Factorizaciones matriciales

Version Enero de 2010

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Indice

1. Matrices elementales 11.1. Inversas y transpuestas de matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Factorizacion A = LU 42.1. Matrices triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. La factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Relacion por filas de A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Factorizacion PA = LU 83.1. Aplicaciones de la factorizacion PA = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Factorizacion de Cholesky 144.1. Factorizacion LU de matrices simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2. Clasificacion de las formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3. Matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.1. Propiedades de las matrices definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3.2. Segunda Factorizacion de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Matrices elementales

Las factorizaciones matriciales permiten manejar matrices complicadas con metodos simples. Sus aplicacionesprincipales se relacionan con los analisis de datos utilizando diversos programas computacionales en los cualesse reduce tanto el tiempo de calculo como los errores que genera la aritmetica de punto flotante. Nuestraintencion principal en este capıtulo es dividir un proceso complejo, representado por una transformacion linealT y su matriz canonica A, en un cierto numero de subprocesos T1, T2, . . . , Tk cuyas matrices asociadas sonA1, A2, . . . , Ak, de modo que

Tk ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1 = T,

lo que en lenguaje de matrices significa factorizar A en un producto de matrices mas “simples”:

A = Ak · · ·A2A1.

En esta seccion, nuestra meta sera establecer una interpretacion matricial de las operaciones elementales,mediante las cuales realizamos el algoritmo de escalonamiento de Gauss.

Recordemos que las tres operaciones elementales (por filas) que generan matrices equivalentes son:

(i) de Permutacion: Fi ←→ Fj (intercambia de lugar la Fila i con la Fila j).

(ii) de Escalamiento: Fi · c −→ Fi, donde c 6= 0 (amplifica por una constante no nula c la Fila i).

(iii) de Eliminacion: Fi + cFj −→ Fi, donde c = −“elemento a eliminar”

“pivote”(permite hacer cero los elementos

bajo un pivote, al sumar a la Fila i un multiplo de la Fila j)

Definicion: Una matriz elemental es una matriz cuadrada (de n × n para algun n ∈ N), que se obtiene alrealizar exactamente una operacion elemental a la matriz identidad de n× n, In.

Ası, cada matriz elemental “representara” la operacion elemental que debe realizarse a In para obtenerla.

Ejemplos:

1. I2 =

(1 00 1

)

F1 ←→ F2=⇒ E1 =

(0 11 0

)

es una matriz elemental de permutacion.

2. I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

F3 − 2F1

=⇒ E2 =

1 0 0 00 1 0 0−2 0 1 00 0 0 1

es una matriz elemental de eliminacion.

3. I3 =

1 0 00 1 00 0 1

F2 ·(− 1

3

)=⇒ E3 =

1 0 00 − 1

3 00 0 1

es una matriz elemental de escalamiento.

Notacion: Anotaremos las matrices elementales (sin importar de que orden sean) por:

(i) Pij representa la operacion elemental de permutacion Fi ←→ Fj . Ası, Pij es una matriz elemental depermutacion.

(ii) Ei(c) representa la operacion elemental Fi · c (c 6= 0). Luego, Ei(c) es una matriz elemental de es-calamiento.

(iii) Eij(c) representa la operacion elemental Fi+cFj . Ası, Eij(c) es una matriz elemental de eliminacion.

1

En los ejemplos anteriores, tendremos que E1 = P12, E2 = E31(−2) y E3 = E2

(− 1

3

).

Nota : La matriz identidad In tambien es una matriz elemental, pues In = E1(1) = E12(0) = . . .

Es facil ver la forma general que tendra cada una de estas matrices. Ası:

columna i↓

columna j↓

Pij =

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0

1...

.... . .

......

...1

0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 01

......

.... . .

......

10 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0

1...

......

.... . .

...1

0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

← fila i

← fila j

Los unos que deben ir en las posiciones (i, i) y (j, j) de la identidad estan ahora en las posiciones (i, j) y (j, i)mientras que en las posiciones (i, i) y (j, j) ahora hay ceros.

columna i↓

Ei(c) =

1 0 0 · · · 0 · · · 00 1 0 · · · 0 · · · 00 0 1 · · · 0 · · · 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · c · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 · · · 0 · · · 1

← fila i

Solo el uno de la posicion (i, i) es reemplazado por c, todos los otros elementos coinciden con los de la identidad.

2

col. col.

i j↓ ↓

Eij(c) =

1 0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 0 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

......

. . ....

......

0 0 0 · · · 1 · · · c · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

← fila i

El unico elemento distinto de los elementos de la matriz identidad es aquel que se ubica en la posicion (i, j) enque que en vez de ser un cero es c. Es decir, esta matriz es la identidad con el elemento c en la posicion (i, j).

1.1. Inversas y transpuestas de matrices elementales

Como la forma escalonada reducida de cualquier matriz elemental es la matriz identidad (basta deshacer laoperacion elemental), tenemos que todas las matrices elementales tienen inversas. Ademas, como conocemos laforma de cada matriz elemental, podemos determinar su matriz transpuesta. Ambas matrices, la inversa de unamatriz elemental y la transpuesta de una matriz elemental, son, a su vez, matrices elementales. De hecho,

Matriz elemental Matriz inversa Matriz traspuesta

Pij (Pij)−1 = Pij (Pij)

T = Pji = Pij

Ei(c) (Ei(c))−1 = Ei

(1c

)(Ei(c))

T = Ei(c)

Eij(c) (Eij(c))−1 = Eij(−c) (Eij(c))

T = Eji(c)

La principal propiedad de las matrices elementales se presenta en el siguiente teorema. La demostracion esun ejercicio recomendable para el lector.

Teorema. Sean A una matriz de m× n y M una matriz elemental de m×m. Entonces

MA = A ′,

donde A ′ es la matriz que se obtiene al realizarle a A la operacion elemental que representa M .

Demostracion: La demostracion de este teorema queda propuesta. Como indicacion para realizar la de-mostracion, podemos decir que conviene considerar tres casos: (1) M = Pij , (2) M = Ei(c) y (3) M = Eij(c) yrealizar la multiplicacion MA.

Ejemplo: Sean A =

1 42 53 6

3×2

y M = E23(−3) =

1 0 00 1 −30 0 1

3×3

. Entonces:

MA =

1 0 00 1 −30 0 1

1 42 53 6

=

1 4−7 −133 6

= A ′

Por otro lado,

1 42 53 6

F2 − 3F3 ∼

1 4−7 −133 6

= A ′

3

Ejercicio: Sea A =

1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 4

. Escribamos A y A−1 como producto de matrices elementales (lo que se

podra realizar si y solo si la matriz A es invertible).Para esto, llevamos A a su forma escalonada reducida (que al ser invertible, debe ser la identidad I4):

1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 4

F2 − F1

F3 − F2

F4 − F3

∼

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

F1 − F2

F2 − F3

F3 − F4∼

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= I4

Si escribimos este proceso usando matrices elementales, tendremos que

E34(−1) E23(−1) E12(−1) E21(−1) E32(−1) E43(−1)︸ ︷︷ ︸

C

A = I4

Luego, la matriz C es una matriz inversa por izquierda de A y como A es cuadrada, tenemos que C = A−1.Ası,

A−1 = E34(−1) E23(−1) E12(−1) E21(−1) E32(−1) E43(−1)y, por tanto,

A = (A−1)−1 =(E34(−1) E23(−1) E12(−1) E21(−1) E32(−1) E43(−1)

)−1

= E−143 (−1) E−1

32 (−1) E−121 (−1) E−1

12 (−1) E−123 (−1) E−1

34 (−1)= E43(1) E32(1) E21(1) E12(1) E23(1) E34(1)

Nota : En general, las matrices elementales no conmutan. Por ejemplo,

E32(−1)E13(−4) 6= E13(−4)E32(−1).

2. Factorizacion A = LU

Antes de definir la factorizacion LU , vamos a revisar un par de definiciones y propiedades.

2.1. Matrices triangulares

Definicion:

1. Una matriz A = (aij)m×n es triangular superior si todos los elementos bajo la diagonal principal sonceros, es decir, aij = 0 cuando i > j.

2. Una matriz A = (aij)m×n es triangular inferior si AT es triangular superior, es decir, aij = 0 cuandoi < j.

4

Teorema. Considere las matrices A = (aij)m×n, B = (bij)n×p y C = AB = (cij)m×p.

1. Si aij = 0 y bij = 0 cuando i > j, entonces cij = 0 cuando i > j (“El producto de dos matrices triangularessuperiores es triangular superior”).

2. Si aij = 0 y bij = 0 cuando i < j, entonces cij = 0 cuando i < j (“El producto de dos matrices triangularesinferiores es triangular inferior”).

3. Si A y B son matrices triangulares (ambas inferiores o ambas superiores) y si aii = 1 y bii = 1, entoncesC es matriz triangular (del mismo tipo que A y B) y cii = 1 (“El producto de matrices triangulares conunos en la diagonal tambien es triangular con unos en la diagonal”).

Demostracion: La demostracion es directa de la definicion de producto de matrices. Queda propuesta.

Teorema. Sea An×n una matriz invertible.

1. Si A es triangular superior, entonces A−1 es triangular superior.

2. Si A es triangular inferior, entonces A−1 es triangular inferior.

3. Si A es triangular (superior o inferior) y tiene unos en la diagonal, entonces A−1 tambien es triangulary tiene unos en la diagonal.

Demostracion: Demostraremos la afirmacion 1.Suponemos que A es una matriz triangular superior. Como A es invertible, tendremos que los elementos de

la diagonal de A son distintos de cero (A es invertible si y solo si r(A) ).Para determinar A−1, deberemos resolver simultaneamente los sistemas

A−→x1 = −→e1A−→x2 = −→e2

...

A−→xn = −→en

donde −→x1,−→x2, . . . ,

−→xn son las columnas de A−1.Es decir, debemos realizar un cierto numero de operaciones elementales a la matriz ampliada

(A | In

)para

llevarla a la matriz ampliada(

In

∣∣∣−→x1−→x2 · · · −→xn

)

=(

In |A−1)

, digamos que son p operaciones elementales.

Debido a las caracterısticas de la matriz A (invertible triangular superior), es claro que las operacioneselementales realizadas seran unicamente de eliminacion y de escalamiento. Las operaciones elementales deeliminacion se realizaran para hacer cero los elementos de cada columna que esten sobre cada pivote. Portanto, las matrices elementales que representan estas operaciones de eliminacion seran matrices triangularessuperiores (seran de la forma Eij(c) con i < j). Mientras que las matrices elementales que representan lasoperaciones de escalamiento, seran matrices diagonales (los unicos elementos distintos de cero son los de ladiagonal), luego, tambien son triangulares superiores.

Ası, al representar matricialmente el proceso

(A | In

)∼ ∼ · · · ∼ ∼

(In |A−1

),

tendremos queEp · · ·E2 E1 A = In

y la matriz A−1 = Ep · · ·E2E1, que es producto de matrices elementales triangulares superiores.Luego, A−1 es triangular superior.

5

2.2. La factorizacion LU

Supongamos que la matriz A de m × n puede llevarse a su forma escalonada realizando solo operacioneselementales de eliminacion, es decir, al hacer cero los elementos bajo un pivote nunca es necesario realizar unintercambio de fila.

De esta manera, si llamamos Um×n a la matriz triangular superior que es la forma escalonada de A, resultantedel proceso de escalamiento de Gauss, tendremos que el proceso

A ∼ ∼ · · · ∼ ∼ U

se representa matricialmente porEk Ek−1 · · · E2 E1 A = U,

donde cada una de las matrices elementales E1, E2, . . . , Ek son matrices elementales de eliminacion, es decir,cada una es de la forma Eij(c) con i < j, pues como los elementos que se hacen cero estan bajo la diagonal,tendremos que cada matriz elemental de eliminacion sera triangular inferior con unos en la diagonal. Luego, lamatriz (Ek · · · E2 E1) sera una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y, ademas, sera invertiblecon matriz inversa triangular inferior con unos en la diagonal. Llamemos

L = (Ek · · · E2 E1)−1 = E−1

1 E−12 · · · E−1

k

De donde tendremos queA = LU

donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es triangular superior (forma escalonadade A).

Ejemplo: Sea A =

1 3 5 −1 03 9 17 −4 −1−1 −3 −9 2 2

. Encontremos su factorizacion LU .

1 3 5 −1 03 9 17 −4 −1−1 −3 −9 2 2

F2 − 3F1

F3 − (−1)F1

∼

1 3 5 −1 00 0 2 −1 −10 0 −4 1 2

F3 − (−2)F2

∼

1 3 5 −1 00 0 2 −1 −10 0 0 −1 0

= U

Matricialmente, tendremos queE32(2) E31(1) E21(−3)︸ ︷︷ ︸

L−1

A = U

Luego,

L =(

E32(2) E31(1) E21(−3))−1

= E−121 (−3) E−1

31 (1) E−132 (2)

= E21(3) E31(−1) E32(−2)

=

1 0 03 1 00 0 1

1 0 00 1 0−1 0 1

1 0 00 1 00 −2 1

=

1 0 03 1 0−1 −2 1

Por tanto,

A =

1 0 03 1 0−1 −2 1

1 3 5 −1 00 0 2 −1 −10 0 0 −1 0

6

Nota : Los elementos bajo la diagonal de L corresponden a los numeros “eliminadores” de las operacioneselementales que se realizan a A para obtener U . Recordemos que los elementos eliminadores son de la forma

“elemento a eliminar”

“pivote”

Esta observacion facilita la obtencion de la factorizacion LU de una matriz. Por ejemplo:

A =

2 3 91 2 80 4 1

F2 − 12F1

F3 − 0F1

∼

2 3 90 1

272

0 4 1

F3 − 8F2

∼

2 3 90 1

272

0 0 −27

= U

Entonces,

L =

1 0 012 1 00 8 1

y podemos comprobar que A = LU .

2.3. Relacion por filas de A = LU

Consideremos una matriz Am×n que tiene una factorizacion LU . Si describimos por filas las matrices A yU , tendremos que

A =

A1

A2

...Am

y U =

U1

U2

...Um

y como A = LU ,

A1

A2

A3

...Am

=

1l21 1 O

l31 l32 1...

......

. . .

lm1 lm2 lm3

... 1

U1

U2

U3

...Um

Entonces,

A1 = U1

A2 = l21U1 + U2

A3 = l31U1 + l32U2 + U3

...

Am = lm1U1 + lm2U2 + lm3U3 + · · ·+ Um

Es decir, la fila i−esima de A es combinacion lineal de las filas de U y los coeficientes de la c.l. son loselementos de la i−esima fila de L.

7

3. Factorizacion PA = LU

Calculemos la factorizacion LU de la matriz A presentada a continuacion:

A =

1 2 0 −1 3−2 −4 0 1 11 3 1 0 20 2 1 −1 −1

F2 − (−2)F1

F3 − F1∼

1 2 0 −1 30 0 0 −1 70 1 1 1 −10 2 1 −1 −1

Pero en este momento es obligatorio realizar una operacion elemental de intercambio. Por tanto, esta matrizNO TIENE una factorizacion LU . En estos casos, realizaremos una factorizacion PA = LU .

Esta factorizacion es una modificacion del metodo por el cual se obtiene la factorizacion LU , en donde lamatriz P almacenara todos los cambios de fila que deben realizarse para llevar A a su forma escalonada U .Retomemos el ejemplo, para determinar como obtener esta nueva factorizacion matricial. Entonces

A =

1 2 0 −1 3−2 −4 0 1 11 3 1 0 20 2 1 −1 −1

F2 − (−2)F1

F3 − F1∼

1 2 0 −1 30 0 0 −1 70 1 1 1 −10 2 1 −1 −1

F2 ←→ F3

∼

1 2 0 −1 30 1 1 1 −10 0 0 −1 70 2 1 −1 −1

F4 − 2F2

∼

1 2 0 −1 30 1 1 1 −10 0 0 −1 70 0 −1 −3 1

F3 ←→ F4

∼

1 2 0 −1 30 1 1 1 −10 0 −1 −3 10 0 0 −1 7

= U

Matricialmente, este proceso se expresa con la igualdad:

P34 E42(−2) P23 E31(−1) E21(2)︸ ︷︷ ︸

M

A = U

Pero las matrices elementales de permutacion presentes en la matriz M impiden que esta sea una matriztriangular inferior (y, ası no podemos construir la matriz L). Para solucionar este problema realizaremos lasoperaciones de permutacion en primer lugar y una vez que tengamos ordenadas las filas de A de modo queya no se requieran intercambios de fila durante el proceso de escalonamiento, realizaremos las operaciones deeliminacion necesarias. El problema de este ajuste es que, en general, las matrices elementales no conmutan, portanto, al “trasladar” las matrices de permutacion de lugar, no podemos garantizar que la igualdad se mantenga.

Por tanto, el procedimiento consistira en calcular la factorizacion LU de la matriz B = P34 P23 A, que esuna matriz con las mismas filas de A, pero ordenadas para que no sea necesario hacer intercambios de filasdurante el escalonamiento.

Ası,

B = P34 P23

1 2 0 −1 3−2 −4 0 1 11 3 1 0 20 2 1 −1 −1

= P34

1 2 0 −1 31 3 1 0 2−2 −4 0 1 10 2 1 −1 −1

=

1 2 0 −1 31 3 1 0 20 2 1 −1 −1−2 −4 0 1 1

F2 − F1

F4 − (−2)F1

∼

1 2 0 −1 30 1 1 1 −10 2 1 −1 −10 0 0 −1 7

F3 − 2F2

∼

1 2 0 −1 30 1 1 1 −10 0 −1 −3 10 0 0 −1 7

= U

8

Y obtenemos la misma matriz U que habıamos encontrado al comienzo. Este proceso se describe matricial-mente por la igualdad

E32(−2) E41(2) E21(−1) B = U

y en terminos de A, tenemos que

E32(−2) E41(2) E21(−1) P34 P23 A = U

Ahora, tenemos que la matriz(E32(−2) E41(2) E21(−1)

)es triangular inferior con unos en la diagonal, por

tanto, llamamos L a la matriz L =(E32(−2) E41(2) E21(−1)

)−1y P a la matriz P34 P23 con lo que tendremos

quePA = LU

donde P es producto de matrices elementales de permutacion (la que se conoce como una matriz “no elemental”de permutacion), L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y U es una matriz triangularsuperior (forma escalonada de A).

Nota 1: Las matrices P y L son producto de matrices elementales, por tanto, son matrices cuadradas einvertibles.

Nota 2: Recordemos la igualdad que se obtenıa al escalonar A intercambiando filas en el medio del pivoteo:

P34 E42(−2) P23 E31(−1) E21(2) A = U

y observemos el siguiente procedimiento:

P34 E42(−2)intercambiamos︷ ︸︸ ︷

P23 E31(−1) E21(2) A = U

=⇒ P34 E42(−2) E21(−1)intercambiamos︷ ︸︸ ︷

P23 E21(2) A = U

=⇒ P34 E42(−2) E21(−1) E31(2) P23 A = U

=⇒intercambiamos︷ ︸︸ ︷

P34 E42(−2) E21(−1) E31(2) P23 A = U

=⇒ E32(−2)intercambiamos︷ ︸︸ ︷

P34 E21(−1) E31(2) P23 A = U

=⇒ E32(−2) E21(−1) E41(2)︸ ︷︷ ︸

conmutan

P34 P23 A = U

de donde obtenemos la igualdad

E32(−2) E41(2) E21(−1) P34 P23 A = U

Lo que indica como obtener la factorizacion PA = LU directamente del proceso mediante el cual llevamos Aa su forma escalonada U . En este procedimiento hemos usado algunas propiedades de las matrices elementalesque son facilmente demostrables:

1. Pij Eir(c) = Ejr(c) Pij y Pij Ejr(c) = Eir(c) Pij con r 6= i y r 6= j.

2. Pij Ers(c) = Ers(c) Pij con r, s 6= i y r, s 6= j

3. Eik(α) Ejk(β) = Ejk(β) Eik(α)

9

Ejemplo: Calculemos la factorizacion PA = LU para la matriz

A =

1 2 11 2 32 1 01 3 1

A =

1 2 11 2 32 1 01 3 1

F2 − F1

F3 − 2F1

F4 − F1

∼

1 2 10 0 20 −3 −20 1 0

F4 ←→ F2

∼

1 2 10 1 00 −3 −20 0 2

F3 + 3F2

∼

1 2 10 1 00 0 −20 0 2

F4 + F3

∼

1 2 10 1 00 0 −20 0 0

= U

Escribimos el proceso matricialmente:

E43(1) E32(3) P42 E41(−1) E31(−2) E21(−1) A = U

y usando las propiedades de las matrices elementales, tenemos que la igualdad anterior es equivalente a

E43(1) E32(3) E21(−1) E31(−2) E41(−1) P42 A = U

De donde se tiene que

P = P42 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

y

L =(

E43(1) E32(3) E21(−1) E31(−2) E41(−1))−1

= E41(1) E31(2) E21(1) E32(−3) E43(−1)

=

1 0 0 01 1 0 02 −3 1 01 0 −1 1

donde hemos hecho coincidir los colores de cada elemento bajo la diagonal de L con la matriz elemental de lacual proviene. Notemos que el elemento cero en la posicion (4, 2) se debe a que ninguna operacion elemental serealizo entre las filas 4 y 2.

Por tanto,

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

1 2 11 2 32 1 01 3 1

=

1 0 0 01 1 0 02 −3 1 01 0 −1 1

1 2 10 1 00 0 −20 0 0

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3.1. Aplicaciones de la factorizacion PA = LU

I. Resolver Ax = b

Supongamos que conocemos las matrices P , L y U de la factorizacion PA = LU de A. Usaremos elsiguiente proceso para resolver Ax = b a traves de la factorizacion:

P/ · Ax = b

⇐⇒ PAx = Pb , pero PA = LU

⇐⇒ L Ux︸︷︷︸

y

= Pb

=⇒ Resolvemos

{1◦ Ly = Pb2◦ Ux = y

La ventaja de resolver un sistema de ecuaciones usando la factorizacion PA = LU consiste en unareduccion notoria en el numero de operaciones que deben realizarse (ver Notas numericas, Lay, AlgebraLineal y sus aplicaciones, p. 137), pues los sistemas que deben resolverse (Ly = Pb y Ux = y) tienenmatrices triangulares, por lo que se resuelven por sustitucion directa.

II. Encontrar A−1b

Para encontrar A−1b se resuelve Ax = b por el metodo anterior.

A pesar de que resolver los sistemas Ly = Pb y Ux = y obliga a hacer la misma cantidad de operaciones(sumas y multiplicaciones) que calcular A−1b, tenemos que encontrar la factorizacion PA = LU requieremenos trabajo que el calculo de A−1 (pues ademas de las operaciones elementales que se realizan sobre Apara encontrar la factorizacion, deben realizarse las mismas operaciones sobre In para encontrar A−1).

De esta manera, A−1 solo se calcula cuando se necesitan explıcitamente sus elementos.

III. Resolver AX = B (con X y B matrices)

Siendo concretos, supongamos que A es una matriz de m×n y que conocemos la factorizacion PA = LU ,por lo que P es de m×m, L es de m×m y U es de m× n. Supongamos que B es una matriz de m× p,lo que implica que la matriz X que buscamos es de n× p.

Entonces para resolver AX = B usando PA = LU , tendremos que

P/ · AX = B

⇐⇒ PAX = PB , pero PA = LU

⇐⇒ LUX︸︷︷︸

Y

= PB

=⇒ Resolvemos

{1◦ LY = PB2◦ UX = Y

donde Y sera una matriz de m× p.

En este caso, resolver LY = PB implica resolver p sistemas simultaneos:

Ly1 = Pb1

Ly2 = Pb2...

Lyp = Pbp

donde Y =[y1|y2| · · · |yp

]y B =

[b1|b2| · · · |bp

], es decir, se debe operar la matriz ampliada

[L∣∣PB

]

hasta llevar L a su forma escalonada reducida (pero L es invertible, luego su escalonada reducida es Im).Entonces, la resolucion de LY = PB es:

[L∣∣PB

]∼ ∼ · · · ∼

[Im

∣∣Y

]

11

Pero como L es triangular inferior con unos en la diagonal, solo se deben eliminar los elementos bajo lospivotes.

De forma analoga, para resolver UX = Y se debe operar la matriz ampliada[U∣∣Y

]hasta llevar U a su

forma escalonada reducida. Dependiendo de si U es invertible, tendremos una unica solucion para X oinfinitas soluciones para X .

IV. Resolver ATx = b

Asumimos conocida la factorizacion PA = LU .

Notemos quePA = LU/( )T =⇒ AT PT = UT LT ,

pero PT = P−1, luego,AT = UT LT P.

Ası,ATx = b =⇒ UT LT Px

︸︷︷︸

y

= b =⇒ UT LT y︸︷︷︸

z

= b =⇒ UT z = b

y para resolver ATx = b, se resuelven tres sistemas (dos sistemas triangulares y uno extremadamentesimple):

1◦ UT z = b2◦ LT y = z3◦ Px = y

Ejemplo: Para la matriz A =

2 1 1−2 −2 04 3 −2

determine unicamente lo solicitado:

1. la solucion de Ax = b, donde bT =[1 −1 1

].

2. la solucion de ATx = b, donde bT =[1 −1 1

].

3. la tercera columna de A−1.

4. la segunda fila de A−1.

5. el elemento en la posicion (1, 1) de la matriz A−1.

Solucion: Comenzamos calculando la factorizacion PA = LU para esta matriz.

A =

2 1 1−2 −2 04 3 −2

F2 − (−1)F1

F3 − 2F1

∼

2 1 10 −1 10 1 −4

F3 − (−1)F2

∼

2 1 10 −1 10 0 −3

= U

Por tanto, en este caso, P = I3, L =

1 0 0−1 1 02 −1 1

y U =

2 1 10 −1 10 0 −3

1. Para resolver Ax = b, debemos resolver

{1◦ Ly = Pb2◦ Ux = y

Ly = Pb =⇒

1 0 0−1 1 02 −1 1

y1y2y3

=

1−11

=⇒

y1 = 1y2 = −1 + y1 = 0y3 = 1− 2y1 + y2 = −1

12

Ux = y =⇒

2 1 10 −1 10 0 −3

x1

x2

x3

=

10−1

=⇒

x3 = 13

x2 = x3 = 13

x1 = 1−x2−x3

2 = 16

Luego, x =

(1

6,1

3,1

3

)

.

2. Para resolver ATx = b, debemos resolver

1◦ UT z = b2◦ LT y = z3◦ Px = y

UT z = b =⇒

2 0 01 −1 01 1 −3

z1z2z3

=

1−11

=⇒

z1 = 12

z2 = 1 + z1 = 32

z3 = 1−z1−z2−3 = 1

3

LTy = z =⇒

1 −1 20 1 −10 0 1

y1y2y3

=

1/23/21/3

=⇒

y3 = 13

y2 = 32 + y3 = 11

6y1 = 1

2 + y2 − 2y3 = 53

Px = y =⇒ x = y =

5/311/61/3

3. Para obtener la tercera columna de A−1 debemos resolver Ax = e3, es decir, debemos resolver los sistemasLy = Pe3 y Ux = y. La solucion de Ly = Pe3 es y = (0, 0, 1)T y la solucion de Ux = y es x =(13 ,− 1

3 ,− 13

)T. Por tanto, la tercera columna de A−1 es

13

− 13

− 13

4. Para obtener la segunda fila de A−1, recordemos que (A−1)T = (AT )−1. Luego, encontrar la segunda filade A−1 equivale a encontrar la segunda columna de (AT )−1, es decir, hay que resolver el sistema ATx = e2.

Entonces se deben resolver los sistemas UT z = e2, LT y = z y Px = y. La solucion de UT z = e2 es

z = (0,−1,−1/3)T , la solucion de LT y = z es y = (−2/3,−4/3,−1/3)T y x = y pues P = I3. Por tanto,la segunda fila de A−1 es (

−2

3− 4

3− 1

3

)

5. Para encontrar el elemento en la posicion (1, 1) de A−1, llamemoslo b11, notemos que este elementoesta dado por el producto

b11 = eT1 A−1e1.

Pero como PA = LU y P = I3, tenemos que

A = LU/( )−1 =⇒ A−1 = U−1L−1.

Luego,b11 = eT1 A−1e1 = eT1 U−1 L−1e1 =

(eT1 U−1

)(L−1e1

),

pero

eT1 U−1 =((

U−1)T

e1

)T

.

Entoncesb11 =

((UT )−1e1

)T (L−1e1

)

13

y debemos calcular los vectores x = (UT )−1e1 e y = L−1e1, es decir, debemos resolver los sistemastriangulares UTx = e1 y Ly = e1. La solucion de UTx = e1 es x = (1/2, 1/2, 1/3)T y la solucion deLy = e1 es y = (1, 1,−1)T . Por tanto,

b11 =

(1

2

1

2

1

3

)

11−1

=2

3

4. Factorizacion de Cholesky

4.1. Factorizacion LU de matrices simetricas

Consideremos la matriz

A =

−2 2 −2 02 −1 7 3−2 7 28 100 3 10 17

.

A es simetrica, es decir, AT = A. Veamos como esta propiedad influye cuando calculamos su matriz escalonada:

−2 2 −2 02 −1 7 3−2 7 28 100 3 10 17

F2 + F1

F3 − F1∼

−2 2 −2 00 1 5 30 5 30 100 3 10 17

Notemos que la submatriz (con elementos rojos) que debemos considerar ahora para pivotear tambien es simetri-ca. Lo mismo ocurre al seguir pivoteando:

−2 2 −2 00 1 5 30 5 30 100 3 10 17

F3 − 5F2

F4 − 3F3

∼

−2 2 −2 00 1 5 30 0 5 −50 0 −5 8

F4 + F3

∼

−2 2 −2 00 1 5 30 0 5 −50 0 0 3

= U

Ademas, tenemos que A tiene una factorizacion LU , pues no tuvo que hacerse ningun intercambio de filaspara llegar a U . Observando las operaciones elementales realizadas, tenemos que

L =

1 0 0 0−1 1 0 01 5 1 00 3 −1 1

, U =

−2 2 −2 00 1 5 30 0 5 −50 0 0 3

son tales que A = LU .

Por ultimo, notemos que si D =

−2 0 0 00 1 0 00 0 5 00 0 0 3

, entonces

U =

−2 2 −2 00 1 5 30 0 5 −50 0 0 3

=

−2 0 0 00 1 0 00 0 5 00 0 0 3

1 −1 1 00 1 5 30 0 1 −10 0 0 1

= DLT

Es decir,A = LDLT

Este resultado no es un caso particular.

14

Teorema. Sea A una matriz simetrica de n × n. Si A tiene una factorizacion LU (es decir, A puede serescalonada sin intercambios de filas), entonces A puede factorizarse como

A = LDLT ,

donde L es la matriz triangular inferior con unos en la diagonal de la factorizacion LU y D es una matrizdiagonal cuyos elementos diagonales coinciden con los elementos diagonales de la matriz U (de la factorizacionLU).

Demostracion: Por hipotesis, tenemos que AT = A y que A = LU , con L triangular inferior con unos en ladiagonal y U es triangular superior y forma escalonada de A.

Entonces U(L−1

)Tes un producto de matrices triangulares superiores, por tanto, es triangular superior. Pero,

por otro lado, tenemos que U = L−1A, de donde

U(L−1

)T= (L−1A)

(L−1

)T= L−1

(

A(L−1

)T)

= L−1(

L−1AT)T

= L−1(

L−1A)T

= L−1UT .

Entonces, U(L−1

)T= L−1UT tambien es producto de matrices triangulares inferiores, por tanto, es triangular

inferior.De esta manera, hemos probado que U

(L−1

)Tes una matriz diagonal (es triangular superior e inferior a la

vez) y, claramente, los elementos diagonales de esta matriz coinciden con los elementos diagonales de U (pues

la matriz (L−1)T tiene unos en la diagonal). Anotamos U(L−1

)T= D, de donde es directo que U = DLT y

A = LU = LDLT .

Nota 1: La factorizacion para matrices simetricas A = LDLT se conoce como la primera factorizacion deCholesky (o la factorizacion de Cholesky sin raıces).

Nota 2: No todas las matrices simetricas tienen una factorizacion de la forma A = LDLT , pues si al escalonarA se deben hacer intercambios de fila por obligacion, generalmente la matriz PA (que sı tendra una factorizacion

LU) dejara de ser simetrica. Por ejemplo, la matriz A =

0 1 3 −11 2 0 13 0 7 1−1 1 1 0

no tiene una factorizacion LU ,

pues es obligatorio cambiar la primera fila de lugar para comenzar el pivoteo. Si intercambiamos las filas 1 y 2:

A =

0 1 3 −11 2 0 13 0 7 1−1 1 1 0

∼

1 2 0 10 1 3 −13 0 7 1−1 1 1 0

∼

1 2 0 10 1 3 −10 −6 7 −20 3 1 1

∼

1 2 0 10 1 3 −10 0 25 −80 0 −8 4

∼

1 2 0 10 1 3 −10 0 25 −80 0 0 36

25

= U =⇒ P =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

y L =

1 0 0 00 1 0 03 −6 1 0−1 3 − 8

25 1

Claramente, aquı no se tiene que U = DLT .

4.2. Formas cuadraticas

A continuacion veremos una aplicacion de la primera factorizacion de Cholesky y, al mismo tiempo, desar-rollaremos algunos elementos teoricos que nos permitiran obtener la factorizacion de Cholesky para matricesdefinidas positivas.

15

4.2.1. Conceptos basicos

Definicion: Una funcion Q : Rn −→ R sera una forma cuadratica (fc) si para todo x = (x1, x2, x3, . . . , xn)en Rn se tiene que

Q(x) =

n∑

k=1

mk x2k +

n∑

j=1

j−1∑

i=1

rij xixj ,

donde mk, rij ∈ R para k, i, j ∈ {1, 2, . . . , n} e i < j.

Es decir, las formas cuadraticas son un tipo especial de polinomios con n variables que solo tienen coeficientesdistintos de cero en los terminos cuya potencia es exactamente 2.

Ejemplos:

1. Las formas cuadraticas Q : R2 −→ R tendran la siguiente estructura:

Q(x, y) = m1x2 +m2y

2 + r12xy.

Entonces,

Q(x, y) = (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy es una fc

Q(x, y) = (x − y)2 = x2 + y2 − 2xy es una fc

Q(x, y) = (x − 2y + 1)2 = x2 + 4y2 + 1− 4xy + 2x− 4y no es una fc, pues tiene

terminos lineales (2x y −4y) y un termino libre (1).

Q(x, y) = 0 sı es una fc, pues m1 = m2 = r12 = 0.

2. Q : R3 −→ R es fc si es de la forma

Q(x, y, z) = m1 x2 +m2 y

2 +m3 z2 + r12 xy + r13 xz + r23 yz

Entonces:

Q(x, y, z) = (x− y + 2z)2 = x2 + y2 + 4z2 − 2xy + 4xz − 4yz es una fc.

Q(x, y, z) =(x y z

)

2 −1 20 4 11 2 3

xyz

=(x y z

)

2x− y + 2z4y + z

x+ 2y + 3z

= 2x2 + 4y2 + 3z2 − xy + 3xz + 3yz es una fc.

El ultimo ejemplo, en el que se describe una forma cuadratica por una expresion del tipo xTAx, con Amatriz cuadrada y x vector columna es el caso general.

16

De hecho, si consideramos una matriz A = (aij)n×n y un vector x = (x1, x2, . . . , xn) tenemos que

xTAx =(x1 x2 x3 · · · xn

)

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....

an1 an2 an3 · · · ann

x1

x2

x3

...xn

=(x1 x2 x3 · · · xn

)

n∑

r=1

a1rxr

n∑

r=1

a2rxr

n∑

r=1

a3rxr

...n∑

r=1

anrxr

=

n∑

s=1

xs

n∑

r=1

asr xr =

n∑

s=1

n∑

r=1

asr xsxr

Entonces, xTAx es un polinomio con n variables que solo contiene terminos de grado 2, es decir, xTAx esuna forma cuadratica.

Los terminos con x2i se obtienen cuando s = r = i en la suma, luego el coeficiente de x2

i es aii parai = 1, 2, . . . , n. Ademas, la suma tiene dos terminos con xixj (cuando s = i, r = j y cuando s = j, r = i), ası queel coeficiente de xixj es (aij + aji).

Ahora, al considerar una forma cuadratica dada por

Q(x1, x2, . . . , xn) =n∑

k=1

mk x2k +

n∑

j=1

j−1∑

i=1

rij xixj ,

es directo ver que basta tomar una matriz A = (aij)n×n que cumpla aii = mi para i = 1, 2, . . . , n y aij+aji = rijpara i, j = 1, 2, . . . , n con i < j, para tener que

∀x ∈ Rn Q(x) = xTAx

Definicion: Sea Q : Rn −→ R una forma cuadratica. Diremos que una matriz A de n× n representa a la fcQ si y solo si

∀x ∈ Rn Q(x) = xTAx

Nota : Dada una forma cuadraticaQ, existen infinitas matrices que la representan. Por ejemplo, si Q : R3 −→ R

es la forma cuadratica definida por

Q(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + 3z2 − xy + 3xz + 3yz

(ver el ultimo ejemplo), entonces todas las matrices

A1 =

2 −1 20 4 11 2 3

, A2 =

2 5 −1−6 4 24 1 3

, A3 =

2 −1 30 4 30 0 3

, A4 =

2 − 12

32

− 12 4 3

2

32

32 3

17

representan a Q (¡Compruebelo!). Pero existe una unica matriz simetrica que representa a Q (en este caso, A4).

Teorema. Sea Q(x) = xTAx una forma cuadratica de Rn (A es una matriz cualquiera que representa a Q).Entonces existe una unica matriz simetrica S que representa a Q.

Demostracion: Dividiremos la demostracion en dos partes: (i) probaremos la existencia de una matriz simetricaque representa a Q y (ii) probaremos que esta matriz simetrica es unica.

(i) Para demostrar la existencia, notemos que si A representa a Q, entonces AT tambien representa a Q. Esdecir, si Q(x) = xTAx, entonces Q(x) = xTATx.

Pero esto es claro, pues los elementos de la diagonal de AT coinciden con los elementos de la diagonal deA (es decir, en ambos casos el coeficiente del termino x2

i es aii). El coeficiente del termino “cruzado” xixj

es (aij + aji), pero al transponer la matriz, el coeficiente de xixj es (aji + aij) y nuevamente coinciden.

De esta manera,

2Q(x) = Q(x) +Q(x) = xTAx + xTATx = xT(Ax+ATx

)= xT

(A+AT

)x

Y, por tanto,

Q(x) =1

2xT

(A+AT

)x = xT

(A+AT

2

)

x

Entonces, la matrizA+AT

2representa a Q y, ademas, es simetrica, pues

(A+AT

2

)T

=1

2(A+AT )T =

1

2(AT + (AT )T ) =

1

2(AT +A) =

(A+AT

2

)

Entonces, existe al menos una matriz simetrica que representa a Q.

(ii) Ahora debemos probar la unicidad de la matriz simetrica que representa a Q.

Pero primero probaremos el siguiente hecho:

Si S es simetrica y ∀x ∈ Rn xTSx = 0, entonces S = O. (*)

Si tomamos x = e1, tendremos que 0 = eT1 Se1 = s11.

Si tomamos x = e2, tendremos que 0 = eT2 Se2 = s22.

Si tomamos x = e3, tendremos que 0 = eT3 Se3 = s33.

...

Si tomamos x = en, tendremos que 0 = eTnSen = snn.

Con esto, hemos probado que la diagonal de S solo contiene ceros.

Ahora probaremos que cualquier elemento de S que esta fuera de la diagonal tambien es cero. Para esto,notemos que sij = eTi Sej , pero no podemos saber cuanto vale este elemento.

Si tomamos x = (ei + ej), tendremos que

0 = (ei + ej)TS(ei + ej) = (eTi + eTj )Sei + (eTi + eTj )Sej

= eTi Sei + eTj Sei + eTi Sej + eTj Sej

= 0 + sji + sij + 0

18

Luego, tenemos que sij + sji = 0.

Pero como ST = S, se tiene que sij = sji, tenemos que 2sij = 0, de donde obtenemos que sij = 0.

Por tanto, S = O y hemos probado la afirmacion (*).

Ahora, concluimos la demostracion de unicidad.

Debemos probar que si Q(x) = xTS1x y Q(x) = xTS2x para todo x ∈ Rn, con S1 y S2 simetricas, entoncesS1 = S2.

Pero si Q(x) = xTS1x = xTS2x para todo x ∈ Rn, entonces xTS1x − xTS2x = 0 para todo x ∈ Rn. Esdecir,

∀x ∈ Rn xT

(S1 − S2

)x = 0

y ademas, tenemos que S1−S2 es simetrica, entonces por (*) se tiene que S1−S2 = O, es decir, S1 = S2.

Con este teorema, hemos probado que a cada forma cuadratica Q : Rn −→ R le corresponde una unicamatriz simetrica S y que a cada matriz simetrica le corresponde una unica forma cuadratica. Asociamos, deahora en adelante, las formas cuadraticas con las matrices simetricas.

Por tanto, desde ahora, anotamos cada forma cuadratica Q por su representacion con la matriz simetricaasociada a Q, es decir,

Q(x) = xTSx

y todas las propiedades de las formas cuadraticas que estudiaremos a continuacion se realizaran a traves de sumatriz simetrica asociada.

4.2.2. Clasificacion de las formas cuadraticas

El metodo mas difundido para clasificar las formas cuadraticas, se basa en el estudio de su recorrido. Loprimero que debemos notar es que si Q es una fc en Rn, entonces

Q(−→0 ) =

−→0 TS

−→0 =

−→0 T−→0 =

−→0 · −→0 = 0 ∈ R

Definicion: Sea Q : Rn −→ R una forma cuadratica con matriz simetrica S. Entonces:

Q (y su matriz S) es definida positiva si para todo vector x 6= −→0 de Rn se tiene que

Q(x) = xTSx > 0

Q (y su matriz S) es semidefinida positiva si para todo vector x de Rn se tiene que

Q(x) = xTSx ≥ 0

Q (y su matriz S) es definida negativa si para todo vector x 6= −→0 de Rn se tiene que

Q(x) = xTSx < 0

Q (y su matriz S) es semidefinida negativa si para todo vector x de Rn se tiene que

Q(x) = xTSx ≤ 0

Q (y su matriz S) es no definida si existe un vector x1 tal que Q(x1) = xT1 Sx1 > 0 y existe otro vector

x2 tal que Q(x2) = xT2 Sx2 < 0.

Ejemplos: Clasifiquemos las siguientes formas cuadraticas:

19

1. Q1(x, y, z) = 5x2 + 3y2 +9z2 es semidefinida positiva, pues Q1(x, y, z) ≥ 0 para cualquier vector (x, y, z).Pero, ademas, se tiene que

Q1(x) = 0⇐⇒ 5x2 + 3y2 + 9z2 = 0⇐⇒ (x, y, z) = (0, 0, 0)

Por lo tanto, si (x, y, z) 6= (0, 0, 0), tendremos Q1(x, y, z) > 0. Es decir, Q1 es definida positiva.

2. Q2(x, y, z, t) = −x2− 9y2−√2z2− 7t2 es definida negativa, pues Q2(x, y, z, t) ≤ 0 para todo vector de

R4. Pero cuando analizamos donde se hace cero, tenemos que

Q2(x, y, z, t) = 0⇐⇒ −x2 − 9y2 −√2z2 − 7t2 = 0⇐⇒ (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0),

por tanto, para todo vector distinto del vector sera la fc sera estrictamente negativa.

Notemos que una fc Q(−→x ) es definida negativa si y solo si −Q(−→x ) es definida negativa.

3. Q3(x, y, z) = 8x2 − 3y2 + 2z2 es una forma cuadratica no definida, pues

Q3(1, 0, 1) = 8 + 2 = 10 > 0 y Q3(0, 1, 0) = −3 < 0

4. Q4(x, y) = x2+y2+2xy es semidefinida positiva, pues podemos reescribirla como Q4(x, y) = (x+y)2 ≥ 0.Estudiemos donde se hace cero, para decidir si, ademas, es definida positiva:

Q4(x, y) = 0⇐⇒ (x+ y)2 = 0⇐⇒ x+ y = 0⇐⇒ (x, y) = (−y, y) = y(−1, 1)

Entonces tenemos vectores distintos de cero en los cuales Q4 vale cero. Esto significa que Q4 no es definidapositiva, solo es semidefinida positiva.

Ademas, como funcion de R2 en R, vemos que Q4 alcanza su valor mınimo, que es cero, en toda la rectaL = 〈(−1, 1)〉.

Las formas cuadraticas que consideramos en los ejemplos son bastante simples. De hecho, salvo en el ejemplo4, las matrices simetricas asociadas a todas las formas cuadraticas son diagonales.

Clasificar este tipo de formas cuadraticas es muy simple.

Teorema. Sean D =

d11 0 0 · · · 00 d22 0 · · · 00 0 d33 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · dnn

n×n

y Q : Rn −→ R una forma cuadratica con matriz

simetrica asociada D. Entonces:

(i) Q (y su matriz D) es definida positiva si y solo si dii > 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(ii) Q (y su matriz D) es semidefinida positiva si y solo si dii ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(iii) Q (y su matriz D) es definida negativa si y solo si dii < 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(iv) Q (y su matriz D) es semidefinida negativa si y solo si dii ≤ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(v) Q (y su matriz D) es no definida si y solo si existen i, j ∈ {1, 2, . . . , n} tales que dii > 0 y djj < 0.

Demostracion: Probaremos (i), el resto de las afirmaciones quedan propuestas.Basta notar que para todo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn

Q(x) = d11x21 + d22x

22 + · · ·+ dnnx

2n

Supongamos que Q es definida positiva. Entonces Q(x) > 0 para todo x 6= 0. En particular, Q(e1) = d11 > 0,Q(e1) = d22 > 0, . . . , Q(en) = dnn > 0.

20

Si ahora suponemos que d11 > 0, d22 > 0, . . . , dnn > 0, entonces diix2i ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n y Q(x) ≥ 0 para

todo x ∈ Rn. Ademas, se tiene que

Q(x) = 0⇐⇒ d11x21 + d22x

22 + · · ·+ dnnx

2n = 0⇐⇒

d11x21 = 0

d22x22 = 0

...dnnx

2n = 0

⇐⇒

x1 = 0

x2 = 0...

xn = 0

⇐⇒ x = 0

Entonces, para todo x 6= 0 tendremos que Q(x) > 0. Por tanto, Q es definida positiva.

¿Como clasificamos una forma cuadratica cuya matriz simetrica no es diagonal?

Consideremos la forma cuadratica

Q(x, y, z) = 4x2 + 3y2 + 5z2 − 5xy − 6yz + 3xz

Para clasificarla, usaremos su representacion matricial:

Q(x, y, z) =(x y z

)

4 − 52

32

− 52 3 −3

32 −3 5

xyz

y calcularemos la primera factorizacion de Cholesky de la matriz de Q:

S =

4 − 52

32

− 52 3 −3

32 −3 5

F2 +58F1

F3 − 38F1

∼

4 − 52

32

0 2316 − 33

16

0 − 3316

7116

F3 +3323F2

∼

4 − 52

32

0 2316 − 33

16

0 0 3423

= U

Entonces L =

1 0 0

− 58 1 0

38 − 33

23 1

y como S es una matriz simetrica con una factorizacion LU , entonces U = DLT

con D =

4 0 0

0 2316 0

0 0 3423

.

Con esto, tenemos que

Q(x, y, z) =(x y z

)

1 0 0

− 58 1 0

38 − 33

23 1

4 0 0

0 2316 0

0 0 3423

1 − 58

38

0 1 − 3323

0 0 1

x

y

z

=(x− 5

8y +38z y − 33

23z z)

4 0 0

0 2316 0

0 0 3423

x− 58y +

38z

y − 3323z

z

= 4

(

x− 5

8y +

3

8z

)2

+23

16

(

y − 33

23z

)2

+34

23z2

Y, ahora, es claro que Q(x, y, z) ≥ 0 para todo (x, y, z) ∈ R3 ası que ya sabemos que Q es semidefinidapositiva. Estudiamos donde se hace cero esta funcion para decidir si es definida positiva:

Q(x, y, z) = 0⇐⇒

x− 58y +

38z = 0

y − 3323z = 0

z = 0

⇐⇒ (x, y, z) = (0, 0, 0)

21

Entonces Q es definida positiva.

Este procedimiento sera el estandar. Lo resumimos en el siguiente teorema.

Teorema. Sea S una matriz simetrica que tiene una factorizacion de Cholesky sin raız, es decir, S = LDLT ,donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D = (dij) es una matriz diagonal y seaQ(x) = xTSx. Entonces:

(i) Q (y la matriz S) es definida positiva si y solo si dii > 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(ii) Q (y la matriz S) es semidefinida positiva si y solo si dii ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(iii) Q (y la matriz S) es definida negativa si y solo si dii < 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(iv) Q (y la matriz S) es semidefinida negativa si y solo si dii ≤ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

(v) Q (y la matriz S) es no definida si y solo si existen i, j ∈ {1, 2, . . . , n} tales que dii > 0 y djj < 0.

Demostracion: Como S = LDLT , tenemos que

Q(x) = xTSx = xTLDLTx = (LTx)TD(LTx)

Y haciendo la sustitucion de variables u = LTx. Entonces:

Q(x) = Q(u(x)) = Q(u) = uTDu, donde u(x) = LTx

Cuando u 6= 0, tendremos que:

uTDu > 0⇐⇒ dii > 0 para i = 1, 2, . . . , n.

uTDu ≥ 0⇐⇒ dii ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

uTDu < 0⇐⇒ dii < 0 para i = 1, 2, . . . , n.

uTDu ≤ 0⇐⇒ dii ≤ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

Pero, como u = LTx y LT es una matriz invertible, tendremos que la unica solucion del sistema LTx = 0 esx = 0, lo que significa que

u 6= 0⇐⇒ LTx 6= 0⇐⇒ x 6= 0

Con esto, hemos probado las afirmaciones (i), (ii), (iii) y (iv).Para la afirmacion (v), supongamos que Q(x) es no definida, entonces existen dos vectores distintos x1 y x2

tales que Q(x1) > 0 y Q(x2) < 0. Entonces u1 = LTx1 y u2 = LTx2 son dos vectores distintos (pues LT esinvertible) tales que uT

1 Du1 > 0 y uT2 Du2 < 0, luego, existen i, j ∈ {1, 2, . . . , n} tales que dii > 0 y djj < 0.

Si ahora suponemos que existen dii > 0 y djj < 0, entonces eTi Dei > 0 y eTj Dej < 0 y tomando x1 = (LT )−1ei,

x2 = (LT )−1ej , habremos encontrado dos vectores distintos para los cuales tenemos que Q(x1) > 0 y Q(x2) < 0y Q es no definida.

Nota 1: Usando la factorizacion S = LDLT , podremos escribir la fc Q(x) = xTSx como una suma ponderadade terminos al cuadrado. Ası, por ejemplo,

Q(x, y, z) = x2 − 3y2 + z2 + 2xy − xz + 8yz ⇐⇒ Q(−→x ) = −→x T

1 1 − 12

1 −3 4

− 12 4 1

−→x

Y

S =

1 1 − 12

1 −3 4

− 12 4 1

F2 − F1

F3 +12F1

∼

1 1 − 12

0 −4 92

0 92

34

F3 +98F2

∼

1 1 − 12

0 −4 92

0 0 9316

22

Luego, si L =

1 0 01 1 0− 1

2 − 98 1

y D =

1 0 00 −4 00 0 93

16

, entonces S = LDLT y tomando

−→u =

uvw

= LT

xyz

=

x+ y − 12z

y − 98z

z

tenemos que

Q(−→x ) = −→x TS−→x = −→u TD−→u = u2 − 4v2 +93

16w2 = (x+ y − 1

2z)2 − 4(y − 9

8z)2 + 93

16z2

El proceso para escribir una forma cuadratica como suma ponderada de terminos cuadrados se conoce comola diagonalizacion de la forma cuadratica.

Nota 2: No toda forma cuadratica puede ser diagonalizada. De hecho, la forma cuadratica Q(x, y) = 2xy

no tiene diagonalizacion, pues su matriz simetrica S =

(0 11 0

)

no tiene factorizacion LU . A pesar de esto,

podemos clasificar esta forma cuadratica que resulta ser no definida, pues Q(1, 3) > 0, pero Q(−1, 2) < 0.

4.3. Matrices definidas positivas

En esta seccion vamos a estudiar las principales propiedades de las matrices definidas positivas y las carac-terizaremos a traves de la Factorizacion de Cholesky con raıces.

4.3.1. Propiedades de las matrices definidas positivas

Primero, recordemos dos hechos fundamentales que a menudo se olvidan:

1. Todas las matrices definidas positivas son simetricas, pues son las matrices asociadas a las formas cuadraticasdefinidas positivas.

2. Una matriz S es definida negativa si y solo si −S es definida positiva. Con esto, sera obvio que los siguientesresultados tambien se extienden para matrices definidas negativas.

Teorema. Si S es una matriz definida positiva, entonces S es invertible.

Demostracion: Supongamos que S es definida positiva, pero no invertible. Entonces el sistema Sx = 0 tieneinfinitas soluciones. Es decir, existe un vector x0 6= 0 tal que Sx0 = 0 y, por tanto, xT

0 Sx0 = xT0 (Sx0) = xT 0 = 0.

Esto contradice el hecho de que S es definida positiva.Ası, es necesario que S sea invertible.

Para establecer el siguiente resultado, definiremos las submatrices principales de una matriz cuadrada.

Definicion: Sea A = (aij) una matriz de n×n. Las submatrices pricipales de A son las matrices A1, A2, . . . ,An tales que , para k = 1, 2, . . . , n, Ak es una matriz de k × k y su elemento en la posicion (i, j) es aij .

Es decir, las submatrices pricipales de A =

1 2 3 4 5 6−1 2 −3 5 1 00 2 1 1 2 20 0 1 2 4 1−1 1 1 8 1 01 2 4 3 2 1

son: A1 = (1), A2 =

(1 2−1 2

)

,

A3 =

1 2 3−1 2 −30 2 1

, A4 =

1 2 3 4−1 2 −3 50 2 1 10 0 1 2

, A5 =

1 2 3 4 5−1 2 −3 5 10 2 1 1 20 0 1 2 4−1 1 1 8 1

, A6 = A.

23

Teorema. Si S es una matriz definida positiva, entonces todas las submatrices principales de S son definidaspositivas.

Demostracion: Sabemos que para todo x 6= 0 en Rn se tiene que xTSx > 0. Para cada k ∈ {1, 2, . . . , n},debemos probar que xT

k Skxk > 0, donde xk es cualquier vector no nulo de Rk.Sea xk = (a1, a2, . . . , ak) un vector no nulo de Rk. Entonces x = (a1, a2, . . . , ak, 0, . . . , 0) es un vector no nulode R

n y como es claro quexTSx = xT

k Skxk

, tenemos que Sk es una matriz definida positiva.

Una consecuencia directa de los dos teoremas anteriores.

Corolario. Todas las submatrices principales de una matriz definida positiva son invertibles.

Teorema. Si S es una matriz definida positiva, entonces S tiene una factorizacion LU (es decir, S se puedeescalonar sin hacer intercambios de filas).

Demostracion: Como S = (sij) es definida positiva, todas sus submatrices principales son invertibles. En-tonces, en particular, S1 = (s11) 6= O, es decir, s11 6= 0 y podremos pivotear para eliminar todos los elementosbajo este primer pivote, sin necesidad de intercambiar filas.Pero cuando hacemos la operacion F2 − s21

s11F1 para eliminar el segundo elemento de la primera columna, al

mismo tiempo estamos escalonando la submatriz S2 y como es invertible, el nuevo elemento ubicado en laposicion (2, 2) de S y de S2 debe ser distinto de cero (de hecho, sabemos que debera ser positivo pues S2 esdefinida positiva). Por tanto, no es necesario intercambiar filas para eliminar los elementos que estan bajo elsegundo pivote.Recursivamente, siguiendo este procedimiento, notamos que al escalonar S estamos escalonando todas las subma-trices principales de S al mismo tiempo y siempre obtendremos pivotes positivos, por lo que nunca necesitaremosintercambiar filas para terminar el pivoteo y llegar a U . Obteniendo la factorizacion LU de S.

4.3.2. Segunda Factorizacion de Cholesky

Sea S una matriz definida positiva. Entonces, S = LU y, de hecho, por ser simetrica, S = LDLT . Ademassabemos que D tiene solo elementos estrictamente positivos en su diagonal.

Entonces, podemos hacer la siguiente factorizacion de D:

D =

d11 0 · · · 00 d22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · dnn

=

√d11 0 · · · 00

√d22 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · ·√dnn

√d11 0 · · · 00

√d22 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · ·√dnn

Si ponemos√D =

√d11 0 · · · 00

√d22 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · ·√dnn

, tendremos que

√D

T=√D y, por tanto,

D =√D√D

T

Entonces obtendremos la Fractorizacion de Cholesky con raıces para S:

S = L√D√D

TLT =

(L√D) (

L√D)T

Llamamos K a la matriz L√D, que es una matriz triangular inferior con numeros estrictamente positivos

en la diagonal.

24

Con esto, ya tenemos probado el siguiente teorema:

Teorema. Sea S una matriz simetrica. Entonces S es definida positiva si y solo si existe una matriz Ktriangular inferior con elementos estrictamente positivos en la diagonal tal que

S = KKT .

El siguiente corolario refleja el ultimo teorema en lenguaje de formas cuadraticas.

Corolario. Sea Q una forma cuadratica. Entonces Q es definida positiva si y solo si Q(x) se puede escribircomo una suma de terminos cuadrados.

Ejemplo: Consideremos la forma cuadratica Q(x, y, z) = 3x2 + 7y2 + 8z2 − 6xy + 6xz − 14yz. Entonces, sumatriz simetrica es:

S =

3 −3 3−3 7 −73 −7 8

F2 + F1

F3 − F1

∼

3 −3 30 4 −40 −4 5

F3 + F2

∼

3 −3 30 4 −40 0 1

Luego L =

1 0 0−1 1 00 −1 1

, D =

3 0 00 4 00 0 1

y podemos concluir que Q es definida positiva, la es-

cribiremos como una suma de terminos positivos. Para esto, calculamos la factorizacion de Cholesky con raıcesde S.

Tenemos que√D =

√3 0 00 2 00 0 1

y K = L√D =

√3 0 0

−√3 2 00 −2 1

.

Ası,

Q(x, y, z) =(x y z

)

√3 0 0

−√3 2 00 −2 1

√3 −

√3 0

0 2 −20 0 1

xyz

=(√

3x−√3y

)2+(2y − 2z

)2+ z2

Concluimos con un ejercicio “tipo prueba”.

Ejercicio: Considere la funcion f : R3 −→ R definida por

f(a, b, c) = 9− 5(a − 3)2 + 20(a − 3)(b + 2) + 30(a − 3)c− 22(b + 2)2 − 52(b + 2)c− 53c2

a) Haciendo el cambio de variables (x, y, z) = (a− 3, b+ 2, c), demuestre que la forma cuadratica

q(x, y, z) = f(a, b, c)− 9

es semidefinida negativa.

b) Encuentre el conjunto de todos los vectores (x, y, z) ∈ R3 para los cuales q(x, y, z) = 0 y, usando esto,concluya que 9 es el valor maximo que alcanzara la funcion f y determine todos los puntos (a, b, c) en loscuales f alcanza este valor.

25

Solucion:

a)

q(x, y, z) = −5x2 + 20xy + 30xz − 22y2 − 52yz − 53z2

=(x y z

)

−5 10 1510 −22 −2615 −26 −53

xyz

Basta probar que la matriz A =

−5 10 1510 −22 −2615 −26 −53

es semidefinida negativa.

−5 10 1510 −22 −2615 −26 −53

F2 + 2F1

F3 + 3F1

∼

−5 10 150 −2 40 4 −8

F3 + 2F1

∼

−5 10 150 −2 40 0 0

= U

Aquı, ya puede concluirse que A es semidefinida negativa, pues los elementos de la diagonal de U ( y deD) son −5, −2 y 0. Por lo tanto, la forma cuadratica q(x, y, z) ≤ 0 para todo (x, y, z) 6= 0.

b) Para determinar los vectores pedidos, calculamos la factorizacion de Cholesky de A. Pero, por la parteanterior,

A = LU

=

1 0 0−2 1 0−3 −2 1

−5 10 150 −2 40 0 0

=

1 0 0−2 1 0−3 −2 1

−5 0 00 −2 00 0 0

1 −2 −30 1 −20 0 1

= LDLT

Luego, la forma cuadratica queda

q(x, y, z) =(x y z

)LDLT

xyz

y, poniendo w =

w1

w2

w3

= LT

xyz

=

x− 2y − 3zy − 2z

z

, se tiene que

q(w) = −5w21 − 2w2

2 = −5(x− 2y − 3z)2 − 2(y − 2z)2.

Por lo tanto, q(x, y, z) = 0 si y solo si

{x− 2y − 3z = 0

y − 2z = 0

Es decir,

xyz

=

7z2zz

= z

721

26

Por lo tanto, el conjunto de los vectores (x, y, z) para los cuales q(x, y, z) = 0 es la recta

〈{(7, 2, 1)}〉.

Ahora, como q(−→x ) ≤ 0 para todo −→x ∈ R3, entonces

f(a, b, c) = 9 + q(x, y, z) ≤ 9 y f(3,−2, 0) = 9.

De donde se concluye que 9 es el valor maximo de la funcion f .

Ademas, f(a, b, c) = 9 si y solo si q(x, y, z) = 0. Luego,

f(a, b, c) = 9 ⇐⇒

xyz

= z

721

⇐⇒

a− 3b+ 2c

= c

721

⇐⇒

abc

=

3−20

+ c

721

Entonces, el conjunto de puntos en que f alcanza su maximo es la recta

(3,−2, 0) + 〈{(7, 2, 1)}〉.

27

MAT1203 Algebra Lineal

Guıa N◦ 4 – Matrices elementales y Factorizaciones matriciales

1. Sean A una matriz de m× n y M una matriz elemental de orden n× n. Determine como se relaciona lamatriz A′ = AM con A. (Recuerde que si E es una matriz elemental de orden m×m, entonces la matrizA′′ = EA se obtiene al realizar en A la operacion elemental representada por E.) Sugerencia: Considere,por separado, los casos: M = Pij , M = Ei(c) y M = Eij(c).

2. Si P = P1P2 · · ·Pk, donde las Pi son matrices elementales de permutacion, demuestre cada una de lassiguientes afirmaciones:

a) P es la matriz identidad con sus filas “permutadas”.

b) P−1 = PT .

c) Por medio de un ejemplo, pruebe que, en general, P−1 6= P (esto equivale a probar que, en general,PT 6= P ).

3. a) Demuestre que el producto de matrices triangulares inferiores con 1s en su diagonal es triangularinferior con 1s en su diagonal y que el producto de triangulares superiores es triangular superior.

b) Demuestre que la inversa de un matriz triangular superior existe si y solo si los elementos de sudiagonal son no nulos.

c) Demuestre que la inversa de una triangular inferior con 1s en la diagonal es triangular inferior con1s en la diagonal y que la inversa de una triangular superior es triangular superior (cuando existe).

d) Usando todo lo anterior, demuestre que si A tiene inversa y A = L1U1 = L2U2, entonces L1 = L2 yU1 = U2, es decir, la factorizacion A = LU es unica cuando A es invertible.

4. Sea

A =

1 2 0 11 2 1 20 0 1 11 1 1 11 0 1 1

a) Calcule la factorizacion PA = LU .

b) Escriba las filas de A como combinaciones lineales de las filas de U y las filas de U como combinacioneslineales de las filas de A.

c) Escriba L y L−1 como el producto de matrices elementales.

5. Si

A−1 =

a b cd e fg h i

y B es una matriz que se obtiene de A, sumando dos veces la primera fila a la tercera, luego, intercambiandola segunda y la tercera filas y, por ultimo, amplificando la primera fila por −3. Determine B−1.

6. Suponga que la matriz A se factoriza como PA = LU , donde

A =

1 2 1 b2 a 1 8c d e f

y U =

1 2 0 30 0 1 20 0 0 0

Determine la solucion de Ax =

1−11

y todos los vectores b ∈ R3 para los cuales el sistema Ax = b es

compatible.

28

7. Sean

U =

1 −1 1 −30 1 −3 00 0 3 90 0 0 00 0 0 0

, L =

1 0 0 0 00 1 0 0 02 2 1 0 03 3 1 1 01 2 1 0 1

y A = LU . Determine todos los vectores de b ∈ R5 para los cuales el sistema Ax = b no tiene solucion.

8. Suponga que A satisface la igualdad

1 0 0 0 00 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 1

A =

1 0 0 0 0−1 1 0 0 01 −2 1 0 02 1 −1 1 0−1 1 1 −1 1

u11 u12 u13 u14 u15

0 u22 u23 u24 u25

0 0 u33 u34 u35

0 0 0 u44 u45

0 0 0 0 0

Si uii 6= 0 para i = 1, 2, 3, 4, encuentre todos los vectores b ∈ R5 para los cuales el sistema Ax = b no tienesolucion.

9. Suponga que A de m×n se factoriza como A = LU , con L triangular inferior con 1s en la diagonal y U estriangular superior. Demuestre que U tiene inversa por izquierda si y solo si A tiene inversa por izquierda.

10. Sea A una matriz tal que PA = LU , donde

P =

0 0 11 0 00 1 0

, L =

1 0 0−2 1 0−3 2 1

, U =

2 −1 10 1 20 0 −1

.

a) Determine la solucion de Ax =

21−1

.

b) Determine la solucion de ATx =

21−1

.

c) Determine solamente la segunda columna de A−1.

d) Determine el elemento de A−1 ubicado en la segunda fila y en la tercera columna.

11. a) Sean A y B dos matrices simetricas tales que A es definida positiva y B es semidefinida positiva.Demuestre que si α > 0 y β > 0 entonces la matriz αA+ βB es simetrica definida positiva.

b) Sea C una matriz invertible. Demuestre que la matriz A es simetrica y definida positiva si y solo sila matriz CTAC es simetrica y definida positiva.

c) Sea A una matriz invertible. Demuestre que A es simetrica y definida positiva si y solo si A−1 essimetrica y definida positiva.

d) Demuestre que si A es una matriz simetrica y definida positiva, entonces An tambien es simetrica ydefinida positiva para todo n ∈ N.

e) Sea F una matriz cualquiera de orden m×n. Demuestre que las matrices FTF y FFT son simetricasy semidefinidas positivas. Determine condiciones sobre F para que se garantice que FTF y FFT seandefinidas positivas.

f ) Sea G una matriz simetrica e invertible. Demuestre que G2k es simetrica y definida positiva paratodo k ∈ Z.

12. Sea A simetrica y definida positiva de orden n y sea B una matriz de n× 1. Pruebe que C = 2A3+3BBT

es simetrica y definida positiva.

29

13. El siguiente metodo permite, mediante la factorizacion de Cholesky, encontrar la inversa de cualquiermatriz invertible. Justifique o demuestre, segun corresponda, cada paso y aplique el metodo para calcularla inversa de

A =

1 1 1 43 7 11 141 3 5 62 4 5 8

Sea A una matriz invertible de orden n y sea B = ATA.

i) Existe una matriz K triangular inferior con elementos positivos en la diagonal, tal que B = KKT .

ii) El sistema matricial KX = AT tiene solucion unica.

iii) El sistema matricial KTY = X tiene solucion unica.

iv) La matriz Y encontrada en el punto anterior es la inversa de A.

14. Sea A una matriz simetrica de orden n que puede factorizarse A = LU . Demuestre que A es definidapositiva si y solo si todos los pivotes de U son positivos. ¿Como son los pivotes de U cuando A essemidefinida positiva, definida negativa o semidefinida negativa?

15. Sean α y β dos numeros reales distintos de cero. Determine los valores de x para los cuales la matriz

B =

x 1 α1 4 α+ β

α α+ β β2

5 + α2

es definida positiva independientemente de los valores de α y β.

16. Determine condiciones para x e y de modo que la matriz

1 0 0 0 0 0 y0 1 0 0 0 0 y0 0 1 0 0 0 y0 0 0 1 0 0 y0 0 0 0 1 0 y0 0 0 0 0 1 yx x x x x x 1 + 6y

sea definida positiva.

17. Clasifique las siguientes formas cuadraticas. Determine la “escritura diagonal” de cada forma .

a) q(x) = 2x21 − 4x1x2 + 4x1x3 + 5x2

2 + 8x2x3 + 16x23

b) q(x) = x21 + 4x1x2 + 6x1x3 + 8x1x4 + 6x2

2 + 20x2x3 + 12x2x4 + 19x23 + 8x3x4 + 28x2

4

c) q(x) = 2x21 − 8x1x2 + 8x1x3 + 10x2

2 − 8x2x3 + 4x2x4 + 19x23 + 8x3x4 + 3x2

4

d) q(x, y, z, t) = x2 + 5y2 + 4z2 + 3t2 − 2xy − 2xt− 6yt+ 4yz − 2zt

e) q(x, y, z, t) = 16x2 + 5y2 + 67z2 + 46t2 − 16xy − 24xz + 8xt+ 26yz + 4yt+ 38zt

18. Sea A =

(1 1 10 1 a

)

, a ∈ R. Diagonalice la forma cuadratica asociada a AAT .

19. Considere la forma cuadratica Q(x, y, z) = x2 + 2axy + y2 + 2yz + 4z2.

a) Determine todos los valores de a para los cuales Q es definida positiva.

b) Para los valores de a encontrados, escriba Q como suma de cuadrados.

20. Determine todas las formas cuadraticas Q : R2 −→ R que son definidas positivas.

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Respuestas:

4.a. P =

1 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 10 1 0 0 0

, L =

1 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 01 2 −1 1 01 0 1 0 1

y U =

1 2 0 10 −1 1 00 0 1 10 0 0 10 0 0 0

4.b. Si A =

A1

A2

A3

A4

A5

y U =

U1

U2

U3

U4

U5

, entonces A1 = U1, A2 = U1 + U3 + U5, A3 = U3, A4 = U1 + U2 y A5 =

U1 + 2U2 − U3 + U4. Ademas, U1 = A1, U2 = A4 −A1, U3 = A3, U4 = A1 +A3 − 2A4 +A5.4.c. L = E21(1)E41(1)E51(1)E42(2)E43(−1)E53(1) y L−1 = E53(−1)E43(1)E42(−2)E51(−1)E41(−1)E21(−1).

5. B−1 =

−1

3a+ 2

3c c b

−1

3d+ 2

3f f e

−1

3g + 2

3i i h

6. El sistema Ax =

1−11

no tiene solucion y el sistema Ax = b es compatible si y

solo si b ∈ 〈{(1, 0,−1), (0, 1, 1)}〉. 7.Ax = b no tiene solucion si y solo si b /∈ 〈{(1, 0, 1,−2, 0), (0, 1, 0,−1, 0), (0, 0, 1, 1, 1)}〉.8. Ax = b no tiene solucion si y solo si b /∈ 〈{(1, 0, 0, 0, 3), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0,−1), (0, 0, 0, 1, 2)}〉. 10.a.x = (− 7

2 ,−4, 2)10.b. x = (−10, 6,−1) 10.c. La segunda columna de A−1 se obtiene resolviendo Ax = e2 y es el vector(32 , 2,−1)T . 10.d. El elemento buscado es 0.15. No existen valores de x que hagan la matriz definida positiva para todo valor de α y de β.16. 1

6 > y(x − 1). 17.a. q es definida positiva y q(x) = 2(x1 − x2 + x3)2 + 3(x2 + 2x3)

2 + 2x23 b. q es

definida positiva y q(x) = (x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4)2 + 2(x2 + 2x3 − x4)

2 + 2(x3 − 2x4)2 + 2x2

4 c. q es definidapositiva y q(x) = 2(x1 − 2x2 + 2x3)

2 + 2(x2 + 2x3 + x4)2 + 3x2

3 + x24 d. q no puede ser clasificada, pues

q(x) = (x1 − x2 − x4)2 + 4(x2 +

12x3 − x4)

2 + 3(x3 +13x4)

2 − 73x

24 e. q es definida positiva y q(x) = 16(x1 −

12x2 − 3

4x3 +14x4)

2 + (x2 + 7x3 + 4x4)2 + 9(x3 − 2

3x4)2 + 25x2

4

18. Q(x, y) = 3(x + 1+a3 y)2 + 2

3 (a2 − a + 1)y2. 19.a. a ∈

]

−√32 ,

√32

[

b. Q(x, y, z) = (x + ay)2 + (1 − a2)(y +

11−a2 z)

2 + 3−4a2

1−a2 z2.

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