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Conceptos de ConvexidadConceptos de Convexidad

(*) Basado en Boyd y Vandenberghe. Convex Optimizationhttp://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

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Lneas y segmentosLneas y segmentos Sean x1x2 dos puntos en n. La todo punto y sobre la lnea x1-x2 cumple

x1

x2

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Conjuntos afinesConjuntos afines Un conjunto Cn es afn si la lnea entre

cualquier par de puntos en C pertenece a C. En otras palabras, C contiene toda

combinacin lineal de cualquier par de puntos en C.

Ejemplo: Un plano en n.

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SubespaciosSubespacios El subespacio V no depende de la escogencia

de x0. La dimensin del conjunto afin C es la

dimensin del subespacio V. La dimensin del subespacio es el mximo

nmero de vectores linealmente independientes en V.

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Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos Un conjunto C es convexo si el segmento de

recta entre cualquier par de puntos de C est en C.

Si x1, x2 C, y para todo con 01:

Ejemplos de conjuntos convexos y no convexos

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Convex Hull (Envoltura convexa)Convex Hull (Envoltura convexa) El convex hull de un conjunto C es el conjunto

de todas las combinaciones convexas de puntos en C.

Formalmente:

El convex hull es el conjunto convexo ms pequeo que contiene a C.

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ConosConos(Conjuntos homogeneos no negativos)(Conjuntos homogeneos no negativos)

C es un cono si para todo xC y todo 0, ocurre que xC.

Un conjunto C es un cono convexo si es convexo y es un cono. En otras palabras, para todo x1,x2C y 1,20 se cumple

1x1+2x2 C Ejemplos: Ilustracin

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HiperplanosHiperplanos Un hiperplano es un conjunto de la forma

donde an, a0 y b. Dos interpretaciones geomtricas:

el conjunto de puntos con un producto interior constante respecto a 'a', o

el conjunto de puntos en el plano normal a 'a' y con un desplazamiento respecto al origen determinado por 'b'.

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Hiperplanos: Interpretacin geomtricaHiperplanos: Interpretacin geomtrica

Si escogemos un punto x0 en el hiperplano (por ende aTx0=b), se puede escribir

de manera que el hiperplano es

que es equivalente a decir que los puntos x son el resultado de sumar x0 y un vector normal a a:

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open/closed halfspacesopen/closed halfspaces Un medio espacio es cerrado si incluye el

hyperplano limitrofe

Es abierto si no lo incluye

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Esferas euclideanasEsferas euclideanas Una esfera en n es un conjunto de la forma

Las sferas son conjuntos convexos

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Parntesis: Qu es una norma?Parntesis: Qu es una norma? Una norma en n es una funcin que asigna un

valor escalar x a cada xn y que cumple las siguientes propiedades1. x0 para todo xn.2. x = || x para todo escalar y todo xn.3. x=0 si y solo si x=0.4. x y+ x y + para todo x,yn (Desigualdad

triangular).

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EllipsoidesEllipsoides Generalizacin de los conjuntos esfricos. Definicin

donde P=PT0 es una matrix nxn, simtrica y positiva definida.

Nota: Una matrix es positiva definida si para todo z0, zTPz>0.

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PoliedrosPoliedrosUn poliedro es definido como la solucin a un conjunto de igualdades y desigualdades lineales:

Halfspaces, conjuntos afines, subespacios son poliedros.Todo poliedro es un conjunto convexo.

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Poliedros: Notacin compactaPoliedros: Notacin compactaLa definicin anterior usando notacin matricial

donde

y el smbolo se usa para indicar la desigualdad de vectores (componente por componente).

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SimplexesSimplexes Es un tipo importante de poliedro. Sean k+1 puntos v0,...,vk en n afinamente

independientes (affinely independent), es decir v1-v0, ... ,vk-v0 son linealmente independientes.

Estos puntos determinan el simplex:

La dimensin afin de este simplex es k.

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El cono positivo semidefinidoEl cono positivo semidefinido El conjunto Sn

+ es un cono convexo

Prueba Ilustracin

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Operaciones que preservan la Operaciones que preservan la convexidadconvexidad

Es comn encontrarse problemas en los que la convexidad (por ejemplo del conjunto de soluciones candidatas) no est claramente establecida.Hay 2 alternativas: Probarla siguiendo la definicin. Derivarla por medio del clculo de conjuntos

convexos.

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InterseccinInterseccin La interseccin de conjuntos convexos es

convexa. Est propiedad aplica incluso a la interseccin de un conjunto infinito de conjuntos convexos.

Justificacin Ejemplos

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Funciones afinesFunciones afines Una funcin f:nm es afn si es la suma de

funciones lineales y una constante, i.e. tiene la forma f(x) = Ax+b.

Sea S un conjunto convexo, y f una funcin afn. La imagen de S bajo f es convexa

Asi mismo, si g:kn es afn, la imagen inversa del conjunto S es convexa

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Algunos ejemplosAlgunos ejemplos Escalado: Si S es convexo y un escalar,

entonces S es convexo. Translacin: Si S es convexo y an, entonces

S+a es convexo. Proyeccin sobre algunos de los ejes

coordenados: Si Snxm es convexo, entonces el conjunto

{x1|(x1,x2)S, para algn x2m } es convexo.

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Otros casosOtros casosLa suma de conjuntos convexos es convexa:

S1+S2Justificacin: El producto cartesiano de conjuntos convexos

es convexo (?) La imagen de S1xS2 bajo la funcin f(x,y)=x+y

(una funcin afn) es S1+S2.

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Otros casosOtros casos La suma parcial: Sean S1,S2nxm la suma, parcial es el conjunto

y es convexo .