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Leyes de probabilidad

Francisco Marzal Baró Curso 2016/17

Fundamentos estadísticos

Versión 1

2

� Conceptos:� Variable aleatoria.� Distribución de probabilidad.� Ley de probabilidad.� Densidad de probabilidad.

� Leyes de probabilidad para variables discretas:� Ley Binomial.� Ley de Poisson.� Ley Hipergeométrica.

� Leyes de probabilidad para variables continuas:� Ley Normal.

Leyes de Probabilidad

Índice

NOTA: Algunos gráficos y tablas están sacados del libro: Métodos Estadísticos. J.M. Doménech Massons.

3

- Toda variable sigue, en la población, una determinada ley de probabilidad -

� Variable aleatoria o estocástica: Es una función que en un experimento aleatorio,asigna a cada suceso elemental ei un valor numérico ri.Ej: E = {masculino, femenino}

Masculino → 0Femenino → 1

� Distribución de probabilidad : Es el conjunto de todos los valores de la variable consus correspondientes probabilidades.Ej: Valores de un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P= {�� , �

� , �� , �

� , �� , �

� }

� Ley o Modelo de probabilidad : Modelo que sirve para explicar la distribución de unavariable aleatoria.

� Densidad de probabilidad : En variables continuas, es la probabilidad asociada a undeterminado intervalo.


Conceptos

4

� Las leyes de la probabilidad se utilizan para cuantificar los patrones que se observan en fenómenos aleatorios.

� Ejemplos:

� El lanzamiento de dados.

� La evolución de una epidemia.

� El crecimiento de una población.

� El comportamiento de mercados financieros.

� El crecimiento de galaxias.

� Modelos meteorológicos para calcular el tiempo y el nivel de precipitación en una ciudad.

� Cuando se produce un huracán y para estimar qué lugares serán afectados, así como la magnitud de los eventuales destrozos.

� Se utiliza en la fiabilidad de los productos, para reducir la probabilidad de avería. Está relacionado con la garantía del producto.

� Albert Einstein comentó en una carta a Max Born: “Estoy convencido de que Dios no tira los dados”. No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad.


Aplicaciones prácticas de la probabilidad

5

� La distribución de una variable aleatoria puede res umirse por la media (llamada esperanza matemática) y la variancia.

� El cálculo se efectúa con las probabilidades de cada valor en vez de utilizar la frecuencia.

� Esperanza y Variancia para variables discretas:

� � � ∑ �� ∑ ��


Esperanza matemática (o valor esperado) y Variancia.

Leyenda:X: Variable aleatoria.�: Nº total de valores que toma la variable.�: Valor que toma cada variable.: Probabilidad de obtener cada valor.

6

� Definición: La distribución de frecuencias de objetos con una determinada característica, que se obtieneal extraer de forma no exhaustiva muestras al azar de una población, sigue una ley Binomial.

� Representación: Una variable aleatoria S sigue una distribución binomial de parámetros n y π, seescribe:

"~$��, �� Características:

� Distribución de probabilidad discreta.� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (π y 1-π).� Se utiliza en muestreos CON reposición.� Para poblaciones muy grandes (N>>n).

� Cálculo:+ , � �!

.!��/.�! ∙ . 1 � �/.

� " � � ; " � ��1 � �


Ley Binomial

Leyenda:n: nº de sujetos escogidos en una muestra.k: nº de sujetos buscados en la muestra.π: Proporción del parámetro buscado en la población.S: Variable aleatoria.

7

0

0,2

0,4

0,6

0azules

1 azul 2azules

Prob. obtener Bolas Azules

Tenemos una caja con 4 bolas azules (A) y 3 bolas blancas (B).Si extraemos dos bolas con reposición calcular la probabilidadde encontrar bolas azules:

a) Que sean las dos blancas

� + , � 0 � �!4!��/4�! ∙ 0.5714 1 � 0.571 �/4 � 0.184

b) De encontrar una bola azul

� + , � 1 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.49

c) Que sean las dos azules

� + , � 2 � �!�!��/��! ∙ 0.571� 1 � 0.571 �/� � 0.326

d) Calcular la Esperanza y la Variancia� � " � � � 2 ∙ 0.571 � 1.142 ; " � � 1 � � 2 ∙ 0.571 1 � 0.571 � 0.49

Ejemplo Ley Binomial


+ � 37 ∙ 4

7 � 0.2450.245∙ 2 � 0.49+ � 3

7 ∙ 47 � 0.245

0.245∙ 2 � 0.49

+ � 37 ∙ 3

7 � 0.184+ � 37 ∙ 3

7 � 0.184

+ � 47 ∙ 4

7 � 0.326+ � 47 ∙ 4

7 � 0.326

p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.

Leyenda:n: Nº de bolas

extraídas.k: Nº bolas azules

buscadas.π: Prop.bolas azules

en la población.

8

� Se lanza un dado perfecto de 6 caras, 51 veces. ¿Cuál es la probabilidadde que el número 3 salga 20 veces?

S ~ B(51, 1/6) y la probabilidad sería p(S=20):

n= 51k= 20π= 1/6


Ejercicio

+ 20 � 51!20! �51 � 20�! ∙ �1/6��4 1 � 1

6?�/�4

� 0.00007353

p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.

9

� Definición: La distribución de frecuencias de una característica poco frecuente, obtenida al extraeral azar y con reposición muestras muy grandes, sigue una ley de Poisson.

� Representación: S ~ A�λ� , representando λ el número de veces que se espera que ocurra elfenómeno en una muestra o intervalo dado.

� Características:� Distribución de probabilidad discreta .� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Se utiliza en muestreos con reposición.� Para poblaciones muy grandes (N>>n).� En muestras muy grandes �C D EFF� .� La frecuencia de la característica a estudiar es poco frecuente �G H F. FI�.

� Cálculo:+ " � , � JK

.! ∙ L/J

� " � " � λ � �


Ley de Poisson

Leyenda:�: nº del tamaño de la muestra.,: nº de ocurrencias del evento.

: Proporción del evento en la población.λ � � ∙L � 2.71828 … .

10

� La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidadde encontrar en la muestra?

λ � � � 100 ∙ 0.02 � 2� 1 persona pelirroja:

+ , � 1 � λ.,! ∙ L/J � 2�

1! ∙ L/� � 0.2707

� 5 personas pelirrojas:

+ , � 5 � 2?5! ∙ L/� � 0.0361

� Calcular la Esperanza y la Variancia:

� " � " � λ � �π � 2


Ejemplo Ley de Poisson p " � , � JK.! ∙ L/J

Leyenda:�: nº del tamaño de la muestra.,: nº sujetos con pelo pelirrojo.: Proporción de pelirrojos en la población.λ � �

11

� Repetir el ejercicio anterior aplicando la ley Binomial.La prevalencia de personas pelirrojas en el municipio de Madrid es del 2%.Realizando una muestra aleatoria de 100 sujetos, ¿Cual es la probabilidad deencontrar en la muestra?

� 1 persona pelirroja:

+ , � 1 � �44!�!��44/��! ∙ 0.02� 1 � 0.02 �44/� � 0.2706

� 5 personas pelirrojas:

+ , � 5 � �44!?!��44/?�! ∙ 0.02? 1 � 0.02 �44/? � 0.0353

� Calcular la Esperanza y la Variancia:� " � � � 100 ∙ 0.02 � 2 ; " � � 1 � � 100 ∙ 0.02 1 � 0.02 � 1.96


Ejercicio demostrativo p , � �!.!��/.�! ∙ .�1 � ��/.

O 0.2707 (Poisson k=1)

O 0.0361 (Poisson k=5)

� " � " � λ � �π � 2 (Poisson)

12

� El 2% de los libros encuadernados en un taller tiene encuadernacióndefectuosa. Tenemos 400 libros y se quiere obtener la probabilidad deque 5 de ellos estén defectuosos. Aplicar la Ley de Poisson.

k= 5 (nº de ocurrencias del evento).λ= 8 (nº de veces que se espera que ocurra el fenómeno → 2% RL 400).

+ , � 5 � λ.,! ∙ L/J � 8?

5! ∙ L/S � 0.092


Ejercicio p " � , � JK.! ∙ L/J

13

� Definición: Describe la distribución de frecuencias de una determinada característica que se obtiene al extraersin reposición muestras aleatorias de una población finita.

� Representación: T�U�; U�; �� Características:

� Distribución de probabilidad discreta.� Solamente admite dos categorías (éxito y fracaso).� Se utiliza en muestreos SIN reposición.

� Cuando el tamaño de la población es grande, la distribución hipergeométrica coincide con la Binomial.

� Cálculo:+ , �

VW!K!�VWXK�!∙

VY!�ZXK�!�VYXZ[K�!

V!Z!�VXZ�!

� " � � ; " � ��1 � � ∙ \/�\/�


Ley Hipergeométrica

Leyenda:U: Total de sujetos en la población.U�: Sujetos tipo 1 (característica a analizar).

U�: Sujetos tipo 2.�: Tamaño de la muestra.,: nº de ocurrencias del evento.

: Proporción del evento en la población.

14

Tenemos una población de 10personas compuesta por N1=6♀ yN2= 4♂. Realizamos un muestroaleatorio de tres personas sinreposición.


Ejemplo Ley Hipergeométrica

+ � 610 ∙ 5

9 ∙ 48 � 0.166

0.166 ∙ 3 � 0.5

+ � 610 ∙ 5

9 ∙ 48 � 0.166

0.166 ∙ 3 � 0.5

+ � 610 ∙ 5

9 ∙ 48 � 0.167+ � 6

10 ∙ 59 ∙ 4

8 � 0.167

+ � 410 ∙ 3

9 ∙ 28 � 0.033+ � 4

10 ∙ 39 ∙ 2

8 � 0.033

6♀, 4♂

♀

♀♀

♂

♂♀

♂

♂

♀

♀

♂

♂♀

♂

3♀

2♀

1♀

0♀

+ � 410 ∙ 3

9 ∙ 68 � 0.1

0.1 ∙ 3 � 0.3

+ � 410 ∙ 3

9 ∙ 68 � 0.1

0.1 ∙ 3 � 0.3Calcular la probabilidad de que nosalga ninguna mujer en la muestra(k=0). Obtener la Esperanza y laVariancia de la variable aleatoria.

Leyenda:N1 nº de ♀ ; N2 nº de ♂.N: Población total �U � U� ] U��n: nº de personas elegidas.k: nº de ♀ elegidas en la muestra.π: Proporción de ♀ en la población. � � U� U⁄ �

+ , � 0 � 6!

0! �6 � 0�! ∙ 4!�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!

10!3! �10 � 3�!

� 6!

0! ∙ 6! ∙ 4!3! ∙ 1!10!

3! ∙ 7!� 1 ∙ 4

120 � 0.033

� " � � � 3 ∙ 0.6 � 1.8 " � � 1 � ∙ U � �

U � 1 � 3 ∙ 0.6 1 � 0.6 ∙ 10 � 310 � 1 � 0.56

+ , � U�!

,! �U� � ,�! ∙ U�!�� ,�! �U� � � ] ,�!

U!�! �U � ��!

15

Utilizando la ley hipergeométrica en el muestro aleatorio del ejemplo anterior, y sabiendo que se eligen a trespersonas sin reposición, calcular la probabilidad de obtener:� Una sola mujer:

+ , � 1 � 6!

1! �6 � 1�! ∙ 4!�3 � 1�! �4 � 3 ] 1�!

10!3! �10 � 3�!

� 6!

1! ∙ 5! ∙ 4!2! ∙ 2!10!

3! ∙ 7!� 6 ∙ 6

120 � 0.3

� Un solo hombre:

+ , � 2 � 6!

2! �6 � 2�! ∙ 4!�3 � 2�! �4 � 3 ] 2�!

10!3! �10 � 3�!

� 6!

2! ∙ 4! ∙ 4!1! ∙ 3!10!

3! ∙ 7!� 15 ∙ 4

120 � 0.5

� Tres mujeres o tres hombres:

+ ♀♀♀ � + , � 3 � 6!

3! �6 � 3�! ∙ 4!�3 � 3�! �4 � 3 ] 3�!

10!3! �10 � 3�!

� 6!

3! ∙ 3! ∙ 4!0! ∙ 4!10!

3! ∙ 7!� 20 ∙ 1

120 � 0.167

+ ♂♂♂ � + , � 0 � 6!

0! �6 � 0�! ∙ 4!�3 � 0�! �4 � 3 ] 0�!

10!3! �10 � 3�!

� 6!

0! ∙ 6! ∙ 4!3! ∙ 1!10!

3! ∙ 7!� 1 ∙ 4

120 � 0.033

+�♀♀♀� ∪ +�♂♂♂) = +�♀♀♀� + +�♂♂♂)� 0.167]0.033 � 0.2


Ejercicio Ley Hipergeométrica + , � U�!

,! �U� � ,�! ∙ U�!�� ,�! �U� � � ] ,�!

U!�! �U � ��!

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3

Prob. de elegir mujeres

Mujeres

16

Ley Distribución de probabilidad

Fórmulas

Pob

laci

ones

infin

itas

Binomial

$��, �Muestro con reposición

Para 2 categorías

+ , � �!,! �� ,�! ∙ .�1 � ��/.

� " � � ; " � ��1 � �Poisson

A�λ � ��Muestro con reposición

Requisitos:-Proporciones poco frecuentes(π≤0.05)-Muestras muy grandes(n≥100)

+ " � , � λ.,! ∙ L/J

� " � " � λ � �

Pob

laci

ones

finita

s

HiperGeométrica

T�U�; U�; ��Muestro sin reposición

Para 2 categorías

+ , � U�!

,! �U� � ,�! ∙ U�!�� ,�! �U� � � ] ,�!

U!�! �U � ��!

� " � � ; " � ��1 � � ∙ U � �U � 1


Leyes de probabilidad en variables discretas

17

� Características:� Tiene forma de campana.� Es simétrica alrededor de la media.� Es asintótica (no llega a tocar el eje de las X).

� Media, mediana y la moda son iguales y se localizan en el centro de la distribución.

� El área total bajo la curva vale 1.


Ley Normal o Distribución de Gauss

� Representación: � ∈ U�a , b��.� No existe una sola distribución de probabilidad normal, su número es ilimitado.

� Para distribuciones continuas .� Casi cualquier distribución de probabilidad, se puede aproximar por una normal

bajo ciertas condiciones.

+ � D �� c 12b� ∙ L/�

� ∙ �d/e�YfY

g

dW

18

� Todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, que tiene media 0 y variancia 1 → U�0 , 1�.

Transformación:� Transformar la variable � que siga una ley U�a , b�� en una variable h que

siga una ley U 0 , 1 .Variable Z: → h � d/e

f� Buscar la probabilidad de que se cumpla el valor h en la tabla T4a.

� La tabla proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria normal estandarizadatome valores h mayores o iguales a h → + h D h .

Tabla


Distribución estándar normal o Ley Normal reducida

+�h D h�

19

� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese 51 Kg?

Peso: V. Cuantitativa: 51 ,i → 50.5 j 51.5 ,i.Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i

� Transformar los límites en valores z:

� � � 50.5 ,i → h � d/ef � ?4.?/?4

�.? � 0.33� �k � 51.5 ,i → h � ?�.?/?4

�.? � 1

� Obtener la probabilidad con la tabla.� + h D 0.33 � 0.3707� + h D 1 � 0.1587

� Calcular probabilidad del área pedida:� + 50.5 l � l 51.5 � + 0.33 l h l 1.00 �

0.3707 � 0.1587 � 0.2120 → 21.2%


Ejemplo

kg

+�� H 50.5�

20

� La distribución de peso de los alumnos en un Instituto sigue una ley N(50, 2.25).¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a un alumno al azar pese entre 48 y 50 Kg?

Peso: V. Cuantitativa: 48 a 50 ,i → 47.5 j 50.5 ,i.Datos: a � 50,i ; b� � 2.25 → b � 2.25 � 1.5 ,i

� Transformar los límites en valores z:

� � � 47.5 ,i → h � d/ef � mn.?/?4

�.? � �1.67� �k � 50.5 ,i → h � ?4.?/?4

�.? � 0.33

� Obtener la probabilidad con la tabla.� � � 47.5 ,i → h � �1.67 → + h H �1.67 � + h D 1.67 � 0.0475 � �k � 50.5 ,i → h � 0.33 → + h D 0.33 � 0.3707

� Calcular probabilidad del área pedida:� + 47.5 l � l 50.5 � 1 � + h H �1.67� � +�h D 0.33 �

1 � 0.0475 � 0.3707 � 0.5818 → 58.2 %


Ejercicio

kg

21

� El intervalo contiene la proporción 1 � o central de los casos:

p q rs/t ∙ u

hv/�: Valor de la ley normal reducida. Deja a su derecha una proporción α/2 de los casos.

� Ejemplo: Calcular el intervalo que contiene el 50% central de la siguiente distribución:N(50,2.25).

a q hv/� ∙ b � 50 q 0.6745 ∙ 1.5 � 50 q 1.01 → 48.99 j 51.01


Determinar un intervalo central de valores

α/21-α

0.2550%

0.1080%

0.0590%

0.02595%

0.00599%

0.000599.9%

Zα/2 0.674 1.282 1.645 1.96 2.576 3.291

22

� Si las muestras son grandes, las probabilidades de la ley Binomial se pueden calcular de forma bastante aproximada a la ley Normal.

� Condiciones de muestra grande: CG w C�E � G� D I� Corrección de continuidad: q0.5 +x�yz{. (permite tratar como continua una variable discreta).


Aproximación Normal de la ley Binomial

24Asignatura/Tema

Muchas gracias por vuestra atención.

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