4. Experiencias compuestas. Diagrama en árbol. Probabilidad total.

Todas las ideas que estamos analizando, pretenden aportar un uso más extenso del Diagrama en árbol, de manera que podamos

realizar cualquier cálculo que nos pidan una vez que lo tengamos construido. Hasta ahora hemos visto que se pueden calcular

intersecciones de una forma fácil (multiplicando las probabilidades de la rama en la que se encuentra la intersección. Pero ¿y si

hay más de una rama implicada, más de una intersección? Vamos a añadir al diagrama un resultado general, que permite dar

respuesta a esta situación:

Probabilidad total

Si volvemos a nuestro ejemplo de extracción de bolas de la urna: “En una urna hay tres bolas rojas y dos azules. Extraemos dos

bolas sin reemplazamiento”, calcular la probabilidad de “extraer sólo una bola roja”.

Si partimos del diagrama ya elaborado, observamos que hay dos combinaciones, dos ramificaciones que cumplen la condición que

nos piden estudiar. Cada una de ellas es una intersección: “roja la primera y negra la segunda” y “negra la primera y roja la

segunda”. Cada una de ellas las puedo calcular como intersección:

y

Pero, ¿cómo calculamos la probabilidad que nos piden?

Pues bien esta situación, y todas aquellas que requieran trabajar a la vez con más de una intersección se resuelve con el Teorema

de Probabilidad Total. Este Teorema establece, que la probabilidad total de un suceso se obtiene sumando todas aquellas

intersecciones en las que intervenga dicho suceso. Es decir:

S

S

S

𝐏 𝐒 𝐏 𝐀𝟏 𝑺 + 𝐏 𝐀𝟐 𝑺 + 𝐏 𝐀𝟑 𝑺 + ⋯

Por tanto, en nuestro caso: +

+

Nota: realmente se podría interpretar esta suma como el resultado de la unión ya que se puede expresar como

“roja la primera y negra la segunda” o “negra la primera y roja la segunda”. Esta o, se corresponde con una unión y si vas a las

propiedades de la probabilidad, en las uniones sumamos.

En cualquier caso, para lo que nos interesa y planteábamos como cuestión inicial, ¿cómo procedemos cuando hay más de una

intersección implicada?

- Calculamos cada intersección a partir del Diagrama en árbol multiplicando y sumamos todas aquellas intersecciones

implicadas. Esta sería una versión coloquial de las consecuencias del Teorema de la probabilidad total.

Conviene destacar que este resultado, aunque parece nuevo, ya lo estábamos utilizando en las Tablas de contingencia. Recuerda

el esquema general de una tabla básica:

Todas estas expresiones son formulaciones del Teorema de Probabilidad total y ya las usábamos con anterioridad. En general si

tenemos una tabla de contingencia más elaborada:

Y esto es aplicable a todos los sucesos, se llamen como se llamen.

P(A) 𝐀 𝐁 + 𝐀 𝐁´

Probabilidad Total de un suceso:

P(A) 𝐀 𝐁 + 𝐀 𝐂 + ⋯+ 𝐀 𝐃

P(A´) 𝐀´ 𝐁 + 𝐀´ 𝐁´

P(B) 𝐁 𝐀 + 𝐁 𝐀´

P(B´) 𝐁´ 𝐀 + 𝐁´ 𝐀´

Ejemplo 1. Tenemos una moneda y dos urnas con bolas. Lanzamos la moneda y si sale cara, extraemos una bola de la urna I, si sale

cruz extraemos una bola de la urna II. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

- Conviene comenzar siempre haciendo un análisis del enunciado y buscar en él elementos

clave para determinar el planteamiento adecuado. Se trata de una experiencia compuesta.

Primero lanzamos una moneda y después sacamos una bola. Por tanto debemos hacer un

diagrama en árbol.

- El diagrama lo construímos comenzando por la primera experiencia (lanzar moneda) y sus

respectivas probabilidades. A continuación en cada caso, extraemos una bola. Por tanto

describimos todas las posibilidades y añadimos todas las probabilidades. Ten en cuenta que

estas probabilidades serán condicionadas.

Finalmente, como me piden la probabilidad de que sea roja la bola tendré que tener en cuenta las combinaciones (intersecciones)

en las que la bola sea roja y sumar sus probabilidades:

P(R) + +

+

Ten en cuenta que en este ejemplo, hemos realizado muchos más cálculos de los que son precisos. Podríamos desarrollar sólo la

parte del diagrama en árbol que vayamos a necesitar y calcular, sólo las probabilidades que necesitamos. En el siguiente

ejemplo, vamos a utilizar esta idea.

Ejemplo 2.

Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Este problema es muy similar al anterior. Se trata de una experiencia compuesta, por lo que de nuevo hay

que hacer un Diagrama en árbol:

Al multiplicar las probabilidades de cada

rama, obtenemos la intersección

correspondiente. Recuerda, conviene

expresar estas probabilidades como

intersecciones: 𝐂 𝐑 …

Pero, como sólo vamos a utilizar parte del diagrama, vamos a optar por desarrollar aquellas ramas que intervienen en nuestro

problema y sus respectivas probabilidades:

Observa, que con esta estrategia, simplificamos bastante el problema.

Recuerda que los diagramas en árbol se utilizan siempre en experiencias compuestas (todos los ejemplos anteriores), pero

también en experiencias simples, de las que nos proporcionan como datos probabilidades condicionadas.

Ejemplo 3.

Analicemos con detalle el enunciado. Observa que se describen dos categorías de sucesos:

elegir camino y cazar o no al ratón.

En estos últimos datos, está la clave del problema, al darnos probabilidades condicionadas, también debemos plantear el

problema con un diagrama en árbol:

Al multiplicar las

probabilidades de cada rama,

obtenemos la intersección

correspondiente.

Este grupo de datos se corresponde a probabilidades totales (elección de caminos)

Este otro grupo de datos expresa probabilidades condicionadas. Nos indica la

probabilidad de ser cazado, sabiendo que está ya en el camino A. Es decir, esta

probabilidad, no es válida nada más que en este caso, en este supuesto.

Al mismo tiempo nos están dando la probabilidad de que no sea cazado si el camino

elegido es el camino A (sabiendo que): 0,6 contrario

Al multiplicar las probabilidades de

cada rama, obtenemos la intersección

correspondiente.

Quizás el siguiente ejemplo lo podáis relacionar con muchas de las cuestiones que estamos viviendo estos días.

Ejemplo 4.

Al seleccionar un ciudadano al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste dé positivo?

Volvemos a comenzar haciendo un análisis del enunciado. Observa que la experiencia es simple: se eloge un ciudadano al zar, pero

sólo uno, por tanto experiencia simple.

El dato del 12% es una probabilidad total, se trata efectivamente del total de enfermos.

En este punto tenemos la clave del problema. Este 90% se puede aplicar sólo a personas que tenemos certeza (sabemos… ) de que

están enfermas. Por tanto se trata de una probabilidad condicionada y esto sugiere desarrollar un diagrama en árbol.

Observa, que no es un 100%, es decir, esta prueba diagnóstica tiene un 10% de error, ya que indicará que están sanas personas

que realmente están enfermas. Hablamos en este caso de falsos positivos.

Algo similar ocurre con este dato. Es aplicable sólo a personas que sabemos que están sanas (por tanto condicionadas). Es lo que

llamamos falsos positivos, estoy sano, pero la prueba me indica que estoy enfermo.

Podemos construir por tanto, el diagrama en árbol y añadir las probabilidades que nos proporcionan como datos

Expresado de una manera algo más rigurosa: P(+) + + +

Las consecuencias de este problema son muy importantes a nivel sanitario. Observa que el porcentaje de personas enfermas, no

coincide con el de los positivos. Esta diferencia depende de la calidad de la prueba diagnóstica (si baja a un 80% de eficacia como

vemos en el caso del coranovirus), se agrava aún más el problema. También depende del porcentaje de enfermos reales, si es muy

bajo, no hay tanto problema, pero si es muy elevado, las diferencias entre positivos y enfermos reales se agravan aún más.

Normalmente, para mejorar los porcentajes, se suele volver a repetir la prueba al cabo de un tiempo. Esto reduce el porcentaje de

falsos positivos y de falsos negativos (por ahora no vamos a entrar en este estudio).

Puedes hacer alguna prueba con datos reales, siguiendo la estructura de los cálculos que hemos hecho en este problema y seguir

tus propias conclusiones.

Al multiplicar las probabilidades de

cada rama en los que dan positivo,

estamos calculando las dos

intersecciones implicadas. Si las

sumamos obtenemos la probabilidad

total de “dar positivo”