Ecuacin de Plank

Este autor propuso esta ecuacin en 1913 y posteriormente,

en 1949, Ede la adapt a alimentos

Esta ecuacin slo describe y determina el tiempo que tarda

el alimento en cambiar de fase

Consideremos una placa infinita de espesor a

Se supone que el material del que est formada esta placa es

agua pura

El mtodo ignora la existencia de la etapa de pre congelado

Se asume que la temperatura inicial de la placa es la misma

que la temperatura de inicio de congelacin, Tf

El producto, supongamos agua, se expone a un medio

congelante (e.g. aire en un tnel de congelacin)

El calor se transfiere unidireccionalmente

Al cabo de un cierto tiempo, existirn tres capas: 2 capas

congeladas de espesor x que encierran una capa no congelada

El proceso se analiza a continuacin, considerando slo la mitad de

la placa, por ejemplo la derecha

Se observa el continuo movimiento del frente de hielo de derecha a

izquierda

A medida que el agua se convierte en hielo en el frente de hielo, se

genera calor latente de fusin, L, el que debe ser removido desde y

a travs de la placa congelada

El coeficiente convectivo en la superficie de la placa es hf

La temperatura de la porcin no congelada, se mantiene constante,

como Tf, hasta que el frente de hielo abarca toda la placa

Ahora, considrese el flujo de calor, q, que se mueve a travs

de la placa congelada hasta el medio congelado

Se asume la existencia de,

1 capa de material solidificado a travs de las cuales se

transfiere calor en forma conductiva

1 capa convectiva

Donde,

A, rea o superficie expuesta

x, espesor de la capa solidificada

kf, conductividad trmica del hielo (promedio)

El frente de hielo avanza a una velocidad dx/dt

f

af

kx

h

TTAq

+

= 1)(

3.20

Por otra parte, el calor generado extrado es el calor latente

de fusin, L

De modo que,

Siendo f , la densidad (promedio) del hielo

Por cuanto el calor generado en el frente de hielo debe ser

transferido al medio congelante (aire), las ecuaciones se

pueden igualar como,

f

aff

kx

h

TTdtdxL

+

= 1)(

dtdxLAq f = 3.21

3.22

Ahora si se separan variables, ordenan trminos e integrando,considerando que el proceso de transferencia de calor haconcluido cuando el frente de hielo ha alcanzado el centro dela placa, es decir hasta a/2, se tiene,

Resolviendo,

La ecuacin es vlida para la congelacin de un objetoasimilado a una placa infinita

dxkx

hTTL

dta

faf

ft f

+

=

2/

00

1)(

+

=

faf

ff k

a

ha

TTL

t82)(

2

3.23

3.24

De manera similar se puede plantear y resolver esta forma

para otras geometras tales como cilindro infinito o esfera. En

este caso se aplican otras constantes geomtricas

La ecuacin de Plank se obtuvo suponiendo que el material

congelado es agua. Para el caso de alimentos, con una

humedad promedio, mm, se debe reemplazar el calor de

fusin del agua, L, por Lf, es decir el calor latente de fusin del

alimento, entonces,

LmL mf = 3.25

De esta forma, una expresin general para materiales alimenticiosque permite determinar el tiempo de congelacin, es la ecuacinde Plank

f, densidad del material congelado

Lf, cambio del calor latente del alimento (kJ/kg)

Tf, temperatura de congelacin (C)

h, coeficiente de transferencia de calor convectivo en la superficie delmaterial (W/m2C)

a, espesor o dimetro del material (m)

kf, conductividad trmica del material (W/mC)

P y R, constantes usadas para indicar o definir la influencia de lageometra del material

+

=

faf

fff k

aRhaP

TTL

t2

'')(

3.26

Valores de constantes P y R de la Ecuacin de

Plank segn geometra

Geometra P R

Placa 1/2 1/8

Cilindro 1/4 1/16

Esfera 1/6 1/24

Ejemplo

Un alimento asimilado a una forma esfrica se congela en uncongelador tipo tnel, siendo su temperatura inicial de 10 C y elaire congelante est a -40 C

El producto tiene un dimetro de 7 cm, una densidad de 1000kg/m3

La temperatura de inicio de congelacin es -1,25 C, suconductividad trmica es 1,2 W/mC y el calor latente de fusin esde 250 kJ/kg

El coeficiente convectivo es de 50 W/m2K

Determine el tiempo de congelacin

Otros mtodos analticos

Nagaoka et al. (1955)

Charm y Slavin (1962)

Tao (1967)

Joshi y Tao (1974)

Tien y Geiger (1967, 1968)

Tien y Koumo (1968, 1968)

Mott (1964)

Pham (1986)

Cleland (1991)

Mtodo de Pham para predecir tiempos de

congelacin

Pham (1986) propuso un mtodo para predecir el tiempo de

congelado y descongelado de alimentos

El mtodo puede utilizarse para predecir tiempo, t, de

congelacin de cuerpos de forma irregular o regular finitas

En este ltimo caso se asimila a una elipsoide

Caso de una placa unidimensional finita

Supuestos,

Las condiciones del entorno son constantes

La temperatura inicial, Ti, es constante

El valor de temperatura final, Tf, est fijada

El coeficiente de transferencia de calor en la superficie delobjeto que se enfra est definida por la ley de enfriamientode Newton

El mtodo considera los trminos indicados en una grfica de

temperatura v/s calor removido

Tfm, es la temperatura de congelacin promedio

Separa la grfica en dos partes,

La primera, incluye la mayor parte del periodo de pre

enfriamiento, con algo de cambio de fase

La segunda, comprende principalmente el cambio de fase y

post enfriamiento

Experimentalmente, Pham determin para una amplia variedad deproductos que,

En que,

Tc, temperatura final del centro del objeto (C)

Ta, temperatura del medio congelante (C)

La ecuacin es vlida para la mayor parte de materiales biolgicosricos en agua

Es la nica ecuacin emprica del mtodo

acfm TTT 105,0263,08,1 ++= 3.27

El modelo de Pham para predecir el tiempo de congelacin decualquier objeto de geometra simple es,

Donde,

dc, caracterstica dimensional (distancia menor entre la superficie y elcentro o radio) (m)

h, coeficiente convectivo para transferencia de calor (W/m2K)

NBi, nmero de Biot

Ef, factor de forma

Ef = 1, placa infinita

Ef = 2, cilindro infinito

Ef = 3, esfera

+

+

=

21

2

2

1

1 Bi

f

c NTH

TH

hEd

t 3.28

H1, cambio de entalpa volumtrica (J/m3) para el periodo de

pre enfriamiento obtenido segn,

En que,

u, densidad del producto no congelado (kg/m3)

Cpu, calor especifico del material no congelado (J/kgK)

Ti, temperatura inicial del material (K)

H2, cambio de entalpa volumtrica (J/m3) para el periodo de

cambio de fase y post enfriado que se determina segn,

)(1 fmipuu TTCH =

( ))(2 cfmpfff TTCLH +=

3.29

3.30

f, densidad producto congelado (kg/m3)

Cpf, calor especifico del material congelado (J/kgK)

Lf, calor latente de fusin del alimento (J/kg)

A su vez, los gradientes de temperatura T1 y T2, se obtienencomo,

El procedimiento implica determinar factores de la ecuacin3.28 y desde la 3.29 a la 3.32 para resolver la ecuacin 3.28.Mediante diversos Ef se pasa a resolver para placa infinita,cilindro infinito o esfera

a

fmi TTT

T +

=2

)(1

afm TTT = 2

3.31

3.32

Ejemplo

Un alimento de forma esfrica se congela en un tnel de aireforzado. La temperatura inicial del producto es 10 C y latemperatura del aire congelante es -40 C

El producto tiene un dimetro de 7 cm, una densidad de 1000kg/m3

La temperatura de inicio de congelacin es -1,25 C, laconductividad trmica del producto congelado es 1,2 W/mC y elcalor latente de fusin es de 250 kJ/kg

El calor especfico del producto no congelado es 3,6 kJ/kgK. Ladensidad del producto congelado es 950 kg/m3

La temperatura final del producto es -18 C. El contenido dehumedad del producto es 0,75

El coeficiente convectivo para transferencia de calor es de 50W/m2K

Determine el tiempo de congelacin mediante el mtodo de Pham

Desarrollo

Primero se determina la temperatura media de congelacin,

Tfm, segn,

Ahora se determina el cambio en la entalpa volumtrica, H1,

de la etapa de pre enfriamiento,

acfm TTT 105,0263,08,1 ++=

CCCT fm 134,740105,018263,08,1 =++=

)(1 fmipuu TTCH =

331 600.682.61))134,7(10(1000

6,31000m

JCkJJ

KkgkJ

m

kgH ==

Ahora se procede a calcular H2, es decir, el cambio en

entalpa volumtrica para el cambio de fase y post

enfriamiento,

( ))(2 cfmpfff TTCLH +=

+= C

kJJ

KkgkJ

kJJ

kgkJ

m

kgH ))18(134,7(1000

8,110002,33375,0950 32

32 860.985.255 mJH =

Ahora se calcula T1, que es definida como,

Del mismo modo para T2,

a

fmi TTT

T +

=2

)(1

afm TTT = 2

CCCT 43,41)40(2

))134,7(10(1 =

+=

CCCT 87,32)40(134,72 ==

A continuacin se calcula el nmero de Biot,

En que L es la caracterstica dimensional o geomtrica, para

esfera es el radio,

El factor de forma, Ef, para esfera es 3

LkhNBi =

46,1035,02,1

50==BiN

Por ltimo la ecuacin de Pham para el tiempo de congelacines,

Asignando valores,

Se observa que el tiempo de congelacin predicho medianteel modelo de Pham es mayor que el predicho por el modelode Plank (0,72 h), esperable por cuanto ste ltimo noconsidera el tiempo de pre congelacin

+

+

=

21

2

2

1

1 Bi

f

c NTH

TH

hEd

t

+

+=

246,11

87,32860.985.255

43,41400.682.61

503035,0

t

hst 04,1745.3 ==

Prediccin del tiempo de congelado para

objetos de otras formas finitas

Pham tambin desarroll mtodos de clculo de tiempo de

congelacin para objetos de otras formas finitas como,

Cilindros finitos

Paraleleppedos infinitos (seccin rectangular)

Paraleleppedos finitos (ladrillos)