Expresiones Algebraicas

1Expresiones AlgebraicasUna expresin algebraica es una expresin en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un nmero finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raz.

Ejemplos

2Expresiones Algebraicas

3Expresiones Algebraicas comunesEl doble o duplo de un nmero:2xEl triple de un nmero:3xEl cudruplo de un nmero:4xLa mitad de un nmero:x/2Un tercio de un nmero:x/3Un cuarto de un nmero:x/4Un nmero es proporcional a 2, 3, 4...:2x, 3x, 4x...Un nmero al cuadrado:x

4Expresiones Algebraicas comunesUn nmero al cubo:xUn nmero par:2xUn nmero impar:2x + 1Dos nmeros consecutivos:x y x + 1Dos nmeros consecutivos pares:2x y 2x + 2Dos nmeros consecutivos impares:2x + 1 y 2x + 3Descomponer 24 en dos partes:x y 24 x 5Expresiones Algebraicas comunesLa suma de dos nmeros es 24:x y 24 xLa diferencia de dos nmeros es 24:x y 24 + xEl producto de dos nmeros es 24:x y 24/xEl cociente de dos nmeros es 24:x y 24 x

6Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias7Expresin Algebraica RacionalEs racional cuando las variables no estn afectadas por la radicacin

Ejemplo

8Expresin Algebraica IrracionalEs irracional cuando las variables estn afectadas por la radicacin

Ejemplo

9Expr.Algebraica Racional EnteraUna expresin algebraicas es racional entera cuando la indeterminada est afectada slo por operaciones de suma, resta, multiplicacin y potencia natural.

Ejemplo

10Expresin Algebraica Racional FraccionariaUna expresin algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algn denominador.

Ejemplo

11PolinomiosSon las expresiones algebraicas ms usadas.Sean a0, a1, a2, , an nmeros reales y n un nmero natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresin algebraica entera de la forma: a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn

12Ejemplos de polinomiosA los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras maysculas indicando la indeterminada entre parntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

13TrminosMonomio : polinomio con un solo trmino.Binomio : polinomio con dos trminos.Trinomio : polinomio con tres trminos.Cada monomio aixi se llama trmino.El polinomio ser de grado n si el trmino de mayor grado es anxn con an0.A a0 se lo llama trmino independiente.A an se lo llama trmino principal.

14Ejemplos

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18EjercicioIndicar cules de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este ltimo caso indicar su grado.

19Suma de PolinomiosPara sumar dos polinomios se agrupan los trminos del mismo grado y se suman sus coeficientes.

Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x - 220Propiedades de la SumaAsociativaConmutativaExistencia de elemento neutroExistencia de elemento opuesto

21Resta de PolinomiosPara restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x - 222Multiplicacin de PolinomiosPara multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los trminos del otro y luego se suman los trminos de igual grado.Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 3x + 1 Q(x) = 3x3 6x2 5x 2P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

23Propiedades del ProductoAsociativaConmutativaExistencia de elemento neutro.

24Algunos productos importantes(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3(x+a)(x-a)= x2 ax +ax-a2 = x2-a225EjercicioEscribir los desarrollos de

26Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

27Ejercicio: La expresin x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

28Divisin de polinomiosExiste una estrecha analoga entre el cociente de polinomios y la divisin de nmeros enteros.

Recordemos algunas definiciones de la divisin entre nmeros enteros. 29Divisin entre nmeros enterosEn el conjunto de nmeros enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son nicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d . C + r 0 r < |d|Si r=0 se dice que D es divisible por d.30Divisin entre nmeros enterosEjemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:29 dividido 6 ser: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 5 < 629 dividido -6 ser: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 5 < |-6|Podra haber sido c = -5 y r = -1?31Divisin de polinomiosDados los polinomios D(x) = 6x3 17x2+15x-8 d(x) = 3x 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)32-6x3 + 8x2Ejemplo 6x3 17x2 + 15x 8 3x 4

2x2 0x3 - 9x2+ 15x- 3x 9x2- 12x 0x2+ 3x - 8+ 1 -3x + 40x - 46x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-433EjerciciosD(x) = 4x5 + 2x3 24x2 + 18x d(x) = x2 3x D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2D(x) = 2x4 6x3 + 7x2 3x +2 d(x) = x-234Divisin de PolinomiosDados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y slo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)35EjerciciosDados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otroP(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32

36Regla de Ruffini 3 -2 -5 -92

-3Divisin de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 2x2 5x 9 x 2- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 5x - 4x2 + 8x 3x 9 -3x + 6 -3

3648363x3 2x2 5x 9 = ( x 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)