RAZONES Y PROPORCIONES

24

A

6

B

Nos piden “comparar” la altura de los árboles con un cálculo muy simple podemos establecer que la altura del primero (A), sobrepasa a la del segundo (8) en:

24 – 6 = 18 ................................ (1)

Pero también podemos afirmar que la altura del primero es:

6

24 = 4 .......................................... (2)

Cuatro veces, la del segundo.

En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en (2) mediante una división.

“En matemática, al resultado de comparar dos cantidades se llama razón”

Al resultado de comparar 2 cantidades mediante una resta, se llama razón aritmética o por diferencia y sus términos son:

↑↑

←=

econsecuent

razón la deValor B - A

2º 1º

eantecedent

α

Cuando se comparan 2 cantidades por división, el resultado se llama razón geométrica o por división y sus términos son:

razónladevalorKB

A

2ºeconsecuent

1º eantecedent ←=→→

PROPORCIÓN

Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. La proporción puede ser aritmética o geométrica, según que las razones sean aritméticas o geométricas respectivamente.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA (EQUIDIFERENCIA)

Si: a – b = α ∧ c – d = α

∴ Habrá proporción, ya que:

1ºa

Medios

Externos

b c d=- -2º 3º 4º

Si a ≠ b ≠ c ≠ d la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos, cuarta diferencial.

Propiedad básica:

Suma de medios = suma de extremosb – c = a + d

Proporción continúa:Aquella en la que los medios son iguales. a – b = b – c

b = media diferencial o media aritmética.a y c = tercia diferencial

Por propiedad básica: 2b = a + c ; b = 2

ca +

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (EQUICOCIENTE)

Si:b

a=K ∧

d

c=K ∴ habrá proporción

ba

dc

=

1º

2º

3º

4º extremos

mediosa : b c : d ó::

Si a ≠ c ≠ d, la proporción es discreta y cualquiera de sus términos: cuarta proporcional.

Propiedad básica

Producto de medios = Producto de extremos: (b)(c) = (a)(d)

Proporción continua:

1

Aquella en la que los medios son iguales: c

b

b

a=

b = media proporcional o media geométrica a y c, tercera proporcional.Por propiedad básica

PRACTICANDO EN CLASE

1) Simplifica cada razón:1) 4: 8 4) 448 : 336 7)

25 : 15

2) 36: 20 5) 270: 486 8) 100 : 48

3) 24: 84 6) 75 : 105 9) 36 : 180

2) Dos números son entre si como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 52. Hallar el menor.

a) 4 b) 6 c) 10

d) 12 e) 9.

3) Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 280. Hallar el mayor.

a) 6 b) 4 c) 12

d) 10 e) 8.

4) La suma de 2 números es a su diferencia como 9 es a 5 si el producto de los números 0es 22400. Determinar la diferencia de los mismos.

a) 200 b) 160 c) 240

d) 180 e) 80

5) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su producto es 64?.

a) 4 b) 8 c) 16 d) 36 e) 64

6) La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia. Si la razón vale 0,04?.

a) 13 b) 4 c) 24

d) 14 e) 0, 96

7) La diferencia de 2 números es 244 y están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el mayor de los números?.

a) 427 b) 356 c) 429

d) 359 e) 431

8) La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el mayor de los dos números.

a) 84 b) 36 c) 49

d) 48 e) 45

9) Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si su producto es 64?.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 64

10. La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia, si la razón vale 0,04?.

a) 13 b) 4 c) 24

d) 14 e) 0,96

PRACTICANDO EN CLASE

1. En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media proporcional?.

a) 8 b) 6 c) 18d) 4 e) 9

2. Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64?.

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

3. La relación geométrica entre 2 números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?.a) 31 b) 29 c) 28d) 25 e) 24

4. 15 es la media proporcional de p y 25; “2p” es la tercera proporcional de 8 y q. ¿Cuál es la cuarta proporcional de p, q y 15?.a) 16 b) 24 c) 20d) 25 e) 40

5. Si “A” es la cuarta diferencial de 18, 9 y 11. “B” es la media diferencial de 16, 12. Hallar la tercera diferencial de A y B?.a) 10 b) 24 c) 26d) 27 e) N.A.

6. Hallar la media proporcional de la cuarta proporcional de 4; 16 y 2 y la tercera proporcional de 50 y 10.

a) 4 b) 8 c) 16d) 20 e) 10.

7. 3 números son entre sí como 2; 6 y 8 si la media diferencia entre el segundo y el tercero es 28. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero. a) 4 b) 8 c) 16d) 12 e) 4

8. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional.a) 9 b) 12 c) 15d) 8 e) 16

12.En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes.

2

a) 157 b) 161 c) 134

d) 176 e) 167

13.Hallar 3 cantidades que están en relación con los números 4, 5 y 8 respectivamente y que su suma sea 850. dar como respuesta el número mayor.

a) 300 b) 400 c) 350

d) 380 e) 420

14.Los antecedentes de varias razones equivalentes son 3, 4, 5 y 6. Si la suma de los 2 primeros consecuentes es 28. Hallar los 2 últimos.

a) 20 y 22 b) 20 y 24 c) 22 y 24

d) 20 y 26 e) N.A.

15.Un cilindro de 60 de capacidad fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el del tercero es al cuarto, como 2 es a 1. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y el cuarto recipiente. (en litros).

a) 20 b) 40 c) 30

d) 15 e) 25

16.Si: kcccc3333

bbbb2222

aaaa1111 ===

además:a2 + 4b2 + 9c2 = 392

Hallar a + b + c

a) 6 b) 10 c) 12

d) 14 e) 18

17. Existe una posibilidad contra 3 de que “A” derrote a “B”. Si la posibilidad que “B” le gane a C están en la relación de 5 a 2. ¿Qué posibilidad tiene “A” de derrotar a “C”?.

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5

d) 5/6 e) 3/7.

18. La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?.

a) 31 b) 29 c) 28

d) 25 e) 24

19. Los cuadrados de 1/2, 1/4 y 1/8 son proporcionales a otros 3 números que suman 147/176. Uno de dichos números es:

a) 7/176 b) 5/44 c) 1/44

d) 1 e) 1/2

0. Hallar la media proporcional de la cuarta proporcional de 4, 16 y 2 y la tercia proporcional de 50 y 10.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 20 e) 10.

PRACTICANDO EN EQUIPO

1. Tres números son entre sí como 2, 6 y 8 si la media diferencial entre el segundo y el tercero es 28. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 12 e) 4

2. Si: 21

SO

ON

DU === y N + S = 15 y D + O =

14.

Hallar: U + N + O

a) 17 b) 16 c) 15

d) 14 e) 13

3. Si: ed

cb

a18 == y ab + bc + 27c = 4 cd

3

Hallar: ae2e3a8E +

+=

a) 2/3 b) 8/27 c) 30/17

d) 45/16 e) 16/45

4. 15 es la media proporcional de m y 25 “2m” es la 3ra. Proporcional de 8 y m, cuál es la 4ta. proporcional de m, n y 15?.

a) 16 b) 24 c) 20

d) 25 e) 40

5.Si ”A” es la 4ta diferencial de 18; 9 y 11. “B” es la media diferencial de 16 y 12. Hallar la 3ra. Diferencial de “A” y “B”.

a) 10 b) 24 c) 26

d) 27 e) 20.

6.Si “A” es la 4ta diferencial de 18; 9 y 11. “B” es la media diferencial de 16 y 12. Hallar media diferencial de 16 y 12. Hallar la 3ra. Diferenciadle “A” y “B”.

a) 10 b) 24 c) 26

d) 27 e) 20

7.La tercia proporcional de (x – 2) ; (x + 2) es

(x + 8). ¿Cuál es la 4ta. proporcional de

x (x + 6) y (x + 5) .

a) 18 b) 20 c) 21

d) 24 e) 25

8. Tres números son entre sí como 2; 6 y 8 si la media diferencial entre el 2do. Y el 3ro. es 28. Hallar la media proporcional entre el primero y el tercero.

a) 4 b) 8 c) 16

d) 12 e) 4

9. El producto de los cuatro términos de una P.G.C. es 256 si al diferencia de los

extremos es 6. Hallar la suma de los antecedentes de dicha proporción.

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

10. El producto de los cuatro términos de una P.G. C. es 144; la suma de sus extremos es 7. Hallar el mayor de los extremos.

a) 3 b) 18 c) 10

d) 6 e) 8

11. Las edades de A, B, C y D son proporcionales a 2, 3, 5 y 6. Además se sabe que el producto de dichas edades es 14 580. Hallar la suma de dichas edades.

a) 64 b) 32 c) 56

d) 80 e) 48

21. En una P.G.C. el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional.

a) 9 b) 12 c) 15

d) 8 e) 16

12.La suma, diferencial y el producto de 2 números que los números 5, 3 y 16. Hallar estos números.

a) 8 y 14 b) 4 y 16 c) 2 y 8

d) 6 y 12 e) 6 y 16

13.Si a cada uno de los cuatro términos de una P.G. se le quita una misma cantidad se obtiene 20, 28 y 32 y 44. Hallar la suma de los cuatro términos de dicha proporción.

a) 344 b) 148 c) 140

d) 156 e) 160

14. Si: 2d

dc

cb

ba

a64 ====

4

Hallar “d”.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) N.A.

15. Si: ar

bq

ap == ; q = 4p ; r = 5p

Determine el valor de:

2

222

)(

)(

cba

cbaE++

++=

a) 0, 43 b) 0, 42c) 0, 52

d) 0, 32 e) N.A.

APLICACIÓN DE RAZONES Y

PROPORCIONES

PRACTICANDO EN CLASE

1.-Halla el número que es a 16 como 8,1 es a

7,2.

2.- Halla el número que es a 5 como 12 es a

3.

3.- Un pan de 120 gramos cuesta 20 céntimos

de sol, uno de 160 gramos 25 céntimos de

sol.

a) ¿Qué razón es mayor 120 a 20

ó 160 a 25?

b) Si no hay diferencia en calidad

de pan ¿Cuál de los dos resulta más

económico?

4.- En un grupo de razón del número de

hombres al de niños es 3:5 y la razón del de

mujeres a niños es 5:8 compara estas

razones para decidir si hay más hombres o

mujeres en el grupo.

5.- Un equipo ha perdido 7 de 18 juegos y

otro ha perdido 5 de 12 juegos.

a) ¿Qué razón es mayor 7 : 18 ó

5 : 12? b) ¿Qué equipo tiene mayor

marca?

6.-Una vasija contiene 4 litros de vino; se añade 0,4 litros de agua ¿En que relación está el vino con el agua?

a) 20/1 b) 10/1 c) 5/2 d) 6/3 e) 1/2

5

7.- Un rectángulo tiene 4m. de base y 3m. de altura y otro rectángulo siguiente tiene 8m.de base. Establece la proporción entre ambas dimensiones.

a) 84

3 x= b) 124

3 x= c)

83

4 x= d) x

6

3

4 =

8.-Dos números están en la relación de 4 a 11; si su suma es 120. Determina el menor de dichos números. a) 88 b) 44 c) 32 d) 55 e) 23

9.-La semisuma de dos números es 36 y su semidiferencia es 24. Halla la razón geométrica entre dichos números.

a) 6

1 b)

5

1 c)

7

2 d)

8

1 e)

5

3

10.-La diferencia de los cuadrados de dos números es 640; y la razón de dichos

números es 3

7 ¿cuales son los números?

a) 21 y 9 b) 35 y 15 c) 26 y 14 d) 28 y 12 e) 42 y 18

11.- Si con una velocidad de 5 Km. por hora a pie y 40 Km/h. un automóvil se recorre la misma distancia ¿Cuánto se empleará en automóvil, si el peatón emplea 3 horas?

a) 8h b) 24h c) 22,5 min d) 23 min e) 25 min

12.-Halla el valor de “X” en: ;945

yx = si

x-y = 28 a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 55

13.-Halla la razón equivalente a 11

3 ; de tal

manera que la suma de los cuatro términos de la proporción formada sea igual a 70.

a) 22

6 b)

33

9 c)

44

12 d)

55

15 e)

66

18

14.-La suma de dos números es a su diferencia como 7 es a 3. Si el producto de dichos números es 160. Determina la diferencia de los números.

a) 8 b) 12 c) 14 D) 16 E) 18

15.- Dos números son entre si como 24 es 60, si su diferencia es 12 ¿Cuál es el mayor de dichos números?

A) 8 B) 12 c) 20 d) 24 e) 36

16.- Halla la media proporcional entre 7 y 63. a) 27 b) 7 3 c) 21 d) 3 7 17.- Halla la media proporcional entre

75

16

4

3y

a) 5

6 b)

5

3

c) 5

2 d)

2

5

18.- Halla la tercera proporcional entre: 5 y 10 a) 7,5 b) 5 c) 20 d) 10

19.-Halla la tercera proporcional entre: 4

15 y

7.

a) 4

7 b)

3

25 c)

3

63 d)

3

28

20.-Determina la cuarta proporcional de: 5; 2 y 16. a) 5,8 b) ,62 c) 6,4 d) 5,6

21.-Determina la cuarta proporcional de: 25; 51 y 104. a) 121 b) 221 c) 112 d) 122

REPARTO PROPORCIONAL

REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o inverso.

6

A. Reparto Directo

Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad.Propiedad

Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número, entonces el reparto no se altera.

B. Reparto Inverso

Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúan en reparto directo, como ya se conoce.

2. REPARTO COMPUESTO

En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:

1.Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices)

2. Se multiplican los índice de las dos relaciones D.P.

3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.

PRÁCTICANDO EN CLASE

1. Repartir 544 directamente proporcional a los números 4; 5 y 8. Dar la parte mayor.

Rpta: ................

2. Repartir 1560 directamente proporcional a 2; 4; 6; 8 y 10. Dar la parte intermedia.

Rpta: ................

3. Repartir 962 inversamente proporcional a 3, 5 y 12. Dar la parte menor.

Rpta: ................

4. Repartir 8150 inversamente proporcional a 4 1/2; 5 1/3 y 6 2/5. Dar la parte menor.

Rpta: ....... 5. Repartir 840 D.P. a los números 0,3; 0,5 y 1,2. Dar

la suma de cifras de la parte menor.

Rpta: .......

6. Al repartir 1612 D.P. a los números 1/3; 2/5 y 3/10 se obtuvo que la parte menor fue:a) 806 b) 548 c) 468d) 852 e) 752

7. Se repartió 348 soles entre 4 mendigos en forma D.P. a sus edades que son 25; 28; 30 y 42 años,

si la misma suma se hubiera repartido hace 2 años, ¿cuánto le hubiera tocado al mayor?a) S/. 117 b) S/.120 c) S/.144d) S/.152 e) S/.172

8. Al repartir N I.P. a 39, 311 y 312, se obtuvo que la menor parte fue 75. Hallar «N».a) 3250 b) 2840 c) 2400d) 5150 e) 2325

9. Al repartir N en partes que sean proporcionales a los cuadrados de 0,5; 0,25 y 0,1 se obtuvo que la cantidad mayor fue 4200. Hallar la suma de cifras de N.a) 12 b) 15 c) 17d) 18 e) 21

10.Repartir 1320 en forma D.P. a los números 4; 5 y 10 y a su vez I.P. a 3; 2 y 6. Dar la parte menor.a) 300 b) 320 c) 450

d) 480 e) 540

11. Un padre deja a sus hijos una herencia a repartirse en forma I.P. a sus edades que son 18; 21 y 24 años. Si al menor le corresponde $4200. ¿Cuánto le corresponde al mayor?a) $4600 b) $4500 c) $3600d) $3150 e) $2400

12.Repartir 2050 en tres partes, de tal manera que la primera sea ala segunda como dos es a cinco y la segunda sea ala tercera como tres es a cuatro. Dar la parte mayor.a) 1000 b) 1200 c) 1300d) 1400 e) 1500

13.Cuatro socios forman una empresa para lo cual reúnen 3000 dólares, el primero coloca 8000 dólares; el segundo 3/5 de lo que colocó el primero, el tercero colocó la suma del primero y el segundo y el cuarto lo restante. Si al finalizar el primer año obtuvieron una ganancia de 7000 dólares. ¿Cuánto le corresponde al que colocó mayor capital?a) $1600 b) $2800 c) $1800 d) $3200

e) $3600

14.Fue repartida cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3n, 3n -1 y 3n + 1 e I.P. con 4 n – 1; 4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que la primera parte excede a la última en 2/6. Hallar la cantidad a repartir.

a) 1480 b) 1580 c) 1660d) 1630 e) 1530

15. Una persona A recorre 360 km a una cierta velocidad, B recorre la misma distancia con el doble de velocidad y C la misma distancia lo hace con el triple de velocidad que el primero. Si entre los 3 tardan 22 horas. ¿Cuál es la velocidad de B?.

7

a) 45 km/h b) 72 km/h c) 60 km/hd) 40 km/h e) 7 km/h

16. Fue organizado un concurso de aritmética por equipos; el equipo ganador de 3 integrantes recibió un premio en efectivo el cual se repartió entre sus tres miembros proporcionalmente al número de problemas resueltos durante el concurso, siendo estos 36, 32 y 30 respectivamente. Si el 2do. hubiera resuelto un problema más , habría recibido s/. 143 más. ¿A cuánto ascendió el premio?.

a) 21021 b) 2102 c) 210d) 21 e) N.A.

17. 3 personas A, B y C se reparten un dinero en partes I.P. a 5, 8 y 12 respectivamente. Luego deciden repartirse la cantidad en partes iguales, razón por la cual uno de ellos devuelve s/. 230. ¿Cuánto más recibe “C”?.

a) 120 b) 150 c) 190d) 210 e) N.A.

18 Repartir 1380 en 3 partes, tal que a la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que esta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor?.

a) 300 b) 360 c) 420

d) 480 e) 630

19.Repartir S/. 950 entre “J”, “P” y “C” de modo que la parte de “J” sea ala de “P” como 4 es a 3 y la parte de “P” ala de “C” como 6 es a 5. ¿Cuánto recibe “P”?.

a) 280 b) 400 c) 300

d) 270 e) 320

20. 3 personas se repartieron una suma de dinero en forma I.P. a los números 2n

1+ ;

n y 2n1− . Al primero le correspondió S/.

1200 y al tercero S/. 300. ¿Cuánto le correspondió al segundo?.

a) 67,5 b) 66,5c) 65,5

d) 40, 5 e) 40

PRACTICANDO EN CASA

1. Se reparte cierta cantidad de dinero en partes que son D.P. a 4, 7 y 9; siendo la menor e las

partes S/. 28. Hallar la cantidad repartida (en soles).

a) 240 b) 180 c) 240d) 280 e) 200

2. Se reparte una cantidad de dinero entre 3 personas en forma D.P. a 3 números consecutivos. Si al segundo le corresponde S/. 180. ¿Cuál fue la cantidad de dinero repartida?.

a) 360 b) 450 c) 540d) 600 e) 720

3. N se va repartir D.P., a 2, 3 y 4 sin embargo el reparto se hizo D.P. a los cuadrados de estos números, por lo que la segunda parte disminuye en 16 unidades.

a) 396 b) 432 c) 484d) 696 e) 1264

4. Una cantidad se reparte I.P a los números

61

72

43

52 ;;; ; siendo la parte que le

corresponde a 3/n la quinta parte del total Hallar “n”.a) 8 b) 0 c) 10d) 11 e) 12

5. Repartir 1225 en partes D.P. a todos los números naturales menores que 50. Indicar la diferencia entre la parte mayor y la menor.

a) 48 b) 47 c) 50 d) 52 e) N.A.

6. Repartir 4900 en partes D.P. a los cuadrados de todos los números naturales menores que 2. Indicar la parte mayor. a) 576 b) 567 c) 500d) 800 e) N.A.

7. Repartir en tres partes D.P. a las raíces cuadradas de 96; 150 y 384. Indicar la mayor de las partes.

a) 2500 b) 1800 c) 2400

d) 2200 e) 2000

8. Dos agricultores A y B tienen terrenos de 4 y 3 hectáreas respectivamente, que laborarán en conjunto. Para concluir mas rápido el trabajo contratan a un peón C. Si el peón cobró por su trabajo 1400 soles y todos trabajaron igualmente, ¿cuánto pagará cada uno de los agricultores?

a) S/.800 y S/.600 b) S/.900 y S/.500

c) S/.1200 y S/.200 d) S/.1000 y S/.400

e) S/.1100 y S/.300

9. Juan Pedro tienen 3 hijos: Antonio, Bernardo y César y semanalmente reciben propinas D.P. a su edades que son 16; 18 y 22 años. Si Antonio

8

recibe 30 soles menos que César. ¿Cuánto recibe Bernardo?a) S/. 60 b) S/.30 c) S/.80d) S/.90 e) S/.120

10.Las edades de 4 hermanos son números consecutivos. Si reciben una herencia de un tio lejano, el cual dejó indicado que se hiciera el reparto proporcional a las edades, ¿a cuánto ascendía la herencia?. sabiendo que el menor recibía los 6/7 del mayor y el segundo recibió $3000?a) $10500 b) $12000 c) $11700

d) $16500 e) N.A.

11. 5. Dividir N en tres partes, de tal manera que la primera se a la segunda como 3 es a 7 y la segunda es a la tercera como 4 es a 5. Si la parte menor es 288. Hallar N.a) 1500 b) 1200 c) 1000d) 1600 e) 1800

12.Se propone a 2 alumnos repartir proporcionalmente un número, el primero lo hace D.P. a 2; 4 y 5 y el segundo lo hace I.P. a los mismos números. Si la diferencia entre las cantidades que le corresponden a la primera parte es 360. Hallar el número.a) 1020 b) 1045 c) 1250d) 1450 e) 1700

13.Al repartir $5700 entre 3 personas A, B y C se hace el reparto en partes proporcionales a 3 números consecutivos crecientes. Luego del reparto se tienen que 1/5 de lo que le tocó a B más lo que le toca a «A» hacen lo que le tocó a «C». ¿Cuánto le tocó a esta última persona?a) 2070 b) 2060 c) 2090d) 2870 e) 2640

14.Una persona dispuso en su testamento que se entregará a 3 sobrinos suyos la cantidad de $19695 dólares para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera el día en que falleciera. Uno de ellos tenía 38 años el día en que su tío falleció y le correspondió $7020 pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros 2, también proporcional a sus edades por lo que a uno de ellos de correspondió $2700 adicionales. Calcular las edades.

a) 36, 25, 40 b) 36, 40, 45 c) 36, 45, 60 d) 36, 60, 72 e) 36, 39, 42

15.Se reparte la cantidad «S» en 3 partes A, B y C que son D.P. a 15, 13 y 17 e I.P. a 5, 39 y 85 respectivamente. Además la parte que le toca a «A» más 1800 es a la parte que le toca a B más la de C como 6 es a 1. Hallar «S».a) 29300 b) 36000 c) 31200d) 31800 e) 32400 16. Un padre desea repartir su fortuna entre 3 hijos suyos A, B y C de manera que las partes sean entre sí como 7, 6 y 5 respectivamente. Posteriormente cambia de opinión y ordena

hacer el reparto proporcionalmente a los números 6, 5 y 4. Averiguar cual es el monto de la herencia si en el nuevo reparto uno de ellos habría recibido 1200 más que la primera vez.a) 108000 b) 110000 c) 112000

d) 114000 e) 116000

17. .Repartir 280 directamente proporcional a 1/5; 2/3 y 3/10. Dar como respuesta la parte mayor.a) 100 b) 140 c) 160d) 180 e) N.A.

18.Repartir 400 directamente proporcional a los números, 75 , 48 y . Dar la parte menor.

a) 100 b) 120 c) 150d) 80 e) N.A.

19.Repartir 3250 inversamente proporcional a los #s 45 , 45 y dar como respuesta la parte

menor.a) 750 b) 200 c) 400d) 500 e) N.A.

20.Se requiere repartir una herencia de 360000 dólares entre dos hermanos de manera que uno de ellos reciba 1/7 mas que el otro. ¿Cuánto le toca al que recibe mayor cantidad?a) 192000 b) 180000c) 240000 d) 125000e) 2 400

MAGNITUDES Y PROPORCIONES

MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.

CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.

Magnitud CantidadLongitud 75 cmVolumen 30 litros

Número de días 25 díasNúmero de

obreros43 obreros

Cantidad de obra

700 m3

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL (D.P)Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.

x 4 x 32 x 5/6÷

# de botellas 1 4 2 6 5precio 2 8 4 12 10

9

Se observa que:

5.010

5

12

6

4

2

8

4

2

1=====

Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2 magnitudes es constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P. (precio).Veamos gráficamente.

1 2 4 5 6

12

10

8

4

2

de botellas#

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)

Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de días.

x 23 x 3/4÷

# de Obreros 24 8 16 12# de días 10 30 15 20

2x 3 3/4÷ ÷

Podemos Observar que:

24 . 10 = 8.30 = 16 .15 = 12 . 20Cuándo dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es constante les llamaremos magnitudes I.P.∴ (# de obreros) I.P (# de días) Veamos gráficamente

8 12 16 24

30

10

15

20

de obreros#

# de días

Luego 2 magnitudes son I.P. si el producto de sus valores correspondientes es constante, su gráfica será una o parte de una rama de una hipérbole equilátera.Entonces, sean las magnitudes A y B I.P. Se cumple (valor de A) (valor de B) = etc.

a.- Si la magnitud A2 es I.P 3B , calcule x, si:

A 15 XB 27 1728

b.- La presión es I.P con el volumen, ¿a qué presión está sometido un gas, si al aumentar la presión en 12 atmósferas, el volumen varía en 1/7?

Analicemos las magnitudes I.P. como función de proporcionalidad.

Sabemos que cuando A I P B:(Valor de A) (Valor de B) = etc.Llamaremos: “y” al valor de A “x” al valor de B “m” a la etc, luego reemplazamos y . x = m

x

my =

lo que es una ecuación de una hipérboles equilátera por lo que:

y = f(x) entonces : x

m)x(f = ó f(x).x = m

en donde f(x) es una función de proporcionalidad inversa

Luego 2 magnitudes son D. P si la relación entre sus valores correspondientes es constante.Su gráfica será una línea recta o punto de pertenencia o una misma línea recta que pasa por el origen de coordenadas.Entonces, sean las magnitudes A y B, D . P se cumple.

( )( )BdeValor

AdeValor = k (cte)

Aplicación 1:Si la magnitud A es D.P.B2, calcule el valor que asume la magnitud A cuando B es 16, sabiendo que cuando A asume el valor de 25, en B asume el valor de 20

Aplicación 2:La temperatura en grados centígrados en una aula es D.P, a la raíz cuadrada del número de alumnos presentes. En un determinado momento la temperatura fue de 24ºC. Cuando estuvieron presentes 36 alumnos, Cuál será la temperatura cuando ingresen 28 alumnos más.

Analicemos las magnitudes D.P como función de proporcionalidad:

Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.

10

( )( )BdeValor

AdeValor = k (cte)

Llamemos:“y” al valor de A“x” al valor de B“m” a la etc

Entonces:

mx

y=

Lo que nos representa la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas por lo que: y = f(x), entonces :F(x) = mx , en donde f(x) es una función de proporcionalidad

Aplicación 3Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3) + f(2)

Aplicación 4Si f(x) es una función de proporcionalidad, calcule

)9(F

1x

)17(F

))5(F()4(Fx)3(Fx

2−=

PRÁCTICANDO EN CLASE

1. ¿Cual de las siguientes relaciones no indica una relación de proporcionalidad entre x e y?

a) 5x = 7y b) 9x = 2/4c) x + y = 12 d) x + y = 2y e) (x+1)2 = y + 2

2. Si A es D.P. a B, además cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Hallar A cuando B sea igual a 12.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 6

3. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 10, entonces B es igual a 24. Hallar B cuando A sea igual a 15.

a) 10 b) 8 c) 16 d) 12 e) 4

4. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A cuando B sea igual a 3.

a) 6 b) 9 c) 18 d) 27 e) 36

5. Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A cuando B=48, C=2 y D=3.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

6. Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando A es igual a 2, entonces B es igual a 6 y C es igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

7. Se tiene dos magnitudes tales que: A3 es I.P.

a B. Si cuando A = 8 entonces B = 6, halar A cuando B sea 4.

a) 9 b) 27 c) 4 d) 32 e) 64

8. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a B e I.P. a C2 cuando A=8 y B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 6 e) 16

9. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando A=8, B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10.La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?a) Queda multiplicado por 12 b) Disminuye en 1/11 de su valorc) Aumenta en 1/11 de su valord) Se triplica e) Se cuadriplica

11.A es DP a D y la suma de B y C e IP a B.C. A=3D cuando B=3 y C=2, siendo: BDP C. Calcular A cuando B es igual a 9 y D=5.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12.Se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B:

A 36 144 324 n 4B 6 3 2 9 18

Hallar “n”a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

13.Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B≤ 30); A DP B (B ≥ 30). Si A = 6 cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60?

a) 2 b) 4 c) 8 d) 3 e) 6

14. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y a su sección transversal. Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg. Calcular el peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro.

a) 60kg b) 75kg c) 90kg d) 105kg e) 120kg

15.¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55.000 dólares, si uno de 6 kilates cuesta 19800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso.

(1 kilate = 0.259)a) 6g b) 6,25g c) 2,5g

11

d) 25g e) 62,5g

16.A varía como la suma de 2 cantidades de las cuales una varía como B y la otra inversamente a 2B . Si A = 19 cuando B es 2 ó 3. Hallar A cuando B = 6

a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

17.Según la ley de Boyle, la presión es I.P. al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿a qué presión está sometida un gas, si al aumentar este en 2atm, el volumen varía en 40%

a) 4atm b) 5 c) 6d) 2 e) 3

18.Se sabe que una magnitud A varía en forma proporcional a B . Hallar el valor de A, si se sabe que al disminuir en 30 unidades entonces el valor se B varía en 9/25 de su valor.

a) 150 b) 180 c) 120d) 200 e) 90

19.Se tiene 2 magnitudes A y B tales que 3 A es

I.P. a B si cuando A = 8, B = 6. Hallar A si B = 2a) 64 b) 216 c) 512d) 1000 e) 343

20.Si “X” varia a razón directa a “Y” e inversa al cuadrado de “Z”. Cuando X = 10 entonces Y= 4 y Z = 14. Hallar “X” cuando Y = 16 y Z = 7

a) 180 b) 160 c) 154d) 140 e) 120

21.El precio de un pasaje varia inversamente con el número de pasajeros con el número de pasajeros, si para 14 pasajeros el pasaje es de S/. 15. ¿Cuántos pasajeros serán cuando el pasaje cueste S/. 6?

a) 31 b) 33 c) 34d) 35 e) 36

22.Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de ellas disminuye en 1/4 d su valor. ¿En cuánto aumenta o disminuye la otra?

a) Aumenta 1/4 b) Disminuye 1/4c) Aumenta 1/8 d) Disminuye 1/8e) Disminuye 1/3

23.Se sabe que la fuerza de atracción entre 2 cuerpos varia en forma D.P. al producto de sus masas e I.P. al cuadrado de la distancia entre ellos si la distancia entre dos cuerpos aumenta en 20% que pasa con la

fuerza de atracción entre ellos?a) Aumenta en 25%b) Disminuye en 23/8%c) Disminuye en 69,4%d) Disminuye en 30,55%e) Disminuye en 29%

24.Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es I.P. con “C”. Si cuando “A” aumenta 15 unidades “C” varia en 20%. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”. aumenta en 25 unidades?

a) Aumenta en 10% b) Aumenta en 20%c) Disminuye en 15% d) Disminuye en 25%e) No varia

25.De las siguientes afirmaciones:

I. El área de un cuadrado es D.P. a su ladoII. Si “A” y “B” son magnitudes I.P. entonces el

cociente entre sus valores correspondientes es constante

III. Si “A” es D.P. a “B”, “B” es D.P. a “C” entonces “A” es D.P. a “C”.

Señalar cuál es verdaderaa) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Sólo I y IIIe) N.A.

26.Si “A” varia en forma D.P. con “B” y “C” y “C” varia en forma D.P. con 3F , cuando A = 160 entonces B = 5, F = 2. Si B = 8 y F = 5. ¿Cuánto será A?

a) 4000 b) 3800 c) 3500d) 3200 e) 2400

27. La eficiencia se mide en puntos y es D.P. a los años de servicio e I.P. a la raíz cuadrada de la edad del trabajador . Se sabe que la eficiencia de Juan es de 2 puntos cuando tiene un año de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál será la eficiencia a los 36 años?

a) 18 b) 25 c) 28d) 20 e) 22

28. De las siguientes gráficas

x

12

15 k

24

2k

A C

DB 30 y

A.D.P B C.I.P D

Hallar: x/ya) 0,5 b) 0,6 c) 0,7d) 0,8 e) 2

29.Las magnitudes 2A y B son I.P. y cuando A=20. A es a B como 10 es 9. ¿Qué valor toma “A” cuando “B” = 72?

a) 18 b) 16 c) 10d) 12 e) 15

PRACTICANDO EN CASA

1. Para las magnitudes A y B se tiene:

12

4x

x + 6

x

0 y 3y y +6

A

B

Indicar el valor de (x + y)a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

2. Del siguiente gráfico:N° Días

N° Obreros

b

200

a

0 2 3 600

¿Cuál es el valor de (a + b)?a) 201 b) 300 c) 301d) 400 e) 602

3. Si a + b + c + m = 129, Hallar “m” en:

A

2m

m

0 8 a b c B

H 1

L1 L 2

a) 12 b) 14 c) 16d) 17 e) 18

4. Una rueda dentada de 48 dientes da 560 R.P.M. y concatena con un piñón que da 107520 vueltas por hora ¿Cuál es el número de dientes del piñón?a) 3 b) 15 c) 7d) 5 e) 30

d) 10 e) 12

5. Sabiendo que A es I.P. a la inversa de 2B , e I.P

a 3C y además B es D.P. a 2

D y C I.P. a E3. Determinar el valor de A cuando E = 4; D = 9, si cuando E = 2; D = 3 y A = 1a) 98

23 ⋅ b) 8923 ⋅ c) 9

6

d) 9423 ⋅ e) 92

23 ⋅

6. Sabiendo que A es proporcional a B y que C es proporcional A . Hallar “ n” si:

Magnitud Valores A 36 nB 2 1/3C 3 1

a) 1/36 b) 1/2 c) 1/3d) 1/9 e) 1/4

7. En un cierto país se cumple que el cuadrado del precio de un producto es proporcional a la raíz cuadrada de su peso. Si un artículo costó 2 monedas cuando su peso es 49 gramos. ¿Cuál es el peso de un artículo por el cual se pagó 6 monedas?a) 1 221 gr b) 1 396 c) 3 969d) 11 025 e) 1 023

8. La gratificación para los empleados es proporcional al cuadrado de su edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Cuántos años más deberá tener para que la gratificación que reciba sea el cuádruplo de lo que recibió?a) 10 b) 16 c) 18d) 24 e) 30

9 El precio de una esmeralda varia proporcionalmente al cuadrado de su peso. Si una esmeralda se compró en 3 600 dólares y se rompe en dos pedazos que pesan 11,1 gr; y 25,9gr respectivamente. ¿Cuál es la pérdida sufrida?a) $ 576 b) $ 1 200 c) $ 1 296d) $ 1 728 e) $ 1 900

10.Si una magnitud A es I.P. a B D.P. a B D.P. a C es I.P. a 2

D . Hallar el valor de A cuando B es 10; C es 36 y D es 4, si cuando A es 720; B es 2; C = 4 y D es igual a 3a) 243 b) 81 c) 162d) 63 e) 729

16.Se sabe que un cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9,8 m en un segundo 4 décimas. Determinar la profundidad de un pozo si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en 2 segundos.a) 10 m b) 5 m c) 15 md) 20 m e) 18 m

17.El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su peso. Si un diamante se parte en 2 pedazos, uno de los cuales pesa 3/5 del otro, sufre una pérdida de 24 000 dólares. ¿Cuánto costaba el diamante antes de romperse?a) $ 50 000 b) $ 51 200 c) $ 36 000d) $ 15 000 e) $ 20 800

18.Se sabe que A es I.P. a 3B y B I.P. a 2

C . Hallar el valor de A cuando B = 4 y C = 6, si cuando: A = 27; B = 12 y C = 2.a) 1 b) 2 c) 4d) 5/2 e) 64

19.Un anciano repartió su herencia entre sus dos sirvientes proporcionalmente a sus años de servicio que son 18 y 20 años e inversamente proporcional a sus edades 26 y 26 años respectivamente. Determinar el monto de la

13

herencia si el mayor recibió $ 1 600 más que el menor.a) $ 14 000 b) $ 12 000 c) $ 14 600d) $ 15 400 e) $ 16 400

20.Para las magnitudes P y Q se tiene el gráfico siguiente:

P

0

2

Q

L1

L2

P1

P2

110

15

20. Es un empleado un Es DP a año de servicio e IP al de su coeficiente intelectual. Si es que trabaja hace ocho años y tiene un coeficiente Intelectual de si 100 gana $2000. ¿Cuál es el coeficiente intelectual mediante ese que trabaja hace 20 años y gana $5000?a)100 b)80 c)120

d)110 e)90

21. Si “A” es directamente proporcional a “B”. Hallar (m + n).

A

0

m

B

36

24

8 n 24a) 30 b) 28 c) 36d) 22 e) 14

22. Si la magnitud A es inversamente proporcional a la inversa de B donde algunos valores correspondientes se muestran en la siguiente tabla:

A 100 5 nB m 0,05 4

Calcular : (m + n)a) 5 b) 101 c) 120d) 57 e) 201

23. A es directamente proporcional a B y C e inversamente proporcional a D2. Cuando B=4; C=2 y D=2 entonces A=12. ¿Qué valor tomará D cuando A=48 ; B= 25 y C=2?a) 1,5 b) 2 c) 2,5d) 3 e) 3,5

24. Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes A y B.

A 1 8 0,125B 36 9 144

a) A α B b) A I.P. B c) A α B2

d) A2 I.P. B3e) A3 α B2

25. Si una plancha consume una potencia que es directamente proporcional con su resistencia y con el cuadrado de su corriente que circula. ¿Qué pasará con su potencial si su corriente se duplica y su resistencia se hace 4 veces menor?a) disminuye 50% b) aumenta 50%c) sigue igual d) aumenta 50%e) disminuye 20%

PRACTICANDO EN CASA

1.Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B = 4 y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7.

a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 156

2.Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar "A" cuando B = 2, si A = 6, entonces B = 4.

a) 48 b) 46 c) 50 d) 52 e)4

3.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando B = 4. hallar "B". Cuando A = 8

a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16

4. "A" es I.P. a "B", si A = 20, entonces B= 30. hallar "A" cuando B = 50

a) 10 b) 12 c) 8 d) 16 e) 20

5. Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16.Hallar "A" cuando B = 16 y C=36.

a) 6 b) 12 c) 2 d) 4 e) 10

6. El cuadrado de A varía proporcionalmente al cubo de B cuando A = 3 y B = 4. Hallar el valor de B

cuando3

3A =

a) 3

11 b)

3

21 c) 3/4

d) 2 e) 22

7. El cuadrado de "X" varía proporcional-mente al cubo de "Y". Si "X" = 4, "Y" = 2. hallar "Y" cuando X = 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14

8.Si "A" es D.P. con B2 e I.P. a C1/2, cuando A = 1; B = 2 y C = 64. hallar "A" cuando B =1y C = 4

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 8

9. Si "A" es D.P. con "B" e I.P. a C2. Cuando A = 4, entonces B =2 y C = 2. Hallar "A" cuando B = 3 y C = 1/2.

a) 10 b) 96 c) 48 d) 4/3 e) 8/3

10.Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar A cuando B = 3; Si A = 3 y B = 2

a) 8/9 b) 7/4 c) 3/8 d) 9/8 e) N.A.

11.El cuadrado de “A” varía proporcional-ente al cubo de “b”. Si “A” = 3 ; “B” = 4. Hallar “B” cuando

A = 3

3

a) 1/4 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 5/3

12. Si "A" es directamente proporcional con B2 e inversamente proporcional a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. hallar "A" cuando B = 12 y C = 36.

a) 7 b) 8 c) 10 d) 9 e) 6

13.Si "A" varía en razón directa a "B" e inversamente al cuadrado de "C", cuando A = 10, entonces, B = 4 y C = 14. Hallar "A" cuando B = 16 y C = 7.

a) 200 b) 180 c) 160 d) 140 e) 156

14. Sabiendo que "A" es I.P. a B3. Hallar "A" cuando B = 2, si A = 6, entonces B = 4.

a) 48 b) 46 c) 50 d) 52 e)4

15.Se tiene que "A" es D.P. a "B", si A = 10, cuando B = 4. hallar "B". Cuando A = 8

a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTO

1. Un grupo de 8 carpinteros demoran 6 días en hacer 24 mesas. 12 carpinteros ¿cuánto demoran en hacer 42 mesas?

a) 8 b) 9 c) 6d) 7 e) 5

2. Si 3 conejos comen 3 zanahorias en 3 min., entonces un conejo comerá 2 zanahorias, ¿en cuántos minutos?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. En 24 días, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántos días empleará otro grupo de 60 obreros, en terminar la obra?

a) 24 b) 36 c) 18d) 20 e) 15

4. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 horas en podar los 600 m² de un jardín. ¿Cuánto demorarán 8 jardineros en podar otro jardín de 400m²?

a) 3 horas b) 6 c) 5d) 4 e)

5. Si 4 gallinas ponen 8 huevos en 8 horas, entonces 6 gallinas ¿cuántos huevos pondrán en 12 horas?

a) 18 b) 24 c) 12d) 9 e) 15

6. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio ¿Cuántas horas demoraran 12 pintores, en terminar de pintar el edificio?

a) 18 b) 24 c) 21d) 20 e) 27

7. Una guarnición de 1600 hombres tiene viveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias?

a) 14 b) 12 c) 10d) 18 e) 24

8. 10 hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si retiran 8 hombres, ¿cuánto tiempo emplearán los restantes para terminar la obra?

a) 15 2/3 b)18 2/3 c)26 2/3d) 24 1/3 e) 25 3/5

9. Dos hombres han cobrado 350 colones por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 colones. ¿Cuántos días, a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo?

a) 40 días b) 50 c) 36

15

2 12

d) 42 e) 39

10.3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

a) 9 días b) 4 c) 8 d) 12 e)611. Si 3 monitos comen 3 plátanos en 3 minutos

luego ¿8 monitos se comerán 8 plátanos en cuánto tiempo?

a) 8 b) 6 c) 3d) 18 e) 20

12.10 frascos de alcohol de 50 cm³ se evaporan en 50 seg. luego 5 frascos de alcohol de 50cm³ ¿en cuánto tiempo se evaporarán?

a) 20 seg. b) 10 c) 50d) 25 e) 49

13.Un niño crece 10 cm. cada 10 años. luego 2 niños crecerán 20 cm. ¿en cuántos años?

a) 20 años b) 10 c) 15d) 12 e) no se sabe

14.Si 10 obreros hacen 1 obra en 20 días, ¿qué parte de la obra harán 15 obreros en 4 días?

a) 10/3 b) 1/5 c) 3/10 d) 5/8 e)3/5

15.Indicar que pareja de magnitudes son "D.P."

a) Obreros - díasb) Rendimiento - díasc) Difícil obra - obrad) Rendimiento - obrerose) obra - obreros

16.Si 18 obreros hacen 3/4 de una obra en 12 días, ¿cuántos obreros más se necesitaran para que hagan la mitad de la obra en 6 días?

a) 24 b) 6 c) 8d) 10 e) 15

17.100 obreros hacen 1/7 de una obra en 15 días. ¿En cuántos días 20 obreros harán 4/7 de la obra?a) 30 b) 38 c) 300d) 70 e) 100

18.12 jardineros demoran 16 horas en podar 1200m² de jardín. ¿Cuántos jardineros más será necesario contratar para que poden 3600m² y empleen 8 horas?a) 72 b) 60 c) 52d) 68 e) 70

19.Una guarnición de 350 hombres tiene víveres para 100 días a razón de 4 raciones diarias. Si se refuerzan con 150 hombres. ¿Cuánto debe ser las raciones diarias para que los víveres duren 40 días?a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

20.Si 12 maquinas pueden producir 3500 lapiceros en 21 horas ¿Cuántos lapiceros podrán producir en 18 horas 24 máquinas?a) 3000 b) 6000 c) 4500d) 12000 e) 4800

21.60 obreros pueden cavar una zanja de 800m³ en 50 días. ¿Cuántos días necesitan 100 obreros en cavar una zanja de 1200 m³ cuya dureza es tres veces la del terreno anterior?a) 80 b) 135 c) 105d) 120 e) 200

22.En 24 días 15 obreros han hecho ¼ de la obra que les fue encomendado. ¿Cuántos días empleará otra cuadrilla de 30 obreros doblemente hábiles en terminar la obra?a) 12 b) 18 c) 6d) 15 e) 13

23.Un trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 16 días trabajando 5 horas diarias cuando habían hecho la mitad de la obra se retiraron la mitad de los hombres. ¿Cuántos días adicionales habrá que darles para que acaben el trabajo?a) 20 b) 24 c) 18d) 12 e) 8

24.Los 2/5 de una obra pueden hacerlo "m" obreros en "2m" días, si se contrata "2m" obreros mas ¿en cuántos días acabarán la obra?a) 9/4m b)4/9 c)2/7d) 1/4 e)2/7

25.Si 2000 hombres hacen un edificio en 3 meses. ¿Qué parte del edificio harán 500 hombres en 15 días? (1 mes = 30 días)

a) 1/4 b) 3/2 c) 2/3 d) 1/5 e)2/7

PRACTICANDO EN CASA

1. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que incrementar para que la obra se termine en 8 días?a) 15 b) 12 c) 10d) 8 e) 14

2. 12 obreros pueden hacer un trabajo en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? a) 15 días b) 30 días c) 80 días

16

d) 5 días e) 20 dias

3.Una guarnición de 2200 hombres, tiene provisiones para 62 días, al terminar el día 23 se retiran 250 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición? a) 40 días b) 44 días c) 80 díasd) 50 días e) 55 dias

4.8 obreros pueden haber una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra? a) 10 b) 14 c) 9d) 12 e) 20

5. Un propietario tiene 649 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos deben vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?a) 100 b) 200 c) 300d) 180 e) 120

6. Un caballo atado con una soga de 3 m de largo demoran 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 m. ¿Cuántos días tardará en comer todo el pasto a su alcance?

7. En al construcción de un puente trabajaron 15 albañiles durante 12 días, e hicieron las 3/4 partes de la obra; después se retiraron 7 de ellos. En cuántos días concluyeron las restantes la obra?

8. Una obra lo pueden hacer 28 hombres en cierto tiempo . ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias?

9. Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h?

a) 10 b) 50 c) 56d) 60 e) N.A

10. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón 15/21. La velocidad de A es de 56 Km/h. ¿Cuál es la velocidad de B?

a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/hd) 40 km/h e) 80 km/h

11.Dos ruedas cuyos diámetros son 1,5m y 2,4 m están movidas por una correa. Cuando la menor da 220 revoluciones. ¿Cuántas revoluciones da la mayor?

a) 137,5 rev b) 140 rev c) 180 revd) 175 rev e) N.A

12.Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido?

a) 1/ 2 b) 1/ 3 c) 1/ 8d) 2/ 3 e) 4/ 5

13.Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Aritmética en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 80

14.Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?.

a) 10 b) 9 c) 8d) 12 e) 15

15.Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuánto días se necesitarán para pavimentar 120m de la misma pista con 4 obreros menos?

a) 18 b) 20 c) 40d) 60 e) N.A

16.Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias durante 20 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas?a) 10 b) 20 c) 18d) 15 e) 23

17.Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada día, pueden hacer una zanja de 200m de largo, 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400 metros de largo; 4m de ancho y 3 metros de profundidad?

a) 100 b) 54 c) 58d) 61 e) 24

18.Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días. ¿Cuántos días tardarían 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales?a) 5 b) 7 c) 6d) 8 e) 10

19.Por 8 días de trabajo, 12 obreros han cobrado S/.640. ¿Cuánto ganarán por 16 días, 15 obreros con los mismos jornales?

a) 1600 b) 1800 c) 1520

17

d) 1810 e) 1740

20.20 obreros, en 14 días de 8 horas; han realizado un trabajo de 120m de largo. ¿Cuántos días de 7 horas emplearán 24 obreros para hacer 90m del mismo trabajo?

a) 11 b) 10 c) 80d) 30 e) 18

21.Por trabajar 8 horas diarias durante 20 días un peón ha ganado S/.120. ¿Cuántas horas diarias habrá trabajado en la misma obra si por 30 días le han pagado S/.225?

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

22.Si con 120 Kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 días. ¿Cuántos kg de pasto se necesitarán para alimentar a 9 caballos en tres días?

a) 16 kg b) 160 kg c) 162 kgd) 140 kg e) N.a.

23.Si 8 secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para digitar 90 páginas?

a) 6 horas b) 5 horas c) 1,6 horasd) 2 horas e) N.a.

24.Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros tardan 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra?a) 30 b) 25 c) 33d) 28 e) 27

25.Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto costarán 14 pollos?

a) S/. 63 b) S/. 62 c) S/. 50d) S/. 44 e) S/. 53

26.Si tres metros de polystel cuesta S/. 120. ¿Cuánto se pagará por 5,5 metros del mismo polystel?

a) 200 b) 220 c) 185d) 230 e) 195

27.Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?

a) 11 obreros b) 14 obreros c) 15 obrerosd) 13 obreros e) 12 obreros

28.Un auto tarda 8 horas para recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuántos tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h?

a) 10h b) 11h c) 12hd) 13h e) 14h

29.Un albañil ha construido un muro en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer el muro. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día?

a) 6h b) 12 h c) 10 hd) 8 h e) 16 h

30.Un grupo de estudiantes tienen víveres para un viaje de 48 días. Si se retiran el 25% de los estudiantes. ¿para cuántos días más alcanzaron los víveres?

a) 120 b) 24 c) 16d) 15 e) 64

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