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3a SÉRIEENSINO MÉDIO

Volume 2

MATEMÁTICA

CADERNO DO ALUNO


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MATERIAL DE APOIO AO

CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICA

ENSINO MÉDIO3a SÉRIE

VOLUME 2

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo


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Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretária-Adjunta

Cleide Bauab Eid Bochixio

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão daEducação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão deRecursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação,Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura eServiços Escolares

Dione Whitehurst Di Pietro

Coordenadora de Orçamento eFinanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri


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Caro(a) aluno(a),

Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre,você encontrou desafios que exigiram dedicação e muito estudo para construir os conhecimentos edesenvolver as habilidades compreendidas no curso. Parabéns pelo empenho!

Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco de estudo será a ideia de função,

que é a tradução, em linguagem matemática, da relação de interdependência entre duas ou maisgrandezas. Estudam-se funções, tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio, em diversassituações: na proporcionalidade direta ou inversa, nas funções polinomiais, nas funções exponen-ciais e logarítmicas, nas funções trigonométricas.

Assim, nas primeiras atividades deste Caderno, você estudará as funções já apresentadas emséries/anos anteriores, tendo em vista não somente a revisão de suas principais características, mastambém a construção de um panorama comparativo das relações de interdependência já conhecidas.

No estudo das funções, você poderá relacionar determinado tipo de função com seu respectivográfico, compreender a funcionalidade da construção de um gráfico, verificar que as funções são

importantes na explicação de vários fatos do nosso cotidiano e que, a partir dessa ideia, podemosrealizar conexões com outras áreas do conhecimento.

O Caderno vai ainda apresentar a você as três formas básicas de crescimento e decrescimento,tentando caracterizar a rapidez com que elas ocorrem por meio da taxa de variação. Descortinaruma série de ideias sobre a variação de funções poderá ser útil na compreensão de alguns fenômenosnaturais e econômicos, como as taxas de inflação, por exemplo.

Ainda neste Caderno, serão apresentados os tópicos de Estatística, um dos conteúdos matemáti-cos mais aplicados a situações do cotidiano. Você terá oportunidade de desenvolver habilidades in-dispensáveis para o seu dia a dia, como interpretar dados de diferentes naturezas a partir de gráficosestatísticos e relacionar as informações de diversas fontes e linguagens.

Nas atividades propostas, você vai recordar o cálculo da média aritmética de um conjunto dedados. Nas Situações de Aprendizagem, serão agregadas à média aritmética outras medidas estatísti-cas, como as chamadas “medidas de tendência central”, que são a mediana e a moda, e as “medidasde dispersão”, que, neste Caderno, serão contempladas pelo estudo da amplitude e do desvio padrão.

Enfim, você terá contato com a ideia de que para um bom retrato das características de umapopulação, por exemplo, não é necessário estudar cada um de seus elementos. Assim, você saberáque é possível selecionar uma amostra representativa da população e verificar qual é o sistema deamostragem mais adequado aos objetivos definidos por uma pesquisa estatística.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo seu professor e, com isso, possaaprender cada vez mais. Será de suma importância que você se aproprie destes conhecimentos, pois estáencerrando o seu percurso estudantil no Ensino Médio, e por que não dizer na Educação Básica, e todosos conceitos estudados contribuirão para melhorar o seu desempenho na continuidade de seus estudosou na vida profissional. O nosso objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez maisprazeroso. Aproveite bastante! E parabéns por ter chegado até essa etapa da vida estudantil.

Equipe Curricular de Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo


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Matemática – 3a série – Volume 2

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA:UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES

PESQUISA INDIVIDUAL

Muitos livros didáticos de Matemática, destinados aos alunos do Ensino Médio, tratamde funções. Utilize alguns títulos dessas séries para pesquisar e anote, em uma folha avulsa,as principais características das seguintes funções, como tipo de curva que representa seugráfico, crescimento, raízes, continuidade etc.

• Função de 1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0.

• Função de 2o grau: y = ax 2 + bx + c, com a , b e c constantes, a ≠ 0.

• Função y = k __ x , com k constante, k ≠ 0.

• Funções exponencial e logarítmica: y = a x e y = loga x , com a > 0 e a ≠ 1.

• Funções trigonométricas: y = sen x , y = cos x , y = tg x .

Leitura e análise de texto

Uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resultado dessa medida epode ser constante ou variável em uma dada situação concreta. Chamaremos uma grandezavariável (ou constante) apenas de variável (ou constante). Quando uma variável y depende deoutra variável x , de tal forma que a cada valor que atribuímos livremente a x correspon-de um único valor para y , dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Dizemosque x é a variável independente e que y é a variável dependente. Naturalmente, qualquerletra pode representar as variáveis dependente e independente. Quando escrevemosw = f(z), por exemplo, queremos dizer que a variável dependente w é uma função davariável independente z.

Uma grandeza pode depender dos valores atribuídos a duas outras; a área A de umretângulo, por exemplo, depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y . Dizemos,nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independentes x e y . No Ensino Fun-damental, somente estudamos funções de uma variável, mas podemos facilmente imagi-nar situações práticas em que uma grandeza depende simultaneamente de várias outras,sendo uma função de diversas variáveis.


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VOCÊ APRENDEU?

1. Com base na pesquisa realizada anteriormente, foi possível relacionar determinado tipo defunção com seu respectivo gráfico. A seguir, temos uma tabela que traz, na coluna da esquerda,alguns desses tipos de funções e, na coluna da direita, a representação de alguns gráficos. Rela-cione cada função à sua respectiva imagem gráfica:

I. O comprimento C de uma circunferênciaé uma função de seu raio x : C = 2πx.

( )

II. A área A de um quadrado é uma funçãode seu lado x : A = x 2.

( )

III. A massa m de uma substância radioativadiminui com o tempo, ou seja, é uma fun-ção do tempo de decomposição t : m = f(t).Para certa substância, tem-se m = mo⋅ 2

– 0,1t,onde m

o é a massa inicial e t , o tempo de

decomposição em horas.

( )

IV. Uma pequena bola é presa a uma molaperfeitamente elástica. Afastada da posição O de equilíbrio, a uma distância a , a bola osci-la em torno da mola, deslocando-se em umasuperfície horizontal e lisa. A distância x dabola até o ponto O depende do instante t con-siderado, ou seja, é uma função de t : x = f(t).No caso, temos x = a ⋅ cos (kt), onde k é umaconstante que depende da elasticidade damola e da massa da bola.

( )C

2p

1x

t


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7

V. Mantendo-se a temperatura constante,a pressão P de um gás no interior de um reci-

piente de volume variável V é uma funçãode V : P = f(V). No caso, temos P = k __ V

, em

que k é uma constante.

( ) x

t

a

–a

O

2. Na figura seguinte está representada uma viga reta AB, que sustenta um arco AB de parábola,construído em ferro e apoiado em hastes verticais. A largura L do vão é de 40 m e a flecha f doarco de parábola tem 5 m. Sabendo que as hastes verticais são igualmente espaçadas no vão,calcule seus comprimentos y

1, y

2 e y

3.

A B

y

x x 1

y 1

0L

f

x 2

y 2

x 3

y 3

3. Entre todos os retângulos com perímetro de 24 m, como os exemplificados a seguir, qual tem amaior área? Registre sua resposta no espaço a seguir.

6 m

6 m

1 m

11 m


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4. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 ⋅ 100,1t, sendo t em anos.

a) Esboce o gráfico de N como função de t . (Sugestão: atribua para t valores múltiplos de 10.)


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b) Calcule o valor da população N, 15 anos após a fundação do município.

c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingiu 216 000 habitantes?

5. Certa substância radioativa se decompõe de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do

valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m=

mo⋅

2–0,25t

, sendo mo o valor inicial da massa (t emhoras). Partindo de 60 g da substância, pede-se:

a) o gráfico de m como função de t ;


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b) a massa m restante após 8 horas;

c) a expressão de t como uma função de m;

d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?

6. Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica, apoiada em uma superfí-cie horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com a mola em seu comprimento normal, abolinha fica em equilíbrio, parada. Afastando-se a bolinha 10 cm da posição de equilíbrio, amola fica esticada; abandonando-se, então, a bolinha, ela passa a oscilar em torno da posiçãoinicial, realizando um movimento de vai e vem. É possível mostrar que o afastamento x dabolinha em relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do tempo t e pode serexpressa pela fórmula x = 10 ⋅ cos (kt), com x em centímetros e t em segundos.

posição inicial

x = a ⋅ cos (kt)onde a é a amplitude

x

a

O

Considerando que a bolinha retorna à posição em que foi abandonada (x= 10) a cada 4 segundos:

a) determine o valor de k ;


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11

b) calcule o valor de x para t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s e t = 10 ___ 3

s;

c) construa o gráfico de x como função de t .


Para esboçar o gráfico de funções polinomiais como f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5) éimportante considerar os seguintes passos:

Calcular as raízes da função, isto é, pontos que cruzam o eixo x .

Podemos perceber que o gráfico corta o eixo x nos pontos (1; 0), (2; 0) e (5; 0), ou seja,x = 1, x = 2 e x = 5 são raízes da equação polinomial de grau 3, correspondente à igual-dade f(x) = 0. Isso é suficiente para um esboço do gráfico de f(x), pelas seguintes razões:


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• a curva que representa o gráco de uma função polinomial é contínua e suave, as-sumindo todos os valores intermediários entre dois valores dados;

• o número de raízes reais de uma equação polinomial (algébrica) de grau 3 é, nomáximo, 3;

• em consequência, o gráco não cortará o eixo x em outro ponto, além dos 3 jáidentificados;

• o ponto do gráco que cruza o eixo y é o valor de f(0), isto é:

f(0) = (–1) ⋅ (–2) ⋅ (–5) = –10, ou seja, é o ponto (0; –10).

Reunindo as informações anteriores, temos o esboço do gráfico:

f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5)

0

– 10

y

1 2 5x

Construindo o gráfico por meio de um software , obtemos:

–14

2

–10

6

–6

10

–2

14 y

–1 1 2 3 54 6 7

x

–16

0

–12

4

–8

8

–4

12

É interessante notar que, na função polinomial f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, quando x assume valores muito altos, os valores de f(x) acompanham de perto os valores absolutosde ax 3. Esses valores serão muito altos se a > 0; ou muito baixos, se a < 0. No exemplo,como a = 1, temos valores de f(x) muito altos para valores muito grandes de x e valores def(x) muito baixos para valores muito pequenos de x .


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LIÇÃO DE CASA

7. Esboce o gráfico da seguinte função polinomial: f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)


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8. Esboce o gráfico da função polinomial f(x) = x · (x + 1) · (x – 2) · (3x – 7).


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”


Geralmente, traçamos gráficos de funções apoiados na construção de tabelas. Con-tudo, muitos gráficos podem ser obtidos sem tomar por base as conclusões que resultamde uma representação de pontos isolados. Nesse trabalho, é importante “ler” e interpretaras indicações de quais operações devemos realizar com a variável independente x para obtervalores referentes à variável dependente y .

Para ilustrar o que pretendemos dizer, vamos explorar a construção de alguns gráficos.

A função f(x) = x 2

– 7 indica, por exemplo, que, para encontrar os valores de y = f(x),devemos elevar a variável independente x ao quadrado e diminuir 7 unidades do resultadoobtido. Desse modo, para representar os pontos (x; y) em que y = x 2 – 7, podemos imagi-nar que o gráfico de y = x 2 foi deslocado 7 unidades para baixo na direção do eixo y . Dessaforma, o gráfico de f(x) = x 2 – 7 pode ser construído a partir da elaboração de um gráficomais simples: f(x) = x 2.

0

5

10

−5

−2−4−6 642

y

x

f(x)= x 2 – 7

y = x 2

No caso da função de f(x) = 2 + sen x, os valores de y serão determinados depois queencontrarmos o valor do seno da variável independente x e a esse valor adicionarmos2 unidades. Nesse caso, podemos imaginar que o gráfico mais simples da função de y = sen xserá deslocado 2 unidades para cima na direção do eixo y .

0

y

−5−10−155 10 15

2

4

−2

−4

y = sen x

f(x) = 2 + sen x

x

−7


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VOCÊ APRENDEU?

1. Utilizando o mesmo sistema de coordenadas, esboce os gráficos das seguintes funções:

a) f(x) = x 2 + 9 c) h(x) = 9 – x 2

b) g(x) = x 2 – 9 d) m(x) = –9 – x 2


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2. Agora, esboce os gráficos das funções indicadas a seguir no mesmo sistema de coordenadas:

a) f(x) = cos x c) h(x) = –3 + cos x

b) g(x) = 5 + cos x d) m(x)= 5cos x

3. Para o gráfico de f(x) = (x – 3)2, podemos imaginar o gráfico de y = x 2 deslocado 3 unidadespara a direita na direção do eixo x . O gráfico de y = (x – 3)2 é como se fosse o de y = m2, sendom = x – 3. O vértice da parábola desloca-se do ponto em que x = 0 para o ponto em que x = 3.

A seguir, construa o gráfico dessa função.

2

1

4

3

6

5

7

0x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

8

9

8 9

4. O gráfico de f(x) = 3(x + 2) pode ser construído a partir do gráfico de y = 3x , deslocado paraa esquerda na direção do eixo x . O gráfico de y = 3(x + 2) é como se fosse o de y = 3m, sendom = x + 2. É como se o eixo y se deslocasse horizontalmente de tal forma que o antigo pontoem que x = 0 coincidisse com o novo ponto em que x = –2 (ou seja, m = 0). Faça um esboçodessa situação no sistema de eixos a seguir.

6

–2

4

–4

2

p

y

x 0

–6

p

2

3p

2

5p

2

7p

2

9p

2

2p 3p 4p 5p–p –p

2


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19

0

10

20

15

25

y

x

5

–0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5–4 –1,5–3,5 –3–4,5

5. Para obter o gráfico de y = 4 + log 2 (x – 5), podemos imaginar o gráfico de y = log

2 x deslo-

cado 5 unidades para a direita, como se estivéssemos construindo o gráfico de y = log 2 m,sendo m = x – 5. Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de y = 4 + log

2 (x – 5).

8

6

–2

4

–4

2

0 1 32 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14–1–2

y

x

6. Vamos agora pensar no gráfico de f(x) = 1 _____ x 2 + 1

. Para construir o gráfico de f(x), podemos

começar com o de y = x 2. Depois, fazemos o de y = x 2 + 1, deslocando uma unidade paracima o gráfico de y = x 2, na direção do eixo y . A partir daí, para obter o gráfico de f(x),representamos os pontos (x ; y) tais que o valor de y seja o inverso de x 2 + 1, para cada valor de x .


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É importante notar que:

• no ponto onde x = 0, x 2 + 1 vale 1 e o inverso de x 2 + 1 também é igual a 1;

• em todos os outros pontos, x 2 + 1 é positivo e maior que 1; logo, seu inverso é positivo e

menor que 1;• assim, o gráfico de f(x) = 1 _____

x 2 + 1 situa-se sempre acima do eixo x , aproximando-se mais e

mais dele à medida que o valor de x aumenta, pois quanto maior for o valor de x 2 + 1, menorserá o valor de seu inverso.

Resumindo, na construção do gráfico de f(x) = 1 _____ x 2 + 1

, podemos observar os seguintes passos:

• construir o gráfico de y = x 2;

• construir o gráfico de y = x 2 + 1;

• construir o gráfico de f(x) = 1

_____

x 2 + 1 .

Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x)= 1 _____ x 2 + 1

.

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x


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8. Para o gráfico de f(x) = 1 __ x , podemos fazer o gráfico de y = x e representar, para cada valor de x ,

a ordenada y , que é o inverso de x .

É importante notar que:

• quando x = 0, não existe o inverso de x , ou seja, a função f(x) não está definida;

7. Para o gráfico de f(x) = , podemos fazer o gráfico de y = x 2, depois o de y = x 2 – 1 e em

seguida representar os pontos com abscissa x e ordenada o inverso de x 2 – 1.

É importante notar que:• quando x 2 – 1 = 0, ou seja, quando temos x = 1 ou x = –1, então a função f(x) não está definida;

• quando x assume valores próximos de 1 ou de –1, os valores absolutos dos inversos tor-nam-se muito grandes. Se x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1, os inversostornam-se muito grandes (positivos); por outro lado, se x se aproxima de 1 por valoresmenores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes em valor absoluto, mas negativos.

Algo similar ocorre quando x se aproxima de –1.

Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x) =

1x 2 – 1

1

x 2

– 1.

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6

y

x

–1

–2

–3

–4

–5

–6


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• quanto mais próximo de 0 é o valor de x , maior é o valor absoluto do inverso de x ,sendo que os valores de x positivos têm inversos positivos e os valores de x negativostêm inversos negativos;

• quanto maior é o valor absoluto de x , tanto positivo quanto negativo, mais próximo de 0 éo inverso de x , sendo o sinal de x sempre igual ao sinal de seu inverso.

Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de f(x)= 1 __ x .

0

1

2

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

3

4

5y

x –0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5– 4 –1,5– 3,5 –3– 4,5

LIÇÃO DE CASA

9. O gráfico de f(x) = 3 sen x é análogo ao de y = sen x, com a amplitude aumentando de 1para 3 unidades, ou seja, os valores de f(x) oscilarão entre +3 e –3. Faça o esboço des segráfico no plano a seguir.


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10

20

30

40

50

60

–60

–50

–40

–30

–20

–10

p

2p 3p

25p

27p

29p

211p

213p

215p

22p 3p 4p 5p 6p 7p–p

2–3p

2–5p

2–7p

2–9p

2–p–2–3–4

3

–1

2

–2

1

y

x 0

–3

p

2

3p

2

p 2p–p –p

2

4

–3p

2

10. Para construir o gráfico de f(x) = 3x · sen x, basta imaginar o gráfico de y = A · sen x,sendo que o valor de A varia de acordo com x segundo a reta y = 3x. Assim, o gráficooscilará entre as retas y = 3x e y = –3x. Faça o esboço desse gráfico no plano a seguir.

11. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas a seguir:

a) f(x) = 3x

b) g(x) = 3x – 1


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c) h(x) = 3x + 1

d) m(x) = 3–x

e) n(x) = 3–x + 1

10

20

15

y

x

5

–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 119

12. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:

a) f(x) = –x 2

b) g(x)= 3 – x 2

c) h(x) = 13 – x 2

4

8

6

y

x 2

–6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

–6

–2

–4

–8


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13. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:

a) f(x) = 3x 2

b) g(x) = – 3x 2

c) h(x) = sen x

d) m(x) = 3x 2 ⋅ sen x

10121416182022242628

y

x 2468

–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

–22–20

–18–16–14–12–10–8–6–4–2

–28–26–24


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OUDECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO

As funções de 1o grau, expressas na forma f(x) = ax + b, são crescentes (a > 0) ou sãodecrescentes (a < 0), sendo que o coeficiente a representa a variação em f(x), quando xaumenta em 1 unidade a partir de qualquer valor inicial. O valor de a é chamado taxa devariação unitária de f(x), ou somente taxa de variação de f(x). Naturalmente, se a = 0, ouseja, se a taxa de variação é zero, então a função f(x) é constante: f(x) = b.


taxa de variação = a = variação de f(x) por unidade a mais de xa = f(x + 1) = f(x) = constante

(a > 0, função crescente)

f(x) = ax + b

(a < 0, função decrescente)

1a

1a

y

a = 0 (função constante)b

x

De modo geral, dizemos que uma função f(x) é crescente nos intervalos em que ocorreo seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) tambémcrescem. Dizemos que f(x) é decrescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se osvalores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) decrescem. O significado docrescimento ou do decrescimento no gráfico de f(x) é bastante expressivo:

x1 x2x aumenta

x

y

y2

y1

y aumenta

f(x) crescente

y

x

x1 x2

x aumenta

f(x) decrescentey1

y2

y diminui


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Consideremos uma função que não é de 1o grau, ou seja, cujo gráfico não é uma reta. Ao observá-lo, constatamos que a taxa de variação unitária de f(x), ou seja, a variação def(x) por unidade a mais de x , não é mais constante, isto é, a diferença f(x + 1) – f(x) passa

a depender do valor de x a partir do qual ela é calculada.Por exemplo:

• se f(x) = 5x + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1) + 7 – (5x + 7) = 5, ou seja, a taxade variação unitária de f(x) = 5x + 7 é constante e igual a 5; exatamente o valor dea na função a = 5;

• no entanto, se f(x) = 5x 2 + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1)2 + 7 – (5x 2 + 7) = 10x + 5,ou seja, a taxa de variação unitária de f(x) = 5x 2 + 7 é igual a 10x + 5; portanto, ataxa varia com o valor de x para o ponto considerado.

No que segue, chamaremos de taxa de variação unitária de uma função, para cadavalor de x , o valor da diferença f(x+1) – f(x).

Quando uma função f(x) cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado paracima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo.

Basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento:

• crescer linearmente, com taxa de variação constante;

• crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o quefaz com que o gráfico resulte encurvado para cima;

f(x) cresce a taxas decrescentesa > a’ > a’’

f(x) = ax + bcresce a uma taxa constante

f(x) cresce a taxas crescentesa < a’ < a’’

B

A

C

y

x

1

1

1

a

a’

a’’

a

a’1

1

1

1

1

a

a

a

a’’1


29/98


28

Nas atividades a seguir, sempre que fizermos menção a decrescimentos, as taxas serãoconsideradas em valor absoluto, isto é, em módulo.

Observação!

Quando uma função decresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado paracima; quando ela decresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo.

B

C

1

1

1

1

1

1

1

1

a

1

a

aa

a

a’

a’

a’’

a’’

x

y

A

f(x) decresce a taxasdecrescentes

(em valor absoluto)

f(x) decresce a umataxa constantef(x) decresce a taxas

crescentes(em valor absoluto)

• crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvadopara baixo.

De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modosdistintos:

• decrescer linearmente, com taxa de variação constante;

• decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes emvalor absoluto (as taxas são negativas);

• decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes emvalor absoluto (as taxas são negativas).

O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento:


30/98


29

A forma-padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b

Os gráficos a seguir representam o preço médio P dos alimentos da mesma cesta básica,em diferentes países, em função do tempo t , ao longo de determinado ano.

Desafio!

t

P

país A

t

P

país C

t

P

país B

t

P

país D


31/98


30

P

t

país E

P

país G

t

P

t

país F

P

t

país H

país J

P

t

P

t

país I


32/98


31

Pergunta-se:

a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano?

b) Em que país os preços aumentaram a uma taxa constante?

c) Em que país os preços aumentaram a taxas crescentes?

d) Em que país os preços diminuíram a uma taxa constante?

e) Em que país os preços aumentaram a taxas decrescentes?

f ) Em que país os preços diminuíram a taxas decrescentes?

g) Em que país os preços inicialmente aumentaram a uma taxa constante e, posterior-mente, a taxas decrescentes?

h) Em que país os preços diminuíram a taxas crescentes?

i) Em que país os preços inicialmente aumentaram a taxas crescentes e depois ataxas decrescentes?

j) Em que país os preços inicialmente diminuíram a taxas crescentes, e depois aaumentaram taxas decrescentes?


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32

VOCÊ APRENDEU?

1. No gráfico a seguir, identifique os intervalos nos quais:

x 1 x 9x 5x 3 x 11x 7

y

x x 2 x 10x 6x 4 x 12x 8

a) a função f(x) é positiva;

b) a função f(x) é negativa;

c) a função f(x) é constante;

d) a função f(x) é crescente;

e) a função f(x) é decrescente;


34/98


33

f ) a função f(x) cresce a taxa constante;

g) a função f(x) decresce a taxa constante;

h) a função f(x) cresce a taxas crescentes;

i) a função f(x) cresce a taxas decrescentes;

j) a função f(x) decresce a taxas crescentes;

k) a função f(x) decresce a taxas decrescentes.

2. Quando uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, ela sobe com velocidade cada vez menor, atéatingir uma altura máxima em relação ao solo, quando momentaneamente para. A partirdaí, ela desce cada vez mais rapidamente até voltar ao solo. Sabemos que, por causa da for-ça da gravidade (peso), que age sobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constantede aproximadamente 10 m/s a cada segundo, no movimento de subida. Podemos descrevero movimento da pedra por meio de uma função de 1o grau, que representa sua velocidade,


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34

e de uma função de 2o grau, que representa sua alturaem relação ao solo. Nesse caso, as funções que repre-sentam a velocidade e a altura são as seguintes:

v=

40 – 10t

(a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade di-minui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa devariação da velocidade é de –10 m/s por s, que seescreve –10 m/s2)

h = 45 + 40t – 5t 2

(a partir do valor inicial 45 m, a altura aumenta até

um valor máximo, diminuindo posteriormenteaté atingir o valor zero).

Pede-se:

a) construa o gráfico de v em função de t ;

b) construa o gráfico de h em função de t ;

c) determine o valor máximo de h(t );

d) determine o valor de t quando a pedra voltar apassar pela posição inicial;

e) calcule depois de quanto tempo a pedra atinge o solo;

f ) observando os gráficos de h(t ) e v (t ), assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) nas frasesseguintes:

( ) “A velocidade decresce a uma taxa constante.”

( ) “A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo; depois decrescecada vez mais rapidamente.”

( ) “A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a taxascrescentes.”

0

v = 40 m/s

2

3

t = 0

45 m

h máx

v =0

1


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35


37/98


36

LIÇÃO DE CASA

3. Considere o gráfico da função de 2o grau f(x) = (x – 5) ⋅ (x + 1) indicado a seguir.

y

0 1 2 3 4 6 7

f(x) = (x + 1) ⋅ (x – 5)

−1−2−3

−8

1

−3

−7

−11

2

−2

–6

−10

3

−1

−9

−5−4

x

5

a) Identifique os intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0.


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37

b) Identifique os intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente.

c) Qualifique o crescimento e o decrescimento de f(x), informando se eles ocorrem a taxascrescentes ou a taxas decrescentes.

4. Construa o gráfico das funções a seguir:

a) f(x) = 3x

b) g(x) = 3‒x

c) h(x) = log 3x

d) m(x) = log 1 __ 3 x

Identifique, em cada caso, se a função é crescente ou decrescente, bem como se o crescimentoocorre a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.

0

2

–2

–4

4

6

8

y

x 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–1–1,5–3 –0,5–2,5 –2–3,5


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38

VOCÊ APRENDEU?

5. No mesmo sistema de coordenadas, construa o gráfico das funções f(x) = sen x e g(x) = cos xentre x = 0 e x = 2π.

0

10,5

–0,5

–1

–1,5

1,5

2

y

x

p 2pp

2

3p

2


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39

a) No intervalo considerado, identifique os trechos em que f(x) e g(x) são crescentes e os trechos emque são decrescentes.

b) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), observando que os valores máximos de uma das fun-ções ocorrem nos pontos em que a outra se anula e vice-versa.

c) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), verificando que a concavidade de f(x) muda (degráfico encurvado para baixo para gráfico encurvado para cima ou vice-versa) nos pontosem que g(x) assume valores extremos (máximo ou mínimo) e vice-versa em relação a g(x).


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40

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OUDECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮


As funções são instrumentos fundamentais para a representação das relações de inter-dependência entre grandezas, conforme estamos vendo neste volume. As funções de1o grau f(x) = ax + b, por exemplo, prestam-se muito bem para representar relações queenvolvem proporcionalidade. Já na representação de fenômenos periódicos, utilizamosfunções trigonométricas como f(x) = sen x ou f(x) = cos x e, para expressar crescimento oudecrescimento exponenciais, entram em cena as funções na forma f(x) = a x .

A função exponencial – uma propriedade característica

Já conhecemos a função f(x) = a x , com a > 0 e a ≠ 1. Vamos agora destacar uma pro-priedade característica dessa função que pode ter passado despercebida.

Consideremos a função f(x) = 2 x e seu gráfico. Calculemos f(x) para os valores inteirosde x , começando com x = 0.

f(x) = 2x

0 1 3 5−2 2

2

6

10

14

18

22

26

30

4

88

12

16

1620

24

28

32

4 6−1

y

x 2

4

1

x 2 x f(x + 1) – f(x)0 1 1

1 2 22 4 43 8 84 16 165 32 326 64 647 128 ...

Notamos que quando x aumenta em 1 unidade, a partir de x=

0, a variação em f(x) éigual, sucessivamente, a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., ou seja, a taxa de variação unitária, queé igual a f(x + 1) – f(x), é igual ao valor de f(x):

f(1) – f(0) = f(0) f(3) – f(2) = f(2) f(5) – f(4) = f(4) f(2) – f(1) = f(1) f(4) – f(3) = f(3) e assim por diante.

A taxa de variação unitária de f(x) = 2x é, portanto, igual a f(x).

Chamaremos essa taxa de f 1(x). Calculando f

1(x) para um valor qualquer de x , temos,

de fato: f 1(x) = f(x + 1) – f(x) = 2x + 1 – 2x = 2x ⋅ (2 – 1) = 2x .


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41

VOCÊ APRENDEU?

1. Analogamente ao que foi feito antes para f(x) = 2x , calcule a taxa de variação unitária para

f(x) = 3x . Para isso, inicialmente complete a tabela a seguir:

0−1 1 2 3

54

18

6

4 5

24

6

30

48

66

12

36

54

72

18

42

60

78

3

27

9

33

51

69

15

39

57

75

21

45

63

81 y

x

x 3 x f(x + 1) – f(x)0 1 212345

De modo geral, calculando a taxa unitária f 1(x) para a função f(x) = a x , obtemos:

f 1(x) = f(x + 1) – f(x) = a x + 1 – a x = a x ⋅ (a – 1); ou seja, o valor de f 1(x) é diretamente

proporcional ao valor de f(x).

Quadro-resumo


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42

2. Uma população P de bactérias aumenta com uma rapidez que é diretamente proporcional aoseu valor em cada instante, ou seja, quanto maior é o valor de P, mais rapidamente a populaçãoaumenta. Partindo de um valor P

0 = 1 000, observa-se que a população dobra a cada hora, ou

seja, o valor de P pode ser expresso pela função:

P = f(t) = 1 000 ⋅ 2t (t em horas)

a) Calcule a taxa de variação unitária nos instantes t= 1 h e t = 2 h.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 6 h e t = 7 h é igual ao valor dapopulação para t = 6 h.

LIÇÃO DE CASA

3. A população N de cães de certa região cresce exponencialmente de acordo com a expressãoN = f(t) = 600 ⋅ 10t, sendo t em décadas.

a) Calcule a taxa de variação unitária para t= 2 décadas.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 7 e t = 8 é igual a 9 vezes o valorda população para t = 7.


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43


Fenômenos naturais e crescimento exponencial – o nascimento do número ℮

(℮ ≅ 2,71828)

Quando se estuda o crescimento de uma população, seja de seres humanos, seja deanimais, consideram-se as taxas porcentuais de crescimento ou decrescimento. Quando sediz, por exemplo, que certa população N cresce a uma taxa de 20% ao ano, isso significaque, considerando N uma função do tempo t em anos, a taxa de variação unitária, ou seja,o aumento de N por unidade a mais de t é igual a 0,20N. Quer dizer, então, que o aumentode N por ano é diretamente proporcional ao valor de N; ou seja, N deve ser uma funçãoexponencial do tempo t em anos.

Para descobrir qual é a base dessa função exponencial, vamos examinar o significado do

crescimento populacional em situações concretas. O que significaria, então, dizer que o valorde N aumenta 20% em um ano? Certamente não seria o caso de imaginar que a populaçãoficaria constante ao longo do ano, aumentando em 20% tão logo se inicie o ano seguinte. Naverdade, uma pressuposição mais razoável, mais natural em todos os sentidos, é a de que ocrescimento anunciado distribui-se uniformemente ao longo do ano. É justamente quandose tenta descrever matematicamente tal distribuição que surge o número ℮ de que falamosinicialmente. Vamos acompanhar o raciocínio a seguir para compreender como surge talnúmero na descrição de processos naturais de crescimento (ou decrescimento).

Certa população N é uma função do tempo: N = f(t), t em anos. Os dados disponíveisinformam que N cresce a uma taxa de 100% ao ano, ou seja, dobra a cada ano. Como

podemos expressar o valor de N em função de t ?Uma primeira hipótese, bem pouco natural (na verdade, absurda), é de que N ficaria

constante ao longo de cada ano, dobrando de valor ao final, na passagem para o ano se-guinte. O gráfico de N em função de t seria o seguinte:

4No

N

0 1 2 3

t

2No

No

Uma hipótese mais razoável seria a de que o crescimento de 100% ao ano distribui-seao longo do ano. Vamos considerar, inicialmente, que tal distribuição ocorra do modo


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44

mais simples: 50% em cada semestre. Nesse caso, após o primeiro semestre, a população

seria No + 50% de N

o, ou seja, a população inicial seria multiplicada pelo fator ª 1 + 1 __ 2 º ,

tornando-se No ª 1 + 1 __ 2 º . Após o segundo semestre, novamente a população inicial

seria multiplicada por ª 1 + 1 __ 2 º , tornando-se No ª 1 +1 __ 2 º

2

. No período seguinte, a população

seria No ª 1 + 1 __ 2 º

3

, e assim por diante. O gráfico da população N em função do tempo seria

o representado a seguir:

No ª 1 + 1 __ 2 º

5N

t

3210

No

No ª 1 + 1 __ 2 º

4

No ª 1 + 1 __ 2 º

3

No ª 1 + 1 __ 2 º

2

No ª 1 + 1 __ 2 º

1 __ 2 3 __

2 5 __

2

Para se aproximar ainda mais de uma situação concreta envolvendo crescimento,seria ainda mais razoável supor que os 100% de crescimento se distribuam ao longo do

ano, sendo 25% a cada trimestre. Nesse caso, ao final do primeiro trimestre, a populaçãoseria N

o + 25% de N

o, ou seja, N

o ª 1 + 1 __ 4 º . Ao final do segundo trimestre, o valor inicialdo trimestre terá sido multiplicado novamente por ª 1 + 1 __ 4 º , tornando-se No ª 1 +

1 __ 4

º 2

;

após o terceiro trimestre, a população seria No ª 1 + 1 __ 4 º

3

, e assim por diante. O gráfico da

população N em função do tempo seria o representado a seguir:


46/98


45

N

No ª 1 + 1 __ 4 º

8

No ª 1 + 1 __ 4 º

4

No

ª 1 + 1 __ 4 º 7

No ª 1+ 1

__

4 º 3

No ª 1 + 1 __ 4 º

6

No ª 1 + 1 __ 4 º

2

No ª 1 + 1 __ 4 º

5

No ª 1 + 1 __ 4 º

1 2 30

No

1 __ 4

5 __ 4

9 __ 4

2 __ 4

6 __ 4

10

__

4 3 __

4 7 __

4 11

__

4

Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído mês a mês, sendo o cresci-mento mensal igual a 1 ___

12 de 100%, então teríamos o valor da população:

• ao final do primeiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º ;

• ao final do segundo mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º

2;

• ao final do terceiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º

3;

• e assim por diante, de modo que, ao final do primeiro ano, teríamos N= No ª 1 + 1 ___ 12 º 12.

Se o ano fosse dividido em 100 partes iguais, sendo o crescimento de 100% ao ano

distribuído ao longo delas, sendo de 1% em cada uma, a população, ao final do ano, seria

igual a: N = No ª 1 + 1 ____ 100 º 100

.

Como se pode observar nos gráficos, se uma população cresce a uma taxa de 100% aoano, o valor da população ao final do primeiro ano é igual a:

t

N


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46

• 2No, quando se considera que seu valor permaneceu constante ao longo do ano,

dobrando ao final;

• No ª 1 + 1 __ 2 º

2, ou seja, 2,25N

o, quando se considera o crescimento uniformemente

distribuído, sendo 50% em cada semestre;• N

o ª 1 + 1 __ 4 º 4

, ou seja, aproximadamente 2,44No, quando o crescimento é distribuí-

do ao longo dos trimestres, sendo 25% ao trimestre;

• No ª 1 + 1 ___ 12 º

12, ou seja, aproximadamente 2,61N

o, quando ele é uniformemente

distribuído mês a mês, e assim por diante.

Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído uniformemente ao longo

do ano, subdividido em n partes, o valor de N ao final do ano será N = Noª 1 + 1 __ n º

n.

No cálculo anterior, chama a atenção o número ª 1 + 1 __ n º n

para valores grandes de n.

Recorrendo a uma calculadora, podemos verificar que, quanto mais aumenta o valor

de n, mais os valores da expressão ª 1 + 1 __ n º n se aproximam de um determinado número:

• para n = 100, temos: ª 1 + 1 ____ 100 º 100

= 2,704813829...

• para n = 365, temos:

ª 1 + 1 ____

365

º 365

= 2,714567485...

• para n = 1 000, temos: ª 1 + 1 _____ 1 000 º 1 000

= 2,716923932...

• para n = 10 000, temos: ª 1 + 1 ______ 10 000 º 10 000

= 2,718145927...

• para n = 1 000 000, temos: ª 1 + 1 ________ 1 000 000 º 1 000 000

= 2,718280469...

• para n = 100 000 000, temos: ª 1 + 1

__________

100 000 000 º 100 000 000

= 2,718281815...

Dizendo de outra maneira: quanto maior é o valor de n, mais o valor da expressão

ª 1 + 1 __ n º n

se aproxima do número 2,7182818... Esse número diferente é representado

pela letra ℮ e escrevemos: ℮ ≅ 2,7182818. Assim, concluímos que, se uma população N

o cresce a uma taxa de 100% ao ano,

distribuída uniformemente ao longo do ano, seu valor ao final do ano será igual a No ⋅ ℮,

ou seja, aproximadamente, 2,718 ⋅ No.


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47

Seguindo esse raciocínio, podemos mostrar que, ao final de dois anos, o valor da po-pulação será igual a N

o ⋅ ℮2, ao final de três anos será N

o ⋅ ℮3 e, generalizando, ao

final de t anos, teremos N = No ⋅ ℮t.

Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 20%, ou seja, k = 0,2, teremos, ao finalde t anos: N = No ⋅ ℮

0,2t. De modo geral, para uma taxa porcentual k qualquer (0 < k < 1)teremos, ao final de t anos, N = N

o ⋅ ℮kt.

Em muitas outras situações práticas, em diferentes contextos, nos deparamos com onúmero ℮. Apesar de ser um número de aparência diferente, sua presença é muito fre-quente no estudo de fenômenos naturais que envolvem crescimento ou decrescimentoexponencial, como desintegração radioativa e juros compostos.

Tal como o número π, o número ℮ é irracional e transcendente. Isso significa que irra-cionais, como ®

__

2 , não são razões entre inteiros, mas são raízes de equações algébricas com

coeficientes inteiros (por exemplo, x 2 – 2 = 0). Um irracional é transcendente quando nãoexiste equação algébrica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz, e esse é o caso denúmeros como π e ℮. Tais fatos, no entanto, não nos interessarão no presente momento.Interessa-nos apenas conhecer uma função exponencial particular, que vai ampliar signifi-cativamente o repertório de recursos para o tratamento matemático de diversos fenômenosem diferentes contextos.

Vejamos como o número ℮ pode ser aplicado ao cálculo de juros em uma situaçãosimilar à que foi descrita anteriormente. Quando um capital C

o é aplicado a uma taxa de

100% ao ano, se os juros forem incorporados ao capital apenas no final do ano, o valor docapital, depois de um ano, será igual a 2C

o; depois de dois anos, será 4C

o, e assim por diante.

Entretanto, se os juros forem distribuídos uniformemente ao longo do ano, de modo que

a cada período de 1 __ n do ano sejam incorporados os juros de100%

______

n , no final do ano o novo

capital será igual a Coª 1 + 1 __ n º

n

. Se os juros forem incorporados continuamente ao capital, o

valor montante, ao final de um ano, será C = Co ⋅ ℮ e, ao final de t anos, será C = Co ⋅ ℮t.

Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 10%, ou seja, k = 0,1, teremos, aofinal de t anos: C = C

o ⋅ ℮0,1t. De modo geral, para uma taxa k (0 < k < 1), teremos, ao final

de t anos, C = Co ⋅ ℮kt.

Quando se estuda o fenômeno da propagação de doenças, também se considera o fatode que a rapidez com que o número de doentes aumenta é diretamente proporcional aonúmero de doentes em cada instante. Na descrição matemática do fenômeno, nos depara-mos novamente com o número ℮.

Assim, reafirmamos: sempre que tentamos descrever matematicamente o modo comovariam funções presentes em fenômenos naturais de diferentes tipos, mas que têm em co-mum o fato de que envolvem grandezas que crescem ou decrescem com uma rapidez que é


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48

diretamente proporcional ao valor da grandeza em cada instante, naturalmente encon-tramos o número ℮. Um valor aproximado de ℮ pode ser obtido a partir da expressão

ª 1 + 1 __ n º n

: quanto maior o valor de n, mais próximos estaremos do número ℮. Para todos os

fins práticos, ℮ ≅ 2,71828, ou, com uma aproximação melhor, ℮ ≅ 2,718281828459045.Em consequência, em situações concretas que descrevem fenômenos naturais

que apresentem crescimento ou decrescimento exponencial, a função f(x) = ℮x , cujográfico apresentamos a seguir, tem uma presença marcante.

036

12

18

24

30

9

15

21

27

3336

−1 2 3 4 5 x

y f(x) = ℮x y = 3x y = 2x

1

Assim como o número ℮ serve de base para uma particular e importante função ex-ponencial, ele também serve para a correspondente função logarítmica: se y = ℮x , entãox = log

e y. Em outras palavras, à função exponencial de base ℮ corresponde sua inversa, a

função logarítmica de base ℮.

A função g(x) = log e x costuma ser representada por g(x) = ln x, uma abreviatura para“logaritmo natural de x ”. Os gráficos de f(x) = ℮x e de sua inversa, g(x) = ln x, são repre-sentados a seguir. É interessante notar que, como funções inversas, a cada ponto (a; b)do gráfico de f(x) corresponde um ponto (b; a) do gráfico de g(x), ou seja, os gráficos sãosimétricos em relação à reta y = x.

2

6

10

4

8

1214

−14−12−10

−8−6−4

0 2 106 14 204 12 188 16 22x

y

−2−2−8 −4−10 −6−12−16−18−20−22 −14

f(x)=

℮x

y = x g(x) = ln x


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49

VOCÊ APRENDEU?

4. Um investidor aplica uma quantia de R$ 1 000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calculeo valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros simples);

b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao final de cada mês;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao longo do ano.(Dado: ℮0,12 ≅ 1,1275.)

5. Um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule depois de

quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;


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50

b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos).

6. Esboce o gráfico das funções:

a) f(x) = ℮(x – 5)

b) g(x) = ℮(–x)

c) h(x) = 13 · ℮(x + 1)

d) m(x) = – 7 · ℮(1 – x)


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51

LIÇÃO DE CASA

7. Quando uma substância radioativa se decompõe, a rapidez com que ela se transforma é dire-tamente proporcional à quantidade restante, em cada momento, ou seja, seu decrescimento éexponencial. Sabendo que a massa inicial m

o de certa substância radioativa é 60 g e reduz-se

à metade a cada 4 h, determine a expressão de sua massa m em função do tempo t em horas:

a) supondo que m(t) = mo ⋅ 2bt, determine o valor de b;


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b) supondo que m(t) = mo ⋅ ℮at, determine o valor de a ;

c) mostre que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes;

d) calcule a massa restante após 8 horas;

e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?


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PESQUISA INDIVIDUAL

Construção de gráficos com o auxílio de um software

Alguns softwares livres, como o Graphmatica , o Geogebra ou o Winplot , podem serutilizados para construir gráficos de funções de vários tipos.

Para o estudo dos gráficos das funções, procure “baixar” da internet um software paraconstrução de gráficos ou, se possível, utilize a sala de informática de sua escola. Com oauxílio de um desses softwares , desenhe os gráficos indicados.

8. Faça os gráficos das quatro funções a seguir, em um mesmo sistema de eixos, e res-ponda às perguntas.

f(x) = ℮x g(x) = ℮–x h(x) = ln x (x > 0) m(x) = ln (–x) (x < 0)

a) Qual das funções cresce a taxas crescentes?

b) Qual das funções cresce a taxas decrescentes?

c) Qual das funções decresce a taxas crescentes?

d) Qual das funções decresce a taxas decrescentes?

9. O gráfico da função f(x) = ℮–x 2 é chamado curva normal e representa a distribuiçãoem torno do valor médio das frequências de ocorrência de um experimento aleatórioem uma população. Muitas medidas de características físicas como altura, massa,dimensões dos pés, dos colarinhos, entre outras, ao serem representadas estatistica-mente, conduzem a uma curva normal. De forma geral, as diversas curvas do tiponormal (ou curva de Gauss) são do tipo f(x) = a ⋅ ℮–b ⋅ x 2, com diversos valores paraos parâmetros a e b. Utilizando um programa para construção de gráficos, elaborealgumas curvas de Gauss, variando os valores dos parâmetros a e b.


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 A APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS:GRÁFICOS E TABELAS

! ?


Os dados de natureza qualitativa nos informam sobre as características dos objetos deestudo, como cor dos cabelos, time de futebol preferido, bairro de residência etc. Os dadosquantitativos referem-se à possibilidade de se efetuarem medidas ou contagens acerca damanifestação dos fenômenos. São dados de natureza quantitativa, por exemplo, altura,salário mensal, número de irmãos etc.

Nas pesquisas realizadas em Geografia, é comum trabalharmos com dados, qualitati-vos ou quantitativos, provenientes de fontes secundárias, isto é, das estatísticas e dos do-cumentos cartográficos. Depois de coletados, os dados são organizados em mapas, tabelase/ou gráficos.

Os mapas são objeto de estudo da Cartografia, já os gráficos, não. Estes estão maisligados à Matemática e, em particular, à Estatística. Isso porque grande parte dos gráficostem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e René Descartes (1596-1650)para a descrição da posição de pontos no plano, base da Geometria Analítica. A partir daí,foi possível a elaboração de gráficos de relações e de funções na Matemática, exploradosdepois, também na Estatística.

Diante de um mapa ou de um gráfico, podemos nos interessar por um aspecto particularou por um conhecimento global do assunto que está sendo representado. Assim, iniciamos aleitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o gráfico. Para isso, ficamos atentos aotítulo, que deve dizer “o quê”, “onde” e “quando” a respeito do tema, completando-se depoiscom outras informações que acompanham a tabela, o gráfico ou o mapa, principalmente arespectiva legenda que explica os significados das grandezas utilizadas.

Em seguida, já sabendo do que se trata, analisamos a representação gráfica, que serámais eficaz quanto mais nos revelar o conteúdo da informação que ela encerra. Uma tabela,um gráfico ou um mapa, portanto, será eficaz quando possibilitar ao usuário uma resposta

visual e rápida às questões por ele colocadas.

Diante de gráficos, podemos pensar principalmente em dois tipos de questão:

• sobre determinado detalhe (quanto choveu no mês de abril na cidade X?);

• sobre o conjunto (qual é o regime anual das chuvas na cidade X?).

Teremos essas questões em mente nas próximas atividades.


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VOCÊ APRENDEU?

O climograma ou gráfico termopluviométricoMuitas vezes, para uma análise comparativa de variáveis, combina-se, em um mesmo grá-

fico, a frequência acumulada porcentual (gráfico de linhas) com a frequência relativa (gráficode barras).

Uma aplicação muito comum dessa combinação é o climograma ou gráfico termopluviomé-trico. A temperatura, por ser contínua, é representada por uma linha. Para a precipitação, como éacumulativa, utilizam-se as colunas.

Um gráfico assim construído pode mostrar contrastes entre períodos secos e úmidos e, ainda,permitir a comparação entre vários regimes climáticos em vista de uma classificação estudada emGeografia.

A tabela seguinte apresenta dados baseados nas características do clima da cidade de Catalão,em Goiás. Nessa tabela, temos o índice de chuvas, em milímetros, e a temperatura média mês amês, em grau Celsius.

Mês Índice de chuvas (mm) Temperatura média (°C)

Janeiro 299 23

Fevereiro 259 23

Março 223 23

Abril 96 22,5

Maio 28 21

Junho 7 19,5

Julho 12 20

Agosto 7 21,5

Setembro 58 23

Outubro 155 23,5

Novembro 210 23

Dezembro 378 22,5


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A observação dos dados dessa tabela permite tirar uma série de conclusões, principalmenteaquelas que dizem respeito a uma análise detalhista, como, por exemplo, afirmar que a temperaturamédia de dezembro é 22,5 °C.

No entanto, apesar de ser possível obter diversas conclusões com base nos dados registrados em

tabelas, um gráfico, relacionando todas as informações, permite visualizar mais facilmente variaçõesentre os elementos dos conjuntos. O gráfico seguinte, gerado a partir dos dados da tabela anterior,é o climograma da cidade pesquisada.

25

20

15

10

5

0

°C

299

J A J OF M A NM J

Climograma de Catalão

S D

259223

96

287

índice de chuvas (mm)

1258

155

210

378

7

400

350

300

200

250

100

150

50

0

23 23 23 2323 23,522,5

22,5

21,5

19,521

20

temperatura média (°C)

( m m )

1. A respeito desse gráfico, responda:

a) Como é possível relacionar as estações do ano ao índice de chuvas apresentado no gráco?

b) Quais foram as temperaturas média máxima e média mínima no ano? Em quais meseselas ocorreram?

c) A amplitude de um conjunto de dados é definida como a diferença entre o maior e omenor valor do conjunto. Qual foi a amplitude do conjunto das temperaturas médiasmensais da cidade de Catalão?


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d) Qual foi a temperatura média anual da cidade de Catalão?

e) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico, responda: é verdade que chove maisnos meses mais frios? Justique.

2. Observe o climograma seguinte, construído com base em dados fictícios de outra cidade.Neste gráfico, como no anterior, o índice de chuvas é dado em milímetros e a temperatura,em grau Celsius.

117 119 114 117

139

12,5 14

20

24

27

20,5

28,5

22

17

28,5

13,5

147

122

89 96

122

106

180

100

140

60

160

80

120

40

20

0 J A J OF M A NM J S D

40

35

30

25

20

15

10

5

0

índice de chuvas (mm) temperatura média (°C)

°C ( m m )

167

26,5

A respeito dos dados representados nesse gráfico, responda:


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a) A cidade em questão localiza-se no Hemisfério Norte ou no Hemisfério Sul? Por quê?

b) Nos meses de inverno chove, em média, mais ou menos do que nos meses de verão?

c) Qual foi a temperatura média anual dessa cidade?

d) A amplitude da variação dos valores médios mensais dos índices pluviométricos (valormáximo – valor mínimo) foi maior para essa cidade ou para a cidade de Catalão?

e) Como as características climáticas dessa cidade diferenciam-se das de Catalão?

f ) O clima de Catalão é classificado como tropical semiúmido, cujas principais características são:

• temperaturas elevadas no verão e amenas no inverno (média de 20 °C);

• existência de duas estações: a úmida e a menos úmida;

• temperaturas médias mensais altas ao longo de todo o ano;

• reduzida amplitude térmica anual.


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Caracterize o clima da cidade representada no gráfico anterior, comentando sobre as mesmasvariáveis que definiram o clima tropical semiúmido para Catalão.

A distribuição da riqueza no Brasil

3. Observe o gráfico que representa a distribuição de renda em nosso país.

Porcentual da população –crescimento da riqueza

46,9%

15,7%

7,3%5,7%4,5%3,4%2,5%

10% 50%30% 70%20% 60%40% 80% 90%

1% 3%

10%

Fonte: IBGE e Atlas da Exclusão Social.

Pelo gráfico, podemos concluir que a distribuição da riqueza em nosso país mostra, por exem-plo, que os 10% mais pobres da população brasileira detêm apenas 1% da renda nacional, eque os 20% mais pobres ficam com 3,5% (1% + 2,5%). Já os 10% mais ricos (acima de 90%)detêm 46,9% da renda nacional. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habi-tantes, e o Produto Interno Bruto (PIBa ) brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais, responda, combase no gráfico:

a O Produto Interno Bruto anual é a soma de todas as riquezas produzidas no país.


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a) Qual é o porcentual da renda nacional destinado aos 40% mais pobres da populaçãobrasileira?

b) Qual é o PIB per capita do Brasil, isto é, em média, quanto da riqueza produzida anual-mente cabe a cada brasileiro?

c) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada aos 20% mais pobres da população?

d) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada a cada um dos brasileiros situadosentre os 20% mais pobres da população?

e) Complete a tabela seguinte com o total da população brasileira por faixa de concentraçãode riqueza e com a renda per capita em cada faixa.

Renda per capita por faixa de riqueza

Porcentual mais pobre da

população

Porcentual

da riqueza

Valor absoluto

da riqueza (R$)

PopulaçãoRenda per

capita (R$) Até 10%

Maior que 10% até 20%




f ) Calcule a renda per capita dos 10% mais ricos da população brasileira e responda:Quantas vezes a renda per capita dos 10% mais ricos é maior do que a renda per capita nacional?


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g) Qual é a relação entre a renda per capita dos 10% mais ricos e a renda per capita dos 10%mais pobres?

LIÇÃO DE CASA

A temperatura interna da casa Uma das maneiras de avaliar o conforto e a viabilidade de um projeto de arquitetura residencial

consiste em comparar a diferença entre a temperatura externa e a temperatura interna do imóvel. Adotando limites superior e inferior para as temperaturas, que correspondam, respectivamente,às condições de conforto máximo e mínimo, os arquitetos geram um gráfico em que registram astemperaturas de hora em hora, durante certo intervalo de tempo e, a partir dele e de outros fatores,

julgam o nível de conforto do imóvel.

Um desses gráficos, representado a seguir, foi construído com base em dois dias, sendo um delesum dia de inverno e o outro um dia de verão.

horas do dia

t e m p e r a t u r a

horas do dia

temperatura interiortemperatura interior

temperatura exterior

temperatura exterior

mínimoconforto

máximoconforto

4. Analisando os gráficos, responda:

a) Qual dos dois gráficos, o da direita ou o da esquerda, corresponde ao período medido du-rante o verão? Por quê?


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b) O projeto em questão é, com base no conforto interno, mais adequado para o período deverão ou para o período de inverno?


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6MÉDIA ARITMÉTICA E DISPERSÃO: QUAL É A RELAÇÃO?

! ?

Atividade em grupo – Jogo do desvio médioNeste jogo, você sorteará amostras, utilizará seus conhecimentos de cálculo proporcional, cal-

culará médias aritméticas e, por fim, aprenderá um importante conceito de Estatística: o conceitode dispersão. Leia as instruções a seguir e siga as orientações de seu professor.

Como é o jogo?

Cada grupo receberá um saquinho contendo determinado número de peças coloridas (esse nú-mero será comunicado ao grupo pelo professor). O trabalho do grupo será descobrir o número depeças de cada cor, sem contá-las uma a uma, apenas efetuando amostragens.

Uma amostra é uma parte significativa da população. No caso do saquinho com as peçascoloridas, uma amostra pode ser composta de certo número de peças, retiradas ao acaso.

Cada grupo deverá:

• sortear amostras várias vezes, registrando o número de peças de cada cor a cada retirada;

• colocar de volta no saquinho as peças de uma amostra, misturando-as bem às demais, antesde realizar a próxima amostra;

• organizar os resultados conforme forem sendo obtidos, registrando-os em uma tabela;

• discutir e resolver como farão a previsão sobre o número total de peças de cada cor no saquinho;

• desenhar um gráfico de barras para apresentar os resultados finais, isto é, a previsão sobre asquantidades de peças de cada cor no saquinho, semelhante, por exemplo, ao gráfico seguinte:

Depois que todos os grupos desenharem os gráficos, deverão avaliar qual grupo conseguiu amelhor previsão, isto é, aquela que mais se aproximou dos valores reais das peças coloridas contidasno saquinho. Seu professor orientará os grupos sobre as próximas etapas.


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65


VOCÊ APRENDEU?

1. Observe o alvo desenhado a seguir, sobre o qual duas pessoas, A e B, atiraram 20 dardoscada uma. Os resultados obtidos por esses atiradores foram registrados na tabela.

10

20

30

50

AtiradorResultados

50 30 20 10 0

A 4 6 5 4 1B 6 3 5 3 3

a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos atiradores?


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b) Compare os desvios médios (DM) de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atiradorcom o desempenho mais regular.

2. O gráfico a seguir foi construído pelo síndico de um condomínio para analisar o consumode energia dos proprietários.

Consumo por residência (kWh)

20

68

no de casas

consumo (kWh)

80

60

40

20

70

200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800

50

30

10

0

31

1712 9

3 2

a) Qual é o número total de residências pesquisadas?

b) Quantas residências consomem 1 400 kWh ou menos?


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c) Considere que, em cada faixa, o consumo de todas as residências seja igual ao ponto médioentre os extremos do intervalo. Assim, por exemplo, todas as 20 residências da primeirafaixa consomem 300 kWh, que é o valor médio entre 200 e 400 kWh. Nessas condições,complete a tabela e, em seguida, determine, com base nos valores tabelados, o consumo

médio e o desvio médio do consumo de eletricidade das famílias do condomínio.

Faixa deconsumo

(kWh)

[200,400[

[400,600[

[600,800[

[800,1 000[

[1 000,1 200[

[1 200,1 400[

[1 400,1 600[

[1 600,1 800[

Frequência (no de casas)

Obs.: representação de intervalo real [a, b[.

intervalo fechadoà esquerda

intervalo abertoà direita

3. Em duas empresas, A e B, a distribuição dos salários pagos aos funcionários é representadana tabela seguinte:

Salários (R$)Número de funcionários

Empresa A Empresa B

1 000,00 6 4

2 000,00 8 93 000,00 12 14

4 000,00 16 11

5 000,00 6 8

6 000,00 2 4

Total 50 50


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Em qual das duas empresas é maior:

a) o valor médio dos salários? Quanto a mais?

b) o desvio médio dos salários pagos? Quantos por cento a mais?


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 A CURVA NORMAL E O DESVIO PADRÃO:PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

! ?


Introdução à leitura e interpretação da curva normal

Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medira pressão arterial de cada uma delas e desenhar um gráfico com os resultados, obteria-se,sem dúvida, algo igual ou muito parecido com o seguinte gráfico.

50 1300

80

40

120

20

100

60

140160

F r e q u ê n c i a

90 17070 150110 190 210

Pressão sistólica (em mmHg)

A certeza que temos, nesse caso, deve-se ao fato de que a variável “pressão arterial” é,como tantas outras, uma variável normal 1.

A pressão arterial de praticamente 100% das pessoas varia em uma faixa que vai de50 a 210 milímetros de mercúrio (mmHg) ou, como é mais comum, de 5 a 21 cmHg.Mas, como ocorre com todas as variáveis normais, há poucas pessoas com pressão san-guínea próxima dos extremos e muitas com valores próximos do valor central, no caso,igual a 13 cmHg.

Observe, por meio dos pontilhados assinalados no gráfico, que, entre as 900 pessoas,

cerca de 80 têm pressão igual a 160 mmHg, enquanto 140 pessoas têm pressão igual a130 mmHg.

Com base nos dados representados nesse gráfico, faça o que se pede a seguir.1 À ação de bombear sangue dá-se o nome de sístole. A cada batimento cardíaco, o sangue corre pelas artérias e arterío-las à máxima pressão – pressão sistólica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada diástole, que ocorreentre os batimentos cardíacos, quando a pressão é mínima. Esse período recebe o nome de pressão diastólica.Pressão arterial sistólica (PAS) é o maior valor vericado durante a aferição de pressão arterial. Exemplo: 120 x 80; emque 120 refere-se à pressão arterial sistólica e 80 refere-se à pressão arterial diastólica, ambas medidas em milímetros de mer-cúrio (mmHg). (Fonte: Disponível em: . Acesso em: 3 jan. 2014.)


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VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela com os valores aproximados do número de pessoas da população repre-

sentada no gráfico com cada valor de pressão.

Pressão(mmHg)

Frequência(no de pessoas)

Pressão(mmHg)

Frequência(no de pessoas)

50 140

60 150

70 160

80 17090 180

100 190

110 200

120 210

130 220

2. Com a ajuda de uma calculadora e com base nos dados apresentados na tabela da atividadeanterior, determine, para a variável pressão sanguínea dessa população, o valor da:

a) moda, isto é, o valor mais frequente da distribuição de dados;

b) mediana, isto é, o valor central da distribuição ordenada dos dados;


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c) média aritmética.

3. Localize, no gráfico apresentado anteriormente na seção Leitura e análise de texto, os valoresobtidos para moda, mediana e média aritmética, e responda: Há muita ou pouca diferençaentre esses valores?

4. Aproximadamente, qual porcentagem da população analisada tem pressão sanguínea maiorou igual à mediana de 130 mmHg?

5. Se uma pessoa dessa população for sorteada, qual é a probabilidade, de acordo com os da-dos da tabela apresentada na atividade 1, de ela possuir pressão sanguínea menor ou iguala 100 mmHg?


Desvio padrão de uma distribuição de dados

O desvio padrão (DP) é uma medida de dispersão de um conjunto de dados, ou seja,é um número que mostra, de acordo com determinado modo de interpretar, quanto oselementos do conjunto estão próximos ou afastados da média aritmética dos valores desseconjunto. O desvio padrão está relacionado a uma curva bastante importante na análise dedados estatísticos: a curva normal.


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A curva normal, também conhecida por curva de Gauss, tem um formato que reflete,visualmente, a distribuição de uma variável analisada em uma população. A maior con-centração de valores da variável analisada próximos da média aritmética da população, etambém a igualdade teórica entre média aritmética, mediana e moda são as responsáveis

pela forma assumida pelo gráfico de frequências, quase igual a um sino, conforme pode-mos perceber na figura a seguir.

Média aritmética, mediana e moda

y

x 0

A concentração de valores em torno dos valores médios, no entanto, pode ser maior oumenor, como podemos observar nos gráficos seguintes, desenhados com a mesma escala.

1

2

3

A observação dessas curvas nos mostra que todas possuem valores médios iguais – médiaaritmética, moda e mediana –, mas possuem dispersões diferentes. A curva 1 é, entre essas, aque possui menor dispersão, enquanto a curva 3 é a que apresenta maior dispersão. Assim, é dese esperar que, se forem calculados os desvios padrão das distribuições que geraram essas curvas,

o maior valor de desvio, entre todos, será o obtido para a curva 3, e o menor, para a curva 1.Mas qual é a relação entre o formato da curva normal e o desvio padrão? Para compreender umpouco essa relação, precisamos aprender a calcular o desvio padrão de um conjunto de dados.

Consideremos, por exemplo, os seguintes valores de alguma variável que estejamosanalisando, e vamos obter o desvio padrão desse conjunto de dados.

{1, 4, 6, 7, 12}

O primeiro passo no cálculo do desvio padrão é a obtenção da média aritmética doconjunto de valores.


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73


Média aritmética = 1 + 4 + 6 + 7 + 125

= 305

= 6

Em seguida, calculamos a diferença entre cada valor do conjunto e a média obtida.

VOCÊ APRENDEU?

6. Para os valores do conjunto seguinte, determine a média aritmética e o desvio padrão.

{4, 5, 6, 7, 8}

Diferenças: 1 – 6 = –5 4 – 6 = –2 6 – 6 = 0 7 – 6 = 1 12 – 6 = 6

Elevamos cada diferença ao quadrado, somamos todos os resultados e calculamos amédia aritmética entre eles:

Média da soma dos quadrados das diferenças

(–5)2 + (–2)2 + 02 + 12 + 62

5 = 66

5 = 13,2

Por fim, extraímos a raiz quadrada do valor anteriormente obtido e determinamos odesvio padrão (DP) desse conjunto de valores.

DP = ® ____

13,2 ≅ 3,63

Podemos resumir os passos realizados na seguinte expressão, em que a média é iden-tificada por

_

x e cada um dos n elementos do conjunto de valores por x i:

O cálculo

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