de los votantes. Las empresas privadas, para mejorar la producción. La Economía, para tomar decisiones según los resultados de los estudios sobre el

IPC, en mercados financieros, etc. 2.1 CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Supongamos que queremos centrar nuestro estudio en el alumnado que recibe la educa-ción de adultos en España. El conjunto formado por todo este alumnado se convierte así en nuestra población estadística. Ahora bien, si pretendemos realizar una encuesta so-bre esta población es evidente que resultaría lento y costoso entrevistar a todos. En mu-chos estudios resultaría además imposible, por tratarse de poblaciones de millones de individuos. En la práctica lo que se hace es extraer una muestra representativa de dicha población. Sin embargo, para que el estudio estadístico sea fiable, las muestras deben ser aleatorias. En función de cómo sea la población de estudio y de qué queremos analizar, el muestreo puede ser aleatorio simple (cuando la elección es al azar), sistemático (cuando la elección se efectúa a partir de un individuo de una lista), estratificado (cuando la pobla-ción se subdivide en estratos o grupos), … .

Población: es el conjunto de todos los elementos que son objeto de un estudio es-tadístico. Cada elemento de la población es un individuo.

Muestra: es un subconjunto representativo de la población, elegido de tal manera que las observaciones estadísticas efectuadas sobre la misma aporten información válida relativa al conjunto de la población.

Estadística: es la ciencia que se encarga de estudiar, organizar y sacar conclusio-nes de datos experimentales.

La Estadística Descriptiva es la parte de la Estadística que tiene como finalidad la reco-gida, ordenación y tabulación de datos obtenidos en las observaciones estadísticas. La Estadística Descriptiva aporta una primera valoración de una o varias características de una población, mediante la representación numérica o gráfica de datos. La Estadística Inferencial es la parte de la Estadística que se encarga a obtener conclu-siones de las características de una población a través de una muestra.

Una vez definida la población y elegida la muestra debemos preguntarnos qué queremos saber. En el estudio sobre el alumnado que recibe educación de adultos podría ser la edad, el estado civil, situación laboral, estudios previos, motivación, valoración del centro de enseñanza, etc. Cada una de estas propiedades constituye una variable estadística.



Variable estadística: característica estudiada en una población. Puede ser: - Cualitativa: sus valores no son números (estado civil, estudios, color

de ojos,… - Cuantitativa: Sus valores son números. Se divide a su vez, en:

Discreta: sólo pueden adoptar valores aislados (nº de hijos, talla de pantalón, nº zapato,…)

Continua: puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo ( peso, altura, presión sanguínea, temperatura…)

2.2. ORGANIZACIÓN DE DATOS: TABLAS Y FRECUENCIAS Muchos estudios estadísticos comienzan con una pregunta o preguntas sobre un tema concreto. En estos casos en primer lugar habrá que crear un cuestionario . Por ejemplo si nos planteamos un estudio sobre “Impacto medioambiental en Castilla-La Mancha” podríamos formular la pregunta: “¿Qué problema relacionado con el medio ambiente le preocupa más?” Las respuestas a esta pregunta pueden ser:

• abiertas : cada persona entrevistada puede dar tantas respuestas como le apetezca.

• abiertas pero limitadas : cada persona entrevistada podría dar una o dos o tres o un número predeterminado de antemano de respuestas libres.

• cerradas : cada persona entrevistada elige una o varias opciones sobre un listado prefijado de respuestas posibles.

Habrá por tanto que decidir si se crea un cuestionario: • abierto: cada uno puede contestar lo que quiera. • limitado: con un número prefijado de posibles respuestas. • cerrado: más cómodo para el entrevistado pero que puede “deformar” el estudio, ya

que el listado de posibles respuestas va a depender del encuestador y su buen cri-terio.

Para evitar la “manipulación” en un cuestionario cerrado, siempre debería existir la opción de respuesta “otra respuesta diferente a las propuestas”. Una vez confeccionada y realizada la encuesta, se hace necesario organizar la informa-ción recopilada. De esta forma conseguiremos dar significado a la información. Supongamos que hemos preguntado la edad a los 30 alumnos de una clase obteniendo las siguientes respuestas:

19,20,18,18,21,23,19,22,19,18,20,18,21,19,18,25,20,21,20,23,18,22,19,19,24,22,24,19,20,19 En primer lugar realizaremos un recuento:

Edad Alumnos El número entre paréntesis indica cuántos elementos hemos anotado, es decir el número de veces que aparece esta respuesta. A este número se le llama frecuencia absoluta y se representa con la letra if . A la derecha, se muestran los mismos datos traduci-dos a “formato estadístico”.

Edad

ix

Nº Alumnos

if

18 IIII I (6) 18 6 19 IIII III (8) 19 8 20 IIII (5) 20 5 21 III (3) 21 3 22 III (3) 22 3 23 II (2) 23 2 24 II (2) 24 2 25 I (1) 25 1

Total N = 30

Veamos otros ejemplos: En un Instituto, el Departamento de Orientación realiza una encuesta entre los estudiantes al comienzo del curso.


A instancias del Departamento de Educación Física, se les preguntó a los alumnos que indicaran el deporte que más practicaban, obteniéndose los siguientes resultados : Deporte ix Fútbol Baloncesto Balonmano Atletismo Judo Natación Tenis Otros

Alumnos if 43 21 5 17 10 14 11 9

El de Matemáticas sugirió que se les pasara una prueba de 10 preguntas, para evaluar la capacidad de intuición espacial, a los alumnos de 3º de E.S.O. Los resultados fueron: Puntuación ix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de Alumnos if 4 6 8 12 26 28 15 12 6 3

El Departamento de Lengua propuso que se les preguntara a los alumnos de 4º de E.S.O. cuántos libros habían leído durante el curso anterior, los datos obtenidos fueron: Nº de libros leídos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20+ Nº de Alumnos 4 2 0 0 12 22 19 11 8 6 12 6 2 0 6 0 4 2 5 1 0

Si se observa con detalle, se comprueba que hay una variación grande en el número de libros leídos: desde 0 hasta 19. Si exponemos los datos en una tabla como la anterior, no conseguiremos que el lector los interprete sin realizar un esfuerzo. En los primeros ejemplos hemos presentado las respuestas en una tabla sin ninguna difi-cultad. En el último se nos presenta el problema de que hay muchos valores distintos. En estos casos, es conveniente agrupar los datos en intervalos. Vamos a realizar algunas clasificaciones, en intervalos diferentes, del ejemplo considerado: Normas, no necesariamente estrictas, para realizar esta operación:

Es costumbre tomar los intervalos con la misma amplitud.

La amplitud suele ser múltiplo de los números 2,3,5,10 y 20.

El número de intervalos no ha de ser menor que 5 ni mayor que 15 (estos límites varían según los autores).

No debe haber muchos intervalos con pocos individuos, ni con de-masiados (relativamente hablan-do).

¿Cuál de las tres tablas te parece la más indicada? Observarás que si damos a conocer los datos en una tabla, por ejemplo la 1, sólo informa-remos de que hay 24 individuos que leyeron entre 9 y 11 libros anuales, pero se descono-cerá el número de libros que, exactamente, leyó cada uno de ellos. Es decir, al agrupar se pierde información, aunque la lectura fácil de la tabla, su comprensión y la manipulación más cómoda de los datos, hace que dicha pérdida sea poco significativa.

Frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite ese da-to. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos. Se representa por if



Frecuencia relativa de un dato es el cociente entre la frecuencia absoluta del dato y el número total de datos. Se representa por ih .

Ejemplo 1 : El profesor pregunta en una clase el número de hermanos que tienen y obtie-ne los siguientes datos: 0, 1 , 2 , 3 , 1 , 0 , 0 , 3 , 2 , 4 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 0 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 4 , 5 , 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 0

Número de

hermanos

ix

Frecuencia absoluta

if

Frecuencia relativa

ii

fh

N=

Frecuencia relativa porcentual

(%) 100ii

fh

N= ×

IMPORTANTE:

La suma de las frecuen-cias absolutas es igual al número de datos.

La suma de las frecuen-cias relativas es 1.

La suma de los porcenta-jes es 100%.

0 6 30

6=0,2 20

1 11 30

1137,0≅ 37

2 7 30

723,0≅ 23

3 3 30

3=0,10 10

4 2 30

207,0≅ 7

5 1 03,030

1 ≅ 3

Totales 30 1 100

Ejemplo 2: En un hospital, 20 recién nacidos han registrado los siguientes pesos (en kg): 3´15, 2´65, 3´52, 3´41, 2´89, 3´42, 4´21, 3´91, 4´52, 4´30, 2´78, 3´64, 3´73, 3´92, 2´46, 3´22, 4´11, 3´52, 3´14, 2,81 Agrupamos los datos en intervalos. Estos son los intervalos de clase. Al valor medio del intervalo se le llama marca de clase, y se le representa por ix :

Peso (kg)

Marca de clase

ix

Frecuencia absoluta

if

Frecuencia relativa

ii

fh

N=

Frecuencia relativa porcentual

(%) 100ii

fh

N= ×

OBSERVA: Cada uno de los intervalos es cerrado por la izquierda “ [ “ y abierto por la dere-cha “)”. Esto significa que, por ejemplo, el dato 3´00 corresponde al tercer in-tervalo y no al segundo.

[2´00, 2´5) 2´25 1 20

1=0,05 5

[2´5, 3´00) 2´75 4 20

4=0,2 20

[3´00, 3´5) 3´25 5 20

5=0,25 25

[3´5, 4´00) 3´75 6 20

6=0,3 30

[4´00, 4´5) 4´25 3 20

3=0,15 15

[4´5, 5´00] 4´75 1 20

1=0,05 5

Totales 20 1 100


2.3. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS La información contenida en una tabla de frecuencias resulta más fácil de interpretar si se representa mediante un gráfico estadístico. Existe una gran variedad de esta clase de grá-ficos, y la elección de uno u otro depende, generalmente, del tipo de variable que se re-presenta. La prensa diaria está llena de gráficos estadísticos. 2.3.1. DIAGRAMA DE BARRAS Estos gráficos se utilizan para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas, en este último caso siempre que el número de datos que toma la variable sea pequeño. Construcción de un diagrama de barras:

1. Se dibujan dos ejes de coordenadas 2. Se sitúan los datos en el eje horizontal, y las frecuencias absolutas en el verti-

cal. 3. Se dibuja sobre cada dato una barra cuya altura coincida con su frecuencia ab-

soluta. Ejemplo 1: Un colegio ha organizado unas jornadas deportivas. La siguiente tabla muestra los participantes en cada deporte: Deporte ix Nº Participantes if

N

º Par

ticip

ante

s

Fútbol 100 Atletismo 120 Balonmano 60 Baloncesto 80 Tenis 40

Ejemplo 2: En el ejemplo visto anteriormente del número de hermanos: Nº de hermanos

xi

Nº de familias

if

N

º de

fam

ilias

0 6 1 11 2 7 3 3 4 2 5 1

Totales 30



2.3.2. HISTOGRAMAS Cuando los datos de la variable, ya sea continua o discreta, son muchos y vienen agrupa-dos en intervalos, se representan mediante un histograma. Construcción de un histograma:

1. Se dibujan dos ejes de coordenadas. 2. Se sitúan los intervalos en el eje horizontal, y las frecuencias absolutas en el

vertical. 3. Con base en cada intervalo, se dibujan rectángulos cuyas superficies deben ser

proporcionales a las frecuencias correspondientes. Ejemplo1: La estatura de 1000 personas es la siguiente:

individuosx

individuosx

individuosx

individuosx

individuosx

individuosx

60210200

93200190

180190180

283180170

204170160

180160150

<≤<≤<≤<≤<≤<≤

Ejemplo 2: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla: Peso (kg)

ix if

[50, 60) 55 8 [60, 70) 65 10 [70,80) 75 16 [80,90) 85 14 [90,100) 95 10 [100,110) 110 5 [110,120) 115 2

65


2.3.3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS Los polígonos de frecuencias son gráficos útiles para representar tanto variables discretas como continuas. En el ejemplo anterior además del histograma ya aparece el polígono de frecuencias. Construcción del polígono de frecuencias: 1. Se elabora el correspondiente diagrama de barras o histograma, dependiendo del tipo de variable que se maneje. 2. Se dibujan después los segmen-tos que unen los puntos medios de las bases superiores de las barras o de los rectángulos del histogra-ma. 3. A veces sólo se dibujan las frecuencias absolutas y se unen los puntos:

2.3.4. DIAGRAMA DE SECTORES Los diagramas de sectores sirven para representar cualquier tipo de variable estadística, aunque se suele usar para variables cualitativas. Construcción de un diagrama de sectores:

1. Se divide el círculo en tantos sectores circulares como datos haya 2. La amplitud o ángulo de cada sector, iα , debe ser proporcional a la frecuencia

del dato que representa. Para conseguirlo se usa la siguiente fórmula: amplitud= 360º x frecuencia relativa

Deporte (%)ih (%)(º ) 360

100i

i

hα = ⋅

Fútbol 19,05 68,6 Baloncesto 17,46 62,9 Bádminton 14,29 51,4 Natación 11,11 40,0

Balonvolea 9,52 34,3 Tenis 7,94 28,6

Atletismo 6,35 22,9 Otros 14,29 51,4



2.3.5. OTROS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Además de las ya vistas, existen otras muchas formas de representar gráficamente una distribución de datos estadísticos. 2.3.5.1 PICTOGRAMAS Se trata de dibujar un objeto característico de la variable, de manera que los tamaños sean directamente proporcionales a las frecuencias: en el dibujo A la altura es proporcio-nal a la frecuencia; en el B lo es el área.

2.3.5.2. CARTOGRAMAS

Representan variables de tipo geográfico mediante mapas coloreados.


2.3.5.3. PIRÁMIDES DE POBL ACIÓN Sirven para analizar las características de una población humana según el sexo y la edad. Se construyen mediante his-togramas horizontales enfrentados.

2.3.6. DETECCIÓN DE ERRORES ESTADÍSTICOS

Los gráficos estadísticos pueden manipularse para representar informaciones engañosas. Fíjate en estos dos gráficos:

Como ves, ambos gráficos presentan la misma información, pero en el de la derecha se ha manipulado la escala para que la pendiente de su recta parezca mayor y aparente un nivel de ingresos más alto.

2.4. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Los parámetros estadísticos se utilizan para sintetizar y expresar de forma más simple la información que contienen las tablas y las gráficas. Cada parámetro representa un valor numérico que caracteriza a la distribución (conjunto de los datos estudiados). 2.4.1. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Llamamos medidas o parámetros de centralización a aquellos que se sitúan en el cen-tro de la distribución una vez ordenados los datos. Vamos a estudiar los más importantes: la media, la moda y la mediana. 2.4.1.1 MEDIA De los tres parámetros de centralización, es el de uso más frecuente. Estamos habituados a calcular la nota media de una asignatura o a escuchar en los medios de comunicación cuál es el salario medio de los trabajadores de un determinado país, o el número medio de accidentes que se producen en las carreteras en un fin de semana.



La media se representa con el símbolo x y seguro que ya sabes cómo calcularla: se su-

man todos los datos y el total se divide entre el número de datos.

Ejemplo: cálculo del peso medio de 10 alumnos cuyos pesos, en kilogramos, son 51, 57, 52, 53, 55, 54, 60, 63, 49, 50 En este caso el cálculo es sencillo porque el número de datos (10) no es elevado:

kgx 4,5410

50496360545553525751 =+++++++++=

Sin embargo, cuando la distribución de datos es más compleja, para facilitar el cálculo se utiliza esta fórmula:

N

fxx ii ⋅∑

=

La letra griega ∑ (sigma mayúscula) indica una suma de valores, de modo que ii fx ⋅∑

será la suma de los productos cada valor la variable, ix , por el número de veces que se

repite, if , (esto supone una ventaja para su cálculo pues no será necesario sumar un va-

lor cada vez que aparezca). N será la suma de las frecuencias absolutas if , es decir, el

total de datos sumados ( ifN ∑= ). Si los datos están dispuestos en una tabla de frecuencias, lo más cómodo será añadir una columna ii fx ⋅ , hacer los cálculos correspondientes y finalmente sumar los valores de esta nueva columna. Ejemplo: cálculo de la edad media de un grupo de 100 jóvenes:

ix (años) if ii fx ⋅ Una vez hecho el recuento, en la tabla de frecuencias añadimos una columna que resulta de multiplicar cada edad por el número de personas que tienen esa edad. Al sumar los resultados obtenemos la suma total, ii fx ⋅∑ .

La edad media será la suma de los datos de la columna ii fx ⋅ divi-dida por el número de jóvenes cuyas edades hemos sumado:

añosN

fxx ii 83,18

100

1883==⋅∑

=

16 10 160 17 12 204 18 20 360 19 25 475 20 15 300 21 12 252 22 6 132 Total N=100 1883

Si los datos están agrupados en intervalos de clase, haremos los cálculos tomando la marca de clase como valor representativo del intervalo. Con esta simplificación es eviden-te que perdemos exactitud. Sin embargo, el error cometido es muy pequeño si los datos se distribuyen en las clases con cierta uniformidad. Ejemplo: Un agricultor quiere calcular el peso medio de los tomates de una cosecha:

Peso (g) Marca de clase

ix

Frecuencia absoluta

if ii fx ⋅

gx 200100

20000== [0, 100) 50 10 500 [100,200) 150 45 6750 [200,300) 250 30 7500 [300,400) 350 15 5250 Totales N=100 20000


Ventajas de la media: En su cálculo intervienen todos los datos de la distribución Su valor se puede determinar mediante la calculadora científica Es el parámetro más conocido

Inconvenientes de la media: No tiene sentido en caso de variables cualitativas Se ve muy afectada por valores extremos de la variable (El sueldo medio de los

empleados de una empresa es de 2200 €, sin embargo no refleja la realidad ya que los sueldos de los directivos, 4000 € mensuales elevan bastante la media).

No se puede calcular cuando los datos están agrupados en clases y una de las clases es abierta.

Ejemplo: Encuesta sobre el número de horas semanales que dedican a practicar deporte:

Número de horas

[0,2) [2,4) [4,6) 6 o más

17,44563

674151893315861343

=

⋅+⋅+⋅+⋅=

x

x

Número de personas

343 1586 1893 741

2.4.1.2 LA MODA En el lenguaje cotidiano, al hablar de la moda nos referimos a aquellos objetos o hábitos que aparecen con mayor frecuencia, es decir, lo que “más se lleva”. En Estadística tiene un significado similar, la moda de una distribución sería aquel valor de la variable que aparece mayor número de veces. Se representa por oM :

Deporte ix Nº de participantes

if

Nº de hijos

ix

Frecuencia absoluta

if

Fútbol 100 0 6 Atletismo 120 1 11

Balonmano 60 2 7 Baloncesto 80 3 3

Tenis 40 4 2

oM = Atletismo

5 1 Totales 30

oM = 1

Si los datos están agrupados en clases , entonces hablamos de intervalo o clase modal:

Horas Frecuencia absoluta

if

Clase modal, oM = [10,15)

[0, 5) 40 [5,10) 68

[10,15) 89 [15,20) 23

Ventajas de la moda:

Se puede hallar tanto con variables cualitativas como cuantitativas Da una idea clara de cuál es el valor dominante de la distribución, aunque este no

se encuentre en el centro de la misma

Inconvenientes de la moda: No participan todos los datos de la distribución La frecuencia más alta puede corresponder a más de un valor. Esto hace que la

moda sea múltiple.



2.4.1.3. LA MEDIANA Es el valor del dato que ocupa el lugar central, una vez ordenados los datos. Se represen-ta por eM . Ejemplo : Las edades de siete amigos son las siguientes: 21,18,20,21,18,19,19 Ordenamos los datos: 18, 18, 19, 19, 20 ,21, 21 ↑ ocupa el lugar central, es la mediana Consideremos a continuación la distribución de las tallas de 30 alumnos de un curso de 1º que, una vez ordenadas, son las que siguen: 160, 162, 162, 166, 167, 168, 168, 170, 171, 175, 175, 177,177, 178, 178 // 179, 179, 179, 180, 181, 182, 182, 183, 183, 183, 184, 185, 185, 187, 189. En este caso, el lugar central lo ocupan dos datos ya que el número de datos es par. Se da entre los valores 178 y 179. Diremos, cuando así ocurra, que la mediana es el valor intermedio entre ambos: 178'5: por debajo de esta talla encontramos a quince alumnos que corresponden al 50% de la población, y por encima de él al otro 50%. Cuando sean muchos los datos, calcularemos la mediana añadiendo a la tabla de datos original una nueva columna: las frecuencias absolutas acumuladas,

iF , que se obtienen sumando a la frecuencia absoluta de cada valor las frecuencias absolutas de todos los anteriores. Ejemplos:

Talla

ix

Frecuencia absoluta

if

Frecuencia absoluta acumulada

iF Como el número de datos es par (30), el lugar cen-tral lo comparten las posiciones 15 y el 16. Miramos la columna de las frecuencias acumuladas. El 15 lo ocupa el 1 y el 16 el 2. Por tanto la mediana es :

5,12

21=

+=eM

0 6 6 1 9 15 2 10 25 3 2 27 4 2 29 5 1 30

Totales 30

Si la variable que estudiamos es continua, hablaremos de intervalo o clase mediana: Horas Frecuencia

absoluta

if

Frecuencia absoluta acumulada

iF

Los lugares centrales (320/2=160) serían 160 y 161 , nos fijamos en la columna de las frecuencias acumuladas y correspondería a [10,15) , por tanto intervalo mediano es [10,15)

[0, 5) 40 40 [5,10) 68 108

[10,15) 89 297 [15,20) 23 320

Ventajas de la mediana

No se ve afectada por valores extremos Puede calcularse con variables continuas, aunque alguna de las clases sea abierta.

Inconvenientes de la mediana No depende del valor de los datos, sino sólo de su orden. Esto puede hacerla me-

nos representativa. No se puede calcular con toda exactitud cuando los datos están agrupados en cla-

ses.


2.4.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Un agricultor debe elegir dos tipos de semillas de tomate A y B. El pasado año probó con ambas variedades y, tomando una muestra de cada una, obtuvo los siguientes resultados:

VARIEDAD “A” VARIEDAD “B”

Peso (g)

Marca de clase

ix

Frecuencia absoluta

if ii fx ⋅

Peso (g)

Marca de clase

ix

Frecuencia absoluta

if

ii fx ⋅

[0, 100) 50 10 500 [0, 100) 50 25 1250 [100,200) 150 45 6750 [100,200) 150 30 4500 [200,300) 250 30 7500 [200,300) 250 20 5000 [300,400) 350 15 5250 [300,400) 350 5 7000 Totales 100 20000 [400,500) 450 5 2250

200100

20000==x

Totales 100 20000

200100

20000==x

Si en el mercado se venden mejor los tomates de mayor peso, pero también los que pre-sentan más homogeneidad, es decir, menores diferencias de tamaño, ¿cuál de las dos semillas debe elegir, si observamos que tienen la misma media? Las medidas de dispersión nos dan una idea de lo separado que están los datos entre sí. El agricultor del problema necesita saber cuál de las dos semillas le proporciona tomates con menos diferencias de tamaño, es decir, con menos separación respecto de la media. 2.4.2.1. RECORRIDO El recorrido o rango de una distribución es la diferencia entre el valor mayor y el menor de todos los datos. Cuanto mayor o menor sea el recorrido, la distribución estará más dis-persa o más concentrada, respectivamente. Ejemplos:

Horas Frecuencia absoluta

if

Nº hijos

ix

Frecuencia absoluta

if

[0, 5) 40 0 6 [5,10) 68 1 11

[10,15) 89 2 7 [15,20) 23 3 3

Recorrido = 20 - 0 = 20

4 2 5 1

Totales 30

Recorrido = 5 – 0 = 5

Ventajas del recorrido:

Es fácil de calcular Es útil en procesos de control de calidad cuando se fijan unos límites permitidos de

peso, talla, volumen, etc. Inconvenientes:

Es muy dependiente de los valores extremos Es poco representativo, ya que no intervienen los valores intermedios.



2.4.2.2. DESVIACIÓN MEDIA La desviación media, ed , mide cuánto se desvían en promedio los datos respecto de la media. Se calcula como el valor medio de las diferencias (en valor absoluto) entre cada valor de la variable y la media. Para ello se calcula la desviación de cada medida res-

pecto de la media, xxd ii −= y con ella la desviación media:

N

fdd ii

e

⋅∑=

Lo más cómodo para su cálculo será crear en la tabla estadística una columna con las desviaciones de cada medida y otra con el producto de las frecuencias por las desviacio-nes, sumando finalmente los valores de ésta última para sacar la desviación media: Ejemplo : Supongamos que Olga ha obtenido las siguientes notas:

Notas

ix if ii fx ⋅ xxd ii −= ii fd ⋅

4 2 8 1,4 2,8 5 3 15 0,4 1,2 6 4 24 0,6 2,4 7 1 7 1,6 1,6

Totales N=10 54 8

1. Se calcula la media aritmética: 4,510

54 ==⋅

= ∑N

fdx ii

2. Se añade a la tabla de frecuencias dos nuevas columnas: xxd ii −= y ii fd ⋅

3. Se suman los valores de la última columna y se divide entre el número de datos:

N

fdd ii

e

⋅∑= = 8,0

10

8 =

Ventajas de la desviación media:

En su cálculo intervienen todos los datos Es fácil de calcular

Inconvenientes: No se puede calcular directamente con la calculadora científica Su obtención depende de que sea posible calcular la media.

2.4.2.3. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA En el cálculo de la desviación media hemos visto que se hacía la media de las desviacio-nes, pero cogiendo valores absolutos de estas desviaciones (si se hiciera con su signo, el promedio debería ser cero por la propia definición de la media). Una alternativa a calcular la media de los valores absolutos de las desviaciones es hacer la media de los cuadrados de las desviaciones. A este valor se le llama varianza , 2σ , cuyo significado es comparable al cuadrado de la desviación media:

N

fxx ii ⋅−∑=

22 )(σ que, haciendo cálculos, sale 2

22 x

N

fx ii −⋅∑

=σ

El primer término en el cálculo de la varianza representa la media de los cuadrados de la variable; el segundo es el cuadrado de la media .


La desviación típica ,σ , es la raíz cuadrada de la varianza y, por lo comentado anterior-mente, es un valor equiparable a la desviación media (aunque no tiene por qué dar el mismo valor):

22

xN

fx ii −⋅∑

=σ

La forma práctica de calcular la desviación típica es crear en la tabla estadística dos co-lumnas que permitan obtener la media de los cuadrados. En la primera se ponen los cua-drados de la variable; en la otra, los productos de la frecuencia por el cuadrado de la va-riable. Sumando los valores de ésta última se puede calcular la media de los cuadrados y, con ésta, la varianza, cuya raíz cuadrada será, finalmente, la desviación típica. En el ejemplo anterior de las notas de Olga:

Notas

ix if ii fx ⋅ 2ix ii fx ⋅2

4 2 8 16 32 5 3 15 25 75 6 4 24 36 144 7 1 7 49 49

Totales N=10 54 300

1. Se calcula la media aritmética 4,510

54 ==−x

2. Se añade a la tabla de frecuencias la columna 2ix

3. Se añade a la tabla de frecuencias la columna ii fx ⋅2

4. Se suman los valores obtenidos de esta última columna ii fx ⋅∑2

5. La varianza de las calificaciones de Olga es 84,04,510

300 222

2 =−=−⋅

= ∑ xN

fx iiσ

6. La desviación típica de las calificaciones de Olga es la raíz cuadrada positiva de la

varianza: 92,084,02 ≅== σσ Si los valores de la variable se distribuyen en intervalos, los parámetros de dispersión se calculan tomando como valores de la variable las marcas de clase. En el caso del agricultor que utiliza dos tipos de semilla:

VARIEDAD “A” VARIEDAD “B”

Peso (g)

Marca de

clase

ix

Frecuencia absoluta

if ii fx ⋅ 2

ix ii fx ⋅2

Peso (g)

Marca de

clase

ix

Frecuencia absoluta

if

ii fx ⋅

2ix ii fx ⋅2

[0, 100) 50 10 500 2500 25000 [0, 100) 50 25 1250 2500 62500 [100,200) 150 45 6750 22500 1012500 [100,200) 150 30 4500 22500 675000 [200,300) 250 30 7500 62500 1875000 [200,300) 250 20 5000 62500 125000 [300,400) 350 15 5250 122500 1837500 [300,400) 350 20 7000 122500 2450000 Totales 100 20000 4750000 [400,500) 450 5 2250 202500 1012500

g6,867500200100

4750000 2 ≅=−=σ

Totales 100 20000 5450000

g42,12014500200100

5450000 2 ≅=−=σ

Como ya se señaló anteriormente, la representatividad de la media aritmética depende del grado de dispersión de los datos, y esta dispersión se refleja en la desviación típica. Así



cuanto menor es esta, mayor representatividad de la media y más uniforme (menos dis-persa) es la distribución. Por tanto, el agricultor del caso anterior debe utilizar la semilla A, ya que los tamaños de los tomates son más uniformes (la desviación típica es menor). 2.4.3. ESTUDIO CONJUNTO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA Para hacernos una idea más acertada de la realidad a partir de datos estadísticos más o menos abundantes, es conveniente hacer uso conjunto de los parámetros de centraliza-ción y de desviación, ya que por separado pueden resultar engañosos, tal como se ha podido apreciar en los ejemplos anteriores. Veamos un nuevo ejemplo: el análisis de las notas obtenidas por los alumnos de dos cases en una evaluación:

Notas 3ºA

ix if

Notas 3ºB

ix if

2 1 1 5 3 2 2 3 4 5 3 2 5 8 4 1 6 4 5 2 7 3 6 1 8 2 7 2

Suma 25 8 3

49,1

16,5

≅=

σx

9 6 Suma 25

15,3

16,5

≅=

σx

Como puede apreciarse, aunque obtienen la misma nota media, ésta no es igual de re-presentativa en los dos casos. Mientras que en la primera, 3º A, nos indica que la mayoría de los alumnos están en torno a esa nota media, la segunda media es engañosa porque la mayoría de las notas de los alumnos de 3º B no se agrupan en torno a su media. 2.4.3.1. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Otra medida de dispersión de una distribución es el coeficiente de variación, CV , que es el porcentaje que representa la desviación típica respecto a la media aritmética:

100⋅=x

CVσ

El coeficiente de variación se usa para comparar la dispersión de diferentes distribuciones cuando esta comparación no se puede hacer directamente, por tratarse de variables no equiparables ni en tipo ni en cuantía. Así, para comparar los pesos; x , y las tallas, y , de un grupo de alumnos, hay que proceder de este modo:

.76 kgx = %9,510076

5,41005,4 ≅⋅=⋅=⇒=

xCVkg x

x

σσ

cmy 174= %3100174

25,510025,5 ≅⋅=⋅=⇒=

yCVcm y

y

σσ

Se observa que, en este ejemplo, los pesos están más dispersos que las tallas, pues el coeficiente de variación de los primeros es de un 5,9%, y el de los segundos, de un 3%.


3. FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS Un experimento o un fenómeno se dice que es aleatorio, cuando es imposible saber de antemano el resultado del mismo. En otro caso se dirá que es determinista. Ejemplos de experimentos aleatorios:

- El resultado del lanzamiento de los dados. - El resultado del sorteo de una lotería. - El lado del que cae una moneda lanzada

al aire. - La carta que se saca de un mazo de nai-

pes barajado. Son experimentos deterministas:

- El resultado de tener agua durante dos horas a veinte grados bajo cero. - El resultado de una reacción química. - El próximo avistamiento del cometa Halley.

Suele haber cierta confusión entre los términos posible y probable. Cuando puede darse un fenómeno, decimos que éste es posible: es posible que a tu profesor de Matemáticas lo parta un rayo; lo anterior, que nadie desea que ocurra, es afortunadamente poco pro-bable. En la práctica, los fenómenos poco probables los damos por imposibles. Es la aleatoriedad de tantos fenómenos, lo que confiere ese carácter imprevisible a nues-tras vidas; sin la presencia del azar, nuestro destino se regiría en base a un sistema de leyes exactas. No obstante, siempre podremos tener alguna medida de la imprevisión de determinados fenómenos: sabemos que, en condiciones normales, aunque sea posible, lo más probable es que no tengamos un accidente en un viaje; o que si le hacemos un segu-ro a una casa, lo más fácil es que no se incendie a los dos meses, lo que supondría una pérdida para la compañía aseguradora. 3.1. TEORÍA DE PROBABILIDADES Al llevar a cabo un experimento aleatorio, no podemos predecir el resultado concreto que se va a obtener, pero sí saber cuáles son los posibles resultados. La teoría de probabili-dades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suce-so es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representamos por la letra E (o bien por la letra griega Ω) Espacio muestral de lanzar un dado: E=1,2,3,4,5,6. Espacio muestral de lanzar una moneda E=C,+ Suceso : es todo subconjunto del espacio muestral. Se representa por una letra mayús-cula. Ejemplos: Al lanzar una moneda, que salga cara; al lanzar un dado, que sea par, P=2,4,6 Ejemplo: Al extraer consecutivamente tres bolas de una bolsa que contiene bolas blancas y negras, el espacio muestral será E = (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n). Algunos sucesos a partir de este espacio muestral serían los siguientes:

- Suceso A = extraer tres bolas del mismo color = (b,b,b); (n, n,n) - Suceso B = extraer al menos una bola blanca = (b,b,b); (b,b,n); (b,n,b);

(n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b) - Suceso C = extraer una sola bola negra = (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)



3.1.1. TIPOS DE SUCESOS

a) Suceso elemental : es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado, un suceso elemental es “sacar 5”.

b) Suceso compuesto : si está formado por más de un resultado. Por ejemplo, al tirar

un dado, un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

c) Suceso seguro, E : está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el

espacio muestral). Por ejemplo, al tirar un dado, obtener una puntuación que sea menor que 7.

d) Suceso imposible , φ : es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo, al tirar un

dado, obtener una puntuación igual a 7. Se representa por φ e) Sucesos compatibles : dos sucesos, A y B, son compatibles, cuando tienen algún

suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es ob-tener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental co-mún.

f) Sucesos incompatibles : dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen

ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

g) Sucesos independientes : dos sucesos, A y B, son independientes cuando la pro-

babilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Así al lanzar dos dados, los resultados son independientes.

h) Sucesos dependientes : dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabi-

lidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. así, extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

i) Suceso contrario , A ,: el suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por A . Son sucesos contrarios sacar par e im-par al lanzar un dado.

3.1.2. UNIÓN DE SUCESOS La unión de los sucesos A y B ( BA∪ ), es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso BA∪ se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos, A o B, o ambos. A ∪ B se lee como "A o B". Ejemplo: consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∪ B. A = 2, 4, 6 B = 3, 6 A ∪ B = 2, 3, 4, 6


3.1.3. INTERSECCIÓN DE SUCESOS La intersección de los sucesos A y B( BA∩ ), es el suceso formado por todos los elemen-tos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso BA∩ se verifica cuando ocurren si-multáneamente A y B. BA∩ se lee "A y B ". Ejemplo: consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado. Si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular

BA∩ . A = 2, 4, 6 B = 3, 6 A ∩ B = 6 3.2. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD Los fenómenos aleatorios, es decir, aquellos en los que interviene el azar, a pesar de no ser predecibles con toda seguridad obedecen a ciertas leyes. Estas leyes nos permiten en muchos casos saber con qué grado de probabilidad puede ocurrir un suceso entre todos los posibles del espacio muestral. Si lanzamos un dado diez veces puede ocurrir que salga tres veces el cinco, lo cual re-presentaría una frecuencia relativa muy por encima de la esperada. Pero si aumentamos el número de tiradas se debe ir aproximando progresivamente al 1/6, según la Ley de los grandes números. Si el dado no está trucado, cada una de las caras tiene la misma pro-babilidad de salir. Por eso decimos que son sucesos equiprobables .

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relati-va al aumentar el número de repeticiones del experimento que lo origina.

3.2.2. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1. 1)(0 ≤≤ AP .La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 2. 1)( =EP La probabilidad del espacio muestral es 1 3. 0)( =φP La probabilidad del suceso imposible es 0

4. )(1)( APAP −= . La probabilidad del suceso contrario es 1 menos la probabilidad del suceso en cuestión. Ejemplo: sea el experimento de lanzar un dado al aire y los sucesos A = “salir par al lanzar un dado” y =A ”salir impar al lanzar un dado”

)(1)( APAP −= = 6

3

6

31 =−

5. )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . La probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades, restándole la probabilidad de la intersección.

3.2.3. REGLA DE LAPLACE Al realizar un experimento aleatorio en el que hay “n” sucesos elementales, todos igual-mente probables (“equiprobables”), entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

posiblescasosden

favorablescasosdenAP

º

º)( =



Ejemplos: 1. Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos

posibles: CC, C+, +C, ++. Casos favorables: 1; casos posibles 4 4

1)( =⇒ CCP

2. En una baraja de 40 cartas, cuando se extrae una al azar, el número de casos posibles

sería 40. De este modo, la probabilidad de que salga un as será 10

1

40

4)( ==AP , y la pro-

babilidad de que la carta sea de copas sería 4

1

40

10)( ==BP

3.3. EXPERIMENTOS COMPUESTOS Se dice que un experimento aleatorio es compuesto, cuando está formado por varios ex-perimentos aleatorios simples realizados de forma consecutiva . Por ejemplo lanzar tres monedas al aire, lanzar un dado y una moneda,.. 3.3.1. DIAGRAMAS DE ÁRBOL Para conocer los posibles resultados de un experimento aleatorio, realiza-mos un diagrama de árbol. Ejemplo: al lanzar una moneda 3 ve-ces, la probabilidad de que salgan 2

caras sería 8

3, ya que hay 8 resultados

posibles y tres favorables. Otros resultados del experimento:

• La probabilidad de que salgan 3 caras sería 8

1

• Es más probable obtener dos caras (tres, de ocho casos) que tres caras (uno, de ocho casos).

• Es igual de probable el suceso A=(C,C,C), que el B = (C,+,C), pues coinciden en que solo hay un caso favorable en cada uno de ellos.

• Hay la misma probabilidad en obtener dos caras, que en obtener una cruz, ya que en ambos casos hay tres casos favorables.

• Si se lanzaran cuatro monedas, habría 16 casos favorables (2·2·2·2 = 24). • De igual modo, al lanzar cinco monedas, habría 32 casos posibles (2·2·2·2·2 = 25),

ya la lanzar quince monedas, habría 32768 casos posibles (2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 215).

3.3.2. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Hemos visto que el experimento compuesto consistente en lanzar tres monedas tiene 8 casos posibles, todos equiprobables. Por tanto la probabilidad de cada uno de ellos es de 1/8. Observa que esta probabilidad también se puede obtener multiplicando la de los re-sultados parciales que lo componen:

8

1

2

1

2

1

2

1)( =⋅⋅=CCCP )()()( CPCPCP ⋅⋅=


Principio de multiplicación: La probabilidad de cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio compuesto es el producto de las probabilidades de los resulta-dos parciales que lo componen. Este principio se puede aplicar aunque los resultados no sean equiprobables, como ocurre en estos ejemplos: Ejemplo 1: Al escoger un comité de tres alumnos al azar en una clase que consta de seis niñas y 10 niños las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos se pueden sa-car del diagrama adjunto: a) Seleccionar tres niños:

214,014

8

15

9

16

10)( =⋅⋅=oooP

b) Seleccionar 2 niños y una niña:

482,014

9

15

10

16

6

14

9

15

6

16

10

14

6

15

9

16

10

)()()()12(

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=++=+ aooPoaoPooaPaoP

c) Seleccionar 2 niñas y un niño:

268,014

5

15

6

16

10

14

5

15

10

16

6

14

10

15

5

16

6

)()()()12(

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

=++=+ oaaPaoaPaaoPoaP

Ejemplo 2: Imaginemos una urna que contiene 2 bolas rojas (R), 3 negras(N); al extraer dos bolas de forma consecutiva, las probabilidades de los distintos resultados son las si-guientes:



3.3.3. TABLAS DE CONTINGENCIA Se reparte un formulario entre los alumnos de una clase a fin de que se apunten, si lo desean, a las actividades extraescolares programadas por la dirección del centro. El do-cumento incluye una casilla donde los alumnos apuntan su sexo. Si se elige al azar un alumno, ¿qué probabilidad hay de que sea una chica la que quiera apuntarse a alguna de las actividades programadas? Para calcular esta probabilidad, agrupamos los datos en la siguiente tabla de contingen-cia o de doble entrada . Esta forma de agrupar los datos sirve para mostrar las frecuen-cias correspondientes a más de una variable en una misma tabla:

Como todos los alumnos tienen la misma probabi-lidad de ser elegidos, los resultados del experi-mento son equiprobables. Por tanto, es posible aplicar la Regla de Laplace para calcular la proba-bilidad del suceso A= “ser chica y quiere apuntar-se a alguna actividad” Resultados favorables: 8 chicas desean inscribirse

Resultados posibles: 26 31,026

8)( ≅=⇒ AP

Ejemplo 2: En un grupo de personas se dan las siguientes características:

Si se elige una persona al azar:

- Probabilidad de que fume: 29

8)( =AP

- Probabilidad de que sea mujer: 29

17)( =BP

Si se elige una mujer al azar:

-Probabilidad de que no fume: 17

12)( =CP

Si se elige al azar una persona que fuma:

- Probabilidad de que sea mujer: 8

5)( =DP

Sí No Suma

Mujer 8 3 11

Varón 10 5 15

Suma 18 8 26

Fuma No fuma Suma

Hombre 3 9 12

Mujer 5 12 17

Suma 8 21 29


BLOQUE 10 TEMA 2: LA MATERIA Y SUS TRANSFORMACIONES

1. LA MATERIA Y SUS PROPIEDADES 1.1. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA 1.2. ESTADOS DE AGREGACIÓN DE LA MATERIA: SÓLIDOS, LÍQUIDOS Y GASES 1.3. TEORÍA CINÉTICA DE LA MATERIA 1.4. CAMBIOS DE ESTADO 1.5. LEYES DE LOS GASES

2. LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS DE LA MATERIA 2.1. LEYES DE LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS 2.2. LA ECUACIÓN QUÍMICA. AJUSTE E INTERPRETACIÓN 2.3. TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS 2.4. CÁLCULOS ESTEQUIOMÉTRICOS

3. CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD 3.1. LA INDUSTRIA QUÍMICA BÁSICA 3.2. QUÍMICA FARMACEÚTICA E INGENIERÍA GENÉTICA 3.3. LA INDUSTRIA PETROQUÍMICA 3.4. TIC, INNOVACIÓN Y DESARROLLO

BLOQUE 11 TEMA 4: EVOLUCIÓN DE LA VIDA

1. LA CÉLULA 1.1. LA CELULA PROCARIOTA 1.2. LA CÉLULA EUCARIOTA 1.3. LOS PROCESOS DE DIVISIÓN CELULAR

1.3.1. MITOSIS 1.3.2. MEIOSIS

2. EL ADN Y LA HERENCIA GENÉTICA 2.1. ESTRUCTURA DEL ADN 2.2. UN POCO DE HISTORIA 2.3. LAS LEYES DE LA HERENCIA 2.4. HERENCIA DEL SEXO

3. GENÉTICA Y SOCIEDAD 3.1. EL PROYECTO GENOMA HUMANO (PGH) 3.2. BIOTECNOLOGÍA Y MANIPULACIÓN GENÉTICA 3.3. CLONACIÓN

4. LA EVOLUCIÓN DE LOS SERES VIVOS 4.1. LA EVOLUCIÓN DE LAS ESPECIES 4.2. LA EVOLUCIÓN VISTA POR DARWIN 4.3. LA EVOLUCIÓN HUMANA

BLOQUE 12 TEMA 6: FUERZAS, MOVIMIENTOS Y ENERGÍA

1. CONCEPTOS DE CINEMÁTICA 1.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) 1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) 1.3. MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS 1.4. MOVIMIENTO CIRCULAR. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

2. CONCEPTOS DE DINÁMICA 2.1. ALGUNAS FUERZAS DE INTERÉS. LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA Y EL PESO DE LOS CUERPOS, LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO, LA FUERZA CENTRÍPETA Y FUERZAS ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS

3. ENERGÍA 3.1. TRABAJO MECÁNICO 3.2. POTENCIA 3.3. ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA 3.4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 3.5. DEMOSTRACIÓN DE ALGUNAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS 3.6. TEMPERATURA Y CALOR. LA TEMPERATURA, EL CALOR, LOS CAMBIOS DE ESTADO Y MÁQUINAS TÉRMICAS

4. ENERGÍA Y MEDIOAMBIENTE

TEMA 2: LA MATERIA Y SUS TRANSFORMACIONES MÓDULO CUATRO


1. LA MATERIA Y SUS PROPIEDADES 1.1. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA 1.2. ESTADOS DE AGREGACIÓN DE LA MATERIA: SÓLIDOS, LÍQUIDOS Y GASES 1.3. TEORÍA CINÉTICA DE LA MATERIA 1.4. CAMBIOS DE ESTADO 1.5. LEYES DE LOS GASES

1.5.1. LEY DE BOYLE-MARIOTTE 1.5.2. LEY DE CHARLES-GAY-LUSSAC 1.5.3. LEY DE LOS GASES PERFECTOS.

2. LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS DE LA MATERIA 2.1. LEYES DE LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS 2.2. LA ECUACIÓN QUÍMICA. AJUSTE E INTERPRETACIÓN 2.3. TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS 2.4. CÁLCULOS ESTEQUIOMÉTRICOS

2.3.1. AJUSTE DE REACCIONES DE COMBUSTIÓN DE COMPUESTOS ORGÁNICOS 2.3.2. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL AJUSTE DE REACCIONES QUÍMICAS 2.3.3. LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA O LEY DE LAVOISIER

3. CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD 3.1. LA INDUSTRIA QUÍMICA BÁSICA 3.2. QUÍMICA FARMACEÚTICA E INGENIERÍA GENÉTICA 3.3. LA INDUSTRIA PETROQUÍMICA 3.4. TIC, INNOVACIÓN Y DESARROLLO

MÓDULO CUATRO TEMA 2: LA MATERIA Y SUS TRANSFORMACIONES


1. LA MATERIA Y SUS PROPIEDADES La materia es de lo que está formado todo lo que hay a nuestro alrededor y puede ser percibido por nuestros sentidos, es decir, que todas las cosas que puedes ver, oír o tocar están formadas por materia . Cualquier porción de materia se llama sistema material (cuando tiene unos límites defini-dos recibe el nombre de cuerpo ) y es evidente que no toda la materia es idéntica, ya que somos capaces de distinguir por sus cualidades unas formas de materia de otras (las lla-mamos sustancias ). De todas las propiedades de la materia , algunas son comunes a todas las sustancias y no permiten diferenciar una sustancia de otra; otras propiedades, sin embargo, caracteri-zan a cada sustancia y sí permiten identificarlas. Las primeras se llaman propiedades generales , como la masa, el volumen, la temperatura o el peso; las segundas se denomi-nan propiedades específicas o características, como el color, olor, sabor, densidad, conductividad eléctrica, puntos de fusión y ebullición o dureza. De este modo, si tenemos dos bolsas cerradas, una con 1 kg de patatas y otra con 1 kg de naranjas, no podemos distinguir una de otra sólo con el único dato de su peso; para identificarlas, podríamos hacerlo abriendo las bolsas y, bien por el tacto, o por el color, no habría problemas para hacerlo. Independientemente de la clasificación anterior, las propiedades de la materia pueden ser extensivas o intensivas. Las propiedades extensivas , como la masa o el volumen, de-penden de la cantidad de sustancia; las propiedades intensivas , como la densidad, con-centración, color o presión, no dependen de la cantidad de materia. 1.1. CLASIFICACIÓN DE LA MATERIA La materia puede presentarse de distintas formas que, de modo general, pueden clasifi-carse en las siguientes categorías:

Definamos los conceptos que intervienen en el esquema anterior:

• Materia : es todo aquello que puede percibirse por los sentidos. Está formada por átomos y moléculas y siempre posee masa y volumen.

• Sustancia pura : es aquella que está formada por un único tipo de moléculas, to-das iguales entre sí. Tiene una serie de propiedades específicas que permiten identificarla.

• Elementos : son sustancias puras cuyas moléculas están formadas por el mismo tipo de átomos. No pueden ser descompuestas de ninguna forma en otras más simples.



• Compuestos : son sustancias puras cuyas moléculas están formadas por varios ti-pos de átomos. Pueden descomponerse por métodos químicos para obtener los elementos que lo integran.

• Sistemas homogéneos : son aquellos en los que todas las partes son idénticas, no

pudiéndose distinguir las sustancias que lo componen. • Sistemas heterogéneos : son aquellos en los que pueden distinguirse distintas fa-

ses, es decir, varias sustancias entremezcladas. • Disolución : es un sistema homogéneo de dos o más sustancias; la que se en-

cuentra en mayor cantidad se llama disolvente y las restantes se denominan solu-tos.

Las disoluciones pueden ser sólidas, líquidas o gaseosas, pero en química las más utili-zadas son líquidas, y más concretamente disoluciones acuosas, en las que la relación entre la cantidad de soluto y disolvente (la concentración) suele expresarse en moles de soluto por cada litro de disolución, es decir la concentración molar :

disolucióndelitros

olutomoles de stro)C(moles/li = , o más abreviadamente,

V

nC =

Recuerda que un mol de cualquier sustancia contiene el Número de Avogadro de átomos o moléculas de dicha sustancia ( 23100226 ×= ,NA ), cifra que hace que la masa de un solo átomo de un elemento, expresada en uma, coincida numéricamente con la masa de

2310022,6 × átomos de ese elemento (1 mol), expresada en gramos. Así, si la masa atómi-ca del nitrógeno es 14, significa que un átomo de esta sustancia tendrá una masa de 14 uma ( 231032,2 −× gramos), pero un mol de átomos de nitrógeno serán 14 gramos de esta sustancia. A partir de las ideas anteriores, puede calcularse la masa molar (también conocida como masa molecular) conociendo la fórmula química de la sustancia de que se trate, sin más que sumar las masas atómicas de los átomos que la forman. Con este dato se puede cal-cular el número de moles de sustancia y con éste la concentración molar:

molarMasa

gciasusdemasamolesdenúmero

)(tan= o, más abreviadamente, M

mn =



Ejemplo: sabiendo que las masas atómicas del carbono, del hidrógeno y del oxígeno son 12, 1 y 16, respectivamente, calcula la concentración molar de una disolución formada al añadir 100 gramos de glucosa (de fórmula 6126 OHC ) en 250 militros de agua.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que cuando se disuelve un sólido (como la glucosa) en un líquido, el volumen de la disolución prácticamente coincide con el del disolvente (250 mL = 0,25 L). La masa molar del soluto será 180166121126 =×+×+×=M , luego un mol de glu-cosa son 180 gramos. Por tanto, el número de moles de soluto (los 100 gramos de glucosa) será:

56,0180

100 ===M

mn moles de 6126 OHC

La concentración molar de la disolución será 22,225,0

56,0 ===litro

mol

V

nC M

Nótese que para indicar litromol / se utiliza el símbolo M (como el de masa molar) 1.2. ESTADOS DE AGREGACIÓN: SÓLIDOS, LÍQUIDOS Y GAS ES Los sistemas materiales pueden ser homogéneos o heterogéneos, estar formados por una única sustancia o por varias, tener una única clase de átomos o varias. Pero también se pueden manifestar de varias formas, en lo que se llaman estados de agregación. Los estados de agregación son las distintas formas en que se puede presentar la materia: sólido, líquido y gas . Cualquier sustancia en estado sólido tiene forma fija, mientras que si está en forma líquida o gaseosa adopta la forma del recipiente que la contiene. Además, tanto líquidos como gases tienen la capacidad de fluir (de ahí que se llamen fluidos). Finalmente, los gases se caracterizan por expandirse y ocupar todo el espacio de los recipientes que los contienen. Para comprender por qué esto es así, los científicos han elaborado la teoría cinético-corpuscular de la materia (más conocida como teoría cinética ) que tiene su origen en el estudio experimental del comportamiento de los gases (las conocidas como leyes de los gases), que veremos más adelante. 1.3. TEORÍA CINÉTICA DE LA MATERIA Aunque inicialmente esta teoría es válida para los gases, su generalización a cualquier estado de agregación permite explicar las cualidades que manifiesta la materia en estado sólido, líquido o gaseoso, basándose en las siguientes hipótesis: 1ª) La materia está formada por pequeñas partículas o corpúsculos (átomos o moléculas). 2ª) Las partículas que constituyen la materia están en continuo movimiento, de modo que la temperatura de un cuerpo indica la velocidad a la que se mueven los átomos o molécu-las que lo constituyen. Cuanto mayor es la temperatura, con mayor velocidad se mueven las moléculas y, a menor temperatura, menor es la velocidad. Cuando las partículas no se mueven, se ha alcanzado la temperatura más baja posible, que es -273 ºC. En el estado gaseoso, las partículas se mueven libremente con movimiento rectilíneo y uniforme, cam-biando su dirección cuando chocan entre sí o con las paredes del recipiente que las con-tiene. 3ª) Los átomos se unen entre sí mediante unas fuerzas muy grandes y difíciles de vencer, llamadas enlace químico ; entre las moléculas también hay fuerzas atractivas, llamadas fuerzas intermoleculares , que son más débiles que las anteriores, pero son tanto más intensas cuanto más próximas están las moléculas entre sí.



Por tanto, el estado de agregación de una sustancia depende de las fuerzas intermolecu-lares que unen a sus partículas y de la temperatura. Cuando la temperatura es baja, los átomos o las moléculas no pueden moverse, sólo pueden vibrar, sin separarse una de otra. Como las partículas están prácticamente juntas y fijas, sin capacidad de movimiento, el cuerpo tendrá un volumen y una forma fija. Es un sólido. Si la temperatura aumenta, como las fuerzas intermoleculares no lo hacen, las partículas ya podrán moverse, pero todavía permanecerán una junto a otra. Se comportarán de forma similar a un grupo de canicas en una caja, que pueden deslizarse una sobre otra. El volumen seguirá siendo fijo, pero no así la forma, que se adaptará al reci-piente. Se trata de un líquido . Si la temperatura es todavía mayor, las partículas no estarán retenidas por las fuerzas intermoleculares y se separa-rán unas de otras, moviéndose por to-do el recipiente. Entre molécula y molécula, habrá un espacio vacío y será fácil acercarlas o alejarlas. Ni la forma ni el volumen es fijo, ambos cambian con facilidad, ya que esta-mos, sobre todo, ante espacio vacío en el que se mueven moléculas. Es un gas . Mediante la teoría cinética pueden explicarse muchas propiedades de la materia, como por ejemplo:

a) Presión de los gases : se debe a los choques de las moléculas con las paredes del recipiente que los contiene o con los objetos que están en su interior. Como las moléculas de los gases se mueven libremente hasta chocar entre sí o con las pa-redes y rebotar, cuantos más choques haya, más presión; además, cuanto más in-tensos sean estos choques (más temperatura del gas), más fuerza ejercerán y, por tanto, la presión también será mayor.

b) Evaporación de líquidos : debido a las escasas fuerzas intermoleculares, las mo-léculas de los líquidos, en su continuo movimiento, serán capaces de escapar a través de la superficie del líquido, si tienen suficiente velocidad para vencer las atracciones de las demás moléculas. Por ello, cuanta mayor sea la superficie del lí-quido, mayor probabilidad habrá de que haya moléculas que se mueven hacia afuera del líquido y, por tanto, se producirá más evaporación

c) Dilatación de los sólidos y líquidos : al aumentar la temperatura, la velocidad de las moléculas aumenta y, por tanto, también aumenta su movilidad. Esto hace que las atracciones entre las moléculas retengan menos a unas con otras, por lo que las oscilaciones entre ellas ocurren en espacios mayores. La consecuencia es el aumento de volumen de la materia al aumentar su temperatura (dilatación).

d) Difusión : cuando se abre un frasco de perfume en una habitación, al cabo de cier-to tiempo, el olor se extiende por toda ella. Para explicarlo, basta con aceptar que algunas de las moléculas del perfume líquido se evaporan y salen libres a la habi-tación. Se moverán en línea recta hasta chocar con las paredes o con otras molé-culas de gas, rebotando y cambiando su dirección de movimiento. La consecuencia es que, al cabo del tiempo, habrá moléculas de perfume por toda la habitación. De forma similar se explicaría la difusión de un líquido en otro (por ejemplo, tinta en agua) o de un sólido en un líquido (por ejemplo, azúcar en agua), aunque en este caso, la movilidad de las moléculas en el interior del líquido es más reducida.



1.3.1. SÓLIDOS El estado sólido se caracteriza por tener una forma y un volumen fijos que no puede ser

cambiado. Son incompresibles, ya que, por mucha fuerza que ejerzamos sobre ellos, su volumen no disminuirá. Los átomos y moléculas que forman los sólidos están ordenados en el espacio, formando lo que se llama es-tructura cristalina . Esa estructura cristalina se manifies-ta en el sólido haciendo que éste tenga una forma geo-métrica. Así, por ejemplo, los granos de sal son peque-ños cubos y los minerales tienen formas regulares. Pero la mayoría de las veces esta forma geométrica es tan pequeña que se precisa el empleo de un microscopio para poder verla. Esto no significa que las moléculas y átomos que forman los sólidos estén en reposo. Debido a

la temperatura, se están moviendo continuamente (como todos los átomos y moléculas). Pero los átomos están enlazados por unas fuerzas que impiden que se muevan libremen-te y sólo pueden vibrar, pero sin separarse demasiado de su posición, como si estuvieran unidas mediante un muelle que se encoge y expande continuamente. 1.3.2. LÍQUIDOS Un líquido, como un sólido, es incompresible, de forma que su volumen no cambia. Pero al contrario que el sólido, el líquido no tiene una forma fija, sino que se adapta al recipien-te que lo contiene, manteniendo siempre una superficie superior horizontal. En el líquido, los átomos y moléculas no están unidos tan fuertemente como en el sólido. Por eso tienen más libertad de movimiento y, en lugar de vibrar en un sitio fijo, se pueden

desplazar y moverse, pero siempre se desplazan y mue-ven una molécula junto a otra, sin separarse demasiado. Es como si estuvieran bailando, de forma que se pueden mover, pero siempre cerca una de otra. En la superficie del líquido, las moléculas que lo forman se escapan al aire, el líquido se evapora. Si el recipiente que contiene el líquido está cerrado, las moléculas que se han evaporado pueden volver al líqui-do, y se establece así un equilibrio, de forma que el lí-quido no se pierde.

Si el recipiente está abierto, las moléculas que escapan del líquido al aire son arrastradas por éste y no retornan al líquido, así que la masa líquida acaba por desaparecer. Es por esto por lo que las ropas se secan, y más rápidamente cuanto más viento haya, ya que el viento ayuda a arrastrar las moléculas que se han evaporado. La ebullición, el que un líquido hierva, es distinta de la evaporación. Mientras que la eva-poración sólo afecta a la superficie del líquido, la ebullición afecta a todo el líquido, en to-do el líquido aparecen burbujas de gas que escapan de forma tumultuosa. 1.3.3. GASES Aunque estamos inmersos en un gas (el aire que constituye la atmósfera) hasta el siglo XVII, los sabios y científicos no se percibieron de ello. Al fin y al cabo, cada vez que se obtenía un gas, fuera cual fuera éste, finalmente se mezclaba con el aire y parecía desa-parecer.



Fue en el siglo XVII cuando el físico y químico belga Jan Baptista van Helmont aprendió a diferenciar a los gases del aire y aprendió a recogerlos para que no se mezclaran con aquél y al aislarlos, inventó la palabra con la que los nombramos: gas, derivándola de la palabra griega que significa caos , ya que le pareció que la materia que formaba los gases estaba sumida en el caos. Si los sólidos tienen una forma y un volumen fijos y los líquidos un volumen fijo y una forma variable, los gases no tienen ni una forma fija ni un volumen fijo. Se adaptan al recipiente que los contiene y, además, lo ocupan completamente.

Si el recipiente que ocupa el gas es flexible o tiene una parte móvil, resulta fácil modificar su forma y su volumen, alterando la forma y volumen del gas que hay en su interior. En un gas, las moléculas no están unidas de ninguna forma. Si en el sólido sólo podían vibrar, permaneciendo fijas en un sitio determinado, y en el líquido podían moverse pero sin separarse unas de otras, en el gas las moléculas se mueven y desplazan libremente. El gas está formado por moléculas con mucho espacio vacío entre ellas, espacio vacío por el que se mueven con absoluta libertad. Por eso su volumen no es fijo y se pueden comprimir y dilatar. Al comprimirlos, simplemente disminuye el espacio vacío en el que se mueven las moléculas del gas, y dilatarlo es aumentar ese espacio vacío. 1.4. CAMBIOS DE ESTADO Los estados de agregación no son fijos e inmutables. Dependen de la temperatura. Si sacamos hielo del congelador, estará a -10 ó -20ºC. Empieza a calentarse, pero segui-rá siendo hielo. Cuando la temperatura alcance los 0 ºC empezará a fundirse, ya que 0 ºC es la temperatura de fusión del hielo (es su punto de fusión ). Tendremos entonces hielo y agua a 0 ºC. Mientras haya hielo y agua, la temperatura será de 0 ºC, por mucho que lo calentemos, porque mientras se produce el cambio de estado la temperatura permanece fija.

Una vez que se ha fundido todo el hielo, el agua, que estaba a 0 ºC empezará a subir de temperatura otra vez y cuando llegue a 100 ºC empezará a hervir, ya que 100 ºC es la temperatura de ebullición del agua (es su punto de ebullición ). Puesto que se está pro-duciendo un cambio de estado, la temperatura no variará y mientras el agua hierva, per-



manecerá constante a 100 ºC. Cuando toda el agua haya hervido y sólo tengamos vapor de agua, volverá a subir la temperatura por encima de los 100 ºC. Lo mismo ocurrirá a la inversa. Si enfriamos el vapor de agua, cuando su temperatura al-cance los 100 ºC empezará a formar agua líquida y su temperatura no cambiará. Cuando todo el vapor se haya convertido en agua, volverá a bajar la temperatura hasta llegar a 0 ºC, a la que empezará a aparecer hielo y que quedará fija. Cuando toda el agua se haya convertido en hielo, volverá a bajar la temperatura. Es decir, mientras se produce un cambio de estado, la temperatura permanece fija y c onstante , aunque cada sustancia cambiará de estado a una temperatura propia. La mayoría de las sustancias, el agua entre ellas, al calentarse funden del estado sólido al líquido y hierven del estado líquido al gaseoso. Al enfriarse, por contra, condensan del estado gaseoso al lí-quido y solidifican del estado líquido al sólido. Algunas sustancias, como el hielo seco, pa-san directamente del estado sólido al gaseo-so (subliman ). Y al enfriar el gas condensan directamente al estado sólido, pero siempre permanece fija la temperatura a la que cambian de estado. El paso de un estado de agregación a otro recibe un nombre específico, que puedes ver a continuación:

Como el cambio de un estado de agregación se realiza, para una presión determinada, a una temperatura fija e invariable, tanto al calentar como al enfriar, estas condiciones de temperatura y presión reciben el nombre de punto de, y el nombre del cambio de estado. Así, la temperatura a la que hierve el agua a 1 atmósfera de presión, como el paso de lí-quido a gas se conoce como ebullición, se llama punto de ebullición. La temperatura a la que el hielo seco se convierte en gas se llama punto de sublimación, etc. Hay que destacar que en el esquema anterior, el paso de líquido a gas se ha puesto como vaporización , proceso que puede ocurrir a cualquier temperatura comprendida e ntre el punto de fusión y el de ebullición . En este caso, se habla de evaporación o vaporiza-ción y puede explicarse mediante la teoría cinética de la materia, admitiendo que, debido al continuo movimiento de las moléculas del líquido, siempre hay algunas que son capa-ces de escapar de las atracciones del conjunto de las moléculas, pasando así a la fase gaseosa; cuando todas las moléculas tienen energía suficiente como para escapar de sus compañeras, todo el líquido tiende a pasar al estado gaseoso y es cuando se produce la ebullición (ésta sí ocurre a una temperatura fija). No deja de ser, en todo caso, una con-secuencia de que el estado líquido es una situación intermedia entre el estado sólido y el gaseoso. Como muestra de lo anterior, observa cómo no es necesario que el agua de un charco hierva para que se evapore.



1.5. LEYES DE LOS GASES

El comportamiento de los gases fue estudiado experimentalmente por distintos científicos entre los siglos XVII y XVIII y sirvió de base para la elaboración de la teoría cinética de la materia. Veamos algo más detalladamente estas leyes. Las moléculas de los gases se mueven continuamente debido a la temperatura. Cuanto mayor sea la temperatura, con más velocidad se moverán las moléculas. Pero la tempera-tura no se mide en la escala normal de temperaturas, la escala celsius o centígrada, sino en una escala especial llamada escala kelvin o escala absoluta. A -273ºC las moléculas estarían quietas. Por eso no puede haber una temperatura más baja. En la escala kelvin, 0 K (cero grados kelvin) equivale a -273ºC. Y no pueden existir temperaturas inferiores, así que no pueden existir temperaturas negativas. Para pasar de una escala a otra basta sumar o restar 273. Así, 100ºC serán 100 + 273 = 373K y 500K serán 500 - 273 = 227ºC. Esta escala absoluta de temperatura es la que hay que utilizar en las ecuaciones del comportamiento de los gases que veremos a continuación. Por otro lado, las moléculas de un gas ocupan un volumen y en él se mueven y despla-zan, por lo que chocarán con el recipiente que las contiene (y entre sí, claro), ejerciendo presión (que es otra magnitud física, resultado de dividir la fuerza por la superficie). En el Sistema Internacional de unidades el volumen se mide en metros cúbicos (m3) y la presión en pascales (Pa), aunque cuando se trata de gases, se prefiere medir el volumen en litros (L) y la presión en atmósferas (atm). Recordemos que 1 litro equivale a 1 dm3 (decímetro cúbico), es decir, que 1.000 L = 1 m3. En cuanto a la unidad de presión, el pascal es la presión ejercida cuando se aplica una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 m2. Es una unidad muy pequeña y, por ello se utilizan en ciencias otras mayores, como la atmósfera que, por definición, es la presión que ejerce el aire a nivel del mar en un día de tiempo estable, equivaliendo a 101.300 pascales. En meteorología la presión es una magnitud muy importante (dependiendo de ella cambiará o no el tiempo, hará más o menos frío y habrá mayor o menor posibilidad de lluvia) y suele medirse en bares (b) o milibares (mb), de modo que 1 b =100.000 Pa, aun-que también se usa el milímetro de mercurio (mmHg) que se mide directamente con un barómetro de mercurio, formado por un tubo de 1 metro de longitud con mercurio en su interior, siendo estas las equivalencias entre unas y otras unidades:

Pascal Atmósfera bar milibar mmHg 101.300 1 1,013 1.013 760

El paso de una unidad a otra se realiza como un caso más de múltiplos y submúltiplos. 1.5.1. LEY DE BOYLE-MARIOTTE Al aumentar el volumen de un gas, las moléculas que lo compo-nen se separarán entre sí y de las paredes del recipiente que lo contiene. Al estar más lejos, chocarán menos veces y, por lo tan-to, ejercerán menos presión (la presión disminuirá). Por el contrario, si disminuye el volumen de un gas, sus molécu-las se acercarán y chocarán más veces con el recipiente, por lo que aumentará la presión. Experimentalmente se puede compro-bar que, cuando se mantiene fija la temperatura, el producto de la presión del gas por el volumen que ocupa es constante. Si llamamos V0 y P0 al volumen y presión del gas antes de ser modificados y V y P a los valores modificados, ha de cumplirse:

oo VPVP ⋅=⋅



Esto se conoce como ley de Boyle y Mariotte, en honor a los químicos inglés y francés que lo descubrieron. El volumen y la presión iniciales y finales deben ex-presarse en las mismas unidades, de forma habitual el volumen en litros y la presión en atmósferas. Gracias a esta ley, conociendo tres de los cuatro valores, es posible de-terminar el cuarto. Ejemplo: calcula el volumen que ocupará cierta cantidad de gas a 1,5 atm de presión, sabiendo que, a la misma temperatura, ocupa 6 litros

cuando su presión es 1 atm. Aplicando la ley de Boyle-Mariotte, resulta: V0 = 6 L P0 = 1 atm P = 1140 mmHg = 1.5 atm

L41,5

1.6V

61V1,5

61V1,5

oVoPVP

==

⋅=⋅

⋅=⋅

⋅=⋅

⇒

Como la presión ha aumentado, el volumen tiene que disminuir. Si la presión disminuyera, el volumen aumentaría, ya que se comportan de forma inversa.

1.5.2. LEY DE CHARLES Y GAY-LUSSAC

Al aumentar la temperatura de un gas, sus moléculas se moverán más rápidas y no sólo chocarán más veces, sino que esos choques serán más intensos. Si el volumen no cam-bia, la presión aumentará. Si la temperatura disminuye las moléculas se moverán más lentas, los choques serán menos numerosos y menos fuertes por lo que la presión será más pequeña. Experimentalmente, Gay-Lussac y Charles, determinaron que, si se fija el volumen de una masa de gas, el cociente entre la presión y la temperatura, en la escala kelvin, permanece constante:

o

o

T

P

T

P =

Esta ley explica por qué la presión de las ruedas de un coche ha de medirse cuando el vehículo apenas ha circulado, ya que cuando recorre un camino, los neumáticos se ca-lientan y aumenta su presión. Ejemplo: calcula qué presión alcanza el aire de las ruedas de un coche tras circular du-rante cierto tiempo y calentarse hasta los 50ºC, si cuando estaba en reposo la presión era 1.9 atm a 20 ºC.

En primer lugar debemos expresar las temperaturas en la escala absoluta, para lo que sumaremos 273. Luego puede aplicarse la ley de Charles y Gay-Lussac (por-que el volumen del neumático se supone que permanece constante): T0 = 20 + 273 = 293 K T = 50 + 273 = 323 K P0 = 1.9 atm

atm2,095293

3231,9P

293

1,9

323

P

oT

oP

T

P=

⋅=⇒=⇒=

Si el recipiente puede agrandarse o encogerse, al aumentar la temperatura y producirse más choques, estos harán que el recipiente se expanda, por lo que el volumen de gas aumentará. Y por el contrario, si la temperatura disminuye, el volumen también disminuirá. Siempre que la presión no cambie.



Numéricamente, Gay-Lussac y Charles determinaron que el cociente entre el volumen de un gas y su temperatura, medida en la escala absoluta, permanece constante cuando se fija su presión:

o

o

T

V

T

V =

Ejemplo: calcula qué volumen tendrá un globo hinchado de aire que se mete en el conge-lador y se enfría a -20ºC, sabiendo que a 30ºC su volumen era 2 L.

En primer lugar debemos expresar las temperaturas de nuevo en la escala absolu-ta, para lo que sumaremos 273. Luego puede aplicarse la ley de Charles y Gay-Lussac (porque ahora es la presión la que permanece constante): T0 = 30 + 273 = 303 K T = -20 + 273 = 253 K V0 = 2 L

L1,67303

2532V

303

2

253

V

oT

oV

T

V=

⋅=⇒=⇒=

1.5.3. LEY GENERAL DE LOS GASES Las leyes de Boyle-Mariotte y de Charles y Gay-Lussac, relacionan la presión, el volumen y la temperatura de un gas de dos en dos, por parejas. Sin embargo, es posible deducir una ley que las incluya a las tres: la ley de los gases perfectos o ideales , llamada así porque se cumple totalmente cuando las presiones son relativamente bajas. Puede demostrarse, a partir de las tres leyes anteriores, que la ley general que las englo-ba a las tres, es la siguiente:

o

oo

T

VP

T

VP ⋅=⋅

Según esta ley, el producto de la presión, volumen y el inverso de la temperatura absoluta permanece constante en cualquier masa de gas. Se ha comprobado que 1 mol de cualquier gas ( 2310022,6 × moléculas) en condiciones normales (Po = 1 atm, To = 0ºC =273 K) ocupa un volumen Vo = 22,4 litros. Con estos da-tos, el término de la derecha de la anterior ecuación resulta ser un valor constante para cualquier gas y recibe el nombre de constante de los gases , KmolLatmR ·/·082,0= :

KmolLatmK

Latm

T

VPR

o

oo ·/·082,0273

4,22·1 =⋅=⋅

=

Como, evidentemente, la cantidad de gas influirá sobre la presión o el volumen, es fácil comprobar que para nmoles de gas la anterior ecuación puede escribirse de esta forma más sencilla (conocida como ecuación de los gases ideales ):

TRnVP ⋅⋅=⋅

Ejemplo: Un globo de feria se ha inflado hasta alcanzar 3 litros, a la presión de 1 atmós-fera y a la temperatura de 27 ºC. ¿Cuántos moles de gas habrá en el interior del globo?

Como siempre, lo primero será expresar la temperatura en la escala absoluta, para lo que sumaremos 273. Luego puede aplicarse la ley de los gases perfectos:: T= 20 + 273 = 293 K P = 1 atm V = 3 L moles0,12

24,026

3n

24,026n3

T0,082n31

TRnVP

==

⋅=

⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

⇒



2. LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS DE LA MATERIA En los siguientes apartados, vamos a ver en qué consisten y cómo se representan las reacciones o transformaciones químicas, así como algunas de las leyes que cumplen es-tas transformaciones. Es necesario aclarar que en nuestros días se explican de una forma relativamente fácil mediante la teoría atómica de la materia. Sin embargo, históricamente los conocimientos de química y las leyes por las que se rigen fueron completamente em-píricos y, precisamente para poder ser explicados, fue necesario aceptar que la materia está formada por pequeñas partículas llamadas átomos.

CAMBIOS FÍSICOS

Cortar leña Rotura de un plato Agua hirviendo

CAMBIOS QUÍMICOS

Vela encendida Leña quemándose Cadena con óxido Si doblamos o arrugamos un papel, cambia de aspecto pero sigue siendo papel. Decimos que es un cambio físico. Pero si lo quemamos, al final no queda papel: hay humo y ceni-zas. Es un cambio químico. En los cambios físicos , las sustancias mantienen su naturaleza y sus propiedades esen-ciales, es decir, siguen siendo las mismas sustancias, aunque cambien de aspecto.

Ejemplos de cambios físicos: cambios de estado (fusión, vaporización, condensa-ción, etc), rotura, mezcla.

En los cambios químicos , las sustancias iniciales se transforman en otras distintas, que tienen propiedades diferentes.

Ejemplos de cambios químicos: combustión de la madera, carbón o papel, oxida-ción de metales, fotosíntesis de las plantas.

2.1. LEYES DE LAS TRANSFORMACIONES QUÍMICAS La química se había limitado tradicionalmente a describir las reacciones químicas que se producían entre las distintas sustancias sin poner excesiva atención a otros aspectos, como las cantidades de sustancias que intervenían. En la segunda mitad del siglo XVIII, el químico francés Antoine de Lavoisier introdujo el uso sistemático de la balanza en el la-boratorio para determinar la masa de las sustancias que intervenían en las reacciones químicas. Este personaje (recaudador de impuestos en su época) afirmaba que “…hay que medir todo...,todo lo que entra y todo lo que sale…”. Al introducir este principio en el laboratorio revolucionó la forma de trabajar de los químicos y por ello se le considera el padre de la química moderna, pues dio pie al descubrimiento de una serie de leyes cuanti-



tativas que se cumplen en las transformaciones químicas, que acabarían siendo la de-mostración de la existencia de los átomos. Las leyes de las reacciones químicas son las siguientes: 1ª) Conservación de la masa (Ley de Lavoisier): en todo proceso quí-mico, la suma de la masa de todas las sustancias que intervienen per-manece constante en el transcurso de la misma. Ejemplo: Si quemamos 1 kg de leña, parece que esta ley no se cumple; sin embargo, si sumá-ramos al kg de leña la cantidad de oxígeno que se gasta al quemarla, coincidiría con la suma de la masa de las cenizas y la del humo produci-do (¡Ojo, que tiene masa!). 2ª) Proporciones definidas (Ley de Proust): Cuando dos o más sustan-cias reaccionan químicamente para dar un determinado producto, siem-pre lo hacen en una relación en masa constante. Ejemplo: Cuando el oxígeno y el hidrógeno reaccionan para dar agua, siempre lo hacen en una proporción en masa de 8 gramos de oxígeno por cada gramo de hidrógeno. 3ª) Proporciones múltiples (Ley de Dalton): Si dos o más sustancias pueden producir más de un producto de reacción, las proporciones en masa con las que reaccionan guardan relaciones numéricas sencillas (1:2, 2:3, ...). Ejemplo: siguiendo con el ejemplo del oxígeno y el hidró-geno, resulta que en ciertas condiciones pueden formar agua oxigenada, en cuyo caso, la proporción en masa con la que reaccionan es de 16 gramos de oxígeno por cada gramo de hidrógeno, es decir, ¡justo el do-ble que cuando se forma agua (proporción 2:1)! 4ª) Volúmenes de combinación (Ley de Gay-Lussac): Cuando en una reacción química intervienen sustancias en estado gaseoso, los volúmenes que reaccionan de éstas guar-dan una relación numérica sencilla cuando se miden en las mismas condiciones de pre-sión y temperatura. Ejemplo: En la reacción del oxígeno con el hidrógeno para dar agua, se observa experimentalmente que por cada litro de oxígeno reaccionan dos de hidrógeno (medidos a igual presión y temperatura). Para justificar por qué ocurre esto en las transformaciones químicas hay que aceptar que la materia está formada por átomos, de modo que cada tipo de átomo tiene una masa ca-racterística. En las transformaciones químicas los átomos se separan de los que están unidos antes de la transformación, y se unen entre sí de forma diferente, para dar lugar así a nuevas sustancias. Tal como veremos en este tema, al representar las transforma-ciones químicas habrá que tener en cuenta que en ellas nunca desaparece ningún átomo, simplemente cambian de compañeros. Por eso hay que ajustar las reacciones químicas. Estas ideas son las que incorporó John Dalton en 1803 cuando expuso su teoría atómica de la materia, recuperando una teoría a la que los griegos Leucipo y Demócrito fueron incapaces de aportar pruebas.



2.1. LA ECUACIÓN QUÍMICA. AJUSTE E INTERPRETACIÓN Una reacción química es un proceso en el cual una sustancia (o sustancias) se transfor-man y se forman una o más sustancias nuevas. Las ecuaciones químicas son el modo de representar a las reacciones químicas. De forma general, una ecuación química puede escribirse así:

REACTIVOS → PRODUCTOS Con esta representación se quiere indicar que antes de que ocurra la transformación quí-mica hay unas determinadas sustancias (los reactivos) , que se escriben a la izquierda de la flecha. Tras producirse la transformación, se destruyen los reactivos y aparecen nuevas sustancias (los productos de reacción ), que son los que se escriben a la derecha de la flecha. Ejemplo: el hidrógeno gaseoso (H2) puede reaccionar con oxígeno gaseoso (O2), formán-dose agua líquida (H20). La ecuación química para esta reacción se puede escribir:

hidrógeno gaseoso + oxígeno gaseoso → agua líquida El "+" se lee como "reacciona con"; la flecha significa "produce". Los reactivos son el hi-drógeno gaseoso (H2) y el oxígeno gaseoso (O2), mientras que el único producto de reac-ción es el agua líquida (H20). La ecuación química suele escribirse de manera más formal mediante fórmulas químicas para cada una de las sustancias que intervienen. En el caso anterior sería:

)(O2H(g)O(g)2H 222 l→+ Los números a la izquierda de cada fórmula se llaman coeficientes (el coeficiente 1 se omite) e indican el número de átomos o moléculas de cada sustancia que intervienen en el proceso. El estado físico de los reactivos y de los productos puede indicarse en la ecuación química mediante los símbolos (g), (l) y (s), para indicar los estados gaseoso, líquido y sólido, respectivamente. Ejemplo: para indicar que, cuando el trióxido de azufre gaseoso reacciona con agua líqui-da, para formar ácido sulfúrico disuelto en agua, se escribe:

)()()( 4223 acSOHlOHgSO →+ A veces puede ser muy importante indicar el estado de las sustancias que intervienen, ya que puede influir en si el proceso realmente ocurre o no, o si es necesario utilizar un tipo de recipiente u otro (un líquido se maneja más fácilmente en un matraz que un gas, ya que éste puede escapar en un recipiente abierto, ....). Así, para describir lo que sucede cuando se agrega cloruro de sodio (NaCl) al agua, se escribe:

)()()(2 acNaClsNaCllOH →+ En esta ecuación ac significa disolución acuosa, aunque de forma abreviada también puede escribirse de este otro modo (teniendo en cuenta que lo relevante del proceso es la disolución de la sal en agua que, por cierto, es una transformación física ):

)()( )(2 acNaClsNaCl lOH → Al escribir H2O sobre la flecha se indica el proceso físico de disolver una sustancia en agua, aunque algunas veces no se pone, para simplificar. El conocimiento del estado físico de los reactivos y productos es muy útil en el laboratorio, Por ejemplo, cuando reaccionan el bromuro de potasio (KBr ) y el nitrato de plata (AgNO 3) en medio acuoso se forma un sólido, el bromuro de plata (AgBr ):

)()()()( 33 acKNOsAgBracAgNOacKBr +→+



Si no se indican los estados físicos de los reactivos y productos, una persona no informa-da podría tratar de realizar la reacción al mezclar KBr sólido con AgNO 3 sólido, que reac-cionan muy lentamente o no reaccionan. Las ecuaciones químicas tienen una doble interpretación que las da un valor más impor-tante del que a primera vista puede parecer:

a) Interpretación microscópica (lo que ocurre entre átomos): los coeficientes repre-sentan el número de átomos o moléculas de cada sustancia que interviene como reactivo o como producto de la reacción.

b) Interpretación macroscópica (lo que podemos observar a simple vista, con canti-dades de sustancias medibles con aparatos de laboratorio, por ejemplo): los coefi-cientes representan el número de moles de cada una de las sustancias que inter-vienen en la reacción. Recuerda que un mol de sustancia es la cantidad de ésta que contiene el Número de Avogadro de átomos o moléculas (6,023·1023, una can-tidad imposible de contar directamente, pero muy fácil de obtener pesando las sus-tancias con la balanza, por ejemplo). Aunque el número anterior te parezca muy ra-ro, ten en cuenta que para los químicos es tan habitual como el uso de “docenas de huevos” en la venta de este producto.

En la siguiente reacción, el carbonilo de manganeso, Mn(CO)5, sufre una reacción de oxi-dación. Observa que el número de cada tipo de átomos es el mismo a cada lado de la reacción:

2225 1027)(2 COMnOOCOMn +→+ Microscópicamente , en esta reacción, 2 moléculas de Mn(CO)5 reaccionan con 7 molé-culas de O2 para dar 2 moléculas de MnO2 y 10 moléculas de CO2 Macroscópicamente , en la reacción anterior 2 moles de Mn(CO)5 (que son 390 gramos) reaccionan con 7 moles de O2 (224 gramos), para dar 2 moles de MnO2 (174 gramos) y 10 moles de CO2 (440 gramos). (Vemos que la suma de las masa de los reactivos coinci-de con las de los productos, 614 gramos). 2.3. TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS Las reacciones químicas pueden ser muy variadas y clasificarse según diversos criterios. Pondremos los ejemplos más significativos, si bien debe quedar claro que una misma reacción puede ser de varios tipos a la vez:

a) Reacciones de adición: ABBA →+ b) Reacciones de descomposición: BAAB +→ c) Reacciones de sustitución o desplazamiento: BACCAB +→+ d) Reacciones de doble sustitución: CBADCDAB +→+

Independientemente de los anteriores tipos, por la naturaleza de los reactivos, las reac-ciones más importantes son:

a) Ácido-base: hay intercambio de átomos de hidrógeno. Ejemplo: OHNaClNaOHHCl 2+→+

b) Redox: hay intercambio de electrones. Ejemplo: 2442 HCuSOSOHCu +→+

c) Combustión: reacción con oxígeno, liberando energía. Ejemplo: 22 COOC →+

d) Precipitación: se forma una sustancia sólida en el interior de una disolución. Ejemplo: )()()()( 33 acNaNOsAgClacNaClacAgNO +→+

e) Disolución: un sólido se disuelve. Ejemplo: )()()()()( 2223 lOHgCOacCaClacHClsCaCO ++→+



2.4. CÁLCULOS ESTEQUIOMÉTRICOS La estequiometría es la medida de las sustancias que intervienen en la reacción. O, di-cho de otro modo, las proporciones (en masa o volumen) con que reaccionan las sustan-cias. Los cálculos estequiométricos se hacen aprovechando las leyes de las reacciones químicas vistas antes: conservación de la masa, proporciones definidas, proporciones múltiples y volúmenes de combinación. Estas leyes se explican si se tiene en cuenta que las sustancias están formadas por áto-mos y éstos no se crean ni se destruyen durante una reacción química (sólo cambian de compañero). Entonces, el mismo conjunto de átomos está presente antes, durante y des-pués de la reacción. Los cambios que ocurren en una reacción química simplemente con-sisten en una reordenación de los átomos. Por lo tanto, para que una ecuación química esté correctamente escrita, ha de tener el mismo número de átomos de cada elemento a ambos lados de la flecha. Se dice enton-ces que la ecuación está ajustada.

2H2 + O2 → 2H2O

Reactivos Productos

4 átomos de H y 2 átomos de O = 4 átomos de H + 2 átomos de O

Pasos necesarios para ajustar una ecuación o reacción química :

1º) Se determina cuáles son los reactivos y los productos. 2º) Se escribe una ecuación no ajustada usando las fórmulas de los reactivos y de los productos. 3º) Se ajusta la reacción determinando los coeficientes que nos dan números iguales de cada tipo de átomo en cada lado de la flecha de reacción, generalmente números enteros. Para ello, nos vamos fijando en cada elemento químico por sepa-rado y tanteamos los números que hay que poner delante de cada sustancia que los contiene para que se iguale su número a ambos lados de la flecha de la ecua-ción. Matemáticamente puede hacerse también de forma general por el llamado “método de los coeficientes indeterminados” , consistente en resolver un siste-ma de tantas ecuaciones como coeficientes a calcular, aunque aquí no haremos uso del mismo (en el fondo es lo mismo que el método de tanteo que sí usaremos).

Ejemplo 1 : consideremos la reacción de combustión del metano gaseoso (CH4) en aire, formándose dióxido de carbono y agua.

1º) Sabemos que en esta reacción se consume (O2) y se produce agua (H2O) y dióxido de carbono (CO2). Luego, los reactivos son CH4 y O2, y los productos son H2O y CO2 2º) La ecuación química, sin ajustar, será: 2224 COOHOCH +→+ 3º) Ahora contamos los átomos de cada reactivo y de cada producto y los suma-mos:

• C: hay un átomo de carbono en los reactivos y otro en los productos, luego ya están ajustados.

• H: Hay cuatro átomos de hidrógeno en los reactivos y dos en los productos. Para igualarlos, es necesario poner dos moléculas de H2O, por lo que escri-bimos la ecuación así (provisionalmente): 2224 2 COOHOCH +→+



• O: En la ecuación anterior hay 2 átomos de oxígeno en los reactivos y 4 en los productos (2·1+2 = 4). Como los demás elementos ya están ajustados, bastará con poner dos moléculas diatómicas de oxígeno, para ajustar este elemento, quedando finalmente la ecuación química así:

2224 22 COOHOCH +→+ , que ya está ajustada, puesto que hay el mismo número de átomos de cada elemento antes y después de la flecha. Enton-ces, la ecuación la leeremos así: “Una molécula de metano reacciona con dos moléculas de oxígeno para producir dos moléculas agua y una molécula de dióxido de carbono”.

Cuando hablamos de una ecuación "ajustada" , queremos decir que debe haber el mis-mo número y tipo de átomos en los reactivos que en los productos. En la siguiente reacción, observa que hay el mismo número de cada tipo de átomos a ca-da lado de la reacción.

)(2)()()( 3322 acNaClsCaCOacCONaacCaCl +→+

Ejemplo 2: ajusta la siguiente ecuación: 622223 )( HBOHMgOHBMg +→+ 1º) Tenemos ya identificados reactivos (a la izquierda de la flecha) y productos (a la derecha). 2º) También tenemos escrita la ecuación sin ajustar (lo vemos con un simple vista-zo: hay 3 átomos de magnesio en los reactivos y uno en los productos). 3º) Vamos ajustando cada uno de los átomos:

• Mg: Hay 3 átomos de Mg a la izquierda y 1 a la derecha, luego se pone un coeficiente 3 al Mg(OH)2 a la derecha para ajustar los átomos de Mg:

• 622223 )(3 HBOHMgOHBMg +→+

• B: Hay 2 átomos de B a la izquierda y 2 a la derecha, luego el coeficiente del B2H6 será 1 (en realidad, dejamos la ecuación igual, ya que el coeficiente 1 no se escribe).

• O: Debido a los coeficientes que acabamos de poner, hay 6 átomos de O a la derecha, por lo que habrá que conseguirlos de 6 moléculas de H2O (es decir, el coeficiente del H2O será 6):

622223 )(36 HBOHMgOHBMg +→+

• H: el número de átomos de H resulta ya ajustado sin más. En otros casos, puede ser necesario volver al primer paso para encontrar otro coeficiente.

Si damos un repaso (mentalmente) a la última ecuación, vemos que ya está ajusta-da, ya que a los dos lados de la flecha hay el mismo número de átomos de cada elemento: 3 átomos de Mg, 2 de B, 12 de H y 6 de O.

2.3.1. AJUSTE DE REACCIONES DE COMBUSTIÓN DE COMPUE STOS ORGÁNICOS En este tipo de ecuaciones, los compuestos orgánicos (que contienen, al menos, carbono e hidrógeno) reaccionan con el oxígeno ( 2O ), formándose como productos los óxidos de los elementos que contiene el compuesto orgánico (normalmente 2CO y OH 2 , además de óxidos de otros elementos que contenga el compuesto orgánico). Estas reacciones suelen producir una gran cantidad de calor. A la hora de ajustarlas, hay que tener cuidado con el oxígeno porque, además de apare-cer como reactivo en forma de paquetes de dos átomos ( 2O ), puede estar también pre-sente en el propio compuesto orgánico (en alcoholes, éteres, ácidos, etc). Ejemplo 3: ajusta la reacción OHCOOOHC 222288 +→+



1) Para encontrar los coeficientes que ajustan la ecuación, suele ser más fácil si se elige una sustancia compleja, en este caso C8H8O2, asumiendo que tiene de coefi-ciente 1, y se ajustan todos los elementos a la vez. Hay 8 átomos de C a la izquier-da, luego se pone de coeficiente al CO2 8 a la derecha, para ajustar el C:

OHCOOOHC 222288 8 +→+ 2) Ahora se hace lo mismo para el H. Hay 8 átomos de H a la izquierda, luego se pone 4 como coeficiente del H2O en la derecha, para ajustar el H:

OHCOOOHC 222288 48 +→+ 3) El último elemento que tenemos que ajustar es el O. Debido a los coeficientes que acabamos de poner a la derecha de la ecuación, hay 16 átomos de O en el CO2 y 4 átomos de O en el H2O, dando un total de 20 átomos de O a la derecha (productos). Por tanto, podemos ajustar la ecuación poniendo el coeficiente 9 al O2 al lado izquierdo de la ecuación:

OHCOOOHC 222288 489 +→+ 4) Recuerda siempre contar el número y tipo de átomos a cada lado de la ecuación, para evitar cualquier error. En este caso, hay el mismo número de átomos de C, H, y O en los reactivos y en los productos: 8 C, 8 H, y 20 O.

Ejemplo 4: la dimetilhidrazina, 223)( NNHCH , se usó como combustible en el descenso

de la nave Apolo a la superficie lunar, utilizando 42ON como oxidante. Ajusta la reacción que se utilizó: 22242223)( NOHCOONNNHCH ++→+

1) Para encontrar los coeficientes que ajustan la ecuación, empezaremos por la sustancia más compleja, en este caso 223)( NNHCH , asumiendo que tiene 1 como coeficiente, y se van ajustando los elementos de uno en uno. Hay 2 átomos de C a la izquierda, por lo que se pone un coeficiente de 2 al CO2 en la derecha para ajus-tar los átomos de C:

22242223 2)( NOHCOONNNHCH ++→+ 2) Ahora, hacemos lo mismo con el H. Hay 8 átomos de H a la izquierda, de modo que se pone un coeficiente 4 al H2O a la derecha para ajustar los átomos de H:

22242223 42)( NOHCOONNNHCH ++→+ 3) Ajuste del O. Debido a los coeficientes que acabamos de poner, al lado izquierdo de la ecuación hay 4 átomos de O en el N2O4 y en el lado derecho hay 8 átomos de O en el H2O. Por tanto, podemos "ajustar" la los átomos de O en la ecuación po-niendo un coeficiente de 2 al N2O4 en el lado izquierdo de la ecuación:

22242223 422)( NOHCOONNNHCH ++→+ 4) El último elemento que debe ajustarse es el N. Hay 6 átomos de N en el lado iz-quierdo y 2 en el lado derecho. Por tanto, podemos "ajustar" la ecuación poniendo un coeficiente de 3 al N2 en el lado derecho:

22242223 3422)( NOHCOONNNHCH ++→+

2.3.2. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL AJUSTE DE REACCIONES QUÍMICAS Según la interpretación macroscópica de las ecuaciones químicas, los coeficientes que aparecen en ellas representan el número de moles de las sustancias que intervienen en la reacción. Así, en la reacción de obtención del amoniaco a partir de nitrógeno e hidrógeno moleculares, 322 23 NHHN →+ , podemos interpretar que cuando un mol de nitrógeno , 2N ,

reacciona con tres moles de hidrógeno, 2H , se forman dos moles de amoniaco, 3NH .



La relación estequiométrica en moles permite establecer la relación estequiométrica en masa , que posiblemente sea la que más interés práctico tiene, ya que permite reali-zar cálculos de cantidades medibles con la balanza , tanto de reactivos como de pro-ductos, ya se trate de procesos de laboratorio o industriales. Para obtener la relación estequiométrica en masa previamente hay que calcular la masa molar (la masa de un mol, que suele representarse con el símbolo M) de cada una de las sustancias que intervienen en la reacción: es muy sencillo, ya que basta con sumar las masas de todos los átomos que aparecen en la fórmula de la sustancia en cuestión. ¡Ojo!: cuando aparecen subíndices, quiere decir que el átomo que lo lleva se repite el nú-mero de veces que marca el subíndice (esto es válido también si aparecen paréntesis o corchetes en la fórmula). Las masas de los elementos químicos están tabuladas y basta buscarlas en una Tabla Periódica (donde suelen figurar las masas atómicas relativas, Ar, que representan la masa en gramos de un mol de átomos de cada elemento). Cuando la masa atómica se da en uma (unidad de masa atómica), se refiere a un átomo del elemento al que se refiere. La uma se define como la duodécima parte de la masa del átomo de carbono-12 (un isótopo del carbono con 6 protones y 6 neutrones en su núcleo), lo que equivale a decir que un átomo de carbono-12 tiene una masa de 12 uma, o que un mol de átomos de carbono-12 tienen una masa de 12 gramos. De lo dicho, podemos de-ducir a cuánto equivale la uma:

gg

umag

uma 242323

10·66,110·022,6

11

10·022,6

1212 −==⇒=

Esto último no es necesario memorizarlo. Únicamente justifica que la misma cantidad, según se exprese en uma o en gramos, se refiere a un átomo o a un mol de átomos, res-pectivamente. Por eso en las tablas de masas atómicas no se ponen unidades. Veamos algunos ejemplos de cómo se calcula la masa molar (M) de diferentes sustan-cias: Ejemplo (1): NH 3

Masas atómicas relativas: N: 14 H: 1 N: 1 átomo de N x 14 que es su masa atómica =14 H: 3 átomos de H x 1 que es su masa atómica= 3 M = 14 + 3 = 17 (un mol de NH3 tiene una masa de 17gramos y contiene 6,022.1023 moléculas de NH3) M = 17

Ejemplo (2): Ca CO3

Masas atómicas relativas: Ca: 40 C: 12 O: 16 M= 40 + 1 2 + 3x1 6 = 100; M = 100

Ejemplo (3): Fe2 O3

Masas atómicas relativas: Fe: 56 O: 16 M = 2x56 + 3x1 6 = 160; M = 160

Ejemplo (4): ¿cuántos moles de H2 SO4 hay en 200 gramos de dicho ácido?

Masas atómicas relativas: H: 1 O: 16 S: 32 M = 2x1+32+4x16 = 2+32+64 = 98 Solución :

M

mn = moles

gmolarmasa

gmasamolesn 04,2

)98(

)200()( ==



Ejemplo (5): ¿cuántos moles de NaOH hay en 80 gramos de dicha sustancia? Masas atómicas relativas: Na: 23 O: 16 H: 1 M = 23+16+1 = 40 Solución :

molesmolg

g

M

mn 2

/40

80 ===

Ejemplo (6): ¿cuántos moles de CH4 hay en 180 gramos de dicha sustancia?

Masas atómicas relativas: C: 12 H: 1 M = 12+4x1 = 16

Solución : 425,11/16

180CHdemoles

molg

g

M

mn ===

2.3.3. LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MASA O LEY DE LAVO ISIER Observa cómo si sumamos la masa total calculada para los reactivos y la calculada para los productos, obtenemos el mismo resultado:

OHSONaNaOHSOH 24242 22 +→+ 1 mol 2 moles 1 mol 2 moles

98 g 80 g 142 g 36 g 178 g 178 g

Este hecho, que no es más que la constatación de que se cumple la Ley de Conservación de la Masa o Ley de Lavoisier (la masa de los reactivos es igual a la masa de los produc-tos), puede servirte para comprobar si has realizado bien los cálculos a la hora de obtener la relación de estequiometría en masa. Ejemplo: ¿qué frase es falsa en relación con la siguiente reacción ajustada?

OHCOOCH 2224 22 +→+ (masas atómicas: C: 12.01, H: 1.008, O: 16.00). a) La reacción de 16,0 g de CH4 da 2 moles de agua. b) La reacción de 16,0 g de CH4 da 36,0 g de agua. c) La reacción de 32,0 g de O2 da 44,0 g de CO2. d) Una molécula de CH4 requiere 2 moléculas de oxígeno. e) Un mol de CH4 da 44.0 g de CO2

De la ecuación química ajustada deducimos lo siguiente (previo cálculo de masas mola-res):

OHCOOCH 2224 22 +→+ 1 mol 2 moles 1 mol 2 moles

16,042 g 64,00 g 44,01 g 36,032 g 80,042 g 80,042 g

Las respuestas son, pues:

a) VERDADERA: Un mol de CH4 da 2 moles de agua. Un mol de CH4 = 16,0 g. b) VERDADERA: Un mol de CH4 da 2 moles de agua. Un mol de CH4 = 16,0 g, y un mol de agua = 18,0 g. c) FALSA: 2 moles de O2 dan 1 mol de CO2. 2 moles de O2 = 64,0 g, pero 1 mol de CO2 = 44,0 g. d) VERDADERA: Un mol de moléculas de CH4 reacciona con 2 moles de molécu-las de oxígeno (O2), de modo que una molécula de CH4 reacciona con 1 molécula de oxígeno. e) VERDADERA: Un mol de CH4 da 1 mol de CO4. Un mol de CH4 = 16.0 g, y un mol de CO2 = 44.0 g.



3. CIENCIA, TECNOLOGÍA Y SOCIEDAD Posiblemente tendrás una idea más o menos acertada de lo que es y para lo que sirve la ciencia (y la química en particular), aunque seguro que la asociarás a aspectos positivos, como la obtención de medicinas o pócimas mágicas, pero con muchos aspectos negati-vos, como la contaminación del medioambiente o los alimentos poco saludables. Muy probablemente considerarás que es una actividad un tanto rara, exclusiva de científicos sospechosos, etc. Aunque algo hay de cierto en todo lo anterior, no debemos dejarnos llevar por los tópicos, ya que la química ha sido siempre una actividad muy próxima a las actividades cotidianas: desde que se descubrió y dominó el fuego hasta nuestros días, ha sido la responsable del uso de técnicas de momificación, de obtención de pigmentos y metales o de conservación de alimentos; ha permitido fabricar nuevos materiales no existentes en la naturaleza y, todo ello, ha condicionado el desarrollo de los acontecimientos históricos y el avance de la civilización. Para ser conscientes de lo anterior, pensemos en lo que pudo suponer en su momento el uso de armas de metal frente a lanzas de madera o, posteriormente, el uso de espadas de acero en lugar de las de bronce. En nuestros días, el descubrimiento de los antibióticos o de fibras sintéticas han sido una auténtica revolución en nuestras vidas. No debemos olvidar, no obstante, que cada uno de los avances tecnológicos señalados responde de algún modo a la demanda de la sociedad de cada momento, por lo que se comprende que química y sociedad han evolucionado simultáneamente y con mutua dependencia. 3.1. LA INDUSTRIA QUÍMICA BÁSICA Al abordar la influencia de la Química en la actualidad, cabe destacar que algunos de los materiales producidos en gran cantidad son esenciales para poder conseguir otros mu-chos. Por eso cabe hablar de una industria química básica que es capaz de proporcionar metales y reactivos que se usan de forma generalizada en la obtención de materiales más concretos. En este sentido, la metalurgia y la obtención de ácido sulfúrico y amoniaco pueden ser consideradas industria química básica. No podríamos imaginar el mundo moderno sin metales, ya que entran en la composición de miles de aparatos e instrumentos que empleamos normalmente y la electricidad llega a nuestros hogares a través de ellos. La metalurgia es el conjunto de técnicas para la extracción, tratamiento y obtención de metales, podemos ampliar la definición a las técnicas empleadas para la consecución de materias minerales extraídas por minería. La metalurgia consta de dos procesos: concentración y refinado.

a) Concentración: consiste en separar el mineral rico en el metal, que se conoce como mena, del resto de minerales y rocas que lo acompañan en la mina, la gan-ga. Aunque existen diversos métodos de concentración, como el empleo de imanes para minerales férricos, o la amalgamación con mercurio para la obtención de metales preciosos, la flotación sigue siendo un pro-ceso muy importante y empleado. Normal-mente los sólidos no flotan en el agua, así que se añaden a ésta sustancias que favo-recen la flotabilidad, especialmente deter-gentes que forman espumas y que arrastran hacia la superficie los sólidos y los se-paran. Este método es muy empleado en minería para separar la mena , el mineral



del que se va a obtener el metal de interés, de la ganga , el mineral que acompaña a la mena y que carece de utilidad. Como la ganga normalmente es menos densa que la mena, al añadir detergentes al agua se consigue que flote, dejando la mena en el fondo. Después, claro, habrá que proceder al secado de la mena. A veces no es necesario conseguir la flotación completa, basta con que sea factible arrastrar la ganga. Eso es lo que ocurre en la minería de oro que se ve en las películas de va-queros. Como el oro es mucho más pesado que la arena, el agua no puede arras-trar sus pepitas, mientras que sí lo hace con la arena y así se separan.

b) Refinado : es el conjunto de procesos por el que la mena, ya separada de la ganga, es tratada para obtener el metal puro o casi puro. Existen muchos procesos para realizar esta tarea, pero el más común, para la obtención de hierro, sigue siendo el tratamiento de la mena en las fundiciones o altos hornos.

El ácido sulfúrico ( 2 4H SO ) es un ácido fuerte, muy corrosivo, líquido, soluble en agua, que hierve a 340 ºC y se congela a 10.8 ºC, llamado antiguamente aceite de vitriolo, tiene múltiples aplicaciones en el laboratorio y en la industria, hasta tal punto que el consumo de ácido sulfúrico puede considerarse un índice de la riqueza industrial de una nación. En la industria se emplea para la fabricación de abonos, de superfosfatos, de detergentes, de fibras sintéticas, pinturas, baterías de automóviles, refinado de metales y de petróleo etc. Existen dos métodos para la obtención de ácido sulfúrico, ambos parten de azufre ( 8S ) o

pirita( 2Fe S): a) Método de las cámaras de plomo : El azufre

o la pirita se queman en grandes torres de ladrillo recubiertas interiormente con plomo. La combustión produce dióxido de azufre que en el aire reacciona con oxígeno, óxidos de nitrógeno y vapor de agua, produciendo goti-tas de ácido sulfúrico que caen al fondo de las torres. Los óxidos de nitrógeno se recuperan de los gases y se reintroducen en las cámaras de plomo. El 2 4H SO así obtenido es una disolución al 65% en agua. Este método cada vez es menos empleado.

b) Método de contacto: La combustión de la pirita o el azufre en un horno produce dióxido de azufre. Este dióxido de azufre se hace pasar a unas cámaras donde se oxida con aire y un catalizador a 400 ºC para obtener trióxido de azufre, que se di-suelve en agua con ácido sulfúrico. Dependiendo de la cantidad de agua y ácido sulfúrico que se añade al trióxido de azufre se obtiene ácido sulfúrico de distinta concentración. Normalmente se emplean dos catalizadores, uno, más barato, de óxido de vanadio y después otro más caro y efectivo, normalmente platino. Este es el método más empleado en la actualidad.

4223

322

228

SOHOHSO

2SOO2SO

8SO8OS

→+→+

→+

El amoniaco ( 3NH ) es un gas de olor picante, que hierve a -33 ºC y congela a -78 ºC. Normalmente se encuentra en disolución acuosa al 30 o 40 %. Aunque es conocido en los hogares por emplearse su disolución, que es fuertemente alcalina, en la limpieza domésti-ca, sus aplicaciones industriales lo hacen un componente básico en la industria. Se em-plea fundamentalmente como fertilizante , bien puro o bien en forma de urea, o para la obtención de ácido nítrico ( 3HNO ). Para la obtención del ácido nítrico se necesita, ade-



más de amoniaco, ácido sulfúrico. El ácido nítrico es empleado también como fertilizante y en la fabricación de explosivos. El amoniaco se obtiene in-dustrialmente mediante el método de Bosch - Haber , en el que se mezclan nitró-geno e hidrógeno, a más de 200 atm de presión y 200 ºC de temperatura, en presen-cia de un catalizador que contiene hierro. 3.2. QUÍMICA FARMACEÚTICA E INGENIERÍA GENÉTICA La química farmacéutica es un campo de la química que más prestigio le ha proporcio-nado. La obtención de nuevos medicamentos ha permitido evitar millones de muertes y mejorar la calidad de vida de la población. Sin embargo, el uso de patentes y otros tipos de intereses comerciales, oscurecen en cierta medida los logros alcanzados. Los medicamentos son sustancias que se emplean para prevenir, combatir o disminuir los efectos de las enfermedades. Pueden ser éticos o de prescripción, que sólo se pueden obtener mediante una receta médica, o de propiedad, patentados y empleados contra pe-queñas dolencias, que no necesitan de receta médica. Aunque la mayoría de los medica-mentos son de origen vegetal o animal, algunos son de origen mineral e, incluso algunos de los que en principio tuvieron su origen en plantas o animales, hoy día se sintetizan por métodos químicos. Entre los medicamentos más importantes producidos químicamente cabe destacar la as-pirina, ácido acetilsalicílico, que se obtenía a partir del ácido salicílico, presente en la cor-teza del sauce y de efectos analgésicos, antipiréticos y anticoagulantes muy marcados. Las propiedades preventivas de la aspirina aún se están descubriendo, siendo recomen-dada para la prevención de infartos, algunos tipos de cáncer y la ceguera por diabetes y cataratas. Mención especial merecen las sulfamidas, los primeros antibióticos conocidos que, aun-que desplazados por los derivados de la penicilina por tener más efectos secundarios que ésta, todavía se emplean en cepas bacterianas resistentes a la penicilina. La ingeniería genética permite la alteración del material genético de un organismo, bien añadiendo bien quitando porciones al ADN del núcleo celular. La manipulación genética ha permitido, en el campo de la agricultura, la obtención de nuevos cultivos más resisten-tes a las plagas y enfermedades o con menores necesidades en cuanto a suelos o agua de riego, aumentando espectacularmente la producción de las cosechas y disminuyendo las necesidades de empleo de plaguicidas, con el consiguiente beneficio económico. Pero es en el campo de la medicina y la producción de medicamentos donde ha encontrado su mayor aplicación. La mayoría de los medicamentos son sustancias con moléculas complejas de difícil sínte-sis química. Para obtenerlos, se debían purificar de las fuentes animales o vegetales que las producían. Así, la insulina, indispensable para los diabéticos, debía obtenerse a partir del páncreas de animales superiores, lo que restringía en gran medida su disponibilidad y lo encarecía enormemente. Gracias a la ingeniería genética se ha conseguido que ciertas bacterias produzcan insulina en gran cantidad y bajo precio, mejorando el suministro de insulina a los diabéticos y abaratando su coste. Además de emplearse cada vez más para la producción de medicamentos, se esperan grandes avances en el tratamiento de ciertas enfermedades y en la elaboración de vacunas.



3.3. LA INDUSTRIA PETROQUÍMICA El petróleo no sólo es una fuente de energía, sino que sus derivados tienen cada vez más usos en la vida moderna. Además de combustibles, del petróleo se obtienen fibras, plásti-cos, detergentes, medicamentos, colorantes y una amplia gama de productos de múltiples usos. Las fibras están formadas por moléculas de estructura alargada que forman largas cade-nas muy estrechas que se enlazan unas con otras hasta formar hilos de un grosor inferior a 0.05 cm. Pueden ser de origen animal, como la lana o la seda, de origen vegetal, como el lino o el algodón, de origen mineral, como la fibra de vidrio o los hilos metálicos (que suelen llevar un núcleo de algodón) o de origen sintético, la mayoría de las cuales se ob-tienen a partir del petróleo. La primera fibra sintética obtenida del petróleo fue el nailon , desarrollado en 1938 como sustituto de la seda (y durante la segunda guerra mundial se empleó en la elaboración de paracaídas) y que aún se emplea en la elaboración de prendas de vestir. Pero pronto apa-recieron otras fibras sintéticas como el poliéster , la lycra o las fibras acrílicas . Aunque la mayor parte de la producción de fibras derivadas del petróleo se emplea para elaborar tejidos y prendas de vestir, una parte significativa se ha desarrollado con fines específicos, como aislantes térmicos para los astronautas, tejidos antibalas para soldados y policías o trajes ignífugos para bomberos, y después han pasado a su uso en prendas de vestir cotidianas. Los plásticos tienen una estructura molecular similar a las fibras, sólo que en su produc-ción se permite que las largas cadenas que constituyen las moléculas se entremezclen, formando láminas, en lugar de hilos. Pueden ser de origen natural, como el hule o el cau-cho, pero los más importantes son los sintéticos, derivados del petróleo. Los plásticos pueden moldearse con facilidad, son muy resistentes al ataque de productos químicos, impermeables, aislantes térmicos y eléctricos, y tenaces. Todas estas propiedades los hacen muy útiles en la elaboración de recipientes, aislantes de cables eléctricos o para asas de utensilios de cocina. Existen cientos de plásticos de características específicas y desarrollados para usos parti-culares, pero muchos son muy corrientes. Entre estos, cabe destacar el PVC y el teflón.

- El PVC (policloruro de vinilo) es un derivado del cloruro de vinilo (CH2=CHCl). Se caracteriza por su rigidez, además de ser impermeable y resistente a los agentes químicos, lo que lo hace ideal para la fabricación de tuberías, láminas y recubri-miento de suelos. Añadiéndole un plastificador, normalmente poliéster, se vuelve flexible, empleándose entonces como aislante en tendidos eléctricos y para fabricar envases de alimentos.

- El teflón (politetrafluoretileno) es un derivado del tetrafluoretileno (CF2=CF2) muy resistente al calor, a la humedad y a los agentes químicos. Desarrollado inicialmen-te para la industria aeronáutica, sus propiedades lo han generalizado como recu-brimiento en utensilios de cocina antiadherentes, de fácil limpieza.

Los detergentes o surfactantes son moléculas relativamente largas uno de cuyos extre-mos es soluble en agua y el otro soluble en grasas. En agua forman pequeñas micelas, esferas con la parte hidrófila hacia el exterior y con la parte hidrófoba en el interior de la esfera. Es en este interior donde se sitúan las grasas y se eliminan de las superficies y tejidos, consiguiendo la limpieza. Los jabones son agentes surfactantes de origen natural, obtenidos a partir de aceites y grasas animales y vegetales. Cuando en la segunda guerra mundial se produjo una esca-sez de grasas para fabricar jabón, se desarrollaron los primeros detergentes, derivados del benceno. Estos primeros detergentes no se descomponían con facilidad, permane-ciendo durante años en las aguas empleadas en el lavado. En la actualidad los detergen-tes empleados son biodegradables, de forma que los microorganismos los descomponen



en poco tiempo, no contaminando las aguas. Puesto que el calcio en el agua disminuye las propiedades de los detergentes, estos suelen ir acompañados de agentes que elimi-nan el calcio, así como de espumantes, que son detergentes que, sin gran capacidad de limpieza, sí producen mucha espuma. Los detergentes empleados en la limpieza de vaji-llas suelen llevar protectores de la piel. Finalmente, hay que señalar que los detergentes no sólo se usan como productos de lim-pieza, ya que en la minería sirven para facilitar la flotación de ganga o mena y separar el mineral útil de las rocas que lo acompañan. Además de para la obtención de fibras, plásticos, detergentes, colorantes... del petróleo se extraen la mayor parte de los combustibles empleados en el transporte moderno y en la obtención de energía eléctrica. Formado a partir de plantas y microorganismos marinos primitivos, el petróleo se encuentra, junto con el gas natural, en yacimientos subterráneos. Es una mezcla compleja de hidrocarburos (compuestos de carbono e hidrógeno) que, an-tes de emplearse industrialmente, es refinado, proceso que consiste en una destilación para separar los distintos componentes que lo forman.

Una vez separados los distintos componentes del petróleo, se destinan a las distintas in-dustrias petroquímicas y, una parte muy importante, se convierte en combustibles como la gasolina y el gasóleo que se emplean no sólo como combustibles en los vehículos de combustión interna, automóviles, barcos o aviones, sino en las centrales térmicas, para la obtención de la electricidad. Así, de un barril de petróleo, que contiene 159 litros, se ob-tienen unos 115 litros de combustibles. El asfalto es el componente residual del refinado del petróleo, empleándose como imper-meabilizante y para la construcción de carreteras.



3.4. TIC, INNOVACIÓN Y DESARROLLO

Uno de los actuales paradigmas en el actual sistema de pro-ducción industrial es el continuo avance de la tecnología en todos los sectores, que va necesariamente asociado al uso de las llamadas TIC (Tecnologías de la Información y la Co-municación), es decir, herramientas asociadas al manejo de enormes cantidades de información que son procesadas con dispositivos basados en el uso de materiales semiconducto-res cada vez de una mayor eficiencia. Electrodomésticos, vehículos o teléfonos inteligentes son la consecuencia de la revolución tecnológica en curso.

En el entorno de la investigación científica un ejemplo del impulso del uso de las TIC pue-de ser el Proyecto Genoma Humano planteado en 1988 para lograr descifrar la secuencia de bases nitrogenadas del ADN humano. Aunque el reto se planteó para ser alcanzado en 15 años, la incorporación de dispositivos electrónicos más eficientes permitió lograr el ob-jetivo en 2001, hasta el punto de que en la actualidad nos beneficiamos de procedimien-tos analíticos rutinarios basados en pruebas de ADN para diagnóstico médico o en crimi-nología. Pero para llegar a este punto, la ciencia ha puesto a dis-posición de la sociedad un enorme potencial de conoci-miento y ésta ha aportado los recursos necesarios para ampliar los conocimientos. Es lo que se conoce como I+D+I, es decir, investigación, el desarrollo y la innova-ción, que es una filosofía de trabajo que se plasma en planes para invertir fondos dedicados a la investigación científica-técnica tanto desde instituciones públicas (universidades y centros de investiga-ción), como desde empresas privadas para fomentar la renovación tecnológica y, con ella, la mejora económica, tanto de las empresas, como del conjunto de la sociedad. Organismos públicos como el CSIC (Consejo Superior de Investigaciones Científicas), o el CIEMAT (Centro de Investigaciones Energéticas, Medioambientales y Tecnológicas) son claros ejemplos del impulso a la investigación en España. La contribución de la química en este proceso es esencial en la obtención y mejora de nuevos materiales que se van incorporando en otros campos. Pensemos en los semicon-ductores, la fibra óptica y la fibra de carbono, o en el grafeno y materiales superconducto-res que, una vez incorporados en los dispositivos de producción, revierten sus beneficios técnicos en más mejoras. Centrándonos en las industrias químicas vistas en este tema es indudable que la innova-ción y el desarrollo son la clave de su éxito:

Industria química básica: la mejora en la eficiencia en la producción en las plan-tas químicas, con un mayor grado de tecnificación, automatización y monitoriza-ción, que aparte de lograr mejores rendimientos en la obtención de las correspon-dientes sustancias, evitan accidentes y vertidos contaminantes.

Industria farmacéutica: la obtención de medicamentos más eficaces y personali-zados, para las características de cada paciente, muy relacionado con la investiga-ción sobre terapias génicas.

Industria petroquímica: la mejora en las técnicas extractivas y el diseño de com-bustibles que aportan rendimientos mayores y menos contaminantes. Se puede considerar tecnología puntera en el campo de la innovación, el desarrollo y la inno-vación.

TEMA 4: EVOLUCIÓN DE LA VIDA MÓDULO CUATRO


1. LA CÉLULA 1.1. LA CELULA PROCARIOTA 1.2. LA CÉLULA EUCARIOTA 1.3. LOS PROCESOS DE DIVISIÓN CELULAR

1.3.1. MITOSIS 1.3.2. MEIOSIS

2. EL ADN Y LA HERENCIA GENÉTICA 2.1. ESTRUCTURA DEL ADN 2.2. UN POCO DE HISTORIA 2.3. LAS LEYES DE LA HERENCIA 2.4. HERENCIA DEL SEXO

3. GENÉTICA Y SOCIEDAD 3.1. EL PROYECTO GENOMA HUMANO (PGH) 3.2. BIOTECNOLOGÍA Y MANIPULACIÓN GENÉTICA 3.3. CLONACIÓN

4. LA EVOLUCIÓN DE LOS SERES VIVOS 4.1. LA EVOLUCIÓN DE LAS ESPECIES 4.2. LA EVOLUCIÓN VISTA POR DARWIN 4.3. LA EVOLUCIÓN HUMANA

MÓDULO CUATRO TEMA 4: EVOLUCIÓN DE LA VIDA


1. LA CÉLULA

Recordemos que, según la teoría celular, todos los seres vivos estamos formados por unidades estructurales de vida llamadas células, capaces de realizar por sí mismas las funciones básicas de todo ser vivo (funciones vitales): nutrición, relación y reproducción.

La célula es la parte más pequeña de todo ser vivo que tiene vida propia. Tam-bién se la define como la unidad anatómica y fisiológica de todo ser vivo.

Las células pueden ser muy variadas, tanto en tamaño (suelen ser microscópicas, pero las hay de gran tamaño, como un huevo de avestruz o neuronas de varios metros de lon-gitud), como en forma (la forma característica es la esférica, pero, según la función que realizan, pueden ser planas, como las células de la piel, o alargadas, como las muscula-res), estructura (pueden ser eucariotas , si en su interior se aprecia un núcleo diferencia-do que contiene el material genético, o procariotas , si carecen de él), funcionamiento (pueden ser autótrofas , si son capaces de fabricarse sus propios nutrientes a partir de sustancias inorgánicas, como las de las plantas, o heterótrofas , si tienen que nutrirse a partir de otros seres vivos, como las de los animales) y organización (pueden encontrar-se aisladas, constituyendo en sí mismas seres vivos unicelulares , o pueden especializar-se y agruparse en tejidos, órganos aparatos e individuos pluricelulares ). En el interior de las células, por sencillas que sean, pueden apreciarse una serie de com-ponentes que se describen a continuación. 1.1. LA CÉLULA PROCARIOTA

La célula procariota es más primitiva, por lo que también es la más sencilla. Se caracteriza por no poseer un núcleo diferenciado rodeado de una membra-na, de manera que el material genético (ADN) se encuentra disperso por el citoplasma. Prácticamente todos los organismos basados en células procariotas son unicelulares. El ejemplo más claro de células proca-riotas son las bacterias. El único tipo de orgánulos que poseen son los ribo-somas. 1.2. LA CÉLULA EUCARIOTA

La mayoría de los seres vivos que conoces (animales y plantas especialmente) están for-mados por células eucariota, es decir, que en su interior tienen un núcleo rodeado por una membrana que protege el ADN. En estas células se distinguen tres partes claramente di-ferenciadas membrana, citoplasma y núcleo .

Membrana celular o plasmática: es una capa que rodea la célula, separándola del medio que la rodea, y regula el intercambio de sustancias entre el interior y el exterior de la misma. Presenta una serie de poros que permiten realizar dicho in-tercambio. En las células vegetales, además de la membrana existe una pared de celulosa que les da una mayor consistencia.



Citoplasma: es el medio interno de la célula, donde tiene lugar el metabolismo ce-lular. En el citoplasma, los alimentos que recibe la célula se convierten en energía y en materiales útiles para la propia célula. En su interior se encuentran muchos elementos llamados orgánulos (órganos pequeños) y estructuras membranosas: o Mitocondrias: realizan la respiración celular, transformando la materia orgánica

en la energía que la célula necesita para realizar todas sus funciones. o Centríolos: son unas estructuras con forma cilíndrica que intervienen en la divi-

sión celular de las células animales. o Ribosomas: son los que realizan la síntesis de las proteínas según las órdenes

que reciben de los ácidos nucleicos. Podríamos decir que son las fábricas de proteínas de las células.

o Aparato de golgi: son cavidades planas próximas al núcleo, sirven de almacén de la célula.

o Retículo endoplasmático: distribuye, recoge, almacena y transporta las pro-teínas fabricadas en los ribosomas. También fabrica lípidos y construye la membrana nuclear.

o Lisosomas: intervienen en el proceso digestivo de la célula. o Vacuolas: acumulan sustancias de reserva o de desecho. o Plastos: sólo existen en los vegetales, en las plantas verdes. En las células ve-

getales se encuentran los cloroplastos que contienen una sustancia, la clorofila, que es capaz de transformar la energía de la luz solar en energía química. Este proceso recibe el nombre de fotosíntesis, y consiste en la transformación de materia inorgánica (agua, dióxido de carbono y sales minerales) en materia or-gánica (hidratos de carbono).

Núcleo: se encuentra en el interior de la célula y es, generalmente, de forma esfé-rica. En él se encuentran los caracteres hereditarios y, además, dirige toda la acti-vidad que tiene lugar en el citoplasma. En el núcleo podemos distinguir: o Membrana nuclear: es la que envuelve al núcleo y lo separa del citoplasma. o Cromosomas: son estructuras individuales que existen en el núcleo de la célu-

la y que son portadores del patrimonio genético del individuo a través del ADN (ácido desoxirribonucleico).

o Nucleolos: contienen ARN (ácido ribonucleico) que es el que interviene en la fabricación de las proteínas.



1.3. LOS PROCESOS DE DIVISIÓN CELULAR A escala celular, la función de reproducción está asociada a la división celular, que puede ocurrir por mitosis y por meiosis. La mitosis da lugar a células genéticamente idénticas a las originales, mientras que en la meiosis se obtienen células con la mitad de la informa-ción genética que las originales. Hay que tener en cuenta que en seres vivos pluricelulares, la mitosis de sus células puede servir para el desarrollo embrionario, para la renovación de tejidos o para el crecimiento; la meiosis, sin embargo, tiene por finalidad exclusiva la formación de células sexuales, también llamadas gametos. 1.3.1. LA MITOSIS Es un proceso de división celular, propio de las células eucariotas, mediante el cual una célula da lugar a dos células hijas con la misma información genética. Es un tipo de divi-sión asexual (no hay mezcla de material genético de dos células distintas) necesaria para:

• Reproducción de muchos seres unicelulares. • Desarrollo y crecimiento de organismos pluricelulares.

Cada mitosis está precedida por una interfa-se, durante la cual el ADN de los cromosomas se duplica, quedando formado cada cromoso-ma por dos cromátidas, lo que asegura que las dos células hijas obtengan exactamente la misma información genética de la célula de la que proceden. La mitosis consta de 4 fases:

Profase : Durante esta fase el centríolo de la célula se duplica y cada uno se di-rige a uno de los polos de la célula, la membrana nuclear se desintegra, los cromosomas se condensan y hacen vi-sibles sus estructuras dobles. Se co-mienza a formar el huso acromático.

Metafase : Aparece el huso acromático. Los cromosomas se dirigen hacia el plano ecuatorial de la célula, uniéndose cada uno a un filamento del huso acro-mático.

Anafase : Las cromátidas son divididas y dirigidas por el huso acromático hacia los polos opuestos de la célula.

Telofase : Llegan los cromosomas a los polos, se forma la membrana nuclear alrededor de los cromosomas. Los cro-mosomas de dilatan y ya no se pueden distinguir entre sí. La célula empieza mostrar en la membrana celular sínto-mas de división.

Tras el proceso de mitosis se produce la cito-cinesis : el citoplasma de la célula se divide de forma igual entre las células hijas, la membrana celular se divide y resultan dos células genéticamente iguales y con la mitad del material.



1.3.2. LA MEIOSIS La meiosis es un proceso básico en la reproducción sexual, que se produce para dar lu-gar a las células reproductoras o gametos . Consiste en dos divisiones celulares consecu-tivas. Mediante la meiosis, una célula diploide (con N pares de cromosomas, es decir, con 2N cromosomas en su núcleo), dará lugar a cuatro células haploides (con la mitad de cromo-somas, N), llamadas gametos (óvulos o espermatozoides). En la especie humana N=23, por lo que nuestras células somáticas tienen 46 cromosomas, mientras que nuestros ga-metos disponen de 23. Los cromosomas de cada par son homólogos (es decir, tienen los mismos genes) pero no exactamente iguales. Uno procede del padre y otro de la madre.

• Al inicio de la meiosis se produce lo que llamamos la recombinación de los cro-mosomas homólogos, que consiste en que algunos genes del cromosoma proce-dente del padre pasan al de la madre y viceversa. Este proceso es la clave de la reproducción sexual , ya que permite que los hijos sean diferentes a los padres.

• Después de la recombinación, la célula se divide por primera vez y los cromoso-mas homólogos se separan, quedando cada célula con la mitad de cromosomas (N).

• A continuación, se produce una segunda división de cada célula, muy parecida a la mitosis (las dos cromátidas de cada cromosoma se separan) con lo que resultarán cuatro células (gametos) con N cromátidas cada una. Cada cromátida dará lugar al correspondiente cromosoma completo.



2. EL ADN Y LA HERENCIA GENÉTICA Hoy en día sabemos que la información que las células necesitan para saber cómo orga-nizarse o para fabricar sus proteínas se encuentra escrita en clave química en una molé-cula llamada ADN (ácido desoxirribonucleico), cuya estructura es idéntica en todos los seres vivos conocidos ya sean procariotas, eucariotas, unicelulares o pluricelulares. En las células eucariotas, el ADN está contenido en los cromosomas de su núcleo, que sólo son visibles al microscopio cuando la célula está en división (mitosis o meiosis); du-rante la interfase, los cromosomas se encuentran en forma de finos filamentos llamados cromatina. Ambos, cromosomas y cromatina, están formados por ADN y proteínas. 2.1. ESTRUCTURA DEL ADN El ADN está formado por la unión de pequeñas moléculas llamadas nucleótidos , forma-dos por un azúcar (la desoxirribosa), ácido fosfórico y una base nitrogenada, que es una molécula con nitrógeno. En el ADN de todos los seres vivos sólo puede haber cuatro tipos de bases nitrogenadas: Adenina (A), Guanina ( G), Citosina (C) y Timina (T).

Por tanto, puede haber cuatro posibles nucleótidos que se unen entre sí a través del fosfato, dando lugar a una cadena en la que se van alternando las bases nitroge-nadas según una determinada secuencia. Las bases nitrogenadas tienen la particularidad de que son compatibles dos a dos, de modo que la Adenina es capaz de unirse con la Timina y la Guanina con la Cito-sina. Así es como en el ADN permiten formar una es-tructura de doble cadena, similar a una escalera, en la que las bases hacen la función de peldaños al quedar enfrentadas según el criterio de complementariedad:

A====T C====G A====T G====C T====A G====C A====T C====G

Como siempre se emparejan las bases con el mismo criterio (A-T, C-G), conociendo la secuencia de bases de una hilera se puede saber la otra. Este esquema representaría un fragmento de ADN, y es la materia que constituye los lla-mados genes . Cada gen, pues, contiene una determinada secuencia de bases nitrogena-das (....ACAGTGAC...) con información para fabricar cierta proteína y un cromosoma, por tanto, se puede considerar como un conjunto de genes. Un carácter del ser vivo puede ser determinado por uno o varios genes. Por ejemplo, hay genes que determinan el color del pelo, el color de los ojos….



La secuencia de bases nitrogenadas en la cadena de ADN contiene una información es-crita en clave química, que de-termina cómo tienen que fabri-carse cada una de las proteí-nas de un ser vivo. En el caso del ser humano, cada una de nuestras células contiene 23 pares de molécu-las de ADN “empaquetadas” en unas “cajas” que conocemos como cromosomas . Un cromosoma mitótico está formado por dos brazos llama-dos cromátidas , que son ca-denas iguales de ADN, es de-cir, con los mismos genes. En realidad el cromosoma se parece, al microscopio, a una madeja de hilo. Si pudiése-mos desenmarañarla, veríamos cómo cada trocito contiene la información de un rasgo hereditario que determina nuestro aspecto. En cada par de cromosomas hay una media de 4.000 genes . En la mayor parte de las especies, como las de las plantas y animales superiores, cada individuo tiene un conjunto de genes heredados de sus dos progenitores. Para un solo carácter, el individuo tiene dos genes: el que procede del padre y el que ha heredado de su madre. Los dos genes que informan de una misma característica (como el color del pelo) se llaman genes alelos . Por otro lado, cada molécula de ADN está formada por dos cadenas enrolladas una sobre la otra, de forma similar a una escalera de caracol. Es lo que se conoce como estructura de doble hélice , que se explica por la unión entre las bases nitrogenadas de las dos ca-denas siguiendo el criterio de complementariedad ya señalado (A-T, C-G).

2.2. UN POCO DE HISTORIA Durante muchos años, la genética se dedicó a estudiar los mecanismos de la herencia, a tratar de esclarecer la forma en que los caracteres hereditarios pasan de una generación a otra y a investigar cómo los cambios en el material hereditario se expresan en los orga-nismos individuales. En la década de 1930, surgieron nuevas preguntas y los genetistas comenzaron a explorar la naturaleza del gen, su estructura, composición y propiedades. A comienzos de la década de 1940, ya no quedaban dudas sobre la existencia de los ge-nes ni sobre el hecho de que estuviesen en los cromosomas. Ciertos científicos pensaban que si se llegaba a comprender la estructura química de los cromosomas, entonces se podría llegar a comprender su funcionamiento como portadores de la información genética. Los primeros análisis químicos del material hereditario mostraron que los cro-mosomas están formados por ácido desoxirribonucleico (ADN) y proteínas, en cantidades aproximadamente iguales. Faltaba determinar cuál de estos componentes era clave en la transmisión de los genes.



Ya avanzada la década de 1940, algunos investigadores llegaron a una conclusión impor-tante: el material hereditario podía ser el ácido desoxirr ibonucleico (ADN). En 1953, los científicos Watson y Crick reunieron datos provenientes de diferentes estu-dios acerca del ADN. Sobre el análisis de esos datos, Watson y Crick postularon un mo-delo para la estructura del ADN y fueron capaces de deducir que el ADN es una doble hélice, entrelazada y sumamente larga . Una propiedad esencial del material genético es su capacidad para hacer copias exac-tas de sí mismo . Watson y Crick supusieron que debía haber alguna forma en que las moléculas de ADN pudiesen replicarse rápidamente y con gran precisión, de modo que les fuese posible pasar copias idénticas de célula a célula y del progenitor a la descen-dencia, generación tras generación. Watson y Crick propusieron un mecanismo para la replicación del ADN. Dedujeron que la molécula de ADN se replica mediante un proceso en el que se conserva la mitad de la molécula. La gran importancia del modelo de Watson y Crick es el hecho de que mostró por prime-ra vez de qué manera se podía almacenar la información en la molécula de ADN. Por dicho descubrimiento J. Watson y F. Crick y recibieron el premio Nobel en 1962. 2.3. LAS LEYES DE LA HERENCIA Todos sabemos que se puede observar un cierto parecido entre una persona y sus fami-liares más directos (padres, hijos, hermanos). Este parecido entre individuos de la misma familia, la misma raza o de la misma especie no se debe a la casualidad, sino que existen ciertas leyes o pautas que condicionan el desarrollo de los seres vivos; estas pautas están contenidas en el material genético que se transmite de generación en generación y consti-tuye la herencia biológica. En 1864, mucho antes del descubrimiento del ADN, el monje austriaco Gregor Mendel publicó las leyes que llevan su nombre para explicar los principios de la herencia de los caracteres. A pesar de que su trabajo pasó inadvertido o incluso despreciado por la mayor parte de los científicos de su época, fue redescubierto a principios del siglo XX para justi-ficar la teoría cromosómica de la herencia. Mendel hizo sus experimentos cultivando guisantes y estudiando las cosechas obtenidas, procediendo de la siguiente manera:

1. Se aseguraba de obtener variedades genéticamente puras, cultivando reiterada-mente de forma aislada guisantes de una determinada característica.

2. Impedía su polinización natural cortando los estambres de las flores y protegiéndo-las adecuadamente. Luego, las polinizaba usando un pincel con el polen que se-leccionaba, de modo que así sabía qué plantas intervenían en la formación de las semillas.

3. Finalmente, sembraba los guisantes y, cuando crecían, se fijaba en los rasgos de las nuevas semillas obtenidas.

En primer lugar, se fijó en el color de las semillas , trabajando con una variedad de gui-santes verdes y otra amarilla.

Primer experimento : cruzó plantas de semillas amarillas con otras de semillas verdes. Es curioso, pero todas las nuevas plantas producían semillas amarillas. Segundo experimento : cruzó entre sí las plan-tas producidas por las semillas amarillas obteni-das en el experimento anterior (híbridas ). En la cosecha siguiente volvieron a aparecer plantas con semillas verdes en una pequeña proporción (un 25 %, aproximadamente).



Para explicar estos hechos basta con suponer que las semillas tienen la información del color que las corresponde (amarillo o verde) por duplicado , de modo que el amarillo pre-valece sobre el verde, que sólo se manifestará cuando la semilla contenga la doble infor-mación interna correspondiente a dicho color. En este caso se dice que el rasgo “semilla amarilla” es dominante y el rasgo “semilla verde” es recesivo . Además, cada planta trasmitirá a la nueva generación sólo la mitad de la información que contiene, ya sea el rasgo de color amarillo o el verde:

Algunos rasgos que, como el color verde de las semillas, no se manifiestan exteriormente en presencia de información distinta, se dice que son recesivos , mientras otros, como el color amarillo, se llaman dominantes . En otra serie de experimentos, Mendel trabajó con otras variedades de guisantes, fijándo-se en el aspecto liso o rugoso de sus semillas, además del color verde o amarillo, llegan-do a la conclusión de que cada uno de estos rasgos se transmitía de forma independiente. La forma por la que se produce la transmisión de los caracteres queda resumida en estas tres leyes de Mendel :

1ª) Uniformidad de la primera generación: al cruzar dos variedades puras entre sí, la primera generación es idéntica, tanto en el genotipo como en el fenotipo.

2ª) Segregación de caracteres en la segunda generac ión: al cruzar las variedades híbridas de la primera generación, reaparecen los dos fenotipos puros originales.

3ª) Independencia y libre combinación de los factor es hereditarios: cuando se tie-ne en cuenta más de un rasgo hereditario, cada uno de ellos es independiente respecto a los demás, dando lugar a combinaciones de caracteres no presentes en las varieda-des originales.

En la actualidad, el conocimiento de los cromosomas y del ADN como portadores de la información genética, permiten comprender mejor las leyes de Mendel: la doble informa-ción interna está contenida en los dos cromosomas homólogos correspondientes, proce-dentes cada uno de ellos a uno de los padres de cada ser vivo. La base cromosómica de la herencia también permite explicar ciertas excepciones de la genética mendeliana, ya que algunos genes, por proximidad dentro de un cromosoma, no son totalmente indepen-dientes entre sí. Hay muchos rasgos, como el color de piel o de ojos, el grupo sanguíneo y el sexo biológi-co, cuya transmisión a la descendencia viene determinada por las leyes de Mendel. Tam-bién muchas enfermedades como la hemofilia o la miopía se rigen con estos principios. 2.4. LA HERENCIA DEL SEXO En los organismos eucariotas existen dos series de cromosomas que pueden agruparse en parejas de homólogos. Todos los pares de cromosomas homólogos son iguales en su forma y tamaño, salvo dos de ellos, llamados cromosomas sexuales , que son diferentes



según el sexo del individuo. En los mamíferos, las hembras los tienen iguales, llamándose a su genotipo XX mientras que en los machos es XY. Evidentemente, los caracteres cu-yos genes estén en el cromosoma Y sólo se presentan en los varones, que se lo transmiti-rán a todos sus hijos varones.

Tal como se aprecia en el diagrama, la posibilidad de cada uno de los sexos en la des-cendencia es, en principio, de un 50%. 3. GENÉTICA Y SOCIEDAD El conocimiento de las bases de la genética condiciona el desarrollo de la sociedad actual desde muy diversos puntos de vista, tanto por las implicaciones tecnológicas y médicas, como desde aspectos éticos y morales. Términos como la clonación, el Proyecto Genoma Humano, la ingeniería genética o los transgénicos son habituales en los medios de comu-nicación.

3.1. EL PROYECTO GENOMA HUMANO (PGH) El genoma humano es la secuencia completa del ADN que contienen las células huma-nas: está formado por unos 6000 millones de nucleótidos y unos 35.000 genes. En 1988 comenzó el proyecto internacional cuyo objetivo era secuenciar el ADN humano: conocer el orden en el que se disponían los nucleótidos en nuestras cadenas de ADN. La secuen-ciación se completó en junio de 2001. El proyecto continúa bajo otras siglas y en multitud de laboratorios del mundo: se está logrando conocer cada vez mejor nuestros genes, su función y su ubicación exacta en los cromosomas. Los beneficios que se esperan del proyecto son inmensos y repercutirán en nuestra cali-dad de vida. El conocimiento del genoma ha permitido, de momento, el desarrollo de nue-vos métodos diagnósticos. En el futuro, nos proporcionará la posibilidad de poder preve-nir, paliar o incluso curar algunas enfermedades hereditarias. 3.2. BIOTECNOLOGÍA Y MANIPULACIÓN GENÉTICA Desde tiempos remotos, la humanidad ha utilizado en su provecho diversas especies, y ha potenciado sus características seleccionando los individuos más adecuados y cruzán-dolos entre sí. Hoy en día, el avance de la biotecnología ha permitido un desarrollo mucho más eficiente de las especies ya cultivadas y ha abierto unas perspectivas enormes. Así, se han introducido mejoras en actividades clásicas como la fabricación del pan, cerveza o yogur; se han desarrollado industrias en las que intervienen los seres vivos: producción de medicamentos, depuración de aguas residuales, obtención de biocombustibles… La ingeniería genética , desarrollada como una parte de la biotecnología, ha permitido el aislamiento, manipulación e introducción de los genes de unas especies en otras, aña-



diéndoles las características de las que estos genes eran responsables. El organismo por-tador de un gen de otra especie recibe el nombre de organismo transgénico . Las aplica-ciones de la ingeniería genética son múltiples:

• En agricultura y ganadería , se han conseguido numerosas especies transgénicas. Se ha logrado la introducción de genes que protegen a estos organismos frente a parásitos, que mejoran la productividad, la calidad, la resistencia, etc. un ejemplo es la introducción del gen que produce el factor antihemofílico en vacas y cabras: se logra así que dicho factor esté en su leche, de forma que es más barato de pro-ducir que por otros métodos.

• En la industria, los primeros organismos manipulados genéticamente fueron bacte-rias a las que les insertaron genes de otras especies, logrando que produjesen las sustancias que estaban codificadas en esos genes. Hoy en día, las bacterias fabri-can sustancias de otros organismos tal como insulina humana, factor de crecimien-to humano, factor antihemofílico, vitaminas, etc…

• En medicina destaca la llamada terapia génica. Básicamente, consiste en la adición de genes normales o la sustitución de genes defectuosos por otros normales en un enfermo. El proceso plantea aún numerosas dificultades.

Todas estas técnicas tienen críticos y detractores, especialmente sensibilizados con los procesos de obtención de alimentos transgénicos para consumo humano. Argumentan que no se conocen los efectos de estos alimentos en nuestro organismo y suponen que el cruce de individuos transgénicos con individuos salvajes tendría consecuencias imprevisi-bles. 3.3. CLONACIÓN Un clon es un organismo u organismos provenientes de un mismo progenitor, idénticos entre sí e idénticos al organismo original. La biotecnología actual nos permite obtener clones de animales superiores. El primero de ellos, que causó gran impacto, fue la oveja clónica “Dolly”. Fue obtenida a partir de una célula embrionaria, a la que se le sustituyó su núcleo por otro procedente de un animal adulto. La ventaja de la clonación es la obtención de organismos idénticos a algunos que posean características especiales de gran interés. No obstante, esta técnica también es muy po-lémica. 4. LA EVOLUCIÓN DE LOS SERES VIVOS Hay especies que cambian mucho dependiendo de la edad y sexo y otras que apenas sufren modificaciones, pero los individuos que pertenecen a una misma especie mantie-nen una característica en común: son capaces de reproducirse entre ellos y tener des-cendencia fértil . Te preguntarás ¿por qué sólo la reproducción entre dos seres de la misma especie tiene éxito? debes buscar la respuesta en sus células. Todas las células de los seres vivos contienen en su interior un conjunto de instrucciones, que llamamos genes , que son las que les permiten vivir y desarrollar las funciones que necesitan en cada momento.

Esas instrucciones varían de unas especies a otras y, para reproducirse, dos seres deben tenerlas compatibles, ya que en caso contrario la descendencia no se pro-duciría o no sobreviviría.

Existen millones de especies distintas, aunque la mayoría (75%) pertenecen a un grupo que llamamos insectos.



4.1. LA EVOLUCIÓN DE LAS ESPECIES Al estudiar los restos fósiles de seres vivos se ha comprobado que muchas especies ac-tuales no existían antes y que otras que han dejado huella en las rocas desaparecieron hace millones de años. Desde que aparecieron las primeras formas de vida, los distintos organismos sufren cam-bios en su aspecto y en la forma de relacionarse con su entorno. Por eso, los inquilinos del planeta han cambiado tanto en el devenir de su larga historia.

La evolución biológica son toda una serie de cambios que se producen en el con-junto de todos los seres vivos a lo largo del tiempo para adaptarse mejor al medio en el que viven.

Un aspecto muy importante a tener en cuenta sobre la evolución de las especies es que se trata de un proceso complejo y muy lento, ya que suele durar millones de años. Piensa, por ejemplo, en la evolución de los caballos; no debes fijarte en un caballo en concreto, cuya vida está alrededor de 30 años, pues según lo que acabamos de decir, no tendría tiempo suficiente para evolucionar. En cambio, si consideras muchas, muchísimas generaciones de caballos, entonces sí podrías observar la evolución de esta especie. En la “película de la evolución” intervienen varios “actores”:

1. Los seres vivos . Son los que sufren los cambios, con los que pueden mejorar su adaptación al medio en el que viven.

2. El medio natural . Es el espacio que habitan los seres vivos y que está en constan-te cambio.

3. La selección natural . Como su nombre indica, es un proceso que escoge aquellos seres que están mejor adaptados al medio y les permite sobrevivir.

4.2. LA EVOLUCIÓN VISTA POR DARWIN En 1831, un joven naturalista inglés llamado Charles Darwin se embarcó en un buque de investigación científica llamado Beagle. Tras cinco años de navegación por los océanos Atlántico, Pacífico e Índico, llegó a la conclusión de que las adaptaciones de especies a diferentes entornos sólo podían ser explicadas mediante un proceso evolutivo. En 1859 Darwin publicó un libro titulado “El origen de las especies” , en el que expuso sus ideas sobre la evolución de las especies. El libro causó una gran polémica en el mundo científi-co de la época, hecho que no impidió que la teoría evolutiva en él expuesta, basada en la selección natural , se haya ido confirmando. En la actualidad el neodarwinismo se ve reforzado con el conocimiento de la base biológica de la herencia, además de la existen-cia de estructuras biológicas análogas entre especies, tanto actuales, como fósiles. La teoría de la evolución por selección natural se puede resumir así:

1. Todas las especies producen una descendencia muy numerosa, mayor de la que puede sobrevivir.

2. Los descendientes, aunque se parecen, son distintos unos de otros. 3. Como el alimento y otros recursos son limitados, tienen que competir por ellos. 4. Solamente sobreviven aquellos individuos más capacitados. 5. Generación tras generación se produce una selección de unos individuos en detri-

mento de otros menos aptos. 6. Con el paso del tiempo la especie va cambiando.

Veámoslo de manera más detallada: 1. Todas las especies producen una descendencia muy numerosa, mayor de la

que puede sobrevivir. En algunas especies, como muchos peces o los anfibios (las ranas entre otros), que producen cientos o miles de huevos, esto es clarísimo. Aunque en otras espe-cies, como las ballenas, los ciervos o los seres humanos, el número de descen-



dientes es mucho más pequeño, si consideramos la especie en conjunto (todos los seres humanos, por ejemplo) también el número de descendientes es mayor del que puede sobrevivir.

2. Los descendientes, aunque se parecen, son distin tos unos de otros. Piensa por ejemplo en el ser humano. En una pareja con dos hijas, las dos niñas, aún siendo hermanas y lógicamente de la misma especie, no tienen por qué ser exactamente iguales. Varía en ellas el color de los ojos, el tipo de pelo, la estatura, la personalidad, etc. Para comprender estos cambios, hay que tener en cuenta el genoma, es decir, el conjunto de instrucciones de cada célula de un ser vivo, que está constituido por diferentes instrucciones llamadas genes. Es precisamente el conjunto de genes lo que los padres transmiten a los descendientes. Cada descen-diente recibe parte de las instrucciones de su madre y otra parte de su padre, de manera que dos descendientes distintos reciben información distinta en función de qué parte reciban. Como ya hemos visto anteriormente, la forma y el funcionamiento de cada es-pecie están determinados por los genes , que, sin embargo, pueden sufrir con cierta frecuencia alteraciones naturales llamadas mutaciones que, como están en los genes y éstos se transmiten a los descendientes, también se podrán transmitir a los descendientes. Las mutaciones son modificaciones del material genético de un ser vivo que se producen como consecuencia de la exposición a radiaciones y a determinadas sus-tancias o por los mecanismos de división de las células. En la mayoría de los casos producen cambios muy perjudiciales para el individuo, aunque en otros, muy po-cos, pueden aportarle ventajas.

3. Como el alimento y otros recursos son limitados, tienen que competir por ellos. Se establece una lucha por conseguir los mejores lugares para encontrar alimento, para colocar el nido o madriguera, etc. Aquellos que consigan más y mejor alimen-to u otros recursos, tendrán mayores posibilidades de supervivencia y de reprodu-cirse.

4. Solamente sobreviven aquellos individuos más cap acitados. En cada momento prevalecen los individuos mejor adaptados al medio que les ro-dea, lo cual no significa en modo alguno que éstos sean los más fuertes. Debe te-nerse en cuenta que el medio puede cambiar y convertir en ventaja lo que antes era desventaja o viceversa.

5. Generación tras generación se produce una selecc ión de unos individuos en detrimento de otros menos aptos. Los que sobreviven más tiempo, pueden tener más descendientes, a quienes transmiten sus genes.

6. La especie va cambiando con el paso del tiempo. El paso de miles de generaciones hará que se vayan acumulando las mutaciones y por tanto la especie cambie su genoma, es decir, evolucione.

En la actualidad sabemos que la evolución de las especies es un lento pero continuo pro-ceso que se ha venido produciendo desde hace más de 2.000 millones de años, de tal modo que a lo largo de todo este tiempo han ido surgiendo toda la gran variedad de seres vivos que conocemos, a la vez que otras muchas especies han ido desapareciendo a me-dida que las condiciones del planeta Tierra se modificaban. En todo este recorrido, la es-pecie humana tiene también su lugar, ocupando tan sólo el espacio que corresponde al último millón de años. Esperemos que, con nuestra tecnología y nuestras acciones agre-sivas hacia el medioambiente, no seamos capaces de detener este “reloj del tiempo” que bien pudo empezar con unas primeras bacterias que vivieron en los océanos primigenios.



El reloj del tiempo El medio ambiente Los seres vivos

- 2000 m.a.

La atmósfera poco oxí-geno. La temperatura es muy elevada. Los rayos UV impiden la vida fuera del mar.

- 600 m.a.

En los continentes no hay seres vivos, ni plantas ni animales.

- 450 m.a.

- 300 m.a. En los continentes el cli-ma es muy húmedo

- 100 m.a.

Solamente hay un conti-nente. El clima es muy seco y cálido.

- 5 m.a.

Un gran manto de hielo cubre el hemisferio norte. El clima es frío y seco.

0 m.a. Se reduce el nivel de hie-lo en los polos y el clima es más húmedo.



La siguiente imagen muestra cómo se cree que han surgido durante todo este tiempo toda la variedad de especies de seres vivos de nuestro planeta:

4.3. EVOLUCIÓN HUMANA La evolución humana o también hominización se define como el proceso de transfor-mación de la especie humana desde sus ancestros hasta el estado actual. Hace cinco millones de años surgió en África el primer antepasado, el australopithecus . Era un primate como el gorila o el orangután, pero ya andaba sobre dos piernas. Hace dos millones de años vivió también en África otra especie, el homo habilis , que rea-lizaba herramientas de piedra y es considerado el primer ser humano. El siguiente escalón en la evolución humana se produjo hace más de un millón y medio de años: el homo erectus , que tenía mayor desarrollo tecnológico y logró el control del fue-go. Fue la primera especie humana que se expandió por grandes regiones de Europa y Asia.

Hace 230.000 años surgió el hombre de neandertal , muy parecido al ser humano actual. Fue el primero que enterró a sus muertos. Se han hallado restos suyos en Europa y Asia.



Parece que nuestra especie, el homo sapiens , surgió en África hace 150.000 años. Por tanto, coexistió con el neandertal. Fue el primer homínido que realizó manifestaciones artísticas y el primer ser humano que alcanzó Oceanía y América.

Características del ser humano A lo largo del proceso evolutivo se produjeron cambios que diferenciaron al ser humano de las demás especies:

• Comenzó a andar sobre dos piernas, lo que le permitía tener las manos libres mientras caminaba y transportar a sus crías o llevar objetos.

• Fue aumentando el tamaño de su cerebro. • Se modificó la forma de la mano hasta conseguir un dedo pulgar oponible al resto

de los dedos, lo que le permitía realizar trabajos minuciosos con las manos. • Desarrolló un tipo de lenguaje articulado y complejo diferente al de los demás ani-

males. • Su infancia se fue alargando, lo que proporcionó mayores posibilidades de apren-

dizaje.

TEMA 6: FUERZAS, MOVIMIENTOS Y ENERGÍA MÓDULO CUATRO

1. CONCEPTOS DE CINEMÁTICA 1.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) 1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) 1.3. MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS 1.4. MOVIMIENTO CIRCULAR. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)

2. CONCEPTOS DE DINÁMICA 2.1. ALGUNAS FUERZAS DE INTERÉS. LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA Y EL PE-SO DE LOS CUERPOS, LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO, LA FUERZA CENTRÍPETA Y FUER-ZAS ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS

3. ENERGÍA 3.1. TRABAJO MECÁNICO 3.2. POTENCIA 3.3. ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL Y MECÁNICA 3.4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 3.5. DEMOSTRACIÓN DE ALGUNAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS 3.6. TEMPERATURA Y CALOR. LA TEMPERATURA, EL CALOR, LOS CAMBIOS DE ESTADO Y MÁQUINAS TÉRMICAS

4. ENERGÍA Y MEDIOAMBIENTE 4.1. FUENTES DE ENERGÍA Y SUS EFECTOS SOBRE EL MEDIOAMBIENTE 4.2. CONSUMO Y ENERGÍA 4.3. ENERGÍAS RENOVABLES. EÓLICA, GEOTÉRMICA, HIDRÁULICA, BIOMASA, SOLAR 4.4. SOCIEDADES INDUSTRIALIZADAS 4.5. CONVENIOS Y TRATADOS INTERNACIONALES 4.6. ACCIONES POSITIVAS

MÓDULO CUATRO TEMA 6: FUERZAS, MOVIMIENTOS Y ENERGÍA


1. CONCEPTOS DE CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin anali-zar las causas de los mismos. En cinemática un cuerpo en movimiento recibe el nombre de móvil . Pero para que dicho cuerpo esté en movimiento, su posición debe cambiar a lo largo del tiempo . De las diferentes formas que hay para establecer la posición de un cuerpo, aquí lo haremos midiendo la distancia desde un punto que fijemos a lo largo del recorrido, de modo que viene a ser algo parecido a los puntos kilométricos de las carrete-ras. La trayectoria del móvil es el recorrido que realiza éste, mientras que el origen es el pun-to de la trayectoria desde donde se miden las distancias (positivas o negativas). En el estudio de los movimientos conviene recordar las definiciones matemáticas de mag-nitudes que permiten caracterizarlos: velocidad y aceleración. Velocidad : mide el ritmo con el que varía la posición.

variación de posiciónvelocidad

tiempo transcurrido=

t

Sv

∆∆= o, lo que es lo mismo:

o

o

tt

SSv

−−

=

En las fórmulas anteriores, oS y ot son la posición y el tiempo cuando se inicia el movimiento; S y t son estas dos magnitudes en un momento dado del movimiento. La velocidad puede ser positiva o negativa, indicando su signo el sentido de des-plazamiento dentro de la trayectoria. Dada su definición, se medirá en unidades de longitud, divididas por unidades de tiempo (m/s, km/h, millas/hora, etc).

Aceleración : mide el ritmo con el que varía la velocidad.

variación de velocidadaceleración

tiempo transcurrido=

t

va

∆∆= o, de otro modo:

o

o

tt

vva

−−

=

En las fórmulas anteriores, ov y ot son la velocidad y el tiempo cuando se inicia el movi-miento; v y t son estas dos magnitudes en un momento dado del movimiento. Tanto la posición, como la velocidad y la aceleración pueden ser positivas, negativas o nulas para un móvil a lo largo de su trayectoria; también pueden ser constantes o varia-bles y, precisamente esto será lo que diferencie a unos movimientos de otros. A continuación veremos las ecuaciones para estas magnitudes en dos de los movimientos más sencillos que podemos encontrar: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y el mo-vimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). Hay que señalar que las ecuaciones de los apartados siguientes son válidas para movi-mientos no rectilíneos (que son los más habituales), siempre que las posiciones se midan sobre su trayectoria, tal como ya se ha señalado. Por otro lado, la mayoría de los movimientos que se producen a nuestro alrededor suelen ser más o menos complejos, pero muchos de ellos se pueden descomponer en combina-ciones de los dos señalados.



1.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) La trayectoria es una línea recta, la velocidad es constante y la aceleración nula. Por tanto la velocidad puede calcularse así:

t

Sv

∆= (ten en cuenta que SSS o ∆=− )

De esta ecuación puede despejarse la variación de posición (que coincide con la distancia recorrida) o el tiempo, según las necesidades de cada problema concreto:

tvS ⋅=∆ ; v

St

∆=

1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) La trayectoria es una línea recta y la aceleración es constante, por lo que la velocidad no puede serlo. Ahora las ecuaciones que pueden utilizarse son estas:

t

va

∆= (ahora ten en cuenta que ovvv −=∆ )

De la anterior ecuación puede despejarse la velocidad, v , en un momento determinado, t :

tav ·=∆ , que equivale a esta otra: tavv o ·+=

También puede despejarse el tiempo:

a

vt

∆= , que equivale a esta otra: a

vvt o−

=

Como la velocidad va variando regularmente, no recorrerá la misma distancia en cada momento y puede demostrarse que la variación de posición viene dada por esta fórmula:

2

· 2tatvS o +⋅=∆

(como en el MRU, pero añadiendo el término de segundo grado)

Sustituyendo en la última ecuación la que se había obtenido para el tiempo, resulta esta otra, muy interesante en muchos cálculos:

Savv o ∆⋅⋅=− 222

1.3. MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Es un caso de MRUA que se produce cuando un objeto se deja caer o se lanza vertical-mente hacia arriba; en ambos casos, el objeto se ve afectado por una aceleración cons-tante llamada aceleración de la gravedad , que se representa con la letra g y equivale a 9,8 m/s 2 (la aceleración se toma negativa, ga −= , porque tiende a aumentar la velocidad de los cuerpos en el sentido descendente, que suele considerarse el negativo). Las fórmu-las para este caso suelen escribirse así:

tgvv o ·−= 2

· 2tgtvh o −⋅=∆ hgvv o ∆⋅⋅−=− 222



1.4. MOVIMIENTO CIRCULAR En cualquier movimiento circular la trayectoria es una circunferencia y en su descripción pueden utilizarse magnitudes lineales (distancias sobre la trayectoria) o también magni-tudes angulares (ángulos barridos desde el centro de giro de la circunferencia). Por el mero hecho de que la trayectoria no es una línea recta en todos los movimientos circula-res existe una aceleración perpendicular a la trayectoria llamada aceleración centrípeta

o normal, R

van

2

= . En la siguiente tabla se muestran las definiciones de la posición, velo-

cidad y aceleración lineales ( S∆ , v , a ) y angulares ( ϕ∆ ,ω ,α ) y su relación:

Magnitud Lineal es Angular es Relación Símbolo unidad SI símbo lo unidad SI

Posición S∆ metro ( m ) ϕ∆ radián ( rad ) RS ⋅∆=∆ ϕ

Velocidad t

Sv

∆∆= sm/

t∆∆= ϕω srad / Rv ⋅= ω

Aceleración t

va

∆∆= 2/ sm

t∆∆= ωα 2/ srad Ra ⋅= α

El radián es la unidad natural de medidas angulares y se define como en ángulo correspondiente a un arco de cir-cunferencia igual al radio. Como la longitud de la circun-ferencia es Rπ2 , en una circunferencia completa habrá

radRR ππ 2/2 = (aproximadamente rad28,6 , que se co-rresponden con una vuelta completa o 360º). Con esta unidad angular la relación básica entre las me-didas lineales y angulares es RS ⋅∆=∆ ϕ (que es lo mis-mo que decir que radioánguloarco ×= ).

1.4.1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) La aceleración lineal (también llamada tangencial, a ) y la aceleración angular (α ) son nulas, por lo que la velocidad tangencial (v ) y angular (ω ) serán constantes, resultando así ecuaciones del movimiento muy parecidas a las del MRU:

tvS ⋅=∆ o, si prefieres, tvSS o ⋅+=

t⋅=∆ ωϕ o, si prefieres, to ⋅+= ωϕϕ El período de un MCU (T ) es el tiempo que el cuerpo en giro tarda en dar una vuelta completa y se medirá, pues, en segundos. La frecuencia de este movimiento ( f ) es el número de vueltas por unidad de tiempo y en el Sistema Internacional se mide en hertzios (Hz) o revoluciones por segundo, aunque es muy popular otra unidad, las revoluciones por minuto (rpm). Según estas definiciones, las relaciones entre las magnitudes del MCU serán las siguientes:

T

Rv

π2= T

πω 2= T

f1= fπω 2=



1.4.2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA) Corresponde a un tipo de movimiento en el que la aceleración tangencial ( a ) y la angular (α ) son constantes, por lo que las ecuaciones del movimiento son muy parecidas a las del MRUA:

tavv o ⋅+= 2

2attvSS oo +⋅+= Savv o ∆+= 222

to ⋅+= αωω 2

2ttoo

αωϕϕ +⋅+= ϕαωω ∆+= 222o

2. CONCEPTOS DE DINÁMICA La dinámica es la parte de la Física que estudia las fuerzas como las causas de los mo-vimientos, definiéndolas como todo aquello que es capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme de un cu erpo, o bien causarle una de-formación . Recuerda que las fuerzas son magnitudes vectoriales , es decir, dirigidas, hecho que hay que tener en cuenta a la hora de sumarlas, pudiéndose considerar tres casos:

Fuerzas con la misma dirección y sentido: la fuerza resultante tiene la misma di-rección y sentido que las que se suman y su intensidad es la suma de las intensi-dades.

Fuerzas con la misma dirección, pero sentidos contr arios: la fuerza resultante tiene la misma dirección, su sentido es el de la de mayor intensidad y la intensidad es la diferencia de las intensidades.

Fuerzas con distinta dirección: la fuerza resultante se obtiene gráficamente como la diagonal del paralelogramo obtenido al prolongar desde el extremo de cada una de las fuerzas a sumar una paralela a la otra fuerza. En caso de que las dos fuer-zas sean perpendiculares, la intensidad de la resultante puede obtenerse por el teorema de Pitágoras.

La relación entre las causas (fuerzas) y los efectos (variación del movimiento o deforma-ciones) queda resumida en las llamadas tres leyes o principios de la dinámica: 1º) Principio de inercia: todo cuerpo permanece en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme, a no ser que sobre él actúe una fuerza. 2º) Principio fundamental de la dinámica : es la expresión matemática entre las causas (fuerzas) y las consecuencias (aceleraciones), estableciendo la masa como medida de la inercia de los cuerpos a modificar su estado de movimiento:

Fuerza = masa aceleración× o lo que es lo mismo: amF ·= Este principio nos confirma algo a lo que estamos acostumbrados en la vida cotidiana: cuanta más masa tenga un cuerpo, más fuerza será necesaria para producirle una deter-minada aceleración. Una consecuencia de la anterior ecuación es la definición del newton (N) como unidad de fuerza del Sistema Internacional de unidades, resultando ser la fuerza ejercida sobre un cuerpo de 1 kg de masa cuando le produce una aceleración de 1 m/s2. 3º) Principio de acción y reacción: es una constatación del hecho de que toda fuerza supone una interacción o intercambio, ya que establece que cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo (acción) éste devuelve otra igual, pero de sentido contrario (reacción). Estas fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre cuerpos diferentes.



2.1. ALGUNAS FUERZAS DE INTERÉS A continuación veremos algunos ejemplos de fuerzas de las que sentimos sus efectos a diario. De ellas, algunas se producen por contacto (por ejemplo, al empujar un mueble o cuando éste roza con el suelo), mientras que otras ocurren a distancia , sin contacto físico (como ocurre con la fuerza gravitatoria, el peso de los cuerpos, las fuerzas entre cargas eléctricas o las fuerzas entre imanes).

2.1.1. LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITATORIA Y EL PES O DE LOS CUERPOS En 1687 Isaac Newton para explicar el giro de los planetas alrededor del Sol propuso que éste debería atraerlos con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas del Sol y del planeta, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, de modo que esta fuer-za, que se llama de atracción gravitato-ria, se ejerce a distancia y es la respon-sable de que los planetas giren alrededor del Sol (hace de fuerza centrípeta). En la ecuación, Ges la llamada constante de gravitación universal que vale 6,67·10-11 N·m2/kg2, M y mson las masas del Sol y del paneta considerado, y r la distancia entre ambos. Se ha comprobado que esta fuerza existe entre cualesquiera dos objetos por el mero he-cho de que tengan masa, y no sólo es la responsable de la distribución de los objetos celestes (estrellas, planetas o galaxias), sino también del peso de los cuerpos , que no es más que la fuerza con la que la Tierra atrae a cualquier objeto próximo a su superficie, donde M y r serán valores constantes (masa y radio de la Tierra), resultando así el tér-mino

2rMG⋅ de la fuerza gravitatoria un valor constante que se conoce como aceleración

de la gravedad , 2/8,9 smg = . De este modo la fuerza gravitatoria (el peso) será

gmF ⋅= , aunque casi siempre se escribe de la forma gmP ⋅= , lo que significa que un cuerpo de 1kg de masa “pesa” 9,8 N. 2.1.2. LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO Se producen siempre que dos superficies en movimiento están en contacto y, por defini-ción, siempre se oponen al movimiento, es decir, por sí mismas no pueden hacen que un cuerpo comience a moverse. Así, si intenta-mos empujar un mueble y no conseguimos moverlo es porque la fuerza de rozamiento supera a la que estamos aplicando (lo cual no significa, por supuesto, que el mueble se mueva en sentido contrario al que estamos empujando). Experimentalmente se puede comprobar que cuando un objeto desliza sobre una superfi-cie, la intensidad de la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza que aprieta el objeto sobre la superficie (llamada fuerza normal , N ). El factor de proporciona-lidad se conoce como coeficiente de rozamiento ( µ ) y es un número sin unidades que depende de las características de las superficies en contacto: NFr ⋅= µ



En la figura la fuerza normal coincide con el peso (por el principio de acción y reacción), pero en general esto no es así, ya que cuando la superficie está inclinada o se aplica una fuerza oblicua, habrá que hacer la correspondiente composición de fuerzas perpendicula-res y paralelas a la superficie de deslizamiento. Por otro lado, el coeficiente de rozamiento es mayor si el objeto todavía no ha empezado a moverse (coeficiente de rozamiento estático) que una vez iniciado el movimiento (coefi-ciente dinámico). 2.1.3. LA FUERZA CENTRÍPETA Es la causa de que un movimiento no sea rectilíneo. Por el mero hecho de que la trayec-toria de un movimiento sea curva, existirá una fuerza que modifica esta trayectoria. Si es constante y perpendicular a la trayectoria produce un movimiento circular al que, como ya se indicó, le corresponde una aceleración centrípeta constante. Por tanto, la fuerza centrí-peta será el producto de la masa del cuerpo por su aceleración centrípeta:

R

vmFc

2

·= (v es la velocidad y R la distancia al centro de giro)

El cuerpo en movimiento circular siente la fuerza centrífuga , igual en intensidad a la fuer-za centrípeta, pero de sentido contrario (principio de acción y reacción de la dinámica). Un ejemplo de estas fuerzas lo encontramos al tomar una curva cuando viajamos en un co-che: nuestro cuerpo tiende a continuar en línea recta y por ello nos sentimos impulsados hacia afuera; si no existiera rozamiento de las ruedas con el suelo (que hace de fuerza centrípeta) sólo podríamos viajar en carreteras rectas. Por eso los neumáticos deben te-ner buena adherencia suelo. 2.1.4. FUERZAS ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS La materia es eléctricamente neutra, pero cuando un cuerpo pierde electrones de sus átomos queda cargado positivamente, y cuando gana electrones, queda cargado negati-vamente. La unidad de carga eléctrica del Sistema Internacional es el culombio (C), en honor a Charles Coulomb, quien pudo determinar experimentalmente hacia 1777 que la fuerza de interacción electrostática entre dos cuerpos cargados eléctricamente es direc-tamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:

2rqQkF ⋅⋅=

Esta ley empírica, conocida como Ley de Coulomb, es muy parecida a la de la interacción gravitatoria de Newton pero, siendo también una fuerza a distancia, tiene tres diferencias muy importantes:

Puede ser de repulsión o de atracción, según que los cuerpos que interactúan ten-gan cargas de signos iguales o diferentes, respectivamente.



La constante de proporcionalidad depende del medio en el que se encuentran las cargas.

El valor de la constante de proporcionalidad es extremadamente grande, valiendo en el vacío 229 /109 CmNK ⋅⋅= .

Curiosamente estas diferencias son las que marcan los parecidos y las diferencias entre la organización del universo a nivel microscópico (el interior de los átomos, donde preva-lecen las fuerzas eléctricas) y a nivel macroscópico (las estrellas y galaxias, donde la que prevalece es la interacción gravitatoria). EJEMPLOS DE EJERCICIOS DE CINEMÁTICA Y DINÁMICA 1º) Un tren tarda 2,5 horas en hacer el recorrido de Madrid a Barcelona. Sabiendo que entre ambas ciudades hay 600 kilómetros, ¿a qué velocidad media se ha movido el tren?¿Cuánto tiempo tardará en llegar a Zaragoza, que se encuentra a 270 kilómetros de Madrid? Solución: está claro que el tren no se mueve a la misma velocidad durante todo el viaje, pero el

problema puede plantearse como si fuera un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en el que el

tren se mueve siempre a la velocidad media de todo el trayecto.

DATOS:

a) ht 5,2=∆

kmS 600=∆

?=v

b) kmS 270'=∆

?'=∆t

a) Como el tiempo está en horas y la distancia en kilómetros, el problema pue-

de resolverse en estas unidades y sacar la velocidad en hkm/ :

La velocidad media se obtiene con esta fórmula: t

Sv

∆∆=

Sustituyendo valores: hkmh

km

t

Sv /240

5,2

600 ==∆∆=

b) Despejando el tiempo en la ecuación de la velocidad: v

St

∆=∆

hhkm

kmt 125,1

/240

270' ==∆ , es decir, 1 hora, 7 minutos y 30 segundos

2º) Un coche de 1500 kg acelera de cero a 100 km/h en 12 segundos. Calcula: a) La aceleración media que experimenta durante este tiempo. b) La distancia que recorre hasta alcanzar los 100 km/h. c) La fuerza total que actúa sobre el coche

Solución: está claro que la velocidad no es constante en el movimiento de este coche, por lo que

podremos calcular la aceleración y la distancia recorrida con las ecuaciones del movimiento rectilí-

neo uniformemente acelerado (MRUA); una vez calculada la aceleración, la fuerza se puede obte-

ner con la ecuación fundamental de la dinámica ( amF ·= ). Por coherencia de unidades, conviene

poner todos los datos en unidades del Sistema Internacional.

DATOS:

kgm 1500=

0=ov

smhkmv /28/100 ≅=

st 12=

a) ?=a

b) ?=∆S

c) ?=F

a) La aceleración se calcula despejando en la ecuación de la velocidad

del MRUA: tavv o ·+= , es decir, 22 /3,2/

12

028smsm

t

vva o =−=

−=

b) La distancia recorrida coincide con su variación de posición:

mmta

tvS o 6,1652

123,2120

2

· 22

=×+×=+⋅=∆

c) La fuerza total será la resultante entre la fuerza que ejerce el motor y

las fuerzas de resistencia y vendrá dada por la ecuación fundamental de

la dinámica: NNamF 35003,21500· =×==

El coche ha experimentado una aceleración de 2,3 m/s2 durante los 12 segundos, en los que ha

recorrido 165,6 metros bajo la acción de una fuerza total de 3500 newtons



3º) Calcula la máxima altura que alcanzará una piedra que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 36 km/h. ¿Qué velocidad y qué altura tendrá la piedra des-pués de dos segundos de ser lanzada? Solución: es un típico problema de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuya acelera-

ción es la gravedad. Para evitar errores conviene utilizar todas las medidas en unidades del Sistema

Internacional (ya que utilizaremos 2/8,9 smg = )

DATOS:

a) ?=máxh

0=oh

smhkmvo /10/36 ==

0=v

b) st 2'=

?'=v

?'=h

a) La piedra llega a la máxima altura cuando su velocidad es nula. Por tanto, si

despejamos el tiempo en la ecuación de la velocidad, tenemos:

tgvv o ·−= , por tanto ssm

sm

g

vvt o 02,1

/8,9

/0102

=−=−

=

Sustituyendo el anterior valor calculado en la ecuación de la altura, tenemos:

mmmtg

tvh o 1,51,52,102

02,18,902,110

2

· 22

=−=×−×=−⋅=∆

A este mismo resultado habríamos llegado despejando directamente la

altura en esta ecuación del movimiento de caída libre:

hgvv o ∆⋅⋅−=− 222

mmmg

vvh o 1,5

6,19

100

8,92

100

2

2222

==×−−=

⋅−

−=∆

La máxima altura a la que llega la piedra es 5,1 metros

b) Basta con sustituir el tiempo en las ecuaciones de la velocidad y la altura:

hkmsmsmsmtgvv o /56,34/6,9/6,1910/28,910· −=−=−=×−=−=

(El valor negativo de la velocidad indica que la piedra ya está descendiendo)

mmmtg

tvh o 4,06,19202

28,9210

2

· 22

=−=×−×=−⋅=∆

Al cabo de 2 segundos de haber sido lanzada, la piedra desciende a 34,56 km/h y se encuentra a 0,4 metros

de altura.

4º) Un niño de 50 kg se sube a un caballito de un tiovivo de feria que se encuentra a cinco metros del eje de giro. Si la atracción gira a razón de 10 vueltas cada minuto, calcula la velocidad lineal y angular durante su funcionamiento, así como el ángulo total y la distan-cia total recorrida a lomos del caballito, si estuvo girando durante 4 minutos. Calcula tam-bién el período, la frecuencia de giro y la fuerza centrípeta en la atracción.

Solución: el problema puede plantearse como un movimiento circular uniforme, si se exceptúa el

arranque y la parada. El valor de las vueltas por minuto es la velocidad angular (una vuelta son

)2 radianesπ .

DATOS:

mR 5=

min/10vueltas=ω

?)/( =sradω ?=v

?=∆ϕ ?=∆S

st 240min4 ==∆

?? == fT

?=cF

sradsradsradv /047,1/3/60/210min/10 ==×== ππω

hkmsmsmRv /8,18/2,5/5047,1 ==×=⋅= ω

radradvueltasvueltast 32,2518040min4min/10 ===×=⋅=∆ πωϕ

kmmmradRS 2566,16,1256532,251 ==⋅=⋅∆=∆ ϕ

sTT

63/

222 ===⇒=π

πωππω Hz

Tf 17,0

6

11 ===

NNR

vmFc 4,270

5

2,550 22

=×=⋅=



5º) Un coche de 1200 kg que iba a 100 km/h por una carretera horizontal se ve obligado a frenar bruscamente al encontrarse un animal en la calzada, deteniendo el coche después de recorrer 140 metros frenando. Calcula la fuerza de frenado y el coeficiente de roza-miento de las ruedas con el suelo.

Solución: al moverse el coche en una carretera horizontal, la fuerza normal coincide con el peso del

coche. Como se supone que el motor deja de ejercer fuerza durante la frenada, la única fuerza que

actuará sobre el coche será la del rozamiento con el suelo (hasta que se detenga y suponiendo

despreciable la resistencia con el viento). Como se desconoce el coeficiente de rozamiento, lo pri-

mero será sacar la aceleración de frenado a partir de los datos de velocidad y distancia de frenado;

conocida ésta, podrá sacarse la fuerza de frenado con el 2º principio de la dinámica.

DATOS:

kgm 1200=

smhkmvo /8,27/100 ==

0=v

mS 140=∆

?=rF ?=µ

22222

22 /76,2/1402

8,270

22 smsm

S

vvaSavv o

o −=×

−=∆−

=⇒∆=−

(El valor negativo significa que es fuerza de frenado, pero para calcu-

lar la fuerza de rozamiento tomaremos su valor absoluto, pues ya

sabemos que se opone al movimiento)

NNFF r 333.3376,21200 =×==

La normal coincidirá con el peso del coche, es deci:

N76011N8,91200 .gmPN =×=⋅==

83,2760.11

333.33 ===⇒=N

FNF r

r µµ

El coeficiente de rozamiento obtenido 83,2=µ es grande, pero esto

es lo normal, ya que lo bueno es que las ruedas tengan una adheren-

cia al suelo grande.

6º) ¿Cómo es y cuál es la intensidad de la fuerza con la que interactúan en el vacío dos cuerpos de 10 kg cargados con Cµ5+ y Cµ4− , si se encuentran a una distancia de 20 centímetros? ¿Qué aceleración experimentarán si los liberamos? DATO: CC 6101 −=µ (microculombio) Solución: Es un problema típico de electrostática en el que, para empezar, hay que decir que la

fuerza será de atracción, por tratarse de cargas eléctricas de signos contrarios. Aplicando la Ley de

Coulomb puede calcularse la intensidad de la fuerza y, con ella, la aceleración al ser liberados, que

viene dada por la 2ª ley de la dinámica. Previamente habrá que pasar los microculombios a culom-

bios. (El cálculo de la fuerza se hace sin signo, para evitar errores)

DATOS:

kgmm 1021 ==

CCq 61 1055 −⋅+=+= µ

CCq 62 1044 −⋅−=−= µ

mcmr 2,020 ==

?=F

?=a

N2,5N04,0

310205N

22,0

610461059109212

=−××=

−⋅×−⋅×⋅=⋅

⋅=r

qqkF

22

1

11111 /25,0/

10

5,2smsm

m

FaamFF ===⇒⋅==

Es decir, al soltarlos se acercarían experimentando una aceleración ini-

cial de 2/25,0 sm (como se van a acercar muy rápidamente, la acelera-

ción irá en aumento en cuanto disminuya la distancia de separación

(hasta que finalmente choquen y queden pegados)



3. ENERGÍA, TRABAJO Y POTENCIA Estamos acostumbrados a oír hablar de la energía, de la subida de su precio, de los pro-blemas que existen para conseguirla, incluso de los conflictos que causa en el mundo el control de las fuentes energéticas. Todos sabemos que cuan-do utilizamos el coche, encendemos la TV, una bombilla, el aparato de música o el ordenador; cuando cocinamos con el microondas o ponemos la calefacción, estamos consumiendo energía, porque nos la cobran. También somos conscientes de que nos cuesta más o menos trabajo subir una cuesta con la bicicleta, llevar la bolsa de la compra a casa o construir un mueble de madera. Por eso es necesario comer todos los días, para “reponer nuestras energías”. Como vemos, la energía está presente en nuestras vidas a diario pero, ¿sabemos exac-

tamente qué es la energía? En realidad, no podemos decir que sea nada en concreto; sólo podemos afirmar que se trata de una capacidad que tienen los cuerpos para realizar una transforma-ción, de modo que un cuerpo puede tener más o menos capaci-dad para efectuar cambios de distinto tipo (sobre él mismo o so-bre otros objetos). Dependiendo de la cualidad que causa la capacidad de trans-formación, podemos hablar de energía cinética (debida al mo-vimiento) y de energía potencial (debida a la posición). Así, una

piedrecita a gran velocidad puede romper el parabrisas del coche (por su energía cinéti-ca), pero es inofensiva para éste si está parada. De igual modo, una piedra situada a un metro de altura del suelo puede romper una baldosa si cae (por su energía potencial), pe-ro carece de esa capacidad si está quieta sobre el suelo.

Independientemente de que se trate de energía cinética o potencial, según el fenómeno asociado a la transforma-ción, podemos hablar de formas de energía, como la energía potencial gravitatoria, elástica, eléctrica, química, nuclear, electromagnética o calorífica. Por otro lado, se consideran fuentes de energía a los recursos naturales de los que se pueden conseguir algu-nas de las anteriores formas de energía, como por ejem-plo, la energía solar, la hidroeléctrica, los combustibles fósiles (carbón, petróleo y gas natural), la maremotriz, la eólica, la nuclear, la de la biomasa o la geotérmica.

Los cuerpos pueden intercambiar entre sí la capacidad de trans-formación (energía), cuando realizan trabajo mecánico, pero también en forma de calor, luz o sonido. A continuación veremos los aspectos más destacables de las magnitudes asociadas a la energía que, como ya ha quedado claro, está muy relacionada con los movimientos y las fuerzas.



3.1. TRABAJO MECÁNICO El trabajo mecánico es una de las formas mediante las que los cuerpos pueden intercam-biar energía cuando se cumplen estas tres condiciones :

a) Que sobre el cuerpo estudiado actúe una fuerza (es decir, que haya algo que de algún modo tire de él para modificar su forma, su velocidad o su recorrido).

b) Que el cuerpo se desplace. c) Que el desplazamiento no sea perpendicular a la fuerza que lo ocasiona, es decir,

que el cuerpo tenga cierto desplazamiento en la dirección en la que actúa la fuerza.

Por ejemplo, cuando esperamos en la fila del autobús sujetando la male-ta, solemos decir que “nos cuesta mucho trabajo” esta actividad. En realidad, y por raro que nos parezca, no estamos realizando ningún tra-bajo mecánico sobre la maleta, ya que, aunque ejercemos una fuerza equivalente a su peso para poderla sujetar, no la desplazamos nada; es más, cuando avanza la fila, y nosotros con ella, seguimos sin realizar trabajo sobre la maleta, ya que el desplazamiento que hacemos ocurre perpendicularmente a la fuerza que ejercemos sobre ella. Únicamente realizamos trabajo cuando subimos la maleta desde el suelo, cuando subimos los peldaños del autobús o cuando la dejamos en el suelo, ya que en estos casos la fuerza y el desplazamiento de la maleta ocurren en la misma direc-ción. El ejemplo anterior nos muestra cómo a veces las interpretaciones que hacemos de situa-ciones y hechos cotidianos no siempre coinciden con la realidad física. En el ejemplo de la maleta, lo que comúnmente llamamos trabajo, en realidad es esfuerzo (realizar fuerza). Para ser más precisos, definamos matemáticamente el trabajo, que se designa con la le-tra W (del inglés, ‘work’) como el producto de la fuerza por el desplazamiento que realiza el cuerpo al que se le aplica dicha fuerza:

∆xFW ⋅= En esta ecuación: F es la fuerza ejercida (se mide en newtons, N)

x∆ es el desplazamiento del cuerpo en la dirección de la fuerza aplicada (se mide en metros, m).

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional se llama julio (J), en honor a J.P.Joule, científico inglés del siglo XIX que realizó importantes aportaciones en el estudio de la energía. Por tanto, 1 J = 1N·m (1 julio = 1 newton·metro) Teniendo en cuenta la definición de fuerza (masa por aceleración), la ecuación de dimen-siones del trabajo mecánico será: W ] = [ M·L2·t-2 Cuando la fuerza actúa en la misma dirección que el desplazamiento, el trabajo realizado es positivo (se aumenta la capa-cidad de cambio del cuerpo, por adquirir más velocidad), pero cuando el desplazamiento ocurre en sentido opuesto a la fuerza, el trabajo es negativo (es lo que ocurre, por ejemplo, con las fuer-



zas de rozamiento, que siempre actúan en contra del movimiento, lo que quita al cuerpo en movimiento capacidad de transformación, llegando incluso a poder detenerlo). Finalmente, si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, no realiza ningún trabajo sobre el cuerpo, ya que no contribuye al aumento de su velocidad. Todo lo anterior puede resumirse en una ecuación en la que se incluye la llamada fuerza eficaz, que no es otra que la proyección de la fuerza aplicada sobre la dirección de desplazamiento:

∆xFW x ⋅= , donde xF es la fuerza eficaz, que se puede obte-

ner por descomposición de la fuerza aplicada ( αcos⋅= FFx , siendo αcos un valor comprendido entre –1 y +1, que puede obtenerse con la calculadora; se llama coseno del ángulo α que forman la fuerza aplicada y el desplazamiento).

Ejemplo: El trabajo realizado por F1

y F2

en un tiempo concreto:

xFW

xFxFW x

∆⋅=∆⋅⋅=∆⋅=

22

111 º60cos

Los trabajos que provienen de fuerzas que van a favor del movimiento son positivos; y los que provienen de fuerzas que van en contra del movimiento son negativos. Ejemplo : calcular el trabajo realizado por cada fuerza sobre el cuerpo de 2 kg en 5 se-gundos, suponiendo que inicialmente está en reposo.

Para saber el espacio recorrido, hay que cal-cular primero la aceleración en la dirección del movimiento, que se obtiene conociendo la fuerza total en esta dirección y aplicando el principio fundamental de la dinámica:

NFF x 55,010º60cos11 =⋅=⋅=

NFFFF xT 87105321 =−+=−+=

2/42

8sm

m

FaamF T

T ===⇒⋅=

mta

tvx o 5025202

5450

2

22

=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=∆

El trabajo realizado por cada fuerza será: JxFWJxFWJxFW x 350507;5005010;250505 332211 −=⋅−=∆⋅==⋅=∆⋅==⋅=∆⋅=

El trabajo total será la suma de los trabajos que realiza cada fuerza por separado: JWWWWT 400350500250321 =−+=++=



O lo que es lo mismo: JxFW TT 400508 =⋅=∆⋅= (fuerza total por desplazamiento). Las fuerzas de rozamiento también realizan trabajo, aunque siempre negativo pues, por definición, se oponen al movimiento, como ya se señaló. Ejemplo : Calcular el trabajo que reali-za cada fuerza representada en la fi-gura adjunta después de 3 segundos, si el cuerpo representado tiene una masa de 2 kg y está inicialmente en reposo. La fuerza total en la dirección del movimiento será NFFFamF rTT 12416; 1 =−=−=⋅=

La aceleración será 2/62

12sm

m

Fa T ===

Y el espacio recorrido en tres segundos: mta

tvx o 272

3630

2

22

=⋅+⋅=⋅+⋅=∆

Los trabajos realizados por cada fuerza serán: JxFW 432271611 =⋅=∆⋅=

JxFrWr 108274 −=⋅−=∆⋅−= 3.2. POTENCIA Habitualmente asociamos la calidad de una máquina con la potencia que tiene. Un ejem-plo son los coches: uno con más potencia puede hacer adelantamientos más rápidos y seguros que otro de menos potencia. La clave está en realizar un mismo trabajo en me-nos tiempo. Por eso se define la potencia como una magnitud física que mide la rapidez con la que se realiza un trabajo y nos da una idea de la calidad de éste:

t

WP =

Imagínate que dos personas suben tres cajas de 10 kg cada una encima de una mesa de 1 metro de altura. Una de ellas lo hace subiendo las tres cajas a la vez, y la otra, de una en una. ¿Cuál de las dos realiza más trabajo? Persona ( 1 ) : JxgmW 29418,9301 =⋅⋅=∆⋅⋅= Persona ( 2 ) : JxgmWcaja 9818,910 =⋅⋅=∆⋅⋅= , y el trabajo total que realizará esta perso-

na será JWW caja 29498332 =⋅=⋅=

Como vemos, el trabajo realizado por cada persona es el mismo. Lo que pasa es que la persona que subió las tres cajas a la vez, ha empleado menos tiempo que la que las subió de una en una, es decir, es más potente. La unidad de potencia en el Sistema Internacional es e l vatio (W), aunque otra unidad muy utilizada es el caballo de vapor (CV) que es una unidad tradicional, cuyo origen está en la época en la que empezaron a construirse las primeras máquinas de vapor para bombear agua de las minas de carbón en la Inglaterra de finales del siglo XVIII; para con-vencer a los dueños de las minas de la valía de estas máquinas, tenían que compararlas con los pequeños ponis en la labor en la que pretendían sustituirlos: elevar a un hombre de 75 kg a un metro de altura en un segundo. Es decir, 1 CV = 735 W

La ecuación de dimensiones de la potencia es: P ] = [ M·L2·t-3



El nombre de la unidad de potencia en el Sistema Internacional es en honor a James Watt, ingeniero escocés de principios del siglo XIX que perfeccionó considerablemente la máquina de vapor, haciendo que ésta alcanzara la importancia que supuso en su época. Ejemplo 1º : dos grúas suben un cuerpo de 100 kg a una altura de 20 metros. La primera tarda 40 s y la segunda 50 s. Calcular la potencia que desarrolla cada grúa. En este caso, el trabajo corresponde a elevar a velocidad cons-tante el cuerpo de 100 kg hasta la altura deseada, realizando en ambos casos una fuerza equivalente al peso del mismo ( gm⋅ ):

WP

WP

t

xgm

t

WP

39250

208,9100

49040

208,9100

2

1

=⋅⋅=

=⋅⋅=⇒

∆⋅⋅==

Ejemplo 2 : sobre un cuerpo de 2 kg, inicialmente en reposo, actúan las fuerzas que se indican en el dibujo. Sabiendo que la fuerza de rozamiento vale 4 N, calcular la potencia que desarrolla cada fuer-za en 10 segundos.

22

321

/4/2

8·

848614

smsmm

FaamF

NNFFFFF

TT

rT

===→=

=−−+=−−+=

El espacio que recorrerá el cuerpo en 10 segundos será:

mta

tvx o 2002

104100

2

22

=⋅+⋅=⋅+⋅=∆

El trabajo realizado por cada fuerza es:

JJWWWWW

JJxFW

JJxFW

JJxFW

JJxFW

rT

rr

1600800160012002800

8002004

16002008

12002006

280020014

32133

22

11

=−−+=+++=⇒

−=⋅−=∆⋅−=−=⋅−=∆⋅−=

=⋅=∆⋅==⋅=∆⋅=

o también : JJxFW TT 16002008 =⋅=∆⋅=

La potencia realizada por cada fuerza en ese tiempo será t

WP = :

Wt

WPWPPPPP

WWt

WPWW

t

WP

WWt

WPWW

t

WP

TTrT

rr

16010

1600,16080160120280

8010

800;160

10

1600

12010

1200;280

10

2800

321

33

22

11

====−−+=+++=

−=−==−=−==

======

tambiéno



3.3. ENERGÍA Como ya se ha señalado, es la capacidad que tienen los cuerpos de producir trabajo. Por lo tanto, las unidades de energía son las mismas que las de trabajo. Así, la unidad de energía en el sistema internacional es el julio . De los muchos tipos de energía que hay, nos centraremos en la energía cinética, la po-tencial y la mecánica. 3.3.1. ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética es la que tiene un cuerpo por el hecho de tener masa y velocidad . La experiencia diaria nos demuestra, por ejemplo, que un coche a 20 km/h contiene me-nos energía de movimiento que cuando se mueve a 100 km/h; también está claro que la energía que contiene un coche de 1200 kg a 100 km/h es menor que la de un camión de 10500 kg a esa misma velocidad. Para tener en cuenta la masa y la velocidad de los cuerpos que se mueven, la energía cinética ( cE ) se calcula como la mitad del producto de la masa y el cuadrado de la velo-cidad y, por tanto, nunca puede ser negativa y se medirá en julios (J):

2

2vmEc

⋅=

Haciendo el correspondiente análisis de di-mensiones, puede comprobarse que tiene las mismas que el trabajo, Ec]=[M·L2t-2 que en el Sistema Internacional corresponden al julio (1 J = 1 kg·m2·s-2). Ejemplo 1 : calcula la energía cinética que tiene un coche de 600 kg, que lleva una veloci-dad de 20 m/s.

Jsmkgvm

Ec 000.1202

/20600

2

2222

=⋅=⋅=

Ejemplo 2 : calcula la velocidad de un cuerpo de 10 kg cuya energía cinética es 4500 J.

smsmkg

smkg

m

Ev

m

Ev

vmE cc

c /30/90010

/·450022;

2

222

222

2

==⋅=⋅

=⋅

=⇒⋅=



3.3.2. ENERGÍA POTENCIAL Es la que posee un cuerpo por el hecho de ocupar un lugar en el espacio, como conse-cuencia de colocarlo en ese lugar contra una fuerza que actúa permanentemente sobre él. Por ejemplo, cuando comprimimos un muelle, éste acumula una energía porque, en cuan-to lo liberemos, la fuerza elástica devolverá el trabajo que tuvimos que hacer para com-primirlo. El muelle comprimido tendría energía potencial elástica.

Nos centraremos ahora en la energía potencial gra-vitatoria , que es la que tiene cualquier cuerpo por el mero hecho de estar situado a cierta altura, h . Esta energía coincide con el trabajo que habría que reali-zar venciendo el peso del cuerpo, gm⋅ para colocar-lo a dicha altura. Como el peso de los cuerpos siem-pre es una fuerza perpendicular a la superficie terres-tre, este trabajo será hgmW ⋅⋅=

Igual que cuando se estira un arco, este trabajo para colocar el cuerpo a la altura h es una energía almacenada, ya que, si se soltara desde esa altura, llegaría al suelo con una energía que podría, por ejemplo, romper una baldosa. La energía potencial gravitatoria se calcula, pues, como el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y por la altura a la que se encuentre: hgmEp ⋅⋅=

Como la energía potencial se calcula a partir de un trabajo realizado, se medirá en julios (J) . Ejemplo 1 : calcula la energía potencial gravitatoria que tiene un cuerpo de 8 kg, que se encuentra a 50 m. de altura.

JsmkgmsmkghgmEp 3920/·392050/8,98 222 ==⋅⋅=⋅⋅=

Ejemplo 2 : calcula la masa de un cuerpo que se encuentra a 20 metros de altura y tiene una energía potencial de 1.000 J.

kgmsm

J

hg

EpmhgmEp 1,5

20/8,9

10002

=⋅

=⋅

=⇒⋅⋅=

3.3.3. ENERGÍA MECÁNICA La energía mecánica de un cuerpo es la debida a su posible movimiento y, por tanto, es igual a la suma de su energía cinética y potencial : pcM EEE +=

Ejemplo : calcula la energía mecánica de un avión de 14000 kg que vuela a 200 metros de altura a una velocidad de 400 m/s.

JEEE

JJmsmkghgmE

JJsmkgvm

EpcM

p

c 9

72

92222

1014744,1

10744,2000.440.27200/8,91400

1012,1000.000.120.12

/40014000

2 ⋅=+=

⋅==⋅⋅=⋅⋅=

⋅==⋅=⋅=



3.4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La experiencia demuestra que la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma. Este enunciado, llamado principio de conservación de la energía , es comprensible si se tiene en cuenta que cuando algo cambia, por ganar o perder energía, la nueva situa-ción es capaz de producir otros cambios y, por tanto, la capacidad de transformación se conserva. En los apartados anteriores hemos visto expresiones ma-temáticas para calcular las energías cinética (la debida

al movimiento, 2

·2v

mEc = ) y

potencial gravitatoria (la de-bida a la posición o altura,

hgmEp ··= ). A continuación

veremos cómo al relacionar las variaciones de velocidad (cinemática) con las causas de que ocurran (las fuerzas) surgen las anteriores fórmu-las cuando se pretende cal-cular el trabajo realizado so-bre el cuerpo estudiado. Pensemos en un cuerpo so-bre el que actúan muchas fuerzas, pero cuya suma total equivalga a una fuerza total, TF . El trabajo que esta fuerza realiza sobre el cuerpo, suponiendo que le cause un desplazamiento x∆ en la dirección de la fuerza total, será xFW TT ∆= · Aplicando la segunda ley de la dinámica, dicha fuerza tiene que ser igual al producto de la masa del cuerpo sobre el que se aplica, por la aceleración que le produce: amFT ·= De este modo el trabajo que realiza la fuerza total será xamWT ∆= ·· En esta ecuación podemos utilizar una expresión que vimos en cinemática para el movi-miento rectilíneo uniformemente acelerado: xavv o ∆=− ··222

Despejando en ella, resulta 2

·22ovv

xa−

=∆ que, sustituida en la ecuación del trabajo me-

cánico, nos sale:

⇒∆= xamWT ··

−=

2·

22o

T

vvmW , es decir,

2·

2·

22o

T

vm

vmW −= ; cocT EEW −=

El resultado anterior es la forma matemática del teorema de las fuerzas vivas:

“El trabajo realizado por el conjunto de todas las fuerzas que actúan sobre un cuer-po durante cierto tiempo, se utiliza exclusivamente para producir una variación de su energía cinética, cT EW ∆= ”

El anterior teorema se puede completar distinguiendo dos tipos de fuerzas de entre las que pueden actuar sobre los cuerpos: las que conducen a una energía potencial (como el peso o las fuerzas elásticas) y las demás fuerzas. Si las denominamos pF y nF , respecti-



vamente, la fuerza total sería su suma, npT FFF += , por lo que el trabajo que dicha fuerza

realiza puede también expresarse como suma de dos trabajos, npT WWW += .

Ahora bien, por definición, el trabajo realizado en contra de la fuerza del peso, equivale a la variación de la energía potencial (si subimos un objeto realizando una fuerza igual a su peso, el trabajo realizado equivale al aumento de su energía potencial, hgmWp ∆=− ·· ).

Por tanto, pp EW ∆=− y, aplicando el teorema de las fuerzas vivas, resulta que

cnp EWE ∆=+∆− , que podemos escribir de este modo: pcn EEW ∆+∆=

Recordemos ahora que la energía mecánica es la suma de las energías cinética y la po-tencial, por lo que finalmente tenemos:

Mn EW ∆= El significado de la anterior expresión matemática es que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, excepto su peso, se invierte en modificar su ener-gía mecánica . Por tanto, si no actúa ninguna otra fuerza más que el peso, cualquier cuerpo tiene que conservar su energía mecánica . La última fórmula puede escribirse de forma más detallada cuando se analiza un proble-ma concreto:

+−

+= o

on hgm

vmhgm

vmW ··

2·.·

2·

22

En general, será más fácil resolver el problema aplicando este nuevo teorema de conser-vación de la energía mecánica, que haciéndolo por cinemática. Ejemplo: Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 100 gramos con una veloci-dad de 36 km/h. Calcula su energía cinética y potencial: en los siguientes momentos:

a) Cuando es lanzada hacia arriba. b) Cuando llega a su altura máxima. c) Cuando choca por primera vez con el suelo.

Solución: El problema puede resolverse muy fácilmente por el teorema de conservación de la

energía mecánica, ya que, una vez lanzada hacia arriba, la única fuerza que actúa sobre la pelota

es su propio peso. En realidad sí que existen siempre fuerzas en nuestro entorno que, aunque pe-

queñas, se oponen al movimiento de los cuerpos (resistencia al aire, rozamientos, etc), por lo que

realizan trabajo negativo que disminuye la energía mecánica. Por eso, al cabo de varios rebotes la

pelota acaba deteniéndose. Sin embargo, en este problema no disponemos de datos para poder

hacer los cálculos exactos

DATOS:

kggm 1,0100 ==

smhkmvo /10/36 ==

?=cE , ?=pE

a) 0=t

b) máxhh =

c) 0=h

Por balance de energía mecánica el problema se resuelve muy fácilmen-

te, ya que ésta permanece constante porque no hay fuerzas distintas al

peso. Por tanto, Mn EW ∆= ; 000 =−⇒=∆⇒= MOMMn EEEW

MOM EE =

Calculando la energía mecánica inicial prácticamente estará resuelto el

problema:

a) En la salida, smvh oo /10;0 == ;

JEJvm

EhgmE MOo

coopo 5;52

101,0

2

·;0··

22

==×====



b) En el punto de máxima altura debe ocurrir que la velocidad es nula (deja de subir y empieza a

bajar). Como la energía mecánica sigue siendo la misma y ahora 0=cE (porque 0=v ),

JEE MOp 5== ; la altura máxima puede calcularse a partir de la energía potencial:

mmgm

EhhgmE p

máxmáxp 1,58,91,0

5

·.· =

×==⇒=

c) En el momento en el que regresa al suelo, la altura, h , vuelve ser nula, por lo que 0=pE y, co-

mo la energía mecánica coincide con la inicial, la energía cinética es la misma con la que salió y,

por tanto, la velocidad es la misma (aunque negativa, pues desciende):

smsmsmm

Ev

mvEcJEE c

MOc /10/100/1,0

5·2·2

2;5

2

−=−=−=−=⇒===

Comprueba que se puede llegar a estos resultados planteando el problema por cinemática, aun-

que los cálculos sean un poco más complicados.

Hay muchas situaciones cotidianas en las que se puede apreciar el principio de conserva-ción de la energía. Así, vemos cómo la energía eléctrica se transforma en luminosa, calo-rífica, mecánica, etc. En los siguientes ejemplos comprobaremos, a partir de cálculos de cinemática , cómo la energía mecánica se conserva. Ejemplo 1 : demuestra que se cumple el principio de conservación de la energía cuando se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba un cuerpo de 2 kg, con una velocidad inicial de 40 m/s. Para resolver el problema por cinemática , recordemos las ecuacio-nes del movimiento de caída libre, al que se ajusta este problema:

tgvv o ⋅−= Ecuación de la velocidad, que va disminuyendo, hasta hacerse nula y luego negativa (descenso).

2

2tgtvh o

⋅−⋅= Ecuación de la altura (suponiendo que la altura inicial es cero), que va aumentando hasta tener un valor máximo y luego disminuye hasta regresar al suelo ( 0=h )

hgvv o ⋅⋅−=− 222 Esta ecuación resulta de eliminar el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores; relaciona velocidad y altura en cada momento.

Aplicando las ecuaciones anteriores a distintos tiempos, se obtienen estos resultados:

t tgvv o ⋅−= 2

2tgtvh o

⋅−⋅= 2

2vmEc

⋅= hgmEp ⋅⋅= pcM EEE +=

(s) (m/s) (m) (J) (J) (J) 0,00 40,0 0,0 1600,00 0,00 1600,00 1,00 30,2 35,1 912,04 687,96 1600,00 2,00 20,4 60,4 416,16 1183,84 1600,00 3,00 10,6 75,9 112,36 1487,64 1600,00 4,08 0,0 81,6 0,00 1600,00 1600,00 5,00 -9,0 77,5 81,00 1519,00 1600,00 6,00 -18,8 63,6 353,44 1246,56 1600,00 7,00 -28,6 39,9 817,96 782,04 1600,00 8,16 -40,0 0,0 1600,00 0,00 1600,00



Como puede observarse, en todo momento la suma de las energías cinética y potencial es siempre la misma (1600 J), de tal modo que cuando sale el objeto y cuando vuelve a caer en el mismo punto del que salió, toda su energía mecánica es cinética. La energía cinética va disminuyendo hasta hacerse cero y luego vuelve a aumentar cuan-do desciende el objeto; la energía potencial evoluciona al revés Como vemos, la energía mecánica se siempre es la misma; se cumple el principio. Ejemplo 2 : se lanza desde el suelo, verticalmente hacia arriba, un cuerpo de 4 kg, con una velocidad de 60 m/s. Calcula las energías cinética y potencial en los siguientes casos:

a) En el momento de lanzarlo b) Cuando su velocidad es 20 m/s c) Cuando está a 120 m. de altura d) En su altura máxima.

Como en el caso anterior, mediante las ecuaciones de caída libre puede calcularse en todo momento la velocidad y la altura del cuerpo: a) En el momento del lanzamiento mhsmvv o 0;/60 ===

JEEEhgmE

Jvm

EpcM

p

c 7200008,94

72002

604

2

22

=+==⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

b) Cuando mg

vvhsmv o 3,163

8,92

6020

2,/20

2222

=⋅−−=

⋅−−

==

JEEEJhgmE

Jvm

EpcM

p

c 720064003,1638,94

8002

204

2

22

=+==⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

c) Cuando smhgvvmh o /33,351208,92602,120 22 =⋅⋅−=⋅⋅−==

JEEEJhgmE

Jvm

EpcM

p

c 720047041208,94

24962

33,354

2

22

=+==⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

d) El objeto llega a la altura máxima cuando su velocidad se hace nula ( smv /0= ), por lo

que mg

vh o

máx 7,1838,92

60

2

22

=⋅

=⋅

=

JEEEJhgmE

Jvm

EpcM

p

c 720072007,1838,94

02

04

2

22

=+==⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅=

Recordemos que este tipo de problemas puede resolverse más fácilmente utilizando el principio de conservación de la energía mecánica : calculando la energía mecánica en uno de los puntos considerados, en el resto tiene que ser siempre la misma (ya que la única fuerza que actúa es el peso). Por tanto, sabiendo la altura (energía potencial) podrá sacarse la velocidad (de la energía cinética) y viceversa. Lo único que ocurre a lo largo del lanzamiento es un intercambio entre energía cinética y potencial siendo siempre su suma constante (la energía mecánica).



3.5. DEMOSTRACIÓN DE ALGUNAS CARACTERÍSTICAS FÍSICA S 1ª) La altura que alcanza un cuerpo cuando se lanza hacia arriba sólo depende de la velocidad de lanzamiento y no de la masa. Ya lo sabemos por cinemática, pero se puede demostrar con el principio de conservación de la energía, que en este caso equivale a decir que la energía mecánica es la misma en el suelo (donde 0; == hvv lanz ) que en el punto de altura máxima (donde máxhhv == ;0 ), por lo

que:

⇒⋅⋅=⋅

⇒

⋅⋅==

⋅==

máxlanz

máxmáxpmáxM

lanzsuelocsueloM hgm

vm

hgmEE

vmEE

2)()(

2)()( 2

2

g

vh lanz

⋅=

2

2

max

Como vemos, la altura que alcanza un cuerpo cuando se lanza hacia arriba sólo depende de la velocidad de lanzamiento y no de la masa. 2ª) La velocidad con que llega al suelo un cuerpo, y po r lo tanto, el tiempo que tarda en llegar al suelo, sólo depende de la altura desde la cual se suelta y de la velocidad de lanzamiento, y no de la masa. De igual modo que en el caso anterior, la energía mecánica coincide en el punto lanza-miento (donde lanzlanz hhvv == ; ) y al llegar al suelo (donde 0; == hvv lleg ), por lo que:

⇒⋅⋅+⋅

=⋅

⇒= lanzlanzlleg

lanzMllegM hgmvmvm

EE22

)()(22

lanzlanzlleg hgvv ⋅⋅+= 22

Es decir, la velocidad de llegada no depende de la masa del cuerpo.

Aplicando el principio de conservación de la energía , los problemas de caída libre de los cuerpos se pueden resolver más fácilmente por energías que por cinemática.

Ejemplo 1 : Calcula la altura máxima que alcanza un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 80 m/s. Tal como ya vimos, la altura máxima será:

mg

vh lanz 5,326

8,92

80

2

22

max =⋅

=⋅

=

Ejemplo 2 : Calcula la velocidad con la que llega al suelo un objeto que se deja caer des-de una altura de 180 metros. Haciendo uso de la ecuación de la velocidad de llegada al suelo, teniendo en cuenta que la velocidad de salida es nula ( 0=lanzv ) y la altura inicial, lanzh , 180 metros:

smsmmsmhgvv lanzlanzlleg /4,59/3528180/8,9202 222 ==⋅⋅+=⋅⋅+=



3.6. TEMPERATURA Y CALOR Todos sabemos que cuando calentamos un objeto su temperatura aumenta. A menudo pensamos que calor y temperatura son lo mismo. Sin embargo, no es así, ya que, aunque están relacionados, son conceptos diferentes, como veremos a continuación. 3.6.1. LA TEMPERATURA La temperatura es una propiedad de la materia que suele considerarse como una medida del calor o energía térmica de las partículas de las sustancias, aunque en realidad lo que mide es la energía cinética media de estas partículas y no depende ni del tamaño de las partículas, ni de su número. De este modo, la temperatura del agua que hierve en un cazo es la misma que la del agua que hierve en una olla, pese a que quizá la olla sea mucho más grande y contenga miles de trillones de moléculas de agua más que el cazo. La temperatura no es energía, sino una medida de el la y se pone de manifiesto por los efectos que produce sobre la materia, ya que la mayor o menor energía cinética de las partículas produce la dilatación o contracción de los objetos, pero también puede pro-ducir cambios de estado (si aumenta hace que la sustancia pase de sólido a líquido y luego a vapor, y a la inversa si disminuye), o la variación de la resistencia eléctrica .

Los termómetros son aparatos que permiten medir la temperatura basados en la medida de una propiedad termo-métrica (la altura del mercurio o de un líquido coloreado en el interior de un tubo delgado, la longitud de un hilo metálico, la resistencia eléctrica de un conductor, etc) que varía con la temperatura. Para que las medidas sean comprensi-bles por cualquier persona será necesario utilizar una escala de temperatura , en la que se establecen los valores de tempe-ratura en dos situaciones de referencia fácilmente reproducibles, que suelen ser los puntos de fusión y ebullición del agua. Las escalas más utilizadas son la centí-grada, la absoluta y la Fahrenheit:

- La escala Centígrada (ºC) : hace corresponder 0ºC a la temperatura de congela-ción del agua y 100ºC a la temperatura de ebullición del agua y está dividida en 100 grados.

- La escala Fahrenheit (ºF) : identifica 32 º F y 212 ºF a las temperaturas de conge-lación y ebullición del agua, respectivamente, y tiene 180 divisiones.

- La escala absoluta o Kelvin (K):se obtiene sumando 273 a los º C. Así 0º C se-rían 273 K y 0 K serían -273º C, que es el llamado cero absoluto, una temperatura imposible de conseguir.

Para pasar de una escala a otra utilizaremos las siguientes relaciones: PUNTO DE REFERENCIA ºF ºC K

180

32º

100

273

100

º −=−= FKC

El agua hie rve a 212 100 373 Temperatura Ambiente 72 23 296 El agua se congela a 32 0 273

Cero Absoluto -460 -273 0



3.6.2. CALOR El calor es una forma de energía que se transfiere desde un cuerpo a mayor temperatura (cuerpo “caliente”), a otro de menor temperatura (cuerpo “frío”). Los cuerpos no pueden tener calor ya que el calor es algo que “fluye“ entre dos cuer-pos a distinta temperatura. Para que exista calor debe existir diferencia de temperatura, pero no todos los cuerpos transmiten el calor con igual facilidad, aunque sea igual la va-riación de la temperatura. El calor se mide en julios , igual que el trabajo y la energía, aunque tradicionalmente se ha utilizado la caloría , definida como el calor necesario para aumentar en un grado centígrado la temperatura de un gramo de agua (más exac-tamente, para pasar de 14,5ºC a 15,5ºC). El calor específico o capacidad calorífica específica de un cuerpo, Ce, es una magnitud física relacionada con la anterior definición, ya que es el calor que necesita 1 g de sustancia para aumentar 1 grado centí-grado su temperatura, por lo que el calor específico del agua es 1 cal /gºC. No es de extrañar que para definir la unidad tradicional de calor se haya utilizado como referencia el agua, ya que es una sustancia especial, imprescindible en nuestras vidas y asequible en cualquier lugar. De hecho, se ha utilizado como referencia para muchas otras magnitudes físicas (masa, volumen, densidad, escalas de temperatura, etc). Las cualidades térmicas del agua también son excepcionales, ya que necesita ganar o perder mucho calor para modificar un poco su temperatura, haciendo de moderador tér-mico , que se pone de manifiesto, por ejemplo, en las regiones costeras, donde el clima es más benigno que en las continentales de igual latitud. Aunque en los comienzos del estudio de las máquinas térmicas (la máquina de vapor, motores de combustión, etc) se pensó que el calor era una especie de fluido, J.P. Joule

demostró que el calor no es más que una forma de energía. Para ello realizó un experimento en el que conseguía elevar la temperatura de un recipiente con agua mediante paletas agitadoras movidas al caer un objeto desde una altura conocida. De este modo deter-minó el llamado equivalente mecáni-co del calor :

1 caloría =4,18 julios En el Sistema Internacional de unida-des, se utiliza el julio como unidad de trabajo, energía y, por tanto, calor, por lo que será conveniente tenerlo en cuenta en problemas que queramos

resolver. Como consecuencia de la anterior equivalencia, el calor específico del agua, en unidades del S.I. será 4180 J/kgºC.



El cociente entre el calor, Q , y el incremento o variación de temperatura, oTTT −=∆ , se

llama capacidad calorífica, T

QC

∆= .

El calor específico, eC , es la capacidad calorífica por unidad de masa, por lo que el calor ganado o perdido por un cuerpo viene dado por la siguiente ecuación:

)( oe TTCmQ −⋅⋅= En la ecuación anterior, Q es el calor intercambiado, m la masa del cuerpo y eC , su calor

específico. Las temperaturas final e inicial son T y oT respectivamente. El calor fluye del cuerpo “caliente” al cuerpo “frío” hasta que se igualan las temperaturas, consiguiendo lo que se llama el equilibrio térmico , en el que se cumplirá lo siguiente:

)()( ceccFeFF

cedidoganado

TTCmTTCm

QQ

−⋅⋅−=−⋅⋅

−=

Ejemplo : Se mezclan dos kg de agua a 40º C con un kg de agua a 20º C, ¿Cuál será la temperatura final? (dato, el calor específico del agua es de 4180 J / kgºC) Solución: El agua a mayor temperatura cede energía a la más fría, hasta conseguir el equilibrio

térmico a una temperatura intermedia T , de forma que cedidoganado QQ −=

Como la sustancia fría y caliente es agua, tendremos:

)40(41802)20(41801)40(41802)(

)20(41801)(−⋅⋅−=−⋅⋅⇒

−⋅⋅=−⋅⋅=

−⋅⋅=−⋅⋅=TT

TTTCmQ

TTTCmQ

cecccedido

FeFFganado

Resolviendo la última ecuación, sale CT º3,33= 3.6.3. CAMBIOS DE ESTADO Para que una sustancia pase de sólido a líquido (fusión) o de líquido a gas (evaporación) es necesario separar sus moléculas aportando una energía llamada calor latente (del correspondiente cambio de estado), que es característica de cada sustancia. De igual modo, en los cambios de estado regresivos (solidificación-de líquido a sólido- o conden-sación-de gas a líquido-) se libera una energía equivalente al calor latente. Por tanto, cuando se alcance la temperatura de un cambio de estado, en los términos de

ganadoQ o cedidoQ del balance calorífico habrá que añadir el calor latente (positivo o negativo,

según proceda) de dicho cambio:

cL LmQ ·= En esta ecuación cL es el calor latente específico del cambio de estado de la sustancia, por cada kilogramo (están tabulados para muchos materiales); mes la masa en kilogra-mos de la sustancia que experimenta el cambio de estado y LQ es el calor latente del cambio de estado para los mkilogramos de sustancia.



Ejemplo : En un termo que contiene 900 gramos de agua a 25ºC se añaden 100 gramos de hielo a -10ºC. Sabiendo que el calor específico del hielo es 2090 J/kgºC, el del agua 4180 J/kgºC y que el calor latente de fusión del agua es 334 J/kg, calcula la temperatura de equilibrio que alcanzará el agua del termo. Solución: Este es un caso de intercambio de calor con cambio de estado incluido, ya que lo normal

es que se llegue a una temperatura por encima de 0ºC (punto de fusión del hielo), pero menor de

los 25ºC a los que se encontraba el agua caliente.

DATOS:

CTa º25=

kggma 9,0900 ==

CTh º10−=

kggmh 1,0100 ==

CkgJch º/2090=

CkgJca º/4180=

kgJL f /334=

?=eT

El agua caliente cederá calor ( cedidoQ ) al hielo, que lo ganará ( ganadoQ ), haciendo

que suba su temperatura hasta 0ºC, se funda a esta temperatura y, ya como

agua líquida, se caliente hasta la temperatura de equilibrio, eT :

cedidoganado QQ −=

)()0·(··)0( aeaaeahfhhhh TTCmTCmLmTCm −⋅⋅−=−++−⋅⋅

Sustituyendo valores, resulta una ecuación cuya única incógnita es eT :

)25(41809,0)0(41801,03341,0))10(0(20901,0 −××−=−××+×+−−×× ee TT

Desarrollando:

9405037624184,332090 +×−=×++ ee TT

Agrupando términos semejantes:

6,919264180 =× eT ; por tanto, CTe º224180

6,91926 ==

Es decir, el agua del termo quedará a 22ºC cuando se alcance el equilibrio térmico.



3.6.4. MÁQUINAS TÉRMICAS Son dispositivos construidos para aprovechar la energía calorífica, normalmente extraída de un combustible fósil, de modo que pueda obtenerse un trabajo mecánico, asociado casi siempre al giro de un elemento de la máquina. Se empezaron a utilizar masivamen-te a partir de la re-volución industrial del siglo XVIII y hoy en día la vida nos resultaría muy incómoda sin ellas. Algunos ejemplos de máquina térmi-ca son la máquina de vapor, los motores de los coches y motos o muchos de los generadores de electrici-dad. Su funcionamiento se basa en la propia naturaleza de la transmisión del calor: la existencia de un foco caliente (caldera o cámara de combustión) y otro frío, al que fluirá el calor (normalmente, el aire en con-tacto con la máquina). Precisamente por este principio es imposible transformar toda la energía calorífica en trabajo , ya que irremediablemente debe “perderse” cierta cantidad en el medio para que la má-quina funcione; así, un buen motor de ex-plosión de un coche puede tener un rendi-miento del orden del 50%.



4. ENERGÍA Y MEDIOAMBIENTE La necesidad de energía es una constatación desde el comienzo de la vida misma. Un organismo para crecer y reproducirse precisa energía; el movimiento de cualquier animal supone un gasto energético, e incluso el mismo hecho de la respiración de plantas y ani-males implica una acción energética. En todo lo relacionado con la vida individual o social está presente la energía. La obtención de luz y calor está vinculada a la producción y al consumo de energía. Ambos términos son imprescindibles para la supervivencia de la

Tierra y, consecuentemente, de la vida vegetal, animal y humana. El ser humano desde sus prime-ros pasos en la Tierra, y a lo lar-go de la historia, ha sido un bus-cador de formas de generación de esa energía necesaria y facili-tadora de una vida más agrada-ble. Gracias al uso y conocimien-to de las formas de energía, ha sido capaz de cubrir necesidades básicas (luz, calor, fuerza, mo-vimiento) y alcanzar mayores cotas de confort para tener una vida más cómoda y saludable. La constatación de que existen en la naturaleza recursos energé-ticos de diversos tipos, ha su-puesto a las diferentes socieda-des a lo largo de los tiempos el

descubrimiento de la existencia de "almacenes energéticos naturales" que, aparentemen-te, eran de libre disposición. Unido a esto, el hombre ha descubierto que estos almacenes de energía disponibles en la naturaleza (masas de agua, direcciones de viento, bosques,) eran susceptibles de ser transformadas en la forma de energía precisa en cada momento (luz y calor inicialmente, fuerza y electricidad con posterioridad), e incluso adoptar nuevos sistemas de producción y almacenamiento de energía para ser utilizada en el lugar y mo-mento deseado (energía química, hidráulica, nuclear,...), cuyo uso ha ocasionado una modificación del entorno y un agotamiento de los recursos del medioambiente. El actual sistema energético tiene como consecuencia inmediata un progresivo deterioro medioambiental que expone a amplias zonas del planeta a graves procesos de desertiza-ción, erosión y contaminación, debidos, en buena medida, a los residuos producidos en la obtención de muchas de las formas de energía.

FUNDAMENTOS BASICOS DEL SISTEMA ENERGÉT ICO 1. Demanda de energía para satisfacer necesidades. 2. Determinación de la cantidad de energía requerida. 3. Asignación de costes y beneficios de producción. 4. Selección de fuentes de energía y formas de producción. 5. Oferta de energía que cubra la demanda. 6. Mecanismos de abastecimiento: almacenaje, transporte y distribución. 7. Consumo de energía y sus usos. 8. Efectos del uso de energía sobre el medio ambiente.



4.1. FUENTES DE ENERGÍA Y SUS EFECTOS SOBRE EL MEDI OAMBIENTE Hoy en día, la energía nuclear , la procedente de los combustibles fósiles , de la bioma-sa (principalmente combustión directa de madera) y la hidráulica , satisfacen la demanda energética mundial en un porcentaje superior al 98%, siendo el petróleo y el carbón las de mayor utilización.

PRODUCCION ENERGETICA EN EL MUNDO 75%:Combustibles fósiles 12%: Combustión de madera 6%: Energía hidráulica 5%: Energía nuclear 2%: Otros

La utilización de estos recursos naturales implica, además de su cercano y progresivo agotamiento, un constante deterioro para el medio ambiente, que se manifiesta en emi-siones de gases contaminantes (CO2, NOx, y SOx), responsables de problemas como la lluvia ácida, el efecto invernadero o el smog quími co en las grandes ciudades. Otras secuelas de todo ello son el aumento progresivo de la desertización y la erosión, así como la modificación de los mayores ecosistemas mundiales con la consecuente pérdida de biodiversidad , generación de flujos migratorios forzados y de núcleos poblacionales ais-lados tendentes a la desaparición.



Estas agresiones van acompañadas de grandes obras de considerable impacto ambiental (difícilmente cuantificable) como las centrales hidroeléctricas, el sobrecalentamiento del agua en costas y ríos generado por las centrales térmicas (de combustibles fósiles y nu-cleares), la creación de depósitos de elementos radiactivos, y de una gran emisión de pe-queñas partículas volátiles que provocan la lluvia ácida, agravando aún más la situación del entorno: parajes naturales desfoliados, ciudades con altos índices de contaminación, afecciones de salud en personas y animales o desaparición de especies animales y vege-tales que no pueden adaptarse a las nuevas condiciones. El futuro amenazador para nuestro entorno, aún se complica más si se tiene en cuenta que sólo un 25% de la población mundial consume el 75% de la producción energética. Este dato, además de poner de manifiesto la injusticia y desequilibrio social existente en el mundo, indica el riesgo que se está adquiriendo al exportar a países en desarrollo un modelo agotado y ya fracasado en países desarrollados. Este modelo se basa en la con-sideración de que la producción energética se sustenta en una visión del mundo en la que el ser humano es el dominador de la naturaleza y del entorno, en vez de sentirse parte integrada del mismo, y en el que el consumo se manifiesta como un grado de confort. 4.2. CONSUMO Y ENERGÍA La necesidad de aumento productivo de las sociedades industrializadas conlleva un in-cremento de los bienes de consumo y la creación de un mecanismo en el que se estable-ce una equivalencia entre el confort y el consumo. Ello ha supuesto en las últimas déca-das una avidez consumista, en donde el consumo es una finalidad en sí misma. La acu-mulación de bienes útiles o no, el despilfarro como signo de poder adquisitivo y distinción social, la exigencia de gasto de elementos perecederos, son consecuencias del sistema económico de las sociedades desarrolladas, basado en mantener una capacidad produc-tiva creciente. Por todo ello, la demanda energética ha aumentado en la industria (que necesita una ma-yor producción) y en los consumidores de los productos elaborados (muchos de ellos, como los coches, necesitan energía para realizar su función). El espectacular aumento de la población mundial, debido, entre otros factores, a los con-siderables avances sociales de la medicina, ha contribuido también al aumento del con-sumo energético mundial. Teniendo en cuenta que las sociedades modernas no respon-den a antiguos modelos feudales o totalitarios, no debe extrañar que demanden unos bie-nes y recursos energéticos antaño reservados sólo a privilegiados. Evidentemente, este cambio implica la urgente necesidad de optimizar la eficiencia energética, tanto en la pro-ducción como en el consumo.

El estado del bienestar, ha gene-rado el "estado del gasto y de la dependencia energética". No es de extrañar, por tanto, que uno de los parámetros más importan-tes para clasificar el grado de desarrollo de un país, sea su gasto energético per cápita. La energía ha pasado a lo largo de la historia, de ser un instru-mento al servicio del ser humano para satisfacer sus necesidades básicas, a ser la gran amenaza -

motor y eje de la problemática ambiental que se cierne sobre el planeta, hipotecando la existencia de las generaciones venideras.



Una de las aportaciones a la solución, o al menos paralización de esta problemática me-dioambiental, es lograr que satisfaciendo las necesidades actuales de energía, ésta sea producida sin alterar esos almacenes energéticos que cumplen una función de equilibrio ecológico, y que su uso, además de ser más eficiente, no sea origen de fuentes de con-taminación ni aumento del deterioro actual y futuro del entorno, evitando el derroche de energía y aprovechando al máximo la producción realizada. En resumen, tres son los problemas a los que nos ha abocado el consumo desmedido de la energía:

1) Deterioro del entorno. 2) Un paulatino agotamiento de los recursos naturales. 3) Desequilibrio irracional en el reparto del consumo y uso de la energía.

Ante esta situación, las energías alternativas, como la nuclear o las renova bles , ad-quieren un papel primordial, necesario y urgente tanto en su aplicación como en la difu-sión de su uso. Tampoco debe descartarse a corto o medio plazo la posibilidad de que se logre finalmente dominar la tecnología de fusión nuclear para aplicarla a la producción de energía de forma prácticamente ilimitada y sin producción de residuos peligrosos. 4.3. ENERGÍAS RENOVABLES La disponibilidad de las fuentes de energía renovable es mayor que la de los combustibles fósiles (carbón, gas natural y petróleo). Sin embargo su utilización es más bien escasa. El uso de las energías renovables está siendo impulsado considerablemente en los últi-mos años por el desarrollo de la tecnología, la reducción de los costes de instalación y amortización, la mayor concienciación social ante los problemas medioambientales, las políticas energéticas y el control que pueden realizar sobre los centros de producción las compañías eléctricas. Por otro lado, el cuestionamiento del modelo de desarrollo sostenido y su cambio hacia un modelo de desarrollo sostenible, implica una nueva concepción sobre la producción, el transporte y el consumo de energía. En el modelo de desarrollo sostenible, las energías renov ables son consideradas como fuentes de energía inagotables, pero a la vez limpias , definidas por las siguien-tes características:

- Sistemas de aprovechamiento energético con escaso o nulo impacto ambiental y sin riesgos potenciales añadidos.

- Indirectamente suponen un enriqueci-miento de los recursos naturales.

- La cercanía de los centros de producción energética a los lugares de consumo puede ser viable en muchas de ellas.

- Son una alternativa real a las fuentes de energía convencionales y, a largo o me-dio plazo, será posible sustituir paulati-namente a éstas.

A continuación se comentan las características de las principales fuentes de energía renovables: eólica, geotérmica, hidráulica, biomasa y solar .



4.3.1. LA ENERGÍA EÓLICA Es la que se obtiene de convertir la energía cinética del viento en electricidad, por medio de aerogeneradores (molinos de viento modernos) que suelen agruparse en los llamados parques eólicos . El potencial de la energía eólica se estima en veinte veces superior al de la energía hidráulica. Está adquiriendo cada vez mayor implantación gracias al esta-blecimiento de zonas de aprovechamiento eólico y la optimización de los aerogeneradores mediante el uso de nuevos materiales en su construcción.

Una ventaja que ofrece esta tecnología es que permite instalar desde aplicaciones ais-ladas para el bombeo de agua, hasta gran-des parques eólicos con producciones de varios MW. Sus principales inconvenientes son la in-constancia de producción (por la variabilidad de la fuerza del viento) y su impacto ambien-tal, mucho menor que cualquier tipo de cen-tral productora de energía convencional, siendo su principal agresión al entorno los accidentes de la avifauna y el impacto de los grandes parques, cuestiones que pueden ser minimizadas estudiando adecuadamente la ubicación y el sistema de distribución. El emplazamiento de la instalación de apro-vechamiento eólico, la velocidad del viento y su rango de valor constante va a determinar su capacidad y autonomía productiva.

4.3.2. LA ENERGÍA GEOTÉRMICA Es la procedente del subsuelo, bien del calor solar acumulado en la Tierra o del que se origina bajo la corteza terrestre, que es el que más comúnmente tiene esta denominación. La energía procedente del flujo calorífico de la Tierra es susceptible de ser aprove-chada en forma de energía mecánica y calorífica, ya que permite mover las turbi-nas de generadores de elec-tricidad o usarse directa-mente como fuente de calor para calefacción doméstica. Es una fuente energética limitada, aunque puede con-siderarse renovable por el volumen del almacenamien-to y la capacidad de extrac-ción. Su impacto ambiental es reducido, y su aplicabilidad está en función de la relación entre facilidad de extracción y de ubicación.



4.3.3. LA ENERGÍA HIDRÁULICA Esta energía renovable es la obtenida por medio de las energías cinética y potencial de la corriente de los ríos y saltos de agua por medio de plantas hidroeléctricas que las convierten en energía eléctrica. Se estima que la potencialidad energética del agua de toda la Tierra es equivalente a 500 centrales de 1000 MW cada una. Para minimizar el impacto ambiental y favorecer la cercanía de los centros de producción

a los de consumo, se está potenciando el desa-rrollo de minicentrales que permiten un mayor aprovechamiento energético de cauces de los ríos y una paulatina sustitución de las macro-centrales hidroeléctricas, que originan graves problemas medioambientales y demográficos. También puede considerarse energía hidráulica la energía maremotriz , obtenida a partir del movimiento del agua del mar (olas y mareas), para lo cual se están desarrollando sistemas de turbinas hidráulicas que aprovechan el oleaje y los flujos de ascenso y descenso de las ma-reas. Otros dispositivos permiten obtener ener-gía térmica del mar al aprovechar la diferencia de temperatura existente entre la superficie y las corrientes profundas, que puede llegar a

alcanzar hasta veinticinco grados centígrados y es utilizable las 24 horas del día. 4.3.4. LA ENERGÍA DE LA BIOMASA Las plantas usan el Sol para crecer. La materia orgánica de la planta se llama biomasa y alma-cena a corto plazo la energía solar en forma de carbono. La biomasa es parte del ciclo natural del carbono entre la Tierra y el aire; es la ener-gía contenida en la materia orgánica , permi-tiendo diversas formas de aprovechamiento, se-gún se trate de materia de origen animal o vege-tal. Sólo en materia vegetal, se estima que se producen anualmente doscientos millones de toneladas. El principal aprovechamiento energético de la biomasa es la combustión de la madera , que genera contaminación atmosférica y un problema indirecto de desertización y erosión, salvo que se realice una planificación forestal correcta. Los desechos orgánicos también son utilizables mediante transformaciones químicas principalmente, siendo las más conocidas las aplicaciones de digestores anaeróbicos para detritus orgánicos y la producción de biogás procedente de residuos sólidos urbanos. Sin embargo, la creciente innovación tecnológica de materiales y equipos está afianzando nuevos sistemas de aprovechamiento de los residuos ganaderos y forestales , y conso-lida un esperanzador futuro en la línea de los biocombustibles , de modo que se pueda compatibilizar una agricultura sostenible con un diseño de producción energética que res-pete el entorno.



4.3.5. LA ENERGÍA SOLAR

Es la energía obtenida a partir de la radiación procedente del Sol , que se manifiesta fundamental-mente por un calentamiento de la superficie terrestre iluminada por el Sol. La energía solar es la mayor fuen-te de energía disponible, ya que el Sol proporciona una energía de 1,34 kw/m2 a la atmósfera supe-rior. Un 25% de esta radiación no llega directamente a la Tierra de-bido a la presencia de nubes, pol-vo, niebla y gases en el aire. A pesar de ello, disponiendo de captadores energéticos apropia-dos y con sólo el 4% de la superfi-

cie desértica del planeta captando esa energía, podría satisfacerse la demanda energéti-ca mundial, suponiendo un rendimiento de aquéllos del 1%. Como dato comparativo con otra fuente energética importante, sólo tres días de Sol en la Tierra proporcionan tanta energía como la que puede producir la combustión de los bosques actuales y los combus-tibles fósiles originados por fotosíntesis vegetal (carbón, turba y petróleo). Este tipo de energía tiene un enorme potencial debido a que el Sol puede considerarse inagotable, pudiéndose aprovechar su energía mediante paneles solares térmicos o fo-tovoltaicos (que transforman la radiación solar en energía eléctrica). El problema más importante de la energía solar es la disponibilidad de sistemas suficien-temente eficientes de aprovechamiento (captación o transformación). Los sistemas de aprovechamiento de la energía solar más comunes son:

a) El calentamiento de agua , de utilidad para proporcionar calor y refrigerar, median-te colectores planos y tubos de vacío principalmente.

b) La producción de electricidad , con la utilización del efecto fotovoltaico , basado en el hecho de que determinados materiales tienen la cualidad crear una corriente eléctrica al ser excitados por fuentes luminosas. Para aprovechar este fenómeno se usan células y paneles fotovoltaicos. También hay sistemas de producción de energía eléctrica con plantas solares térmicas , en las que la radiación solar se concentra en un foco mediante espejos curvos, consiguiendo obtener vapor de agua que mueve una turbina conectada a un generador eléctrico.

c) La edificación bioclimática , consistente en el aprovechamiento de la energía so-lar en las viviendas aprovechando las características climáticas de la zona en don-de se ubique y utilizando materiales que proporcionen un máximo rendimiento a la radiación recibida.

Ahora bien, a pesar de ser la fuente energética más acorde con el medio, inagotable y con capacidad suficiente para abastecer las necesidades de energía del planeta, el aprove-chamiento de la energía solar habrá de solventar el conflicto derivado del hecho de que se produce sólo durante unas determinadas horas (a lo largo del día) y, por tanto, será nece-sario mejorar el sistema de almacenamiento de energía y simultanear los distintos méto-dos de aprovechamiento.



4.4. SOCIEDADES INDUSTRIALIZADAS En las sociedades industrializadas, la energía tiene que ser producida, almacenada, trans-formada y transportada para ser utilizada por el consumidor (persona, fábrica, maquina-ria,) en las diversas formas de luz, calor, fuerza y trabajo, principalmente. Los costes económicos y medioambientales inherentes a este proceso son reducidos en función de la cercanía entre el centro de producción y el del consumo final. De igual mo-do, del uso que se realice de esta energía va a depender una mayor o menor exigencia de su demanda. Como consecuencia de ello, un uso ajustado de la energía, limita no sólo el consumo, sino también la producción. En una visión global en la que la energía es un mero instrumento al servicio del desarrollo y en la que éste se encuentra ligado al bienestar, el au-mento de aquella significa un incremento de éste, y por tanto, cuanto mayor sea la producción y con-sumo de aquella, mayor será el bienestar de la sociedad que lo disfruta. Ahora bien, las sociedades industrializadas quie-ren disponer también de un entorno saludable y, por ello, tratan de minimizar al máximo las conse-cuencias medioambientales que acarrea una pro-ducción energética con fuentes convencionales. Por ello, la apuesta que se realiza es la de favore-cer el ahorro de energía a través de una mayor eficiencia en los materiales de consumo, habitabi-lidad, procesos industriales, transporte,..., al mismo tiempo que se aplican sistemas de limitación del consumo mediante diferentes automatismos, e incluso se buscan fórmulas de aprovechamiento energético mediante sistemas de cogeneración, de modo que la energía desprendida en los procesos de transformación sea reutilizada, evitando así un nuevo gasto de producción. Todo ello con campañas institucionales-gubernamentales de difusión acerca de la necesidad del ahorro energético, y sensibilización sobre los hábitos de consumo. Para evitar la dependencia energética del exterior, los países industrializados fomentan la diversificación de las fuentes de energía, de modo que sea posible lograr un autoabaste-cimiento mediante sistemas productivos endógenos, que además favorecen la cercanía geográfica entre producción y consumo. Así se logra minimizar los costes ambientales, manteniendo los mismos niveles de "bienestar alcanzados" y reduciendo en parte la con-taminación, y se da cumplimiento a acuerdos internacionales de conservación del entorno. Sin embargo siguen sin solucionarse los grandes problemas del agotamiento de los recur-sos, la eliminación total de los desechos que provocan el deterioro medioambiental y aca-bar con la desigualdad energética entre los países. 4.5. CONVENIOS Y TRATADOS INTERNACIONALES Las agencias nacionales e internacionales de la energía elaboran informes y recomenda-ciones acerca de la problemática general de la energía. De igual modo, la Conferencia de las Naciones Unidas sobre el medio ambiente y el desarrollo realiza aportaciones acerca de los planes y objetivos que deben intentar cumplirse para paliar y modificar el deterioro ambiental y el uso de las energías convencionales que lo provocan. Sin embargo, es de destacar que en septiembre de 1.992, se celebró en Madrid, el XV Congreso Mundial de la Energía, en el que se marcaron estrategias y pautas a seguir para el uso de la energía



en los años siguientes, sugiriendo que el futuro de la producción energética se sustentará en la fusión nuclear y el modelo de desarrollo aboga por el consumo de energía ligado al crecimiento del bienestar. Asimismo, la Declaración de Madrid de 1994, hizo una clara apuesta por el fomento del uso de las energías renovables

Como consecuencia de estos acuerdos internacionales se han fomentado diversos programas energéticos (Thermie, Altener, Valoren, etc) y se ha llevado a efecto la Cumbre Solar Mundial (promovida por la UNESCO), de modo que se ha marcado como objetivo que entre los años 2.010 y 2.015, el 15% del consumo de la energía primaria conven-cional en Europa sea de origen renovable y que ello sirva de estímulo para la promoción de nuevas iniciativas enca-minadas a lograr un desarrollo sostenible.

4.6. ACCIONES POSITIVAS Algunas de las medidas que serían recomendables para solucionar el problema energéti-co y medioambiental a nivel mundial son las siguientes:

a) Establecer controles más estrictos en materias de seguridad y de emisión de con-taminantes en los centros de producción energética y disminuyendo progresiva-mente el uso de combustibles de origen fósil.

b) Favorecer el ahorro de energía por medio de la sensibilización, la modificación de hábitos de consumo, la investigación y la exigencia de fabricación de equipos de mayor eficiencia energética y bajo consumo.

c) Diversificar las fuentes de energía con la paulatina sustitución de fuentes de ener-gía basadas en el uso de los combustibles fósiles por otras como las renovables.

d) Investigar nuevas formas de aprovechamiento y almacenamiento energético a tra-vés de la promoción de planes de I+D, y el apoyo a experiencias piloto de posterior aplicación.

e) Acercar los centros de producción a los lugares de consumo mediante el aprove-chamiento del potencial energético de las energías renovables, aumentando los cen-tros de producción y tendiendo a dejar de operar con centros de gran capacidad pro-ductiva.

ANEXO I: REPASO DE MATEMÁTICAS MÓDULO CUATRO

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO Repaso-1

I.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Según las necesidades que se han ido produciendo para contar diferentes realidades, los humanos hemos ideado diferentes tipos de números que dan respuesta a éstas:

a) Números Naturales (su conjunto se representa con N): permiten contar animales, cosas, etc N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....

b) Números Enteros (Z): permiten contar “las deudas”, es decir, incluyen números ne-gativos: Z=...., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...

c) Números Racionales (Q): permiten representar porciones de un todo: Q=..., 5

12− , 21− , 8

6− , 10 , 9

4 , 27 , 3

15 , ...

d) Números Irracionales (I): como π, 2 , ... e) Números Reales (R): incluyen todos los anteriores.

I.2. OPERACIONES CON NÚMEROS Y PROPIEDADES En general, con todos los tipos de números anteriores es posible realizar operaciones bá-sicas como la suma, resta, multiplicación y división, que ya conocerás. Conviene tener en cuenta en todas ellas unas propiedades que pueden serte de mucha utilidad: - Lo primero que debes saber es que todas estas operaciones se definen para dos núme-ros (podríamos decir que son operaciones ‘binarias’). Por eso, por ejemplo, cuando que-remos hacer 2+2+3, decimos “dos y dos cuatro, y tres, siete”; por supuesto, todos lo sa-bemos hacer, pero fíjate en que has hecho dos sumas, y en cada una de ellas sólo juntas dos números, ¡no tres!. Las siguientes propiedades te ayudarán a solucionar muchos ca-sos (el nombre es lo de menos; fíjate en los ejemplos):

SUMA MULTIPLICACIÓN

Propieda d Ejemplo Propiedad Ejemplo

CONMUTATIVA a+b=b+a 3+2=2+3 5=5 a·b=b·a 3·2=2·3

6=6

ASOCIATIVA a+(b+c)=(a+b)+c 5+(1+6)=(5+1)+6

5+7=6+6 12=12

a·(b·c)=(a·b)·c 2·(3·7)=(2·3)·7

2·21=6·7 42=42

ELEMENTO NEUTRO a+0=a 7+0=7 a·1 = a 7·1=7

ELEMENTO OPUESTO a+(-a)=0 3+(-3)=0

3-3=0 -------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO ------------------------ ----------------------- a· a

1 =1, (si a≠0) 5· 51 = 15

551·5 ==

DISTRIBUTIVA a·(b+c)=a·b+a·c 3·(2+7) = 3·2 + 3·7

3·9 = 6 + 21 27 = 27

- Una de las consecuencias de lo anterior es que con la existencia del opuesto, la resta se equipara a una suma (del minuendo con el opuesto del sustraendo). - De igual modo, con la existencia del inverso, la división se equipara a la multiplicación (del dividendo por el inverso del divisor). - Otra consecuencia es una regla básica cuando aparecen operaciones combinadas: “cuando hay varios números entre los que aparecen su mas, restas, multiplicaciones y divisiones, la PRIORIDAD la tienen la multiplicac ión o división (ambas con igual prioridad) y luego las sumas o restas, salvo que ha ya paréntesis o corchetes, que modifican esta prioridad” .

MÓDULO CUATRO ANEXO I: REPASO DE MATEMÁTICAS

Repaso-2 ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

Ejemplos: a) 3·4+2 = 12+2 =14 b) 3·(4+2) = 3·6 =18 Fíjate cómo con los mismos números y operaciones, el resulta-

do es distinto con el paréntesis. - Regla de los signos en la multiplicación (o división): - Suma de fracciones : si tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador: 8

481

83 =+

Cuando los denominadores no son iguales (que es lo normal), es necesario obtener frac-ciones equivalentes a las dadas que sí tengan los denominadores iguales (para ello basta multiplicar su numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo: 10

155·25·3

23 == , es

decir, 23 y 10

15 son equivalentes y representan la misma cantidad). Hay dos formas de obtener este común denominador:

a) Multiplicando todos los denominadores entre sí: db

bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

·

··

·

·

·

· +=+=+

Ejemplo: 12

52

12

1042

6·2

2·56·7

6

5

2

7 =+=+=+

b) Obteniendo el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y usando éste co-mo común denominador, para lo cual habrá que multiplicar cada numerador por el número que, multiplicado por el denominador original, da el mcm. Recuerda que el mcm de varios números se obtiene multiplicando entre sí los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente de los números de los que se quiere calcular. En el ejemplo anterior: mcm(2 y 6) = 6, luego:

6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3·2

3·7

6

5

2

7 =+=+=+=+

El resultado, como puedes imaginar, es equivalente al anterior: 12

52

2·6

2·26

6

26 ==

La ventaja de usar el mcm es que, en general, conduce a números más pequeños, evi-tando posibles errores. Su inconveniente, es que hay que entretenerse en factorizar y ob-tener el mcm. - Producto de fracciones : se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí

(en ‘horizontal’): db

ca

d

c

b

a

·

·· = Ejemplo:

20

21

5·4

7·3

5

7·

4

3 ==

- División de fracciones : se multiplican numeradores y denominadores ‘en cruz’:

cb

da

d

c

b

a

·

·: = Ejemplo:

28

15

7·4

5·3

5

7:

4

3 ==

- Fracciones equivalentes : representan al mismo número, aunque tengan aspecto dife-rente (numerador y denominador), luego, al dividirlas entre sí darán por resultado 1, o lo

que es lo mismo: cbdad

c

b

a·· =⇒=

(+)·(+) = (+) (+)·(-) = (-) (-)·(+) = (-) (-)·(-) = (+)



- Símbolos matemáticos : en el anterior cuadro aparece el símbolo ⇒ , que se lee “impli-ca” y equivale a decir “... y en consecuencia ...”. Además de éste, en matemáticas se usan muchos otros, entre los cuales puedes encontrarte estos:

≡ Identidad / Tal que ... < Menor que ... ∈ Pertenece a ... ... Conjunto > Mayor que ... ∉ No pertenece a ... ⇒ Implica (directa) ∃ Existe ⇐ Implica (inversa) ∀ Para todo ⇔ Doble implicación

- Potencias : definición de potencia natural:

vecesn

n aaaaa ........··= Ejemplo: 34 = 3·3·3·3 = 81

Propiedades: Ejemplos:

qpqp aa ·)( = 642)2( 623 == qpqp aaa +=· 3222·2 523 ==

ppp baba ·)·( = 369·43·2)3·2( 222 ===

p

pp

b

a

b

a =

243

32

3

2

3

25

55

==

qpq

p

aa

a −= 4222

2 2353

5

=== −

pp

aa

1=− 8

1

2

12

33 ==−

aaaa pp pp =⇒= )(11

2222)2(22 13·33 33

31

31

31

====⇒=

0,10 ≠∀= aa 120 =



EJERCICIOS DE OPERACIONES CON NÚMEROS 1º) Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

a) (-2)·(-5)+6·(7-1) = b) 5·(3+4) –2·(9+21) = c) 3·(2·8)+12-40:5 = d) (9-5)·(6+4)+(3·4):2 = e) 2·(-3)+(5-7)·9-8:2+1 = f) [2-3·(6+4):5]·9+(2-1)·6 = g) -5·(-4)+8:(3+5) = h) 3-5·[3-2·(-1)·(4+2·(3-6):3)] =

2º) Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) =−2

5

7

12

c) =⋅21

5

10

14

b) =4

9:

5

3

d) =−+9

2

6

1

3

4

e) =

−+

−−4

3

2

1

5

3:

5

42

7

29

g) =

++

+

−20

7

5

4

3

1

6

1:

4

1

3

2

f) =+

+

10

7·

7

8

6

1

4

9:

5

3·

2

5

h) =

−15

2:

9

2

6

1·

3

4

3º) Escribe el opuesto y el inverso de los siguientes números:

Número Opuesto Inverso

12

-5

2

1

3

2−

4º) Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los siguientes números: a) 36 y 54 b) 12, 20 y 36

5º) Realiza las siguientes operaciones con potencias, simplificando al máximo cuando sea posible:

a) =2)2·3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5·5

d) =2

42

15

5·3



I.3. ÁLGEBRA Una expresión algebraica contiene operaciones con números, de modo que algunos de ellos están escritos con letras, ya que pueden tener cualquier valor. Ejemplo: x+5 , es una expresión algebraica que nos dice que hay que sumar al cinco cualquier número (el nú-mero ‘ x ’). I.3.1. POLINOMIOS Son expresiones algebraicas de la forma n

no xaxaxaa ++++ ...221 , en la que los valores

no aaaa ,...,,, 21 son números conocidos (coeficientes de los términos de grado cero, uno, dos, ..., ene, respectivamente), siendo x la variable de este polinomio (aparece elevada a los exponentes cero, uno, dos, ..., ene, respectivamente). El grado del polinomio es el máximo exponente al que aparece elevada la variable x . Ejemplo: 2432 xx ++ La variable de este polinomio es x ; es un polinomio de segundo grado (grado dos) y sus coeficientes son:

del término de grado cero: 2 del término de grado uno: 3 del término de grado dos: 4

-Valor numérico de un polinomio : es el resultado de las operaciones indicadas en el polinomio, cuando se sustituye la variable x por un número dado. Ejemplo: el valor numé-rico del polinomio 2432)( xxxP ++= en 5=x , se representa como )5(P , y se obtiene sus-

tituyendo la x por 5, es decir, 1171001725415254532)5( 2 =+=⋅++=⋅+⋅+=P -Operaciones con polinomios: se hacen según las reglas vistas para operaciones com-binadas de números, teniendo en cuenta que, en general, el resultado será otro polinomio.

-Suma y resta: se suman (o restan) los coeficientes de los términos semejantes (los que tienen la x elevada a la misma potencia). Ejemplo: dados los polinomios 2432)( xxxP ++= y xxQ 27)( −= ,

249)()( xxxQxP ++=+ -Multiplicación por un número : Basta con multiplicar todos los coeficientes por el número. Ejemplo: dado el polinomio 2432)( xxxP ++= , 2282114)(7 xxxP ++=⋅ -Multiplicación de polinomios: Se aplica la propiedad distributiva, multiplicando todos los términos de cada polinomio por los del otro, y luego sumando los térmi-nos semejantes. Ejemplo:

329124

264

396

32

132

234

34

23

23

−++−+−

−+−−+−

xxxx

xxx

xx

x

xx



-División de polinomios: igual que con los números naturales, la división puede no ser exacta, siendo entonces el resultado una fracción algebraica. El procedi-miento es parecido a la clásica división de números. Ejemplo:

23

134

44414

1334

2

2

23

2

23

+−−+−+−

−+−+

+−+−

x

xxxx

xxxx

xxxx

El resultado de esta división es: cociente 14 +x resto 23 +− x Por supuesto,

restodivisorcocienteDividendo

xxxxxx )23()1()14(334 223 +−++−⋅+=+−×

Ecuaciones: cuando una expresión algebraica se iguala a otra, se obtiene una ecuación. A la variable o variables, se las llama incógnita porque no todos los números cumplen la igualdad. La solución de la ecuación es el número que hace que se cumpla la igualdad. Ejemplo: 1013 =+x ; en esta ecuación sólo el valor 3=x hace que se cumpla la igualdad ( 10133 =+⋅ ) por lo que es su solución. I.3.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Sólo tienen una variable (normalmente se la llama x ) y no puede tener un exponente dis-tinto de uno. Para resolverlas hay que cambiar la ecuación por otra equivalente (con la misma solución) aprovechando las propiedades de las operaciones combinadas. Las reglas para obtener la solución son estas:

1º) En caso de que haya paréntesis en la ecuación, es conveniente quitar los pa-réntesis aplicando la propiedad distributiva. Ejemplo: 221015)1(2)23(5 −=+⇒−=+ xxxx 2º) Si la ecuación tiene denominadores, se pueden quitar multiplicando todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplo:

xxxxxx

7601015

7·154·15

3

2·15

15

74

3

2 =−⇒

=−

⇒=−

3º) Un término algebraico que está sumando a un lado del signo igual, puede pasar al otro lado cambiando su signo (y viceversa). Esta regla suele usarse para agrupar a la izquierda los términos que contienen la incógnita y a la derecha los que no la llevan. Ejemplo: 11021012 −=+⇒−=+ xxxx , es decir, 93 =x 4º) Un término que está multiplicando a un lado del signo igual, puede pasar al otro

lado dividiendo (y viceversa). Ejemplo: En la ecuación anterior, 3

993 =⇒= xx , es

decir, 3=x Con estas reglas correctamente utilizadas, podrás resolver cualquier ecuación (si tiene solución), por complicada que sea.



I.3.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNIT A Sólo tienen una variable y su máximo exponente es dos. Aplicando las mismas reglas que en las de primer grado, al final siempre se llega a una ecuación de la forma:

ax2+ bx + c = 0 En estas ecuaciones es necesario que el coeficiente de x2, a, sea distinto de cero (a ≠ 0), ya que en caso contrario la ecuación sería de primer grado. Los restantes coeficientes, b y c, pueden tomar valores cualesquiera. En el caso en el que b y c sean distintos de cero, la ecuación se llama completa , pero cuando b o c sean cero, la ecuación se llama incompleta , en cuyo caso la solución se obtiene de forma bastante sencilla:

Si b = 0 y c = 0, la ecuación es ax2 = 0 Dividiendo por a, obtenemos x2 = 0, y la única solución es x = 0. Ejemplo: 002 2 =⇒= xx

Si b = 0 , la ecuación es ax2+ c = 0 Realizamos los pasos convenientes para despejar x, obteniendo:

ax2 + c = 0 ⇔ ax2 = − c a

cx

a

cx −±=⇔−=⇔ 2

Encontraremos dos soluciones distintas si −a

c es positivo; en el caso de ser nega-

tivo, la ecuación no tiene soluciones reales. Ejemplo:

552525253

757530753 2222 −==⇒±=⇒=⇒==→=→=− xyxxxxxx

Si c = 0, la ecuación es ax2 + bx = 0 Sacamos factor común x, obteniendo x⋅(ax + b) = 0. Para que el producto anterior sea igual a cero, alguno de los factores debe ser cero. Esto nos conduce a las so-

luciones de la ecuación, que son x = 0 y x = −a

b. Ejemplo:

=→=→=−

=⇒=−⇒=−

4

15154054

00)154(0154 2

xxx

xxxxx

Ecuación de segundo grado completa: en caso de que tenga solución, se obtiene me-

diante esta fórmula: a

acbbx

2

42 −±−=

Ejemplo: ⇒=−+ 02142 xx a=1; b=4 ; c=-21

−=−−

=+−

=±−=+±−=−−±−

=7

2

104

32

104

2

104

2

84164

1·2

)21·(1·444 2

x

Clasificación de las soluciones de la ecuación de s egundo grado completa: La expresión b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y de su signo depende el número de soluciones de la misma:

Si b2 − 4ac es positivo , la ecuación tiene dos soluciones distintas . Si b2 − 4ac es cero , la ecuación tiene una solución . Si b2 − 4ac es negativo , la ecuación no tiene soluciones ya que no es posible hacer la raíz cuadrada de un número negativo.



I.3.4. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO C ON DOS INCÓGNITAS En este caso, la solución del sistema serán los valores que deben tener las dos incógnitas (normalmente x e y) para que al sustituir estos valores en las dos ecuaciones se cumplan las dos igualdades. Para encontrar la solución hay tres métodos: sustitución , igualación y reducción . Sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del

sistema y sustituir su expresión en la otra ecuación. Ejemplo:

=+=−1225

132

yx

yx

Despejamos x en la primera ecuación, 2

31 yx

+= ; al sustituir en la segunda ecuación,

resulta: 1222

315 =+

+⋅ yy

, que es una ecuación con una sola incógnita. Resolviendo la

ecuación obtenemos:

11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

=⇒=⇒−=+

=++⇒=++⇒=++

yyyy

yyyy

yy

Sustituyendo este valor de y en la expresión 2

31 yx

+= resulta 2

131 ⋅+=x = 2.

Solución: x = 2, y = 1. Igualación: consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema e

igualar las expresiones que resultan. Ejemplo:

=+=−1225

132

yx

yx

Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos:

−=→=+

+=→=−

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy −=+

Resolviendo la última ecuación, resulta:

( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==→=→−=+

→−=+→−⋅=+⋅

yyyy

yyyy

Sustituyendo este valor de y resulta: x =2. Solución: 1;2 == yx Reducción: consiste en multiplicar una de las dos ecuaciones, o las dos, por números convenientes para que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y opuestos. Ejemplo:

=+=−1225

132

yx

yx

=+=−

36615

264

yx

yx

219

383819 ==→= xx

Sustituyendo el valor de x en una de las ecuaciones obtenemos el de y :

13

3413134 =

−−=⇒−=−⇒=− yyy



EJERCICIOS DE ÁLGEBRA 1) Dados los polinomios 354)( xxxP +−= y 262)( xxxQ −+= , se pide:

a) Indica cuál es el grado de cada uno. b) Indica cuál es la variable y cuáles los coeficientes. c) Calcula su valor numérico en 2=x d) Calcula )()()( xQxPxS += e indica las características del polinomio obtenido. e) Calcula )()()( xQxPxR −= e indica las características del polinomio obtenido.

2) Completa la siguiente tabla: )(xA )(xB )()( xBxA + )()( xBxA − )()·( xBxA )(:)( xBxA

3

3

2x 3

4

7x

2

11

9x x

6

5

3) Dados los polinomios 28520)( 23 −−+= xxxxP y 25)( 2 −= xxQ , realiza las siguientes operaciones:

a) =+ )()( xQxP b) =− )()( xQxP c) =)()·( xQxP d) =)(:)( xQxP

4) Realiza las siguientes operaciones con polinomios: a) =−+ )5)·(43( xx b) =+ 2)25( x

c) =+−+− )2(:)353( 24 xxxx d) =−+ )12)·(12( xx

e) =−+ )3)·(2( xx f) =− 2)5(x

g) =−−+−− )4(:)20917247( 234 xxxxx h) =−+ )4)·(4( xx

5) Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba si el resultado obtenido es el correc-to (haz la prueba):

a) 1325 =−x b) 6835 −=− xxx c) )16(3621 −=− xx

d) 56

3

2

1 −+=−− xx

x

e) 2062 =+x f) 13749 −=+− xxx g) xx 49)32(5 +=−

h) 20

1

5

27

4

16 =+−+ xx

6) Calcula un número cuyo doble menos 5 unidades, da lo mismo que si al número se le añaden 12 unidades. 7) María tiene 30 años y su hija Ángela, 10. Calcula cuántos años tienen que transcurrir para que la edad de María sea el doble que la de Ángela. 8) Calcula dos números consecutivos que sumados den 57. 9) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2632 =+x b) 3456 −=− xx c) 32285 +=+ xx d) 4153 =+x e) 1752 =+ x f) 427 +=+ xx g) 6)·2(10 += x h) 61011 −= xx i) xx 243 += j) 1389 −= xx

k) 105

2

15+=+ x

xx

l)3

1

4

3)1(3 +=−−+ x

xx

m) 63

2 =+− xx n)

9

13

2

1

3

−=−+ xxx o) 5

15

24

5

)3(2

20

13 −+=+−− xxx



10) Comprueba si los siguientes valores de x son solución de la ecuación 0432 =−− xx : a) 3=x b) 1−=x c) 0=x d) 4=x

11) Une cada una de las ecuaciones de segundo grado con sus soluciones: a) 4)1( 2 =−x I) 3;2 == xx

b) 0372 2 =+− xx II) 1;3 −== xx

c) 0652 =+− xx III) 2

1;3 == xx

12) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 082 2 =−x b) 0182 2 =−x d) 033 2 =−x e) 01002 =−x f) 01004 2 =−x g) 082 2 =+− x h) 042 =+x i) 042 =+− x

j) 014

2

=−x k) 0

4

1

9

2

=−x

l) 052 =+ xx m) 053 2 =− xx n) 062 2 =+ xx o) xx 22 =

p) 023

2

=− xx

q) 035

2

=+ xx

r) 25)32( 2 =−x s) 16)23( 2 =−x

t) 01582 =+− xx u) 01082 2 =−+ xx v) 0962 =+− xx w) 0253 2 =−− xx

x) 010

51

52

2

=−+ xx y) 1

32

)3( 2

=+− xx

13) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

−=+−=+

1

323

yx

yx

b)

=+=−

222

5

yx

yx c)

=+=−7

232

yx

yx d)

−=−=−

222

35

yx

yx

e)

−=+−=+753

135

yx

yx

f)

=−−=+

65

8124

yx

yx g)

( )

=−=−52

232

yx

yx h)

=+=+32

)2(5

yx

yx

i)

−=−=

)2(22

)1(33

yx

yx j)

++=+−=+−

3325

3)12(3

yxyx

yyx

k)

=+

=+

332

8

yx

yx

l)

=−

−=−

22

22

yx

yx

m)

=+

=+

14

3

3

2

023

yx

yx

n)

−=

=

12

3

2

63

yx

yx ñ)

=−

=−

153

2

12

yx

yx

ANEXO II: REPASO DE FÍSICA MÓDULO CUATRO


II.1. MEDIDAS Y UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL Las observaciones científicas son en muchos casos medidas de propiedades. Pues bien, podemos definir magnitud física como toda aquella propiedad que puede ser medida o comparada de forma objetiva; es, por tanto, un concepto abstracto y general, difícil de de-finir en muchas ocasiones. Son magnitudes físicas la longitud, el tiempo o la masa, pero no la alegría o la belleza. Medir una magnitud consiste en comparar una magnitud en una situación, con otra en la que se la considera como unidad. Para comprenderlo, basta pensar en cómo asignamos la longitud de un segmento: si tomamos un segmento de longitud unidad (1u), la longitud de otro segmento será el número de veces que se puede repetir el segmento unidad al llevarlo sobre él. Por tanto, una medida siempre debe ser considerada como el producto de una cantidad (un número) por una unidad: unidadcantidadmedida ×= El signo de multiplicar (× ) suele suprimirse, pero hemos de considerar que está presente, sobre todo cuando vayamos a hacer cambios de unidades , que pueden hacerse susti-tuyendo las antiguas unidades por su equivalencia en las nuevas y luego respetar las operaciones matemáticas que puedan contener las unidades. Ejemplo: sabemos que 1 cm = 10 mm; por tanto mmmmmmcm 50)105()10(55 =×=×= Las magnitudes físicas pueden clasificarse según distintos criterios en: a) Magnitudes fundamentales y derivadas: las fundamentales son pocas y se conside-ran simples, mientras que las derivadas son muchas y se definen a partir de las funda-mentales (normalmente mediante una ecuación matemática). Ejemplos:

- Magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo. - Magnitudes derivadas: superficie ( baS ·= ), volumen ( cbaV ··= ), densidad

(V

md = ), ...

b) Magnitudes escalares y vectoriales: las escalares quedan determinadas exclusiva-mente por un número y una unidad, mientras que en las vectoriales se necesita indicar además su orientación mediante segmentos especiales lla-mados vectores, que tienen un origen, un extremo (indicado por la punta de la flecha), una longitud (llamada módulo), una orientación determinada por una dirección (la recta que los contiene) y un sentido (indicado por su extremo); para representar las magnitudes vectoriales se usa una letra con una flechita encima. Ejemplos:

- Magnitudes escalares: masa, tiempo, densidad. - Magnitudes vectoriales: velocidad (v

), fuerza ( F

), aceleración (a

) 1.1. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES Si para medir las diferentes magnitudes cada uno de nosotros utilizáramos distintas uni-dades, no podríamos entendernos al referirnos a distancias, pesos, tiempos, etc. Por ello, es necesario utilizar un conjunto coherente de unidades y establecer ciertas reglas de

MÓDULO CUATRO ANEXO II: REPASO DE FÍSICA


uso. Imagina que nos dicen que la longitud de una mesa es de cinco cuartas; dependien-do de lo grande que sea la mano de la persona que mide, así será la longitud de la mesa. Antiguamente había unidades con el mismo nombre que variaban su valor de una región a otra; además, las subdivisiones de las diferentes unidades no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el cálculo. En 1795, en un intento de renovación y racionalidad fruto de la Revolución Francesa, se creó el Sistema Métrico Decimal (SMD), en el que se establecieron una serie de unidades perfectamente definidas, con múltiplos y submúltiplos que varían de diez en diez unida-des, es decir, cada unidad es 10 veces mayor que su inmediata inferior y 10 veces menor que su inmediata superior (para pasar de una unidad a otra mayor, hay que dividir por el 1 seguido de tantos ceros como lugares separe a ambas unidades y para pasar de una uni-dad a otra menor, multiplicaremos con el mismo criterio, en lugar de dividir). De este modo, se estableció el “metro” como unidad de longi-tud, definiéndolo como “la diezmillonésima parte del cuadran-te del meridiano terrestre que pasa por París”, que equivale a decir que, si se diera la vuelta a la Tierra saliendo de París, pasando por el Polo Norte, el Polo Sur y volviendo a París, habría que recorrer cuarenta millones de metros, es decir, 40.000 kilómetros. La anterior definición de metro parece arbitraria y complicada, pero lo importante es que se construyó físicamente el metro patrón, un lingote de platino-iridio (para evitar su deterioro) de un metro de longitud, a partir del cual se construyeron copias para poder fabricar reglas y demás utensilios de medida de longitud en los países que quisieran adoptar el SMD (España lo declaró sistema de medidas oficial en 1849). De igual forma que con el metro, se hizo con otras unidades de medida, como el kilogramo (unidad de masa) que se defi-nió tomando como referencia el agua: se decidió que la masa de un decímetro cúbico de agua (un litro) es un kilogramo, y también se construyó el kilogramo patrón. El desarrollo de la ciencia y de la técnica durante el siglo XX hizo necesario introducir mo-dificaciones esenciales en el SMD y establecer nuevas unidades de medida utilizables en las relaciones internacionales. Esto se resolvió en la XI Conferencia general de Pesas y Medidas celebrada en París en octubre de 1960, en la que los países signatarios de la Convención del Metro, entre los que figuraba España, resolvieron adoptar el denominado Sistema Internacional de unidades (SI) que establece las siguientes siete magnitudes físicas fundamentales , con sus correspondientes unidades perfectamente definidas:

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD ABREVIAT URA Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Intensidad de corriente eléctrica amperio A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd Como las magnitudes derivadas se pueden definir a partir de otras mediante una ley física (una fórmula), pueden deducirse sus unidades en el S.I. a partir de las de las magni-tudes fundamentales:



MAGNITUD FÍSICA UNIDAD ABREVIATURA Superficie metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Velocidad metro por segundo m/s Aceleración metro por segundo cuadrado m/s 2 Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1 Densidad kilogramo por metro cúbico kg/m 3 Si sólo dispusiéramos de esas unidades, a veces sería complicado dar ciertas medidas, como el grosor de un folio, la distancia entre Madrid y Londres, la masa de un pendiente de oro, la edad de una persona, la velocidad máxima a la que puedes circular por una ciudad, etc. Por eso es imprescindible disponer de unidades mayores y menores que las básicas (múltiplos y submúltiplos) y saber manejar el cambio. En el siguiente cuadro se enumeran algunas de ellas: FACTOR PREFIJO SÍMBOLO EJEMPLO

1.000.000.000.000.000.000 = 1018 exa E 1 exámetro = Em = 1.000.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000.000 = 1015 peta P 1 petámetro= 1 Pm = 1.000.000.000.000.000 m 1.000.000.000.000 = 1012 tera T 1 terámetro = 1 Tm = 1.000.000.000.000 m 1.000.000.000 = 109 giga G 1 gigámetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m

1.000.000 = 106 mega M 1 megámetro = 1 Mm = 1.000.000 m 1.000 = 103 kilo k 1 kilómetro = 1 km = 1.000 m 100 = 102 hecto h 1 hectómetro = 1 hm = 100 m 10 = 101 deca da 1 decámetro = 1 dam = 10 m 1 = 100 --------- --------- 1 metro = 1 m 0,1 = 10-1 deci d 1 decímetro = 1 dm = 0,1 m 0,01 = 10-2 centi c 1 centímetro = 1 cm = 0,01 m

0,001 = 10-3 mili m 1 milímetro = 1 mm = 0,001 m 0,000001 = 10-6 micro µ 1 micrómetro = 1 µ m = 0,000001 m

0,000000001 = 10-9 nano n 1 nanómetro = 1 nm = 0,000000001 m 0,000000000001 = 10-12 pico p 1 picómetro = 1 pm = 0,000000000001 m 0,000000000000001 = 10-15 femto f 1 femtómetro = 1 fm = 0,000000000000001 m 0,000000000000000001 = 10-18 atto a 1 attómetro = 1 am = 0,000000000000000001 m

Las que más solemos usar son las que aparecen sombreadas en la parte central; la co-lumna de la izquierda está expresada en lo que denominamos notación científica que es un modo de representar los números muy grandes o muy pequeños utilizando potencias de diez. Para que te resulte más fácil realizar cambios de unas a otras unidades (múltiplos y submúltiplos del SMD) quizá te sea útil la “escalera” del Sis-tema Métrico Decimal, en la que cada peldaño separa a cada uno de los múltiplos o submúltiplos de la unidad y significa tener que multiplicar o divi-dir por 10 (según se “descienda” o se “ascienda” por la escalera). Ejemplo: 5 hm = 500 m, pero 5 cm = 0,05 m.



II.2. DINÁMICA: LAS FUERZAS COMO AGENTES DE CAMBIO Normalmente solemos asociar el concepto de fuerza a los movimientos y a lo que es pre-ciso aportar para sujetar, deformar, romper o transportar objetos de un sitio a otro. Estas nociones de fuerza suelen ser correctas e intuitivamente aceptamos que se trata de una propiedad o magnitud dirigida, ya que la experiencia nos demuestra, por ejemplo, que para arrastrar un mueble entre dos personas, es preferible que empujen hacia el mismo lado que hacia lados diferentes; tienen que “unir sus fuerzas”. Precisamente por esto se dice que las fuerzas y otras magnitudes que necesitan una orientación, además de una intensidad, son magnitudes vectoriales . Se denominan mediante una letra con una fle-chita encima (por ejemplo, la fuerza F

) y se representan mediante segmentos en forma de flecha llamados vectores, cuyos elementos son los siguientes:

a) Origen o punto de aplicación. b) Dirección : es la recta sobre la que se encuen-tra el vector. Suele darse mediante un ángulo. c) Sentido : lo marca la flecha del vector; en una misma dirección puede haber dos sentidos (opuestos). d) Módulo o intensidad . Siempre es un número positivo que equivale a la longitud del vector. Para

una fuerza F

, su módulo se representa como F

aunque, por comodidad, suele representarse sen-cillamente como F (el nombre de la fuerza, sin flechita encima). Cuando sujetamos un libro, empujamos una puerta, andamos, estiramos un muelle o pe-daleamos en la bicicleta, estamos realizando fuerzas. Como vemos, las fuerzas están presentes en nuestras vidas de forma habitual. Algunas, como las anteriores, son de con-tacto y otras son a distancia (como el peso de los cuerpos o las atracciones eléctricas). Por tanto, pueden manifestarse de distintas formas y tener orígenes diferentes, pero to-das ellas admiten esta definición:

“Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme de un cuerpo, o de causar a éste una deformación”.

Al analizar la anterior definición, vemos que las fuerzas son la consecuencia de que dos cuerpos interactúen entre sí, de modo que los efectos de la interacción pueden ser los siguientes:

a) Que se doble, deforme o rompa un cuerpo. Es lo que ocurre al estirar un muelle o cuando una viga de hierro se arquea por el peso que soporta.

b) Que el cuerpo pase de estar en reposo a moverse, o viceversa. c) Que el cuerpo no se mueva en línea recta ni a ritmo constante. Aunque parezca ex-

traño, esto significa que puede haber movimiento sin necesidad de tener que apli-car ninguna fuerza.

Independientemente de lo anterior, dado el carácter vectorial de las fuerzas, a veces ocu-rre que, aunque estén actuando varias, se anulan entre sí y no apreciamos ninguno de los efectos anteriores. Estas situaciones se denominan de estática y su estudio es muy im-portante, ya que permite diseñar edificios, puentes o barcos, de modo que estén equili-brados y sean estables. De igual modo que otras magnitudes físicas, las fuerzas pueden medirse comparándolas con una fuerza de referencia (llamada ‘unidad de fuerza’). Así, si nuestra unidad de fuerza (que podría ser, por ejemplo, el peso de una manzana) alarga a un muelle 5 centímetros y



observamos que otra fuerza lo alarga 15 centímetros, entonces podríamos afirmar que esta fuerza es 3 veces mayor que nuestra fuerza de referencia ( 35

15 = ) ; si a la intensidad de nuestra unidad de fuerza la llamamos u, la nueva fuerza tendría una intensidad 3 u. Pero, si cada uno de nosotros eligiéramos la unidad de fuerza que se nos antoje, sería muy difícil entendernos. Para ello, los científicos se han puesto de acuerdo y han elegido el newton (N) como unidad de fuerza del llamado Sistema Internacional de Unidades (S.I). Esta unidad, cuyo nombre hace honor al científico inglés Isaac Newton, se define como la fuerza que es necesario realizar sobre un cuerpo de 1 kilogramo de masa para producirle una aceleración de 1 m/s2. Otras unidades de fuerza muy habituales son la dina ( 1 N = 100.000 din) y el kilogramo-fuerza (o kilopondio,1 kp =1 kgf = 9,8 N). Para medir fuerzas suelen utilizarse aparatos llamados dinamóme-tros , basados precisamente en el alargamiento de un muelle cuan-do sobre él actúa una fuerza.

II.2.1. COMPOSICIÓN DE FUERZAS Cuando dos o más fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo, el resultado es el mismo que si se aplicara una fuerza, llamada fuerza resultante , que puede considerarse como la suma de todas ellas. A diferencia de la suma de números, al sumar fuerzas no basta con conocer su intensidad, ya que la experiencia nos demuestra que, según sea su dirección y su sentido, el resultado de la suma de dos fuerzas será diferente. Podemos ver en primer lugar la composición o suma de dos fuerzas; cuando haya más de dos, se va obteniendo una resultante de cada dos fuerzas, que a su vez se compone con otra de las que queden, hasta obtener la resultante de todas ellas. Al sumar dos fuerzas pueden darse tres casos:

a) Fuerzas de la misma dirección y el mismo sentido : El resultado es otra fuerza con la misma dirección y sentido, cuyo módulo es la suma de los módulos, 21 FFFR += b) Fuerzas de la misma dirección, pero sentidos con trarios: El resultado es una fuerza de la misma dirección, cuyo sentido es el de la fuerza de mayor módulo, siendo su módulo la diferencia en-tre los módulos de ambas fuerzas, 21 FFFR −= c) Fuerzas de direcciones diferentes: En este caso, la resultante corresponde a la diagonal del paralelo-gramo que puede obtenerse al trazar desde el extremo de cada



fuerza una recta paralela a la otra fuerza. El módulo de la resultante puede obtenerse mi-diendo la longitud de la diagonal de dicho paralelogramo. Si ambas fuerzas son perpendi-culares, el módulo de la resultante puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras,

22

21 FFFR +=

Ejemplos : obtener la resultante de las fuerzas 1F

y 2F

, cuyos módulos son NF 41 = y NF 32 = , en los siguientes casos:

a) Si ambas tienen la misma dirección y sentido: La resultante tiene la misma dirección y sentido que 1F

y 2F

, y su módulo es NNFFFR 73421 =+=+=

b) Si ambas tienen la misma dirección y sentidos opuestos: la resultante tiene la mis-ma dirección; el sentido es el de 1F

y su módulo es NNFFFR 13421 =−=−=

c) Si son perpendiculares: la resultante es la diagonal del rectángulo que forman 1F

y

2F

, y su módulo es NNNFFFR 52534 2222

21 ==+=+=

EJERCICIOS PARA REPASAR LA CONVERSIÓN DE UNIDADES

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