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NOTAS DE CLIMATOLOGIA

3

PROGRAMA DE APLICACIONES Y REDES ESPECIALES

FRECUENCIAS DE LA DIRECCION DEL VIENTO

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DISTRIBUCION DE VALORES EXTREMOS (PERIODOS DE RETORNO)

~ n- ¿ 1 •

Andr~s lnanco Garcia

Jefe Secci6n Estudios Climatol6gicos

Servicio de Climatologia del I.N.M.

DISTRIBUCION DE VALORES EYTREMOS (PERIODOS DE RETORNO) ---Para el estudio de una serie homogénea de n valores extremos independientes,

~' x2' x3' ............•.. ' xn (A)

correspondientes a una variable aleatoria x representativa de un cierto fen6meno

que transcurre en el tiempo, pueden seguirse varios m~todos; uno de los que dan

mejores resultados es el de Gumbel que parte de la funci6n de distribuci6n

F (x) = Prob ( w < x) = e - e - o<. (x - u)

en la que <::><. y u son parámetros con estimaciones ( v~ase bibliografia)~

y, por tanto

X.

o< = S

n

S

D<. (x - u) =

y u

S n

S

= X - y • ~ n S

n

[ (x. - i)2

(B)

(C)

[ J ~ ~ siendo :z: = y S = la media aritmética y la des"Viaci6n __

n n 1

tipica de la serie (A) de valores extremos, e

[ yi J [ (yi -Y )2 y S n (D) = y = L - ~ · n n

n n

la media y desviaci6n tipica de la serie

- L (L ~__!__), - L (L n + 1 ) ' - L (L n + 1 ) (E) yl = y2 = .... ' yn =

1 2 n

en la que n es el número de términos de la referida serie (A).

•

..

Se demuestra (v. bibliografia) que si

Y ______.. Constante de EuJ.er = 0,5772156 •••••• n

y que S n

= ~,2825498 ......•

- 2-

Cuando en la serie (A) los términos son valores extremos anuales, se denomi- ,;;,::·

na 11 periodo de retorno 11 o de 11recurrencian al inter-valo medio T, expresado en año~:.

en que el valor extremo alcanza o supera el valor particular X una vez solamente

- ot (x - u) De (B) se deduce: Prob ( w ~ x) = l. - F (x) - e = l. - e

y, teniendo en cuenta la definici6n de periodo de retorno, resulta

T = de donde -o<. (x - u)

- e e =

l. - e - e - 0<. (x - u)

y de aqui, tomando dos veces logaritmos neperianos, se llega a

ex (x - u) = - L (- L T - l. )

T = - L (L T )

T - l.

T - l.

T

(F)

Igualando los ú.l.tilnos - miembros de (C) y (F) y despejando x (x tendrá ahora

la significaci6n dada antes a X) resulta

X = Ka + ll

en l.a que K, denominado factor de frecuencia, es

K.r- y K n = (G)

S n

donde se ha hecho

~ - L (L T ) = (H)

T - l.

•

- 3

Es de notar que tanto KT como yi = - L (L n + 1 ), t~rmino general de la a& i

rie (E), son variables reducidas, por lo cual K es adi.mensional..

La determinaci6n de K mediante (G) exige el cálculo previo de KT por (H) par:

los T que interesen, y de Y y S por las (D) aplicadas a (E) para cada n concret1 n n una simplificaci6n de este cálculo puede hacerse con la tabla auxiliar de la p4g.

4, que da valores de Yn y Sn en funci6n de n, y de KT en funci6n de T.

Resulta útil tabular K para los distintos n y T más usuales, tal como se ha

hecho en la tabla de la página 5 que permite obtener fácilmente los valores

de K correspondientes a los n y T que incluye.

Los valores de K dados por la tabla, o calculados directamente mediante (G),

son aplicables a series (A) de valores máximos; para las de mínimos es fác~ ver

(bastaría multiplicar por -1 los t~rminos de la serie de minimos para -trahs:tormar.

la en otra de máximos) que los valores de K han de tomarse con signo opuesto. Es

decir, los valores de K obtenidos por la tabla o por (G), llevados a la expresi6n

+ X = - Ks + :x:

permiten finalmente determinar los X correspondientes, debiendose tomar del doble

signo que antecede a K el positivo para series de valores máximos y el negativo

para las de mínimos.

Para evaluar la exactitud de los X calculados, es conveniente determinar el

intervalo de confianza

X:!: t (c)·M

en el interior de cuyos límites es de esperar se encuentre el valor de X, para

niveles, e, de confianza dados. Los valores de t(c) para los niveles de confianza

más utilizados son

e = 95 % t(c) = 1,960

e = 90 % t(c) = l.,6.q.5

e = 80 % t(c) = 1,282

e = 68 % t(c) = 1,000

En la mayor parte de los casos, l.os valores de M pueden calcularse por medio

de la f6rmula

S

en la que, para la distribuci6n de Gumbel, m = V 1,1 K2 + 1,14 K + 1

siendo K el valor dado por (G) o por la tabla de la p~g. 5.

-------------------------------------

- 4 -

Valores de y y S en funci6n de n n n

n y sn n yn sn n

10 0.495207 0.949625 60 C.552884 1.174665 1 1 0.499614 0.967580 61 0.552385 1.175860 12 0.503498 0.983270 62 0.552678 1.177024 13 0.506951 0.997127 63 0.552963 1.178158 14 .. 0.510045 1.009478 64 0.553241 1.179263 15 0.512836 1.020571 65 0.553512 l. 180341 16 0.515369 1-030603 66 0.553776 }.,181392 17 0.517680 1.039730 67 0.554034 1.182418 18 0.519798 1.048076 68 0.554285 1.183420

t ~: r ·· 19 0.521749 1.055746 69 0.554530 1.184398

20 0.523552 1.062822 70 0.554770 1.185353 21 0.525224 1.069377 71 0.555004 1.186287 l.2 0.526779 1.075470 72 0.555232 1 • 1 8 7 1 99 23 0.528231 1.081152 73 ::>.555455 1.11;8091 24 0.529590 1.086464 74 C.555673 1.188964 25 0.530864 1.091446 7S 0.555887 1.11:l9818 26 0.532062 1.096128 76 0.556095 1.190653 l.7 0.533191 l. 100539 77 0.556299 1.191471 2H 0.534257 1.1047(·3 78 0.556499 1.192272 29 0.535266 1.108641 79 0.556695 1.193056

30 0.536221 1.112374 80 0.556886 1.193824 j1 0.537128 1.115917 81 0.557073 1.194577 32 0.537990 1.119285 82 0.557257 1.195315 33 0.538811 1.122493 83 0.557437 1.196038 34 0.539593 1.125552 84 0.557613 1.196747 35 0.540340 1.128472 85 0.557786 1.197443 36 0.541053 1.131265 86 0.557955 1.19!:3126 j] 0.541736 1.133937 87 0.558121 1.198795 j8 0.542390 1.136498 88 0.558284 1.1994-53 j9 0.?43018 1.138955 89 0.558444 1.200098

40 0.543620 1.141315 90 0.553601 1.200731 4 1 0.544198 1.143582 91 0.558755 1.201353 42 0.544754 1.145764 92 0.558906 1.201964 43 0.545289 1.147865 93 0.5~9055 1.202564 44 0.')4';805 1.149890 94 0.559201 1.203154 45 0.546302 1.151843 95 0.55')344 1.203734 46 0.546781 1.153728 96 0.559484 1.204304 47 0.547244 1.155549 97 0.559623 1.204864 48 0.547691 1.157310 98 0.559758 1.205414 49 0.548124 1-1~9012 99 0.559892 1.205956

lOO 0.560~23 1.28648'; 50 0.548542 1.160661 51 0.548947 1.162257 CD 0.577216 l. 282550 52 0.~49339 1.163804 53 0.549719 l.l653G5 Valores de KT para los

, usuales de T. mas

54 0.550087 1.166760 T KT T KT 55 0.558445 1.168173 56 0-550792 1.169546 2 0,3665l3 30 3,384294 57 0.551128 1.170880 5 1,499940 4Q 3,676247 58 0.551456 1.172176 lO 2,250367 50 3,901939 59 0.?51774 1.173438 15 2,673752 60 4,085953

20 2,970195 75 4,310784 25 3,198534 lOO 4,600149

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e

- 6 -

EJEMpLO ~Q

Rachas MAXIMA..S (en Km/h.) de viento anuales en e~ Observatorio de San Fernan­

do ( Cádiz).

Año

~965

66

67 68

69 70

7~

72

73 74

75 76

77

78

79 1980

Km/h.

100

87 ~02

9~

97 87

102

92 96 90

~o~

86

105 100 ~02

98

n = ~6 :X = 96,0 S = 6 ,27~6

Para T = 2 y T = 5 Obtenemos en ~a tab~a

K (16,2) = - 0,~444 ; K (~6,5) = 0,9553 Aplicando X = Ka + x saJ.e

x2 = - o,1444 x 6,27~6 + 96,0 = 95

x5 = 0,9553 x 6,27~6 + 96,o = ~02

Operando de igual. modo resu1 ta

T (años) X (Km/h.)

2 . 95 5 ~02

~o ~07

25 ll2

50 ll7 ~00 ~21.

Cálcu1o de ~os llmi tea de~ interv~o que inc~u­

ye, p. ej., a x25 = ll2, con un ni ve~ de . confia.n·

za del 9.5%:

e = 9~~; t(c) = ~,960; K (~6,25) = 2i6035 , .. ...

m = v~.~ x (2,6035) 2 + ~,~4 X 2,6035 + ~ =

= 3,3799

6,27~6

V16 M = 3,3799 = 5,2993

x25 ! t(c)M = ll2 ! ~,960 x 5,2993 = 112 ! ~o

- 7 -EJEMFLO 2Q

Precipitaciones M.A.XIM.A.S (mm.) en 24 horas en Vide de .AJ.ba (Zamora)

Año mm.

1.951 58,3 52 38,6

53 30,1.

54 44,6

55 40,2

56 39,3

57 27 ,l.

58 28,5

59 38,9 60 30,6 61. 41.,2

62 36,1.

63 65,0 64 30,4

65 40,1. 66 48,2

67 26,1. 68 46 1

' 69 46,4

70 40,8

n 50,6

72 30,2

73 56,2

1974 41.,5

n = 24; x = 40,629a; S = 1.0,1.755

Para T = 2, obtenemos en la tabla

K (24,2) = - 0,1.501

Aplicando X = Ks + i sale

x2 = - o ,1.501. ::z:: 1.0,1755 + 40, 6~2 = 39,1.

. Operando de igual modo re.sul.ta:

T (años) X (mm.)

2 39,1

5 49,7 10 56,7 20 63,5

30 6?,4

50 72,2 100 ?B,B

CUcuJ.o de los límites del. i.ntervaJ.o que incluye,

p. ej., a x30 = 6?,4, con un nivel de confianza del 800.-0:

e = 80%; t(c) = 1.,282; K (24,30) = 2,6275

~ 1,1 ::z:: 2 2,6275 + 1 = 3,4043 m = (2,6275) + 1.,14 ::z::

M = 3,4043 10ll755 = 7,0710 v24

~ ! t(c)M = 6?,4! 1,282 ::z:: 7,0710 = 67,4: 9,1

- 8- .

EJEMPLO 30

Temperaturas MINIMAS absol.utas de ENERO en el. Observatorio del. Retiro (Madrid

Año oc.

1941 7,6

42 - 5,2

43 2,3

44 - 4,0

45 - 10,1 46 - 5,6 47 - 5,2 48 2,6

49 - 2,3 50 - 2,5

5l. - 4,0

52 - 6,4

53 - 3,0 54 - 5,2

55 0,6

56 - 3,0

57 - 7,0

58 - 3,6

59 - 1,6 60 - 5,0 61 - 2,2 62 - 2,0

63 - 2,4 64 2,8

65 3,6 66 0,2

67 - 2,2 68 - 4,8 69 - 2,2

1970 o,o

n = 30 X = - 3,5867 ; S = 2,34o9

Para T = 2 y T~= 5 obtenemos en l.a tabl.a

K (30,2) = - 0,1526 y K (30,5) = 0,8664

Por tratarse de una serie de MINIMOS apl.icamos

X = - Ks + x resul. tando

x2 = 0,1526 x 2,3409 - 3,5867 = - 3,2

x5 = - o,8664 x 2,34o9 - 3,5867 = - 5,6

Operando de igual. modo resul.ta

T (años) X (QC.) ---2 - 3,2 5 - 5,6

l. O - 7,2 20 8,7

30 - 9,6 50 - 10,7

75 ll,5 l. OO - l.2,l.

Cálculo de l.os l.í.mi tes del. interTalo que incl.uye,

P• ej., a x50 =- 10,7, con un nivel de confianza

del. 90%:

e = 90% ; t(c) = 1,645 K(30,50) = 3,0257

M = 3,8105

X ! t(c)M =- 10,7 :!: 1,645 x 1,6286 50

+ = - 10,7 - 2,7

{

- 9 -

BIBLI OGRAFIA

1.- Guía de Prácticas Hidrometeorol6gicas.-O.M.H. nQ 186.-T.P. 82.- 1970.

2.- HidrologÍa y recursos hidráulicos.-Por Rafael Heras.-Centro de Estudios \

Hidrográficos. -Madrid.- 1972.

3.- Precipitaciones máYirnas en España.-Por F. Elías y L. Ruiz.-ICONA.-Mono­

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4.- Que1ques Méthodes de L'Ana1yse Climato1ogique.-Por H.C.S. Thom.­

O.M.M. nQ 199.- N.T. nQ 81.

5.- Statistics of extremes.-By E.J. Gumbe1.-Co1umbia University Press.- 1958.

6.- Las T.ABLA.S han sido calculadas por el Servicio de Informática del I.N.M.

Madrid, Mayo 1983

..