UNIVERSIDAD DE EL SALVADORFACULTAD MULTIDISCIPLINARIA PARACENTRAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONOMICASASIGNATURA: MATEMATICAS III

CICLO I / 2010

GUIA DE TEXTO No. 3

1.3.2 INTEGRACION POR PARTES

Muchas integrales no pueden encontrarse con los métodos que hemos visto hasta ahora. Sin embargo, hay maneras de cambiar ciertas integrales a formas más fáciles de integrar. Veremos dos de tales procedimientos: la integración por partes y la integración por fracciones parciales.

Si u y v son funciones diferenciables de x, por la regla del producto tenemos

(uv) ‘ = uv ‘ + vu ‘

Fórmula de integración por partes

Esta fórmula expresa una integral, en términos de otra integral, que puede ser más fácil de integrar.Para aplicar la fórmula a una integral dada debemos escribir f(x)dx como el producto de dos factores ( o partes) escogiendo una función u y una diferencial dv tales que f(x)dx = udv. Sin embargo, para que la fórmula sea útil, debemos ser capaces de integrar la parte seleccionada como dv. Para ilustrar esto consideremos

Esta integral no puede determinarse con las fórmulas de integración previas. Una manera de escribir xex

dx en la forma u dv es haciendo

u = x y dv = ex dxPara aplicar la fórmula de integración por partes debemos encontrar du y v:

du = dx y v = Cuando se usa la fórmula de integración por partes, algunas veces la “mejor selección” de u y dv puede no ser obvia. En algunos casos una selección puede ser tan buena como la otra; en otros, sólo una selección puede ser adecuada. La habilidad para hacer una buena selección (si ésta existe) se adquiere con la palabra ILATE

I Inversas LogarítmicasL LogarítmicasA AlgebraicasT TrigonométricasE Exponenciales

Ejemplo

1.3.3 INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

FACTORES LINEALES DISTINTOS

(A es una constante)

Ejemplo

FACTORES LINEALES REPETIDOSSi el denominador de N(x)/D(x) contiene sólo factores lineales, algunos de los cuales están repetidos, entonces a cada factor , donde k es el número máximo de veces que se presenta x-a, le corresponderá la suma de k fracciones parciales:

Ejemplo:FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS IRREDUCIBLESSuponga que un factor cuadrático ocurre en D(x) y que no puede expresarse como un producto de dos factores lineales con coeficientes reales. Se dice que tal factor es un factor cuadrático irreducible en el campo de los números reales. A cada factor cuadrático irreducible distinto que ocurre sólo una vez en D(x) le corresponderá una fracción parcial de la forma

Ejemplo:

FACTORES CUADRATICOS REPETIDOS IRREDUCIBLESSuponga que D(x) contiene factores de la forma , donde k es el número máximo de veces que ocurre el factor irreducible x2+bx+c . Entonces a cada uno de tales factores le corresponde una suma de k fracciones parciales de la forma

Al final de los ejemplos, habrá usted deducido que el número de constantes necesarias para expresar N(x)/D(x) por medio de fracciones parciales es igual al grado de D(x), si se supone que N(x)/D(x) define una función racional propia. Este es ciertamente el caso. Debería añadirse que la representación de una función racional propia por medio de fracciones parciales es única; esto es, sólo hay una posible opción para las constantes. Además, independientemente de la complejidad del polinomio D(x), éste siempre puede expresarse (teóricamente) como un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles con coeficientes reales.Ejemplo:

FACTORES CUADRATICOS REPETIDOS IRREDUCIBLES

Recordar la fórmula:

Ejemplo: Calcular

Encontrando coeficientes. A = -1B = 0C = 4D = 0

Por lo que

Haciendo cambio de variable y sustituyendo términos llegamos a

R/.

INTEGRACION POR MEDIO DE TABLASCiertas formas de integrales que ocurren con frecuencia pueden encontrarse en tablas estándar de fórmulas de integración. Una integral dada puede tener que ser transformada a una forma equivalente para que se ajuste o corresponda a una fórmula de la tabla. La forma equivalente debe concordar exactamente con la fórmula.

La integración por tablas es uno de los muchos métodos de integración, de lo que se trata es de buscar en las tablas una integral que se adecúe al problema que deseamos resolver, en algunas ocasiones se deberán efectuar ajustes.

Ejemplo : Calcular las integrales siguientes por medio del uso de tablas:

a)

Buscamos la fórmula y observamos que puede ser la fórmula 25 o la 113, así tenemos:

en donde u2 = x2 y a2 = 52

Para los factores cuadráticos tanto distintos como repetidos, debes verificar que puedan factorizarse, ya sea como trinomios de la forma x2+bx+c, ax2+bx+c , por medio de la ecuación cuadrática o por el método de las tijeras. Si la factorización no es posible con alguno de estos 3 métodos, hasta entonces podemos decir que es irreducible.

Sustituimos en la fórmula y tenemos:

R/.

b)

Buscamos las integrales que contienen x2+a2, y vemos que es la fórmula 77:

en donde a2 = 32

Sustituyendo en la fórmula:

= R/.

c)

Buscamos las integrales que contienen , y vemos que es la fórmula 119:

tenemos a2 = 1

Sustituimos en la fórmula:

= R/.

d) Calcular

Buscamos las integrales que contienen x4± a4 y vemos que es la fórmula 187:

en donde a4 = 10

= R/.

e) Calcular buscamos integrales que incluyan eax

buscamos en las tablas y vemos que es la fórmula 288:

Donde p = 8, q = 7 y a = 3

= R/.