CORRELACIONES GENERALIZADAS PARA PREDECIR LAS PÉRDIDAS DE PRESIÓN POR FRICCIÓN

Para el cálculo de las caídas de presión cuando los fluidos fluyen en tuberías, uno

de los métodos generalizados mas comunes de trabajo es hacerlo en función de

dos (2) variables adimensionales llamadas el número de Reynolds y el factor de

fricción de Fanning.

El número de Reynolds es un número adimensional que relaciona la densidad del

fluido con su velocidad, su viscosidad y el diámetro de la tubería por el cual fluye y

es definido como:

µρVdNRe = (5.1)

Substituyendo la velocidad promedio del fluido como el producto del caudal por el

área del tubo y de una vez aplicando una constante para usar unidades de campo

se obtiene:

dQ95.378NRe µ

ρ= (5.2)

El factor de fricción de Fanning es otro número adimensional de mucho uso en

mecánica de fluidos y relaciona el esfuerzo de corte y la energía cinética del fluido

mediante la siguiente relación:

2w

v2/1f

ρτ

= (5.3)

Es sabido que el esfuerzo de corte en la pared del tubo es igual a:

L4Pd

w∆τ = (5.4)

Que en unidades de campo es :

LPd

w∆

=τ3 (5.5)

Al remplazar el esfuerzo de corte, ecuación 5.4, en la definición del factor de

fricción, ecuación 5.3, se obtiene,

LP

V2df 2

∆ρ

= (5.6)

Realizando algunas conversiones de se obtiene la siguiente expresión para el

cálculo del factor de fricción de Fanning:

2

52

321

LQdPf

ρπ∆

= (5.7)

La ecuación 5.7 cual en unidades de campo se convierte en:

2

5

79.154LQPdf

ρ∆

= (5.8)

Resolviendo la ecuación 5.8 para ∆P, se obtiene:

5

2

79.154 dLQfP ρ

=∆ (5.9)

Esto quiere decir que una vez conocido el valor del factor de fricción, la caída de

presión se puede calcular con la ecuación 5.9.

Se recuerda que en el presente trabajo las unidades de campo para los diferentes

parámetros son:

Caudal, Q, en gal/min.

Diámetro, d, en pulgadas.

Longitud, L, en ft.

Presión, P, en psi

Densidad, ρ , en lb/gal

Factor de fricción, adimensional.

Número de Reynolds, adimensional.

Esfuerzo de corte, lbf/ft2

El factor de fricción se debe calcular con los datos del problema para luego ser

usado en la ecuación 5.9 para calcular la caída de presión. El cálculo del factor de

fricción depende de sí el régimen de flujo es laminar o turbulento lo cual es

dependiente del valor del número de Reynolds cuando se está en flujo laminar y

del número de Reynolds y de la rugosidad cuando se está en flujo turbulento.

Si el régimen de flujo es laminar, el factor de fricción de Fannig para una gran

mayoría de los fluidos que fluyen en tuberías cilíndricas es igual a:

ReN16f = (5.10)

Si el régimen de flujo es turbulento, el factor de fricción se puede calcular

haciendo uso de diferentes correlaciones empíricas que se presentarán con mas

detalle mas adelante.

El número de Reynolds y el factor de fricción, ya sea el de Fanning o el de Moody,

tradicionalmente se han graficado en escala logarítmica en un diagrama que

comúnmente es llamado diagrama de Moody. (ver figura 5.1).

Hay que aclarar que el ipso de fricción definido por Moody es igual a cuatro (4)

veces el factor de fricción definido por Fanning. Por ello es importante aclarar en

los cálculos cual de los dos factores de fricción se está usando en un momento

dado. . La ecuación de Moody esta dada por:

d2LVfP

2

fρ∆ = (5.11)

Figura 5.1 Factor de fricción de Moody

Cuando se calculan caídas de presión para tuberías que no están en posición

horizontal, al gradiente de presión originado por la fricción hay que agregarle el

gradiente de presión originado por la cabeza hidrostática del fluido. En unidades

de campo, la presión hidrostática en tubería vertical se puede calcular con la

siguiente expresión:

h052.0Ph ρ∆ = (5.12)

CALCULO DE ∆P PARA FLUIDOS NEWTONIANOS

A continuación se presentan una serie de correlaciones y ecuaciones para calcular

caídas de presión por fricción de flujo de fluidos Newtonianos en tuberías.

Tubería Recta y Flujo Laminar Se iniciará con la correlación desarrollada por Hagen – Poiseuille. Esta expresión

es la más común para determinar el factor de fricción para este tipo de

condiciones.

ReN16f = (5.12)

Tubería Enrollada y Flujo Laminar

El flujo a través de tubería enrollada, caso que se presenta en forma muy común

en la industria petrolera, se diferencia del flujo por una tubería recta debido a la

presencia de patrones de flujo secundarios causados por el desbalance entre las

fuerzas actuando en la dirección radial de la tubería enrollada. Estos patrones de

flujo secundarios están compuestos de remolinos de rotación invertida que se

oponen al flujo y comúnmente llamados Vórtices de Dean, los cuales causan un

incremento en las pérdidas de presión por fricción. White investigó la influencia de

la curvatura sobre la resistencia al flujo del agua para NRe mayores que 9000. Él

hizo la observación de que el flujo puede ser mantenido laminar para NRe mucho

más grandes que los posibles en una tubería recta. Esta afirmación fue luego

verificada por Taylor en su investigación experimental del flujo turbulento de agua

en tuberías curvas.

Por esto es necesario determinar el tipo de flujo que se presenta en el carrete

utilizando la ecuación 5.13, el número de Reynolds crítico NRec es el punto donde

se determina el tipo de flujo que se presenta en un sistema, es decir, donde el flujo

laminar termina y se inicia el de transición para continuar en flujo turbulento.

5.0o

cRe Rr1212100N

+= (5.13)

Este NRec para el carrete esta en función de la curvatura, por tal razón es

necesario determinar esta expresión por cada vuelta del carrete. Al determinar el

valor del NRec es necesario comparar este valor con el NRe (para fluidos

Newtonianos) ó NReg (para Fluidos bajo la Ley de la Potencia) y si NRe ó NReg es

mayor que NRec entonces el flujo es turbulento, si es menor por lo tanto el flujo es

laminar (ver Fig. 5.2)

Ri+1 Ri+2

Ri

Ri+3 Rn

Radio del Core del Reel

D = Diámetro Externo del CT

Figura 5.2 Diagrama de tubería enrollada y su terminología

Al utilizar esta expresión para ejemplos reales de carretes se llega a la conclusión

que en un carrete de tubería enrollada se podrían presentar simultáneamente dos

tipo de flujos, el laminar y el turbulento, a un caudal determinado. Esto es

importante puesto que puede ser necesario utilizar dos ecuaciones para

determinar las pérdidas por fricción en el carrete, la una sería para flujo laminar y

la otra flujo turbulento. El NRec para tuberías rectas se utiliza con un valor de 2100.

Una correlación desarrollada por Hasson ofrece un significativo calculo de delta P

a través de tuberías enrolladas y lisas. Estas relaciones esta expresadas por:

+=

5.0o

ReRe R

rN0969.0556.0N16f (5.14)

La ecuación es valida para el rango entre 22 < NRe (ro/R)0.5 < 2.000 y teniendo en

cuenta que (ro/R) < 0.066.

Tubería Recta y Lisa con Flujo Turbulento

En primer lugar se tiene una ecuación simplificada para factores de fricción, ésta

fue desarrollada por Blasius para tuberías lisas y rectas, con fluidos newtonianos y

con valores de NRe menores de 100 000.

25.0ReN0791.0f = (5.15)

Para este mismo tipo de condiciones se tiene otra ecuación implícita derivada por

Prandt:

( )( )[ ]2

4.0fNrelog41f

−= (5.16)

Continuando con el tipo de correlaciones bajo las condiciones anunciadas

anteriormente, se llega a la ecuación determinada por Drew que es una de las

ecuaciones más comúnmente utilizada. La expresión es la siguiente y es válida

para el rango entre 3000 < NRe< 3.000.000:

f = 0.0014 + 0.125(NRe)-0.32 (5.17)

Tubería Recta, Rugosa en Flujo Turbulento

En este caso se considera que la tubería presenta cierto grado de rugosidad.

Existen varias expresiones presentadas por diferentes investigadores para este

tipo de condiciones.

En 1984 Chen desarrolló la siguiente expresión para el tipo de condiciones

anunciadas anteriormente, la expresión conseguida por Chen es la siguiente:

+

−−

=

8981.0Re

1098.1

Re N8506.5

d8257.21log

N0452.5

d7065.3log4

1fεε

(5.18)

La expresión determinada por Shenoy que es una de las mas recientes es la

siguiente:

+

=

5.6d10

2N

Nlog57.3C 14.1

8398.0Re

Re

ε (5.19)

2

C1f

= (5.20)

Otra expresión muy conocida para este tipo de condiciones (fluido newtoniano,

tubería recta y rugosa, en flujo turbulento) es la ecuación de Colebrook que

también es una correlación explícita y que debe ser resuelta por iteraciones

sucesivas.

+−=

ColeReCole fN255.1

d0.269log 4

f1 ε (5.21)

El factor de fricción fCole aparece en ambos lados de la ecuación, por lo tanto la

solución de la ecuación de Colebrook requiere iteraciones y la convergencia se

logra luego de 4 o 5 iteraciones.

Esta expresión es importante ya que puede ser adicionada dentro de algunas

ecuaciones que determinan el factor de fricción en tuberías enrolladas, cuando se

presenta rugosidad y en tuberías lisas, esta se utilizara más adelante.

Tubería Enrollada, Lisa con Flujo Turbulento

La primera expresión es la de Ito desarrollada en el año de 1987. Este autor

propuso formulas empíricas para el factor de fricción extraídas de sus estudios

experimentales. La primera ecuación propuesta por este autor fue:

25.0Re

5.0o

N076.0

Rr00725.0f +

= (5.22)

De acuerdo a Ito, la ecuación anterior es valida para el rango: 0.034 < NRe (ro/R)2 <

300 la cual incluye todas las combinaciones de carretes y unidades de coiled

tubing usados en la industria hoy en día. Las correlaciones de Ito combinan los

efectos del flujo de fluidos a través de curvas con un cálculo del factor de fricción

para la hidráulica de tuberías lisas. La expresión [0.00725 (ro/R)0.5], referido como

el “factor C” (término de curvatura), incluyendo el coeficiente empírico [0.076/NRe 0.25], este es derivado de los datos experimentales de Ito.

Más tarde pruebas para flujo a través de coiled tubing helicoidal fueron realizadas

por Mishra y Gupta (Ref. 11). Estos autores encontraron un coeficiente de 0.0075

dando gran exactitud cuando se comparan las predicciones con los datos de

pérdidas de presión de la correlación de Ito. La explicación de Ito para bajos

coeficientes del “factor C” puede ser atribuida al hecho de que él usó únicamente

una sección de ondulación sencilla en sus pruebas. Esto no proveía suficiente

longitud de flujo para que los Vórtices de Dean fueran completamente

desarrollados sobre la longitud de su aparato de prueba.

En contraste a las pruebas de Ito, los aparatos de prueba usados por Mishra y

Gupta se componían de múltiples enrolles helicoidales, los cuales permitían un

desarrollo completo de los efectos de los Vortices de Dean como para ser

medidos. Por esto, el valor empírico de 0.0075 es recomendado y será adoptado

para el coeficiente del “factor C”.

El segundo término en la ecuación de Ito, [0.076/NRe 0.25], fue desarrollado como la

mejor aproximación a sus datos experimentales para una vuelta de tubería

hidráulicamente lisa (cero rugosidad). Este componente del factor de fricción es

aproximadamente 4% menor que el comúnmente usado en la ecuación de Blasius,

ver ecuación 5.15. Esta diferencia entre el segundo término de Ito y la ecuación

de Blasius esta dentro de la exactitud de los datos experimentales de Ito.

De estas observaciones, Reed y Sas Jaworsky en Septiembre de 1997 sugieren

una nueva ecuación la cual incorpore un coeficiente supuesto del factor C y

reemplaza el componente de Ito del factor de fricción para flujo a través de

secciones de tubería rectas por el fCole, ver ecuación 21. La nueva ecuación del

factor de fricción para fluidos newtonianos en flujo turbulento (fCT,T) a través una

sola vuelta de tubería enrollada es:

Cole

5.0o

T,CT fRr0075.0f +

= (5.23)

fCole esta definido previamente.

Esta nueva ecuación combina el factor C de Mishra y Gupta para efectos de flujo

turbulento a través de tuberías enrolladas con una buena relación de estabilidad

para flujo de fluidos a través de tuberías rectas con rugosidad en la pared. Para

estimar convenientemente la adición de fricción causada por la curvatura en la

tubería enrollada se deben calcular los factores de fricción por cada vuelta de

tubería, ó realizar la sumatoria de cada fila de tubos que están sobre el carrete.

Note que fCole es independiente de los efectos de curvatura y podría permanecer

constante para un fluido, tubería y rata de bombeo específicos, por esto la

ecuación puede ser utilizada tanto para tuberías lisas como para rugosas.

La ecuación 5.24 representa la metodología de cálculo para determinar el efecto

de fCT,T y longitud de tubería enrollada sobre el carrete (LReel):

( )elReCole

N

1i

5.0

i

oT.CTelRe LfLi

Rr0075.0fL +

= ∑

=

∆ (5.24)

Las ecuaciones para determinar los factores de fricción en el carrete tienen en

cuenta el efecto de la curvatura del tubo.

El resultado de LReel y fCT,T son entonces empleados por la ecuación estándar de

Fanning para calcular pérdidas totales de presión por fricción a través de tubería

enrollada sobre un carrete. Si la tubería es una sarta que disminuye su diámetro

con su longitud, la ecuación podrá ser aplicada para cada segmento en el cual

diámetro interno es igual a DI como una constante.

Tubería Enrollada, Rugosa y en Flujo Turbulento

La primera de estas ecuaciones fue desarrollada por Scrinivasan, la expresión es

la siguiente:

f = 1.0

o2.0

Re Rr

N084.0

(5.25)

La segunda es la ecuación 5.22 y para toda la longitud de tubería enrollada sería

la ecuación 5.23. Estas ecuaciones pueden ser utilizadas tanto para tuberías lisas

como para tuberías rugosas.

FLUIDOS NO NEWTONIANOS Fluidos de la Ley de la Potencia

Para los fluidos que se comportan bajo la ley de la Potencia se presentan varias

correlaciones para determinar los factores de fricción. De igual forma existen

varias correlaciones para determinar las pérdidas de presión por fricción en

tuberías enrolladas. El modelo de la ley de la potencia es uno de los modelos que

mejor representa los sistemas de fluidos encontrados en la industria petrolera y

por ello han sido objeto de mucho estudio.

Recordando lo escrito en secciones anteriores, la ley de la potencia tiene dos

parámetros a saber::

n que es llamado índice de comportamiento de flujo, y

K que es llamado el índice de consistencia.

Cuando se tienen caracterizaciones del fluido obtenidas de un viscosímetro Fann

35 A, los dos parámetros del modelo se pueden determinar de la siguiente

manera:

300

600log32.3nθθ

= (5.26)

n300

5111.5K θ

= (5.27)

Hay que aclarar que lo ideal es evaluar los parámetros del modelo de la ley de la

potencia a las ratas de corte correspondiente a los rangos objeto de investigación.

Ello es muy fácil cuando se tienen datos experimentales que cubren rangos

amplios de ratas de corte y esfuerzos de corte como los obtenidos en

viscosímetros de múltiples velocidades. Para los fluidos bajo la ley de la potencia

es importante tener en cuenta que el NRe, se presenta como un NRe generalizado y

por lo tanto está en función de n y K.

µρVdNRe = (5.28)

agRe

VdNµ

ρ= (5.29 )

La ecuación 5.28 es la definición del número de Reynolds para fluidos

Newtonianos mientras que la ecuación 5.29 es la definición del número de

Reynolds para fluidos de la Ley de la Potencia. En este último caso la viscosidad

aparente µa, esta definida por: 1n

a K −= γµ (5.30)

Como la rata de corte está definida por:

dV8

=γ (5.31)

Substituyendo las ecuaciones 5.30 y 5.31 en la 5.29 para obtener el número de

Reynolds generalizado se obtiene:

1ngRe

dV8K

VdN −

=ρ (5.32)

La ecuación 5.32 también se puede escribir como:

1n

n2n

gRe 8KVdN −

−

=ρ (5.33)

Reemplazando µ por µa en la ecuación general del NRe, donde µa en unidades de

campo es igual a: 1n

a K47880 −= γµ (5.34)

La ecuación de NReg para fluidos bajo la ley de la potencia en unidades de campo

estaría dada por:

dK47880Q95.378N 1ngRe −

=γρ (5.35)

Como la rata de corte, γ, en unidades de campo es:

3dQ206.39=γ (5.36)

Remplazando la rata de corte γ en la ecuación 5.35 se obtiene:

ddQ206.39K47880

Q95.378N 1n

3

gRe −

=ρ (5.37)

ddQ206.39K

Q9145.7N

3n3

1n1n

gRe

−

−−

=ρ (5.38)

KQd

206.3910x9145.7N

n24n3

1n

3

gRe

−−

−

−

=ρ (5.39)

En unidades de campo el número de Reynolds generalizado sería igual a:

K

Qd206.39

3103.0Nn24n3

ngRe

=

−−ρ (5.40)

Esta sería la ecuación para determinar NReg para fluidos no newtonianos que se

comportan bajo la ley de la potencia.

Es importante explicar que el límite entre el régimen de flujo laminar y el turbulento

para un fluido modelado por la ley de la potencia esta dado por las siguientes

desigualdades:

Si (3470 – 1370n) < NReg entonces flujo laminar

Si (3470 – 1370n) > NReg entonces flujo turbulento

Como a conocimiento de los autores del presente trabajo para tuberías enrolladas

no existen estudios para determinar el valor del número de Reynolds crítico de

fluidos de la ley de la potencia, siguiendo los resultados obtenidos para el mismo

caso pero con los fluidos Newtonianos, los autores recomiendan el uso de la

siguiente correlación para determinar el valor crítico del número de Reynolds :

5.0

Re 121)14703470(

+−=

RrnN o

cg (5.41)

Si el NRecg es menor que NReg el flujo es turbulento, si es mayor el NRecg que el NReg

el flujo será laminar.

Luego de determinar el factor de fricción para cualquier condición determinada es

necesario calcular ∆P y este calculo se hace por medio de la siguiente ecuación:

5

2

f d79.154LQfP ρ∆ = (5.42)

La ecuación 5.42 es la que se utiliza para determinar el ∆P para cualquier

condición una vez el factor de fricción es conocido. Las diferentes opciones para

determinar el valor del factor de fricción se relacionan a continuación.

Tubería Recta con Flujo Laminar Si el NReg < (3470 – 1370n), la relación entre el factor de fricción y el número de

Reynolds es la siguiente:

gReN16f = (5.43)

Tubería Enrollada y Flujo Laminar Mientras el flujo de fluidos newtonianos en tuberías curvas ha sido el tema de

numerosas publicaciones técnicas, la información de lo concerniente al flujo de

fluidos no newtonianos es más bien escasa, pero si se encuentran para algunos

casos como para fluidos bajo la ley de la potencia. Para este caso

específicamente no existe ninguna ecuación para determinar el factor de fricción,

sin embargo se utiliza la correlación de Hasson realizada para fluidos

newtonianos. Para usar la correlación mencionada se debe tener en cuenta el

valor de γ , para luego determinar la viscosidad aparente. Después de conocer el

valor de la viscosidad aparente se remplaza éste en la ecuación del NRe para

fluidos newtonianos. Al realizar esta operación se obtiene un valor igual al NReg y

de esta manera se hace uso de la correlación de Hasson para este tipo de

condiciones.

+=

5.0o

gRegRe R

rN0969.0556.0N16f (5.44)

Tubería Recta, Lisa en Flujo Turbulento Si el NReg > (4270 – 1370 n), entonces el flujo es turbulento y una buena

expresión a utilizar es la correlación de Schuh, que esta dada por :

bgReN

af = (5.45)

Las variables a y b están dadas por:

5093.3)n(loga 10 +

= (5.46)

7)n(log75.1b 10−

= (5.47)

Para este mismo caso se presentan varias correlaciones entre las cuales se tienen

la de Dodge & Metzner que básicamente se utiliza para fluidos viscoelásticos y que

esta definida como:

−=

−

2.175.0

2n

1

gRe

n4.0

n)fNlog(4

C

2

C1f

= (5.48)

Otra ecuación para este caso de flujo turbulento de fluidos de la ley de la potencia

en tuberías no rugosas fue presentada por Shenoy. La expresión de Shenoy es: 2

75.011

615.01

Re

5.6

log4

1

=

+

nn

ngN

f (5.49)

El rango de aplicación teniendo en cuenta el NReg, esta entre 4000 < NReg< 106.

Shenoy realizó una comparación entre varias expresiones del mismo tipo y los

resultados de su expresión fueron más precisos.

La ecuación de Keck, Waren y Gary, que trabaja bajo las mismas condiciones y

especialmente para fluidos de fracturamiento base hidroxipropil guar (Ref. 4):

( )[ ]2

gRe BfNlogA1f

+= (5.50)

Los parámetros A y B se determinan por:

A = 14.9 n-1.6 d0.13

B = 53.9 n-1.9 d0.27

Tubería Recta, Rugosa en Flujo Turbulento

Las experiencias realizadas por Shenoy son de las más recientes y por lo tanto se

relacionan en este trabajo. El factor de fricción es calculado por Shenoy siguiendo

la siguiente correlación: 2

n14.1

656.575.3n5.8

d2

10log4

1f

=

−

ε

(5.51)

La ecuación 52 se diferencia de la ecuación 53, ya que esta última se utiliza para

tuberías completamente rugosas (Ref. 14):

+

=

+

−

n75.011

nn14.1

656.575.3n5.8615.0

1n

gRe

615.01n

gRe

5.6d

10

2N

Nlog16C

ε

2

C1f

= (5.52)

Tubería Enrollada, Rugosa y en Flujo Turbulento

Entre los muy pocos estudios sobre esta materia están los de Mashelkar y

McCann que son muy conocidos. Ellos condujeron muchos experimentos y

estudios teóricos del flujo laminar de fluidos no newtonianos y viscoelásticos a

través de tubería enrollada. Sin embargo, las correlaciones empíricas propuestas

para cálculo del factor de fricción para flujo turbulento de fluidos no newtonianos

tienen un rango muy limitado de aplicación en la ingeniería. Consecuentemente

se requiere que trabajos más exhaustivos se desarrollan en esta área.

Para fluidos no newtonianos, flujo turbulento y tuberías enrolladas se tiene la

ecuación de Mashelkar, la expresión esta dada por (Ref. 1):

[ ] 128/1Re

5.0*

)/(

)/(

+

=Bn

B

og

o

RrN

Rrf

α (5.53)

El desarrollo de la ecuación de Mashelkar presenta algunos parámetros empíricos

como se indican en la tabla 5.1.

Tabla 5.1 Parámetros de la Ecuación de Mashelkar

n α β α*

1 0.079 0.25 0.07185

0.9 0.077 0.257 0.08186

0.75 0.0755 0.269 0.06566

0.5 0.0725 0.293 0.06325

Existe otra correlación que fue desarrollada para este caso y es la correlación de

McCann. Esta ecuación esta dada por:

bg

o

NRra

f 8.0Re

1.0

265.0

= (5.54)

a y b se determinan de las ecuaciones 5.47 y 5.48.

Fluidos Plástico de Bingham

El modelo plástico Bingham es de dos parámetros a saber:

• Viscosidad Plástica (µp)

• Punto de Cedencia (τo)

Los dos parámetros se pueden determinar de datos obtenidos del viscosímetro

Fann 35 A usando las velocidades de 600 y 300 RPM mediante las siguientes

relaciones:

µp = θ600 – θ300

τo = θ300 - µp

Antes de hacer cualquier cálculo de caída de presión se debe determinar el

régimen de flujo en el cual se encuentra el fluido. Para determinar el régimen de

flujo de los fluidos plásticos Bingham es necesario tener en cuenta un parámetro

denominado número de Hedstrom NHe pues este parámetro es necesario para

determinar el valor del número de Reynolds crítico NRecPB. La ecuación de NHe en

unidades de campo esta dada por:

2P

20

Hed37100N

µρτ

= (5.55)

El NRecPB esta en función de αc, y para calcular αc es necesario reemplazar el valor

de NHe en una función y aplicar un método iterativo para su solución En este caso

se aplica Newton Rapson para obtener el valor de αc. La ecuación para

determinar αc esta dada por:

( ) 168001 3He

c

c N=

−αα (5.56)

La parte derecha de la ecuación 5.57 es un valor constante ya que NHe se conoce,

la función de αc esta dada por:

( )16800

10)( 3 Heccc

Nf −−== −ααα (5.57)

Para utilizar el método de Newton Rapson es necesario calcular la derivada de la

anterior función, la derivada sería igual a:

( ) ( ) 34 113)( −− −+−= ccccDerf αααα (5.58)

El valor de NRecPB se determina mediante la siguiente expresión:

+−=

c

4cc

HecPBRe 831

341

NNα

αα (5.59)

Para calcular el número de Reynolds de los fluidos plásticos Bingham el valor de

la viscosidad que se usa para altas ratas de corte es el valor de la viscosidad

plástica. Esto se hace porque a altas ratas de corte estos dos valores se

aproximan. Ya en unidades de campo el NRePB dado por:

PPBRe

Vd928Nµρ

= (5.60)

Si el valor de NRePB es menor que el NRecPB entonces el flujo es laminar y la caída

de presión para secciones rectas se determina de la siguiente manera:

+=

d225D1500VLP 0

2P τµ

∆ (5.61)

Si el valor de NRePB es mayor que el NRecPB entonces el flujo es turbulento y la

caída de presión para tramos de tubería recta se determina de la siguiente

manera:

= 25.1

25.0P

75.175.0

d1800VLP µρ∆ (5.62)

Como se puede observar las ecuaciones anteriores se desarrollan teniendo en

cuenta los dos parámetros del modelo plástico Bingham µp y τo.

Es importante aclarar que para tubería enrollada no existe ninguna ecuación para

fluidos del modelo Plástico de Bingham a conocimiento de los autores de este

trabajo, por lo tanto se debe buscar modelar los fluidos bajo la ley de la potencia .

Fluidos Herschel-Bulkley (Ley de la Potencia Modificada)

El modelo de la ley de la potencia modificada es uno de los modelos que mejor

representa el comportamiento real de los fluidos, sin embargo, por ser un modelo

de tres parámetros lo ha hecho muchas veces difícil de manipular y de ser objeto

de desarrollo de ecuaciones y correlaciones que permitan establecer un relación

entre el caudal y las caídas de presión por fricción en diferentes geometrías de

flujo. Recordar que la ecuación general para este modelo esta dada por:

τ = τo + Kγn (5.64)

Para calcular el esfuerzo de corte se tiene que:

LPd

4∆

=τ (5.63)

Y la rata de corte es definida como:

3

328d

QdV

==γ (5.64)

Al sustituir las ecuaciones 5.65 y 5.66 en la 5.64 se obtiene la ecuación teórica

para relacionar caudal con presión en régimen laminar para fluidos Herschel-

Bulkley. n

f

dQK

LPd

+=

∆30

324

τ (5.65)

Despejando ∆Pf:

+=∆

n

dQK

dLP 30

324 τ (5.66)

Para este modelo reológico no existen correlaciones para ningún tipo de

condiciones turbulentas, ya sean tuberías rectas ó enrolladas, además tampoco

existe ninguna ecuación que simule el comportamiento laminar para tuberías

enrolladas.

El modelo de la ley de la potencia modificada, también conocido como modelo

Herschel-Bulkley, es muy utilizado para describir el comportamiento reológico de

las espumas.