4° GEOMETRIA - 200 MILLAS

7/25/2019 4 GEOMETRIA - 200 MILLAS

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GEOMETRA

La palabra geometra proviene de los vocablos griegos geo y metron (geo=tierra y metron=medida)

OBJETIVO

Tiene como objetivo el estudio de las figuras geomtricas, teniendo en cuenta su tamao, forma, propiedades y larelacin que guardan entre s.

FIGURAS GEOMTRICASEs el conjunto de puntos que adoptan una forma determinada.

ENTES GEOMTRICOSSon llamados tambin elementos fundamentales de la geometra, son aquellos que no tiene definicin sino representacin.Estos elementos son el punto, la recta y el plano.

GEOMETRA PLANAEs la parte de la geometra que se encarga del estudio de las figuras geomtricas cuyos puntos se encuentran en unmismo plano.

LINEA RECTA

Es aquella lnea cuyos puntos se encuentran en una misma direccin.Representacin :

Notacin :

BA,AB

Rayo.-Porcin de lnea recta limitada en un extremo e ilimitada en el otro.Representacin :

Notacin : AB , BA

Semirecta.- Porcin de lnea recta limitada en un extremo e ilimitada en el otro, no se considera el origen.

Notacin : AB , BA

4Preuniversitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :

ALFREDO BUSTES CALLE Fecha : 08 03 04

Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad

TEMA : GEOMETRA, LNEA RECTA

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

Plano

RectaPunto

A B

A B

BA


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Colegio Privado

D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S 2

Segmento de Recta.- Porcin de lnea recta limitada en ambos extremos.Representacin :

Notacin : BA,AB

Punto medio de un segmento de recta.-Es aquel punto que divide a un segmento cualquiera en dos segmentos deigual longitud. (tambin se llama bisector)

SiM es punto medio de AB MBAM

OPERACIONES CON SEGMENTOS DE RECTA

Sea :

Adic in :

AF = AB + BC + CD + DE + EF

BE = BD + DE

Sustraccin :

AB = AFBF

CD = ADAC

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sobre una lnea recta estn ubicados los puntosconsecutivos A, B, C, y D. Si AD=24, AC=15 yBD=17, calcular la longitud del segmento BC.

Solucin :Graficamos :

Del grafico : x + 7 = 15

x = 8

2. Sobre una lnea recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C , D y E. Si:CB = 4, DC = 6 y adems:

AD.BCDC.AB , calcular la longitud del segmento

AE siendo D punto medio deCE .

Solucin :

Graficamos :

Por dato : (a) (6) = 4(a+10)6a = 4a + 402a =40 a=20Nos piden : AE = 16 + a

AE = 36

3. En una lnea recta se consideran los puntos

consecutivos A, B, C y D tal que AC =4

CD. Calcular

BC si :

BD - 4AB = 20Solucin :

Por dato : (x+4b) 4(b-x) = 20x + 4b 4b + 4x =205x = 20 x = 4

A B

A BM

A DB C E F

A DB C E

15 9

7 17

x

24A DB C E

a 4 6 6

A B C E

b 4b

x


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Colegio Privado


PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- Sobre una recta, se toman los puntos

consecutivos A, B, C y D, tal que AC =12u

BD =16u y B punto medio de AC , hallar CD

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

2).- Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D dispuestos de manera

que BC =3, BD =5. Hallar AB , sabiendo que:

AC +4 BC - 2 AD =3.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

3).- Se tiene los puntos colineales y consecutivos P,

Q, R, S de manera que: QSPR =17m. y

QR =6m.. Hallar PS

a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

4).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos: O, A, B y C de modo que

3

BC=AB calcular la longitud de .OB

Si: OA =8m. y OC =16m

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 20

5).- Sobre una recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C y D. Hallar: BC

Si: AD =20 AC =17 BD =15

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

6).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D y E. Si AE=20 y

4

DE

3

CD

2

BC

1

AB Hallar CD

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D. Hallar AD.

Si: AC =60 CDAD =140

a) 100 b) 110 c) 120 d) 140 e) 160

8).- Sobre una recta se da los puntos consecutivos M,

A y B, siendo O punto medio de AB . Hallar : MO ,

sabiendo que :

20AB13MA

a) 23 b) 26 c) 33 d) 36 e) 40

9).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, P, C y D, s :

m12AP,PCBP,CDAB2

Calcular: BD

a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 36

10).- Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D. Tal que:

AC+2CD+BD=48; CD=3

AB, Hallar AC

a) 12 b) 14 c) 20 d) 24 e) 30

11).- Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B y D entre los puntos B y D setoma el punto C.

Tal que : 30AB5BDy)AC(5CD Hallar BC .

a) 3 b) 5 c) 8 d) 10 e) 12

12).- Si: A, B, C y D son puntos consecutivos en una

recta, tales que: BD =12m, AB =6m y

BC = 5

7CD , calcular la medida AC :

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15

13).- M, A, O y B son puntos consecutivos sobre una

recta, siendo O el punto medio de AB ; MA =2 y

AB =6

Calcular2

)MO(

a) 16 b) 25 c) 36 d) 42 e) 48

14).- Sobre una lnea se marcan los puntosconsecutivos A, B, C y D de manera que:

CD=2(AB) adems M es punto medio de BC ,

calcular BD , si AM =16cm

a) 8cm b) 16cm c) 18cmd) 32cm e) 12cm

15).- Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, y Dsobre una recta tal que:

2(AB)=CD y M es punto medio de BC Hallar: BD.

Si adems: AM=10

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

16).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D si se cumple :

m10BDAC . BC =3m. Hallar "AD"

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) N.A.


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Colegio Privado


17).- Se tiene los puntos colinelaes y consecutivos A.

M, O, R siendo M punto medio de "AO" . Calcular:

"OR"

Si: AR =35m y3

AO

2

MR

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

18).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D luego ubicamos M y N

puntos medios de BDyAC . Hallar : MN . Si:

AB =2, 6CD

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19).- Sobre una lnea recta se ubican los puntos

consecutivos A, B, C D y E. Hallar BE :

7

DE

5

CD

3

BC

2

AB

51AE

a) 6 b) 9 c) 24 d) 36 e) 45

20).- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos

A, B, C y D. Hallar: AB . Si AC =14m, BD =18 y

CD = AB2

a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 13

21).- Se tienen los puntos consecutivos y colineales

A, B, C y D. Siendo AB =3cm y CD =2cm.

Hallar AC , Si 4( BC )+5 (AD )=88

a) 5 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16

22).- Sobre una recta se dan cuatro puntos A, B, C y

M tales que 10ACAB BCAC =2cm,

AM =5 CM , Cul es el valor de AM ?

a) 5 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

23).- A, B, C y D son puntos consecutivos y colinealesde modo que AC =12 y BD = 18. Calcular lalongitud del segmento que une los puntos mediosde AB y CD.

a) 15 b) 6 c) 9 d) 7,5 e) 4

24).- En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C y D. Calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de AB y CD si :

AC+BD=30.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 6 e) 8

25).- En una recta se ubican los puntos A, B, C y Dtal que :

AB + CD = 2BC y AC + CD =21Calcular BC.

a) 5 b) 10 c) 15 d) 7 e) 2,5

26).- Dada una recta y los puntos consecutivos M, A,O y B siendo O el punto medio de AB, CalcularOM si :

81MB.MA4

AB2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

27).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos P, X, Q, R, S sabiendo que PQ= 3QR; X punto medio de PR y

(PS) (RS) +( )PR

2

4169

Calcular la longitud de XS

a) 52 b) 84.5 c) 26d) 6.5 e) 13

28).- Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, O y C donde O es puntomedio de AC. Calcular BO si : BC-AB =4

a) 1 b) 2 c) 3d) 1,5 e) 2,5

29).- A, B, M y C son puntos consecutivos ycolineales tal que BM = MC y AB + AC =16Calcular AM

a) 8 b) 5 c) 6 d) 4 e) 3

30).- Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D, y E tal que :

AE + AC + BD + CE = 42 y AE4

3BD

Calcular BD.

a) 124/12 b) 126/9 c) 8d) 9 e) 126/111

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

2 MILLAS

COL2004/4PRE/GEOM 01

05/03/04 J.P.B


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NGULOes la figura geomtrica formada pordos rayos que tienen el mismo origen; al cual sele denomina vrtice y los rayos que lo formanreciben el nombre de lados del ngulo.

Vrtice : O

Lados : OA , OB

Notacin : AOB

Medida del ngulo AOB : m AOB

BISECTRIZ DE UN NGULOEs el rayo ubicado en la regin interior delngulo cuyo origen es el vrtice del ngulo y queforma con los lados ngulos de igual medida.

De la figura : OP Bisectriz del ngulo AOB

mAOP = mPOB =

CLASIFICACIN DE LOS ANGULOS

I. Por s u Medida.1. Angulo AgudoEs aquel ngulo cuya medida es mayor que 0y menor que 90.

0 < < 90

2. ngulo Recto.Es aquel ngulo cuya medida es 90.

3. ngulo Obtuso.Es aquel ngulo cuya medida es mayor que 90y menor que 180.

90 < < 180

Nota:El ngulo cuya medida esta entre 0 y 180 sellama ngulo convexo y el ngulo cuya medidaesta entre 180 y 360 se llama ngulocncavo

II. Por la po sic in de sus lados :

1. ngulos opuestos por el vrtice.

Del grafico :

AOB y COD Opuestos por el vrtice

=

4Preuniversitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : NGULOS

COLEGIO PRIVADO


Reginangular

B

A

O

B

A

O P

B

A

O

A

AO

O

D B

C A

m < AOB = 90


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Colegio Privado


2. ngulos Adyacentes.Son dos ngulos que tienen el mismo vrtice yun lado comn.

Del grafico y son ngulos adyacentes.

3. ngulos Consecutivos.

Del grafico :, , y son ngulos consecutivos.

III. Por la sum a de sus medidas :

1. ngulos Complementarios.Es aquel par de ngulos cuyas medidassuman 90.

Obs.

C()Complemento del ngulo .Se cumple :

2. ngulos Suplementarios.Es aquel par de ngulos cuyas medidassuman 180.

Obs.S()Suplemento del ngulo .Se cumple :

POSICIN RELATIVA DE DOS RECTAS:

I . Rectas Secan tes

II. Rectas Perpendic ulares .

1L

2L

III. Rect as Paralelas

Si : = 90 1L

// 2L

ANGULOS FORMADOS POR DOSRECTAS PARALELAS Y UNA

TRANSVERSAL

I. ngulos alternos.1. Alternos Internos.

Si : 1L

// 2L

O

C

B

A

O

E

B

A

C

D

B

C

A

O

+ = 90

C() = 90 -

A O C

B

+ =180

S()= 180 -

O

1L

2L

0LL 21

2L

1L

90

1L

2L

1L

2L

=


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Colegio Privado


2. Alternos Externos.

Si : 1L

// 2L

II. ngulos Correspondientes.

Si : 1L

// 2L

III. ngulos Conjugados.

Si : 1L

// 2L

PROPIEDADES DE LOS NGULOS:

I. ngulo formado por 2 rectas secantes entre 2

rectas paralelas. Si

21 L//L

Generalizando :

II. Si :

21 L//L

III. Si y

PROBLEMAS RESUELTOS

1. El suplemento del complemento de unngulo excede en 60 a la mitad delcomplemento del suplemento de 4 veces elngulo, hallar el ngulo.Solucin:

Sea : ngulo en mencin

1L

2L

=

1L

2L

=

1L

2L

x = +

x

1L

2L

1L

2L

a

x

b

c

z

y

a + b + c = x + y + z

1L

2L

a1

a2

a3

a4

an

a1+ a2+ a3+ a4+ ... + an= 180

x + y = 180 x = z

x

yz

+ = 180


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Colegio Privado


Por dato :

SC()60 =2

1 . CS (4)

S(90-)60 =2

1 . C(180 - 4)

180 - (90 - ) 60 = 2

1

.[90-(180-4)]

30 + =2

1 (4- 90)

30 + = 2- 45

= 75

2. Se tienen cinco ngulos consecutivos ysuplementarios que estn en progresinaritmtica cuya razn es 22 10 52. Hallarel ngulo COD.

Solucin :

Del grafico:

(x+2r) + (x+r) +x +(x-r) +(x-2r) = 180

5x = 180

x = 36

3. Del grafico 1L

// 2L

, adems 7 = 2.

Calcular-

Solucin

Por propiedad :

(180 - ) + (90 - ) = 90

+ = 180

Por dato : k72

Reemplazando :9k = 180 k = 20

Nos piden :- = 7k2k= 5k

- = 100

4. Del grafico hallar x

Solucin :

Por propiedad :

M A = 90 CD//AB

Por s entre paralelasm PQF = mPDC = mEBF = mEDC =2

Observaciones : 2+ 2= 90

+ = 45 + + x = 180

Reemplazando :45 - x = 180x = 135

A O F

B

CD

E

A O F

B

CD

E

x+2r

x+r x x-r

x-2r

1L

2L

1L

2L

90- 180-

90-

x

xx

x

x x

2

BQ

Px

F

C

A

E

D


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Colegio Privado


5).- Hallar DOABOA:COA =56

Solucin :

En el dato :

DOABOA = 56

x - + x + = 56

2x = 56 x = 28

6).- Si - = 10. Hallar x

Solucin :Dato :

- = 10

En la figura :

+ = 270

- = 10

2= 260

= 130

x = 50

EJERCICIOS PROPUESTOS

1).- Se tiene los ngulos consecutivos BOA y

COB de modo que 74COA Hallar la medida del ngulo que forman lasbisectrices de los ngulos AOB y BOC

a) 37 b) 35 c) 36

d) 38 e) 39

2).- Del grfico calcular x

a) 100b) 114c) 120d) 126e) 136

3).- La suma del suplemento con elcomplemento de cierto ngulo es igual alcudruple del complemento del mismongulo. Hallar el ngulo.a) 16 b) 18 c) 40d) 45 e) 46

4).- COAyBOX son suplementarios.

Hallar x

a) 30 b) 35 c) 36d) 40 e) 45

5).- Cuanto mide un ngulo si la diferenciaentre su suplemento y complemento es 6veces el valor de dicho nguloa) 9 b) 12 c) 15d) 18 e) 21

6).- Si : - = 18 y m


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Colegio Privado


9).- Si : L1//L2, calcular x

a) 10 b) 12 c) 15d) 20 e) 21

10).- Calcular si L1// L2.

a)15 b) 20 c) 30d) 36 e) 10

11).- Se tiene los ngulos consecutivos AOB,BOC y COD. Calcular la medida de BOC,

si: AOD=40, AOC=37, BOD=35a) 18 b) 20 c) 32d) 44 e) 36

12).- En la figura OM y ON son bisectrices delos ngulos AOB y BOD. Ademsm


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I. DEFINICIN

Es la figura geomtrica formada al unir trespuntos no colineales mediante segmentos derecta.

II. ELEMENTOS

2.1) Vrtices : A, B y C

2.2) Lados : ACyBC,AB

2.3) Longitudes de sus lados : a, b y c.

2.4) ngulos interiores : , y

2.5) ngulos exteriores : , y

2.6) Permetro : 2P = a + b +c

2.7) Semipermetro : P = 2

cba

Observacin :

PPunto interior del tringulo ABC.

QPunto exterior del tringulo ABC.

III. CLASIFICACIN:

Veamos dos formas de clasificar a lostringulos:

3.1) Por la Relacin entre sus Lados,pueden ser:

a) Tringulo Equiltero.-Cuando sus treslados son de igual medida.

b) Tringulo Issceles.- Cuando dos de suslados son de igual medida.

c) Tringulo Escaleno.-Es aquel que tienesus tres lados de diferente medida.

3.2) Por las Medidas de sus ngulos,pueden ser:

a) Tringulo Rectngulo.-Cuando uno de susngulos internos mide 90.

4PREUNIVERSITARIO

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : TRINGULOS

COLEGIO PRIVADO


B

CA

c a

P

Q

b

a

CA

B

a

B

bA

C

ac

A C

ac

b

B

CA

B

a a

a

= 60


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Colegio Privado


b) Tringulo Acutngulo.- Cuando cada unode sus tres ngulos internos son agudos.

< 90< 90< 90

c) Tringulo Obtusngulo.- Cuando uno desus ngulos internos es obtuso.

> 90

IV. TEOREMAS BSICOS SOBRETRINGULOS

1) La suma de las medidas de los ngulosinteriores es 180.

2) La medida de un ngulo exterior es igual ala suma de las medidas de los ngulosinteriores no adyacentes a l.

3) La suma de las medidas de los ngulosexteriores (uno por vrtice) es 360.

4) Dado un tringulo issceles: a lados deigual medida se oponen ngulos de igualmedida.

5) Existencia de tringulos.Para que un tringulo exista se cumple que:

Si : > >

Propiedad de a > b >cCorrespondencia:

*Tambin:

b + c > a > b - ca + c > b > a - ca + b > c > ab

V. PROPIEDADES DE LOSTRINGULOS

1.

x + 180 = +

x

B

A

C

CA

B

B

A

C

+ +=180

a

CA

B

a

Si: AB = BC

Entonces =

B

bA

C

ac

x

x = +

B

zA

Cx

x + y + z = 360


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Colegio Privado


Solucin :

En la figura :

x = +

2+ 2= 80

+ = 40x = 40

5).- De la figura calcula a+b.

Si : EDBEyBDAB

Solucin

Por teorema :a + b +35 = 360

a + b = 325

6).- En un triangulo issceles ABC, ACBC ,

se traza la ceviana BD de tal maneraque DCBDAB . Calcula la mC.Solucin:

Datos : BC = ACAB = BD = DC

En el ABC :

2 +2+ = 180

= 36

Medida del ngulo C es 36.

7).- En la figura ADBCAB , calcula

Solucin:

Dato :AB = BC = ADTrazando BD , entonces :

ABD Equiltero.

7= 12- 60

60 = 5

= 12

CUESTIONARIO

1).- Halla el mnimo y el mximo valor enteroque toma x, para que el tringulo exista.

a) 2 y 14 b) 3 y 14 c) 2 y 13d) 3 y 13 e) 4 y 12

2).- En un tringulo ABC, la medida del nguloexterior en B mide 126 y las medidas de losngulos inferiores A y C estn en la relacinde 3 a 4. De qu tipo de tringulo se trata?

D

B

a

A b

C

140E

D

B

a

A b

C

140E

40

7070

35

35

C

B

AD

2 2

1260

7

A

B

C

D

1260

7

A

B

C

D

60

60

6 8

x


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Colegio Privado


a) escaleno b) rectnguloc) issceles d) acutnguloe) Dos respuestas son correctas

3).- Si dos de los lados de un tringuloissceles miden 2m y 4m. Calcula el tercer

lado

a) 2m b) 4m c) 3md) 2 y 4 e) F.D.

4).- En el siguiente tringulo: QDyRQPR esaltura, entonces x es igual a:

a) 48b) 42c) 21d) 84e) 6

5).- En el grfico: PQ=QR; QF=QE.Halla: m


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Colegio Privado


13).- Halla el valor de , para que el nguloAOC sea recto. Da como respuesta el valordel


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I.- LNEAS NOTABLES

1.-CEVIANA

Es el segmento que une un vrtice con unpunto cualquiera del lado opuesto o de surespectiva prolongacin.

Ceviana Interior : BN,BM relativa a AC .

Ceviana Exterior : BQ , BP relativa aAC .

2.-MEDIANA

Es el segmento que une un vrtice con elpunto medio del lado opuesto a dichovrtice.

BM : Mediana relativa a AC

3.-ALTURA

Es el segmento que parte de un vrtice y

corta en forma perpendicular al ladoopuesto o a su prolongacin.

AP : Altura relativa a BC

BH : Altura relativa a AC

4.-MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular a un ladocualquiera en su punto medio.

L

: mediatriz de AC

5.-BISECTRIZ

Es el segmento que biseca al ngulo

interior o exterior del tringulo.

BM : Bisectriz interior relativa aAC .

BN : Bisectriz exterior relativa aAC .

4Pre-Universitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :

Alfredo Bustes Calle Fecha: 17 05 04


TEMA : LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRINGULO

COLEGIO PRIVADO


A M N CPQ

B

MCA

B

n n

CH

P

A

B

B

l l

A C

L

CMNA

B


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Colegio Privado


II.- ANGULO FORMADO POR

BISECTRICES

1. NGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ

INTERIOR Y EXTERIOR.

2. NGULO FORMADO POR DOS

BISECTRICES INTERIORES

3. NGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES

4. NGULO FORMADO POR DOS

BISECTTRICES EN UN CUADRILTEROCNCAVO.

a.

b.

5. NGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ

INTERIOR Y LA ALTURA.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Halla X .

Solucin:

En la figura por propiedad se cumple:

2

38

2

BX

X = 19

2.- En un tringulo ABC se cumple quemA + mB + 2mC = 260.Calcula la medida del ngulo que formanlas bisectrices interiores de los ngulos Ay B.

Solucin:

En el dato:

2+ 2+ 2 = 260

+ + C = 130

X = 130

2 x

x =

2

x

x = 90+

2

x = 90-

a

x

b

ax

b

x =2

ba

x x =2

ba

a b

x =2

ba

B D

AC

38

X

C

A B

x

Se sabe:

X = + + C


19/61

Colegio Privado


3.- En la figura halla : X.

Solucin:En la figura.Por propiedad: x = 90 + 2+ 2Adems: 90 + 90 + 6+ 6= 3606+ 6= 180+ = 30

X = 90 + 60 = 150

4.- Halla la mAPQ, si mBDC = 70.

Solucin:

En la figura:

90- 702

x

x = 40

5.- Calcula X .

Solucin:Por propiedad:

X =2

14020

X = 80

6.- En la figura mBAC=80 y mBCA= 40.Calcula la mDEC.

Solucin:Por propiedad:

X =2

3090

X = 105

CUESTIONARIO

1).- Calcula x

a) 55b) 65c) 72d) 45e) 75

2).- Calcula x a partir de la figura.

a) 10b) 20c) 30d) 40e) N.A.

x

70 80

B

x

72x

A C

4 2

4

2X

B

C

PD

A

Q

B

C

PD

A

Q

x

x90-x70

20

X

140

A

B

CD

E

A

B

CD

E

30 30

5555 20

2080

X


20/61

Colegio Privado


3).- Halla x

a) 10b) 30c) 60

d) 90e) 100

4).- Calcula x.

a) 30b) 40c) 45d) 60e) 53

5).- En un tringulo ABC, por el vrtice B se traza

una recta paralela al lado AC , la cual corta a

la prolongacin de la bisectriz interior AD enel punto F. Halla BF, si AB=12.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

6).- Sea ABC un tringulo, BF bisectriz interior sise cumple que AB=BF=FC. Calcula m


21/61


22/61

I. DEFINICINSon aquellos tringulos rectngulos dondeconociendo las medidas de sus ngulosagudos. Se puede saber la proporcinexistente entre sus lados.En general :

OTROS:

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula x en :

Solucin :

Por P itgo ras : x2= (3 3 )

2+ 42x2= 43

x = 43

2) Calcula x en :

Solucin :

Por P itgo ras : x2=2

2+ 7

2 x

2= 4 + 49

x = 53

4Pre-Universitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : TRINGULOS NOTABLES

COLEGIO PRIVADO


30

60

a 3

2a

a

45

45a 2

a

a

45

45a

2

2a

37

53

4a

5a

3a

18,5

3a

a 10 a

26,5

2a

a

16

24a

25a

7a74

14

4a

a 17 a

76

60

7

x6

604

x6

3

3 3

5

x

2 2

135

5

x 2 2

13545

2

2

2

2a


23/61

Colegio Privado


3) Calcula x en :

Solucin :

En la f igura :

x = 112

4) Calcula x en :

Solucin :

Se observa :

a 3 = 48

a = 16 3

x + 16 = 48

x = 32

5) Calcula x en :

Solucin :

en la f igura : x = 20 3

6) Calcula x en :

Solucin :

En la f igura : x = 8

CUESTIONARIO

I . Subr aya la alternativa c orrect a. (2Pts c /u)

1).- Calcula :

a) 45b) 60c) 30

d) 53

2).- Calcula x :

a) 31

b) 5c) 6

d) 34

e) 7

45 37

48 2

x

45 37

48 2

48

48

64

x

48

30

60

x x

30

60

30

16 3

16

a

30 60

x

40

30 60

x

40

40

30

2

30

x

37

10

14

60

x

5

6

2

30

x

30

4 60


24/61


25/61

Colegio Privado


a) 6 b) 8 c) 9d) 12 e) 14

15).- En la figura : AB = 12 2 .

Calcula BD.

a) 10 b) 20 c) 10 2

d) 15 2 e) 18

16).- En un ABC, mB=90

mA = 75 , si AB=1

Calcula BC.

a) 2 + 3 b) 2 - 3

c)4

26 d) 5 -1

e)2

25

17).-En un ABC, mA = 53. AC = 6 + 8 3 mC = 30. Calcula BC - AB

a) 6 b) 8 c) 10d) 2 e) 5

18).- Si AC=12. Calcula BD.

a) 3 b) 4 c) 2 3

d) 4 3 e) N.A.

19).- En la figura, halla x :

a) 4 b) 3 c) 14/3d) 16/3 e) 5

20).- En un tringulo ABC mA=15 y

mC=30. Si AB= 7 2 . Halla AC .

a) 10 b) 16 c) 14d) 12 e) 8

CLAVES

1) a 2) a 3) b 4) c 5) b

6) a 7) d 8) e 9) c 10)c

11)d 12)e 13)b 14)c 15)c

16)a 17)a 18)c 19)a 20)c

37 45 53

3x

A CD

15

B

A

B

C

D

37

53

68

30


2 MILLAS

COL2004/4pre/GEOM 05

29/05/04 J.P.B


26/61

1).- DEFINICINDos tringulos son iguales si tienen sus lados yngulos respectivamente iguales. Para que dostringulos sean iguales deben cumplir con algunosde los casos de igualdad. En ellos se mencionacomo requisito que presenten tres pares deelementos iguales, siendo por lo menos uno de ellos

un lado.

2).- CASOS DE CONGRUENCIA

2.1).- PRIMER CASO (ALA)Si tienen un lado igual e iguales los ngulos

interiores adyacentes a ellos.

FGH MNP

2.2).- SEGUNDO CASO (LAL)Si tienen dos lados iguales y el ngulo comprendidopor dichos lados tambin iguales.

ABC PQR

2.3).- TERCER CASO (LLL)

Si tienen lados respectivamente iguales.

DEF RST

2.4).- CUARTO CASO (LLA)Si tienen dos lados respectivamente iguales e igualal ngulo interior opuesto al lado mayor.

Si : AB > BC y C = F

ABC PQR

3).- TEOREMAS FUNDAMENTALES

3.1).- TEOREMA DE LA BISECTRIZ

Cualquier punto de la bisectriz equidista de los ladosdel ngulo.

Adems

3.2).- TEOREMA DE LA MEDIATRIZ

Cualquier punto de la mediatriz equidista de losextremos del segmento.

3.3).- TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS

La paralela a un lado de un tringulo, trazada por elpunto medio de otro, corta al tercero en su puntomedio. El segmento determinado se llama basemedia y mide la mitad de la longitud del lado al cuales paralelo.

4Preuniversitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : CONGRUENCIA DE TRANGULOS

COLEGIO PRIVADO


F NG M

H P

A

C

P

R

QB

D

F

E R

T

S

P

BA

A

C

P

R

QB

B

P

A

O

PA = PB

OA = OB

PA =PB


27/61

Colegio Privado


Adems

3.4).- TEOREMA DE LA MEDIANAEn un tringulo rectngulo, la medida relativa a lahipotenusa es igual a la mitad de la longitud de lahipotenusa.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- En un tringulo ABC, B = 90 y C = 42, se trazala ceviana BP de modo que ABP = 36, si AC= 72m. Calcula BP.Solucin:* Graf icando s e traza la median a BM = 36,

luego PBM es issceles.

x = 36

2).- En un cuadriltero ABCD, AB =10;

CD = 11 2 ; A = 53; C = 98 y D = 45.

Calcula AD.Solucin:

* En la figu ra po r tringulo s no tables.

x = 6 + 4 + 11

x = 21

3).- En un triangulo ABC, se traza la mediana BM,luego se traza AH perpendicular a BM.Si AH = 16m, HM = 6m.

Calcula la longitud de HC

Solucin:

* En la f igura AHM CPM (ALA)Luego:

CP =16; PM =6

APH: notable

x = 20

4).- En un tringulo ABC , B = 135, C = 37/2, luegose traza AM. Calcula la medida del ngulo MAC.

Solucin:

* En la figu ra: AN = NC = 5a

Lu ego : AHM es de 8y 82 x = 8

5).- En un triangulo ABC, las mediatrices BC Y AC

se cortan en O. Halla mAOB, si la

mACB = 52

Solucin:

* En la f igura:

x = 2(+)

Pero: += 52

x = 104

B

FE

A C

EF // AC

EF =2AC

E

B

CA

BE =2

AC

A CP H

42

B

48

36

84 84

42

72

x

A

P

M

H

C

B

16

16

6

5a 2a 3a

135

x 26,5 18,5

x

53

37

45

98

3

4

8 8

6

1011 2

4 11


28/61

Colegio Privado


6).- En la figura BM // AC. Halla FM, si BG = 6 yGH = 2.

Solucin:

FM = 2

CUESTIONARIO

I . Subr aya la alternativa cor recta. (2Pts c /u)

1).- En la figura mostrada AH = 6 y FC = 11.

Calcula FH

a) 5b) 4c) 4,5d) 6e) 5,5

2).- En la figura, halla AB

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

3).- En la figura AB = ED , AD =EC , AB // EC y

BC = 8. Halla CD

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

4).- Halla PQ . Si AB = 8; AH = 3

a) 6b) 5c) 4d) 3,5e) 2,5

5).- Halla la longitud del segmento que une los

puntos medios de HC y CM . Si AB = 24

a) 12b) 9c) 6

d) 4e) 3

6).- En la figura mostrada. Calcula AB si:

AC cm 6 .,y BP cm1 .

a) 4cm. b) 6cm. c) 5cm. d) 8cm. e) 7cm.

7).- Si: AB = 7; BC = 8; AC = 10, AN y BM

mediana y CH altura. Halla el permetro del

tringulo MNH.

a) 16b) 15c) 12,5d) 16,5e) 17,5

8).- Halla , si AB =AM = MC

a) 30b) 37c) 71,5

d) 53e) 60

9).- Halla x , si ABCD es un cuadrado.

a) 30b) 37c) 45d) 53e) 60

B

H

C

N

A M

B

F

A C

H

A

E

5

B 3 C D

C

B60

A E D

B

Q P

A H C

B

M

A H C

B

A C

B C

x

A D

B

P

A C

A

GF

MB

CH

A

G

F

MB

CH

66

62

2


29/61

Colegio Privado


10).- En la figura, halla x, si AM = MC.

a) 45b) 60c) 15d) 30

e) 24

11).- Se tiene un tringulo ABC, tal que la

mediana BM es cortada en su punto medio

por la ceviana AD . Si BC = 12. Calcula"BD".a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

12).- Calcula

a) 60b) 53c) 37d) 30e) 17

13).- Si: 312AB , calcula AC .

a) 32b) 72c) 24d) 48e) 60

14).- E y F son puntos medios. Si m + n = 30.Halla m

a) 4b) 6c) 8d) 20e) 30

15).- En la figura, AD =2, CN=5 y BE =8.Halla DN

a) 10b) 15c) 13d) 9e) 8

16).- Si AN =NC y BM = MD . Halla x

a) 100b) 120c) 60d) 90e) 95

17).- Dado un tringulo issceles ABC, sobre

su base AC se ubican los puntos P y Q

PCQ tales que AP = QC. Si: QBP =30.

Calcula QPB .

a) 65 b) 45 c) 70

d) 75 e) 80

18).- Si: OCyAO son bisectrices, calcula PQ ,

si AM = 8 y NC = 10, MP = PB, BQ = QN.

a) 3b) 6c) 9

d) 12e) 15

19).- El permetro de un tringulo es 84cm.Halla el permetro del tringulo que tienecomo vrtices los puntos medios de loslados del primero.a) 42 b) 21 c) 28 d) 56 e) N.A

20) .- En un tringulo ABC, mA = m2C, se

traza la altura BH , si AB m 18 . , .m22AC .Calcula la medida de AH.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

CLAVES

1) a 2) a 3) c 4) b 5) c

6) a 7) c 8) c 9) b 10)d

11)e 12)d 13)a 14)d 15)d

16)d 17)d 18)c 19)a 20)b


2 MILLAS

COL2004/4pre/GEOM 06

17/06/04 J.P.B

E Fn

m

B

C

A

D E N

B

N

A C

M x

D

B

P Q

M O N

A C

B

A H MC

x

4

6

C

60

30A B


30/61

1.-DEFINICIN.-Es aquella figura geomtricadeterminada por una lnea quebrada ycerrada.

2.-DIAGONAL.- Es el segmento que une dosvrtices no consecutivos de un polgono.

3.-DIAGONAL MEDIA.- Es el segmento queune los puntos medios de los lados de unpolgono.

4.-ELEMENTOS :

a) Vrtices : F....,,C,B,A

b) Lados : FABCAB .......,,,

- ngulos :- Internos : A, B, C, ..., F- Externos: , , ........

c) Diagonal : ....,,, CEBEBD

d) Diagonal Media : ....,MP,MN

5.-CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS

5.1.-POLGONO ALABEADO.- Es aquelpolgono cuyos puntos se encuentran en doso ms planos.

5.2.-POLGONO CONVEXO.- Es aquelpolgono cuyos ngulos interiores sonconvexos.

5.3.-POLGONO NO CONVEXO.- Llamadotambin cncavo, es aquel polgono quetiene uno o ms ngulos cncavos.

5.4.-POLGONO EQUILTERO.- Es aquelpolgono que tiene todos sus ladoscongruentes, esto no implica que susngulos sean congruentes.

5.5.-POLGONO EQUINGULO.- Es aquelpolgono que tiene todos sus ngulos

congruentes, esto no implica que sus ladossean congruentes.

4Pre-Universitario

Alumno a) :..................................................................................................

Profesor a) :



TEMA : POLGONOS

COLEGIO PRIVADO


A

B C

D

E

M

N

PF


31/61

Colegio Privado


5.6.-POLGONO REGULAR.- Es aquelpolgono que tiene sus lados y sus nguloscongruentes.

DE ACUERDO A SUS NMEROS DELADOS

3 lados tringulo

4 lados cuadriltero

5 lados pentgono

6 lados exgono

7 lados heptgono

8 lados octgono

9 lados nongono

10 lados decgono

11 lados undecgono

12 lados dodecgono

15 lados pentadecgono

20 lados icosgono

6.-PROPIEDADES DE LOS POLGONOS

a) En todo polgono el nmero de lados esigual al nmero de vrtices e igual alnmero de ngulos interiores.

b) En todo polgono, la suma de susngulos interiores est dado por lasiguiente relacin :

c) En todo polgono, la suma de susngulos exteriores es 360.

d) En todo polgono, el nmero total dediagonales est dado por la siguienterelacin:

e) En todo polgono, el nmero dediagonales medias est dado por la

siguiente relacin.

f) En todo polgono, el nmero de diagonalestrazadas desde P vrtices consecutivos

est dado por la siguiente relacin:

Donde :P = N de vrtices consecutivos.

g) En todo polgono regular o equingulo,

un ngulo interior est dado por lasiguiente relacin:

h) En todo polgono regular o equingulo unngulo exterior est dado por la siguienterelacin:

NOTA : Esta ltima propiedad se utilizapara hallar un ngulo central de unpolgono regular.

Tambin debemos saber que la suma desus ngulos centrales es 360.

# L= #vrtices= # Inter. = n

SInter.= 180 (n - 2)

Sext.= 360

N D =2

)3n(n

N D.M. =2

)1n(n

N d =2

P(2np - 3)1

int =n

)2n(180

ext =n

360


32/61

Colegio Privado


Para calcular el nmero de diagonalesdesde un solo vrtice se utiliza lasiguiente propiedad:

N de diagonales = n3

* POLGONO ESTRELLADO .- Es aquelpolgono que resulta al intersectarse lasprolongaciones de los lados de unpolgono convexo.

SInt. = 180 (n-4)

SInter = 720

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Halla el nmero de lados n de unpolgono, en el cual desde 4 vrticesconsecutivos se han trazado 3n

diagonales.

Solucin :

Por dato :

2

4(2n43) - 1 = 3n

2(2n7)1= 3n

4n 141 = 3n

n = 15

2).- Quince veces el ngulo interior de unpolgono regular, equivale al cuadrado de sungulo exterior. Halla su nmero de dados.Solucin :

Sea : n # de lado s del po lgo no .

Por dato :

15 .n

180(n-2) =

2

n

360

n

15(n-2) =

2n

180.4

n 2 =n

48

n (n-2) = 48

n = 8

3).- Cuntos diagonales parten de uno de losvrtices de un polgono, en el cual la sumade sus ngulos internos y externos es iguala 3780.

Solucin :

Sea : n # de lado s del po lgo no :

Por dato :

180(n-2) + 360 = 3780

180(n-2) = 3420

n-2 = 19 n = 21

Nos piden :

2

1(2n13) =

2

1(424) = 19

4).- Halla el nmero de lados de un polgonoconvexo cuyos ngulos interiores suman

11 veces sus ngulos exteriores.

Solucin :

Sea : n # de lado s del po lgo no :

Por dato : 180 (n -2) = 11 . 360

n 2 = 11. 2

n = 24

5) Cuntos lados tiene el polgono en el cualsu nmero de diagonales aumenta en dos,al aumentar en uno el nmero de lados?Solucin:Sea n el nmero de lados

*Si: n lados nd =n

2

3n

*Si: n+1 lados nd =

2

21 nn

Del enun ciado:

2

3n+ 2 =

2

21 nn

n = 3

6) Calcula el nmero de diagonales de unpolgono regular, si se sabe que losmediatrices de dos lados consecutivosforman un ngulo cuya medida es 18.


33/61

Colegio Privado


Solucin:

Se sab e qu e el ngul o c entral

cen tral = 18 =n

360

n = 20

nd= 232020

n = 170

CUESTIONARIO

1).- Determina el nmero de lados de unpolgono regular cuyo ngulo interior es el

triple de su ngulo exterior.

a) 5b) 9c) 8d) 12e) 10

2).- El nmero de diagonales de un polgonoexcede al nmero de lados en 25. Calcula el

nmero de lados.

a) 6b) 9c) 12d) 10e) 24

3).- En un pentgono ABCDE, el lado AEesparalelo al lado BC, calcula la suma de losngulos E, D y C.

a) 180b) 360c) 324d) 270e) 540

4).- Si el nmero de lados de un polgonodisminuye en 2, el nmero de diagonalesdisminuye en 15. Cuntos lados tiene elpolgono?

a) 10

b) 12c) 14d) 8e) 11

5).- En un polgono regular la medida de unngulo interior es igual a cinco veces lamedida de un ngulo central. Cuntostringulos se pueden formar al trazar todaslas diagonales posibles desde un solo

vrtice?

a) 6b) 7c) 9d) 10e) 13

6).- En un polgono la suma de los ngulosinteriores excede en 720 a la suma de los

ngulos exteriores. Cul es el polgono?

a) pentgonob) exgonoc) heptgonod) octgonoe) nongono

7).- Calcula el nmero de diagonales de unpolgono regular, si se sabe que las

mediatrices de dos lados consecutivosforman un ngulo que mide 36.

a) 27b) 35c) 104d) 170e) 175

8).- Se tiene un exgono equingulo ABCDEF

tal que AB = CD = EF y BC = DE = FA.Sabiendo que el permetro del exgono esigual a 60, calcula BE.

a) 15b) 20c) 30

d) 15 2

e) 20 3

99

9

18


34/61

Colegio Privado


9).- Si a un polgono regular se le disminuyeun lado, cada ngulo exterior aumenta en 12Cul es el polgono?

a) decgonob) octgono

c) exgonod) pentgonoe) nongono

10).- Calcula el ngulo exterior de un polgonoregular, cuyo lado mide 5/7 y el nmero dediagonales es siete veces el semipermetro.

a) 36b) 45

c) 24d) 54e) 27

11).- Calcula el nmero de diagonales de unpolgono regular sabiendo que el cuadradode la medida de su ngulo central equivale a9 veces la medida de su ngulo interior.

a) 27

b) 65c) 54d) 77e) 35

12).- En un polgono regular la medida delngulo interior es 4 veces la del nguloexterior Cuntos lados tiene el polgono?

a) 12

b) 11c) 10d) 9e) 8

13).- Calcula el nmero de lados de unpolgono equingulo sabiendo que la sumade las medidas de siete ngulos internos, esigual a 1134.

a) 18b) 20c) 24d) 30e) 15

14).- Si el nmero de lados de un polgono seduplica, entonces la suma de las medidas desus ngulos interiores aumenta en 3060.Cuntos vrtices tiene el polgono?

a) 16b) 17c) 18d) 14e) 15

15).- En la figura mostrada, calcula: + + +

a) 450b) 500c) 550d) 600

e) 650

16).- Calcula el permetro de un hexgonoequingulo ABCDEF si AB = 7, BC = 3,CD = 5 y EF = 4.

a) 30b) 29c) 28d) 27

e) 26

17).- Cul es el polgono convexo cuyonmero de diagonales es igual al doble delnmero de lados?

a) pentgonob) hexgonoc) heptgonod) octgono

e) nonnogo18).- Dados dos polgonos regulares, las

medidas de sus ngulos interiores sediferencian en 50 y la suma de las medidasde los ngulos externos es 130. Calcula elproducto entre los nmeros de lados deambos polgonos.a) 13b) 27

60

A


35/61

Colegio Privado


c) 36d)20e) 39

19).-Se tiene el polgono equinguloABCDEF... de 20 lados. Calcula la medida

del ngulo agudo que determina DCyAB alprolongarse.

a) 36b) 50c) 40d) 42e) 72

CLAVES1) c 2) d 3) b 4) a5) d 6) d 7) b 8) b9) c 10) b 11) e 12) c13) b 14) b 15) d 16) b17) e 18) c 19) a


2 MILLAS

COL2004/4Pre/GEOM 07

23/06/04 V.A.A


36/61

I. DEFINICIN

Es aquella figura geomtrica que tiene cuatrolados.

II.CLASIFICACIN

1. PARALELOGRAMO

Son aquellos cuadrilteros, cuyos lados opuestosson paralelos.

En todo paralelogramo sus diagonales sebisecan.

En todo paralelogramo sus ngulos opuestosson iguales.

En todo paralelogramo los ngulos

adyacentes a uno de sus lados sonsuplementarios.

1.1. CLASES DE PARALELOGRAMOS

1.1.1 ROMBOIDE.- Es el paralelogramopropiamente dicho.

1.1.2 ROMBO.- Tambin llamado losange, esaquel paralelogramo que tiene sus ladosiguales en longitud, sus diagonales sebisecan, se cortan perpendicularmente yviene a ser bisectrices de sus ngulos.

1.1.3 RECTNGULO.- Tambin llamadocuadrilongo , es el paralelogramo cuyosngulos interiores miden 90, sus ladosopuestos son iguales en longitud; susdiagonales son iguales en longitud y sebisecan.

1.1.4 CUADRADO.- Es el paralelogramo quetiene sus lados iguales en longitud, susngulos interiores miden 90, sus

diagonales son iguales en longitud, sebisecan y vienen a ser bisectrices de susngulos y se cortan perpendicularmente.

2. TRAPECIOSSon aquellos cuadrilteros, que tiene dos ladosopuestos paralelos.

AD//BC

MEDIANA : MN ALTURA : h

BASES : AD,BC

4Preuniversitario

Alumno a) :........................................................... Semana : 11

Profesor a) :

Alfredo Bustes Calle Fecha : 27 08 04


TEMA : CUADRILTEROS

COLEGIO PRIVADO


ba

a

b ba

M N h

B C

A D

bb

a a

45

45

4545


37/61

Colegio Privado


2.1. CLASES DE TRAPECIOS

2.1.1. TRAPECIO ESCALENO.- Tiene suslados no paralelos de diferente longitud.

a + b = + = 180

2.1.2. TRAPECIO RECTNGULO.- Es aqueltrapecio en el cual uno de los lados noparalelos viene a ser la altura del

trapecio.

+ = 180

2.1.3. TRAPECIO ISSCELES.- Es aquelcuyos lados no paralelos son iguales enlongitud.

x =2

ba

2.2. PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

2.2.1. En todo trapecio, la mediana siempre esparalela a las base.

AD//BC//MN

2.2.2. En todo trapecio, la mediana biseca a lasdiagonales.

BQ = QD

2.2.3. En todo trapecio, la mediana mide lasemisuma de sus bases.

MN =2

ba

2.2.4. En todo trapecio el segmento que unelos puntos medios de sus diagonales, mide lasemidiferencia de sus bases.

PQ =2

ba

3. TRAPEZOIDEEs el cuadriltero propiamente dicho.

TRAPEZOIDE SIMTRICO (T. Bissceles)

= 90

a

b

M N

B C

A D

M N

B C

A D

Q

M N

b

a

b

a

QP

b

x xa


38/61


39/61


40/61

Colegio Privado


3).- En la figura, halla EC, si : ABCD es unromboide.

a) 4 b) 5 c) 2d) 1 e) 3

4).- Halla x, si : a + b + c = 440

a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80

5).- Si : ABCD es un paralelogramo; AC=15,BD=22, halla OB + OC

a) 17 b) 18 c) 19d) 17,5 e) 18,5

6).- En un trapecio el segmento de medianacomprendido entre las diagonales es 36. Si labase mayor es el triple de la menor, lamediana mide :

a) 35 b) 60 c) 72

d) 70 e) N.A.7).- Halla el permetro de un trapecio issceles

de base 2 y 4, en el que dos de sus ngulosmiden x y 3x.

a) 2(3+ 2 ) b) 3,6 2

c) 1,8 2 d) 3 2 +3e) N.A.

8).- Los ngulos adyacentes a la base mayor deun trapecio miden 45 y 30. Si las bases del

trapecio miden 5cm y (7 + 2 3 ) cm, halla elpermetro del trapecio.

a) 2(4+ 3 + 2 ) b) 4+2 3 +2 2 c) 2(8+ 3 + 2 ) d) 8+ 3 + 2 )e) N.A.

9).- Las bases y la mediana de un trapeciosuman 6m, halla la mediana.

a) 3m b) 2 c) 1,5d) 1 e) F.D.

10).- Las bases de un trapecio issceles ABCD

miden 14 y 6cm y su altura 8cm, siendo AD labase mayor. Si M y N son los puntosmedios de los lados no paralelos de ABCD ,halla los lados no paralelos de AMND.

a) 12cm b) 16 c) 24d) 8 e) N.A.

11).- En un trapecio rectngulo ABCD, recto enA y D , se traza la bisectriz interiorBQ , (Q

en DC ). Si : BQ=BC, DQ=2 y BQ=6, halla lamediana del trapecio.

a) 5,5 b) 6,5 c) 6d) 7 e) 8

12).- Se tiene un tringulo equiltero ABC de

lado igual a 6cm, en el cual se trazan lasalturas AH yBI . Determina la longitud delsegmento que une los puntos medios dedichas alturas.

a) 2,5cm b) 4,5 c) 1,5d) 3 e) 2

13).- En un trapecio la relacin entre elsegmento que une los puntos medios de las

diagonales y la mediana es 3/5. Calcula larelacin que existe entre las bases deltrapecio (base menor / base mayor)

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2d) 2/3 e) 3/4

14).- Si las diagonales de un trapecio dividen ala mediana en tres partes iguales, en que

ab

c

x

O

CB

A D

A

B CE

D11

7


41/61

Colegio Privado


relacin estn las base? (base mayor sobrebase menor?a) 3:2 b) 3:1 c) 2:1d) 4:1 e) N.A.

15).- En la figura, ABCD es un rectngulo M y

N son puntos medios de AByCD ,respectivamente. Si : AC =12m, halla GB.

a) 3m b) 4,5 c) 4d) 6 e) N.A.

16).- En un paralelogramo ABCD, mB = 135;

AD=8 y BD es perpendicular aCD . Halla la

distancia del vrtice C la ladoAD .a) 4 b) 2 c) 6

d) 3 e) 5

17).- Si: BC//ADyDC//AB ,mADE=m BDC,

halla BD

a) 5 13 b) 6 13 c) 13

d) 7 13 e) 4 13 .

18).- Siendo ABCD un trapecio (BC//AD), hallamADC.

a) 37 b) 53 c) 90d) 30 e) 60

19).- Los lados laterales de un trapecio miden

5u y 9u. Calcula el mximo valor entero quepuede tomar el segmento que une los puntosmedios de sus diagonales.

a) 5u b) 6 c) 7d) 8 e) 10

20).- En la figura, ABCD es un rectngulo, M

N, E y F son puntos medios deBO , OC ,

AP y RD respectivamente.Si : AD=12m, calcula PR.

a) 5m b) 2 c) 3d) 6 e) 4

CLAVES

1)e 2)e 3)a 4)e 5)e

6)c 7)a 8)c 9)b 10)e

11)b 12)c 13)b 14)c 15)c

16)a 17)e 18)b 19)b 20)e


200 MILLAS

COL2004/GEOM 08

23/08/04 J.P.B

C

M

D

B

N

A

G

F

AB

28D

24

C

E

14

68

4CB

A D

A

O

D

B CR

N

F

M

E

P


42/61

I. DEFINICIONES

1. Circunferencia

Conjunto de los puntos de un plano que seencuentra a la misma distancia de un punto fijollamado centro.

2. CrculoSuperficie, determinada por la unin de unacircunferencia y su regin interior.

Centro : O

Radio : OA

Dimetro : BC

Arco : AB

Cuerda : DE

Secante : L

Tangente : L1

Flecha o sagita : MN

Normal : L3

Punto de Tangencia : T

Sector Circular : AOB

Segmento Circular : EQ

II.PROPIEDADES:

1. El radio es perpendicular a la tangente.

OA L

2. Arcos comprendidos entre rectas paralelasson congruentes.

Si : AD//BC

mAB = mCD

3. Arcos congruentes le corresponden cuerdascongruentes.

Si : m AB = m CD

CDAB

4. Si un radio es perpendicular a una cuerda, elradio pasa por el punto medio de la cuerda y

del arco correspondiente a la cuerda.

Si : BCOA

FCBF

BA = AC

4Preuniversitario

Alumno a) :................................................................... Semana : 12

Profesor a) :



TEMA : CIRCUNFERENCIA

COLEGIO PRIVADO


D

B

C

E

L

L1 T

L3

A

MQ

P

N

O

A

L

O R

CB

A D

D

CB

A

A

C

B

OF


43/61


44/61

Colegio Privado


3. Seminscrito

=

2

BCm

4. Exinscrito

2

mABC

5. Interior

2

mADmBC

6. Exterior

2

nm

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Segn el grfico m APB = mAQB = x, calculael valor de x

Solucin :

Por dato :

m AQB = mAPB = x

Por ngulo ins cr ito

m AOB =2

x

m AB =2

x

Luego :

2

x+ x = 360

2

x3= 360

x = 240

2).- En la figura mostrada calcula el valor de x simBAC = 184 (A es punto de tangencia)

Solucin :

Por dato :

mBAC = 184

mBQC = 176

Luego por inscr i to :

mBAC = 88

tam bin po r ngul o sem i-in sc ri to :

m BAC = x2

mAPC

x = 88

B

CA

D

B

C

A

F

nm

C

A

nm A

B

E

A

D

m

n

C

A

B

Q

P

x

A

C

B

A

B

Q

P

x/2

x

A

C

B

88

P

Q

B

A

C


45/61

Colegio Privado


3).- Segn la figura O es centro de la

circunferencia; CFAB , calcula el valor de x, si

mAF = 70.

Solucin :Por dato :

ABCF

mCF = mABObs :m A F = mBC = 70

Por interior :

m CQB =2

mBCmAF

m CQB = 70

x = 204).- Segn el grfico calcula la mAD (A y D son

puntos de tangencia).

Solucin :

* CDF ngulo sem i-ins cr ito

mCQD = 100

* Por exterior :

602

mACmAD

mAD mAC = 120..... .... ()

Pero :

mAD + mAC = 260 .....() + :2m AD = 380

mAD = 190

5).- En un arco de circunferencia AB, donde AB es

un dimetro se tiene que mCAB=20, DFes

paralelo a DPyAC es tangente al arco. Halla

el ngulo PDB.

Solucin :

En la figura :

BC=40

AD = DC = 70

Entonces : x =2

4070 x = 55

6).- En la figura , AB y AC son tangentes a la

circunferencia. Si : mBAC=72 y los arcos BD,DE y EC son iguales. Halla la medida del nguloDCB.

Solucin :

En la figu ra : = 84

Luego : BCD = /2 BCD = 42

CUESTIONARIO

1).- Calcula la flecha de la cuerdaAB , si :AB = 8 y r = 5cm.

a) 1cm. b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2).- En el tringulo, AB = 8; BC = 7; AC = 6,calcula AM.

60

50

D

CA

B

D

54

72

BD

E C

O

B

AF

x

C 20

xC

40

B

D

P

70

A

r

B

A


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Colegio Privado


a) 2,5 b) 3 c) 3,5d) 4 e) 1,5

3).- En un tringulo de catetos: AB=12, BC=16,

halla el inradio del tringulo.a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4).- En una circunferencia de radio 13cm, setiene una cuerda AB que mide 24cm, halla lasagita de AB.a) 5cm b) 6 c) 8d) 7 e) 4

5).- En un tringulo ABC se sabe que: AB = 8,BC = 10 y AC = 12, la circunferencia inscrita

determina sobreAC el punto M .

Calcula AM.a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

6).- Halla PC, si: AB = 9; BC =15 y AC = 18.

a) 20b) 21c) 22d) 18e) 24

7).- P, E y Q son puntos de tangencia y elpermetro del tringulo ABC es 24, halla QC.

a) 12 b) 18 c) 24d) 48 e) 60

8).- En el trapecio issceles: AD = BC = 8cm.Calcula la mediana del trapecio.

a) 6cm.b) 8c) 10

d) 12e) 14

9).- Halla R, si AB = 5 y BC = 12.

a) 2

b) 3c) 4d) 5e) 7

10).- Halla x, si: T es punto de tangencia,AO = OB = BP = 1.

a) 60 b) 53 c) 45d) 30 e) 37

11).- Se tiene un tringulo rectngulo desemiperimetro 16cm y de inradio 4cm. Calculala longitud de la hipotenusa.a) 16cm. b) 13 c) 12d) 10 e) 5

12).- Halla x, si : O es centro.

a) 18 b) 15 c) 12d) 10 e) 9

A

Q

P

M

C B

A

P

E

C

B

T

A

P

E

C

B

Q

A

DC

B

A

R

C

B

A B

x

T

OP

A B

x

T

OC

4x


47/61

Colegio Privado


13).- Halla x, si : O es centro.

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 140

14).- En la figura, calcula R + r, si

AB = 5 y BC = 8.

a) 23b) 11,5c) 10,5d) 13,5e) 14

15).- Halla R, si: AB = 9; BC =12.

a) 15b) 16c) 18d) 20

e) 22

16).- Calcula el permetro del tringulo ABC.

a) 10b) 15

c) 20d) 25e) 18

17).- Del grfico R = 3 y r = 1.

Calcula BE .

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 10

18).- Se tiene un octgono ABCDEFGHcircunscrito a una circunferencia, donde:

AB = 1; BC = 1; CD =1,5; DE = 0,5; EF= ;FG = 2,7; HA = 0,8; calcula GH.

a) 0,5 b) 1 c) 0,8d) 1,5 e) 2

19).- En la figura, calcula AB, si: CD = 6cm.

a) 6cm.b) 8c) 10

d) 12e) 9

20).- En qu relacin deben estar los radios dedos circunferencias tangentes exteriores paraque el ngulo formado por las dos tangentescomunes exteriores mida 60?

a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 2 : 3d) 2 : 5 e) 3 : 5

CLAVES

1) b 2) c 3) b 4) c 5) c

6) b 7) a 8) b 9) b 10)d

11)c 12)d 13)e 14)b 15)c

16)c 17)c 18)a 19)d 20)b


200 MILLAS

COL2004/4/GEOM 09

03/09/04 J.P.B

A B

x

T

O C

25

A

CB T

PO

R

A

B

C

10

1

4

A

B

C

D

E

A

B

C

R

r

A

B C

D

E

r

R


48/61


49/61

Colegio Privado


Solucin :

Del grfico:

* 2+ 2= 180

+ = 90Tambin :

x + = 180 ....(I)

y + = 180 .....(II)

(I + II)

x + y + + = 360

x + y = 270

3).- Si BC = CD, mBC = 40 y mAE = 90,

halla x.

Solucin :

Por dato :

CDBC

mBC = mCD = 40

mCOD = 40Tambin :

* m AE = 90

* Por interior:

m OPE =

652

4090

mBED = 40

EOPD Inscriptiblex = 65

4).- Segn el grfico, halla el valor de x.

Solucin :

Por propiedad :

* mOAB = mTCR =90Obs:

ABCD Inscriptible

m ACB = x

Luego por ex-inscrito:

X =2

110

2

mACR

X = 55

5).- En un trapecio rectangular ABCD, de bases

AB y CD (AB CD) y altura AD, se trazan lasperpendiculares BH y DM a la base mayor y allado no paralelo BC respectivamente.

Si mAMD = 40, entonces el ngulo DAH, mide:Solucin:

En la figura ABMD es inscriptible entonces:

AMD = ABD = 40

x = 50

6).- En un tringulo ABC, sobre BC y AC seubican los puntos P y Q. Si el ngulo PAQ mide

30 y mABP = mPQC = 68; entonces el

ngulo ABQ mide :

Solucin:

*En la figura se observa que el cuadriltero ABPQes inscriptible.

Entonces: ABQ = APQ = x

En el APQ, por ngulo exterior:

x + 30 = 68

x = 38

CUESTIONARIO

1).- Si: TM = OM, halla mMBA, O es centroy M es punto de tangencia.

a) 72 b) 50 c) 75d) 60 e) 6730

x 70

x

y

A

B

2

2

O

B

C

D

E

A

40

x

65

40

P

O

B

C

D

E

A

x

xD

70

110

O

B

R

C

A

T

x

B

CD

Mx

H

40

40

A

B

CQ

P

30

x

68

x

T

M

B O A


50/61

Colegio Privado


2).- D, E y F son puntos de tangencia; My N son puntos medios de DF y EF

respectivamente y mB = 80, halla

mMPN.

a) 58 b) 70 c) 40d) 65 e) 60

3).- En el siguiente grfico; mEAD = 45,mADB = 80 y mDCB = 140, hallamAE.

a) 30 b) 15 c) 20d) 40 e) 45

4).- Si: O es centro, mBD = 30 y PC = OB,

halla : mP.

a) 10 b) 20 c) 15d) 25 e) 30

5).- En la figura adjunta: mDFE = 100 y

mACD = 30, halla: mABD.

a) 55 b) 60 c) 50d) 65 e) 85

6).- En una circunferencia se tiene los puntosconsecutivos: A , Q, B y P tal que:

mAP = 50, AB y PQ forman un ngulo de

30. Halla: mBQ.a) 10 b) 15 c) 25d) 30 e) 18

7).- CDyAB son dos cuerdas de una

circunferencia que se cortan

perpendicularmente tal que: mBAC = 35,halla la medida del ngulo ABD.

a) 70 b) 35 c) 45d) 55 e) 60

8).- En una circunferencia de centro O, seinscribe el cuadriltero ABCD, tal que AB es

dimetro y mBCD = 125, halla: mADB +

mDAB.a) 105 b) 120 c) 130d) 145 e) 150

9).- En una circunferencia de centro O, seubican los puntos consecutivos A, B y

C. Si: mAB = 120 y mOBC = 45, halla:

mOAC.a) 30 b) 15 c) 75d) 5 e) 45

10).- Las tangentes en A y B a unacircunferencia forman un ngulo que mide54. C es un punto cualquiera del menor

arco AB. Halla: mABC.a) 108 b) 124 c) 126d) 117 e) 110

11).- En un tringulo issceles ABC (AB = BC)

mBFE = 32, siendo E y F los puntos de

tangencia sobre los lados ACyAB

determinados por la circunferencia inscrita.

Halla : mB.a) 42 b) 36 c) 52d) 62 e) 50

12).- Si: mLAM = 90, halla: mKQN, siendo

K, L, M y N puntos de tangencia.

D

B

CAF

E

P

M N

E

DC

BA

P

CD

BA O

A E

B

C

D

F

K A N

L M

Q


51/61


52/61


53/61


54/61

Colegio Privado


6).- En la figura :

mABE = mEBD = mDBC=45, AD=5y EC=12.Calcula : AC

Solucin : En la f igura :

*nm

5xx

tambin :

nm

x1712x

Entonc es :5x

xx17

12x

x217x + 30 = 0

x -15x - 2

x = 15

CUESTIONARIO

1).- Si 321 L//L//L

. Calcula x.

a) 12

b) 14

c) 16

d) 18

e) 20

2).- 4321 L//L//L//L

.

AB=9, BC=6, CD=3x, EG=25 y FH=20.Calcula GH y CD.

a) 6 y 10

b) 10 y 6

c) 10 y 3

d) 6 y 3

e) 4 y 5

3).- 4321 L//L//L//L

. Calcula EG+FH

a) 66

b) 67

c) 87

d) 77

e) 91

4).- Las rectas L, L1, L2 son paralelas,Calcula x.

a) 2a

b) a2

c) a+2

d) a

e) 3a

5).- Calcula x, Si L//L1//L2, AB=x+1,BC=x+3, DE=x+2, EF=x+5

a) 0,5

b) 1

c) 1,5

d) 2

e) 2,5

A C

B

E D

aL

L1

L2

x+a

x

2a

A

B

C

D

E

F

L

L1

L2

21

L2

L1

L3

42

7

x

A

B

C

D

E

F

G

H

L1

L2

L3

L4

A

3k

14

B

C

D

E

F

G

H

2k

4k

A C

B

E D17-xx-55

x-12 12

4545 45

45

nm

x


55/61

Colegio Privado


6).- La sombra proyectada por una torre dedos pisos es 25m, el primer piso mide 18my el segundo 12m. Calcula la longitud delas sombras proyectadas por cada piso.

a) 5 y 7 b) 10 y 15 c) 11 y 15

d) 2 y 4 e) 7 y 6

7).- En un tringulo rectngulo ABC,

(mB=90) se traza la altura BH y la

bisectriz interior AF las cuales se cortan

en G. CalculaBG , si AB=6 y AC=10.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8).- Calcula AB

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

9).- Calcula 2 ADBD .

a) 25b) 24c) 30d) 35e) 40

10).- CalculaBC .

a) 12b) 5c) 1d) 3e) 4

11).- Calcula x+y, si: AC//PQ//MN

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

12).- Calcula PM, Si AC//MN//PQ ,4

3

BC

AB ,

PM+QN=4.a) 13/6

b) 12/5

c) 12/7

d) 14/3

e) 15/4

13).- En un tringulo ABC: AB=7, BC=5,AC=6, la circunferencia inscrita es

tangente al lado AC en D, se traza la

bisectriz exterior BE . Halla DE.

a) 1 b) 10 c) 13 d) 15 e) 17

14).- El permetro de un tringulo ABC es 28,

BC=10, se traza la bisectriz interior AS .

Halla AB, si:3

2

SC

BS

a) 10 b) 7,2 c) 8 d) 8,5 e) 7,5

15).- En un tringulo ABC las bisectrices

interiores CD,BF,AE se cortan en I, Halla

IE/AE, si:8

5

CD

ID

BF

IF

a) 3/4 b) 3/5 c) 3/6 d) 3/7 e) 3/8

16).- En un tringulo ABC ( BCAB ) se traza

la bisectriz exterior BF de modo queBC=8, 2AC=5CF. Halla AB.

a) 16 b) 28 c) 12 d) 24 e) 20 2

17).- La mediatriz del lado AC de un

tringulo ABC corta a BC en F y a la

prolongacin AB en E. Halla BE, SiAB=12 y FC=6BF.

a) 1,5 b) 2,5 c) 2 d) 2,4 e) 3

18).- El permetro de un tringulo ABC es36cm, Calcula AC si el segmento que uneel incentro con el baricentro es paralela a

AC .

a) 8 b) 9 c) 12 d) 18 e) 24

x+1

B

4

4

A C

4x

D

B

A 27 C

932

a

B

A 8 C

4

a+4

B

M

P

A C

Q

N

1 1

5 x+3

x y

B

P

M

A C

N

Q


56/61


57/61


58/61


59/61


60/61

Colegio Privado


4).- Calcula la altura relativa a la hipotenusaen un tringulo cuyos catetos miden 6u y8u.a) 3,6u b) 4,8u c) 5,2ud) 7,6u e) 3,8u

5).- En un trapecio rectngulo de bases 4 y12u, la altura mide 15u. Calcula elpermetro de dicho trapecio.a) 36u b) 42u c) 48ud) 17u e) 40u

6).- Los lados de un tringulo miden 8, 15 y16 que longitud se debe restar a cada ladoque el tringulo resultante sea un tringulorectngulo.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7).- Calcula R. Si : AB = 3 y CD = 12.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8).- En un tringulo rectngulo ABC. Setraza la altura BH. Si : AH = BC y

AB.BH = 48. Calcula BC.

a) 32 b) 34 c) 35

d) 3 e) 24

9).- En la figura, calcula la hipotenusa a.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

10).- En el grfico, halla x.

a) 2 b) 2 c) 22

d) 3 e) 1

11).- En la figura, calcula el cateto b.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 80 e) 50

12).- Calcula la altura relativa a lahipotenusa.

a) 24 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25

13).- En el grfico, halla x.

a) 2,2 b) 2,3 c) 2,4d) 2,5 e) 3

14).- Si ABCD es un paralelogramo. Calcula

QD: adems BP = 6 y PC = 4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15).- Si: AF xEF = 50. Calcula BE.

a) 12 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

A

C D

B

R

a18

30

B C

A

x

4

2x

B C

A

60

36

30 40

C

A D

E

x

22

10

B

F

CAH

E

A

B C

DO

QP


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Colegio Privado


16).- Calcula OR. Si PO = 24 y OE = 1 (R:punto de tangencia).

a) 25 b) 14 c) 7d) 24 e) 28

17).- Si ABCD es un cuadrado. CalculaBP,FA = 2 y PA = 4

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

18).- En el tringulo PQR de mediana PM yQN = 6, MN = 4. Calcula RN.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

19).- En el grfico mostrado. Calcula AP.Si: DR = 8 y RT = 2. Adems: DQ = 5(AQ).

20).- Si: AO = OB : PQMN es cuadrado,

AQ = 2 . Calcula : AP.

a) 2 b) 1 c)2

1

d) 3 e) 2

CLAVES

1) e 2) b 3) c 4) b

5) c 6) c 7) c 8) b

9) e 10) a 11) d 12) a

13) a 14) d 15) d 16) c

17) c 18) c 19) b 20) b

P

OE

R

B C

DA

F

P

N

M

R

Q

P

R

T

P QO

A

O N MB

4° GEOMETRIA - 200 MILLAS

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