36331853 Geome 3er Ano III Trimestre

8/8/2019 36331853 Geome 3er Ano III Trimestre

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COLEGIO PRE

UNIVERSITARIO

Tercer Ao

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Ao

Geometra 1

INDICE

Punto y Plano ... 03

Poliedros . 12

Prisma . 24

Pirmide . 31 Cono ... 38

Cilindro .... 45

Esfera .. 52

Miscelnea . 57


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Geometra 2

IMPRESIONESY FOTOCOPIADOV.L.E.B.

DPTO. DE PUBLICACIONES


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B .

C .A .


GEOMETRA DEL ESPACIO

TEMA: PUNTO Y PLANO

Geometra del Espacio.- tiene por objeto el estudio de las figuras slidas odel espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a unmismo plano sino al espacio tridimensional, como por ejemplo el ngulodiedro, el cubo, la pirmide, la esfera etc.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEOREMA 1

Tres puntos cualesquiera, no colinealesdeterminan un plano. As, los puntos no

colineales A,B,C, determinan el plano H.

TEOREMA 2

Geometra 3

P .

A . B .


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L

0

C

P


Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano. As la recta AB y

el punto P situado fuera de ella, determinan el plano H.

TEOREMA 3

Si una recta es perpendicular ados rectas del plano que pasanpor su pie, entonces esperpendicular al plano.

Si L 1L , L 2L

Entonces. L H

TEOREMA 4

Si desde el pie de una rectaperpendicular a un plano, se trazaotra perpendicular a una rectacualquiera dada en el plano, todarecta, que pasa por un puntocualquiera de la primera y el puntode de interseccin de las 2ltimas, es perpendicular a la rectadad en el plano.

Geometra 4

L 1

2L

L


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PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) desde un punto exteriorA, exterior a un plano Htrazamos la perpendicular

AO y dos oblicuas MN y

AN .Determine la distancia

de MN al punto O, si AO =

4m, AM = AN = 5m y MN =4m.

Rpta.-

2) En la figura AO esperpendicular al plano H, AO =

4 , OB = 3 y AD = 29

Hallar el rea del ODB.

Rpta.-

3) En el plano H se tiene unacircunferencia de dimetro

PQ , de longitud igual a

50 cm. Por el extremo P se

levanta la perpendicular PA

a H; sobre la circunferencia se

toma un punto R tal que AR= PQ. Halle AQ, si 14PR =

cm.

Rpta.-

4) Sobre un plano se tieneun tringulo ABC, por el

vrtice A, se traza unaperpendicular al plano deltringulo, y en dichaperpendicular se toma unpunto M, luego se trazan

perpendiculares AFyAE

a los segmentosMCyMB , hallar FC, si

BM = 30m; EM = 6m, MC= 36m.

Rpta.-

5) La distancia de un punto aun plano es 5m, se toma unpunto P en el plano que dista13m del punto. Hallar la

distancia del punto P, hasta elpie de la proyeccin del primerpunto sobre el plano.

Rpta.-

6) Se tienen 2 rectasperpendiculares contenidas en

un plano H, desde el punto deinterseccin de las dos rectas,

se traza una tercera recta

perpendicular al plano, a 10m

del pie de sta tercera recta se

trazan dos rectas oblicuas a

cada una de las 2 rectas del

plano, la medida de estas 2

Geometra 5


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rectas es 26m y 20m, hallar el

rea del tringulo que se

forma al unir los puntos deinterseccin de stas tres

rectas con el plano.

Rpta.-

7) La recta L1 intercepta alplano H, en el punto P, luego

se toma un punto M en dicha

recta, por dicho punto se traza

una recta perpendicular al

plano que lo corta en el punto

N, si MN = 20cm ; hallar NP, si

mNMP = 53

Rpta.-

8) En la figura, hallar el readel tringulo .PQR si se sabeque AP = 10, AQ = 6 AR = 6

2

P Q

R

A

Rpta.-

9) Sean M y N dos planosparalelos que distan entre si

40m. La proyeccin AB (Con A en M y B en N) sobreel plano N mide 30m. HallarAB.

Rpta.-

10) Se tienen los rayos.

BYyAX , que se cruzanformando un ngulo que mide60 y cuya perpendicular

comn es AB . Sobre AX

se ubica el punto P y sobre

BY el punto Q tal que AP =

AB = BQ = 4m Hallar PQ.

Rpta.-

11) En la figura que semuestra hallar PQ si NM = 4.

P

Q

5 3

6 0 M

N

Rpta.-

Geometra 6


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12)Desde un punto exterior aun plano se trazan 4 lneas

oblicuas de 20u cada una, de

tal manera que sus pies son

los vrtices de un cuadrado

cuyo permetro es 40 2 ,

hallar la distancia del punto al

plano.

Rpta.-

13)Desde un punto exterior aun plano se trazan 2 rectas

oblicuas de 11m de longitud

cada una de manera que la

distancia entre sus pies es de

20m, si el rea de la figura

proyectada sobre el plano es

de 40m2 hallar la distancia del

punto hacia el plano.

Rpta.-

14)Desde el punto P, situadoa 10m de un plano se trazan

tres lneas oblicuas de 20m

cada una, de tal manera quelos pies de estas lneas son

las vrtices de un tringulo

equiltero, hallar el rea de

ste tringulo equiltero.

Rpta.-

15)Desde un punto exterior aun plano, se trazan dos lneas

rectas cuyas longitudes son10m y 20m, sus pies son losextremos de uno de loscatetos de un tringulorectngulo, hallar la distanciaentre dichos pies.

Rpta.-

16) En la figura que se muestraMN = 10; PM = QN = 10,

hallar el rea del PBQ, BN =

10.

P

Q

M

N

A

B

Rpta.-

17)Desde un punto Qexterior a un plano se trazancuatro rectas de 12m cadauna, de tal manera que suspies son los vrtices de uncuadrado cuyas diagonales

miden 12 3 m. hallar la

Geometra 7


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distancia del punto hacia elplano:

Rpta.-

18)Desde un punto exterior aun plano se trazan 2 rectas deigual longitud si la distanciaentre los pies de ambas rectases igual a la mitad de lalongitud de dichas rectas,hallar la distancia del punto alplano, si la proyeccin deestas dos rectas de untringulo equiltero cuya rea

es 9 3 m.

Rpta.-

19) La distancia de un puntoP al plano H es 20m, desdeeste punto se traza una recta

oblicua de 40m, determinar laproyeccin de esta recta sobreel plano.

Rpta.-

20) La distancia de un puntoQ hacia un plano U es 40,

si desde este punto se trazauna lnea recta oblicua, cuyalongitud es 50m. hallar lamedida de la proyeccin dedicha recta de sobre el plano.

Rpta.-

Geometra 8


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PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Por un punto que dista10m de un plano se traza a l

un segmento OP de 15m.

Calcular la longitud del lugar

geomtrico de los puntos P.

a) m510 b) m512

c) 20m d) m218 e) m215

2) Un punto P se muevepermaneciendo a 7m de los

extremos de AB cuya longitud

es de 10m, calcular el rea de la

figura determinada por el lugar

geomtrico de los puntos p.

a) 20 m2 b) 24 m2 c)

30 m2

d) 22 m2 e) 318 m2

3) Se dan 3 planos paralelos

P, Q y R, si la distancia entre

los planos P y Q es de 10m y

entre Q y R es de 14m,calcular las longitudes en

metros de los segmentos que

determinan sobre una

secante, tal que el segmento

de ella comprendido entre P y

R es de 60m.

a) 20 y40 b) 24 y36 c) 25 y35

d) 28 y32 e) 30 y30

4) Desde un punto exterior aun plano se trazan 3 oblicuas

congruentes de 14m de

longitud, de tal manera quesus pies son los vrtices de un

tringulo equiltero de 27m de

permetro, calcular la distancia

del punto al plano.

a) 15m b) 12m c) 11m

d) 10m e) 13m

5) En un plano H se tieneuna circunferencia de

dimetro AB de longitud

igual a 12m; por el extremo A

se levanta la perpendicular

AP al plano H, sobre la

circunferencia, se ubica un

punto C, tal que PC = AB. SiAC = 8m, hallar PB.

a) m1416 b) m1412

c) m1410 d)

m144

e) m148

Geometra 9


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6) La distancia del punto, P

del espacio, a un plano H es15m y la proyeccin sobre H

de la distancia de P a la

recta L contenida en H mide

8m. La distancia de P a L es:

a) 17m b) 15m c) 18m

d) m215 e) 20m

7) Se da un plano A y unpunto exterior M a l desde

M se trazan las oblicuas MP =

MR = 8m y la perpendicular

MS si m PMS = m

RMS = 30 y m PSR = 36.

Hallar PR.

a) 2m b)

m)252(

c) m)25( d) m5

e) m)25( +

8) El segmento AB estcontenido en un plano y mide

10 3 m. A qu distancia de

ste plano deber trazarse un

plano paralelo por el punto P

de modo que m PAB = 60 ym PBA = 45?

a) m)13(15 b)

m)31(15

c) m)13(5 d)

m)31(5

e) 15 m3

9) Se tiene un segmento

MR tal que MR = 4m,

contenido en un plano P1, S un

punto en otro plano P2, . A

que distancia de P1, debe

trazarse el plano paralelo P2,

para que m SRM = 30 y m

RMS = 45?

a) m)13(2 b) m32

c) m)13(2 + d) 2m

e) 15 m3

10) En 2 rectas que se cruzan,

la mas corta distancia es 4m,

se toma en un mismo sentido

las longitudes OA = AB = 5m

sobre la primera y

OA = OB = 5m sobre la

segunda, Si AA = 5m Calcular

BB.

a) 2m b) 13m

c) m132 d)m)232(

e) m134

11) Si CDyAB son 2

rectas que se cruzan en el

espacio, sobre AB se toman

Geometra 10


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los puntos E, F y G y sobre

CD se toman los puntos P , I

y H de tal manera que EP

es perpendicular a ambas

rectas e igual a 4m. EF = FG

= PI = IH = 20m. Hallar GH

sabiendo que FI = 5m.

a) m52 b) m132

c) m152 d) m172

e) m72

12) Sean 'C'AyAC dosrectas que se cruzan y son

contadas por 3 planos

paralelos en los puntos

respectivos A, B y C y A, B y

C, tales que AB=6m , BC =

12m , BC = 20m y BB =

10M, si la distancia mnima es

'AA , Hallar esta distancia.

a) 8m b) m3 c) 6m

d) 10m e) 20m

13) El tringulo equilteroABC esta en un plano

perpendicular a un cuadrado

ABDE, siendo AB el lado

comn del tringulo y del

cuadrado si M es punto medio

de AC , N punto medio de

BD y el rea del tringulo

BMN es 2m3 , es el lado

del cuadrado mide?

a) m22 b) m102 c)

m10

d) m26 e) m24

14) En un plano H se

encuentra una circunferencia

de 4,5m de radio, la distancia

de P a la circunferencia es15m, hallar la menor distancia

de P a la circunferencia.

a) m103 b) m102

c) m10 d) m26

e) m24

15)Desde un punto P se

traza PA perpendicular al

plano H, luego se hace pasar

por A , una circunferencia

cuyo radio mide 5m, se une P

con C, que es un punto de la

circunferencia. Si AB es un

dimetro, AC = 8m y m BPC es 30, hallar el rea del

tringulo PBC.

a) 2m318 b)

2m312

Geometra 11


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c) 2m336 d)

2

m218

e) 2m212

TEMA: POLIEDROS

EL ESPACIO.- La idea de espacio es abstracta, la vamos a entender como laextensin de cada uno de los puntos inmaginables. Elconjunto de todos los puntos inmaginables, llena el espacioen su totalidad.

EL PLANO.- Nos da la idea de un plano, la superficie de una mesa, lasparedes de una aula, el piso, para determinar un plano slose necesitan tres puntos. Adems se representa mediante uncuadriltero.

B .

C .A .

P l a n o P

POSTULADOS

1) En todo plano hay infinitos puntos y rectas.

Geometra 12


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2) Si dos puntos de una recta estn en un plano todos los puntos dedicha recta estarn tambin en el plano.

B

A

3) Si una recta interfecta a un plano que no la contiene, entonces lainterseccin es un solo punto.

4) Por una recta pasan infinitos planos.

Geometra 13


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P o l i e d r o C o n v e x o P o l i e d r o n o C o

TEOREMA DE EULER

En todo poliedro se cumple que: El nmero de caras mas el nmero devrtices es igual al nmero de aristas mas dos.

Donde: C = Nmero de Caras

V = Nmero de Vrtices

A = Nmero de Aristas

Propiedad:

Si un poliedro est formado por polgonos de diferente nmero de lados, elnmero de aristas se calcula de la siguiente manera:

Donde:

Geometra 15

C + V = A + 2

2

................pnpnp.nA

332211 +++=


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a

a

a

a

a

a

D

h a

a

a

a

a

a


n1 ,n2 , n3,.. es el nmero de lados de cada polgono

p1 ,p2 , p3,.. es el nmero de polgonos que nos dan.

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro es regular, cuando sus caras son polgonos regulares, sloexisten 5 poliedros regulares que son:

1) TETRAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 4 caras iguales, cada

una de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

3aA 2T =

Volumen. (V)

212

aV

2

=

Altura (a)

63

ah=

a : longitud de la arista.h: longitud de la altura.

2) HEXAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene seis caras iguales,

cada una de la caras es un cuadrado.

rea total. (AT)

2T a6A =

Volumen. (V)

Geometra 16


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aa

a

a

a

aa

aa

D


3aV =

Diagonal (D)

3aD=

a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.

3) OCTAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 8 caras iguales, ycada una de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

2T a32A =

Volumen. (V)

23

aV

3

=

Diagonal (D)

2aD=

a : longitud de la arista.D: longitud de la diagonal.

4) DODECAEDRO REGULAR: Es el poliedro que tiene 12 carasiguales y cada una de estas caras es un pentgono regular.

rea total. (AT)

Geometra 17


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5

525a15A 2T

+=

Volumen. (V)

10

52147

2

a5V

2+

=

a : longitud de la arista.

5) ICOSAEDRO REGULAR: Es aquel poliedro que tiene 20 carasiguales, y cada una de las caras es un tringulo equiltero.

rea total. (AT)

3a5A 2T =

Volumen. (V)

2

537

6

a5V

2+

=

a : longitud de la arista.

Geometra 18


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1) Un poliedro est formadopor 4 tringulos y 5cuadrilteros, hallar el nmerode caras (C), vrtices (V) yaristas (A).

Rpta.-

2) Un poliedro esta formadopor 6 tringulos, 4 pentgonosy 7 cuadrilteros convexos.Cuntos vrtices tienendicho poliedro?

Rpta.-

3) Un poliedro convexo, estaformado por 2 tringulos, 3cuadrilteros y x polgonosde 11 lados cada uno. Hallarel valor mnimo de x.

Rpta.-

4) Cuantas diagonales tieneun dodecaedro regular.

Rpta.-

5) Hallar el rea total de unicosaedro regular, cuya arista

mide cm324 .

Rpta.-

6) La diagonal de un cubomide 37 m, hallar el rea

total.

Rpta.-

7) El volumen de un cubo es216m3, calcular la diagonal dedicho cubo.

Rpta.-

8) Calcular la altura de untetraedro regular de 12m dearista.

Rpta.-

9) El volumen de un exaedroregular es igual a su diagonalal cubo dividido entre:

Rpta.-

10) El volumen de un

tetraedro regular de arista aes:

Rpta.-

11)Una de las caras de untetraedro regular tiene un rea

Geometra 19


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de 2m327 , calcular la

altura del tetraedro.

Rpta.-

12) Un poliedro convexo estaformado por 4 tringulos y 5cuadrilteros. Hallar el nmerode diagonales de estepoliedro:

Rpta.-13) Cuantas diagonales tieneun icosaedro regular:

Rpta.-

14) la arista de un cubo mide3cm y la arista de otro cubomide 12 cm. Cul es la razn

de sus reas totales?

Rpta.-

15) Un poliedro posee 100tringulos, 24 pentgonos, 60hexgonos y 30 enegonos.Cuntos vrtices tiene elpoliedro?

Rpta.-

16) Si un slido de forma cbicade un metro de arista, se divide en

cubitos de un milmetro de arista,entonces que altura alcanzaruna columna formada por todoslos cubitos unos encima de otros.

Rpta.-

Geometra 20


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17) Todas las aristas de un

cubo suman 48cm. Calcular la

diagonal de dicho cubo.

Rpta.-

18) Hallar el rea de la

superficie de un tetraedro

regular de 4 cm. de arista.

Rpta.-

19) La altura de una de las

caras de un tetraedro regular

mide 32 encontrar el rea

total.

Rpta.-

20) En un cubo de 6m de

arista, encontrar la distancia

de uno de sus vrtices al

centro de una de sus caras

opuestas.

Rpta.-

Geometra 21


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1) Encontrar el nmero dearistas de un poliedro que estaformado por 8 tringulos, 5cuadrilteros y 6 pentgonos.

a) 17 b) 27c) 37 d) 47e) 57

2) Hallar el volumen de untetraedro regular, si su alturamide 62

a) 218 b) 212

c) 29 d) 224

e) 215

3) Encontrar el rea total deun octaedro regular si la altura

de una de sus caras mide 4.

a)3

3100b)

3

3130

c)3

3120d)

3

3125

e) 3

3128

4) Encontrar el rea total deun cubo si la diagonal de una

de sus caras mide 2

a) 5 b) 4

c) 6 d) 8

e) 12

5) Encontrar el nmero de

aristas de un poliedro que se

encuentra limitado por 5

tringulos, 6 cuadrilteros y 7

pentgonos.

a) 41 b) 38

c) 48 d) 37

e) 35

6) En un cubo de 4cm de

arista, encontrar el rea de la

regin triangular que se forma

al unir tres vrtices del cubo.

a) 2cm28 b)

2cm38

c) 2cm34 d)

2cm216

e) 2cm316

7) Hallar el volumen de untetraedro regular si el rea dela regin de una de sus caras

es 34

a) 216 b)2

215

c)3

216d) 3

5

16

Geometra 22


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e) 33

16

8) Cuando se unen los centrosde las caras de un cubo, seforma:

Un tetraedro regular Un icosaedro regular Un octaedro regular Un dodecaedro regular Otro cubo

9) En un poliedro, la suma delnmero de caras vrtices yaristas es 32. Calcule el nmerode aristas de dicho poliedro.

a) 12 b) 13c) 14 d) 15e) 16

10)Hallar el rea de la reginpoligonal obtenida al unir lospuntos medios de las aristasdel cubo tal como se muestraen la figura, el volumen delcubo es 64m3

a) 2m36 b) 2m312

c) 2m324 d)2m318

e) 2m1211) Si la arista de un octaedroes el triple de la arista de unicosaedro, la relacin en quese encuentran sus reastotales es:

a) 18/5 b) 12/5c) 16/5 d) 13/5

e) 9/512) El rea de un tetraedro es

336 , hallar la altura de una

de sus caras.

a) 23 b) 33

c) 3 d) 2

e) 3

13) Hallar el rea total de untetraedro regular. Si la sumade las longitudes de susaristas es 36.

a) 236 b) 336

c) 36 d) 318

e) 18

14) Se tiene un icosaedro

regular cuya arista es el doblede la arista de un tetraedroregular, hallar la relacin delas reas de dichos poliedros.

a) 10 b) 15c) 20 d) 30e) 1/10

Geometra 23


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15) Si la diagonal de un cuboes D , hallar su volumen.

a)9

3D2b)

9

3D3

c)27

3D3d)

12

3D3

e)6

3D3

Geometra 24


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B a s e s u p e r i o r

a l t u r a

s e c c i nr e c t a ( S R )

P l a n ol a b a s

B a s e i n f e r i o r A r i s t a b s i c a

A r i s t a l a t e r a l ( a )C a r a l a t e r a l

B


TEMA: PRISMA

Es el slido que se encuentra limitado por dos polgonos planos congruentes

y paralelos entre s, llamados bases y por 3 o ms paralelogramos, llamados,

caras laterales.

Clasificacin.

1) Prisma Oblicuo

Cuando las aristas laterales no son perpendiculares a las bases

Frmulas:

rea Lateral

a.PA SRL =

PSR: Permetro de la SR

rea Total (AT)

B2AA LT +=

Volumen (V)

a.AV SR=

Tambin

hxBV=

Geometra 25


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2) Prisma Recto

Cuando las aristas laterales son perpendiculares al plano que contiene ala base, en este caso la arista lateral y la altura coinciden, se utilizan lasmismas formulas anteriores.

B

h

Geometra 26


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Rpta.-

8) La base de un prisma

triangular es un tringulo

equiltero de 2m de lado. la

altura del prisma es 10 m.

calcular el volumen del

prisma.

Rpta.-

9) Calcular el volumen de unprisma hexagonal regular cuya

base tiene un permetro de 24

m y su altura es 12 m.

Rpta.-

10) La base de un prisma

recto es un cuadrado de 4 cm.

de lado, la altura mide 6 cm.

el rea lateral del prisma es:

Rpta.-

11) En un paraleleppedo

rectangular, la base es un

cuadrado de 2 m de lado y la

altura mide 1m. Cunto mide

la diagonal?

Rpta.-

12)Calcular el rea total de

un prisma triangular de 2,5 m

de altura, si la base es un

tringulo cuyos catetos miden

3 y 4m.

Rpta.-

13) La arista bsica de un

prisma cuadrangular regular

mide 12 m y su altura mide

igual al semipermetro de la

base. Calcular el rea lateral

del prisma.

Rpta.-

14)Calcular el volumen de unprisma recto de altura igual a

12 m si su base es un

tringulo rectngulo cuyos

catetos miden 8 y 6.

Rpta.-

15)Calcular el rea total de

un prisma cuadrangular

regular de 30m de altura, si la

diagonal de la base mide

m210 .

Rpta.-

16) El permetro y el rea de

una de las caras de unparaleleppedo rectangular

miden respectivamente 34 m y

60m2. Calcular el volumen del

slido, si la suma de sus

diagonales es 340m.

Rpta.-

Geometra 28


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17)Un lingote de oro que

contiene 0,45 m3 del precioso

metal, se lamina

convirtindolo en una plancha

de 3 cm. de espesor y 2,8 m

de ancho Cul ser la

longitud de la plancha

resultante?

Rpta.-

18)Calcular el volumen de un

prisma oblicuo triangular cuya

seccin recta es un polgono

circunscrito a un crculo de

radio 10 cm y el rea lateral

del prisma mide 22 cm2.

Rpta.-

19) La base de un tronco de

prisma recto es un cuadrado

cuyo lado es 10 m y la otra

base es un paralelogramo.

Cul es el volumen del

tronco si sus aristas son 4 , 6 y

10m ?

Rpta.-

20) La altura de un prismarecto mide 6m; su base es un

rectngulo, en el que cada

uno de sus lados es el doble

del contiguo, el rea total es

144m2 Cual es la longitud de

una de las diagonales del

prisma.

Rpta.-

Geometra 29


30/87



1) Encontrar el rea lateralde un prisma triangularregular, su arista lateral mide4 y su arista bsica mide 2.

a) 12 b) 10 c) 18d) 24 e) 30

2) La base de paraleleppedorecto es un cuadrado de 2mde lado, su altura es igual alpermetro de la base. Hallar suvolumen.

a) 16cm3 b) 9cm3 c) 30cm3

d) 32cm3 e) 18cm3

3) Encontrar el volumen de

un prisma hexagonal regular,su altura es igual al radio Rde la circunferenciacircunscrita a la base.

a) 2R2

3b) 3R

2

33

c) 3R3 d) 3R3

32

e) 3R3

34

4) El volumen deparaleleppedo rectangular es128, el mayor lado de la basees igual al doble del otro lado,adems la altura es igual al

menor lado de la base. Hallarel rea total delparaleleppedo.

a) 128 b) 180 c) 140d) 150 e) 160

5) El volumen de un prisma

triangular regular es 390 ,su altura mide 10. Encontrar ellado de su base.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 2

6) La altura de un prismatriangular regular mide 33 ,

el desarrollo de su superficielateral es un rectngulo cuyadiagonal mide 6, hallar suvolumen.

a)2

81b)

4

81c)

3

81

d)581 e)

681

7) Encontrar el volumen deun paraleleppedo rectangular,las diagonales de sus caras

miden 74y58,34 .

Geometra 30


31/87


a) 75 b) 85 c) 95d) 100 e)105

8) El rea lateral de unprisma hexagonal regular es864, sus caras laterales soncuadrados. Hallar el volumendel prisma.

a) 2592 b) 2590

c) 3024 d) 32592

e) 32488

9) Las aristas laterales de unprisma oblicuo miden 20 y conel plano de la base forman unngulo que mide 60, Cuantomide la altura del prisma.

a) 210 b) 310 c) 5

d) 10 e)15

10) Las caras laterales de unprisma regular son cuadrados,si su rea lateral es 108.Encontrar el volumen delprisma.

a) 318 b) 332 c)

336

d) 354 e) 312

11) Una de las caras lateralesde un prisma triangular tienepor rea igual a 24, ladistancia de esta cara a laarista lateral opuesta es 6hallar el volumen del prisma.

a) 60 b) 74 c) 72d) 64 e) 80

12) Los lados de la base deun paraleleppedo rectangularmiden 3 y 4, su diagonal mide13. Hallar el volumen delparaleleppedo.

a) 140 b) 124 c) 145d) 136 e) 144

13)Calcular el volumen de un

prisma recto triangular dearistas bsicas 4 ; 6 y 8 yaltura 15

a) 35 b) 45 c) 55d) 65 e) 75

14)Hallar el volumen de unprisma recto de 5m de altura,cuya base es un tringulo

equiltero , sabiendo que ladistancia del punto medio deuna arista lateral a la diagonalde la cara lateral opuesta mide

m34

a) 40m3 b) 30m3 c) 60m3

d) 3m380 e) 18m3

15) Calcular x si 38V =

x

a) 1 b) 2 c) 3

Geometra 31


32/87


d) 4 e) 5

TEMA: PIRMIDE

Se llama pirmide al slido que se encuentra limitada por un polgono planollamado base y por tres o ms tringulos que tienen un vrtice comnllamadas caras laterales, se llama altura de la pirmide a la perpendicular quese traza por un vrtice al plano de la base.

Frmulas

AL = de las reas de todas las caras laterales.

BAA LT +=

2

a.PA PBL =

hxB3

1V =

Geometra 32

A l t u r a d e l ap i r m i d e

C a r a l a t e r a l

B a s e

A p o t e m a d

A p o t e m a d e l a b a s

B


33/87



1) Una pirmide

cuadrangular el lado de la

base mide 14m y la altura

mide 24m, calcular el rea

lateral.

Rpta.-

2) La apotema y la altura de

una pirmide miden 13 y 11

metros respectivamente,

calcular el rea lateral de la

pirmide.

Rpta.-

3) Calcular el volumen de lapirmide Q ABC sabiendo

que:

mQCA = mQCB = m

ACB = 90 , adems AQ =

15m, AB = m'106 QB =

13m

1 5

A

D

C

1 3

B

1 0 6

Rpta.-

4) Calcular el rea lateral y

total de una pirmide triangular

regular, cuya arista de la base

mide 6m, sabiendo que la

apotema de la pirmide mide

m35

Rpta.-

5) La apotema de una

pirmide regular hexagonal

excede a la altura en 1cm. Si

la arista bsica mide 6 cm.

Cunto mide la apotema?

Rpta.-

6) La base de una pirmide

regular es un cuadrado de 4m

de lado, si la altura mide igual

que la diagonal de la base,

hallar el rea lateral de la

pirmide.

Rpta.-

7) Calcular el volumen de

una pirmide octogonal

regular, cuya arista de la base

Geometra 33


34/87


mide m)12( y su altura

6m.

Rpta.-

8) Calcular el volumen de

una pirmide cuadrangular

regular cuya arista bsica

mide 6cm, siendo su rea

lateral el quntuplo del rea de

la base:

Rpta.-

9) La base de una pirmide es

un trapecio issceles de bases

4 y 10 metros, respectivamente,

siendo las medidas de cada

lado no paralelo, 5m. Calcular el

volumen de dicha pirmidesabiendo que su altura mide

igual que el semipermetro de la

base.

Rpta.-

10)Calcular la apotema de

una pirmide pentagonal

regular cuya rea lateral es

315 cm2 y la arista bsica

mide 6cm.

Rpta.-

11) El rea total de una

pirmide cuadrangular regular

es los 3/2 de su rea lateral.

Calcular el volumen de la

pirmide. Si la arista bsica

mide 2m.

Rpta.-

12) Una pirmide regular tiene

por base un cuadrado de lado

6m, y la altura es igual a ladiagonal del cuadrado.


pirmide.

Rpta.-

13) En un tronco de pirmide

el rea de la base mayor es

cuatro veces el rea de la

base menor 6, hallar el

volumen del tronco si la altura

es 3/7.

Rpta.-

14) La base de una pirmide

regular es un tringuloequiltero de lado igual a 2m,

sus caras laterales son

tringulos rectngulos, hallar

el rea total de la pirmide.

Rpta.-

Geometra 34


35/87


15) En una pirmide regular

de base cuadrangular de 40m

de lado, Cul es el rea de la

proyeccin de una de las

caras laterales sobre su base?

Rpta.-

16) La base de una pirmidees un tringulo rectngulo

cuyos catetos miden 6 y 8metros; las aristas laterales,

13m cada uno. Hallar el

volumen.

Rpta.-

17) El rea lateral de unapirmide regular hexagonal esde 48m2, calcular el lado de la

base si la apotema de la

pirmide tiene una medida

igual a 4 veces la medida del

radio no de crculo que

circunscribe a la base:

Rpta.-

18) Calcular a qu distancia

del vrtice de una pirmide

triangular, cuya altura es 2m,

se debe trazar un plano

paralelo a la base, para que

las dos partes resultantes

estn en la razn 3/5.

Rpta.-

Geometra 35


36/87


19) El rea lateral de unapirmide regular cuadrangular

de 4m de altura es 60m2

.Calcular el rea de la seccin

diagonal.

Rpta.-

20) La altura de una pirmide

regular mide 10m y la base esun cuadrado de 8m de lado.

Calcular la medida de la arista

y apotema de la pirmide.

Rpta.-

Geometra 36


37/87



1) La arista bsica de una


mide 2, las caras laterales son

tringulos equilteros. Hallar

el volumen de la pirmide.

a)3

32b)

2

23c)

3

24

d)3

3e)

3

34

2) Encontrar el volumen de una

pirmide hexagonal regular,

sus aristas laterales miden 6 yforman con el plano de la base

ngulos que miden 30.

a) 35,1 b) 40,1 c) 55,1

d) 70,1 e) 75,1

3) Encontrar el volumen del slido

mostrado, ABCD es un

cuadrado, AD = 4, AE +CF = 21.

B

A

C

D

4

E

F

4

a) 52 b) 56 c) 60

d) 58 e) 54

4) Una pirmide tiene 242 aristas

Cuntos vrtices y caras

tiene?

a) 120;120 b) 124;121c) 122;122 d) 118;126

e) 126;118

5) Encontrar el rea total de unapirmide cuadrangular regular,

la altura mide 3 y el rea

de una de las caras laterales

es igual al rea de la base.

a) 8 b) 6 c) 9

d) 4 e) 5

6) Las caras laterales de una


tienen una inclinacin de 45

Geometra 37


38/87


con respecto al plano de su

base, la base se encuentra

inscrito en una circunferenciade radio R encontrar el

volumen de la pirmide.

a) 3R2

2b)

3

R3

c)3R

3

2d) 3R

3

2

e) 3R3

3

7) Hallar el volumen del tetraedro

de la figura, las reas de las

regiones triangulares DAB ,

DAC y ABC son 3 ; 6 y 8

adems.

a) 34 b) 22

c) 12 d) 24

e) 23

Geometra 38


39/87


8) El volumen de una pirmide

es 36, su vrtice es O y su

base es el tringulo ABC,

sobre la arista OA se toma

su punto medio M. Hallar el

volumen de la pirmide de

vrtice M y base el tringulo

ABC.

a) 9 b) 27

c) 18 d) 12

e) 20

9) Una pirmide cuyo volumen

es 48, es dividida en dos

partes por un plano paralelo a

su base y que pasa por el

punto medio de la altura.

Hallar el volumen de la parte

mayor.

a) 32 b) 34

c) 40 d) 36

e) 42

10) El slido de la figura esta

formado por un rectoedro y

una pirmide. Hallar el

volumen del slido.

a

2

a

a

a)3

a5 3b)

3

a7 3c)

2

a5 3

d) 3a4 e) 3a6

11) Hallar el volumen de una

pirmide regular hexagonal

sabiendo que el rea lateral es

el doble del rea de la base y

la altura mide 3m.

a) 3m18 b) 3m36 c)

3m9

d) 3m12 e)3m312

Geometra 39


40/87


12) Una pirmide regular tiene por

base un cuadrado de 12m de

lado. y la altura es igual a ladiagonal del cuadrado.


pirmide.

a) 3m2576 b)

3m3676 c) 2m3480

d) 3m3240

e) 3m3120

13) Si una pirmide tiene 140

aristas, calcular su nmero de

caras.

a) 140 b) 70 c) 80

d) 71 e) 69

14) Encontrar la apotema de una

pirmide pentagonal regular,

su arista bsica mide 6 y su

rea lateral 315.

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

15) La base de una pirmide esun rectngulo de lados a 12 y

8 su altura mide 10 y cae en el

centrote la base. Encontrar la

arista lateral.

a) 3,08 b) 6,16 c) 9,24

d) 1,54 e) 13,32

Geometra 40


41/87

h g

r

222 rhg +=

TEMA: CONO

Se llama como de revolucin al slido engendrado por un tringulorectngulo, cuando gira una vuelta completa alrededor de cada uno de loscatetos.

g: generatrizh: alturat: radio de la base

rea Lateral. (AL)

g.rAL =

rea total. (AT)

)rg.(rAT +=

Volumen. (V)

h.r.3

V 2

=

Desarrollo de la superficie lateral y total

hg

r

g

r

0 = 3 6rg


42/87


1) El radio de la base de un

cono mide 6 cm. Calcular el

rea lateral del cono, si la

generatriz forma 30 con la

altura.

Rpta.-

2) La generatriz de un conomide 13 cm. y el radio de la

base mide 5 cm. El volumen y

el rea total del cono son

respectivamente

Rpta.-

3) El volumen de un cono de

revolucin es 10m3 y ladistancia del centro de su

base a su generatriz es de 3m.

Hallar el rea lateral del cono.

Rpta.-

4) En un tringulo ABC, recto enB, la altura relativa a la

hipotenusa determina sobre

esta 2 segmentos que miden

8 cm. y 2 cm.

respectivamente. Calcular el

volumen del slido que se

genera cuando el tringulo

ABC gira 360 alrededor de

una recta que contiene a la

hipotenusa.

Rpta.-

5) La altura y la generatriz de

un cono miden 15 y 17 metros

respectivamente. El rea

lateral del cono es:

Rpta.-

6) En un cono, la generatriz yla altura forman un ngulo de

30 El rea lateral es 20m2, el

rea total del cono es:

Rpta.-

7) El rea total de un cono es

16 m2.El radio de la base y

la altura estn en la relacin

de 3 a 4. Calcular la altura.

Rpta.-

8) El dimetro de la base de

un cono circular recto mide

14m. Calcular el volumen de

dicho slido, si su generatriz

mide 25m.

Rpta.-


43/87

9) El volumen del slido

generando por la rotacin

sobre la hipotenusa AB de laregin triangular de la figura.

A B

C

4 c m . 9 c m .

Rpta.-

10) Calcular el volumen de un

cono cuya base tiene 10 cm.

de circunferencia y cuya altura

mide 6 cm.

Rpta.-

11) el dimetro de la base de

un cono mide 30 cm., si la

generatriz mide 25 cm.

Cunto mide la altura del

cono?

Rpta.-

12) La generatriz de un cono

mide 25 cm. y la altura mide 1

cm. menos que la generatriz,

calcular el rea lateral del

cono.

Rpta.-13) El radio de la base de un

cono es 15 cm. y la distanciadel centro de la base a la

generatriz es de 12 cm. Hallar

el rea lateral del cono.

Rpta.:

14)Calcular la altura de uncono sabiendo que el rea

lateral es 2m516 , s i e l

radio de la base es 4m.

Rpta.-

15) La generatriz y la altura deun cono forman un ngulo de

16. Si el dimetro de la base

del cono es 7 cm., calcular elrea total del cono ( = 22/7).

Rpta.-

16) Sobre la superficie lateral

de un cono de revolucin se

toma un punto distante 6 , 16 y

10 cm. de la altura, la base y

el vrtice, respectivamente.

Hallar el rea total del cono.

Rpta.-

17) Al girar una vuelta

completa alrededor de la recta


44/87

L la regin sombreada de la

figura se genera un slido

cuyo volumen es:

5 u3 u

1 u

L

Rpta.-

18) Calcular el volumen del

cono de revolucin.

3 7 1 0

Rpta.-

19) Calcular el rea de la

superficie lateral.

1 5

4

1 0

Rpta.-

20) Si el volumen de un cono

de revolucin equiltero es K,

hallar la generatriz.

Rpta.-


45/87


1) Encontrar el volumen deun cono de revolucin, sugeneratriz mide 6 y forma unngulo que mide 60 con elplano de su base.

a) 39 b) 36

c) 33 d) 32

e) 312

2) El radio de la base y la

altura de un cono de

revolucin miden 2 y 4. Hallar

la distancia del centro de la

base a una de las

generatrices.

a)5

34 b)5

24

c)5

64d)

5

54

e)5

74

3) La hipotenusa de untringulo issceles mide

26 . Encontrar el rea total

del cono que se engendra

cuando el tringulo rectngulo

gira una vuelta completa

alrededor de uno de los

catetos ( 5,12Asumir = ).

a) 90 b) 85 c) 84

d) 95 e) 96

4) La altura BH de untringulo ABC mide 3 y su lado

AC mide 8. Hallar el volumen

del olido engendrado por dicho

tringulo cuando gira una vuelta

completa alrededor del lado AC.

a) 26 b) 18 c) 24

d) 36 e) 32

5) Un cono y un cilindro de

revolucin tienen sus bases y

sus alturas congruentes Hallar

la relacin de sus volmenes.

a) 1 b) c) 1/3

d) e) 1/9

6) Con un sector circular cuyo

radio mide 6 y con un ngulo

central que mide 120 se

construye un cono de

revolucin. Encontrar el volumendel cono

a) 218 b) 316

c) 23

13d) 2

3

14

e)3

216


46/87

7) La altura de un cono de

revolucin mide 3, su

generatriz y el radio de subase suman 9. Hallar el rea

lateral.

a) 15 b) 20 c) 18

d) 12 e) 21

8) El rea lateral de un cono

de revolucin es el doble del

rea de su base. Encontrar la

medida del ngulo que forma

su generatriz con su altura.

a) 15 b) 37 c) 45

d) 30 e) 60

9) La generatriz de un cono

circular recto es el doble deldimetro de su base, su rea

total es 45 . Encontrar su

generatriz.

a) 4 b) 10 c) 12

d) 6 e) 8

10) La altura de un cono mide

5, si el radio de la baseaumenta en 3 mientras que la

altura permanece constante,

el volumen aumenta en 55 .

Hallar la generatriz del cono

original.

a) 40 b) 42 c)

45

d) 41 e) 39

11) Encontrar la altura de uncono de revolucin sabiendo

que su rea lateral es

516 y el radio de la base

mide 4.

a) 5 b) 3 c) 10

d) 8 e) 9

12) El rea total de un conode revolucin es

+ )15(13 , el radio de la

base y la altura se encuentran

en la relacin de 1 a 2. Hallarla altura del cono.

a) 142 b) 133 c)

132

d) 135 e) 1,5

13)Un cono de revolucin seconstruye de papel , cortandoun sector circular de radio 3

cm. y 120, de ngulo central,

adems cortando un crculo.

Encontrar el rea total del

cono.


47/87

a) b) 2 c) 4

d) 3 e) 8

14) En un tetraedro regular seencuentra inscrito en un cono

de revolucin, la base del

cono se encuentra inscrito en

la base del tetraedro, el vrtice

del cono coincide con un

vrtice del tetraedro. Si el

volumen del tetraedro es2144 , encontrar el

volumen del cono.

a) 316 b) 616

c) 216 d) 64

e) 612

15) Un barquillo tiene la forma

de un cono de 12 cm. de

altura y de 6 cm. del radio dela base. Se llena el barquillo

de helado, hallar el volumen

de helado.

a) 2cm144 b)

2cm72

c) 2cm36 d)

2cm288

e) 2cm100


48/87

TEMA: CILINDRO

Se denomina cilindro de revolucin al

slido engendrado por un rectngulo

cuando gira una vuelta completa

alrededor de uno de sus lados, el

cilindro es equiltero cuando su altura

es igual al dimetro de su base.

Frmulas:

rea Lateral (AL)

h.r.2AL =

rea Total (AT)

)rh(r2AT +=

Volumen (V)

h.rV 2=

B

h

r

r

E j e d e G i r o

B a s es u p e r i o r

G e n e r a t r i z

B a s ei n f e r i o r


49/87


1) La circunferencia de la

base de un cilindro mide 8

m y la generatriz es igual al

dimetro de la base. Calcular

el rea lateral del cilindro.

Rpta.-

2) El rea lateral de un

cilindro es A y su volumen es

V, calcular el radio de su

base.

Rpta.-

3) El rea lateral de un

cilindro es 20 m2 y el rea

total es 28 m2. El volumen

del cilindro es:

Rpta.-

4) Un cilindro est lleno de

agua hasta la mitad. Se suelta

un cuerpo metlico y el nivel

del agua sube 3,5 cm. Si el

dimetro del cilindro es 8 cm.

Cul es el volumen del

cuerpo?

Rpta.-5) La generatriz de un

cilindro mide 6m y el radio de

la base mide 5m, el rea total

del cilindro es:

Rpta.-

6) El rea lateral de uncilindro es 6 m2, el volumen

es 3 m2. Calcular el rea

total.

Rpta.-

7) El rea lateral de uncilindro es 18m2 y su volumen

es 9m

3

. Hallar el dimetro desu base.

Rpta.-


cilindro de revolucin cuya altura

mide 8 y el desarrollo de su

superficie lateral es un rectngulo

cuya diagonal mide 10.

Rpta.-

9) Un vaso cilndrico de 20

cm. de dimetro y 40 cm. de

altura est lleno de agua. Si

se vierte esta agua en otro

vaso de 40 cm. de dimetro,


50/87

determinar la altura que

alcanzar el agua

Rpta.-

10)Un deposito de formacilndrica se desea cambiar

por otro de la misma forma,

pero aumentando en un 50%

la longitud de la circunferencia

de la base. En que

porcentaje se incrementar elvolumen del nuevo cilindro,

respecto al primero. ?

Rpta.-

11) Calcular la suma de

volmenes de los cilindros

generados por un rectngulo

de lados 2m y 3m, cuando

giran 360 alrededor de cada

uno de sus lados.

Rpta.-

12)Calcular x , Si V = 40

X

1

Rpta.-


51/87

13) En el grfico, calcular X

X 3

4

Rpta.-

14) En un cilindro de revolucin

la longitud de la circunferencia

de su base aumenta en un 20%

En cuanto se incrementa el

volumen del cilindro?

Rpta.-

15) El rea total de un cilindro

circular recto es igual al rea

total de un cubo de 20 cm. de

arista, calcular la altura del

cilindro.

Rpta.-

16) Cuntos metros

cuadrados de hojalata se

necesitarn para fabricar 500

tarros de leche, de 8 cm. de

dimetro y 12 cm. de altura?

Rpta.-

17) El nmero de tuboscirculares con dimetro interior

de una pulgada, que

transporta el mismo caudal de

agua que un tubo de seis

pulgadas de dimetro interior

es )hh( 21 = .

Rpta.-

18) Una poblacin tiene 5000

habitantes que consumen en

promedio por persona 12 litros

de agua diariamente.

Determinar el dimetro de un

pozo cilndrico que abastezca

a la poblacin y que adems

tenga una capacidad para una

reserva de 25% del consumodiario, y tal que la altura sea 4

veces el dimetro.

Rpta.-


52/87

19) Cuntos metros cbicos

de tierra ser necesario

extraer para construir un tnelde 120m de largo, si su

seccin recta es un

semicrculo de 12m de

dimetro?

Rpta.-

20) Qu relacin existe entre

las reas laterales de un

prisma recto de basetriangular equiltera y el

cilindro inscrito en este

prisma?

Rpta.-


53/87


1) El radio de la base de un

cilindro de revolucin mide 8,

su rea lateral es igual al rea

de su base. Hallar la altura del

cilindro.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 12 e) 16

2) Un cilindro de revolucin

es generado por un rectngulo

cuya rea de su regin es 10,

hallar el rea lateral del

cilindro.

a) 20 b) 10 c) 10

d) 20 e) 15

3) El rea total de un cilindro

de revolucin es igual al rea

total de un cubo, el radio de la

base del cilindro mide 2 cm. y

la arista del cubo mide 4 cm.

Hallar la altura del cilindro.

a) cm18

b)

cm448

c)

cm248

d)

cm124

e) cm224

4) Cunto pagar Oscarpara que le caven un pozo

cilndrico de 12m de

profundidad, 5m de dimetro

es su chacra de Huaral , si le

cobran s/. 0.40 por m3

( = 3,14) ?

a) s/.94.20 b) s/.94.50

c) s/.90.50 d) s/.92.50

e) s/.93.50

5) El permetro de la base de

un cilindro de revolucin es A

y el rea de la regin del

rectngulo generador es B.

Hallar su volumen.

a)2

B.Ab)

3

B.Ac)

B.A

d)4

B.Ae)

5

B.A


54/87

6) Encontrar el volumen deun cilindro de revolucin

circunscrito a un cubo de 8

cm3 de volumen.

a) 3cm2 b) 3cm6

c) 3cm8 d) 3cm10

e) 3cm4


cilindro equiltero, su reatotal es 12 .

a) 24 b) 22

c) 25 d) 35

e) 34

8) Un cilindro de revolucin

de 8 cm de radio de la base,

contiene agua hasta su mitad,

se introduce un cuerpo

metlico de forma cbica y el

nivel del agua sube 8 cm.

Hallar la arista del cuerpo

metlico.

a)

3

8

b)

3

7

c) 39 d) 312

e) 36

9) Determinar el volumen del

cilindro de la figura, Si OA = 6.

6 0

A


55/87

a) 327 b) 27

c) 39 d) 312

e) 35

10) Hallar el rea total de un

cilindro de revolucin, su

altura es igual al lado a del

hexgono regular inscrito en la

base del cilindro.

a) 2a3 b) 2a4

c) 2a d) 2a2

e) 2a3

11) La altura de un cilindro de

revolucin mide 12, el radio de

su base es 1/3 de su altura,

hallar el rea total del cilindro.

a) 124 b) 120 c)

126

d) 128 e) 130

12)Un tarro de leche cilndricose encuentra sobre el piso de

un cuarto, su proyeccin sobre

el techo tiene una rea 9 y

su proyeccin sobre una de

las paredes tiene un rea de

24 Hallar el volumen del tarro.

a) 35 b) 36 c) 34

d) 28 e) 38

13)Calcular el volumen de uncilindro de revolucin, su

altura es igual al dimetro de

su base, su rea total es 12 .

a) 24 b) 22

c) 25 d) 35

e) 34

14) En un prisma recto de

base cuadrada se encuentrainscrito un cilindro. Calcular el

volumen del cilindro, si el

volumen del prisma es de

12m3

a) 3m4 b) 3m6

c) 3m12 d) 3m

e) 3m3


56/87

15) Si el rea lateral yvolumen de un crculo recto

son entre si como 22 es a

32 Cunto mide el radio de

su base?

a) 3 b) 1 c) 2

d) 2,5 e) 1,6


57/87

R

R

R

TEMA: ESFERA

Se llama esfera al slido engendrado por un semicrculo cuando gira una

vuelta completa alrededor de su dimetro.

rea

2R4A =

Volumen

3R.3

4V =


58/87


1) El radio de una esferamide 3 A que distancia delcentro debe trazarse un planopara que el rea de la seccindel crculo que se determinasea igual a 1/3 del rea deuno de los crculos mximos?

Rpta.

2) Encontrar el rea total deuna semi esfera de radio R.

Rpta.

3) Los radios de 2 esferasmiden 2 y 4 En que relacinse encuentran susvolmenes?

Rpta.

4) Encontrar el volumen deuna esfera si su rea es 36 .

Rpta.

5) El radio de una esfera mide6, calcular el rea de la seccin

que se determina sobre un planoperpendicular a un radio y quepasa por la mitad de dicho radio.

Rpta.

6) Encontrar el volumen de laesfera circunscrita a un cubo

cuya arista mide 32 .

Rpta.7) Una esfera se encuentrainscrita en un cilindro derevolucin, si el rea de laesfera ms el rea total delcilindro es 31,4 hallar el reade la esfera.

Rpta.

8) Dos esferas slidas deplomo de radios r y 2r se fundenpara construir un cilindro derevolucin de altura igual a 3r,hallar el radio de la base delcilindro.

Rpta.

9) El rea total de un conoequiltero es 81. Hallar el reade la esfera inscrita.

Rpta.

10) El rea de la superficielateral de una semi esfera esA1 y el rea de la base es A2 ,Hallar A1/ A2

Rpta.11) Dos esferas cuyos radiosmiden 4 y 6 son tangentesexteriores y se encuentranapoyadas sobre una mesa.Hallar la distancia entre lospuntos de apoyo.


59/87

Rpta.

12) La diagonal de una de lascaras de un cubo mide 8.Hallar el rea de la esferainscrita en el cubo.

Rpta.

13) Hallar el radio de la esferainscrita en un tetraedro dearista 12.

Rpta.14) Tres esferas de radios 4 ; 9 y

16, se encuentran sobre unamesa, tangentes exterioresdos a dos. Hallar el permetrodel tringulo que se forma alunir los puntos de tangenciade las esferas con la mesa.

Rpta.

15)Calcular el rea de una esfera,si dos crculos menoressituados a un mismo lado delcentro de la esfera tienen porreas 25 y 36 . Ladistancia entre los centros delos dos crculos es 1.

Rpta.

16) En la figura, calcular x

X

4

X

Rpta.

17) A que distancia del

centro de una esfera de 15

cm. de radio deber pasar unplano para el crculo seccin

tenga 12 cm. de radio.

Rpta.

18) El rea de un crculomenor de una esfera es 706,5

cm2, calcular el radio de laesfera, sabiendo que su centro

esta a 8 cm. de dicho crculo

menor (Usar = 3,14)?

Rpta.

19) La longitud de una

circunferencia mxima de unaesfera mide 62,8 m. Calcular

el rea de la superficie

esfrica.

Rpta.

20) Dos esferas de metal deradios 2a y 3a. Se funden

juntas para hacer una esfera

mayor. Calcular el radio de la

nueva esfera.

Rpta.


60/87


1) El dimetro de un balnde ftbol es de 30 cm.Calcular su volumen;

a) 3cm1500 b)

3cm2500

c) 3cm4500 d)

3

cm5500

e) 3cm3500

2) La altura y el dimetro deun cono de revolucin soniguales al radio de una esferade 4 cm3 de volumen. Calcularel volumen del cono.

a) 3cm1 b)3cm25,0

c) 3cm5,1 d) 3cm2

e) 3cm4

3) En una esfera el rea delcrculo mximo es S Hallar el

rea de la esfera.

a) 2S b) 3S c) 4Sd) 5S e) 6S

4) El volumen de una esferaes numricamente igual surea. Calcular su radio.

a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) 27

5) La arista de un cubo es de6m. Calcular el volumen de laesfera inscrita en el cubo.

a) 3m9 b) 3m24 c)

3m81

d) 3m72 e) 3m36

6) La arista de un cubo es de2m. Calcular el rea de laesfera circunscrita al cubo.

a) 2m12 b) 2m13 c)

2m14

d) 2m15 e) 2m16

7) El rea de una esfera es144 cm2, El volumen es:

a) 3cm144 b)

3cm288

c) 3cm72 d) 3cm36

e) 3cm24

8) El volumen de un cilindroes 30m3, El volumen de la


61/87

esfera inscrita en el cilindroes:

a) 3m10 b) 3m20

c) 3m40 d) 3m50

e) 3m15

9) En que relacin seencuentran los volmenes dedos esferas si el radio de unade ellas es el triple de la otra.

a) 1/3 b) 1/9 c) 1/27d) 1/54 e) 1/8

10) El rea de la superficie deuna esfera es igual a 36 .Calcular su volumen:

a) 18 b) a c) 36

d) 72 e)

11)Un cono y una esferatienen igual radio. La altura delcono es igual al dimetro dela esfera, si el volumen delcono es 100m3, el volumen dela esfera ser:

a) 3m100 b)3m200

c) 3m100 d)3m200

e) 3m50

12)Uno de los crculosmximos de una esfera tiene

un rea de 100 .cm2,el reade la superficie esfrica es:

a) 2cm200 b)

2cm200

c) 2cm400 d)

2cm400

e) 2cm300

13) El dimetro de una esfera

mide 20 cm.. Calcular suvolumen ( /3 = 1,047).

a) 3cm1047 b)

3cm2094

c) 3cm3141 d)

3cm4188

e) 3cm5235

14) Calcular el volumen deuna esfera circunscrita a untronco de cono de 6 cm degeneratriz y de radios de 3 cmy 6 cm. respectivamente.


62/87

a) 3cm288 b)

3cm280

c) 3cm3288 d)

3cm290

e) 3cm300

15) C es un cilindrocircunscrito a una esfera S Si

el volumen de C es 16cm3, entonces el volumen S

(en cm3 ) es:

a)3

32b) 10

c)3

16d) 16

e)5

32


63/87

MISCEL NEA

1) En una recta se ubican los

puntos consecutivos A , B , C

y D, tal que: AC = 9, BD = 8 y

AD = 12. Calcular BC.

a) 4 b) 5 c) 3

d) 2 e) 1

2) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B, C

y D, tal que:

AC.CD = BD.AD

Si AB = 3, calcular CD.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 1,5 e) 2,5

3) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B y C

siM es punto medio de AC

, BC AB = 12, Calcular BM.

a) 6 b) 5 c) 8

d) 4 e) 3

4) En la figura BC . AD = 45

Calcular X.

A 2 B C 2 D

X

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8

5) En la figura AC + BC = 20

Calcular x.

A BM C

X

a) 10 b) 15 c) 12

d) 9 e) 8

6) En una recta se ubican los

puntos consecutivos A, B, C y

D tal que CD = 2BC. Y 2AB +AD = 36, Calcular AC:

a) 8 b) 12 c) 15

d) 9 e) 10

7) En la figura AB + CD = 10

MB MC = 12, Calcular x.

A B M C X D

K K

a) 11 b) 8 c) 6

d) 12 e) 4

Geometra 63


64/87

8) En la figura, calcular x

A B M N C8

a) 10 b) 4 c) 3

d) 6 e) 16

9) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B , C

y D tal que M y N son puntos

medios de AC y BD

respectivamente Si AB + CD =

40, Calcular : MN.

a) 10 b) 20 c) 18

d) 12 e) 25

10) En una recta se ubican lospuntos consecutivos A , B , C ,

M y N son puntos medios de

AN y BC respectivamente

M BN , si NC = AB + 6.Calcular BM.

a) 2 b) 1 c) 4d) 3 e) 6

11) Calcular la medida de un

ngulo sabiendo que el

complemento de su medida es

igual al cudruple de dicha

medida.

a) 12 b) 15 c) 30

d) 20 e) 18

12) Del grfico, calcular x.

+

+ 2+ 3

+ 4

X

a) 105 b) 108 c) 120

d) 150 e) 160

13) Se tienen los ngulos

consecutivos AOB, BOC y

COD, de modo que: AOD - m BOC = 40,m AOC + m BOD =100. Calcular la mBOC.

a) 30 b) 45 c) 60

d) 70 e) 80

14) Calcular x si 1L // 2L .

8 0

4 x

9 x

3 x

L 1

2L

x

a) 8 b) 6 c) 7

Geometra 64


65/87

d) 10 e) 16

15) Calcular x si 21 L//L

L 1

2L

3 5

4 0

a) 60 b) 40 c) 50

d) 70 e) 80

16) Calcular x si21 L//L

L 1

2L

6 x

7 x

8 x

6 x

a) 20 b) 18 c) 15

d) 12 d) 24

17) Calcular x si1L // L2

8 6

x

a) 34 b) 46 c) 56

d) 47 e) 43

18. Calcular x si21 L//L

3 x

4 X

5 x

a) 15 b) 30

c) 45 d) 60

e) 90


2

2

x

a) 150 b) 75

c) 90 d) 80

e) 120


Geometra 65


66/87

5 0

8 0

x

a) 110 b) 120c) 125 d) 115

e) 105

21) Calcular x

x

a) 60 b) 90 c) 75d) 45 e) 10

22) Calcular x, si m ABC = 5x

A D E C

B

a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 30

23) Calcular x

5 4

X

a) 16 b) 15 c) 12

d) 20 e) 18

24) Calcular x en

4 0

x

a) 20 b) 15 c) 40

d) 10 e) 80

25) Los lados de un tringulo

escaleno miden 4; 6; 2x.

Calcular el valor entero de x.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 2;3 e) 3;4

26) Calcular el mnimo valor de x.

Geometra 66


67/87

X + 3X - 3

8

a) 5 b) 4 c) 3

d) 6 e) 8

27) Calcular x.

7 x

8 x

4 x

x

a) 20 b) 12 c) 15d) 18 e) 36

28) Calcular x + y + z

y

x z

a) 540 b) 90 c) 240

d) 360 e) 180

29) Calcular x

x

2

4

a) 36 b) 45 c) 60d) 30 e) 90

30) Hallar x si: (

+

) = 100

a) 20 b) 50 c) 24d) 25 e) 80

31) Calcular x si c escircuncentro del +ABD.

8 0 2 x

3 x

A

B

C

D

a) 120 b) 110 c) 100d) 160 e) 130

32) Calcular x

Geometra 67


68/87

B

5 0 4 0

5 0

x

a) 80 b) 40 c) 50d) 90 e) 100

33) Calcular x si G es baricentrodel +ABC

3 x

2 x

B

G

a) 100 b) 80 c) 140d) 130 e) 120

34) Calcular x si I es elincentro del +ABC.

x

1 0 0

I

B

a) 100 b) 80 c) 140d) 130 e) 120

35) Calcular X si O es elcircuncentro del +ABC.

OX

8 0

a) 120 b) 110 c) 100d) 160 e) 130

36) Calcular CD si H es el

ortocentro del+

ABC y HD = 6.

H

B

A C

D

2

a) 8 b) 6 c) 9d) 10 e) 12

37) Calcular x si C es elcircuncentro del +ABC.

2 xx

A

B

C

D

a) 15 b) 20 c) 5d) 10 e) 12

Geometra 68


69/87

38) Calcular MN. Si I es incentro del

+ABC y adems MN //AC .

M NI

3 4

a) 16 b) 15 c) 12d) 20 e) 18

39) Calcular x si O es elortocentro del +ABC.

H

2

A

B

C

8

a) 6 b) 8 c) 10

d) 5 e) 9

40) Calcular x. Si C escircuncentro del +ABC.

4 0 3 0

x

B

CA

a) 80 b) 70 c) 60d) 50 e) 40

41) Calcular x si:

4 0 4 0

x

a) 20 b) 40 c) 80d) 60 e) 50

42) Calcular x

x8 0

a) 80 b) 60 c) 120d) 100

Geometra 69


70/87

43. En la figura que se muestra,calcular x

5 0 x

3 nn

a) 40 b) 50

c) 60 d) 70e) 80

44. Si G es el Baricentro. Calcular BG

3A

B

C

G

a) 2 b) 1c) 6 d) 7e) 5

45. Calcular x

xx

a) 30 b) 60c) 45 d) 75e) 22.5

46. Calcular BD, Si AC = AD

A

B

D

3 1

a) 2 b) 3c) 4 d) 6e) 5

47. Calcular x

x

x

a) 15 b) 30c) 45 d) 37e) 18,5

48. Calcular x

x

5

3

Geometra 70


71/87

a) 60 b) 53c) 45 d) 37

e) 30

49. Calcular BO, si =+ 30 yAC = 8

A

B

C

D

a) 6 b) 4c) 10 d) 5e) 7

50. Calcular

2

a) 45 b) 53c) 37 d) 30e) 22,5

51. Si la suma de las medidas delos ngulos internos de unpolgono es 1800 Cuntasdiagonales totales tiene?

a) 54 b) 65c) 35 d) 44

e) 77

52. Cuantos segmentos unen lospuntos los puntos medios detodos los lados de un icosagono.

a) 230 b) 160c) 190 d) 170e) 180

53. Cuantos lados tiene elpolgono regular ABCDE.

A

B C

D

E

1 3

.

.

a) 300 b) 240c) 360 d) 120e) 250

54. Cuantos lados tiene el polgono

convexo si el sxtuplo de unnmero de lados excede en 12 ala raz cuadrada de la suma delas medidas de sus ngulosinternos.

a) 6 b) 9c) 12 d) 16e) 7

Geometra 71


72/87

55. El menor ngulo de unpolgono mide 120; los otros

forman con l una progresinaritmtica de razn 5Cuntos lados tiene?

a) 16 b) 6c) 9 d) 12e) 15

56. Cuantos lados tienen el polgonodonde la suma de sus ngulosinternos es 80 veces su nmerototal de diagonales.

a) 8 b) 5c) 18 d) 12e) 6

57. Se tiene un hexgonoequiltero ABCDEF de lados

alternados congruentes talque AB + BC = 32 .

Cunto dista A del lado

DE ?

a) 3 b) 3

c) 2/3 d) 2

e) 2

58. Calcular el nmero de ladosde un polgono convexo en elcual el nmero total dediagonales es igual a sieteveces su nmero de lados.

a) 12 b) 15c) 18 d) 17

e) 10

59. Cuntos lados tiene aquel

polgono convexo en el cual,al disminuirle en 2 el nmero

de lados, su nmero de

diagonales disminuye en 15.

a) 10 b) 9

c) 9 d) 11

e) 12

60. Cuantos lados tiene aquel

polgono regular en el cual al

disminuirle en tres su nmero

de lados, la medida de su

ngulo exterior disminuye al

20.

a) 6 b) 8

c) 10 d) 9

e) 5

61. En la figura ABCD es un

trapecio, calcular 2

A

BC

D

3

1 15

a) 37 b) 53

c) 30 d) 60

e) 45

Geometra 72


73/87

62. Calcular x

7B

a) 5 b) 7c) 6 d) 8e) 9

63. En el trapecio ABCD, calcularla distancia entre los puntos

medios de BDyAC

2

4

A

B C

D

a) 2 b) 3c) 1 d) 4e) 1,5

64. Calcular , si ABCD es unrombo.

A

B

C

D

3

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 30

65. Calcular x si: 12AE = y 12EC +=

A

B C

D

E

a) 30 b) 22,5 c) 15d) 37 e) 28,5

66. Calcular x, si ABCD es uncuadrado

Geometra 73


74/87


75/87

2

X

3

D

CB

A 8

a) 3 b) 2,5c) 5,5 d) 4e) 5

71) Calcular X

X

0

0

a) 20 b) 15c) 18 d) 30e) 45

72) Calcular X

2

0

X

X

a) 30 b) 18c) 15 d) 8

e) 18,5

73) Cuanto mide el inradio deltringulo.

6

a) 1 b) 4

c) 3 d) 2e) 5

74) Si ABCD es un romboidecalcular X

Geometra 75


76/87

8

X

a) 4 b) 3c) 2 d) 1

e) 5

75) Calcular X

X8

5 7

a) 2 b) 3c) 1 d) 4e) 5

76) Cuanto mide el inradio deltringulo.

a+

4

C

B

A a

a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) 5

77) Cuanto mide el inradio del BED

B

aE

C

A

0

6 + a

a) 2 b) 3c) 4 d) 1e) 5

78) Calcular X

Geometra 76


77/87

X

6

a) 6 b) 7c) 8 d) 5e) 9

79) En la figura , Calcular elpermetro del ABC.

A

B

C

R

213-a

Q

a

P

a) 32 b) 30c) 36 d) 40e) 39

80) En la figura calcular X

X

8

9

a) 45 b) 37c) 60 d) 53e) 30

81)

X

7 0 X

a) 40 b) 50c) 60 d) 70e) 45

82) Calcular X si O es centro.

Geometra 77


78/87

C

A

B

X

0

a) 36 b) 60c) 45 d) 72e) 70

83) Calcular X

X

a) 120 b) 60

c) 45 d) 72

e) 70

84) Calcular X

X

4 0

a) 40 b) 60

c) 80 d) 20

e) 60

Geometra 78


79/87

85) Calcular X

X

1 0 0

a) 45 b) 30

c) 20 d) 40

e) 36

86) Calcular X

5 X 8 0

a) 15 b) 18

c) 14 d) 17

e) 16

87) Calcular X

X X

a) 45 b) 30c) 40 d) 60e) 35

88) Calcular X

6 0 X

a) 90 b) 120c) 100 d) 140e) 160

Geometra 79


80/87

89) Hallar X

X

5 X

a) 30 b) 15c) 18 d) 20

e) 32

90) En la figura calcular X

X

3 0

a) 50 b) 45c) 65 d) 35e) 70

91) Calcular X

94 x

x 4

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

92) Calcular X

2

9

4 x

X

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

93) Cunto mide el lado delcuadrado?

1 5

3

a) 10 b) 12 c) 9d) 6 e) 8

94) Calcular X Si:

AC//MNyAN//PM

Geometra 80


81/87

B

1

P

M N

X

A C

3

a) 6 b) 4 c) 12

d) 8 e) 5

95) Calcular

9 0 +

6

4 , 5

a) 53 b) 60 c) 30d) 45 e) 37

96) Calcular X

1

7

6

3

97) En un tringulo ABC las medidasde sus ngulos interiores estn

en progresin aritmtica. SiendoA el vrtice del ngulo cuymedida es la intermedia. Calcularla medida del ngulo quedeterminan las bisectrices de losngulos exteriores trazados de By C.

a) 60 b) 30c) 48 d) 36

e) 54

98) En las prolongacionesde los lados BA y AD de un

cuadrado ABCD, se ubican lospuntos P y Q respectivamente; talque PC = CQ y PQ = 12cm.Calcular la distancia de C a

PQ .

a) cm26 b)

5cmc) 6cm d) 4cm

e) cm24

99) Segn el grfico,calcular x si: BE = EC; FB =FA y AN = NC.

Geometra 81


82/87

A

B

C

E

F

x

N

a) 60 b) 90c) 80 d) 120

e) 70

100)En el lado AD de unrectngulo ABCD se ubica el

punto P, de modo que BP

interseca a AC en Q.

Calcular la distancia de Q a D,siendo Q la proyeccin de Q

sobre CD , adems:

2(PD) = 3(AP) y AB = 14cm

a) 6cm b) 4cmc) 5cm d) 3cme) 2,5cm

101) Segn el grfico, calcular AMsi: OP = 4(PT) = 4 y O escentro del cuadrante.

P

N TM

O B

A

a) 1 b) 2

c) 3 d) 1,5e) 0,5

102) En el grfico G es baricentro dela regin triangular ABC, siGR = 2. Calcular GB ademsAMNQ es un romboide.

B

C

G

R

Q

NM

A

a) 6 b) 9c) 12 d) 15e) 18

103)En el grfico: Si m ACO =37, m DOC = 45, CE =21, calcular: DE

Geometra 82


83/87

A

B

D

OC

E

a) 2 b) 4c) 7 d) 16e) 9

104)Dado el tringulo rectnguloABC recto en B se traza la

altura BH . Si AB = 3 y HC

= 8. Calcular BC.

a) 2 b) 1

c) 22 d) 26

e) 2

105)Segn el grfico, calcularAQ, s i MB = 2, AM = 4,

m MAT = 60 y

m P M = 120. (T: punto detangencia)

P M

B

T

Q A

a) 10 b) 12

c) 8 d) 4e) 6

106) Calcular la longitud del radiode la circunferencia inscritaen un tringulo rectngulo siel punto de tangencia con lahipotenusa determina dossegmentos cuyas longitudesson 2 y 3.

a) 1 b) 2c) 1,5 d) 2,5e) 0,5

107) Segn el grfico EB = 10,ED = 12, AO = OC = 4 yABCD es un rectngulo.Calcular OE.

A

B

O

D

E

C

a) 106 b) 107

c) 108 d) 104

e) 105

Geometra 83


84/87

108) Segn el grfico, calcular el

rea e la regin triangularAGM. Si BL = LC, BG = 4 yAG = 2GL = 6.

B

MA C

G

L

a) 30 b) 35

c) 31 d) 37

e) 52

109)Segn el grfico, calcular BP.

Si: PC = 12, MT =3

R(N, P, E

y T son puntos de tangencia).

M T

NR

P

D

C

E

A

B

a) 4 b) 8

c) 6 d) 5e) 3

110) Calcular la longitud de lamenor mediana en unaregin triangular que tienedos lados que miden 3 y 4,sabiendo adems que el reacorrespondiente a dicharegin toma su mximo valor.

a) 3 b) 4

c) 2 d) 2,5e) 1,5

111)En la figura, el tringulo ABOes equiltero, hallar laecuacin de la recta L, si elrea de la regin triangular

ABO es 234 (M es

punto de tangencia)

A

B

MO L x

y

a) 012y3x32 =++

b) 012y3x2 =+

c) 012y3x32 =+

d) 024y3x32 =+

e) 024y3x32 =++

Geometra 84


85/87

112)Sean las rectas L1: x2y6 =0 y L2: x + y 3 = 0, hallar la

ecuacin de la circunferenciacuyo centro es la

interseccin. de

1Ly

2L,

adems su radio mide 4.

a) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 16b) (x 4)2 + (y + 1)2 = 16c) (x 5)2 + (y 1)2 = 16

d) (x 3)

2

+ (y 1)

2

= 16e) (x 1)2 + (y 5)2 = 16

113)Del grfico, F es foco de la

parbola yL

su directriz.

AF = 1 y FB = 3. Calcular elrea de la regin sombreada.

x

y

A F

L

BP a r

D i r e c

a) 2 b) 3

c) 32 d) 33

e) 34

114) Del grfico F es el foco de laparbola y el eje x es su

directriz. Hallar la ecuacinde la parbola.

x

yP a r b o

F ( 2 ; 2 )

a) (x 2)2 = 2(y + 1)b) (x 2)2 = 2(y 1)c) (x + 2)2 = 2(y 1)d) (x 2)2 = 4(y 1)e) (x 2)2 = (y 1)

115)Segn el grfico, calcular el

valor de x, si 2 = +

A C

x

4 0

a) 50 b) 40c) 45 d) 53e) 37

Geometra 85


86/87

116)Segn el grfico, lostringulos ABC y CED son

equilteros; calcular:CD

AB

B

CA D

E

a)3

4b) 2

c)2

3d)

3

32

e) 2

5

117) Segn el grfico QR =AO, calcular el valor de

, si m A = 72

A B

Q

O

P

a) 12 b) 48

c) 24 d) 30

e) 26

118) En la figura BDE, EFG, GHC

y ABC son tringulos

equilteros, si DE FG = FG HC = 1cm y el permetro de

la regin triangular ACB es

27cm. Calcular el permetro

de la regin triangular GHC.

A

B

C

D

E F

G H

a) 3cm b) 6cm

c) 9cm d) 7,5cme) 10,5cm

119)Segn el grfico; NM = ML,BN = 4 y CL = 12. Calcular EM.

B

CE

3 0

6 0

a) 32 + b) 31+

c) 33 + d) 8

e) 33

120)Se tiene un hexgono regularABCDEF, en la regin interior

Geometra 86

R


87/87

se ubica el punto M de modoque CM = ME y m CME =

90. Calcular la medida delngulo MCF.

a) 10 b) 15c) 25 d) 30e) 35

121)Segn la figura lascircunferencias son

congruentes, calcular m B M ,Si m A + m C = 210

M

AC

B

RP

Q

a) 100 b) 80c) 120 d) 105

e) 112122)En la figura m A B .

Calcular m ALB.

L

E

A

T

a) 30 b) 45 c) 60

d) 90 e) 53

123)De un punto P exterior a unasemicircunferencia de dimetroAB se traza la tangente PT y laperpendicular PH a laprolongacin de AB (T es punto

de tangencia y H

AB ), si

TP = AB; calcular m AHT.

a) 2

37

b) 2

43

c) 2

53

d) 20 e) 15

124)En la figura, BE = 5 ; EC =4 y AC = 14 . Calcular elrea de la regin triangularABC.

E

DB

a) 42 2 b) 28 2 c)21 2d) 40 2 e) 56 2

36331853 Geome 3er Ano III Trimestre

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