3-relaciones

1Dra. Norka Bedregal

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Estructuras Discretas I

RELACIONES

Universidad Nacional San Agustn

Dra. Norka Bedregal2

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

A B = { (x,y) / x A ^ y B }Ejemplo:

Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }

A x B = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS

2Dra. Norka Bedregal3

Ejemplo:

A = { , , } B = { , , }

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Dados los conjuntos

A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }

el grfico cartesiano de A x B es:

La primera componente de

cada elemento del

producto cartesiano es la

abscisa

La segunda componente de

cada elemento del

producto cartesiano es la

ordenada

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano

de dos conjuntos responden a una condicin dada.

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Dom(R) = x / xA (x,y) R

Dom(R) = {b, c, d}

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Im(R) = y / yB (x,y) R

Im(R) = {1, 3, 4}REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Una relacin entre los conjuntos A y B es un subconjunto del

producto cartesiano A x B.

Puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los

elementos de A x B.

Si R es una relacin entre A y B , la expresin x R y significa que (x,y) R , o sea, que x est relacionado con y por la relacin R.

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Relacin sobre n conjuntos

Una relacin entre los conjuntos es cualquier

subconjunto

Los conjuntos son los dominios de la relacin, el nmero de

elementos de se llama cardinalidad, y el nmero se denomina

grado de .

Para indicar explcitamente la relacin es de grado , se dice

tambin que es una relacin -aria.

Observacin:El caso particular de relaciones binarias merece ser tratado aparte, por la riqueza de conceptos y resultados a que da lugar y el tipo de tcnicas que pueden utilizarseREL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


R es una relacin de A en B si es subconjunto del producto cartesiano de los dos conjuntos:

R A xBR es una relacin con dominio A y recorrido BSi (a,b) R, se dice que a est en relacin con b, lo cual se denota aRb

Ejemplo:Sean A = {1, 2} y B = {1, b, c}Los siguientes conjuntos son ejemplos de relaciones de A en B.

Asimismo, el hecho contrario, es decir , suele denotarse por:

, o simplemente

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Puesto que las relaciones son conjuntos, todas las operaciones definidas sobre conjuntos se pueden realizar entre relaciones:

Si son relaciones de A en B, entonces

son todas relaciones de A en B, donde la operacin de complemento se efecta con respecto al conjunto universal .

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Ejemplo:

Sean . Consideremos las siguientes relaciones de A en

B:

.

Entonces

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Sea R una relacin de A en B y H una relacin de B en C. La relacin compuesta de

A en C, denotada , est definida como sigue:

Es decir,

( ) ( ) ( )[ ]HcbRbaBbsisloysiHRca ,,, o

En consecuencia:

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Observacin:

Una definicin alterna para la composicin de relaciones es:

Ejemplo:

Dados A = {1; 2; 3}, B = {a; b; c; d} y C = {x; y; z}

R1= {(1; c); (1; d); (2; a); (3; b); (3; c)}

R2= {(a; z); (b; y); (b; z); (d; x)}

Graficar R1R2

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Ejemplo:

Sean

una relacin de A en B.

una relacin de B en C.

Entonces:

Teorema

Sean una relacin de A en B, una relacin de B en C, y una

relacin de C en D. EntoncesREL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Sea R una relacin binaria en un conjunto .

La potencia n -sima de R, denotada por , est definida inductivamente

por,

Es decir, es la relacin de igualdad en el conjunto A.

Obsrvese que para , es una relacin en A

( ){ }AxxxR = /,0

RRR nn o=+1

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Ejemplo:

Sea

Como

se sigue que:

( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,,,,2,,2 abaaaRRR == o( ) ( ) ( ) ( ){ }aabaaaRRR ,4,,,,2,,23 == o

( ) ( ) ( ) ( ){ }aabaaaRRR ,4,,,,2,,34 == o

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS

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Sea R una relacin de A en B. La relacin inversa de R es la relacin de B

en A definida por:

Por lo tanto:

En consecuencia:

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Teorema

Sean una relacin de A en B, una relacin de B en C, entonces

( )( ) 1111

11

12

121

RR

RRRR

=

=

oo

Ejemplo:

Si R= {(1; b); (1; d); (2; a); (3; b); (3; c)}

Entonces R-1 = {(b; 1); (d; 1); (a; 2); (b; 3); (c; 3)}

Es evidente que

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS

11


Una relacin entre dos conjuntos admite una representacin matricial, siempre que los dominios de la relacin sean finitos. Sea R una relacin definida de A en B, tal que

Entonces la matriz que representa a la relacin R es una matriz booleana de

orden m x p, definida por:

donde REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Observacin:Es fcil comprobar que si R es una relacin entre conjuntos finitos, entonces:

jinm ijij ,

Definicin:Dadas dos matrices M y N booleanas y del mismo orden, se dice que M precede a N, lo que se denota M N si se cumple

Teorema:

Dadas dos conjuntos A y B finitos, se tiene:)()(, SMRMBxASR R

ELAC

ION

ES BI

NAR

IAS

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Ejemplo:

Sean A = {1; 2; 3} y B = {1; 2; 3; 4}.

R= {(1; 2); (1; 4); (3; 2); (3; 3)}

S= {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (3; 1)(3; 2); (3; 3)}

Operaciones Booleanas:

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Definicin:Sean M y N dos matrices Booleanas del mismo orden. Entonces si M = (mij) y N = (nij), se define:( )( )( )ij ijij

ijij

mMnmNMnmNM

=

=

=

Ejemplo:Dadas las matrices:

Calcular:

MNMNM

R

ELAC

ION

ES BI

NAR

IAS

13


Teorema:Si R y S son relaciones de A en B finitos, entonces:

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS


Producto Booleano de Matrices:Dadas las matrices booleanas M de orden m x n y N de orden n x p. El producto booleano de ambas matrices se realiza de la siguiente forma:

La matriz producto es una matriz boolena de orden m x p

Ejemplo:

Teorema:Si R1 y R2 son relaciones entre conjuntos finitos, y si existe R1 R2, entonces:

REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS

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REL

ACIO

NES

BI

NAR

IAS

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