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CINEM ATICA1. Cinematica: trayectoria, velocidad y aceleracion

La cinematica estudia el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo pro-ducen (fuerzas). Junto con la dinamica, que s introduce el concepto de fuerza, conforman la mecanica.Segun el rango de dimensiones de las partculas involucradas y sus velocidades, la mecanica recibedistintos nombres:

Para simplificar, restringiremos el estudio a una partcula, es decir, un punto material. Masadelante estudiaremos sistemas de partculas, es decir, cuerpos formados por muchas partculas. Elmovimiento de una partcula viene determinado por su ecuacion de la trayectoria, que es el lugargeometrico de los puntos que recorre un movil. Matematicamente, es una funcion de las coordenadasdel movil y del tiempo:

f(x, y, z, t) = 0

Sistema de referencia

En primer lugar debemos tener en cuenta que el movimiento se estudia siempre en relacion a unsistema de referencia. Si el sistema de referencia estuviera fijo, el movimiento sera absoluto. Si semueve, el movimiento se denomina relativo. Realmente, no existe un sistema de referencia fijo. LaTierra se mueve, los planetas se mueven, las estrellas tambien... En definitiva, todos los movimien-tos son relativos. Si estoy sentado en un autobus, la persona que esta sentada a mi lado esta enreposo para m, pero esta en movimiento para un peaton que ve pasar el autobus. La descripcion delmovimiento depende del sistema de referencia que utilicemos. Existen dos tipos fundamentales desistema de referencia: inerciales y no inerciales. El sistema de referencia inercial es aquel en elque una partcula libre (sometida a una fuerza nula) se mueve con velocidad constante. El sistemade referencia inercial esta en reposo o se mueve con movimiento rectilneo y uniforme (velocidadconstante)respecto a otro sistema de referencia inercial. Si la velocidad vara con el tiempo (existeaceleracion), el sistema se denomina no inercial.

Angela Gallardo Lopez, Tema 2 - Cinematica 2

Vector de posicion, ~r

En general utilizaremos un sistema de referencia cartesiano, con origen en O ( es decir, ex-trnseco), e inercial. Cualquier punto P del espacio (partcula material) puede representarse en elsistema de referencia como un vector, al que llamaremos vector de posicion, ~r.

Punto P = (x, y, z)

Vector de posicion: ~r = ~OP = x~i+ y~j + z~k (1)

Figura 1: Vector de posicion ~r del punto P en el sistema de referencia extrnseco con origen en O

A veces resulta util cambiar de sistema de referencia. Nuestro punto P, con vector de posicion ~ren el sistema de referencia extrnseco O, tendra un vector de posicion ~r en el sistema de referenciacon origen en O. Esto lo veremos con mas detalle cuando estudiemos el movimiento relativo.

1.1. Ecuacion de la trayectoria

Si expresamos el vector de posicion en funcion del tiempo, tendremos la ecuacion del movimien-to en forma vectorial. La lnea descrita por la partcula (por el extremo del vector de posicion) almoverse, es la trayectoria. Podramos pensar que la trayectoria es el caminoque recorre P en lafigura 2. Puede ser rectilnea o curvilnea.

En la figura 2 puede verse como cambia el vector de posicion con el tiempo:

t = t0 ~r(t0) = ~r0 (Partcula en P0)t = t1 ~r(t1) = ~r1 (Partcula en P1)t = t2 ~r(t2) = ~r2 (Partcula en P2)


Figura 2: Trayectoria del movil P.

Ecuacion de la trayectoria en forma vectorial

~r = ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k (2)

Ecuaciones parametricas de la trayectoria

Si expresamos cada una de las componentes del vector de posicion en funcion del tiempo, ten-dremos las 3 ecuaciones parametricas de la trayectoria.

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

Vector desplazamiento, ~r

Como la partcula se esta moviendo, si su vector de posicion para un instante de tiempo t0 es~r0, transcurrido un intervalo t, su vector de posicion habra cambiado a ~r1. La diferencia ~r1 ~r0 = ~r es el vector desplazamiento -ver figura 3-. Hay que distinguir entre el modulo del vectordesplazamiento |~r| (cuerda) y el espacio recorrido sobre la trayectoria, s (arco)-ver figura 4-.Solo son iguales en movimientos rectilneos.

Radio de curvatura

En los movimientos con trayectoria curvilnea siempre podemos encontrar tres puntos proximosentre s tangentes a una circunferencia, llamada crculo osculador. El radio de esa circunferencia esel radio de curvatura de la trayectoria en esos puntos, . Es decir, podemos aproximar cualquiertrayectoria curvilnea a tramos circulares, como se puede ver en la figura 5.


Figura 3: Vector desplazamiento ~r = ~r(t+t) ~r(t)

Figura 4: El desplazamiento del movil s sobre la trayectoria circular de la figura es la longitud delarco AB, y no coincide con el modulo del vector desplazamiento ~r

Cuestion 1 Comprobar en la trayectoria circular de la figura 4 que |~r| 6= s.Solucion: s = arco = , mientras que |~r| = cuerda = 2 sen 2

Cuestion 2 Existe algun caso en el que el desplazamiento s coincida con el modulo del vectordesplazamiento |~r|?

1.2. Velocidad

Unidades de la velocidad en el SI: m s1Dimensiones: [v] = L T1.

Vector velocidad media .- Se define como:

~v =~rt

Vector velocidad instantanea(o simplemente, velocidad) .- Se define como la derivada del vectordesplazamiento respecto del tiempo:

~v = lmt0

~rt

=d~r

dt(3)


Figura 5: Trayectoria curvilnea con distintos radios de curvatura en cada tramo

Cuestion 3 Es el modulo del vector velocidad |~v| igual a dsdt?

Solucion: Podemos hallar el modulo de ~v a partir del de ~r:

|~r| = 2 sen(2

)|d~r| = 2d

2= d = ds

ya que sen ' para .

En coordenadas cartesianas, el vector velocidad instantanea viene dado por:

~v(t) =dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k

Figura 6: Vector velocidad. Para intervalos de tiempo muy pequenos, el vector desplazamiento ~res tangente a la trayectoria.


La velocidad de la partcula es siempre tangente a su trayectoria en cada punto. Esto pode-mos verlo graficamente en la figura 6, ya que:

t 0 ~r d~r ~ (vector unitario tangente a la trayectoria)

1.3. AceleracionUnidades SI: m s2

Dimensiones: [a] = L T2

Analogamente a como definamos el vector velocidad media y el vector velocidad instantanea,podemos definir los vectores aceleracion media y aceleracion instantanea:

Vector aceleracion media~a =

~vt

Vector aceleracion instantanea, o simplemente aceleracion

~a = lmt0

~a =d~v

dt(4)

La aceleracion instantanea 1 es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo, o, lo quees lo mismo, la derivada segunda del vector de posicion respecto al tiempo dos veces:

~a =d~v

dt=

d(d~rdt

)dt

=d2~r

dt2

En coordenadas cartesianas lo expresaremos como:

~a(t) =d2x

dt2~i+

d2y

dt2~j +

d2z

dt2~k

2. Componentes intrnsecas de la aceleracionSistema de referencia intrnseco

Cuando la partcula realiza un movimiento curvilneo, a menudo interesa utilizar un sistemade referencia intrnseco, con origen en la propia partcula, que se mueva con ella. Los vectoresunitarios de la base son un vector tangente a la trayectoria (en el sentido del movimiento) y otroperpendicular (sentido hacia el centro de curvatura):

1NOTA: de aqu en adelante, y, en general, cuando hablemos de velocidad y aceleracion, nos referiremos a los vectoresvelocidad y aceleracion instantaneas.


Figura 7: Sistema de referencia intrnseco, ligado al movil

As podemos expresar la velocidad en componentes intrnsecas:

~v = v~ (5)

Vemos que la velocidad solo tiene componente en la direccion tangencial a la trayectoria, esdecir, la velocidad es siempre tangente a la trayectoria.

Aceleracion tangencial y normal

Al derivar con respecto al tiempo el vector velocidad en coordenadas intrnsecas, obtenemoslas componentes intrnsecas de la aceleracion, una en la direccion tangencial a la trayectoria, consentido el del movimiento, y otra en la direccion normal (perpendicular), dirigida hacia el centrode curvatura. Estas componentes se denominan aceleracion tangencial y aceleracion normal ocentrpeta. Se les llama intrnsecas porque estan expresadas segun el sistema de referencia situadoen la propia partcula.

~a(t) =d~v

dt=

d v~

dt=

dv

dt~ + v

d~

dt

Ya que el vector tangencial ~ vara en el tiempo. Veamos ahora cuanto vale d~dt .

Figura 8: Derivada del vector tangencial ~


Cuestion 4 A partir de la figura 8, comprobar que d~dt = v2

~n.

Solucion En la figura 8 podemos ver que es perpendicular a ~r. Cuando el intervalode tiempo es muy pequeno: t 0 d y ~ d~ y ~r d~r, con locual, tiene direccion normal:

d~

dt ~n

En cuanto al modulod~dt :

|d~ | ' |~ | d = dComo ds = d, tenemos que:d~dt

= ddt = dds dsdt = 1 vNos queda entonces:

~a =dv

dt~ + v

d~dt~n = dvdt ~ + vv~n

~a(t) =dv

dt~ +

v2

~n (6)

donde es el radio de curvatura de la circunferencia osculatriz, y:

dv

dt~ = ~a Aceleracion tangencial

v2

~n = ~an Aceleracion normal o centrpeta

Utilidad de las componentes intrnsecas

Las componentes intrnsecas de la aceleracion resultan utiles porque nos indican que tipo demovimiento se esta realizando. La componente tangencial indica el cambio en el modulo de la ve-locidad (sera el equivalente a la aceleracion en una trayectoria recta), mientras que la componentenormal da cuenta del cambio en la direccion de la velocidad (al describir una circunferencia, la ve-locidad que es siempre tangente a la trayectoria, va cambiando su direccion en cada instante haciael centro de curvatura). Por esto la componente normal es nula en las trayectorias rectas, que solopueden tener aceleracion tangencial. Por el contrario, si la aceleracion tangencial es nula y soloexiste componente normal, significa que el movil esta recorriendo una trayectoria curva y mantieneconstante el modulo de su velocidad.


Calculo de las componentes intrnsecas de la aceleracion

Supongamos que tenemos la aceleracion y la velocidad en coordenadas cartesianas y quere-mos expresar la aceleracion en el sistema de referencia intrnseco. La componente tangencial de laaceleracion es su proyeccion en la direccion ~ , tangente a la trayectoria:

a = ~a ~ = ~a ~v|~v|ya que ~v = |~v|~ .

La componente normal puede hallarse restando vectorialmente:

~an = ~a ~a = ~a(~a~v

|~v|)

a

~v

|~v|~

Obtencion de la ecuacion de la trayectoria a partir de la aceleracion

Al igual que podemos obtener la velocidad y la aceleracion derivando la ecuacion de movimien-to ~r(t), podemos realizar la operacion inversa y obtener la ecuacion de la trayectoria a partir dela aceleracion integrando. Sin embargo, para que velocidad y posicion queden completamentedefinidas, necesitamos tambien conocer las condiciones iniciales (en t0) del movimiento: ~v0 y ~r0.

~a =d~v

dt

tt0

~a dt = ~v~v0

d~v tt0

~a dt = ~v ~v0

~v = ~v0 + tt0

~a dt (7)

~v =d~r

dt

tt0

~v dt = ~r~r0

d~r tt0

~v dt = ~r ~r0

~r = ~r0 + tt0

~v dt (8)

Estas ecuaciones son generales, validas para todo tipo de movimiento. De ahora en adelante, ypor simplicidad, tomaremos t0 = 0.


3. Casos particulares: movimiento rectilneo y circular3.1. Movimiento rectilneo

Es aquel cuya trayectoria es una lnea recta, con lo cual an = 0. Puede considerarse como unatrayectoria curva con radio de curvatura infinito.

3.1.1. Movimiento rectilneo uniforme

Su velocidad es constante, con lo que ~a = ~0

Rectilneo {~r, ~v} ~Uniforme ~v = ~v0 = cte

~r = ~r0 + t0~v0 dt = ~r0 + ~v0 t

Si tomamos el origen de nuestro sistema de referencia sobre la recta de la trayectoria, el vectorde posicion, el vector desplazamiento y la velocidad tienen la misma direccion. De este modo,la ecuacion vectorial se puede transformar facilmente en escalar considerando los sentidos de lasdistintas magnitudes.

3.1.2. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Su aceleracion es constante (solo hay aceleracion tangencial). Ejemplo: cada libre (tiro verti-cal).

Rectilneo {~r,~v,~a} ~ (~a = ~a )Uniformem. acelerado ~a = ~a0 = cte

~v = ~v0 + t0~a0 dt = ~v0 + ~a0 t

~r = ~r0 + t0(~v0 + ~a0 t) dt = ~r0 + ~v0t+

12~a0t

2

Al ser un movimiento rectilneo, los vectores aceleracion, velocidad y desplazamiento tienen la mis-ma direccion, tangente a la trayectoria (~ ), con lo cual la suma es sencilla. Debemos tener cuidadoy comprobar el sentido de cada vector para determinar su signo en la ecuacion escalar.

3.2. Movimiento circularSu trayectoria es una circunferencia (=cte). Mientras la partcula recorre un arco de circunfer-

encia s, el radio barre un angulo . Se definen las siguientes magnitudes:

Velocidad angular media : =

t


Unidades SI: rad s1Dimensiones: [] = T1

Velocidad angular :~ =

d

dt~n (9)

donde ~n es el vector unitario perpendicular al plano de la trayectoria, y su sentido vienedeterminado por la regla del sacacorchos.

Figura 9: Velocidad angular

Veamos ahora la relacion entre velocidad angular y velocidad lineal. En la figura 9 podemosver que:

ds = d v = dsdt

= d

dt

v = (10)

donde es el radio de curvatura de la trayectoria. Vectorialmente, tenemos que:

~v = ~ ~r (11)

La velocidad angular ~ es perpendicular al plano de la trayectoria.

Cuestion 5 A partir de la ecuacion 11 y de la figura 9 , demostrar que el modulo de ~v esefectivamente .

Aceleracion angular :

~ =d~

dt(12)


Unidades SI: rad s2Dimensiones: [] = T2

Cuestion 6 Expresar las componentes intrnsecas de la aceleracion en funcion de la velocidad y laaceleracion angulares.

Solucion: Si partimos de que v = , tenemos que:

a =dv

dt=

d

dt+

d

dt=0

=

an =v2

= 2

Cuestion 7 Obtener las componentes intrnsecas de la aceleracion a partir de la velocidad angular.

Solucion: Partimos de la formula 11:

~a =d~v

dt=

d

dt(~ ~r) = d~

dt ~r + ~ d~r

dt= ~ ~r

~a

+ ~ ~v ~an

Podemos comprobar que:

|~ ~r| = |~| |~r| sen

= = a

Cuestion 8 Demostrar que el modulo de ~~v es igual a la componente normal de la aceleracion,an = v

2

.

3.2.1. Movimiento circular uniforme

Se caracteriza por ser = cte, con lo cual = 0. Su aceleracion tangencial es cero; solo tieneaceleracion centrpeta. Este movimiento es periodico. Se pueden definir:

Periodo (T ) : tiempo en dar una vuelta completa.

Frecuencia () : numero de vueltas por unidad de tiempo = 1T

Circular an 6= 0Circular uniforme ~ = cte y ~ = 0 an = cte y a = = 0

Analogamente al espacio recorrido en el movimiento rectilneo uniforme x, el angulo barrido es:

= 0 + t


3.2.2. Movimiento circular uniformemente acelerado

Se caracteriza por ser ~ = cte.Circular an 6= 0Circular uniformemente acelerado ~ = cte

Analogamente al movimiento rectilneo uniformemente acelerado, la velocidad angular y elangulo barrido son:

= 0 + t = 0 + 0 t+ 12 t

2

Equivalencias entre las magnitudes del movimiento rectilneo en el eje x y el circular:

x vx ax

4. Movimiento relativo

Es el movimiento de una partcula vistodesde otra, es decir, expresado en un sistema de ref-erencia distinto. Si tenemos el movimiento de una partcula en el sistema de referencia con origenen O, podemos expresarlo respecto a otro sistema de referencia cualquiera, O, y lo llamaremosentonces movimiento relativo a O.

Para obtener las ecuaciones del movimiento relativo (a O)de una partcula necesitamos conocerlas ecuaciones del movimiento respecto a O tanto de la propia partcula como del nuevo sistemasistema de referencia O.

Figura 10: Vector de posicion de la partcula P relativo a O.

Vemos en la figura 10 que:~OO + ~r = ~r


~r = ~r ~rO (13)Velocidad de P relativa (con respecto) a O:

~v =d~r

dt d~rO

dt= ~v ~vO

~v = ~v ~vO (14)Analogamente, la aceleracion de P relativa (con respecto) a O es:

~a =d~v

dt d~vO

dt= ~a ~aO

~a = ~a ~aO (15)Para que O sea un sistema de referencia inercial (no acelerado), ~aO = ~0, lo que supone

que ~vO = cte (el movimiento es rectilneo uniforme), con lo estos dos sistemas de referenciacumpliran el principio de equivalencia de Galileo. No somos capaces de distinguir si un fenomenoesta ocurriendo en un sistema en reposo o en movimiento rectilneo uniforme, ya que las Leyes de laMecanica son identicas (equivalentes)en ambos sistemas. Si ademas consideramos que el sistema enmovimiento O se desplaza, por ejemplo, hacia la derecha del eje x, obtenemos las transformacionesde Galileo:

x = x vty = y

z = z

t = t

O

z

x O

y

x

z

y

v

|OO|=vt

Figura 11: Transformaciones de Galileo.

En el caso en que O tuviera una aceleracion ~aO 6= ~0, estaramos ante un sistema de referenciano inercial, donde apareceran unas fuerzas ficticias, llamadas fuerzas de inercia.


5. Descomposicion de movimientos

Hasta ahora hemos visto las ecuaciones vectoriales que relacionan ~r, ~v y ~a en el movimientorectilneo, pero como se trabaja con esas ecuaciones a la hora de abordar un problema concreto?.Que ocurre en el caso de trayectorias complicadas?

Nuestro objetivo es pasar de las ecuaciones vectoriales a otras escalares, para lo cual descom-pondremos cualquier movimiento en dos ejes, que pueden ser, por ejemplo, el eje horizontal x y eleje vertical y, y los estudiaremos por separado. En el eje x, solo apareceran las componentes sobreeste eje del vector de posicion, la velocidad y la aceleracion, es decir: x, vx y ax. En el eje y, soloapareceran y, vy y ay.

Ejemplo: tiro parabolicoUn balon de futbol es golpeado desde el suelo y adquiere una velocidad inicial v0 que forma

un angulo con la horizontal. Hallar la altura maxima que alcanza, la distancia horizontal quehabra recorrido cuando caiga de nuevo al campo y su velocidad en el momento del impacto con elcesped.

1. Dibujo esquematico del problema.- Establecemos nuestro sistema de referencia.

Figura 12: Esquema del problema de tiro parabolico

2. Datos del problema.- Determinamos las componentes de la velocidad inicial y de la acel-eracion en cada eje:Eje x: ax = 0 ; vox = vo cosEje y: ay = g ; voy = vo senEn nuestro sistema de referencia, el sentido positivo del eje y es hacia arriba. La aceleracionde la gravedad esta dirigida hacia abajo, con lo cual tiene signo negativo. En el instante inicial,(t = 0), x = 0 e y = 0, ya que la pelota parte del suelo.

3. Altura maxima.- Es la distancia recorrida en el eje y hasta que la pelota se para (vy = 0).Primero hallamos vy(t) a partir de ay.


vy = voy + t0aydt = voy +

t0(g) dt

vy = voy gtLuego, hallamos el tiempo que tarda en pararse:

0 = vosen gt t = voseng

Ahora hallamos el espacio recorrido en el eje y a partir de vy:

y = yo + t0vydt = yo +

t0(voy gt) dt

y = yo + voyt 12gt2

Sustituimos el tiempo y los datos del problema:

y = 0 + votsen 12g(vosen

g

)24. Distancia maxima en el eje x.- Es la distancia recorrida en el eje x desde que la pelota se

encuentra en el punto de partida ( suelo, y0 = 0), hasta que vuelve de nuevo a el y = 0.Primero hallamos el tiempo que tarda en caer al suelo:

y = yo + voyt 12gt2

0 = 0 + voyt 12gt2

Esta ecuacion de segundo grado tiene dos soluciones: t = 0, que no nos sirve, y:

t =2voyg

Hallamos la ecuacion de la velocidad y el espacio recorrido en el eje x:

vx = vox + t0ax dt = vox

x = xo + t0vx dt = xo +

t0vox dt = xo + voxt

Sustituimos el tiempo y los datos del problema:

x = 0 + vocos2vosen

g

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