Captulo 8: Conexidad

Leccion 3 : El Conjunto de Cantor

El siguiente espacio totalmente desconectado, es uno de los espacios maspatologicos e interesantes que ha acompanado a la topologa desde su ini-cio. Fue introducido independientemente por G. Cantor y por H. J. Smithen 1875; Cantor lo construyo para resolver de manera armativa un prob-lema que se haba planteado en el marco de la naciente topologa, a saber,si exista o no un subconjunto compacto no vaco de R que fuera totalmentedesconectado y denso en s mismo. Posteriormente fue demostrado que to-dos los conjuntos con estas caractersticas son topologicamente equivalenteshomeomorfos. Hoy es conocido como el conjunto de Cantor C.

C es un subconjunto no contable del intervalo [0, 1]; exactamente consiste detodos los numeros reales x que pueden ser representados de la forma

x =i=1

n3n,

donde n {0, 2} para cada n N . Aunque hablamos del conjunto deCantor, el lleva intrnsicamente la topologa de subespacio de (R, usual). Ladenicion anterior hace que algunas veces se le llame el conjunto triadico oternario de Cantor .

En otras palabras, C es el conjunto de todos los numeros x [0, 1] cuyaexpansion x = 0.x1x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el dgito 1, esto es xi = 1para todo i con lo que xi {0, 2}. Debido a esta descripcion un punto x C esen la practica un elemento x {0, 2}N , x : N {0, 2} lo cual nos hace pensaren un producto cartesiano.

Geometricamente puede ser descrito formando los siguientes subconjuntosAn cerrados en [0, 1],

A0 =[0, 1]A1 =[0, 1/3] [2/3, 1]A2 =[0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1]A3 =[0, 1/27] [2/27, 1/9] [2/9, 7/27] [8/27, 1/3] [2/3, 19/27]

[20/27, 7/9] [8/9, 25/27] [26/27, 1]. . .

1

etc.; en general Ai+1 es obtenido de Ai removiendo la tercera parte en elmedio de cada una de las componentes de Ai con lo que

C =iN

Ai.

Notese que cada punto en los extremos de las componentes de los Ai pertene-cen a C.

Tenemos as dos deniciones para C, una en terminos de sucesiones y otrade manera constructiva; no es difcil ver la relacion entre estas dos denicionessi notamos que al construir A1, cuando retiramos al intervalo (1/3, 2/3) lo quehacemos precisamente es eliminar todos los numeros reales en [0, 1] que requierenx1 = 1 en su desarrollo en base tres. Como segundo paso, en A2 retiramos losintervalos intermedios de [0, 1/3], [2/3, 1] eliminando as todos los numeros realesen [0, 1] que requieren x2 = 1 en su desarrollo triadico y as sucesivamente.

Las anteriores presentaciones motivan la siguiente proposicion.

8.19. Proposicion. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacioproducto X =

Xi, (i N), donde Xi = {0, 2} esta dotado de la topologa

discreta para cada i. Este espacio se llama discontinuo de Cantor.

Demostracion. Sea x X, con x = (x1, x2, . . .) donde xn {0, 2}.Denimos

f :iN

Xi C f(x) :=i=1

xn3n

2

con lo cual f es una funcion biyectiva. Para vericar la continuidad de ftomemos un x X y por cada n N consideremos a

Vx(n) := {q X : qi = xi para i n}

coinciden con x en las primeras n-componentes. Dado > 0, existeN N tal que la serie

n=N+1

(23

)n<

y por tanto si q Vx(N) entonces

| f(x) f(q) |=

n=N+1

xi qi3n

n=N+1

(23

)n<

esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdor, entoncesf1 tambien es continua.

Por construccion C es cerrado y es compacto, pues es la interseccion desubconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es un espaciometrico completo y por tanto satisface todos los axiomas Ti de separacion.

Si es la funcion de medida longitud en R, entonces C tiene medida0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1] es la medida dela union de las terceras partes medias, esto es

(Cc) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + =i=1

2i1

3i=

12

i=1

2i

3i= 1.

Pero como [0, 1] tiene tambien medida 1, entonces C tiene medida cero.As que el todo no es mayor que cada una de sus partes.

3

C no tiene puntos aislados, es decir C Ca, todo punto es de acumulacionde C mismo. Dado x C, x es un punto de acumulacion de C {x} puesdado p C cualquier abierto Up C contiene puntos de C distintos de p;por tanto, C es denso en s mismo X es denso en Y si Y X.

Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1] puesdados x, y C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) Cc tal quex < a < b < y mire la expansion binaria de los puntos x, y esto es(C) = C =.

C es tambien totalmente desconectado dados x, y X existe una sepa-racion A,B de X tal que x A, y B pues las componentes conexasde cada punto se reducen al propio punto.

[0, 1] es una imagen continua de C. La funcion f : C [0, 1] denida por

f(x) =i=1

(12xn

)2n para x =

i=1

xn3n

es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable.

En general cualquier espacio metrico que sea compacto, totalmente de-sconectado, denso en s mismo todo punto sea de acumulacion eshomeomorfo al conjunto de Cantor. As que las anteriores propiedadestopologicas son una carta de presentacion para C, excepto por la formadisfrazada conque se presente el espacio homeomorfo. Pero en topologael color no nos concierne.

Como un ultimo comentario, si al lector le incomoda la base 3, dena elconjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansion decimaltan solo 0 o 9. Como sera su representacion graca?. Intentelo!

En una frase nal, C tiene una infinidad no enumerable de puntos pero ningunintervalo cabe en el, es denso en s mismo pero tambien denso en ninguna partey contiene muchos mas puntos que los extremos de los intervalos en el procesode construccion.

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