3: Canónicas 1

3-Formas Canónicas

3.1 Expresiones canónicas: mintérminos y maxtérminos

3.2 Expansión a las formas canónicas3.3 Síntesis de las formas canónicas3.4 Diseño lógico y simplificación

3: Canónicas 2

Expresiones Canónicas

Las formas canónicas son representaciones de expresiones booleanas utilizando una expansión de mintérminos o una expansión de maxtérminos.

Permiten asociar a una función una expresión algebraica única.

La tabla de verdad también es una representación única para una función booleana.

3: Canónicas 3

Expresiones Canónicas

Existen dos formas básicas de expresiones canónicas que pueden ser implementadas en dos niveles de compuertas: suma de productos o expansión de

mintérminos producto de sumas o expansión de

maxtérminos

3: Canónicas 4

A B C F F’0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 0

F =

F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’

Suma de productos

También conocida como expansión de mintérminos.

F = 001 011 101 110 111

+ A’BC+ AB’C + ABC’ + ABCA’B’C

3: Canónicas 5

forma corta de escribir minterms

A B C minterms0 0 0 A’B’C’ m00 0 1 A’B’C m10 1 0 A’BC’ m20 1 1 A’BC m31 0 0 AB’C’ m41 0 1 AB’C m51 1 0 ABC’ m61 1 1 ABC m7

F en forma canónica:F(A, B, C) = Σm(1,3,5,6,7)

= m1 + m3 + m5 + m6 + m7= A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC

forma canónica ≠ forma minimaF(A, B, C) = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC + ABC’

= (A’B’ + A’B + AB’ + AB)C + ABC’= ((A’ + A)(B’ + B))C + ABC’= C + ABC’= ABC’ + C= AB + C

Suma de productos Términos son productos (o minterms)

Productos AND de literales – para las combinacion de input para los que el output es verdad.

En cada producto cada variable aparece exactamente una ves (puede estar invertida).

3: Canónicas 6

A B C F F’0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 0

F = 000 010 100F =

F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)

Producto de sumas

También conocida como expansión de maxtérminos.

(A + B + C)(A + B’ + C)(A’ + B + C)

3: Canónicas 7

A B C maxterms0 0 0 A+B+C M00 0 1 A+B+C’ M10 1 0 A+B’+C M20 1 1 A+B’+C’ M31 0 0 A’+B+C M41 0 1 A’+B+C’ M51 1 0 A’+B’+C M61 1 1 A’+B’+C’ M7

forma corta de escribir maxterminos

F en forma canónica:F(A, B, C) = ∏M(0,2,4)

= M0 • M2 • M4= (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)

forma canónica ≠ forma minima F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)

= (A + B + C) (A + B’ + C) (A + B + C) (A’ + B + C)= (A + C) (B + C)

Producto de sumas Términos son sumas (o maxterminos)

Suma OR de literales – para las combinacion de input para los que el output es 0.

En cada producto cada variable aparece exactamente una ves (puede estar invertida).

3: Canónicas 8

Conversión entre formas canónicas

Es posible convertir entre ambas formas canónicas

Para n variables (0 ≤ i ≤ 2n-1) mi = Mi

Mi = mi

∑ mi = ∏ Mi

∏ Mi = ∑ mi

3: Canónicas 9

Conversión entre formas canónicas

Suma de productos F’ = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’

Usando de Morgan’s: f’(X1,X2,...,Xn,0,1,+,•) = f(X1’,X2’,...,Xn’,1,0,•,+) (F’)’ = (A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’)’ F = (A + B + C) (A + B’ + C) (A’ + B + C)

Producto de sumas F’ = (A + B + C’) (A + B’ + C’) (A’ + B + C’) (A’ + B’ + C) (A’ + B’ + C’)

Usando de Morgan’s (F’)’ = ( (A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B + C’)(A’ + B’ + C)(A’ + B’ + C’) )’ F = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC’ + ABC

3: Canónicas 10

Conversión entre formas canónicas Conversión de mintérminos a maxtérminos

usar maxtérminos cuyos índices no aparecen en expansión de mintérminos.

e.g., F(A,B,C) = Σm(1,3,5,6,7) = ΠM(0,2,4) Conversión de maxtérminos a mintérminos

usar mintérminos cuyos índices no aparecen en expansión de maxtérminos.

e.g., F(A,B,C) = ∏M(0,2,4) = ∑m(1,3,5,6,7) Conversión de expansión de mintérminos de F a F’

usar mintérminos cuyos índices no aparecen. e.g., F(A,B,C) = ∑m(1,3,5,6,7) F’(A,B,C) = ∑m(0,2,4)

Conversión de expansión de maxtérminos de F a F’ usar maxtérminos cuyos índices no aparecen. e.g., F(A,B,C) = ∏M(0,2,4)

F’(A,B,C) = ∏M(1,3,5,6,7)

3: Canónicas 11

suma de productos

suma de productos minimizada

producto de sumas

producto de sumas minimizada

F1

F2

F3

B

A

C

F4

Implementaciones alternativas en dos niveles

Ejemplo: F=ab+c

3: Canónicas 12

Señales para las cuatro alternativas

Esencialmente idénticas Excepto por perturbaciones. Retardos son muy similares. Otros ejemplos mas adelante.

3: Canónicas 13

3-Formas Canonicas

3.1 Expresiones canónicas: mintérminos y maxtérminos

3.2 Expansión a las formas canónicas3.3 Síntesis de las formas canónicas3.4 Diseño lógico y simplificación

3: Canónicas 14

Expansión a las formas canónicas

Cualquier función booleana puede ser representada en forma canónica.

El proceso de obtener la forma canónica se denomina expansión

Un método directo consiste en obtener la tabla de verdad, y luego identificar los mintérminos o los maxtérminos

Otra posibilidad, que se estudia a continuación, es mediante un desarrollo algebraico basado en los postulados y teoremas del álgebra de Boole

3: Canónicas 15

Expansión a suma de productos

Basado en el uso repetitivo del teorema de unificación: a = ab + ab’

Ejemplo: f(a, b, c) = a + bc’ + abcTérmino a: a = ab + ab’

= (ab + ab’)c + (ab + ab’)c’ = abc + ab’c + abc’ + ab’c’ = m7 + m5 + m6 + m4

Término bc’: bc = abc’ + a’bc’ = m6 + m2

Entonces, f(a, b, c) = m2 + m4 + m5 + m6 + m7

3: Canónicas 16

Expansión a productos de sumas

Basado en el uso repetitivo del teorema de unificación: a = (a + b)(a + b’)

Ejemplo: f(a, b, c) = (a + b)(b + c’)Término (a+b): (a+b) = (a+b+c)(a+b+c’)

= M0 M1

Término (b+c’): (b+c’) = (a+b+c’)(a’+b+c’) = M1 M5

Entonces, f(a, b, c) = M0 M1 M5

3: Canónicas 17

3-Formas Canonicas

3.1 Expresiones canónicas: mintérminos y maxtérminos

3.2 Expansión a las formas canónicas3.3 Síntesis de las formas canónicas3.4 Diseño lógico y simplificación

3: Canónicas 18

Síntesis usando suma de productos

Dada una función mediante una suma de productos, ésta puede implementarse usando un OR de AND's

Ejemplo: implementación en dos niveles de f(a, b, c, d) = ab + cd, se logra directamente

3: Canónicas 19

Síntesis usando suma de productos

Una red es de n niveles, cuando una señal de entrada debe pasar a través de n compuertas para llegar a la salida.

La señal de entrada que recorra más compuertas hasta llegar a la salida, es la que define la cantidad de niveles; el recorrido se denomina ruta crítica y define el retardo de propagación de la red.

Debe notarse que se considera que se dispone de entradas invertidas (e.g. b‘) ya que si sólo se dispone de variables (e.g. b) se requiere un nivel adicional.

3: Canónicas 20

Síntesis usando suma de productos

También puede implementarse usando solamente compuertas NAND Ejemplo: f = ab’+cd

3: Canónicas 21

Síntesis usando suma de productos La técnica anterior se denomina método de

doble complementación:

Se puede visualizar en forma gráfica según:

El siguiente es el equivalente gráfico del Teorema de De Morgan:

3: Canónicas 22

Conversión de producto de sumas a suma de productos Si tenemos una función de tipo producto de

sumas se puede convertir usando doble complementación en suma de productos

Aplicando De Morgan y complementando:

AB’

CD

f

AB’

CD

f

AB’

CD

f f ’

A’B

C’D’

3: Canónicas 23

Conversión de producto de sumas a suma de productos Hay que notar que la implementación como

suma de productos tiene todas las variables de entrada y salida complementadas respecto a su forma inicial.

También se puede convertir una expresión de tipo suma de productos a la forma producto de sumas al cambiar los ANDs del primer nivel por ORs y en el segundo nivel los ORs por ANDs además de complementar variables de entrada y salida.

3: Canónicas 24

3-Formas Canonicas

3.1 Expresiones canónicas: mintérminos y maxtérminos

3.2 Expansión a las formas canónicas3.3 Síntesis de las formas canónicas3.4 Diseño lógico y simplificación

3: Canónicas 25

Diseño lógico: fan-in y fan-out

Las compuertas lógicas tienen ciertas características concretas dadas por su implementación física. Dos de ellas son el fan-in y el fan-out.

Fan-in es el número de circuitos o compuertas de entrada (e.g. de dos entradas) que puede soportar una compuerta.

Una compuerta con un fan-in mayor tienden a ser mas lentas por que se incrementa la capacitancia de la compuerta.

3: Canónicas 26

Diseño lógico: fan-in y fan-out

Fan-out es el número de compuertas que pueden ser alimentadas o comandada por una salida de la compuerta.

Un mayor número de niveles en un circuito causa que este tenga un comportamiento mas lento ya que la conmutación debe propagarse a través de más compuertas.

Un menor número de niveles requiere compuertas con un mayor fan-in lo que generalmente implica ocupar mas pastillas en la implementación.

3: Canónicas 27

A B C D W X Y Z0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 00 1 1 0 0 1 1 10 1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 X X X X1 0 1 1 X X X X1 1 0 0 X X X X1 1 0 1 X X X X1 1 1 0 X X X X1 1 1 1 X X X X

off-set de W

estos patrones de input nunca se deberían encontrar en la practica – "don’t care" sobre susvalores de salida se pueden utilizar en la minimización

Funciones incompletamente especificadas Ejemplo: Número binarios codificados (BCD) incrementado por 1

BCD codifica números decimales 0 – 9 en los patrones de bits 0000 – 1001

don’t care (DC) set d W

on-set de W

3: Canónicas 28

Descripción de funciones incompletamente especificadas Formas canónicas y don’t cares (X)

Hasta ahora solo han representado on-set Formas canónicas también representan conjunto don’t-care Se necesitan dos de los tres conjuntos (on-set, off-set, dc-set)

Representación canónicas de la función BCD incrementada por 1:

Z = m0 + m2 + m4 + m6 + m8 + d10 + d11 + d12 + d13 + d14 + d15

Z = Σ [ m(0,2,4,6,8) + d(10,11,12,13,14,15) ]

Z = M1 • M3 • M5 • M7 • M9 • D10 • D11 • D12 • D13 • D14 • D15

Z = Π [ M(1,3,5,7,9) • D(10,11,12,13,14,15) ]

3: Canónicas 29

Simplificación de lógica combinacional de dos niveles

Encontrar una realización mínima de suma de productos o productos de suma. Explotar información X (don’t care) en el proceso.

Simplificación algebraica no hay procedimiento algorítmico/sistemático. ¿como se sabe cuando la mínima realización se

encontró? Herramientas computacionales

Soluciones precisas requieren tiempos de computación largos especialmente para funciones con muchos inputs (> 10).

Heurísticas se usan para encontrar “buenos” resultados (generalmente no son el óptimo global).

3: Canónicas 30

Simplificación de lógica combinacional de dos niveles

Métodos a mano son relevantes Para encontrar las herramientas automáticas y

sus fuerzas y debilidades. Se pueden verificar resultados (en casos

pequeños).

3: Canónicas 31

A B F

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

B tiene el mismo valor en las dos filas– B semantiene

A tiene valores diferentes en ambas filas– A se elimina

F = A’B’+AB’ = (A’+A)B’ = B’

Simplificación de lógica combinacional de dos niveles Teorema de unificación, clave para la simplificación :

A (B’ + B) = A Esencia de la simplificación de lógica de dos niveles

encontrar (o crear) subconjuntos de dos elementos del on-set en los cuales solo una variable cambia de valor – esta variable puede ser eliminada y un término puede remplazar al los dos térmimos previos

3: Canónicas 32

Simplificación de lógica combinacional de dos niveles

Usando teoremas para minimizar (e.g. idempotencia, commutatividad, distributividad, unificación, complementariedad, identidad,...)

Ejemplo:Cout = A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin

= A’ B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin= A’ B Cin + A B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= (A’ + A) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= (1) B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A B’ Cin + A B Cin’ + A B Cin + A B Cin= B Cin + A B’ Cin + A B Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A (B’ + B) Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A (1) Cin + A B Cin’ + A B Cin= B Cin + A Cin + A B (Cin’ + Cin)= B Cin + A Cin + A B (1)= B Cin + A Cin + A B sumar terminos

para factorizar

3: Canónicas 33

Diseño lógico: perturbaciones

Implementaciones de circuitos lógicos pueden incluir condiciones que causan perturbaciones (como resultados de carreras) en los outputs de implementaciones de circuitos.

En circuitos con más de dos niveles pueden generarse perturbaciones con más de un cambio momentáneo.

3: Canónicas 34

Ejemplo: perturbaciones

Implementaciones de circuitos lógicos pueden incluir condiciones que causan perturbaciones (como resultados de carreras) en los outputs de implementaciones de circuitos.

Una perturbación estática es un cambio momentáneo de un nivel constante en el output (un falso cero o un falso uno).

En circuitos con más de dos niveles pueden generarse perturbaciones con mas de un cambio momentáneo.

Una perturbación dinámica es una perturbación que ocurre durante el cambio de una variable de salida.

3: Canónicas 35

Diseño lógico: perturbaciones

Ejemplo: P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ = A’(AB’+C’D)

Con {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} se presentan perturbaciones en el canto de bajada de A atrasado

Actividad: Mostrar porque y como ocurre esto e indicar como eliminar el problema

AB

CD

P

3: Canónicas 36

Actividad: Diseño lógico y perturbaciones

¿Porque ocurre las perturbaciones? Recordemos que las perturbaciones ocurren cuando una misma señal tiene múltiples caminos que causan carreras en los inputs a una compuerta.

XX’

X

X’

3: Canónicas 37

Actividad: Diseño lógico y perturbaciones Ejemplo: z = x + x’

En una tabla de verdad se aprecia que y nunca debería ser 0 Pero dado que hay carreras z si es 0 en el diagrama temporal

(perturbación)

X

X’

Z

X

X’

Z

t

perturbación

Carrera en señales de entrada

3: Canónicas 38

Actividad: Diseño lógico y perturbaciones Análisis: Si se hace una tabla de verdad se puede

apreciar que la salida P nunca es igual a 1.

Cuando A = 1 y {B=0 y C=1} o {B=0 y D=0} después de un tiempo de propagación X = 1 y X’ = 0.

Después del cambio de a A = 0 y de una propagación en la ruta mas rápida X = 0 y X’ = 0.

Es durante este tiempo de propagación que P se convierte en 1 causando la perturbación.

AB

CD

P

X

X'

Y

Z

3: Canónicas 39

Actividad: Diseño lógico y perturbaciones

Solución: Para eliminar la perturbación se puede simplificar más (para eliminar la carreras de X con X’...):

P = (((A’+B)’ + (D’+C)’)’+A)’ = A’(AB’+C’D)

= A’AB’ + A’C’D = A’C’D

Mas ejemplos en los apuntes...

AB

CD

PA’C’D

P