Ecuaciones41. Introducción a las ecuaciones

2. Ecuaciones de primer grado con

una incógnita

3. Ecuaciones de segundo grado con

una incógnita

4. Ecuaciones racionales

5. Ecuaciones irracionales

6. Ecuaciones exponenciales

7. Ecuaciones logarítmicas

8. Inecuaciones lineales con una

incógnita

9. Inecuaciones de segundo grado con

una incógnita

Índice del libro

Ecuaciones1. Introducción a las ecuaciones

Una ecuación es una igualdad donde encontramos, al menos, una cantidaddesconocida llamada incógnita o variable. La igualdad se cumplirá para undeterminado valor numérico de la incógnita.

Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen representadas enellas.

Las soluciones de una ecuación son aquellos valores que deben tomar lasletras para que la igualdad se cumpla.

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Ecuaciones1. Introducción a las ecuaciones1.1. Reglas para la resolución básica de ecuaciones

Para resolver ecuaciones, se pueden traspasar los términos de uno a otromiembro, de manera que se obtenga una ecuación semejante a la dada perosimplificada. Para ello se deben aplicar las siguientes reglas:

1. Un término que aparece en un miembro sumando pasa al otro miembrorestando.

2. Un término que aparece restando en un miembro pasa al otro miembrosumando.

3. Un término que aparece multiplicando en un miembro pasa al otromiembro dividiendo.

4. Un término que aparece dividiendo en un miembro pasa al otro miembromultiplicando.

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Ecuaciones2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita tienen lasiguiente forma: ax + b = 0, con a 0.

Los pasos que seguir para la resolución de ecuaciones de primer grado serán:

1. Si existen paréntesis, se opera para eliminarlos de la ecuación.

2. Si hay denominadores, se eliminan calculando el mínimo común múltiploen los dos miembros, de manera que se puedan simplificar de cada uno delos términos de la ecuación.

3. Se agrupan los términos con incógnita en uno de los miembros y lostérminos independientes en el otro miembro.

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Ecuaciones2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita tienen lasiguiente forma: ax + b = 0, con a 0.

Los pasos que seguir para la resolución de ecuaciones de primer grado serán:

4. Se reducen los términos semejantes, es decir, se operan por un lado lostérminos dependientes y por el otro los términos independientes, de maneraque la ecuación quede reducida en un miembro a un único términodependiente y en el otro miembro a un único miembro independiente.

5. Se despeja la incógnita, es decir, a través de las reglas de transformación sedeja en un miembro la x, de manera que en el otro miembro quede la soluciónde la ecuación.

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Ecuaciones3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita o ecuaciones cuadráticasson ecuaciones de la forma:

Este tipo de ecuaciones se resolverá siempre con la siguiente fórmula:

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Ecuaciones3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Las ecuaciones de segundo grado tienen siempre dos soluciones.

A la expresión Δ = b2 – 4ac se la denomina discriminante de la ecuación y suvalor definirá la naturaleza de las soluciones de la ecuación:

• Si Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

• Si Δ = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales, se dice entoncesque la solución es una raíz doble.

• Si Δ < 0, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales,Porque no existen las raíces cuadradas de un número negativo.

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Ecuaciones4. Ecuaciones racionales

Son ecuaciones racionales aquellas en las que aparecen fraccionespolinómicas:

Para resolver este tipo de ecuaciones, se deben multiplicar ambos miembrospor el mcm de los denominadores. Así se consigue eliminar los polinomios deldenominador y se llega a una ecuación polinómica expresada de cualquiera delas formas vistas anteriormente.

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Ecuaciones5. Ecuaciones irracionales

Las ecuaciones irracionales tienen la incógnita bajo un radical.

Para resolver este tipo de ecuaciones seguimos los siguientes pasos:

1. Se trasladan todos los términos a uno de los miembros, de manera quequede un radical solo en uno de los miembros.

2. Se elevan ambos miembros al mismo índice de la raíz.

3. Si hubiese algún otro radical bajo el cual encontrásemos la incógnita, sedespejaría esa raíz y volverían a elevarse ambos miembros al índice de la raízdespejada.

4. Se resuelve la ecuación obtenida.

5. Se comprueba que la solución a la que se ha llegado lo es realmente.

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Ecuaciones6. Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones exponenciales aquellas en las que la incógnita aparece en forma de exponente.

Clasificaremos de manera general las ecuaciones exponenciales en dos grandes grupos, siempre teniendo en cuenta que:

• a > 0 y a ≠ 1 • ax1 = ax2 cuando x1 = x2

1. Todas las bases son múltiplos del mismo número.2. Alguno de los términos no es múltiplo del mismo número.

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Ecuaciones7. Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que la incógnita aparece afectada por una operación logarítmica.

Para resolver este tipo de ecuaciones aplicaremos las propiedades de los logaritmos hasta conseguir tener agrupados cada uno de sus miembros bajo un único logaritmo. De este modo, podremos simplificar los logaritmos, ya que se cumplirá en el caso más sencillo que loga x = loga y ↔ x = y.

Al transformar la ecuación, se obtendrá una ecuación polinómica que resolveremos, según sea el caso, con los métodos descritos anteriormente.

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Ecuaciones8. Inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación es una desigualdad en la que intervienen incógnitas o valoresdesconocidos. Resolver una inecuación consiste en encontrar los conjuntos devalores que la verifican. Estos conjuntos serán la solución de la inecuación.

Se llama inecuación lineal con una incógnita a cualquiera de las desigualdadessiguientes y a todas aquellas inecuaciones que presenten estas formas tras aplicar las transformaciones de equivalencia necesarias:

• ax + b > 0 • ax + b < 0• ax + b ≥ 0 • ax + b ≤ 0 siempre que a, b ∈ R y a ≠ 0

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Ecuaciones9. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Al igual que en el caso de las ecuaciones, existen las inecuaciones de segundogrado con una incógnita.

Pertenecen a este grupo aquellas desigualdades que presenten alguna de las siguientes formas:

• ax2 + bx + c > 0 • ax2 + bx + c < 0• ax2 + bx + c ≥ 0 • ax2 + bx + c ≤ 0 siempre que a, b ∈ R y a ≠ 0.

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