3035774 Problemas Con Metodos de Demostracion
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Problemas con Métodos de Demostración 1. Probar que 2 no es un número racional. Solución: Supongamos que 2 es un número racional, es decir que b a = 2 con a, b ∈ Z y b 0 ≠ . Vamos a suponer también que b a es una fracción irreducible, es decir que sean primos relativos. Se sigue entonces que: 2 2 2 b a = o también 2 2 2 b a = uego 2 a es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la forma p a 2 = , con p ∈ Z. !e 2 2 2 b a = se sigue 2 2 2 " b p = # es decir 2 2 2 p b = uego 2 b es par y por tanto b es par. Se tiene entonces una contradicción que supusimos, y en consecuencia lo correcto ser$a decir que 2 no es un número racional. 2. Demostrar que 0 % no es un número real. Solución: Supongamos que 0 % si es un número real. lamémoslo α # entonces tenemos: 0 % = α , de donde se sigue que % 0 = ⋅α , o lo que es lo mismo % 0 = , que es un absurdo, por tanto lo que supusimos es incorrecto y lo verdadero es q 0 % no es un número real. 3. Demostrar que ( ) % + n n es divisible por 2 para todo n ∈ Z. Solución: !ebemos demostrar que: ( ) k n n 2 % = + &n efecto, se nos presentan dos casos i. Si n es par, tenemos:
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METODOS DE DEMOSTRACION
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Problemas con Mtodos de Demostracin
Problemas con Mtodos de Demostracin1. Probar que no es un nmero racional.
Solucin:
Supongamos que es un nmero racional, es decir que
con a, b Z y b.
Vamos a suponer tambin que es una fraccin irreducible, es decir que sean primos relativos. Se sigue entonces que:
o tambin
Luego es par y por tanto a es un entero par, es decir a es de la forma , con p Z.
De se sigue ; es decir
Luego es par y por tanto b es par. Se tiene entonces una contradiccin con lo que supusimos, y en consecuencia lo correcto sera decir que no es un nmero racional.
2. Demostrar que no es un nmero real.
Solucin:Supongamos que si es un nmero real. Llammoslo ; entonces tenemos:
, de donde se sigue que , o lo que es lo mismo , que es un absurdo, por tanto lo que supusimos es incorrecto y lo verdadero es que no es un nmero real.3. Demostrar que es divisible por 2 para todo n Z.Solucin:
Debemos demostrar que:
En efecto, se nos presentan dos casos
i. Si n es par, tenemos:
, con p ZEntonces,
, sea
, tenemos:
Por tanto si n es par n es divisible por 2.
ii. Si n es impar
, con p Z
Entonces,
, sea
Z, tenemos:
Por tanto si n es impar n es divisible por 2.
4. Demostrar que 10n+1+10n+1 es divisible por 3, NSolucin:
Probemos por induccin.
i. Probemos si es verdadero para P(0) y P(1).
que es divisible para 3.
que es divisible para 3.
ii. Hiptesis de Induccin: Supongamos que , con q Z, debemos probar que , con r Z.En efecto,
, sea ZPor tanto, comprado que se cumple para P(0) y P(1) y bajo la hiptesis de induccin se llega a probar que P(k+1) tambin se cumple, podemos concluir que esto se cumple N._1272811794.unknown
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