2º TEMA 1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA

FÍSICA 2º BACHILLERATO UNIDAD 1: CINEMÁTICA Y DINÁMICA APUNTES DE TEORÍA 1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA

UNIDAD 1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA VECTORIAL

1. Vector de posición de un punto

La posición de un punto A en el espacio de tres dimensiones queda determinada por un vector que une el origen de coordenadas O y dicho punto: AOr = . Este vector se puede expresar en función de sus componentes cartesianas x, y, z, que en general serán funciones de la variable t (tiempo). Por tanto, el vector de posición podrá escribirse así:

(1)

A x=x(t), y=y(t) y z=z(t) se les llama ecuaciones paramétricas de la trayectoria.

2. Trayectoria y desplazamiento

La curva descrita por el punto material en su evolución temporal se conoce con el nombre de TRAYECTORIA. Si en las ecuaciones paramétricas del (1), eliminamos el parámetro t, obtendremos la ecuación cartesiana de la trayectoria, que en general responderá a la forma F(x, y ,z) = 0. Si el móvil se desplaza entre los puntos A y B de la trayectoria, efectúa un desplazamiento rrr −=∆ 1 y recorre un arco de longitud S.

3. Velocidad media e instantánea

Se define el vector velocidad media de un móvil entre los instantes t1 y t2 como:

12

12

tt

rr

t

rvm −

−=

∆∆=



Si tomamos incrementos infinitesimales, obtenemos el vector velocidad instantánea:

dt

rdv =

La expresión vectorial del vector velocidad instantánea en función de las componentes cartesianas de es:

siendo vx,vy,vz las llamadas componentes cartesianas del vector velocidad. Es importante señalar que el vector velocidad es siempre un vector tangente a la trayectoria (Ver definición y Fig 2.2 ).

4. Aceleración media e instantánea

Haciendo un razonamiento similar al realizado para definir la velocidad media e instantánea, para la aceleración tendremos:

Este vector aceleración no es tangente a la trayectoria,

su dirección será hacia el interior de ésta y dependerá

del valor de sus componentes. A continuación

estudiaremos la expresión del vector aceleración en el

sistema de referencia intrínseco.



ϕϕ

senaa

aa

n

t

⋅=⋅= cos

5. Componentes intrínsecas de la aceleración

En determinadas ocasiones interesa expresar el vector aceleración en función de sus componentes intrínsecas : La aceleración tangencial ta y la aceleración normal

na , dirigidas según la tangente y la normal a la trayectoria respectivamente, como se puede observar en la Fig 3.2 . Las expresiones que permiten el cálculo de ambas componentes son:

Observar que v representa la celeridad o módulo de la velocidad instantánea. En función de sus componentes intrínsecas el vector aceleración instantánea se escribe:

R representa el radio de curvatura de la trayectoria. El módulo del vector aceleración será:

El radio de curvatura corresponde con el de la circunferencia tangente a la trayectoria.

nt aaa +=

av

av

avav

⋅⋅=

⋅⋅=⋅

arccos

cos

ϕ

ϕ

EJEMPLO 1

La trayectoria de una partícula está definida por las siguientes ecuaciones paramétricas:

.).(

23)(

2)(

1)(

2

2

IS

ttz

tty

ttx

−==

+=

a) Calcular la ecuación de velocidad y aceleración b) Velocidad y aceleración transcurrido un segundo c) Ecuación de la velocidad media y su módulo entre los instantes t = 1s y t = 3s d) Componentes intrínsecas de la aceleración, así como el radio de curvatura en t =1s

φ



ϕϕ

senaa

aa

n

t

⋅=⋅= cos

SOLUCIÓN

a) Vector de posición: ( ) )()23(21 22 mktjtitr −+++=

Vector velocidad: )/(622 smktjitdt

rdv ++==

Vector aceleración: )/(62 2smkidt

vda +==

b) Velocidad y aceleración transcurrido un segundo

( ) smkjitv /622)6,2,2(1 ++===

2/62)6,0,2()1( smkita +===

c) Ecuación de la velocidad media y su módulo entre los instantes t = 1s y t = 3s

( ) ( ) ( ) smkitt

vvvm /626,0,2

13

6,2,218,2,6

13

13 +==−−=

−−

=

smvm /32,640602 22 ==++=

d) Componentes intrínsecas de la aceleración, así como el radio de curvatura en t =1s

Calculamos primero la velocidad y aceleración que lleva el móvil después de un segundo:

( ) smtv /44622)1 222 =++==

( ) 222 /406021 smta =++==

( ) ( ) 406,0,26,2,211 =⋅=⋅ av

º55,174440

40cosarccos =

⋅=

⋅⋅= arcoav

avϕ

smaat /03,6º55,17cos40cos =⋅=⋅= ϕ



smsensenaan /91,1º55,1740 =⋅=⋅= ϕ

Por otro lado como R

van

2

= podemos despejar el radio de curvatura:

ma

vR

n

07,2391,1

442

2

===

EJEMPLO 2

La ecuación de la trayectoria de un móvil es y=3x2+5 y x=6t-5 (S.I). Calcular:

a) Expresiones del vector de posición, del vector velocidad y del vector aceleración

b) Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura de la trayectoria en t=2s.

SOLUCIÓN

a) de donde:

b) Para t=2s la velocidad es: smjijitv /2506)1802216(6)2( +=−⋅+==

y su módulo: smv /1,2502506 22 =+=

La aceleración en ese instante será: 216 m/s2

Puesto que no conocemos el radio de la trayectoria, necesitamos calcular primero el ángulo que forman las componentes intrínsecas:

( ) ( ) 54000216,0250,611 =⋅=⋅ av

º6,12161,250

54000cosarccos =

⋅=

⋅⋅= arcoav

avϕ

Podemos así calcular las componentes intrínsecas:



smaat /9,215º6,1cos216cos =⋅=⋅= ϕ

smsensenaan /03,6º6,1216 =⋅=⋅= ϕ

Por otro lado como R

van

2

= podemos despejar el radio de curvatura:

ma

vR

n

1,773003,6

9,215 22

===

6. Concepto de fuerza

El desarrollo de la Dinámica se basa prácticamente en el concepto de fuerza, y por ello daremos en primer lugar su definición:

« Es toda causa capaz de modificar el estado de equ ilibrio o de movimiento de los sistemas o bien de deformarlos »

Adelantamos aquí el carácter VECTORIAL de esta magnitud, de modo que deberemos conocer en todo momento su módulo, dirección y sentido. Las unidades en las que se mide son:

SISTEMA UNIDAD C.G.S 1 DINA=1 g.1 cm/s 2 S.I 1 NEWTON (N)=1 kg.1 m/s 2 S.T 1 KILOPONDIO o KILOGRAMO -FUERZA (kp)

7. Principios de la dinamica

La Dinámica se fundamenta en los tres Principios, Postulados o Leyes que se enuncian a continuación.

PRIMER PRINCIPIO

« Todo sistema físico en estado de equilibrio o de movimiento rectilíneo y uniforme permanecerá indefinidamente en esos estados, salvo que una FUERZA lo saque de ellos»

De esta definición se desprende inmediatamente que una única fuerza no puede producir equilibrio.

SEGUNDO PRINCIPIO

« La aceleración adquirida por un sistema es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre él »



En el caso que haya varias fuerzas aplicadas, la aceleración será proporcional a la resultante de las mismas. Matemáticamente se puede expresar así:

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares si se elige como referencia un sistema cartesiano OXYZ:

Su correcta aplicación a la resolución de casos prácticos requiere lo siguiente:

TERCER PRINCIPIO

«Toda acción (FUERZA) ejercida sobre un sistema, es respondida por este con una reacción (FUERZA) igual en módulo y dirección y de sentido opuesto »

Observar que los puntos de aplicación de la ACCIÓN y REACCIÓN están situados

sobre cada uno de los cuerpos en contacto.

En sólidos apoyados sobre superficies, la acción ejercida por los mismos, es siempre NORMAL (perpendicular) a dicha superficie.

En sólidos suspendidos de hilos, cuerdas etc, la ACCIÓN tensa la cuerda, y su punto de aplicación está sobre ella. Esto indica que la REACCIÓN tendrá su punto de aplicación en el sólido suspendido, y será de sentido opuesto a la ACCIÓN.



La Fig 1.3 muestra la forma de representar las fuerzas reales suponiendo distintas superficies de apoyo.

En el caso de sólidos suspendidos

o unidos entre sí mediante hilos, la representación

de fuerzas se hace tal como indica la Fig 2.3 .

8. Centro de masas de un sistema de partículas

El centro de masas de un objeto es:

• el también llamado "cetro de gravedad" de un objeto. • el punto donde el objeto mantiene el equilibrio si se le pone en el filo de una navaja. • el único punto donde los momentos de equilibrio estático respecto de tres ejes

mutuamente perpendiculares son todos cero. • el punto donde se concentra toda la masa del objeto al realizar cálculos estáticos. • el punto alrededor del cual el objeto gira en el espacio. • el punto a través del cual se considera que actúa la fuerza de la gravedad. • el punto donde se debe aplicar una fuerza externa para producir traslación pura de

un objeto en el espacio.

Sea un conjunto de n partículas distribuidas de forma discreta, de modo que, respecto de un sistema de referencia OXYZ cada una de ellas tenga un vector de posición ir . Si cada partícula tiene una masa mi, el vector de posición del centro de masas del sistema se define como:

Si consideramos el denominador como la masa total del sistema, entonces podremos escribir para el vector de posición del CDM:

Puesto que ésta es una ecuación vectorial, elegido un sistema de referencia OXYZ, puede expresarse en función de sus componentes así:



Este centro de masas tiene las siguientes propiedades:

- La aceleración del centro de masas es la aceleración total del sistema

∑ ⋅= CMText aMF ∑= iT mM

- Si las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema tiene una resultante nula y el sumatorio de momentos aplicados también lo es, el CM permanece en reposo se mueve con MRU.

- Las fuerzas de cohesión externa de un sistema están equilibradas entre sí, y por tanto, su resultante es nula y no produce ningún efecto sobre el centro de masas.

- En general, el movimiento de un sistema cualquiera se puede reducir en cada instante a la velocidad de su centro de masas y a una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho centro de masas.

EJEMPLO 4

Determina el c.d.g. del sistema de 3 puntos materiales de 10, 4 y 4 Kg. si están en

línea recta y separados sus centros 1 m. respectivamente.

SOLUCIÓN

1º Colocamos un Sistema de Referencia, que será la posición de la masa de 10 kg. Aplicando la fórmula vista en el apartado anterior:

El C.D.G. se encuentra a 0,66 m a la derecha de nuestro origen.

Si hubiera cambiado el sistema de referencia y lo hubiera localizado en la masa puntual de 4 kg:



El C.D.G. se encuentra a 0,33 m. a la izquierda del origen _ES EL MISMO PUNTO.

EJEMPLO 5

Hallar el centro de gravedad de los puntos:

SOLUCIÓN

Centro de gravedad de figuras planas homogéneas

Se puede dividir en figuras geométricas planas cuyo c.d.g. es conocido. Imaginemos la figura del dibujo. Debemos descomponerla en figuras geométricas conocidas y de la que nos sea fácil calcular su centro de gravedad, de modo que podamos reducir dichas figuras a puntos materiales.

Supongamos que se trata de una figura homogénea y por tanto de densidad constante



Ahora es un sistema discreto de 3 partículas.

Puesto que la densidad es constante podemos simplificarla y las expresiones de las coordenadas del centro de masas serían:

Aplicándolo a nuestro ejemplo:

El C.D.G. queda fuera de la figura.

El centro de masas de un triángulo coincidirá con su baricentro. Este punto, designado en geometría con la letra G tiene de coordenadas a partir de sus vértices:



9. Momento lineal (cantidad de movimiento)

Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal (aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) con el fin de disponer de una expresión que combinara las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento)

La momento lineal es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

vmp ⋅=

Donde p es el momento lineal, m es la masa y v el la velocidad de la partícula Tiene por tanto la misma dirección y sentido que la velocidad y su unidad en el sistema

Internacional es s

kgm. Cuando no hablamos de partículas sino de sistemas de partículas,

el momento lineal o cantidad de movimiento, si hablamos de su módulo, queda definido por el producto de la masa total por la velocidad de su centro de masas:

CMT vmp ⋅=

Parece natural considerar la rapidez con la que puede producirse la variación del momento lineal:

amt

vm

t

p ⋅=∆∆⋅=

∆∆

Si el segundo miembro de la ecuación obtenida es igual al producto de la masa por la aceleración, y considerando el Principio Fundamental de la Dinámica, la rapidez con que varía el momento lineal deberá de ser igual a la fu erza resultante aplicada sobre la partícula:

t

pF

amF

amt

p

∆∆=⇒

⋅=

⋅=∆∆

Por tanto, podemos poner:

tFp ∆⋅=∆

Expresión que indica que una misma variación del momento lineal (de la velocidad, si suponemos constante la masa) se puede producir, bien aplicando una fuerza grande durante un tiempo corto o bien aplicando una fuerza menor durante un tiempo más largo.

El producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que actúa ( tF ∆⋅ ) recibe el nombre de impulso mecánico (I m). La ecuación anterior puede, por tanto, leerse como: la variación del momento lineal es igual al impulso mecánico.



El impulso mecánico tiene la misma ecuación dimensi onal que el momento lineal y en el S.I de unidades se mide en N s.

10. Principio de conservación del momento lineal.

El momento lineal de un sistema sobre el que no act úa fuerza externa alguna (o varias que se componen para dar una resultante nula ), permanece constante.

Si partimos de la expresión tFp ∆⋅=∆ y consideramos que la fuerza externa resultante es nula, se tiene:

Si ∑ =⇒=∆∆

⇒= ctept

pFext 00 .

El Principio de conservación del momento lineal tiene múltiples aplicaciones. Una muy característica es su aplicación al estudio de las colisiones entre cuerpos. Existen dos tipos de colisiones:

COLISIONES PERFECTAMENTE INELASTICAS

Una colisión inelástica es aquella en la que la energía cinética total del sistema NO es la misma antes y después de la colisión aun cuando se conserve la cantidad de movimiento del sistema.

Considere dos partículas de masa m1 y m2 que se mueven con velocidades iniciales V1i y V2i a lo largo de la misma recta, como se ve en la figura.

Las dos partículas chocan de frente, se quedan pegadas y luego se mueven con velocidad final VF después de la colisión.

Debido a que la cantidad de movimiento de un sistem a aislado se conserva en cualquier colisión, podemos decir que la cantidad t otal de movimiento antes de la colisión es igual a la cantidad total de movimiento del sistema combinado después de la colisión.



V1 V2

m1 m2

V1*

V2*

m2 m1

Antes del choque Durante el

choque

COLISIONES TOTALMENTE ELASTICAS Es aquella en la que la energía cinética total y la cantidad de movimiento del sistema son iguales antes y después de la colisión. Dos partículas de masa m

1 y m

2 que se mueven con velocidades iniciales V

1i y V

2i a lo largo

de la misma recta, como se ve en la figura.

Las dos partículas chocan de frente y luego se alejan del lugar de la colisión con diferentes velocidades V1F y V2F Si la colisión es elástica se conservan tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética del sistema.

Cuando dos cuerpos chocan, en el momento del choque, aparecen fuerzas de acción y reacción entre los objetos. Si consideramos el sistema formado por ambos cuerpos éstas serán fuerzas internas cumpliéndose, por tanto, la condición de que la fuerza externa actuante es nula.

Fuerzas que actúan sobre dos bolas en el momento de la colisión. La bola roja se movía hacia la derecha y la azul hacia la izquierda.

En el momento del choque la bola roja ejerce una fuerza hacia la derecha sobre la azul y la azul una igual y contraria (reacción) sobre la roja).

Si consideramos el sistema formado por ambos objetos estas fuerzas son internas (ejercidas entre elementos del sistema)

Las únicas fuerzas externas que actúan se anulan (peso y normal, que no se han pintado) y considerando que las fuerzas actuantes durante el choque son interiores, podemos escribir:

antes después

* *1 2 1 2

* *1 2 1 21 2 1 2

p p

p p p p

m v m v m v m v

=

+ = +

+ = +

r r

r r r r

r r r r



Donde las magnitudes con asterisco indican valores después del choque.

Cuando el choque es como el que se muestra en la figura el choque se denomina frontal y como el movimiento antes y después tiene lugar según una única dirección, se puede prescindir de la notación vectorial y poner simplemente:

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1* + m2 v2 *

El sentido de movimiento (hacia la izquierda o hacia la derecha) se indica mediante el signo + ó -

Podemos a su vez trabajar con la ecuación de energía mecánica antes y después del choque:

*2

2

*2

1

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1mvmvmvmv +=+

EJEMPLO 6

A un cuerpo de 3 kg, inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza de 5 N durante 3 s ¿Cuál será su velocidad al cabo de este tiempo?

SOLUCIÓN

Este ejercicio se puede solucionar aplicando usando la Segunda Ley de la Dinámica para calcular la aceleración y a continuación las ecuaciones cinemáticas del movimiento. Sin embargo, se puede solucionar muy rápidamente haciendo uso de la expresión que relaciona el impulso mecánico con la variación del momento lineal.

EJEMPLO 7

Un patinador de 60 kg se encuentra situado sobre un monopatín de 3 kg en reposo. En determinado momento el patinador se impulsa hacia la derecha con una velocidad de 1 m/s. ¿Qué ocurrirá con el monopatín?

2 1 2 2

2

2

p F t

p p p m v 0 m v

m v F t

5 kgF t

vm

∆ = ∆∆ = − = − =

=

= =2

m

s3 s

3 kg

m5

s=



SOLUCIÓN

Como se puede observar el patín sale hacia la izquierda (en sentido contrario al del patinador) ya que se ha considerado positivo hacia la derecha.

EJEMPLO 8

Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una velocidad de 10 m/s contra un bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa horizontal. Tras el impacto la plastilina queda adherida al bloque. Calcular la velocidad con la que se inicia el deslizamiento del conjunto.

SOLUCIÓN

el cuerpo A de masa 10 kg viene con velocidad 20 m/s y choca al cuerpo B de masa 5 kg que inicialmente se encuentra detenido. Los cuerpos chocan y rebotan. Calcular las velocidades de cada cuerpo después de la colisión. Suponer que no se pierde energía en el choque.

Planteamiento gráfico

antes

* *desp 1 1 2 2

* *antes desp 1 1 2 2

*1 1*

22

p 0

p m v m v

p p ; 0 m v m v

60 kgm vv

m

=

= +

= = +

= − = −

m1

s3 kg

m20

s= −

v1 v*

m1

antes 1 1 2 2p m v m v= + ( )( )

( )

( )

2

*desp 1 2

*antes desp 1 1 1 2

1 1*

1 2

; v 0

p m m v

p p ; m v m m v

0,250 kgm vv

m m

=

= +

= = +

= =+

m10

s(0,250 0,500)kg+

m3,33

s=



Tomo el sistema de referencia positivo hacia la derecha y planteo la conservación de la cantidad de movimiento.

fBBfAABBAA vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ 00

Sustituyendo los datos:

fBfA vv ⋅+⋅=+⋅ 51002010

Por otro lado, al ser un choque totalmente elástico, puedo plantear el principio de la conservación de energía:

fBBfAABBA vmvmvmvmA

220

22

2

1

2

1

2

1

2

10

⋅+⋅=⋅+⋅

Sustituyendo datos:

fBfA vv 222 52

110

2

102010

2

1 ⋅+⋅=+⋅

Se genera así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resuelto arroja las siguientes soluciones:

smv fB /66,26=

smv fA /66,6=

2º TEMA 1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA

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