Unidad 1 Significado de los números 1.1 "Números": sentido y amplitud del término

Los números son usados como expresión o representación de las cantidades. Son entes abstractos que indican cantidad o medida. Se definen como la expresión de la relación entre la magnitud y la unidad o bien como el resultado de medir una magnitud. A veces, se usa la palabra número en referencia al signo o conjunto de signos que expresa al número. Por ejemplo, en la frase "Lee bien, es un 3, no un ocho". A veces se usa en vez del término dígito, o bien en vez de cifra: "el número que está antes de la coma". Esta multiplicidad de sentidos es propia del lenguaje cotidiano, en el cual el contexto juega un papel importante en la comunicación. En el lenguaje cotidiano se usa indistintamente dígito o cifra, y se confunde el número con el guarismo que lo representa, a pesar de que esta terminología es parte de la matemática escolar. En la enseñanza media continúan las ambigüedades. Para muchos alumnos el símbolo o letra griega sirve para representar el número 3,14; o para algunos, un número con infinitos decimales cuyas primeras cifras son 3,14159. Es decir, es interpretado como si fuera un símbolo y 3,14159... como si fuera el número. Incluso, en un diccionario es posible leer que el valor numérico de la expresión e es 2,718281828459, en el sentido de que la representación del número en el continuo de la recta numérica permite valorar o identificar cuan grande o pequeño es un número.

En algunas ocasiones los números se utilizan como identificadores; por ejemplo, para indicar una línea de teléfono o el código de un producto en una tienda. En estos casos los números no indican orden ni se vinculan a la operatoria aritmética. En otros casos los números se utilizan como ordinales, estableciendo criterios de ordenación, como en el caso de tomos de libros, o en las colillas que establecen la prioridad en la atención de clientes en un local u oficina pública.

Al emplearse el número como un cardinal, se llega a un nivel de complejidad inesperado. El número pasa a ser una cantidad u objeto abstracto ligado a otros por relaciones de diferencias (adición) y relaciones de mutiplicidad (producto). Tres es dos más uno; Seis es tres veces dos, etc. Surge una gran variedad de relaciones que hace que el aprendizaje de los significados de los números sea un proceso lento. ¡Complejo proceso que muchas veces es obviado por los profesores!.La noción de número no se restringe a las cantidades tangibles. Se extiende a la noción de ausencia de cantidad y a las cantidades negativas. Las cantidades enteras, como los haberes y las deudas o déficit de haberes son expresados por los número enteros. La misma noción de cantidad abarca un nuevo ámbito. Por ejemplo, 4 grados por debajo de cero se expresa –4 grados. Esta extensión del concepto a cantidades negativas dio origen o como también podría decirse

“existencia” a los números negativos, y consecuentemente a un concepto más amplio para el término número.

Otro concepto asociado a la idea de número es la noción de medida. ¿Cuál es tu talla?, ¿Cuánto mides?. ¿Cuánto tiempo dura la clase?, ¿Qué temperatura hubo ayer?. Ya las primeras civilizaciones humanas utilizaban medidas de longitud, de volumen, de ángulos, de tiempo y de valor (monetario). La noción de medida llevó a la aparición de números quebrados, a fraccionamientos y fracciones. En la antigüedad, las mediciones se referían a propiedades físicas como la altura de una pirámide, la capacidad de un tonel, la distancia entre dos pueblos o el tamaño de un terreno. Para medir se usaban unidades relativamente estándares como pie, cuarta, días de marcha, etc., comparando una magnitud denominada unidad con otra magnitud de la misma “especie”.

Aunque es habitual que se hable de número como expresión de la cardinalidad de un conjunto, es decir en su acepción más natural, con las fracciones el concepto de número toma muevas significaciones. Si bien, ¾ se puede pensar como 3 cuartos, donde 3 indica una cantidad entera de "cuartos", lo más usual es pensar las fracciones como otra categoría de números. Las fracciones son pensadas como razones o cuocientes. Bajo esta interpretación, el denominador indica la cantidad de partes que componen el entero, y el numerador es la cantidad de partes elegidas. Pero hay más, las fracciones también son pensadas como números en sí mismos, en cuanto a que representan cantidades en sí mismo. ¾ Kg. de sal es una cantidad tan válida como 1 Kg. o 2 Kg. Es decir, los números fraccionarios indican tanto razones entre cantidades como cantidades en sí mismo. Y de este modo, el concepto de cantidad se extiende para abarcar el concepto de medida.

Algunas personas, en particular los alumnos de Enseñanza Media, aprenden que 2 es un símbolo que indica aquel número que multiplicado por sí mismo resulta 2. Es decir, piensan en el operador actuando sobre 2. Ellas identifican 2 como un símbolo para representar 1,4142..., como si 2 fuera el numeral o el guarismo, y 1,4142... fuera el número (o su aproximación); sin tomar conciencia de que ambos son signos para representar un mismo número. Por otro lado, algunos alumnos piensan que 2 no es número, o bien no existe, ya que sólo podemos aproximarnos a su expresión decimal, pero nunca alcanzarla. Es decir, piensan 2 como un valor límite que no se alcanza.

El problema de existencia se más equívoco cuando se hace referencia a los números imaginarios. En algunos textos escolares se afirma que -1 no es un número propiamente tal, puesto que ningún número al cuadrado resulta ser negativo. Se entiende el calificativo imaginario, como si fuera no real, imposible de ubicar en la recta numérica, y por ende, sin posibilidad de representar una cantidad, ni representar una medida. Es decir, el número imaginario no es “expresión de la relación entre la magnitud y la unidad” por lo

cual no podría ser un número. Bien puede decirse que se trata de una nueva clase de número, la cual no es número en el ámbito del sentido común asignado al concepto de número. Se plantea el número imaginario como un número teórico, útil para dar respuesta a ciertos problemas, pero que en la realidad no existe. Desde esta perspectiva intuitiva, los reales existen como correspon-dencia a las magnitudes o a las longitudes de trazos.

Los números imaginarios dan origen a los números complejos, cuya representación es posible en el plano, de tal modo que los pares ordenados de números reales son una representación alternativa de los números complejos.

De allí cabe preguntarse si los tríos ordenados que indican puntos o posiciones en el espacio son una forma de representación de ciertos números que no conocemos. Los matemáticos han demostrado que los “cuaterniones” en dimensión cuatro y los “octones” en dimensión ocho permiten generalizar las propiedades de la suma y el producto de los números y que de allí en adelante no es posible hacer nuevas generalizaciones conservando propiedades básicas como la asociatividad. Se aprecia que el concepto de número es complejo y esta complejidad es tal que son pocas las personas que podrían decir “qué hace que algo pueda ser llamado número”. Esta complejidad se da en conexión a la geometría donde los puntos no ocupan lugar, están "pegaditos", pero no están uno al lado del otro. Curiosamente, al tomar varios puntos, digamos todo un intervalo, los puntos pasan a ocupar un lugar. El asunto, en todo caso, es poco intuitivo y bastante confuso. Tanto la aritmética como la geometría, los temas predilectos de la matemática elemental, desbordan nuestra intuición.

Una última reflexión. Muchas veces se habla de números que no existen, de números que no son reales, sino imaginarios. Preguntémonos: ¿Qué hace que un número no exista o no sea real?. ¿Puede un número dejar de existir?. ¿Estamos haciendo referencia a una abstracción de la existencia física; a una existencia en los libros, en nuestras mentes, en el mundo de las ideas de Platón o en el marco de los conceptos a priori de la filosofía Kantiana?.¿Estamos haciendo referencia a una existencia formal,... a la existencia que otorga el cuantificador existencial en las teorías axiomáticas desarrolladas por Hilbert, Dedekind y otros matemáticos?. La noción de existencia es una cuestión central en esta problemática, la cual será retomada en la sección 1.3.

En un sentido moderno, los números son sistemas de símbolos en el que se establecen relaciones entre sí. Son símbolos cuyas relaciones son coordinables con las nociones de orden, cantidad y medida. Muy bien se puede definir de manera arbitraria “7+1=1”, y de hecho, ese sistema de numeración finita existe, se estudia en álgebra abstracta y es consistente con la orden de los días de la semana: el lunes sigue al domingo.

1.2 Cantidad, magnitud y medida en ciencias experimentales

Magnitud, entre sus acepciones, significa tamaño o grandor: cuan grande es algo. Así surgen frases como "tenemos un problema de gran magnitud". Pero, también significa, en el sentido que nos interesa profundizar, cualidad de un cuerpo o fenómeno que referida a una unidad de la misma especie se expresa por medio de un número. Otra definición, en cierto sentido equivalente a la anterior, establece que magnitud corresponde a lo que es capaz de aumento o disminución. Son magnitudes volumen, masa, pluralidad, pluralidad de cosas, amplitud angular y temperatura, por ejemplo. Cantidad, en ciertos contextos se usa como sinónimo de magnitud. Pero en la acepción que nos interesa, cantidad es el resultado de una medición; lo que puede medirse o numerarse. También, se dice que la cantidad es la magnitud sujeta a un número, es decir es la medida de la magnitud.

Número es definido como expresión de la relación entre la cantidad y la unidad. También es definido como expresión de la relación de la magnitud y la unidad. Según Aristóteles, a diferencia de la unidad, lo que es divisible es la multiplicidad. Esta multiplicidad deriva en cantidad si es numerable y deriva en magnitud si es mensurable. En un contexto epistemológico más moderno, como postuló Lebesgue, la medida es una función de un conjunto en los números reales no negativos que cumple tres propiedades básicas, con las cuales se inicia el estudio de la teoría de la medida, lo que no será abordado en este texto, pese a lo simple y profundo de la misma.

magnitud

En el contexto de la Física y la Química se dice que una magnitud es una propiedad de un fenómeno físico o químico susceptible de tomar diferentes valores numéricos, por ejemplo la temperatura o la presión. También magnitud es una cualidad de un cuerpo a la cual se puede asociar un número por comparación con la unidad de medida de la misma. En otras palabras es cualquier propiedad de un cuerpo medible, por ejemplo: longitud, área, peso, temperatura, etc.

Los lados del rectángulo tienen cierto largo, es decir, cierta longitud. La longitud es un tipo de magnitud.

Se dice que dos magnitudes son de la misma especie cuando se refieren a la misma propiedad de un cuerpo. Por otro lado, dos magnitudes de distinta especie pueden estar relacionadas entre sí. La cantidad de dinero recaudada en un espectáculo, por ejemplo, depende de la cantidad de personas que asisten. La cuenta de teléfono en una casa, por ejemplo, depende del numero de

llamadas, del tiempo que dure cada llamada y de la hora en que se efectúen llamadas. Para saber si dos magnitudes están relacionadas entre sí, se puede observar si un cambio en el valor de una de ellas trae como consecuencia una variación en el valor de la otra. Por ejemplo, la duración de una noche depende de la época del año.

medida

La palabra medida no siempre es usada como término matemático, a veces se usa como "mesura", por ejemplo, cuando se toma una medida disciplinaria con un grupo de alumnos. Otra forma de entender medida es como la comparación entre dos magnitudes de la misma especie. La medida es entendida como el resultado del proceso de medir.

El proceso de medir consiste en obtener una expresión numérica para la relación que existe entre dos magnitudes de la misma especie, adoptando una convencionalmente como unidad.

A B El segmento AB tiene un tamaño o magnitud el cual es adoptado como unidad de medida.

C DLa medida del segmento CD es el número de veces que la magnitud CD contiene a la de AB.

Antiguamente se usaban las cuartas y los pies como unidades de medidas, lo que no era a veces muy conveniente, ya que la medida "cuarta" no era igual en todos lados, dependiendo del tamaño de la mano de las distintas personas involucradas en la medición. En el siglo XVII fue propuesto un sistema universal de medidas, tomando como base la longitud del arco de meridiano equivalente a 1º. En 1792 hubo nuevos acuerdos en una comisión de la Academia de Ciencias de París que hizo posible la construcción del patrón denominado metro, el cual se empezó a difundir el sistema métrico con carácter obligatorio en distintas naciones: Alemania(1872), España (1849), Perú (1869). Fue sólo recomendado en otros países: Estados Unidos (1875), Rusia (1900).

Cuadro comparativo: Cantidad, Magnitud y Medida.

Cantidad Magnitud Medida Unidad de Medida4 metros longitud 4 metro12 horas tiempo 12 hora

$ 50 dinero 50 peso

1.3 Los números en las ciencias formales.

La serie de libros “Elementos” de Euclides, siglo III a.C., presenta por primera vez en la humanidad una organización de conceptos matemáticos desde una perspectiva axiomática deductiva. Los axiomas son presentados como las propiedades básicas, indiscutibles, próximas a la intuición, evidentes, elementales, y por ende, prácticamente imposibles de deducir a partir de otras (lo que en todo caso es un error). El resto de las propiedades se deducen a partir de los axiomas y las nuevas propiedades que se van estableciendo. Estas nuevas propiedades son los teoremas, que se obtienen deductivamente a través del proceso denominado demostración. Los axiomas, al tener su justificación en la intuición, son de naturaleza experimental. Es decir, la matemática es construida como un lenguaje que describe a la naturaleza, como una ciencia experimental y no como una invención del hombre que la interpreta. A fines del siglo XIX fueron creadas nuevas geometrías con axiomas que contravenían a los de Euclides; las cuales fueron utilizadas en la explicación de importantes fenómenos naturales a principios del siglo XX. Esta situación contradictoria da paso a la matemática moderna; una matemática cuyos axiomas son sólo acuerdos o postulados que sirven como punto de partida del sistema axiomático sin entrar en cuestión de si son fieles a la descripción de la naturaleza.

Este nuevo marco explicativo para la matemática da una connotación definitiva a los números. Los números pasan a constituirse en objetos abstractos a partir de los cuales se hace teoría. Los números dejan de ser expresión de la cantidad y quedan libres para que la imaginación del matemático establezca nuevas relaciones entre ellos o bien deje fuera algunas. Con este amplio grado de libertad, la matemática se libera de la filosofía y se libera de las ciencias experimentales, pasando a constituirse en una ciencia formal. Así surgen distintos sistemas numéricos: los números naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Estos sistemas, con sus propios axiomas y alcances, admiten superposiciones que los unifican y dan cabida a que se mantenga el nombre genérico de sistemas de números.

El concepto de número, como objeto abstracto está latente en la mente del ciudadano actual. Pero la conceptualización del número como tal, independiente de los ordinales, las cantidades y las medidas, no se privilegia en la práctica. Se transita de una noción a otra, sin tener claridad de este tránsito.

Han pasado más de 100 años desde que se gestó la matemática formal. Siguiendo los pasos de la geometría, la aritmética con Peano, Dedekind, Cauchy, Cantor y Weisstrass fue estructurada como un sistema axiomático deductivo. En este sistema, los números son los elementos sobre los cuales se establecen relaciones: axiomas y teoremas y no tienen ningún atributo que los ligue al mundo físico. Los números existen en la teoría porque se los puso allí.

No responden a una existencia física, sino a una existencia de voluntad: los números existen porque los axiomas establecen que allí están o por que los axiomas establecen reglas que determinan su construcción.

En los sistemas formales se declaran a) entes u objetos abstractos, b) relaciones entre ellos y c) reglas para obtener nuevos entes y relaciones. El trabajo con las reglas permite la construcción de una teoría axiomático deductiva, la cual en muchas oportunidades actúa como un modelo de situaciones concretas y permite explicar y predecir situaciones y fenómenos de la naturaleza, e incluso de carácter social o psicológico. Una teoría se asimila a un juego, cuyos elementos corresponden a las piezas del juego y cuyo sentido está dado por las relaciones establecidas en las reglas predeterminadas y las que se siguen de ellas. Bajo este marco interpretativo, los números son los elementos de los distintos sistemas: números naturales, y enteros entre otros

Retomando la idea de existencia

En el lenguaje común se dice que un objeto existe cuando es real o tangible, a diferencia de lo que es imaginado, de fantasía o de carácter conceptual. Por otro lado, las ideas, conceptos e imágenes, por el hecho de ser concebidas, estar presentes en la mente humana y ser factibles de comunicar o expresar a través del lenguaje tienen una modalidad de existencia propia. Los números caben en esta segunda categoría y no tiene sentido sostener que ciertos números existen y otros no. Cuando se cuestiona la existencia de un número en matemáticas, se está preguntando si el número es o no un elemento de un sistema determinado. Y no se está preguntando, como la intuición nos lo hace pensar, si el número es expresión de una cantidad o de una medida o si cumple alguna condición que lo haga identificable con algún objeto real o relación entre objetos reales. En el sistema de números naturales el número 1 es un objeto primitivo de la teoría, el cual por axioma es parte del conjunto N. Además se asume como válida la siguiente regla “Siempre hay un número siguiente a uno dado”. Luego, existe el siguiente de 1, al que se le da el nombre de “2”. Por la misma regla existe el siguiente de 2, y así sucesivamente cada número natural. Definir en matemáticas es más que asignar un nombre a ciertos objetos que cumplen una propiedad, es también construir tales objetos dejando evidencias a partir de los axiomas que cumplen las propiedades que los definen.

1.4 La fenomenología matemática

La disciplina que trata los fenómenos que están en el origen de los conceptos matemáticos se llama fenomenología matemática. Esta disciplina estudia los contextos en los cuales se trabaja la matemática. Para el estudio de los números, la fenomenología matemática estudia el contexto de ordenar, contar, medir. Y también los contextos operacionales como repartir, agregar, reiterar y separar. La fenomenología permite ligar el concepto axiomático con el

contexto. Las matemáticas surgen de los fenómenos. Las matemáticas abstraen, organizan y estructuran grandes familias de fenómenos, dando lugar a los conceptos matemáticos.

Una presentación más detallada de los contextos numéricos, complementando lo expuesto en la sección 1.1, es la siguiente:

a) Identificadores o etiquetas: en los casos de líneas de teléfono, RUN, códigos postales y otros.

b) Ordinales: indicando la posición en una secuencia o ubicación temporal.c) Cardinales: en el conteo de objetos o clases, cantidades, dando paso al

estudio de la numerabilidad y de la conmensurabilidad.d) Medidas y Razones entre números, cantidades y magnitudes: a partir de

lo cual se estudia la razón entre la diagonal y la base del cuadrado, y como la razón entre la circunferencia y su diámetro, y en general los inconmensurables.

e) Vectores: para representar puntos del plano y diversos fenómenos físicos.

f) Elementos de conjuntos abstractos: como en los casos de los sistemas numéricos, con los cuales se construyen teorías de números.

Este listado se complementa con la enumeración de algunos fenómenos asociados a los contextos en que se utilizan los números:

- Agregar, repartir, quitar, calcular diferencia, en las operaciones aritméticas.- Los cálculos astronómicos, agrícolas y comerciales, y el uso de monedas.- Las máquinas para calcular: ábaco, sumadoras, calculadoras.- Los microprocesadores: computadores, lector óptico, digitalización de

imágenes y sonido.- Diversas actividades humanas o procedimientos: iterar, separar. - Diversos fenómenos naturales: ciclos, secuencias infinitas.- Operaciones formales o simbólicas: operadores, sucesiones y elementos de

una teoría.- Coeficientes para representar la pendiente o el intercepto de una recta, o los

coeficientes en una ecuación. Esto como ejemplo de innumerables modelaciones matemáticas.

- Coordenadas: ubicación en una recta, un plano o en el espacio.- Los juegos: azar, cuadrado mágico, torres de Hanoi. Operación cifrada,

problemas de ingenio, acertijos, adivinanzas y en actividades de indagación, desafíos o formulación de conjeturas.

1.5 Origen de los Números

Algunos estudios señalan que la idea de contar está presente en algunos pájaros y que es una conducta anterior a la existencia del hombre. Por su lado, la humanidad ha dado evidencias del conteo en vestigios rupestres y en marcas sobre huesos, desde unos 20.000 a 50.000 años atrás.

La base del surgimiento de los números puede estar en los fenómenos de diferencia y contraste en la naturaleza Cuando apareció el hombre en la tierra, una de sus primeras actividades fue el observar su entorno. De este modo tomó conocimiento de las relaciones numéricas en la naturaleza, dándose cuenta en la diferencia, por ejemplo entre una piedra y una roca, y contraste de las cosas, por ejemplo entre la redondez de la luna y la rectitud de un tronco.

Cuando el hombre pudo tomar conciencia de sus posesiones, tuvo la necesidad de contar y de ordenarse. Su ingenio le permitió desarrollar diversas formas de contar. Los dedos de las manos e incluso de los pies fueron usados desde la antigüedad para contar. Ello probablemente dio origen a algunos de los sistemas de numeración octal, decimal y vigesimal.

Otros fenómenos asociados al conteo y al desarrollo de la matemática se relacionan con las periodicidades de la luna, la tierra y el sol. Los cuales permitían estimar el clima, los períodos de cosechas, los períodos de gestación, las noches iluminadas de luna llena, etc. Los procedimientos de conteo también están asociados a los “cálculos”, término cuya raíz latina significa piedrecilla. Sin dudas los pueblos nómades requirieron contar sus rebaños, sus familias, las tribus enemigas y las flechas disponibles para la batalla, entre otros.

El empleo de sistemas de conteo mediante tarjas o piedrecillas debió hacerse insuficiente para llevar registros de resultados para volver a utilizarlos. Lo cual llevó a la conveniencia de emplear otros signos materiales que dieran permanencia a los resultados, como lo fueron los granos de arroz y nudos hechos de cintas, entre otros.

Los sistemas de conteo evolucionaron al igual que los pueblos de la antigüedad. En Egipto, por ejemplo, se desarrolló un sistema de numeración con el propósito de facilitar la estimación de la época de las cosechas, la manipulación de la temperatura de los metales, la predicción del ciclo lunar y las estaciones del año, y los cálculos de volumen de los recipientes y de las superficies de los terrenos. Situaciones similares se dieron en la Mesopotamia, el valle del Indo, en la China y en la península de Yucatán.

1.6 Formas de representación de los números

Los números se pueden representar de distintas formas: por medio de configuraciones puntuales (números triangulares y cuadrados; sistema Braile) o tarjas (códigos de barras: lector óptico) o combinaciones de puntos y rayas (sistema chino y código Morse). También se pueden representar por medio de guarismos o cifras (sistemas de numeración).

Los números también son comunicados a través de fonemas y gestos: como en el caso del código Morse y el lenguaje oral de muchos pueblos que ni siquiera llegó a ser escrito. En la mayoría de las lenguas la lectura de los números, el fonema, no siempre coincide con la grafía (el escrito). En inglés tenemos eleven, twelve, therteen, fourteen y en castellano tenemos once, doce trece, catorce....Se ha dicho que el sistema de numeración araucano es perfecto porque sus fonemas se traducen dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro; lo cual no sucede en otros idiomas.

Conforme a la ubicación geográfica e idiosincrasia, cada civilización desarrolló su sistema de numeración. En la mesopotamia se utilizó cuñas en la arcilla, en China varillas de bambú, en Egipto jeroglíficos y escritura en papiros. Para la representación de los números fueron desarrollados sistemas de numeración agregativos (romano, griego y hebreo) y otros posicionales (en que el valor de la cifra depende de su posición. Los babilónicos (3.000 a. C.) establecieron un sistema mixto (agregativo y posicional) de base sesenta. La base sesenta está ligada a diversos contextos: el 60 admite varios divisores, el radio es cercano a 1/6 de la circunferencia; las constelaciones son 12 y se distribuyen en casi 360 días, y el año se conforma de 6 veces 60 días. Los griegos, al estudiar la descomposición de un número en sus factores primos incursionaron un sistema de numeración en términos de factores, es decir un sistema multiplicativo y no aditivo (la adecuación de un sistema de esta naturaleza se justifica en el contexto del teorema fundamental de la aritmética). El sistema de numeración decimal, también denominado indo-arábigo, llegó a su estado actual a partir de tres hitos: utilización de signos propios para los dígitos, eliminación de símbolos especiales para todo número mayor que 9 y la incorporación del cero para establecer cifras vacías. Este sistema surge en el valle del Indo, es adoptado y mejorado por los árabes, y luego difundido en Europa a partir de la invasión árabe en la península ibérica.

Sabemos que un número es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible por tres. Curiosamente la divisibilidad es una propiedad de los números, en cambio, la propiedad de que la suma de los dígitos resulte múltiplo de tres deriva del sistema de representación decimal. Si representamos los números en base 8, la propiedad anterior deja de ser válida. Sin embargo, los números mantienen sus relaciones de divisibilidad. Pues, la divisibilidad es una propiedad de los números y no de sus formas de representación.

No todas las propiedades son realmente de los números. A veces lo son de las formas en que éstos son representados. Y por ello cabe la pregunta, ¿Existen mejores formas de representación que otras?. De hecho las distintas formas de representación permiten tener una comprensión distinta de los números. El sistema decimal, por ejemplo, permite dimensionar cuan grande es el número en función del número de dígitos que se emplean en su representación. Ello no ocurre en el sistema de numeración Romano.

El numeral Romano XV representa el mismo número que el numeral indoarábigo 15, y lo mismo puede significar una serie de barras conformes a un código o una configuración de puntos. En definitiva tenemos varios signos para indicar un mismo significado que en última instancia no es unívoco. Pues, en cierto momento es "la relación entre la unidad y la multiplicidad”, “la cantidad de veces que se repite la unidad de medida de una magnitud”, “el símbolo que indica la cardinalidad común entre conjuntos coordinables”, o bien, simplemente, “la ubicación o posición de un objeto en un conjunto totalmente ordenado”.

1.7 Los números en distintas culturas

Los números en la Mesopotamia

La Mesopotamia (que en griego significa “entre ríos”) se convirtió en uno de los primeros centros de civilización urbana. Se sitúa entre los ríos Tigris y Éufrates, en el amplio territorio ubicado entre la meseta de Irán y los desiertos de Siria y Arabia.

Las comunidades más antiguas de esta zona datan del 7000 a.C., y en ella florecieron diversas civilizaciones. Pasó a formar parte del Imperio persa en el siglo VI a.C. La riqueza natural de Mesopotamia siempre atrajo a pueblos procedentes de las regiones vecinas más pobres; y su historia es la de continuas migraciones e invasiones (Persas y Babilónicos). La lluvia es escasa en la mayor parte de la

región, pero cuando el fértil suelo se riega a través de canales produce abundantes cultivos.

Los Mesopotámicos utilizaban escrituras cuneiformes sobre tablillas de arcilla resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas solo unas 250 tienen contenidos matemáticos. Dichas tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales; sin ningún tipo de formulación matemática general, aunque tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar.

Los Babilonios utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal; carente de 0 y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el contexto o enunciado del problema. El sistema consta de sólo dos signos: un clavo vertical para la unidad y una espiga para la decena.. Los primeros 59 números se representaban con ayuda de estos 2 signos, de manera aditiva.

Para los números superiores a 60 se usó un verdadero sistema de posición, utilizando la espiga y el clavo vertical. Se desarrolló el sistema posicional sexagesimal, el cual consistía en ubicar los signos en unidad decena y centena, etc., pero siempre con base 60. así los números como por ejemplo: 7322 (en nuestra notación en base 10), se expresa de la siguiente manera en el sistema posicional sexagesimal: 2*(60)2 +2*60+2( ).

Los Babilónicos no contaron con un símbolo para indicar el cero posicional, pero si se dejó un espacio vacío para dar a entender la falta o carencia de una cifra. Hacia el año 300 a. C. se utilizó un par de cuñas oblicuas para llenar ese espacio vacío, por ejemplo:

= 2* 602+0*60+2.

Los números en la cultura Egipcia

Hace aproximadamente seis mil años, en el Valle del Río Nilo, surgió la civilización Egipcia. Ya asentado el hombre a orillas del Nilo pudo aprender técnicas de cultivo y crianza animal. Tiempo después las inundaciones comenzaron amenazar las cosechas; en el momento en que más necesitaba de esas siembras, ya que la población estaba creciendo y el alimento se hacía suficiente. Los egipcios necesitaron saber con precisión en que tiempo se producían las crecidas del Nilo, concluyendo que se producían cada 365 días. Crearon un calendario anual formado por 12 meses de 30 días y al final de cada año añadieron 5 días para completar el ciclo de 365 días. Este calendario, que es la base del nuestro, se empezó a usar hacia el 2800 a. C.

Las inundaciones anuales del Nilo borraban los límites de las tierras haciéndose necesario buscar fórmulas precisas de medida, creándose la necesidad de la Geometría, medida de la tierra. Por otro lado, debido al conteo de productos, fue creado un sistema de numeración en base 10.

El sistema de numeración Egipcio data de unos 5.000 años y utiliza una notación jeroglífica. El sistema está estructurado a partir de una escala de base 10, con símbolos distintos para cada una de las primeras media docena de potencias de 10.

Los egipcios operaron también con fracciones. Ellos desarrollaron técnicas de cálculo a partir de las fracciones unitarias, es decir, las fracciones que tienen como numerador la unidad. La fracción se representaban colocando un signo oval alargando como numerados y debajo de éste el número correspondiente al denominador.

La operación Aritmética fundamental en Egipto era la suma. La multiplicación se hacía por sucesivas duplicaciones o mediciones por ejemplo. Para multiplicar 69 por 19 se sumaba 69 consigo mismo (duplicación) para obtener 138, este resultado se sumaba consigo mismo lo que da 276; que duplicado nuevamente da 552 y duplicado una vez más resulta 1104, que es igual a 16 veces 19; pero como 19 = 16+2+1, el resultado de multiplicar 69 por 19 es 1104 + 138 + 69, es decir, 1311.

Una de sus técnicas para calcular el área de un cuadrilátero consistía en tomar el producto de las medidas del par de lados apuestos. Para hallar el área de un

círculo usaban el valor aproximado 3 1/6 que es equivalente a tomar el valor de próximo a 3,16.

Los números en el Valle del Indo

Alrededor del 2500 a. C., en adelante se desarrolló una civilización en torno al rió Indo, en lo que hoy es Pakistán y el occidente de la India.

Las ruinas de ciudades como Mohenjo Daro o Harappa muestran sistemas de drenaje, acequias de ladrillo, canales de regadío y casas de ladrillos de varios pisos. Aunque se desarrolló sistemas de escritura y cálculo, no quedaron documentos escritos, por lo que los historiadores se han basado en los descubrimientos arqueológicos para conocer las primitivas civilizaciones que hubo en el subcontinente.

La civilización desarrollada en el valle del Indo se podía equiparar a la antigua Mesopotamia y Egipto. Hacía mediado del tercer milenio a. C., la India sufrió la primera de una serie de invasiones de tribus indoeuropeas.

Los primeros indicios matemáticos en la India pertenecen a los siglos VIII y VII a. C. Principalmente lo constituyen aplicaciones geométricas para la construcción de templos y altares. En estos se utilizaba el teorema de Pitágoras y se planteaba la cuadratura del circulo. Sin embargo, fue entre los años 400 a 1400 aproximadamente de nuestra era, el periodo más sobresaliente de la matemática India, época en que aparece el sistema de numeración de base diez, el cero, los números positivos (pertenencia) y negativos (deudas), y también se empieza a desarrollar el álgebra. Un interesante aspecto de los Hindúes es la utilización de un lenguaje poético y metafórico, varias veces en verso, para escribir las matemáticas.

La aparición del cero se realiza dos siglos mas tarde de la primera referencia que conocemos a los otros nueve numerales. El sistema de numeración hindú

fue adoptado por los Árabes quienes a partir del siglo VII d.C. iniciaron una gran contribución al desarrollo de las matemáticas.

Los números en la cultura China

Los primeros chinos, los Han, se asentaron en las fértiles riberas del río Amarillo situado en el Continente Asiático, hacia el 4700 a. C. Los Han eran un pueblo de cazadores y pescadores; comenzaron a cultivar sus tierras con mijo, arroz y otros granos.

Los chinos eran muy supersticiosos y curiosos. Mostraron gran interés por explorar la naturaleza del nombre y del universo. En ese contexto desarrollaron los números, las matemáticas y la astronomía. Los chinos inventaron el reloj de agua y relojes de sol muy exactos, divididos en 100 unidades. Calcularon las fases lunares y la duración del año solar desarrollando un método para escribir números decimales. Zhang–Heng calculó para Pi un valor cercano a 3,14.

En china se utilizaron dos esquemas de notación desde los tiempos más primitivos. En uno de ellos predominaba el principio multiplicativo, mientras que en el otro se utilizaba una forma de notación posicional. En el primero había cifras para los dígitos de uno al diez y otras cifras para las potencias de diez. Los chinos también operaron con fracciones ordinarias, incluso hallaban el mínimo común denominador entre varias fracciones.

Los cálculos eran realizados con dos conjunto de varillas, uno de color rojo para representar números o coeficientes positivos y otro de color negro para los negativos, Pese a este uso, no aceptaron la idea de que un número negativo fuera solución de una ecuación.

Los números en la cultura Maya

La civilización maya se extendió en América desde la península del Yucatán (en la actual frontera entre México y Honduras). Esta cultura creó una civilización entre el 300 a. C. el 1.500 d. C. En cada ciudad había un gobernante y un centro ceremonial donde se adoraba a los dioses y se hacían sacrificios humanos.

Los mayas crearon grandes ciudades con templos y pirámides. Fueron el primer pueblo de América en desarrollar una forma de escritura, la pictográfica o jeroglífica. Escribían en libros hechos con cortezas de árbol o tallaban los caracteres en edificios y estelas.

Los mayas se destacaron por sus conocimientos matemáticos, astronómicos y por la complejidad de su calendario. Hicieron uso de un sistema vigesimal con dos anotaciones diferentes. Una de estas notaciones consta de sólo tres símbolos; el punto para representar el 1, la barra para representar el 5, y un ojo semi-cerrado para expresar el 0. Combinando los dos primeros símbolos escribían los números del 1 al 19. Para anotaciones superiores combinaban la posición desde arriba hacia abajo de los signos, de manera que cada nivel tenia que ser multiplicado por 20 según el sistema vigesimal. Por ejemplo, el número 10.025 lo expresaban con un punto (=1) del nivel de 8.000 (1x8.000=8.000); una barra (=5) del nivel de 400 (5x400=2.000), un punto del nivel de 20 (1x20=20) y una barra del nivel de 1 (5x1=5). La segunda notación contaba de signos distintos para cada uno de los números desde el 0 al 19. Esto signos eran cabezas que se relacionaban con sus divinidades.

La numeración en la cultura Mapuche

El pueblo araucano se ubicaba entre el Bío-bio y Valdivia. Desarrollaron la escritura wirinscheuke, una escritura primitiva que se grababa en las rocas. Además, desarrollaron el sistema de numeración denominado Prom, de origen mitológico religioso. La palabra Prom significa nudo. Este lenguaje se escribe mediante nudos en cinco cuerdas de lana, correspondientes a los cinco dedos de la mano. En un comienzo se ataba una cuerda a cada dedo, posteriormente se alargaron las cuerdas, colgándolas de una varilla, cada cuerda con un color diferente: Koli: Rojo, para registrar las unidades. Schod: Amarillo, para registrar las decenas. Kolfee: azul, para las centenas. Karic: verde, para los miles; y K: Negro, para los millones.

El sistema de numeración araucano describe cada número usando un sistema decimal perfecto. Once se escribe diez y uno. Doce se escribe diez y dos. Y así, cada número se describe en forma oral y escrita según la base diez. Quiñe significa 1 y Epu significa 2 en la lengua mapuche.

1.8 A modo de conclusión

El concepto de número se desarrolla en cada individuo, en conformidad al medio en que se desenvuelve, variando según la edad, la cultura y la especialización que vaya alcanzando en su vida. El matemático, por ejemplo, desarrolla una idea de número distinta a la de un electricista. Si preguntamos a un niño, a un técnico y a un matemático ¿qué es un número?, cada uno dará respuesta en función de sus experiencias de aprendizaje y de vida. Respuestas que seguramente variarán entre “símbolo para representar cantidad” y “ente abstracto a partir del cual se construyen teorías específicas”.

Ejercicios: (Operaciones cifradas).

Cuestionario

1) ¿Qué es número?, ¿Qué es magnitud?, ¿Qué es medida? ¿Por qué se dice que el concepto de número tiene una pluralidad de significado?

2) ¿ Qué significa que un número sea un identificador?3) ¿ Por qué el concepto de número depende de cada individuo y del medio

en que se desenvuelve?4) ¿ Cuál fue la primera actividad del hombre que se asocia con el origen

de los números?5) Nombra tres formas de conteo utilizadas por el hombre primitivo. 6) ¿Cuál es el significado de cada uno de los siguientes términos: cifra,

dígito, guarismo, numeral, número?7) ¿Qué es un sistema de numeración y en consisten los sistemas

numéricos?8) Ubique en un mapa y en una línea de tiempo las primeras civilizaciones

humanas y caracterice algunos de sus aportes al desarrollo de la matemática.

9) ¿Qué sistema de numeración utilizaron los babilonios, los egipcios, los hindúes, los mayas y los chinos?

10) ¿En cuáles civilizaciones antiguas se utilizó el cero como numeral posicional?

11) ¿Qué responde un niño y qué responde un matemático a la pregunta de qué es un número?

12) 2, -5; ¼; 0.32 y raíz(2), 2, 2+3i o (2; 3) son números. ¿Es un número el trío ordenado (2; 6; 4)?, ¿Por qué?

13) Explique la diferencia del concepto de número natural como “símbolo que representa cantidad” y el concepto de número como “ente de un sistema cuyo único significado está dado por las relaciones con sus pares”.

14) Haga un paralelo entre el sistema de numeración babilónico, egipcio y chino.

15) Mencione tres hitos por los cuales transitó el sistema decimal actual.16) Por qué se usa el sistema binario y no el decimal en computación17) ¿Corresponden a números los códigos de barras?, ¿las patentes de

vehículos?, ¿Por qué?18) Haga un paralelo entre las fracciones usadas por los egipcios y los

babilónicos.19) Muestre cómo representaban ¾ los babilónicos, los chinos o los

egipcios

Talleres 1 hoja

BIBLIOGRAFÍA

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