3.1 Diferenciación de Funciones de n Variables (Parte 1) - Ejercicios Resueltos

3.1 Diferenciación de Funciones de n variables (Parte I) – Ejercicios Resueltos CÁLCULO III PARA INGENIERÍA

J.A.L.P 1

1. Sea

a) Verificar que es continua en

b) Calcular ; si

c) Verificar que es continua en

d) Calcular donde el versor

1) a) SOLUCIÓN: Para que la función sea continua en el punto , se tiene que cumplir lo

siguiente:

Entonces tenemos que verificar si la función dada es continua en el punto . Usando la

definición de continuidad:

Con , tenemos:

Para que se cumpla eso, el límite del exponente tiene que ser 0 ( ), o sea:

Usando trayectorias tenemos:


J.A.L.P 2

Como los límites a través de distintas trayectorias (la última fue con coordenadas polares) nos dio 0,

todavía no podemos asegurar que el limite da 0. Para ver si realmente da 0, se usará la definición del

límite:

Vamos a probar que el límite tal que cumpla:

Cuando , entonces en esa desigualdad, tienden a . Entonces por definición del límite se

verifica que:

Por tanto, la función es continua en

b) SOLUCIÓN: Tenemos que calcular la derivada parcial, primero en el punto . Pero como en

ese punto presentaba problemas de que la función era continua (verificamos que es continua),

tenemos que aplicar la definición de derivada parcial. Entonces:

Por tanto:

Para , la derivada parcial con respecto a es:


J.A.L.P 3

c) SOLUCIÓN: Tenemos que verificar si es continua en el punto , o sea,

Vamos a calcular el , usando la definición:

Ya que , entonces podemos acotar:

Entonces se verifica que:

Y concluimos que es continua en el

d) SOLUCIÓN: Nos piden calcular la derivada direccional que apunta el vector unitario , pero nos

pide solamente obtener la derivada direccional en el punto . Como en la parte c) hemos probado

que la función es diferenciable podemos utilizar la siguiente fórmula:

Donde

es la gradiente

Entonces, en el punto con el vector unitario , la derivada direccional es:

Por tanto


J.A.L.P 4

2. Sea , dada por

a) Obtener en cada punto .

b) ¿Es diferenciable en ?

c) Calcular , si

y está en la dirección de la recta .

2) a) SOLUCIÓN: Nos piden obtener la gradiente de la función en todo el dominio. Pero para este

caso se hacen en dos partes:

En este caso, calcularemos las derivadas parciales en forma normal (no aplicar límite), puesto que no

nos piden en un punto específico. Entonces:

Por tanto, la gradiente es:


J.A.L.P 5

Como tenemos que calcular la gradiente en el punto , tenemos que aplicar la definición de

derivada parcial (por límite). Entonces:

Como

Aplicamos el límite a la desigualdad:

Por teorema de acotamiento, el límite:

Y por ende

Haciendo el mismo proceso . Por tanto, la gradiente en ese punto es:

b) SOLUCIÓN: Para ver si la función es diferenciable en , se tiene que cumplir:

Donde

Si éste límite da 0, entonces la función es diferenciable en (y además es continua). Entonces

veámoslo

Con


J.A.L.P 6

Como el seno, es una función acotada, y cuando y , el límite da 0.

Como nos dio cero el límite, podemos decir que la función es diferenciable en y además es

continua también en el dicho punto.

c) SOLUCIÓN: Como la función es diferenciable, se puede calcular la derivada direccional en

cualquier punto, para este caso

, usando la fórmula:

Donde es el vector unitario que está en la dirección de la recta . Como ésa recta forma un

ángulo de

con respecto al eje X o al eje Y. Entonces el dicho vector unitario forma las

componentes e , o sea:

Y la gradiente evaluada en ese punto es:

Por lo tanto, la derivada direccional en el punto es:


J.A.L.P 7

3. Sean funciones de clase , o sea, que tienen derivadas parciales de orden 2

continuas en , que verifican

a) Probar que y son perpendiculares entre sí.

b) Probar que y son soluciones de la ecuación de Laplace

( y se llaman funciones armónicas).

c) Probar que también es función armónica

3) a) SOLUCIÓN: Primero calcularemos las gradientes de las funciones

Luego para que las gradientes sean perpendiculares, se tiene que cumplir que el producto punto entre

éstos tiene que ser 0, es decir

Entonces

Pero

Reemplazando, tenemos:

Por tanto, las gradientes son perpendiculares.

b) SOLUCIÓN: Para probar que las funciones sean soluciones de la ecuación de

Laplace (materia que tienen que ver en el curso de ecuaciones diferenciales), tenemos que aplicar las

derivadas parciales correspondientes:


J.A.L.P 8

Pero

Entonces:

Como es función de clase , se cumple que:

Por tenemos

Entonces al sumar

Por lo tanto, es solución de la ecuación de Laplace. Se hace el mismo proceso anterior para la

función , lo cual también es solución de la ecuación.

c) SOLUCIÓN: Para que la función sea armónica, se tiene que cumplir que:

Si cumple con esas dos condiciones, entonces es armónica.

es una función de orden ya que también son funciones de orden .


J.A.L.P 9

Para éste caso, tendré que aplicar derivadas parciales cuidadosamente (tendré que usar bien la regla

de la cadena o derivación compuesta).

Si sumamos quedaría:

Como

Entonces:

Y la función es función armónica.

4. Sea una función definida por:

a) Calcular

b) Determine si

c) Muestre que

y explique por qué. Pep 2 2007-2


J.A.L.P 10

4) a) SOLUCIÓN: Como nos piden las derivadas parciales en un punto específico, tenemos que

calcular usando límite. Por tanto:

b) SOLUCIÓN: Para , entonces las derivadas parciales:

c) SOLUCIÓN: Como nos piden mostrar que las derivadas parciales de orden 2 sean distintos en ese

punto, tenemos que usar la definición derivada parcial por límite:


J.A.L.P 11

Por tanto, hemos mostrado que:

Con este resultado, dio diferentes las segundas derivadas parciales de orden 2 en el punto ya

que las funciones y no son continuas en ese dicho punto.

5. Sea

a) Calcular la derivada direccional de en el punto en la dirección de la normal

unitaria exterior a la esfera .

b) ¿En qué dirección la derivada direccional de en es máxima? ¿Cuál es este

valor máximo?

5) a) SOLUCIÓN: Como es una función polinomial, entonces es diferenciable en . Y al ser

diferenciable, se puede calcular la derivada direccional, que en el punto dado es:

Donde es el vector normal unitario. Sea

El vector se calcula de la siguiente manera:

Entonces:

El evaluada en el punto es:

Y la gradiente es:


J.A.L.P 12

Al evaluarla en el punto obtengo:

Por tanto, la derivada direccional en el punto dado es:

b) SOLUCIÓN: Para que la derivada direccional tenga un valor máximo, el vector unitario tiene que

estar en la misma dirección de la gradiente , es decir

Por tanto, el valor máximo de la derivada direccional en el dicho punto es:

6. Se define que dos superficies y son ortogonales en un punto

común si sus respectivos planos tangentes en ese punto son ortogonales. Verificar que las

superficies en son

ortogonales.

6) SOLUCIÓN: Primero calcularemos sus gradientes:

Luego para que y sean ortogonales (perpendiculares) se tiene que cumplir:

Veamos:

Después evaluamos el producto punto de las dos gradientes en el punto , obtenemos:

Por lo tanto, hemos verificado que las superficies son ortogonales en el punto dado.


J.A.L.P 13

7. Dada

Probar que es diferenciable en el punto . ¿Es continua en este punto?

7) SOLUCIÓN: Como sabemos una función es diferenciable en el punto siempre cuando

Donde

Primero calcularemos las derivadas parciales en el punto usando límite:

Entonces

Ahora calcularemos el límite:

Para obtener el límite podemos ver en los casos de las trayectorias (o coordenadas polares), pero

éstos no aseguran que el límite sea eso. Por tanto, usando la definición del límite, se puede asegurar

que ése sería el valor del dicho límite, es decir


J.A.L.P 14

Entonces con

Con esto, ya mostramos que el límite:

Y por tanto, la función es diferenciable en . Y como es diferenciable, entonces la función

dada es también continua en el punto (Diferenciabilidad implica continuidad).

8. Considere la función definida por

si y si

. Se pide:

a) Calcular, si es que existen, las derivadas direccionales de en .

b) Determinar en qué dirección la derivada direccional de en es igual a cero.

8) a) SOLUCIÓN: Como nos piden en el punto donde la función tiene problemas de continuidad,

entonces tenemos que calcular la derivada direccional usando su definición (límite)

Sea , con tenemos:

No existe ese límite


J.A.L.P 15

Por tanto, si existe derivada direccional en el punto y su valor sería:

b) SOLUCIÓN: Para el punto , sea el vector unitario con . La derivada

direccional en ese punto, no tiene problemas de continuidad en la función dada, entonces usaremos la

fórmula:

Calcularemos las derivadas parciales, y luego evaluaremos en el dicho punto.

Entonces

Impongo la condición

Como conclusión, para que la derivada direccional sea 0 en el punto , el vector unitario tiene que

ser de la forma:

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